Tài liệu Đại số sơ cấp

 1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG 
KHOA SƯ PHẠM 
HOÀNG HUY SƠN 
ĐẠI SỐ SƠ CẤP 
AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2009 
 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
 Tài liệu “Đại số sơ cấp” được viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán. 
Nội dung của tài liệu đề cập đến các vấn đề: Hàm số và đồ thị; Phương trình và hệ phương 
trình; Bất đẳng thức và bất phương trình. 
 Một số nội dung đề cập trong tài liệu, sinh viên đã được học sơ lược trong chương trình 
Toán phổ thông. Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt môn Toán khi ra trường, đòi hỏi 
sinh viên phải nắm vững lý thuyết và hoàn thiện các phương pháp giải toán sơ cấp. 
 Xuất phát từ yêu cầu trên, chúng tôi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống về cơ sở lý 
thuyết của các khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương 
trình. Các nội dung chiếm một phần quan trọng trong chương trình Toán phổ thông như: 
Phương trình, bất phương trình vô tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ và logarit; Phương 
trình lượng giác, chúng tôi trình bày thành các chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu. 
 Tài liệu được trình bày thành 6 chương: 
1. Chương 1: Hàm số; 
2. Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình; 
3. Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình; 
4. Chương 4: Phương trình, bất phương trình vô tỉ; 
5. Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit; 
6. Chương 6: Phương trình lượng giác. 
 Một yêu cầu hết sức quan trọng trong giải toán là: Việc trình bày bài giải phải chặt chẽ và 
logic. Để rèn cho sinh viên những kỹ năng đó, chúng tôi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ 
về thực hành giải toán. Các ví dụ chiếm một khối lượng đáng kể trong tài liệu, giúp sinh viên 
có thể tự nghiên cứu tài liệu trước khi đến lớp. Điều này phù hợp với phương thức đào tạo 
theo hệ thống tín chỉ ở trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010. 
 Cuối mỗi chương có hệ thống bài tập đã được lựa chọn, nhiều về số lượng, đủ các mức 
độ từ dễ đến khó (đối với một số bài khó, chúng tôi có hướng dẫn cách giải), yêu cầu sinh viên 
tự giải để rèn kỹ năng tìm lời giải một bài toán. Với khối lượng quy định là 5 đơn vị học trình, 
tài liệu không thể đề cập hết tất cả các dạng toán hay gặp của các nội dung về phương trình, 
bất phương trình và hệ phương trình như một số tài liệu khác. Chúng tôi mong muốn ở sinh 
viên là tự tổng kết và đúc rút cho mình những kỹ năng giải toán thông qua tự giải các bài tập 
trong tài liệu. 
 Cuối cùng, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quí báu cho nội dung cũng 
như hình thức trình bày trong tài liệu của các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán và Hội 
đồng Khoa học Khoa Sư phạm cũng như các bạn sinh viên để tài liệu này có thể được hoàn 
chỉnh tốt hơn. 
 An Giang, tháng 02 năm 2009 
 Tác giả 
 3 
MỤC LỤC 
 Trang 
LỜI NÓI ĐẦU 1 
BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU 4 
CHƯƠNG I. HÀM SỐ 5 
 §1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ 5 
 1. Định nghĩa hàm số 5 
 2. Đồ thị của hàm số 6 
 3. Hàm số đơn điệu 6 
 4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 8 
 5. Hàm số tuần hoàn 9 
 6. Hàm số hợp 10 
 7. Hàm số ngược 11 
 8. Hàm số sơ cấp cơ bản 13 
 §2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 18 
 1. Trục đối xứng, tâm đối xứng của đồ thị 18 
 2. Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 
 3. Phép tịnh tiến song song trục tung 21 
 4. Phép tịnh tiến song song trục hoành 21 
 5. Một số ví dụ 22 
 6. Đồ thị của một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23 
 §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 28 
 1. Định nghĩa 28 
 2. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 28 
 3. Một số ví dụ 29 
 BÀI TẬP CHƯƠNG I 37 
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 42 
 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 42 
 1. Phương trình 42 
 2. Hệ phương trình – Tuyển phương trình 45 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 46 
 1. Phương trình bậc nhất một ẩn 46 
 2. Phương trình bậc hai một ẩn 50 
 3. Một số phương trình bậc bốn có thể đưa về phương trình bậc hai một ẩn 55 
 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 59 
 1. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 59 
 2. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 61 
 3. Hệ phương trình đối xứng 63 
 4. Giải một số hệ khác 71 
 BÀI TẬP CHƯƠNG II 78 
CHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 85 
 §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 85 
 1. Định nghĩa 85 
 2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 85 
 3. Một số bất đẳng thức quan trọng 86 
 4. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 86 
 §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 96 
 1. Định nghĩa 96 
 2. Sự tương đương của các bất phương trình 97 
 3. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vào việc giải phương trình và bất 
 4 
 phương trình 97 
 §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 98 
 1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn 98 
 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 101 
 BÀI TẬP CHƯƠNG III 111 
CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 116 
 §1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 116 
 1. Định nghĩa và các định lý 116 
 2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 117 
 §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 132 
 1. Định nghĩa và các định lý 132 
 2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 133 
 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 140 
CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 146 
 §1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT 146 
 1. Định nghĩa 146 
 2. Các tính chất của logarit 146 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 147 
 1. Định nghĩa 147 
 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 147 
 3. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ 158 
 §3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 166 
 1. Định nghĩa 166 
 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 166 
 3. Một số phương pháp giải bất phương trình logarit 177 
 BÀI TẬP CHƯƠNG V 184 
CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 192 
 §1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 192 
 1. Công thức cộng 192 
 2. Công thức nhân 192 
 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 193 
 4. Công thức biến đổi tổng thành tích 193 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 194 
 1. Phương trình sin x a= 194 
 2. Phương trình cos x a= 195 
 3. Phương trình tan x a= 195 
 4. Phương trình cot x a= 195 
 §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 196 
 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác 196 
 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 197 
 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x 198 
 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x 200 
 §4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 202 
 1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 202 
 2. Dạng phân thức 208 
 3. Dạng chứa tan x và cot x 209 
 4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt 213 
 5. Một số phương trình chứa tham số 214 
 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 217 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 220 
 5 
BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG 
TRONG TÀI LIỆU 
:ℕ Tập hợp các số tự nhiên: { }0;1;2;... . 
:ℤ Tập hợp các số nguyên: { }...; 2; 1;0;1;2;... .− − 
ℚ : Tập hợp các số hữu tỉ: / , , 0 .a a b b
b
 
