Tạo bảng biến thiên chuyển đổi tự động cho các hàm đa thức trong Geogebra

TẠO BẢNG BIẾN THIÊN CHUYỂN ĐỔI TỰ ĐỘNG CHO CÁC HÀM ĐA THỨC TRONG GEOGEBRA 
Lê Thị Mỹ Diệu1 
Tóm tắt: Nội dung chính của bài viết là tạo bảng biến thiên có thể chuyển đổi tự động giữa 4 loại 
hàm đa thức: hàm trùng phương, hàm bậc 3, hàm bậc 2 và hàm bậc nhất trong Geogebra qua 5 bước cơ 
bản: mở phần mềm; vẽ đồ thị; thực hiện các lệnh trên vùng Cas; tạo các cột và các dòng cho bảng biến 
thiên; tạo các điểm cực trị, dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số trên bảng biến thiên. 
Từ khóa: Bảng biến thiên, Hàm đa thức, Geogebra. 
1. Mở đầu 
Hàm số và những vấn đề liên quan đến hàm số là những đối tượng đã và đang được quan tâm 
nhiều nhất trong chương trình Toán phổ thông hiện nay. Sự biến thiên của hàm số là một trong những đối 
tượng đó. Việc khảo sát sự biến thiên của hàm số dù bằng phương pháp sơ cấp hay phương pháp đạo 
hàm bao giờ cũng được kết thúc bởi một bảng biến thiên mà trên đó sẽ thể hiện tất cả các kết quả vừa 
khảo sát đồng thời phát họa ban đầu hình dáng của đồ thị hàm số đó. Để soạn thảo một bảng biến thiên 
cho một giáo án dạy học thì hầu như không ai không làm được, chúng ta có thể vẽ bằng công cụ Table 
trong Word hoặc Excell. Tuy nhiên với mỗi một hàm số khác nhau thì lại mất một lần vẽ và điều chỉnh. Điều 
này sẽ dẫn đến tốn kém thời gian và nhiều sai sót khi điều chỉnh. Nhưng với phần mềm Geogebra, chỉ cần 
một lần thiết lập, chúng ta có thể tạo bảng biến thiên chuyển đổi tự động cho 4 loại hàm đa thức: bậc 1, 
bậc 2, bậc 3 và hàm trùng phương, chỉ một thao tác thay đổi hàm số, ta có ngay một bảng biến thiên tương 
ứng mà không cần điều chỉnh, rất dễ dàng cho việc soạn thảo cũng như trình chiếu. Chính vì vậy tôi quyết 
định viết bài báo này để giới thiệu đến người đọc những bước thiết lập đó. Bài báo có tên: “Tạo bảng biến 
thiên cho các hàm đa thức trong Geogebra”. 
2. Nội dung 
2.1. Giới thiệu về phần mềm Geogebra 
GeoGebra là phần mềm toán học động được thiết kế cho việc dạy và học toán học từ Tiểu học đến 
Đại học. Phần mềm là sự kết hợp giữa môi trường hình học động, thao tác tính toán với các biểu thức đại 
số, giải tích và bảng tính điện tử trong mặt phẳng tọa độ. Vì vậy, nó cho phép thu hẹp khoảng cách giữa 
các lĩnh vực toán học của hình học, đại số, giải tích và thậm chí cả tính toán. 
Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán - Tin học thuộc trường 
Đại học University of Salzburg, Cộng hòa Áo. Phần mềm GeoGebra được khởi động từ năm 2001 và đã 
trãi qua nhiều năm liên tục phát triển. Phần mềm GeoGebra đã đạt rất nhiều giải thưởng tại nước chủ nhà 
Áo và liên minh Châu Âu về phần mềm giáo dục tốt nhất trong nhiểu năm liền. 
