Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
≥
SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC 
CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA 
ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC 
LÊ HOÀN HÓA*, 
NGUYỄN NGỌC TRỌNG**, LÊ THỊ KIM ANH***
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương 
trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau : 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt s
0
0 r
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0
u Cϕ
⎧ ′ = + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫ ( )T 
Từ khóa: Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm , phương trình vi tích phân Volterra 
đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic. 
ABSTRACT 
Continuous dependence of solution for the nonlinear Hyperbolic Volterra 
integrodifferential equation with deviating argument 
In this paper, we prove the continuous dependence result for the following nonlinear 
Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt s
0
0 r
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0
u Cϕ
⎧ ′ = + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫ ≥ ( )T 
Keywords: Continuous dependence of solution, nonlinear Hyperbolic Volterra 
integrodifferential equation with deviating argument. 
1. Giới thiệu 
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác 
giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó, lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan 
trọng. Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh 
học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học. 
Năm 1981, trong [4] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra 
phi tuyến loại Hyperbolic có dạng: 
* PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
***ThS, Đại học Tiền Giang 
 22 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
≥( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
t
0
0
u t A t u t g t,s,u s ds f t , t 0,
u 0 u .
⎧ ′ + = +⎪⎨⎪ =⎩
∫
Năm 1996, trong [5] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích 
phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
t
0
0
0 0
u t Au t K t,s,u s ds f t , t t ,
u t u .
⎧ ′ = + + ≥⎪⎨⎪ =⎩
∫
Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự 
đàn hồi của các vật rắn. 
Gần đây, trong hai bài báo [1], [2] và tài liệu tham khảo [3] chúng tôi đã xem xét 
tính khác rỗng, tính continuum và tính Rδ của tập nghiệm phương trình vi tích phân 
Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt s
0
0 r
u t A t u t L t u V t,u t K t,s,u s ,u ds f t , t 0,
u C .
⎧ ′ = + + + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫
ϕ
≥
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 
phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( )T . Để 
làm điều này chúng tôi chứng minh một bổ đề về bất đẳng thức tích phân dạng 
Gronwall. 
Bản thân sự phụ thuộc liên tục của nghiệm đã là một tính chất thú vị nhưng quan 
trọng hơn là tính chất này đóng vai trò quan trọng đối với tính chỉnh của bài toán, việc 
xấp xỉ nghiệm và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. 
2. Kết quả chính 
2.1. Giới thiệu bài toán 
Cho Ta kí hiệu r 0> . • là chuẩn của không gian Banach và , E [ )0,+ = ∞
( ){ }t,s : t s+ +∆ = ∈ × ≥  và [ ]2n 0,n∆ = ∆ I với n∈ , 
[ ]( )rC C r,0 ,E= − với chuẩn ( ) [ ]{ }ru sup u t : t r,0= ∈ −
)
, 
[ )(X C r, ,E= − ∞ là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ )r,− ∞ vào với 
họ nửa chuẩn 
E
{ }n n• được định nghĩa như sau : ( ) [ ]{ }nx sup x t : t r,n ,n= ∈ − ∈ . 
Đặt với chuẩn rF E C= × ( ) rx,y x y= + . Đặt L• là chuẩn trên không gian 
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ rE C× vào . E
 23
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
u C r, ,E∈ − ∞ t 0≥ rVới và đặt [ )( ) tu C∈ định nghĩa bởi 
( ) ( )tu u tθ θ= + với [ ]r,0θ ∈ − . 
Với [ ]( )u C r,d ,E∈ − và [ ]t 0,d∈ đặt tu Cr∈ định nghĩa bởi 
( ) ( )tu u tθ θ= + với [ ]r,0θ ∈ − . 
Với mỗi , đặt n∈ [ ]( )nX C r,n ,E= − là không gian Banach gồm các hàm liên 
tục [ ]u : r,n E− → với chuẩn ( ) [ ]{ }nu sup u t : t r,n= ∈ − . 
