Tài liệu Giải phương trình chứa căn thức

Giới thiệu
Tập tài liệu này là kết quả của việc tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn chia sẻ miễn phí trên internet. Bên
cạnh việc tổng hợp, tập tài liệu này còn trình bày một số ví dụ cơ bản với lời giải chi tiết để các em học sinh
có thể tham khảo và vận dụng vào giải các bài tập kèm theo. Trong quá trình soạn thảo chắc chắn không
tránh khỏi sai sót. Vì thế rất mong nhận được thông tin phản hồi từ bạn đọc để kịp thời chỉnh sửa. (Sẽ rất
vui khi nhận được thông tin phản hồi của mọi người tại blog cá nhân: 
Cuối cùng, tài liệu này xin được chia sẻ miễn phí với mọi người. Nếu tài liệu may mắn được trang
mạng khác đăng tải lại thì người đăng tải vui lòng giữ nguyên tài liệu, không đóng dấu bất cứ nội dung
gì khác lên trên tài liệu. Xin chân thành cảm ơn.
Lê Hồng Phi.
Giải phương trình chứa căn thức
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1. Giải phương trình
√
3x2 + x− 4 = x+ 1.
Giải. Ta có
√
3x2 + x− 4 = x+ 1⇔
x+ 1 ≥ 03x2 + x− 4 = (x+ 1)2
⇔
x ≥ −12x2 − x− 5 = 0 ⇔

x ≥ −1 x =
1 +
√
41
4
x =
1−√41
4
⇔ x = 1 +
√
41
4
.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =
1 +
√
41
4
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
√
x− 2 +√7− x = 3.
Giải. Điều kiện
x− 2 ≥ 07− x ≥ 0 ⇔
x ≥ 2x ≤ 7 ⇔ 2 ≤ x ≤ 7.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với(√
x− 2 +√7− x)2 = 9
⇔ x− 2 + 2
√
(x− 2)(7− x) + 7− x = 9
⇔
√
−x2 + 9x− 14 = 2
⇔ − x2 + 9x− 14 = 4
⇔ − x2 + 9x− 18 = 0
⇔
[
x = 3
x = 6
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 3;x = 6.
Ví dụ 3. Giải phương trình
√
5x− 1−√x− 1 = √2x− 4.
Giải. Điều kiện

5x− 1 ≥ 0
x− 1 ≥ 0
2x− 4 ≥ 0
⇔

x ≥ 1
5
x ≥ 1
x ≥ 2
⇔ x ≥ 2.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√
5x− 1 = √2x− 4 +√x− 1
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 3
⇔ 5x− 1 = 2x− 4 + 2
√
(2x− 4)(x− 1) + x− 1
⇔ x+ 2 =
√
2x2 − 6x+ 4
⇔ (x+ 2)2 = 2x2 − 6x+ 4 (Vì x ≥ 2)
⇔ x2 − 10x = 0
⇔
[
x = 0
x = 10
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm x = 10.
Bài tập. Giải các phương trình sau
1.
√
2x2 + 4x− 1 = x+ 1,
2.
√
x+ 3 +
√
6− x = 3,
3.
√
4x+ 1 +
√
3x− 2 = 5,
4. (x+ 3)
√
10− x2 = x2 − x− 12,
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
2.1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn
Ví dụ 4. Giải phương trình
x
x+ 1
− 2
√
x+ 1
x
= 3.
Giải. Điều kiện x ∈ (−∞;−1) ∪ (0;+∞).
Đặt t =
√
x+ 1
x
, t > 0. Ta có
x
x+ 1
=
1
t2
.
Phương trình đã cho trở thành
1
t2
− 2t = 3
⇔ 2t3 + 3t2 − 1 = 0
⇔ (t+ 1)(2t2 + t− 1) = 0
⇔
 t = −1 (loại)
t =
1
2
Với t =
1
2
thì
√
x+ 1
x
=
1
2
⇔ x+ 1
x
=
1
4
⇔ 4(x+ 1) = x⇔ 3x = −4⇔ x = −4
3
.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = −4
3
.
Ví dụ 5. Giải phương trình
√
x2 − 3x+ 3 +√x2 − 3x+ 6 = 3.
Giải. Ta có