Một mặt, GeoGebra là một hệ thống hình học động. Bạn có thể dựng hình theo điểm, vec-tơ, đoạn 
thẳng, đường thẳng, đường conic, cũng như đồ thị hàm số, và có thể thay đổi chúng về sau. Mặt khác, 
phương trình và tọa độ có thể được nhập vào trực tiếp. Đồng thời, với các phiên bản mới GeoGebra có 
thể xuất bản với giao diện web, nhúng vào phần mềm Powerpoint và có thể xử lí các thao tác như trên 
phần mềm GeoGebra tạo cho người dùng thuận lợi hơn rất nhiều khi trình chiếu hay trong giảng dạy. 
2.2. Cách thức lập bảng biến thiên cho các hàm đa thức 
Với sự thuận lợi của Geogebra, bằng một số bước thiết lập các thao tác, Geogebra có thể tạo một 
bảng biến thiên chuyển đổi nhanh chóng giữa các hàm đa thức: bậc 1, bậc 2, bậc 3 và hàm trùng phương. 
Cụ thể như sau: 
1 . ThS, Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam 
Bước 1: Mở giao diện Geogebra: 
+ Vào hộp Các tùy chọn→ Tên → Không hiển thị tên các đối tượng mới. 
+ Vào hộp Hiển thị → Vùng làm việc, Đồ thị 2 và CAS (vùng tính toán) 
Bước 2: Vẽ đồ thị cho Vùng làm việc 
Kích vào khung Nhập lệnh, nhập hàm f (x) = x ^ 4− 2x ^2+ 3 , sau đó kích vào Vùng làm việc, khi đó 
chỉ tại Vùng làm việc sẽ xuất hiện đồ thị hàm số đã nhập. 
Hình 1 
Lưu ý: ở đây ta nhập hàm bậc trùng phương, đây là hàm có mũ cao nhất trong các hàm được vẽ ở 
phổ thông, khi đó bảng biến thiên sẽ lớn nhất và đầy đủ nhất các yếu tố. Dựa vào đó, ta sẽ dự toán được 
các khả năng có thể xảy ra, thiết lập các biến và tạo điều kiện ràng buộc đầy đủ nhất. 
Bước 3: Thực hiện các lệnh trên vùng CAS 
Vào vùng Cas, thực hiện tính và gán theo các lệnh sau: 
 S:=solutions(f’(x)) (S là tập nghiệm của phương trình f’(x)=0) 
 T:= length(S) (Chiều dài của tập S) 
 X1:= S(1) (nghiệm thứ nhất của phương trình f’(x)=0) 
 X2:= S(2) (nghiệm thứ hai của phương trình f’(x)=0) 
 X3:= S(3) (nghiệm thứ ba của phương trình f’(x)=0) 
 Hình 2 
Trong trường hợp f(x) là hàm bậc nhất, thì S sẽ không xác định, khi đó T sẽ không xác định, để khắc 
phục lỗi này, ta thực hiện thêm lệnh sau: 
 TT:= if(T=?, 0, T ). 
Bước 4: Tạo các cột và các dòng cho bảng biến thiên trên vùng Đồ thị 2 Vào vùng Đồ thị 2, ta 
tiến hành như sau: 
 Trước hết, ta vẫn giữ nguyên lưới và các trục tọa độ của vùng này để dễ chọn điểm, giả 
sử ta chọn điểm A (-6,5) 
 Vào công cụ Vẽ đường vuông góc: ta thực hiện vẽ đường vuông góc đi qua A với các trục 
Ox, Oy. Đồng thời vẽ thêm các đường vuông góc khác và xác định giao điểm giữa chúng như hình sau: 
Hình 3 
Sau đó bỏ hiển thị lưới, các trục tọa độ và các đường, khi đó ta còn lại các giao điểm. 
 Vào công cụ Vẽ đoạn thẳng: để vẽ các đoạn thẳng đi qua các điểm trong Vùng Đồ thị 2 đã 
có ở trên. Khi đó ta được bảng (hình 4). 