∈ ≠ 
 
ℤ 
:ℝ Tập hợp các số thực. 
* :ℝ Tập hợp các số thực khác không. 
:+ℝ Tập hợp các số thực dương. 
1
:
n
∑ Phép lấy tổng từ 1 đến .n 
 { }... / ... :Tập hợp. 
:fT Tập (miền) giá trị của hàm số .f 
( ) :
x D
Max f x
∈
 Giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập .D 
( ) :
x D
Min f x
∈
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập .D 
:∈ Thuộc. 
, :⊆ ⊂ Tập con. 
∅ : Tập hợp rỗng. 
:∀ Mọi. 
:≠ Khác. 
\: Hiệu của hai tập hợp. 
:∪ Hợp của hai tập hợp. 
:∩ Giao của hai tập hợp. 
1
:
n
∪ Phép lấy hợp từ 1 đến .n 
1
:
n
∩ Phép lấy giao từ 1 đến .n 
:∨ Hoặc (tuyển của hai mệnh đề). 
:⇒ Phép kéo theo, phương trình hệ quả. 
:⇔ Phép tương đương (khi và chỉ khi), phương trình tương đương. 
Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh. 
 6 
CHƯƠNG I. HÀM SỐ 
 §1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ 
1. Định nghĩa 
Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗi x X∈ 
với một và chỉ một y Y∈ thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào ,Y kí hiệu 
:
( )
f X Y
x y f x
→
=֏
Nếu ,X Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong chương này chúng ta chỉ xét 
các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là ; .X Y⊆ ⊆ℝ ℝ 
X được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số .f (Người ta hay dùng kí hiệu 
tập xác định của hàm số là ).D 
 Số thực x X∈ được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực 
( )y f x Y= ∈ được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm .x Tập hợp tất cả các giá trị ( )f x khi 
x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f và được kí 
hiệu là ,fT (như vậy ( ){ }| ( )).fT f x x X f X= ∈ = 
Hiển nhiên .fT Y⊆ Chú ý rằng fT có thể là một tập hợp con thực sự của Y hoặc bằng 
tập .Y 
Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dưới dạng ( )x f x֏ hoặc ( )y f x= 
mà không nêu rõ tập xác định X và tập hợp Y chứa tập các giá trị của .f Khi đó, ta hiểu rằng 
Y = ℝ và X là tập hợp các số thực x ∈ℝ sao cho quy tắc đã cho thì ( )f x tồn tại. 
 Ví dụ 1. Cho hàm số 2( ) 1.y f x x= = + Theo cách hiểu trên thì ;Y = ℝ tập xác định của f là 
,D = ℝ tập các giá trị của f là { } [ )2 1| 1; .fT x x= + ∈ = +∞ℝ 
Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) 1 .f x
x
= Khi đó, tập xác định { }\ 0 ,D = ℝ tập giá trị là fT = { }\ 0 .ℝ 
Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 21 .f x x= − 
Tập xác định [ ] [ ]1;1 , 0;1 .fD T= − = 
Ví dụ 4. Tìm tập giá trị của các hàm số 
( )
( )
2
2
1
. ;
1
sin 2cos 1
. .
sin cos 2
x x
a y f x
x x
x xb y f x
x x
− +
= =
+ +
+ +
= =
+ +
Giải. 
2
2
1
.
1
x x
a y
x x
− +
=
+ +
. Hàm số có tập xác định .D = ℝ 
 7 
Giả sử 0 .fy T∈ Khi đó
2
0 2
1(1)
1
x xy
x x
− +
=
+ +
 có nghiệm đối với x . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0 01 1 1 1 1 1 0 2 .y x x x x y x y x y⇔ + + = − + ⇔ − + + + − = 
Xét ( )0 01 0 1; 2 2 0 0.y y x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Vậy 1 .fT∈ 
Xét 0 01 0 1.y y− ≠ ⇔ ≠ Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi 
( ) ( )2 2 20 0 0 0 011 4 1 0 3 10 3 0 3.3y y y y y+ − − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy 1[ ;3].
3f
T = 
b. Tập xác định của hàm số đã cho là .D = ℝ Cũng tương tự như câu a. 0y thuộc tập giá trị 
của hàm số đã cho khi và chỉ khi ( )0 sin 2cos 1 1
sin cos 2
x xy
x x
+ +
=
+ +
 có nghiệm đối với x 
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01 sin cos 2 sin 2cos 1 1 sin 2 cos 1 2 .y x x x x y x y x y⇔ + + = + + ⇔ − + − = − 
(1) có nghiệm khi và chỉ khi 
( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0 0 01 2 1 2 2 0 2 1.y y y y y y− + − ≥ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Vậy [ ]2;1 .fT = − 
Ví dụ 5. Tìm tập giá trị của hàm số 2
2( ) cos .
1
xy f x
x
= =
+
Tập xác định của hàm số là .D = ℝ 
Đặt 2
2
1
x
t
x
=
+
, xem t là hàm số của biến x, áp dụng phương pháp đã trình bày ở ví dụ 4.a. ta 
được với x ∈ℝ thì [ 1;1].t ∈ − Miền giá trị của hàm số 2
2( ) cos
1
xy f x
x
= =
+
 trên tập xác định 
D = ℝ cũng chính là miền giá trị của hàm số cosy t= với [ 1;1].t ∈ − Từ đó hàm số 
( ) 22cos1
xy f x
x
= =
+
 có tập giá trị là đoạn [ ]cos1;1 . 
2. Đồ thị của hàm số 
 Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định ,D ta gọi tập hợp các điểm ( )( );x f x với x D∀ ∈ 
là đồ thị của hàm số ( ).y f x= 
 Việc biểu diễn các điểm ( )( );x f x thuộc đồ thị của hàm số ( )y f x= lên mặt phẳng tọa 
độ Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số. 
Chú ý rằng một đường ( )ζ (đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ chỉ 
có thể là đồ thị của một hàm số nào đó, nếu nó cắt một đường thẳng cùng phương với trục Oy 
