Sự gia tăng phonon trong hố lượng tử của vật rắn có cực dưới tác dụng của trường Laser

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 13, 2002
SỰ GIA TĂNG PHONON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ CỦA VẬT RẮN 
CÓ CỰC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRƯỜNG LASER
Trần Công Phong
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
1. Mở đầu
Hiệu ứng gia tăng phonon đã được phát hiện và nghiên cứu trong các vật liệu bán dẫn có cấu trúc khác nhau: bán dẫn khối [1- 4], bán dẫn siêu mạng [5], dị cấu trúc bán dẫn [6] và trong bán dẫn hố lượng tử [5,8,9]. Cơ chế của sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng của sóng laser là các hạt mang tự do hấp thụ năng lượng của sóng laser kèm theo hấp thụ hay phát xạ phonon. Chính vì vậy, hiệu ứng gia tăng phonon chỉ xảy ra khi thỏa mãn các điều kiện về năng lượng và xung lượng để electron có thể chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối. Các điều kiện và tốc độ gia tăng hoàn toàn phụ thuộc vào các đực trưng của laser và các thông số của vật liệu. Nội dung của bài báo này là áp dụng phương trình động học lượng tử cho phonon trong bán dẫn hố lượng tử khi có mặt trường laser để xác lập các điều kiện để có sự gia tăng và tính toán tốc độ gia tăng phonon trong một loại bán dẫn cụ thể: bán dẫn hố lượng tử của các vật liệu có cực.
Cấu trúc của bài báo gồm 5 phần: Phương trình để nghiên cứu sự gia tăng phonon được trình bày trong mục 2. Kết quả tính toán hệ số gia tăng được trình bày trong mục 3. Thảo luận về điều kiện gia tăng và ước lượng giá trị bằng số được trình bày ở mục 4. Phần kết luận được đưa ra ở mục 5.
2. Phương trình động học để nghiên cứu sự gia tăng phonon trong hố lượng tử
Mô hình nghiên cứu là hố thế lượng tử được tạo nên từ các bán dẫn có cấu trúc mạng gần giống nhau (nhờ kỹ thuật Epitaxy). Giả sử sóng laser lan truyền theo phương vuông góc với các lớp tiếp xúc (thành hố thế) và xuyên sâu vào trong mẫu. Sóng laser phân cực phẳng có vectơ cường độ điện trường: ( là vectơ đơn vị song song với thành hố). Giả sử hố thế không gian giữ phonon (phonon 3 chiều) [10]. Năng lượng của electron trong hố thế bị lượng tử hóa (theo phương song song với pháp tuyến bề mặt). Vì vậy, trạng thái của electron được đặc trưng bởi chỉ số mini vùng n và vectơ sóng trong mặt phẳng hố (được chọn là mặt phẳng (x,y), . Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có mặt sóng laser, trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp, có dạng:
 (1)
ở đây và ( và ) lần lượt là toán tử sinh và toán tử hủy electron (phonon), là phổ năng lượng của phonon với vectơ sóng, là phổ năng lượng của electron, với: 
 (2)
L là bề rộng của hố lượng tử, e và m lần lượt là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron trong hố lượng tử, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.
Gọi là thế vectơ của trường laser, ta có = , Ao = cEo/w; Giữa và có mối liên hệ: . Cn.n’() là thành phần Fourier của tương tác electron - phonon trong hố lượng tử, nó phụ thuộc vào loại vật liệu (cơ chế tương tác nào là trội hơn) và cấu trúc của hố lượng tử [8,9]:
 çCn,n’()ç2 = çC()ç2	çIn,n’(qz)ç2 	 (3)
với 
 (3a)
Đối với các vật liệu có cực, hằng số tương tác electron -phonon quang có dạng [11,12]:
 (3b)
ở đây W = LS (S là diện thích thành hố) là thể tích chuẩn hóa, c0 và c¥ là độ thẩm điện môi tĩnh và cao tần. 
Sử dụng các hệ thức giao hoán của các toán tử trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp và các phép tính đại số toán tử, phương trình động học (lượng tử) đối với phonon trong gần đúng bậc hai của tương tác electron-phonon có dạng [17]:
 (4)
trong đó Jl(z) là hàm Bessel bậc l đối số z, L = ehE0 /mw, () là hàm phân bố của electron (phonon), t là ký hiệu trung bình thống kê tại thời điểm t. Trong bài toán này ta chỉ quan tâm đến sự gia tăng phonon (tính chất không cân bằng của hệ phonon), vì vậy có thể giả thiết rằng hàm phân bố fn(||) của electron không phụ thuộc thời gian.