x2 − 3x+ 3 =
(
x− 3
2
)2
+
3
4
> 0 ∀x ∈ R
x2 − 3x+ 6 =
(
x− 3
2
)2
+
15
4
> 0 ∀x ∈ R
Đặt t =
√
x2 − 3x+ 3, t > 0.
4 Giải phương trình chứa căn thức
Phương trình đã cho trở thành
t+
√
t2 + 3 = 3
⇔
√
t2 + 3 = 3− t
⇔
3− t ≥ 0t2 + 3 = 9− 6t+ t2
⇔
t ≤ 3t = 1
⇔ t = 1
Với t = 1 thì
√
x2 − 3x+ 3 = 1⇔ x2 − 3x+ 3 = 1⇔ x2 − 3x+ 2 = 0⇔
[
x = 1
x = 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1;x = 2.
Ví dụ 6. Giải phương trình 5
(√
x+
1
2
√
x
)
= 2x+
1
2x
+ 4.
Giải. Điều kiện x > 0.
Đặt t =
√
x+
1
2
√
x
, t ≥ 2
√√
x · 1
2
√
x
=
√
2.
Khi đó, t2 = x+
1
4x
+ 1 và 2x+
1
2x
= 2t2 − 2. Như vậy phương trình đã cho trở thành
5t = 2t2 − 2 + 4
⇔ 2t2 − 5t+ 2 = 0
⇔
 t = 2
t =
1
2
(loại)
Với t = 2 thì
√
x+
1
2
√
x
= 2
⇔ 2 (√x)2 − 4√x+ 1 = 0
⇔

√
x =
2 +
√
2
2
√
x =
2−√2
2
⇔
 x =
3 + 2
√
2
2
x =
3− 2√2
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x =
3 + 2
√
2
2
, x =
3− 2√2
2
.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 5
Nhận xét. Nếu ta không biết đánh giá t ≥ 2
√√
x · 1
2
√
x
=
√
2 thì đặt điều kiện ít chặt hơn là t > 0.
Sau đó giải như trong ví dụ thì khi t =
1
2
ta sẽ có phương trình
√
x+
1
2
√
x
=
1
2
⇔ 2 (√x)2 −√x+ 1 = 0 (vô nghiệm) .
Ví dụ 7. Giải phương trình
√
x+ 3 +
√
6− x−√(x+ 3)(6− x) = 3.
Giải. Điều kiện −3 ≤ x ≤ 6.
Đặt t =
√
x+ 3 +
√
6− x, t ≥ 0.
Khi đó, t2 = 9 + 2
√
(x+ 3)(6− x) và √(x+ 3)(6− x) = t2 − 9
2
.
Phương trình đã cho trở thành
t− t
2 − 9
2
= 3
⇔ − t2 + 2t+ 3 = 0
⇔
[
t = −1 (loại)
t = 3
Với t = 3 thì
√
x+ 3 +
√
6− x = 3⇔
[
x = 6
x = −3 .
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 6;x = −3.
Nhận xét. Trong phương trình đã cho, người ta có thể biến đổi (x + 3)(6 − x) = −x2 + 3x + 18 để có
được phương trình √
x+ 3 +
√
6− x−
√
−x2 + 3x+ 18 = 3
thoạt nhìn có vẻ "phức tạp". Vì vậy khi gặp phương trình có chứa biểu thức dưới dấu căn là một đa thức
bậc hai hoặc bậc 3 thì ta thử tìm nghiệm của nó và phân tích thành nhân tử để tìm mối liên quan với các
biểu thức còn lại trong phương trình.
Ví dụ 8. Giải phương trình
√
7x+ 7 +
√
7x− 6 + 2√49x2 + 7x− 42 = 181− 14x.
Giải. Điều kiện