Xét phương trình 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt s
0
0 r
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
u C ,
⎧ ′ = + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫
ϕ
≥
 ( )T 
trong đó ( ){ }t 0A t ≥ là họ toán tử tuyến tính liên tục từ rE C× vào , f : liên 
tục. Hơn nữa ta giả thiết : 
E E+ →
(E.1) ( )t A ta liên tục ; 
(E.2) là hàm , nghĩa là L : F E∆ × → 1L Caratheodory−
 (E.2.1)Với mọi z , hàm F∈ ( )L ,zτ τa Borel đo được ; 
 (E.2.2)Với hầu hết τ ∈∆ , hàm ( )z L ,zτa liên tục ; 
 (E.2.3)Với mỗi và mỗi hằng số , tồn tại hàm không âm 
 và tập compact trong sao cho 
n∈ C 0>
[ ]( )21Ch L 0,n∈ CK E ( ) ( )CL t,s,z h t,s KC∈ với mọi 
(Fz B 0,C∈ ) và với hầu hết ( ) nt,s ∈∆ (trong đó ( )1L Ω là không gian các hàm 
 khả tích trên ) ; u :Ω→  Ω
(E.3)
( )
z
L t,s,z
lim 0
z→∞
= đều theo ( )t,s trên mỗi tập bị chặn bất kì của . ∆
Định nghĩa. 
 [ )u : r, E− ∞ → là nghiệm của phương trình ( )T nếu [ ) [ )( )10,u C 0, ,∞ ∈ ∞ E và 
 thỏa phương trình u ( )T , ở đây [ )( )1C 0, ,E∞ là không gian các hàm khả vi liên tục 
[ )u : 0, E∞ → . 
Chú ý. 
 Chứng minh tương tự [3] ta thấy nếu các giả thiết (E.1), (E.2) và (E.3) thỏa mãn 
thì phương trình (T) có nghiệm và nếu ta thêm giả thiết toán tử Lipschitz địa phương 
thì phương trình (T) có nghiệm duy nhất. 
L
 24 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
2.2. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 
Định lí 1. (Bất đẳng thức dạng Gronwall) 
Cho [ ]u : a,b +→  liên tục, và c α là hai hằng số không âm. Giả sử ta có 
 với a s( ) ( ) ( )t t s
a a a
u t c u s ds u d dsα α τ⎛ ⎞≤ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ τ btτ≤ ≤ ≤ ≤ . 
Khi đó ( ) ( )( )( )( )u t c 1 exp 1 t a 11α αα⎛ ⎞≤ + + − −⎜ ⎟+⎝ ⎠ . 
Chứng minh: 
Đặt . Theo giả thiết ta có ( ) ( ) ( )t t s
a a a
v t c u s ds u d dsα α τ⎛ ⎞= + + ⎜⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫ τ ⎟⎟ ( ) ( )u t v t≤ , 
ta lại có . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t
a a
v t u t u s ds v t v s dsα α α ⎛ ⎞′ = + ≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
Đặt . Vậy ( ) ( ) ( )t
a
m t v t v s ds= + ∫ ( ) ( )v t m tα′ ≤ và ( ) ( )m a v a c= = . 
Vì nên ( )t
a
v s ds 0≥∫ ( ) ( )v t m t≤ . 
Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t v t v t m t m t 1 m tα α′ ′= + ≤ + = + . 
Vậy ( ) ( ) ( )m t 1 m t 0α′ − + ≤ . 
Nhân hai vế bất đẳng thức trên với ( )( )exp 1 tα− + ta có: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )m t exp 1 t 1 m t exp 1 t 0α α α′ − + − + − + ≤ , 
nghĩa là ( ) ( )( )( )m t exp 1 t 0α ′− + ≤ . Vậy ( ) ( )( )( )t
a
m s exp 1 s ds 0α ′− + ≤∫ . 
Từ đó ( ) ( )( ) ( ) ( )( )m t exp 1 t m a exp 1 a 0α α− + − − + ≤ . 
Vậy ( ) ( )( )( )m t cexp 1 t aα≤ + − . 
Do đó ta có ( ) ( ) ( )( )( )v t m t c.exp 1 t aα α α′ ≤ ≤ + − . 
Vậy ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )t t
a a
cv s ds c.exp 1 s a ds exp 1 t a 1
1
αα α αα′ ≤ + − = + −+∫ ∫ − . 
Từ đó ta có ( ) ( ) ( )( )( )( )cv t v a exp 1 t a 11α αα≤ + + − −+ 
 25
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 ( )( )( )( )c 1 exp 1 t a 11α αα⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟+⎝ ⎠ . 
Vậy ( ) ( ) ( )( )((u t v t c 1 exp 1 t a 11α αα⎛ ⎞≤ ≤ + + − −⎜ ⎟+⎝ ⎠) ) . Định lí được chứng 
minh. 
Định lí 2. 