Phương pháp thiết lập phương trình (4) được trình bày chi tiết trong [13], ở bài báo này chúng tôi chỉ đề cập đến ứng dụng của phương trình này mà thôi. Tuy nhiên, điều cần nhấn mạnh là phương trình (4) tương đương với các phương trình động mà các tác giả khác đãsử dụng để mô tả tốc độ thay đổi mật độ phonon theo thời gian.
3. Tốc độ gia tăng phonon trong hố lượng tử
Để thiết lập biểu thức của tốc độ gia tăng ta phải đưa phương trình (4) về dạng:
 ¶ N(t)/¶t = gN(t),	 	 	(5)
trị riêng g của toán tử ¶/¶t chính là tốc độ thay đổi số phonon. Nếu g >0 thì số phonon tăng theo thời gian, ngược lại g <0 tương ứng với giảm phonon. Khai triển Fourier của N(t) trong (4) có dạng:
 .	 	 (6)
Thay (6) vào (4) và thay đổi thứ tự lấy tích phân. Tích phân theo dt’ được tiến hành nhờ giả thiết đoạn nhiệt của tương tác bằng cách nhân thêm thừa số . Kết quả ta nhận được:
 (7)
với:
 . (8)
Vì có thể bỏ qua hw’ so với hw và en(||) (sẽ được thảo luận ở mục 4) nên ta nhận được:
 . (9)
Có thể thấy rằng tốc độ thay đổi phonon g gồm đóng góp của cả hai quá trình hấp thụ |l| photon (l>0) và phát xạ |l| photon (l <0) của trường laser.
Trong giới hạn trường laser mạnh thỏa mãn điều kiện L >> hw, ta có gần đúng [1,6]: 
 	 	 	(10)
với . Hai hàm Delta trong (10) tương ứng với hấp thụ và phát xạ photon.
Giả sử khí electron suy biến (tức là kBT << eF), trong trường hợp này hàm phân bố Fermi-Dirac có thể lấy gần đúng bằng hàm có bước nhảy:
 	(11)
với eF là năng lượng Fermi. Chuyển tổng theo thành tích phân trong không gian 2 chiều và tính tích phân, ta được:
 g = g(+) + g(-),
 . (12)
Dấu + (-) trên (dưới) trong (12) ứng với sự hấp thụ (phát xạ) photon hw của trường laser. 
4. Điều kiện gia tăng phonon trong hố thế lượng tử của các vật liệu có cực
Bây giờ ta xét một số điều kiện để nhận được biểu thức (12) và điều kiện để có sự gia tăng phonon theo tính toán lý thuyết.
a) Kết quả nhận được khi đối số của hàm Delta-Dirac trong (10) bằng không, tức là khi: 
hay	 	 	 2k|| > q 	 	 (13) 
là điều kiện về xung lượng để có hiệu ứng gia tăng phonon.
b) Từ (12) ta thấy quá trình phát xạ nhiều photon (dấu dưới) luôn cho đóng góp g(+)<0. Quá trình hấp thụ nhiều photon (dấu trên) có thể dẫn đến sự gia tăng phonon g(+)<0 nếu:
	 	L > hw.	 (14)
Vì vậy, nếu L >> eF thì có thể bỏ qua quá trình phát xạ photon so với quá trình hấp thụ [1,2,6,7]. Điều kiện về năng lượng (tổng hợp từ hai điều kiện trên) để electron có thể chuyển từ trạng thái liên kết lên trạng thái có năng lượng cao hơn là:
L > max(eF, hw)	 (15)
Chú ý rằng L = e hE0/mw, để đơn giản ta giả sử hướng theo chiều của , vì vậy L = hq(eE0/mw) = hqv, trong đó v = eE0/mw là vận tốc kéo theo của electron dưới tác dụng của trường laser. vph = w/q là vận tốc pha của phonon. Do đó, điều kiện L>hw có nghĩa là vận tốc kéo theo v của electron vượt quá vận tốc pha vph của phonon, còn L > eF có nghĩa là vận tốc kéo theo v của electron vượt quá eF/ hq.