7x+ 7 ≥ 0
7x− 6 ≥ 0
49x2 + 7x− 42 ≥ 0
⇔

x ≥ −1
x ≥ 6
7
x ∈ (−∞;−1] ∪
[
6
7
;+∞
) ⇔ x ≥ 67 .
Đặt t =
√
7x+ 7 +
√
7x− 6, t ≥ 0.
Khi đó, t2 = 14x+ 1 + 2
√
49x2 + 7x− 42.
Phương trình đã cho trở thành
t2 + t− 182 = 0
6 Giải phương trình chứa căn thức
⇔
[
t = 13
t = −14 (loại)
Với t = 13 thì
√
7x+ 7 +
√
7x− 6 = 13
⇔ 14x+ 1 + 2
√
49x2 + 7x− 42 = 169
⇔
√
49x2 + 7x− 42 = 84− 7x
⇔
84− 7x ≥ 049x2 + 7x− 42 = 7056− 1176x+ 49x2
⇔
x ≤ 121183x = 7098
⇔
x ≤ 12x = 6
⇔ x = 6.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm x = 6.
Bài tập. Giải các phương trình sau
1. 3x2 + 21x+ 18 + 2
√
x2 + 7x+ 7 = 2,
2.
√
(6− x)(4 + x) = x2 − 2x− 12,
3. (x+ 5)(2− x) = 3√x2 + 3x,
4.
√
3x− 2 +√x− 1 = 4x− 9 + 2√3x2 − 5x+ 2,
5.
√
x− 1 +√x+ 3 + 2√x2 + 2x− 3 = 4− 2x.
2.2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 9. Giải phương trình
√
x+ 3− 3√x = 1.
Giải. Điều kiện x ≥ −3.
Đặt
u =
√
x+ 3, u ≥ 0
v = 3
√
x
. Khi đó, phương trình đã cho trở thành u− v = 1 (1).
Mặt khác, u2 − v3 = 5 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
u− v = 1u2 − v3 = 3 ⇔
u = v + 1−v3 + v2 + 2v − 2 = 0 ⇔

u = v + 1
v = 1
v =
√
2
v = −√2
⇔

u = 2v = 1u = 1 +
√
2
v =
√
2u = 1−
√
2 (loại)
v = −√2
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 7
Với
u = 2v = 1 thì

√
x+ 3 = 2
3
√
x = 1
⇔
x+ 3 = 4x = 1 ⇔
x = 1x = 1 ⇔ x = 1.
Với
u = 1 +
√
2
v =
√
2
thì

√
x+ 3 = 1 +
√
2
3
√
x =
√
2
⇔
x+ 3 = 3 + 2
√
2
x = 2
√
2
⇔ x = 2√2.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1;x = 2
√
2.
Nhận xét. Trong một phương trình, khi ta đặt 2 ẩn phụ thì thu được một phương trình 2 ẩn. Do đó, để
giải được thì ta phải tìm mối liên hệ giữa 2 ẩn phụ là một phương trình thứ hai. Từ đó, ta có hệ phương
trình 2 ẩn. Việc tìm phương trình thứ hai này thường dựa vào biểu thức dưới dấu căn. Cụ thể, trong nhiều
trường hợp, ta dùng các hệ số m,n sao cho khi lần lượt nhân với các biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ
hai dưới dấu căn rồi cộng lại sẽ không còn biến x mà chỉ còn là hằng số.
Ví dụ 10. Giải phương trình
√
3x+ 1− 3√2x− 2 = 2.
Giải. Điều kiện x ≥ −1
3
.
Đặt
u =
√
3x+ 1, u ≥ 0
v = 3
√
2x− 2
.
Khi đó ta có hệ
u− v = 22u2 − 3v3 = 8 ⇔
u = v + 2−3v3 + 2v2 + 8v = 0 ⇔

u = v + 2
v = 0
v = 2
v = −4
3
⇔

u = 2v = 0u = 4v = 2
u =
2
3
v = −4
3
Với
u = 2v = 0 thì

√
3x+ 1 = 2
3
√
2x− 2 = 0
⇔
3x+ 1 = 42x− 2 = 0 ⇔
x = 1x = 1 ⇔ x = 1.
Với
u = 4v = 2 thì