 Giả sử 0L : F E∆× → thỏa các điều kiện (E.1), (E.2), (E.3), và 
 liên tục. Với mỗi 
0
rCϕ ∈
0f : E+ → k∈ , lấy kL : F E∆× → thỏa các điều kiện (E.1), 
(E.2), (E.3) và dãy { }k kL hội tụ đều về . Lấy 0L { }k kϕ là dãy trong sao cho rC
0
k
limϕ ϕ→∞ = trong và lấy rC { } ( )k kf C ,+⊂  E
≥
 hội tụ đều về . Ta xét các phương 
trình sau: 
0f
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt k s k
0
0 k r
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
u C ,
⎧ ′ = + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫
ϕ 
( )kT 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )t 0 0t s
0
0
0 r
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
u C .
⎧ ′ = + +⎪⎨⎪ = ∈⎩
∫
ϕ
≥
( )0T
Lấy là nghiệm của phương trình ku ( )kT và là nghiệm của phương trình 
. Ta giả sử phương trình có nghiệm duy nhất. 
0u
( 0T ) )
0
( 0T
Khi đó ta có trong k
k
lim u u→∞ = [ )( )C r, ,E− ∞ . 
Chứng minh: 
Đặt [ ]{ }kn r,nB u : k−= ∈ với n∈ . 
Bước 1. 
 Ta chứng minh bị chặn trong . nB nX
Vì { }k kL hội tụ đều về nên tồn tại 0L 0k ∈ sao cho với và thì k∈ 0k k≥
( ) ( )0kL t,s,z L t,s,z 1− < với mọi ( )t,s,z F∈∆× . 
Từ điều kiện (E.3) ta thấy tồn tại sao cho khi C 0> z C> thì ( )0L t,s,z z< 
và ( )kL t,s,z z< với mọi ( ) nt,s ∈∆ và 0k 1,k= . 
 26 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Từ điều kiện (E.2.3) ta thấy tồn tại và hàm không âm sao 
cho với mọi 
R 0> [ ]( )21Ch L 0,n∈
0k 1,k= ta có ( ) ( )0 CL t,s,z Rh t,s< và ( ) ( )kL t,s,z Rh t,s< C với mọi 
 thỏa z F∈ z C≤ và với hầu hết ( ) nt,s ∈∆ . 
Vậy ( ) ( )0 CL t,s,z Rh t,s z≤ + và ( ) ( )k CL t,s,z Rh t,s z≤ + với mọi z F∈ , 
hầu hết ( ) nt,s ∈∆ và mọi 0k 1,k= . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0k k CL t,s,z L t,s,z L t,s,z L t,s,z 1 Rh t,s z≤ − + ≤ + + với 
mọi , hầu hết z F∈ ( ) nt,s ∈∆ và mọi . 0k k≥
Do đó ( ) ( )k CL t,s,z 1 Rh t,s z≤ + + với mọi k∈ , với mọi và hầu hết z F∈
( ) nt,s ∈∆ . 
Vì { }k kf hội tụ đều về nên tồn tại sao cho 0f q 0> ( )kf s q≤ với mọi 
[ ]k ,s 0,n∈ ∈ . 
Từ giả thiết (E.1) và sự kiện [ ]( )21Ch L 0,n∈ ta thấy tồn tại 0α > sao cho: 
[ ] ( ) ( )( )
n n
CLs 0,n
0 0
q 2 max A s 1 Rh s, d dsτ τ α
∈
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ < . 
Ta thấy ( ) ( )k k
s r
u s u≤ với mọi [ ]s 0,n∈ nên với [ ]t 0,n∈ ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t t sk k k kk k ks
0 0 0
u t 0 A s u s , u f s ds L s, ,u , u d dsτϕ τ
⎛ ⎞≤ + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
kτ τ
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )t t t sk kk k Cs r r0 0 0 00 u ds f s ds 1 Rh s, 2 u d dsτϕ α τ τ⎛ ⎞≤ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( ) ( )t t sk kk s r r0 0 00 u ds n 2 u dτϕ α α α τ
⎛ ⎞≤ + + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ds . 
Đặt { }k rb sup : kϕ= ∈ , ( )c n 1 bα= + + và 2λ α= + . 
Ta có ( ) ( ) ( )t t sk k ks r r0 0 0u t c u ds u d dsτλ λ
⎛ ⎞≤ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ τ với mọi . [ ]t 0,n∈
 27
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Mặt khác với [ ]t r,∈ − 0 ta thấy ( ) ( )k ku t t bϕ= ≤ nên ta có 
( ) ( ) ( )t t sk k kt sr r0 0 0u c u ds u dτλ λ
⎛ ⎞≤ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ r dsτ với mọi [ ]t 0,n∈ . 