tại không quá tại một điểm. 
 8 
3. Hàm số đơn điệu 
 3.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định là tập D, khoảng ( );a b là tập con của 
D. Khi đó ta có 
Hàm số ( )y f x= gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng ( );a b , nếu với 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ; , .x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < 
Hàm số ( )y f x= gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( );a b , nếu với 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ; , .x x a b x x f x f x∀ ∈ 
Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( );a b thì ta nói hàm số đơn điệu 
trên khoảng đó. 
 3.2. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Hàm số 3y x= đồng biến trên toàn bộ tập xác định .ℝ 
Ví dụ 2. Hàm số 3 1
2
xy
x
+
=
−
 nghịch biến trên từng khoảng xác định ( ) ( ); 2 ; 2; .−∞ +∞ 
Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau 
3.3. Tính chất 
 3.3.1. Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số 
( )y f x c= + (c là hằng số) cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b . 
 3.3.2. Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số 
( )y kf x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b nếu 0k > ; hàm số ( )y kf x= nghịch 
biến (đồng biến) trên khoảng ( );a b nếu 0.k < 
 3.3.3. Nếu hàm số ( )y f x= và ( )y g x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b thì 
hàm số ( ) ( )y f x g x= + đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b . 
 3.3.4. Nếu hàm số ( )y f x= và ( )y g x= không âm trên khoảng ( );a b và cùng đồng biến 
(nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số ( ) ( ).y f x g x= đồng biến (nghịch biến) trên 
khoảng ( );a b . 
Chú ý. Đồ thị của hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( );a b cắt đường thẳng cùng 
phương với trục Ox nhiều nhất tại một điểm. 
Giả sử hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng ( );a b ; hàm số ( )y g x= nghịch biến 
trên khoảng ( ); .a b Khi đó trên khoảng ( ; ),a b đồ thị của các hàm số ( )y f x= và ( )y g x= 
cắt nhau không quá tại một điểm. 
Áp dụng. Tìm x thỏa mãn 25 3 .x x− = − 
Để ý rằng hàm số ( ) 25xy f x −= = là hàm số đồng biến trên ℝ , còn hàm số ( ) 3y g x x= = − 
nghịch biến trên ℝ . 
 9 
Dễ thấy 2x = thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy, 2x = là nghiệm duy nhất của phương 
trình. 
4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 
 4.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định trên .D 
Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x D∈ , ta có x D− ∈ và ( ) ( ).f x f x− = 
Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x D∈ , ta có x D− ∈ và ( ) ( ).f x f x− = − 
 4.2. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 1 1 .y f x x x= = + − − 
Tập xác định của hàm số là [ ]1;1− nên dễ thấy 
, [ 1;1] [ 1;1]x x x∀ ∈ − ⇒ − ∈ − và ( ) ( ) ( )1 1 1 1 .f x x x x x f x− = − − + = − + − − = − 
Vậy f là hàm số lẻ. 
 Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( )
2 1
.
1
xy f x
x
+
= =
+
Tập xác định { }\ 1 .D = −ℝ 
Ta có 1 D∈ nhưng 1 ,D− ∉ nên hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn cũng như hàm số 
lẻ. 
 Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 2 21 1.y f x x x x x= = + + + − + 
Tập xác định ,D = ℝ nên .x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ 
Ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 1 1 1 1 .x D f x x x x x x x x x f x∀ ∈ − = − + − + + − − − + = − + + + + = Vậy 
hàm số đã cho là hàm số chẵn. 
 Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 2 4 .y f x x x= = − 
Tập xác định ,D = ℝ do đó x D∈ thì .x D− ∈ 
Nhưng ( ) ( )1 3 ; 1 5,f f= − − = nên ( ) ( )1 1 .f f≠ ± − 
Vậy, f không phải hàm số chẵn cũng như hàm số lẻ. 
4.3. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ 
Giả sử hàm số ( )y f x= có tập xác định D là hàm số chẵn và có đồ thị là ( ).G Với mỗi 
điểm ( )0 0;M x y thuộc đồ thị ( ) ,G ta xét điểm đối xứng với nó qua trục tung là ( )0 0' ; .M x y− 
Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có 0x D− ∈ và ( ) ( )0 0 .f x f x− = Do đó 
( ) ( ) ( )0 0 0 0 ' .M G y f x y f x M G∈ ⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈ 
Điều đó chứng tỏ ( )G có trục đối xứng là trục tung. 
 10 
Nếu f là hàm số lẻ thì lí luận tương tự, ta cũng được ( )G có tâm đối xứng là gốc tọa độ .O 
5. Hàm số tuần hoàn 
 5.1. Định ... 
x
≤ ≤
 ≤ ≤
Khi đó 2 21 cos sin cos sin .x x x x= + ≤ + 
Như vậy 1Miny = đạt tại chẳng hạn 0.x = 
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có 
( ) ( ) ( )2 22 2cos sin 1 1 cos sin
2 2 sin 2 2 .
4
y x x x x
x
 