√
3x+ 1 = 4
3
√
2x− 2 = 2
⇔
3x+ 1 = 162x− 2 = 8 ⇔
x = 5x = 5 ⇔ x = 5.
Với

u =
2
3
v = −4
3
thì

√
3x+ 1 =
2
3
3
√
2x− 2 = −4
3
⇔

3x+ 1 =
4
9
2x− 2 = −64
27
⇔

x = − 5
27
x = − 5
27
⇔ x = − 5
27
.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = 1;x = 5;x = − 5
27
.
8 Giải phương trình chứa căn thức
Nhận xét. Để thu được phương trình thứ hai ta lấy 2 số m,n đem nhân với các biểu thức dưới dấu căn
và cộng lại như sau
m(3x+ 1) + n(2x− 2) = 3mx+ 2nx+m− 2n.
Tiếp đến, ta chọn m,n sao cho trong vế phải của đẳng thức trên không còn biến x. Dễ thấy m = 2, n = −3
là 2 số cần chọn. Vậy thì ta có
2(3x+ 1)− 3(2x− 2) = 8
Đây chính là phương trình 2u2 − 3v3 = 8.
Bài tập. Giải các phương trình sau
1. 3
√
2− x = 1−√x− 1,
2.
√
2 + x+ 3
√
1− x = 1,
3.
√
3x2 − 2x+ 15 +√3x2 − 2x+ 8 = 7,
4. 4
√
97− x+ 4√x = 5,
2.3. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc
• Phương trình đồng bậc 2 đối với x, y có dạng: αx2 + βxy + γy2 = 0.
• Phương trình đồng bậc 3 đối với x, y có dạng: αx3 + βx2y + γxy2 + δy3 = 0.
Ví dụ 11. Giải phương trình −2(x2 + 4x− 5) + 20(x− 3) + 6√x2 + 4x− 5.√x− 3 = 0.
Giải. Điều kiện
x2 + 4x− 5 ≥ 0x− 3 ≥ 0 ⇔
x ∈ (−∞;−5] ∪ [1 : +∞)x ≥ 3 ⇔ x ≥ 3.
Đặt
u =
√
x2 + 4x− 5, u ≥ 0
v =
√
x− 3, v ≥ 0
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
− 2u2 + 20v2 + 6uv = 0
⇔ − 2u2 + 6uv + 20v2 = 0
⇔
[
u = 5v
u = −2v
Với u = 5v thì
√
x2 + 4x− 5 = 5√x− 3⇔ x2 + 4x− 5 = 25(x− 3)⇔ x2 − 21x+ 70 = 0⇔
 x =
21 +
√
161
2
x =
21−√161
2
Với u = −2v thì √x2 + 4x− 5 = −2√x− 3⇔
x2 + 4x− 5 = 0x− 3 = 0 vô nghiệm.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x =
21 +
√
161
2
, x =
21−√161
2
.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 9
Nhận xét.
1. Khi đặt u =
√
x2 + 4x− 5 và v = √x− 3 thì hai biểu thức dưới dấu căn không cùng bậc nên việc
khử biến x để tìm phương trình thứ hai như hai ví dụ ở trên là không thể.
2. Mặc dù không tìm thấy phương trình thứ hai để chuyển việc giải phương trình đã cho về giải hệ
phương trình, nhưng với cách đặt ẩn phụ như trên thì phương trình thu được lại là một phương
trình đồng bậc 2. Khi đó, ta giải phương trình đồng bậc này với một ẩn là ẩn chính và ẩn còn lại
xem như tham số.
3. Phương trình đã cho có thể là khó hơn bằng cách viết gọn lại
−2(x2 + 4x− 5) + 20(x− 3) = −2x2 + 12x− 50
và như thế ta có phương trình
−2x2 + 12x− 50 + 6
√
x2 + 4x− 5.√x− 3 = 0.
Đến đây, để giải được như trong ví dụ trên ta phải tìm mối liên hệ giữa 2 biểu thức dưới dấu căn là
x2+4x− 5 (1), x− 3 (2) với biểu thức −2x2+12x− 50 (3). Vấn đề đặt ra là nó có quan hệ như
thế nào? Nhận xét nếu lấy hai biểu thức (1) và (2) nhân với nhau thì ta thu được biểu thức bậc ba,
trong khi biểu thức (3) chỉ là bậc hai. Do đó, chỉ có thể là lấy hai biểu thức (1) và (2) cộng lại với
nhau, tuy nhiên cộng trừ trực tiếp thì ta cũng không thu được kết quả giống với biểu thức (3). Vì
thế ta có thể xem
m(x2 + 4x− 5) + n(x− 3) = −2x2 + 12x− 50.
Từ đó, đồng nhất các hệ số, ta sẽ tìm được m = −2, n = 20.
4. Hãy giải phương trình −2x2 + 12x− 50 + 6√x3 + x2 − 17x+ 15 = 0.
Ví dụ 12. Giải phương trình
6x2 + 4x+ 8
x+ 1
= 5
√
2x2 + 3.
Định hướng giải.
+) Đây phương trình có chứa mẫu nên ta cần đặt điều kiện và dùng phép biến đổi tương đương để "khử
mẫu" thành phương trình
6x2 + 4x+ 8 = 5(x+ 1)
√
2x2 + 3.
+) Phương trình trong Ví dụ 11 có 2 biểu thức chứa căn giúp ta định hướng được là sẽ đặt 2 ẩn phụ là
2 biểu thức chứa căn đó. Còn phương trình ở đây chỉ có một biểu thức chứa căn nên ta có phần lúng
túng. Tuy nhiên, ta cứ đặt ẩn phụ u =
√
2x2 + 3 rồi tìm cách biến đổi tiếp. Khi đó ta có phương
trình
6x2 + 4x+ 8 = 5(x+ 1)u
10 Giải phương trình chứa căn thức
+) Số hạng 5(x+1)u trong phương trình gợi cho ta ý tưởng nếu nó là phương trình đồng bậc thì chỉ có
thể là phương trình đồng bậc 2. Vậy ta tiếp tục đặt v = x+1. Cùng ý định chuyển về phương trình
đồng bậc 2 thì các số hạng vế bên trái phải có dạng αu2 + γv2. Tức là ta cần tìm m,n (nếu có) sao
cho
6x2 + 4x+ 8 = m(2x2 + 3) + n(x+ 1)2.
Khi đó, ta có 6x2+4x+8 = (2m+ n)x2+2nx+3m+ n. Như vậy, đồng nhất các hệ số ta thu được
m = 2, n = 2.
+) Đến đây, ta có phương trình đồng bậc 2 đối với u, v là: 2u2 + 2v2 = 5uv.
Giải. Điều kiện x 6= −1.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
6x2 + 4x+ 8 = 5(x+ 1)
√
2x2 + 3
⇔ 2(x+ 1)2 − 5(x+ 1)
√
2x2 + 3 + 2(2x2 + 3) = 0
⇔
 x+ 1 = 2√2x2 + 3
x+ 1 =
1
2
√
2x2 + 3
Giải phương trình x+ 1 = 2
√
2x2 + 3.
Ta có
x+ 1 = 2
√
2x2 + 3
⇔
x+ 1 ≥ 0(x+ 1)2 = 4(2x2 + 3)
⇔
x ≥ −17x2 − 2x+ 11 = 0 (vô nghiệm)
Giải phương trình x+ 1 =
1
2
√
2x2 + 3.
Ta có
x+ 1 =
1
2
√
2x2 + 3
⇔
x+ 1 ≥ 0(x+ 1)2 = 1
4
(2x2 + 3)
⇔
x ≥ −12x2 + 8x+ 1 = 0
⇔