Kích chuột vào bảng để điều chỉnh kích thước cho phù hợp, nhìn góc trái ta sẽ thấy tọa độ các đỉnh 
và độ dài các đoạn thẳng sẽ thay đổi theo, tuy nhiên vấn đề ta quan tâm là tên các đỉnh và tên các đoạn 
thẳng. Ở đây ta có tên các đỉnh và các đoạn thẳng như sau: 
Các đỉnh và các đoạn mà ta quan tâm nhất là đỉnh A, E, 4 
đoạn nằm ngang m, n, p, q và đoạn thẳng đứng s = EH. 
Việc hiển thị này chỉ là để nhớ tên các đỉnh và các đoạn đó, 
giúp cho các thao tác thực hiện lệnh dễ dàng, do đó ta chỉ cần đưa 
chuột vào gần các đối tượng thì cũng thấy tên cũng như các chỉ số 
liên quan đến đối tượng nên ta bỏ đi hiển thị tên. 
 Vào khung nhập lệnh, thực hiện các lệnh sau: 
Hình 4 Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s},vecto(A,E)) 
Dayso(Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s}, k vecto(A,E)), k, 0, TT + 2) 
Sau đó kích chuột vào vùng Đồ thị 2, thì chỉ trên vùng đó sẽ 
tự động xuất hiện bảng sau: 
Hình 5 
Bước 5: Tạo các điểm cực trị, dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số trên bảng biến thiên. 
Ở đây, bài viết trình bày các thao tác được thực hiện lần lượt trên từng dòng của bảng. Cụ thể như 
sau: 
y Dòng 1: 
+ Vào công cụ Trung điểm: để tạo điểm chính giữa cho ô đầu tiên của dòng 1 của bảng, ta được 
điểm đó có tên là I: 
Hình 6 
+ Vào khung nhập lệnh, thực hiện liên tiếp các lệnh tịnh tiến điểm I như sau : 
Pheptinhtien(I,vecto(A,E)) → Tạo điểm I’ 
Pheptinhtien(I, 2vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_1 
Pheptinhtien(I, 3vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_2 
Pheptinhtien(I, 4vecto(A,E)) →Tạo điểm I’_3 
Pheptinhtien(I, (TT+2)vecto(A,E)) → Tạo điểm I’_4 
Lưu ý: sau mỗi lệnh ta thực hiện kích chọn vào vùng đồ thị 2, để chỉ trên vùng đó xuất hiện các điểm 
mới. 
Hình 7 
+ Vào công cụ Chèn chữ: Đồng thời kích chọn vào từng điểm mới xuất hiện lần lượt từ trái sang để 
chèn tên văn bản cho các điểm đó. Cụ thể: 
Điểm I: Nhập: x → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
Điểm I’: nhập: −∞ (Kí hiệu này có ở khung Các biểu tượng)→ kích chọn Công thức Latex → Ok. 
Điểm I’_1: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X1 → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Điểm I’_2: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X2 → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Điểm I’_3: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ X3 → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Điểm I’_4 (giống như điểm I’): nhập: +∞ (Kí hiệu này có ở khung Các biểu tượng)→ kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Khi đó ta được dòng 1 trên bảng như sau: 
Hình 8 
+ Tiến hành tạo ràng buộc cho các văn bản : 
Bây giờ ta có thể kích chọn bỏ hiện thị cho các điểm, chỉ làm việc với các văn bản của điểm. 
Với hàm đa thức, Tập xác định D=� , nên hai văn bản −∞ và +∞sẽ luôn xuất hiện, do đó không cần 
điều kiện ràng buộc. 
Văn bản mang giá trị của X1 (văn bản số 3) chỉ xuất hiện khi phương trình f '(x) = 0 có ít nhất 1 
nghiệm, do đó, ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc 
tính, vào Nâng cao nhập TT>0. 
Văn bản mang giá trị của X2 (văn bản số 4) chỉ xuất hiện khi phương trình f '(x) = 0 có ít nhất 2 
nghiệm, do đó, ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc 
tính, vào Nâng cao nhập TT>1. 
Văn bản mang giá trị của X3 (văn bản số 5) chỉ xuất hiện khi phương trình f '(x) = 0 có ít nhất 3 
nghiệm, do đó, ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc 
tính, vào Nâng cao nhập TT>2. 