= + ≤ + +
  
pi 
= + ≤ 
 
Dấu " "= xảy ra chẳng hạn tại .
4
x
pi
= Vậy, 2 2Maxy = đạt tại .
4
x
pi
= 
Ví dụ 5. Cho phương trình 
2 2
2
123 3 4 0x mx m
m
− + − + = (1) 
Hãy tìm m để biểu thức 3 31 2A x x= + đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Với 1 2,x x là hai 
nghiệm của phương trình (1). 
Giải. Phương trình đã cho có nghiệm 1 2,x x khi và chỉ khi 
2 2 2
2
12
' 9 12 4 0 4 12
2 3 2
2 2 3
2 2 3
m m m
m
m
m
m
 ∆ = − − + ≥ ⇔ ≤ ≤ 
 

− ≤ ≤ −
⇔ ≤ ≤ ⇔ 
≤ ≤
Ta có ( ) ( )33 31 2 1 2 1 2 1 2 33 .2 2
mA x x x x x x x x
m
= + = + − + = − 
Xét hàm số ( ) 3
2 2
my f m
m
= = − trên miền 2 3; 2 2;2 3 .D    = − − ∪    
 33 
2
1 3
' 0, ,
2 2
y m D
m
= + > ∀ ∈ suy ra hàm số ( )f m tăng trong 2 3; 2 − −  và 2;2 3 .   
Ta có ( ) ( )1 12 2 .
4 4
f f− = − < = 
Vậy, khi 2 3m = − thì A đạt giá trị nhỏ nhất ; 
 2 3m = thì A đạt giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 6. Cho hai số ,x y thỏa mãn 
2 2
2
18 4
4
x y
x
+ + = . 
Xác định ,x y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải. 
Ta có ( )2 2 2 2 22 21 18 4 4 2 4 4 4 2 04 4x y x x y xy xyx x + + = ⇔ + − + + + − − =   
( )
2
21 14 2 2 2 2
2 2
xy x x y xy
x
 