x ≥ −1 x =
−4 +√14
2
x =
−4−√14
2
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 11
⇔ x = −4−
√
14
2
.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm x =
−4−√14
2
.
Bài tập. Giải các phương trình sau
1. 2x2 + 5x− 1 = 7√x3 − 1,
2. 2(x2 + 2) = 5
√
x3 + 1,
3. x2 − 5x√2x− 3 + 8x− 12 = 0,
4. 5x2 + 2x+ 2 = 5x
√
x2 + x+ 1,
5. 6x2 − 6x+ 5 = 5(x− 1)√2x2 + 2x+ 1,
6.
3x2 + 22x+ 47
x+ 3
= 7
√
5 + x,
7. 3x+ 5
(
1 +
3
x
)
= 8
√
3 + x.
2.4. Đặt ẩn phụ không triệt để
Nhiều khi ta thay thế biểu thức phức tạp trong phương trình bởi ẩn phụ rồi, nhưng phần còn lại của
phương trình không biểu diễn hoàn toàn qua ẩn mới. Khi đó, những biểu thức nào biểu diễn được qua ẩn
phụ thì ta biểu diễn qua ẩn phụ, còn biểu thức nào không biểu diễn được thì để lại. Sau quá trình biến
đổi ta sẽ thu được phương trình có 2 loại ẩn: ẩn phụ và ẩn ban đầu. Ta sẽ xem ẩn ban đầu như là tham
số và giải phương trình này với ẩn còn lại (thông thường là phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ). Từ
đó hy vọng tìm được mối liên hệ đơn giản giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ.
Ví dụ 13. Giải phương trình (4x− 1)√x3 + 1 = 2x3 + 2x+ 1.
Giải. Điều kiện x3 + 1 ≥ 0⇔ x ≥ −1.
Đặt t =
√
x3 + 1, t ≥ 0. Khi đó, x3 = t2 − 1 và phương trình đã cho trở thành
(4x− 1)t = 2(t2 − 1) + 2x+ 1
⇔ 2t2 − (4x− 1)t+ 2x− 1 = 0
⇔
 t =
4x− 1 + 4x− 3
2.2
t =
4x− 1− (4x− 3)
2.2
⇔
 t = 2x− 1
t =
1
2
Với t =
1
2
thì
√
x3 + 1 =
1
2
⇔ x3 + 1 = 1
4
⇔ x = 3
√
−3
4
.
Với t = 2x− 1 thì
√
x3 + 1 = 2x− 1⇔
2x− 1 ≥ 0x3 + 1 = 4x2 − 4x+ 1 ⇔
x ≥
1
2
x3 − 4x2 + 4x = 0
⇔