Như vậy ta đã xong các điều kiện ràng buộc cho các văn bản của dòng 1. y Dòng 2: 
Lúc đầu ta thực hiện các thao tác như dòng 1 để tạo giá trị của đạo hàm tại các điểm cực trị: 
+ Vào công cụ Trung điểm: để tạo điểm chính giữa cho ô đầu tiên của dòng 2 của bảng, ta được 
điểm đó có tên là J: 
+ Vào khung nhập lệnh, thực hiện liên tiếp các lệnh tịnh tiến điểm J như sau : Pheptinhtien(J, 
2vecto(A,E)) → Tạo điểm J’ 
Pheptinhtien(J, 3vecto(A,E)) → Tạo điểm J’_1 
Pheptinhtien(J, 4vecto(A,E)) → Tạo điểm J’_2 
Lưu ý: sau mỗi lệnh ta thực hiện kích chọn vào vùng đồ thị 2, để chỉ trên vùng đó xuất hiện các điểm 
mới. 
+ Vào công cụ Chèn chữ : 
Đồng thời kích chọn vào từng điểm mới xuất hiện lần lượt từ trái sang để chèn tên văn bản cho các 
điểm đó. Cụ thể: 
Điểm J: Nhập: f '(x) → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
Điểm J’: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ f '(X1) → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Điểm J’_1: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ f '(X2) → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Điểm J’_3: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ f '(X3) → kích chọn Công 
thức Latex → Ok. 
Khi đó ta được dòng 2 trên bảng như sau: 
Hình 9 
+ Tiến hành tạo ràng buộc cho các văn bản : 
Tương tự ta có thể kích chọn bỏ hiện thị cho các điểm, chỉ làm việc với các văn bản của điểm. 
Văn bản mang giá trị f '(X1) (văn bản số 8): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào 
Nâng cao nhập TT>0. 
Văn bản mang giá trị f '(X2) (văn bản số 9): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào 
Nâng cao nhập TT>1. 
Văn bản mang giá trị f '(X3) (văn bản số 10): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, 
vào Nâng cao nhập TT>2. 
+ Bây giờ ta tiến hành bỏ khung cho các côt của bảng: bằng cách quay lại hai lệnh: 
Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s},vecto(A,E)) 
Dayso(Pheptinhtien({m,n,p,q,r,s}, k vecto(A,E)), k, 0, TT + 2) 
Trong hai lệnh đó, ta bỏ đi đoạn thẳng s, rồi thực hiện lệnh khác như sau: 
Pheptinhtien(s, (TT+2) vecto(A,E)) 
Khi đó, ta có được bảng biến thiên bước đầu như sau: 
Hình 10 
 Trên bảng này vần còn thiếu dấu của f '(x) . Do đó ta tiến hành xét dấu cho f '(x) như sau: 
+ Vào Chèn chữ, kích vào vùng Đồ thị 2, Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào 
đó gõ: If (f’(-1000)<0, “-”, “+” → kích chọn Công thức Latex → Ok. Khi đó ta được văn bản mới, cụ thể 
trong bài là văn bản 11 mang dấu ( - ). 
+ Vào Chèn chữ, kích vào vùng Đồ thị 2, Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào 
đó gõ: If (f’(X1+0.001)<0, “-”, “+” → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
+ Vào Chèn chữ, kích vào vùng Đồ thị 2, Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào 
đó gõ: If (f’(X2+0.001)<0, “-”, “+” → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
+ Vào Chèn chữ, kích vào vùng Đồ thị 2, Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào 
đó gõ: If (f’(X3+0.001)<0, “-”, “+” → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
Ta được kết quả như sau: 
Hình 11 
 Cuối cùng, ta tiến hành tạo điều kiện ràng buộc cho các văn bản mang dấu (-) và (+) theo thứ tự từ 
trái sang: 
+ Văn bản 11 (văn bản mang dấu (-) đầu tiên): không cần điều kiên ràng buộc 
+ Văn bản 12 (văn bản mang dấu (+) đầu tiên): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, 
vào Nâng cao nhập TT>0. 