⇔ = − + + − ≥ − ⇔ ≥ − 
 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
1 1 12
2 2 2
1 12
x x x
x
y yx y
  
= = = −  
⇔ ∨  
  = − =− =  
Vậy, giá trị nhỏ nhất của xy là 1
2
− , đạt được khi và chỉ khi 
 ( ) 1; ; 1
2
x y  = − 
 
 hoặc ( ) 1; ;1
2
x y  = − 
 
. 
Ví dụ 7. Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn 3a b c+ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
a a a b b b c c c
P
a b c
+ + + + + + + + +
= + +
+ + +
. 
Giải. 
Ta có 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
a a a b b b c c c
P
a b c
+ + + + + + + + +
= + +
+ + +
 =
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
+ + +
+ + + + +
+ + +
. 
Đặt T =
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
+ + +
+ +
+ + +
. 
Xét hàm số 
2
1( )
1
xf x
x
+
=
+
 có tập xác định là D = ℝ . 
 34 
2
2
2 2 2
1 ( 1)
1 1
' ( )
1 ( 1) 1
x
x x
x xf x
x x x
+ − +
+
−
= =
+ + +
. 
' ( ) 0 1f x x= ⇔ = . 
Như vậy, hàm số chỉ có một điểm tới hạn duy nhất và lập bảng biến thiên của hàm số 
2
1( )
1
xf x
x
+
=
+
 ta được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 1x = , giá trị lớn nhất là 2. Vậy, ta có 
( ) 2f x ≤ với mọi x ∈ℝ . 
Suy ra 
2
1 2 . (1)
1
a
a
+ ≤
+
2
1 2 . (2) 
1
b
b
+ ≤
+
2
c +1 2 . (3)
c 1
≤
+
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được 3 2T ≤ (4) 
Theo giả thiết 3a b c+ + ≤ (5) 
Cộng (4) và (5) theo vế, ta được 3 2 3P ≤ + . 
Đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = . 
Vậy, 3 2 3MaxP = + . 
Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
( ) 3 4 1 15 8 1y f x x x x x= = + − − + + − − . 
Giải. 
Điều kiện: 1x ≥ . 
Ta có ( ) 3 4 1 15 8 1f x x x x x= + − − + + − − 
 1 4 1 4 1 8 1 16x x x x= − − − + + − − − + 
 ( ) ( )2 21 2 1 4x x= − − + − − 
1 2 1 4
1 2 4 1 1 2 4 1 2.
x x
x x x x
= − − + − −
= − − + − − ≥ − − + − − =
( ) ( ) ( )1 2 . 4 1 0 2 1 42 5 17
11
x x xf x x
xx
 − − − − ≥ ≤ − ≤ 
= ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
≥≥ 
. 
 35 
Vậy, ( )
[5;7]
= 2.
x
Min f x
∈
Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2 2
3 4y xy
u
x y
−
=
+
. 
Giải. 
Điều kiện: 2 2 0x y+ ≠ . Ta giả sử 0,x ≠ khi đó, chia tử và mẫu của u cho 2x ta được 
2
2
3 4
.
1
y y
x x
u
y
x
 
− 
 
=
 
+  
 
Đặt ,
y
t
x
= khi đó 
2
2
3 4
1
t t
u
t
−
=
+
. 
Giả sử 0u là một giá trị bất kì của hàm số 
2
2
3 4
1
t t
u
t
−
=
+
. Khi đó, tồn tại t ∈ℝ sao cho phương 
trình ( ) 20 03 4 0u t t u− + + = (*) có nghiệm .t 
· 0 3u = , (*) trở thành 4t + 3 = 0 
3
4
t⇔ = − . Do đó nhận 0 3u = . 
· 0 3,u ≠ (*) có nghiệm khi và chỉ khi ( )0 04 3 0u u− − ≥ 
2
0 0
0
3 4 0
1 4.
u u
u
⇔ − + + ≥
⇔ − ≤ ≤
Do đó, với 01 4u− ≤ ≤ thì (*) có nghiệm. Từ đó suy ra 1 4u− ≤ ≤ với mọi ( ; )x y thỏa 
2 2 0x y+ ≠ . 
Vậy, 1Minu = − và 4.Maxu = 
Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 1 3 1 4 1p x y z= + + + + + 
Trong đó , ,x y z là ba số thực không âm thỏa 4.x y z+ + = 
Giải. 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
1 1 1( 2, 3, 4); , ,
2 3 4
x y z
 