Vì ánh xạ ( )k
t r
t ua liên tục nên theo Định lí 1 ta có 
( ) ( )( )( ) ( )( )( )k
t r
u c 1 exp 1 t 1 c 1 exp 1 n
1 1
λ λλ λλ λ
⎡ ⎤ ⎡≤ + + − ≤ + + −⎢ ⎥ ⎢+ +⎣ ⎦ ⎣ 1
⎤⎥⎦ . 
Suy ra ( ) ( )( )(ku t c 1 exp 1 n 11λθ λλ )⎡ ⎤+ ≤ + + −⎢ ⎥+⎣ ⎦ với mọi 
[ ] [ ]k , t 0,n , r,0θ∈ ∈ ∈ − . 
Vậy ( ) ( )( )( )ku t c 1 exp 1 n 11λ λλ⎡ ⎤⎥≤ + + −⎢ +⎣ ⎦ [ với mọi ]k , t r,n∈ ∈ − . Từ đó 
 bị chặn trong . nB nX
Bước 2. 
 Ta chứng minh là tập compact tương đối trong . nB nX
Đặt (với 0 kV,C ,C : X X→ k∈ ) như sau 
( ) ( ) ( )( )
[ ]
t
s
0
A s u s ,u ds , t 0,
Vu t
0 , t
⎧ ≥⎪= ⎨⎪ ∈ −⎩
∫
r,0 ,
t r,0 ,
t r,0 .
0
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) [ ]
t s t
0 0 0
0
0 0 0
0
L s, ,u ,u d ds 0 f s ds , t 0,
C u t
t ,
⎧ ⎛ ⎞ + + ≥⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎪ ∈ −⎪⎩
∫ ∫ ∫ττ τ τ ϕ
ϕ
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) [ ]
t s t
k k k
k 0 0 0
k
L s, ,u ,u d ds 0 f s ds , t 0,
C u t
t ,
⎧ ⎛ ⎞ + + ≥⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎪ ∈ −⎪⎩
∫ ∫ ∫ττ τ τ ϕ
ϕ
Từ Định lí 1.2.12 của [3] ta có là các ánh xạ hoàn toàn liên tục và chứng 
minh tương tự Định lí 1.2.10 của [3] ta thấy tồn tại sao cho: 
0
kC ,C
nc >
( )ini
nn
nc
V x x
i!
≤ với mọi i∈ và x X∈ 
 28 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Đặt * in n
i 0
x V
∞
=
= ∑ x với nx X∈ . Ta thấy là ánh xạ tuyến tính liên tục nên V
*
n• là chuẩn trên . nX
Vì 
( )
n
i
* n ni
n nn
i 0 i 0
nc
x V x x x
i!
∞ ∞
= =
= ≤ =∑ ∑ cn e nên n* ncn n nx x x e≤ ≤ . Do 
đó hai chuẩn *n ,• • n tương đương. 
Mặt khác n* * nci 1 in n n nn n
i 0 i 0
Vx V x V x x x x x e x
∞ ∞ −+
= =
= = − = − ≤ −∑ ∑ * *n n . 
Do đó ( )n* *ncn nVx 1 e x−≤ − . Đặt nncp 1 e−= − thì V là ánh xạ co hệ số p trên ( )*n nX , • 
Khi đó là ánh xạ cô đặc hệ số p từ 0kV C ,V C+ + ( )*n nX , • đến ( )*n nX , • 
Vậy ( )( ) ( )k n nV C B p Bχ χ+ ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ và ( )( ) (0 nV C B p Bχ χ⎡ ⎤+ ≤⎣ ⎦ )n với χ là 
độ đo cầu phi compact xác định bởi ( ) {B inf r 0 : Bχ = > bị phủ bởi hữu hạn các quả 
cầu bán kính }r . 
Vì { }k kϕ hội tụ đều về 0ϕ , { }k kL hội tụ đều về và 0L { }k kf hội tụ đều về 
nên {
0f
}k kC hội tụ đều về . 0C
Do đó với 0ε > , tồn tại 1k ∈ sao cho với thì 1k k≥ ( ) ( ) *k 0 kk nC u C u ε− < . 
Điều này dẫn đến ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( )1
k
k 0 k k 0 k
k k
r,n r,nk 0
C u C u :k C u C u B 0,ε
− −=
⎧ ⎫ ⎧− ∈ ⊂ −⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎩ UU
⎫⎬⎭ 
(trong đó ( ) { }*n nB 0, u X : uε ε= ∈ ≤ ). 
Suy ra ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ){ } ( )1
k
k 0 k 0
k k n
r,n k 0
C u C u : k C B C B B 0,n ε− =
⎧ ⎫− ∈ ⊂ −⎨ ⎬⎩ ⎭ UU . 