+ Văn bản 13 (văn bản mang dấu (-) thứ 2): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào 
Nâng cao nhập TT>1. 
+ Văn bản 14 (văn bản mang dấu (+) thứ 2): ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, 
vào Nâng cao nhập TT>2. 
Bây giờ ta có thể thay đổi hàm f (x) để thấy sự thay đổi trên bảng biến thiên. Cụ thể dưới đây, là 
hình ảnh của hàm bậc nhất, bậc hai , bậc 3 và hàm trùng phương khác. 
Hình 12. (hàm bậc nhất) 
Hình 13. (Hàm bậc hai) 
Hình 14. (Hàm bậc 3) 
 Hình 15. (Hàm trùng phương khác) Bây giờ ta quay lại 
hàm cũ để tiện theo dõi các bước làm. 
y Dòng 3: 
Ở dòng này ta sẽ thực hiện các thao tác để tạo giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và chiều biến 
thiên của hàm số theo dấu của đạo hàm đã tạo ở bước 2. Cụ thể như sau: 
+ Vào công cụ Trung điểm: để tạo điểm chính giữa cho ô đầu tiên của dòng 3 của bảng, ta được 
điểm đó có tên là K. 
+ Vào công cụ Chèn chữ, kích chọn vào Điểm K: Nhập: f (x) → kích chọn Công thức Latex → Ok. 
+ Vào công cụ Tạo điểm mới, tạo ra 2 điểm mới có tên: L, M trong cột 2 của dòng 3 của bảng: 
Hình 16 
+ Vào khung nhập lệnh, thực hiện liên tiếp các lệnh tịnh tiến điểm L và M như sau: 
Pheptinhtien(L, vecto(A,E)) → Tạo điểm L’ 
Pheptinhtien(L, 2vecto(A,E)) → Tạo điểm L’_1 
Pheptinhtien(L, 3vecto(A,E)) → Tạo điểm L’_2 
Pheptinhtien(L, 4vecto(A,E)) → Tạo điểm L’_3 
Pheptinhtien(M, vecto(A,E)) → Tạo điểm M’ 
Pheptinhtien(M, 2vecto(A,E)) → Tạo điểm M’_1 
Pheptinhtien(M, 3vecto(A,E)) → Tạo điểm M’_2 Pheptinhtien(M, 
4vecto(A,E)) → Tạo điểm M’_3 Ta được kết quả như sau: 
 Hình 17 
 + Vào công cụ Chèn chữ: 
Đồng thời kích chọn vào từng điểm mới xuất hiện lần lượt từ trái sang để chèn tên văn bản cho các 
điểm đó. Ở dây ta tiến hành song song giữa hai điểm L, M tương ứng để tiện quan sát. Cụ thể: 
Điểm L: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ Gioihan( f ,−∞) → kích chọn 
Công thức Latex → Ok. (Văn bản 16) 
Điểm M: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ Gioihan( f ,−∞) → kích chọn 
Công thức Latex → Ok. (Văn bản 17) 
Điểm L’: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 0, f 
(X1),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 18) 
Điểm M’: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 0, f 
(X1),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 19) 
Điểm L’_1: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 1, f 
(X2),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 20) 
Điểm M’_1: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 1, f 
(X2),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 21) 
Điểm L’_2: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 2, f 
(X3),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 22) 
Điểm M’_2: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ if(TT > 2, f 
(X3),Gioihan(f,+∞)) → kích chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 23) 
Điểm L’_3: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ Gioihan(f,+∞) → kích 
chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 24) 
Điểm M’_3: Vào khung Các đối tượng, chọn Hộp thoại rỗng, kích vào đó gõ Gioihan(f,+∞) → kích 
chọn Công thức Latex → Ok. (Văn bản 25) Khi đó ta được kết quả như sau: 
Hình 18 
 + Tiến hành tạo điều kiện ràng buộc cho các văn bản mới hình thành: 
Văn bản 16: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)<0. 