+ + +  
 
Ta có 2 1 1 1 13 183(2 3 4) 9 4
2 3 4 12 4
p x y z   ≤ + + + + + + + = + =   
   
183
.
2
p⇒ ≤ 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 36 
4;( , , 0)
11 1 13
6132 4 12
2 3 4 9 108
x y z x y z
yx z x y z
+ + = ≥

 ++ + + + +
 = = = =

17
27
49
36
217
108
x
y
z

=


⇔ =


=

Vậy, 183 .
2
Maxp = 
Mặt khác, ta đặt 2 1, 3 1, 4 1, , , 1.a x b y z z a b c= + = + = + ≥ 
2 2 2 2 2( ) 2( )p a b c a b c ab bc ca= + + = + + + + + (1) 
Mà 2 2 2 3 2( ) ( 2 ) 3 2.4 11 (2)a b c x y z y z+ + = + + + + + ≥ + = 
Do , , 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 0a b c a b b c c a≥ ⇒ − − + − − + − − ≥ 
2( ) 3 2 3ab bc ca a b c p⇔ + + ≥ + + − = − (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra 2 211 2(2 3) 4 5 0 5.p p p p p≥ + − ⇔ − − ≥ ⇒ ≥ 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
4
0.
x
y z
=

= =
Vậy, 5.Minp = 
Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 ( 1 2 3)T yz x zx y xy z
xyz
= − + − + −
Giải. 
Điều kiện: 1, 2, 3.x y z≥ ≥ ≥ 
Biểu thức được viết lại 21 3yx zT
x y z
−− −
= + + 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với hai số không âm ( 1);1x − ta được 
1 11 ( 1).1
2 2
1 1
.
2
x x
x x
x
x
− +
− = − ≤ =
−
⇔ ≤
Lập luận tương tự như trên, ta cũng có 
 37 
2 1
2 2
3 1
2 3
y
y
z
z
−
≤
− ≤
Như vậy, ta được 1 1 1 .
2 2 2 2 3
T ≤ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 1
2
2 2
4
3 3
6.
1, 2, 3
x
x
y
y
z
z
x y z
− =
=
− = 
⇔ = 
− = 
= ≥ ≥ ≥
Vậy, 1 1 1 .
2 2 2 2 3
MaxT = + +
2.4. Phương pháp tọa độ véc tơ 
Ta có các bất đẳng thức về véc tơ như sau 
· a b a b+ ≤ +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,a b
 cùng hướng. 
· a b a b− ≤ −
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,a b
 cùng hướng. 
· . .a b a b≤
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,a b
 cùng phương. 
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2 2( ) 2 2 2 2y f x x x x x= = + + + − + 
Giải. 
Ta có 
2 2
2 2
2 2 ( 1) 1 0,
2 2 ( 1) 1 0, .
x x x x
x x x x
+ + = + + > ∀ ∈
− + = − + > ∀ ∈
ℝ
ℝ
Ta viết lại hàm số như sau 
( ) ( )2 22 2( ) 1 1 1 1y f x x x= = + + + − + 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy xét hai véc tơ ( 1;1), (1 ;1)u x v x= + = −
Khi đó 
( ) ( )2 2(2;2), 1 1, 1 1
2 2.
u v u x v x
u v
+ = = + + = − +
+ =
Áp dụng bất đẳng thức u v u v+ ≤ +
 , ta có 
 38 
2 2( ) 2 2 2 2 2 2.y f x x x x x= = + + + − + ≥ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ ,u v
 cùng hướng. Vì hai véc tơ ,u v
 có tung độ 
bằng nhau nên hoành độ cũng phải bằng nhau, như vậy ta có 
1 1 0.x x x+ = − ⇔ = 
Vậy, ( ) 2 2,Minf x = đạt tại 0.x = 
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
( ) 17 33y f x x x= = + + − 
Giải. 
Điều kiện: 17 33.x− ≤ ≤ 
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy xét hai véc tơ ( 17; 33 ), (1;1).u x x v= + − =
Khi đó 
. 17.1 33 .1 ( )u v x x f x= + + − =
17 33 5 2
2.
u x x
v
= + + − =
=
Áp dụng bất đẳng thức: . .u v u v≤
Ta được 
( ) 17 33 10.y f x x x= = + + − ≤ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ ,u v
 cùng phương. Vì véc tơ v
 có hoành độ và 
tung độ bằng nhau nên ta phải có 
17 33
8 [ 17;33].
x x
x
+ = −
⇔ = ∈ −
Vậy, 
[ 17;33]
( ) 10.
x
Maxf x
∈ −
= 
BÀI TẬP CHƯƠNG I 
Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số 
2
2 1
.
4
xy
x x
−
=
+ +
Bài 2. Cho hàm số 2
1
.
xy
x a
+
=
+
 Tìm các giá trị 0a > để tập giá trị của hàm số đã cho chứa 
đoạn [0;1]. 
Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số 
2
1
( 1)y x m x m= − + + 
là hàm số chẵn. 
 39 
Bài 4. Cho hàm số ( )y f x= xác định trên ℝ thỏa ( ) ( ) ( ), , .f a b f a f b a b+ = + ∀ ∈ℝ Chứng 
minh rằng 
 1) (0) 0;f = 
 2) ( )y f x= là một hàm số lẻ. 
Bài 5. Cho hàm số ( )y f x= xác định trên ℝ và là hàm số lẻ, thỏa (0) 0.f ≠ Chứng minh 
rằng số nghiệm của phương trình ( ) 0f x = là một số chẵn. 
Bài 6. Cho hàm số ( )y f x= xác định trên ℝ thỏa ( ) 0,f x x≠ ∀ ∈ℝ và 
 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ), , .f x x f x x f x f x x x+ + − = ∀ ∈ℝ 
Chứng minh rằng 
 1) (0) 1;f = 
 2) ( )y f x= là một hàm số chẵn. 
Bài 7. Chứng minh các hàm số cho sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì (nếu có) 
 1) cos(2 3);y x= + 
 2) 2sin .y x= 
Bài 8. Chứng minh các hàm số cho sau đây không phải là một hàm số tuần hoàn 
 1) 3 22 ;y x x= + 
 2) 1y x= − ; 
 3) 2 1
xy
x
=
−
. 
Bài 9. Chứng minh hàm số Đirichlê 
1,( )
0, \
xf x
x
∈
= 
∈
ℚ
ℝ ℚ
là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ. 
Bài 10. Cho các hàm số 1( )
1
xy f x
x
+
= =
−
 và ( ) 2 1y g x x= = − 
 1) Xác định hàm số ( ( ));y f f x= 
 2) Xác định hàm số ( ( )).y f g x= 
Bài 11. Cho hàm số 1
1( )
1
y f x
x
= =
−
. Kí hiệu 1( ) ( ( ))n nf x f f x−= , với n∈ℕ và 2.n ≥ Xác 
định hàm số 100 ( ).y f x= 
Bài 12. Cho các hàm số 
11 2 ,
2( )
12 1,
2
x x
y f x
x x