x ≥ 1
2 x = 0
x = 2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 2;x = 3
√
−3
4
.
12 Giải phương trình chứa căn thức
Bài tập. Giải các phương trình sau
1. (4x− 1)√x2 + 1 = 2x2 + 2x+ 1,
2. 6x2 − 10x+ 5− (4x− 1)√6x2 − 6x+ 5 = 0,
3. 2x2 − 3x+ 2 = x√3x− 2,
4. 2(1− x)√x2 + 2x− 1 = x2 − 2x− 1,
3. Phương pháp nhân lượng liên hợp
Ta đã biết, nếu f(x) là một đa thức có f(a) = 0 thì ta phân tích được f(x) = (x − a).q(x). Vậy khi
f(x) không phải là một đa thức thì với dữ kiện f(a) = 0 ta có được sự phân tích f(x) = (x− a).q(x) nữa
hay không? Trong một số trường hợp đơn giản thì ta vẫn có sự phân tích đó, chẳng hạn
• Với f(x) = √3x+ 1− 4, ta có f(5) = √3.5 + 1− 4 = 0. Và bằng cách nhân với lượng liên hợp ta có
phân tích sau
f(x) =
(√
3x+ 1− 4) (√3x+ 1 + 4)√
3x+ 1 + 4
=
3x− 15√
3x+ 1 + 4
= (x− 5). 3√
3x+ 1 + 4
.
• Với g(x) = 1−√6− x, ta có f(5) = 1−√6− 5 = 0. Và ta cũng có biến đổi
g(x) =
(
1−√6− x) (1 +√6− x)
1 +
√
6− x =
x− 5
1 +
√
6− x = (x− 5)
1
1 +
√
6− x.
Như vậy đối với một số phương trình chứa căn thức mà ta có thể nhẩm được nghiệm x0 thì bằng cách
nhân với lượng liên hợp ta hy vọng có thể biến đổi đưa được về dạng tích (x − x0)f(x) = 0 . Tiếp đến
ta sẽ giải phương trình f(x) = 0 hoặc chứng minh phương trình f(x) = 0 vô nghiệm (bằng cách sử dụng
điều kiện của x để đánh giá f(x) > 0 hoặc f(x) < 0).
Ví dụ 14. Với 2 hàm số f(x), g(x) ở trên ta có f(5) = 0 và g(5) = 0 suy ra f(5) + g(5) = 0. Như thế
x = 5 là nghiệm của phương trình f(x) + g(x) = 0. Vì vậy ta có thể tạo ra phương trình
√
3x+ 1− 4 + 1−√6− x = 0.
Biến đổi một chút ta sẽ có phương trình
√
3x+ 1−√6− x = 3 (∗).
Đối với phương trình (∗) ta giải được dễ dàng bằng phương pháp biến đổi tương đương. Tuy nhiên, ở đây,
khi đã biết nguồn gốc của bài toán rồi, liệu ta có thể giải bằng cách nhân với lượng liên hợp hay không?
Giải. Điều kiện
3x+ 1 ≥ 06− x ≥ 0 ⇔
x ≥ −
1
3
x ≤ 6
⇔ −1
3
≤ x ≤ 6.
Khi đó phương trình (∗) tương đương với
√
3x+ 1− 4 + 1−√6− x = 0
3. Phương pháp nhân lượng liên hợp 13
⇔ 3x− 15√
3x+ 1 + 4
+
x− 5
1 +
√
6− x = 0
⇔ (x− 5)
(
3√
3x+ 1 + 4
+
1
1 +
√
6− x
)
= 0
⇔ x− 5 = 0
(
Vì
3√
3x+ 1 + 4
+
1
1 +
√
6− x > 0 ∀x ∈
[
−1
3
; 6
])
⇔ x = 5.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 15. Giải phương trình
√
3x+ 1−√6− x+ 3x2 − 14x− 8 = 0
Giải. Điều kiện
3x+ 1 ≥ 06− x ≥ 0 ⇔
x ≥ −
1
3
x ≤ 6
⇔ −1
3
≤ x ≤ 6.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√
3x+ 1− 4 + 1−√6− x+ 3x2 − 14x− 5 = 0
⇔ 3x− 15√
3x+ 1 + 4
+
x− 5
1 +
√
6− x + (x− 5)(3x+ 1) = 0
⇔ (x− 5)
(
3√
3x+ 1 + 4
+
1
1 +
√
6− x + 3x+ 1
)
= 0
⇔ x− 5 = 0
(
Vì
3√
3x+ 1 + 4
+
1
1 +
√
6− x + 3x+ 1 > 0 ∀x ∈
[
−1
3
; 6
])
⇔ x = 5.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Nhận xét.
1. Phương pháp biến đổi tương đương sẽ không hiệu quả, vì khi bình phương hai vế ta sẽ thu được
phương trình có bậc cao và chưa biết cách giải.