Văn bản 17: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)>0. 
Văn bản 18: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)>0. 
Văn bản 19: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)<0. 
Văn bản 20: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>0, 
f’(X1+0.001)<0). 
Văn bản 21: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>0, 
f’(X1+0.001)>0). 
Văn bản 22: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>1, 
f’(X2+0.001)<0). 
Văn bản 23: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>1, 
f’(X2+0.001)>0). 
Văn bản 24: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>2, 
f’(X3+0.001)<0). 
Văn bản 25: ta kích chuột phải vào văn bản đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: Neu(TT>2, 
f’(X3+0.001)>0). 
Khi đó ta được kết quả như sau: 
Hình 19 
 + Tiến hành vẽ các mũi tên theo các lệnh sau: 
Vecto(L, M’) ; Vecto(M, L’); Vecto(L’, M’_1); Vecto(M’, L’_1); Vecto(L’_1, M’_2); Vecto(M’_1, L’_2); 
Vecto(L’_2, M’_3); Vecto(M’_2, L’_3). 
Lưu ý: Sau mỗi lệnh được thực hiện ta nhớ kích vào vùng Đồ thị 2 để các mũi tên chỉ xuất hiện trên 
vùng đó. Cụ thể ta có kết quả sau: 
Hình 20 
 + Tạo điều kiện ràng buôc cho các mũi tên, cụ thể như sau: 
Vecto(L, M’) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)<0. 
Vecto(M, L’) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: f’(-1000)>0. 
Vecto(L’, M’_1) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>0,f’(X1+0.001)<0). 
Vecto(M’, L’_1) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>0,f’(X1+0.001)>0). 
Vecto(L’_1,M’_2) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>1,f’(X2+0.001)<0). 
Vecto(M’_1,L’_2) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>1,f’(X2+0.001)>0). 
Vecto(L’_2,M’_3) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>2,f’(X3+0.001)<0). 
Vecto(M’_2,L’_3) : kích chuột phải vào mũi tên đó, chọn Thuộc tính, vào Nâng cao nhập: 
Neu(TT>2,f’(X3+0.001)>0). Khi đó ta có kết quả sau: 
Hình 21 
Bây giờ để hoàn thiện bảng biến thiên ta kích bỏ hiển thị các điểm đang hiển thị ở trên, ta được kết 
quả: 
Hình 22 
Bây giờ, chúng ta có thể thay đổi hàm f (x) và nhận được bảng biến thiên hoàn chỉnh được thay đổi 
tự động như các ví dụ sau: 
Hình 23 
3 . Kết luận 
Bài viết đã trình bày cụ thể các bước thiết lập một bảng biến thiên chuyển đổi tự động giữa các hàm 
đa thức ở phổ thông: bậc 1, bậc 2, bậc 3 và hàm trùng phương bằng Geogebra mà qua đó tạo sự thuận 
lợi cho việc soạn thảo cũng như trình chiếu bài giảng của thầy cô giáo trong các trường THPH. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] GeoGebra Docu Team, Classic App Tutorials, www.geogebra.org, 2007. 
[2] GeoGebra Docu Team, Graphing Calculator Tutorials, www.geogebra.org, 2007. 
[3] Markus Hohenwarter và Judith Preiner, Hướng dẫn Geogebra (Bản chính thức 
3.0), www.geogebra.org, 6/2007. 
[4] Markus Hohenwarter - GeoGebra Docu Team, GeoGebra Classic Courses,www. 
geogebra.org, , 2007. 
[5] www.facebook.com/DayVaHocGeogrbra. 
[6] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 2000. 
[7] Dương Thụy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB KH & KT, 2000. 
a) Hàm bậc nhất ( ) f x x = b) Hàm bậc hai 
2 
( ) 2 3 f x x x −
=
− + 
c) Hàm bậc ba 3 2 ( ) 2 3 f x x x = − + d) Hàm trùng phương 
4 2 
( ) 2 1 f x x x −
=
− +