 29
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Vì là các ánh xạ hoàn toàn liên tục và bị chặn nên 0kC ,C nB ( ) ( )0k n nC B C B− 
là tập compact tương đối với mọi k∈ . Do vậy là tập 
compact tương đối. Vậy 
( ) ( ){ }1k 0k n n
k 0
C B C B
=
−U
( ) ( ){ }1k 0k n n
k 0
C B C B 0χ
=
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠U . 
Mà ta lại có ( )( )B 0, 2χ ε ε≤ và 
( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ){ } ( )( )1
k
k 0 k 0
k k n
r,n k 0
C u C u : k C B C B B 0,nχ χ χ− =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎧ ⎫− ∈ ≤ − +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 U ε
nên ( ) ( )( ) [ ]k 0 kk r,nC u C u : k 2χ ε−⎛ ⎞⎧ ⎫− ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠ ≤ . 
Cho 0ε → ta được ( ) ( )( ) [ ]k 0 kk r,nC u C u : k 0χ −⎛ ⎞⎧ ⎫− ∈ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠ . 
Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k k k k 0 k k 0k ku V u C u V u C u C u C u= + = + + − )k . 
Do vậy ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]0 k 0 kn n k r,nB V C B C u C u : k−⎧ ⎫⊂ + + − ∈⎨ ⎬⎩ ⎭ 
Từ đó ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )0 k 0 kn n k r,nB V C B C u C u : k pχ χ χ χ−⎛ ⎞⎧ ⎫≤ + + − ∈ ≤⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠ nB . 
Vậy ( ) ( )n1 p B 0χ− ≤ . Từ đó ( )nB 0χ = (vì 0 p 1< < ). Vậy là tập compact 
tương đối trong 
nB( )*n nX , • . 
Bước 3. 
 Ta chứng minh trong k
k
lim u u→∞ =
0 [ )( )C r, ,E− ∞ . 
Do là tập compact tương đối trong nB ( )*n nX , • nên tồn tại dãy con [ ]{ }ik r,n iu − 
của [ ]{ }k r,n ku − sao cho [ ]ik r,nilim u y−→∞ = trong ( )*n nX , • . 
Ta lại có ( ) ( )k k ku V u C u= + k nên [ ] [ ] [ ]i i iik k kkr,n r,n r,nu V u C u− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− 
(suy ra từ định nghĩa của và ) V kC
 30 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Cho ta có i →∞ ( ) ( )0y V y C y= + . Từ đó ta có [o r,ny u −= ]
)
 (vì là nghiệm 
duy nhất của phương trình ). Vậy bất kì dãy con hội tụ nào của dãy 
0u
( 0T [ ]{ }k r,n ku − 
cũng có cùng một giới hạn là [
o
r,n
u − ] , lại do là tập compact tương đối nên điều này 
dẫn đến 
nB
[ ] [
k o
r,n r,nk
lim u u−→∞ = ]− trong ( )*n nX , • . Vì hai chuẩn • và *n• tương đương 
nên [ ] [ ]
k o
r,n r,nk n
lim u u 0− −→∞ − = tức là 
k o
nk
lim u u 0→∞ − = . 
Vậy k
k
lim u u→∞
0= trong [ )( )C r, ,E− ∞ . Định lí được chứng minh 
Chú ý. 
 Như đã trình bày ở trên, nếu ngoài giả thiết (E.2) và (E.3) ta áp đặt thêm tính 
Lipschitz địa phương lên toán tử thì phương trình 0L ( )0T có nghiệm duy nhất. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Hoàn Hóa, Nguyễn Ngọc Trọng, Lê Thị Kim Anh (2010), “Nghiệm mạnh của 
phương trình vi tích phân với đối số lệch”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, ( )24 , 
tr. 104 -114. 
2. Lê Hoàn Hóa, Nguyễn Ngọc Trọng (2011), “Tính Rδ của tập nghiệm mạnh phương 
trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic”, Tạp chí Khoa học 
ĐHSP TPHCM, , tr. 1-14. (27)
3. Nguyễn Ngọc Trọng (2011), Tập nghiệm của phương trình vi tích phân Volterra đối 
số lệch phi tuyến loại Hyperbolic, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm TPHCM 
4. M.L.Heard (1981), “An abstract semilinear Hyperbolic Volterra integrodifferential 
equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.80, pp. 175-202. 
5. R.Nagel, E.Sinestrari (1996), “Nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential 
equations”, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Vol.27, No.2, pp. 
167-186. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 21-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012) 
 31