2. Lý do để biến đổi phương trình đã cho tương đương với phương trình
√
3x+ 1− 4 + 1−√6− x+ 3x2 − 14x− 5 = 0
là ta đã nhẩm được x = 5 là nghiệm của phương trình. Hơn nữa, khi x = 5 thì
√
3x+ 1 =
√
3.5 + 1 = 4 và
√
6− x = √6− 5 = 1
cho nên ta phải làm xuất hiện
√
3x+ 1− 4 và 1−√6− x (hoặc √6− x− 1)
để khi nhân mỗi biểu thức với lượng liên hợp tương ứng sẽ tạo ra nhân tử chung là (x− 5).
14 Giải phương trình chứa căn thức
Ví dụ 16. Giải phương trình 2 3
√
3x− 2− 3√6− 5x+ 16 = 0.
Định hướng giải.
+) Nhẩm được x = −2 là một nghiệm của phương trình.
+) Với x = −2 ta tính được 2 3√3(−2)− 2 = −4 và 3√6− 5(−2) = 12.
+) Ta sẽ biến đổi phương trình đã cho thành
2 3
√
3x− 2 + 4 + 12− 3√6− 5x+ 16− 16 = 0
Giải. Điều kiện x ≤ 6
5
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
2 3
√
3x− 2 + 4 + 12− 3√6− 5x = 0
⇔ 2 ( 3√3x− 2 + 2)+ 3 (4−√6− 5x) = 0
⇔ 2. 3x− 2 + 2
3(
3
√
3x− 2)2 − 2 3√3x− 2 + 22 + 3.4
2 − (6− 5x)
4 +
√
6− 5x = 0
⇔ 6(x+ 2)(
3
√
3x− 2)2 − 2 3√3x− 2 + 4 + 15(x+ 2)4 +√6− 5x = 0
⇔ (x+ 2)
(
6(
3
√
3x− 2)2 − 2 3√3x− 2 + 4 + 154 +√6− 5x
)
= 0 (∗)
Ta có
(
3
√
3x− 2)2 − 2 3√3x− 2 + 4 = ( 3√3x− 2 + 1)2 + 3 > 0 ∀x. Do đó,
6(
3
√
3x− 2)2 − 2 3√3x− 2 + 4 + 154 +√6− 5x > 0 ∀x ≤ 65 .
Vì thế, (∗)⇔ x+ 2 = 0⇔ x = −2.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −2.
Ví dụ 17. Giải phương trình
√
3x2 − 5x+ 1−√x2 − 2 =√3(x2 − x− 1)−√x2 − 3x+ 4.
Giải. Điều kiện x ∈
(
−∞; 1−
√
5
2
]
∪
[
1 +
√
5
2
;+∞
)
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√
3x2 − 5x+ 1−
√
3(x2 − x− 1) +
√
x2 − 3x+ 4−
√
x2 − 2 = 0
⇔ −2x+ 4√
3x2 − 5x+ 1 +√3(x2 − x− 1) + −3x+ 6√x2 − 3x+ 4 +√x2 − 2 = 0
⇔ (−x+ 2)
[
2√
3x2 − 5x+ 1 +√3(x2 − x− 1) + 3√x2 − 3x+ 4 +√x2 − 2
]
︸ ︷︷ ︸
>0
= 0
3. Phương pháp nhân lượng liên hợp 15
⇔ − x+ 2 = 0
⇔ x = 2.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.
Nhận xét.
1. Trong ví dụ này ta đã phát hiện
(3x2 − 5x+ 1)− 3(x2 − x− 1) = 2(−x+ 2) và (x2 − 3x+ 4)− (x2 − 2) = 3(−x+ 2)
nên thực hiện phép nhóm và nhân lượng liên hợp như trên thì sẽ xuất hiện nhân tử chung là (−x+2).
2. Ta có thể giải như các ví dụ ở trên nhưng sẽ có lời giải không ngắn gọn. Như thế khi thêm số hạng
để nhân chia với biểu thức liên hợp không phải lúc nào ta cũng thêm vào một số là giá trị của căn
thức tại nghiệm nhẩm được của phương trình mà ta thêm vào một biểu thức sao cho khi nhân chia
với biểu thức liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung là được.
Ví dụ 18. Giải phương trình
√
4x+ 1−√3x− 2 = x+ 3
5
.
Giải. Điều kiện x ≥ 2
3
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
x+ 3√
4x+ 1 +
√
3x− 2 =
x+ 3
5
⇔ (x+ 3)︸ ︷︷ ︸
>0
(
1√
4x+ 1 +
√
3x− 2 −
1
5
)
= 0
⇔ 1√
4x+ 1 +
√
3x− 2 −
1
5
= 0
⇔ √4x+ 1 +√3x− 2 = 5
⇔ 7x− 1 + 2
√
(4x+ 1)(3x− 2) = 25
⇔ 2
√
12x2 − 5x− 2 = 26− 7x
⇔
26− 7x ≥ 04(12x2 − 5x− 2) = 676− 364x+ 49x2
⇔
x ≤
26
7
x2 − 344x+ 684 = 0
⇔