− <
= = 

− ≥

 và 
1, 1( )
1 , 1.
x x
y g x
x x
− ≥
= = 
− <
Xác định các hàm số hợp ( ( )), ( ( )).y f g x y g f x= = 
 40 
Bài 13. Cho hàm số ( ) 2 1y f x x= = − − . 
Tìm hàm số ngược 1( )y f x−= . 
Bài 14. 1) Hãy xác định véc tơ ( ; ),v a b=
 sao cho khi tịnh tiến đồ thị của hàm số 
2 3
2
x xy
x
+ −
=
+
theo véc tơ v
 ta được đồ thị của hàm số cho trong các trường hợp sau đây 
 a) 
2 7
;
2
x xy
x
− −
=
+
 b) 
2 7 9
;
5
x xy
x
+ +
=
+
 c) 
2 2 4
.
3
x xy
x
+ −
=
+
2) Từ đồ thị của hàm số 
2 3
,
2
x xy
x
+ −
=
+
 suy ra đồ thị của các hàm số sau bằng các phép biến 
đổi nào ? 
 a) 
2 3
;
2
x xy
x
− − +
=
+
 b) 
2 5
;
2
xy
x
− +
=
+
Bài 15. Từ đồ thị của hàm số 1y
x
= , bằng các phép biến đổi đồ thị nào để nhận được đồ thị 
của hàm số 3 7 ?
2
xy
x
−
=
−
Bài 16. Cho hàm số 
2 3 1
3
x xy
x
− +
=
−
. 
 1) Dựng đồ thị (C) của hàm số đã cho; 
 2) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau 
 a) 
2 3 1
;
3
x xy
x
− +
=
−
 b) 
2 3 1
;
3
x xy
x
− +
=
−
 c) 
2 3 1
;
3
x x
y
x
− +
=
−
 41 
 d) 
2 3 1
.
3
x x
y
x
− +
=
−
Bài 17. Chứng minh đồ thị của hàm số 
2
5
4 3
y
x x
=
− +
nhận đường thẳng 2x = làm trục đối xứng. 
Bài 18. Chứng minh đồ thị của hàm số 4 3 24 3 2y x x x x= + + − 
có đúng một trục đối xứng cùng phương với trục tung. 
Bài 19. Chứng minh đồ thị của hàm số 
2
2
4 2
1
x xy
x
+ −
=
+
không có tâm đối xứng. 
Bài 20. Cho hàm số 4 3 24 2 12 .y x ax x ax= + − − 
Tìm các giá trị của a để đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng cùng phương với trục .Oy 
Bài 21. Cho hàm số 
2 2 22
1
x m x my
x
+ +
=
+
 có đồ thị là ( ).
m
C 
 Tìm m để trên ( )
m
C tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. 
Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số cho sau đây 
 1) 3 22.3 4.3 2.3x x xy = − + trên đoạn [−1; 1]; 
 2) cos3 15cos 8y x x= − + trên đoạn [
3
pi
; 
3
2
pi ]; 
 3) 3 23 5y x x= − + trên đoạn [0; 3]. 
Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số cho sau đây 
 1) 
2
3
2 1
xy
x
=
−
 trên đoạn [ 3
4
; 2]; 
 2) (cos 1)sin , [0, 2 ].y x x x= + ∈ pi 
Bài 24. Giả sử ( , )x y là một nghiệm của hệ phương trình 2 2
2
3.
x y a
x y x y
+ = −

+ + =
Tìm các giá trị của a để biểu thức 2 2M x y x y= + − đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 1)( 2)( 3)( 4).y x x x x= + + + + 
Bài 26. Cho 0, 0x y> > thỏa mãn 5 .
4
x y+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 .
4
A
x y
= +
Bài 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2 2 5y x x x= + + − + − . 
 42 
Bài 28. Cho hai số dương ,x y thay đổi thỏa mãn điều kiện 4x y+ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 3
2
3 4 2
.
4
x yA
x y
+ +
= + 
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 ( 3 4 5).T yz x zx y xy z
xyz
= − + − + −
Bài 30. Xét các số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 1.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 2 2( ) ( ) ( )
.
x y z y z x z x yP
yz zx xy
+ + +
= + + 
Bài 31. Cho các số , ,a b c dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1.abc = Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3 3
.
1 1 1 1 1 1
a b cA
b c c a a b
= + +
+ + + + + +
Bài 32. Cho các số , ,a b c dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 3.a b c+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
.
a b cA
b c a
= + +
Bài 33. Cho các số , ,x y z dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
.
xy yz zxS
z x y
= + +
Bài 34. Cho các số , ,a b c dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( )( ) ( )
( )( )( )
1 1 1
.
1 1 1
a b c
A
a b c
+ + +
=
− − −
Bài 35. Cho các số , ,a b c dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 3.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( )
2 2 2
2 .
ab bc caM
ab bc ca
+ +
=
+ +
Bài 36. Cho các số , ,x y z thay đổi thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1.x y z− + − + − = Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức 
2 3 8 .A x y z= + + − 
Bài 37. Cho các số , ,a b c dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
 43 
2 2 2 2 2 2
.A a b b c c a= + + + + + 
Bài 38. Cho các số ,x y thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 1.x y+ = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
2
2 .1 2 2
xy yA
x xy
+
=
+ +
Bài 39. Cho , ,x y z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 1 1
.
2 2 2
x y zP x y z
yz zx xy
    
= + + + + +    
    
Bài 40. Cho , ,x y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1.xyz = Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +
. 
Bài 41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
sin
4
, ; .
2sin 1 2cos
x
y x
x x
pi
pi
pi
 
− 
  
= ∈   + +
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
1. Phương trình 
 1.1. Định nghĩa 
Cho hai hàm số của n biến thực 1 2, ,..., nx x x là 1 2 1 2( ; ;...; ), ( ; ;...; ).n nf x x x g x x x Ta gọi bộ n số 
thực 1 2( ; ;...; ) nnx x x ∈ℝ là một điểm trong .nℝ Khi đó các hàm số 
 1 2 1 2( ; ;...; ), ( ; ;...; )n nf x x x g x x x 
được xem là các hàm một biến x trong .nℝ 
 Ta gọi Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng ( ) ( )f x g x= (1) 
trong đó, ( )f x và ( )g x là những biểu thức chứa x. Ta gọi ( )f x là vế trái, ( )g x là vế phải của 
phương trình (1). Nếu coi f và g là hàm của n biến trong không gian ℝ thì (1) là phương 
trình của n ẩn 1 2, ,..., .nx x x 
 Giả sử f(x) có tập xác định là D1, g(x) có tập xác định là D2 thì 1 2D D D= ∩ gọi là tập 
(miền) xác định của phương trình (1). 
 Nếu ox D∈ sao cho ( )( )o of x g x= là một mệnh đề đúng thì ox được gọi là một nghiệm 
của phương trình (1). 
 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó, tập hợp các nghiệm của phương 
trình kí hiệu là S. 
 Nếu S = ∅ thì ta nói phương trình vô nghiệm.