x ≤ 26
7 x = 2
x = 342
⇔ x = 2.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
16 Giải phương trình chứa căn thức
Cách 2.
Điều kiện x ≥ 2
3
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√
4x+ 1− 3 + 2−√3x− 2 = x+ 3
5
− 1
⇔ 4x− 8√
4x+ 1 + 3
+
6− 3x
2 +
√
3x− 2 =
x− 2
5
⇔ (x− 2)
(
4√
4x+ 1 + 3
− 3
2 +
√
3x− 2 −
1
5
)
= 0
⇔
 x− 2 = 04√
4x+ 1 + 3
− 3
2 +
√
3x− 2 −
1
5
= 0 (∗)
Đến đây, việc giải hoặc chứng minh phương trình (∗) vô nghiệm không hề dễ dàng. Vì vậy, một lần
nữa cho ta thấy không phải lúc nào ta cũng thêm bớt hằng số như trong các Ví dụ 15, 16.
Bài tập.
Bài 1. Giải phương trình
√
5x− 1 + 3√9− x = 2x2 + 3x− 1.
Bài 2. Giải phương trình
√
x− 2 +√4− x = 2x2 − 5x− 1.
Bài 3. Giải phương trình
√
2x− 1 + x2 − 3x+ 1 = 0.
Bài 4. Giải phương trình 3
(
2 +
√
x− 2) = 2x+√x+ 6.
Bài 5. Giải phương trình 9
(√
4x− 1−√3x− 2) = x+ 3.
Bài 6. Giải phương trình
√
3x2 − 7x+ 3−√x2 − 2 = √3x2 − 5x− 1−√x2 − 3x+ 4.