	c) Trở lại xem xét điều kiện bỏ qua hw’ so với hw và en(||) để đưa ra (9). Vì ta có , trong đó t là thời gian hồi phục trung bình xung lượng và là xung lượng trung bình của electron, trường laser có tần số w thỏa mãn điều kiện c/vf >> wt >>1 (vF là vận tốc Fermi). Vì vậy gần đúng này hoàn toàn hợp lý. Các điều kiện này chứng tỏ rằng tồn tại một giá trị ngưỡng của cường độ điện trường laser để xảy ra hiệu ứng. Giá trị trường ngưỡng EC có thể ước lượng từ (15):
EC = (mw/eqh) max(eF, hw)	 (16)
Xét trường hợp hố lượng tử tạo nên từ GaAs, các thông số là [14]: m=0,067 m0 (m0 là khối lượng của electron tự do), hw » hw0 » 36,25 meV, năng lượng Fermi (phụ thuộc vào nồng độ hạt mang) được lấy gần đúng bằng 0,05 eV. Đối với laser khí CO2 có bước sóng 10,6 mm, cường độ điện trường tới hạn EC để gia tăng phonon có số sóng q = 2,0 x108(m- 1) sẽ vào cỡ vài lần 107 (V/m) (cường độ laser cỡ 108 w/cm2). Giá trị này hoàn toàn có thể đáp ứng được bởi các laser hiện nay.
5. Kết luận
Bằng phương pháp phương trình động (lượng tử) cho phonon trong bán dẫn hố lượng tử khi có mặt trường laser, chúng tôi đã tìm được điều kiện (13) và (16) để tạo ra một thế biến dạng để kích thích nhiều phonon. Khi điều kiện về năng lượng và xung lượng được thỏa mãn, số phonon tăng theo thời gian. Tốc độ gia tăng được xác định bởi (12) phụ thuộc vào cường độ và tần số của laser, năng lượng và số sóng của phonon, nhiệt độ và các tham số của hố lượng tử. Kết quả cho thấy rằng với trường laser mạnh, chỉ có quá trình hấp thụ nhiều photon mới có ý nghĩa.
Để có sự gia tăng phonon thực tế trong vật liệu, số phonon được tạo ra phải lớn hơn số phonon bị mất đi. Ngoài nguyên nhân tương tác với electron, các phonon còn bị mất đi bởi các quá trình khác (không phải bị electron hấp thụ, hoặc do tính phi điều hòa của mạng [1,2,15]). Theo hiểu biết của chúng tôi, đến nay vẫn chưa có ước lượng nào về tốc độ mất phonon trong hố lượng tử. Vì vậy, bài toán tạo ra và gia tăng phonon, chẳng hạn như phonon kết hợp [16,17], đang là thách thức lớn đối với các nhà Vật lý.
Công trình này được hoàn thành với sự hỗ trợ kinh phí của chương trình NCCB cấp Nhà nước về KHTN mã số 411501. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
A. L. Tronconi & O. A. Nunces, Phys. Rev. B33, 4125 (1986).
 O. A. C. Nunces, Phys. Rev. B29, 5679 (1984).
J. W. Sakai & O. A. C. Nunces, Sol. Stat. Comm. 64, 4125 (1987).
Y. I. Balkarei and E. M. Epshtein, Sov. Phys. Sol. Stat. 15, 1376 (1974).
J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat. Comm. 74, 397 (1990).
F. Ping & C. Nanxian, Phys. Rev. B46, 7627 (1992). 
P. Zhao, Phys. Rev. B49, 13589 (1994).
J. Pozela and V. Juciene, J. Phys. Semicond. 29, 459 (1995).
N. Q. Bau and T. C. Phong, Sov. Phys. Soc. Japan, 67, 3876 (1998). 
C. K. N. Patel and E. D. Shan, Phys. Rev. B3, 1279 (1971)
V. Cheianov, A. P. Dimitriev, and V. Yu. Kachorovski, Phys. Rev. B58, 776 (1998) 
B. K. Ridley, Phys. Rev. B39, 5282 (1989).
Trần Công Phong, Lê Đình, Báo cáo tổng kết đề tài KHCN cấp Bộ, ĐHSP, Huế, 2001. 
F. J. Rodrignez, Phys. Rev. B64, 115316 (2001)
A. L. Tronconi & O. A. Nunces, Phys. Rev. B33, 4125 (1986).
S. M. Komirenko and K. W. Kim, et al. Phys. Rev. B62, 7459 (2000).
S. M. Komirenko and K. W. Kim, et al. J. Appl. Phys. 90, 7627 (2001).
TÓM TẮT
Phương trình động học cho phonon trong bán dẫn hố lượng tử khi có mặt của trường laser mạnh đã được sử dụng để nghiên cứu sự gia tăng của phonon. Điều kiện gia tăng và tốc độ gia tăng phonon đã được tính toán lý thuyết đối với các vật liệu có cực.
PHONON INCREASE IN THE QUANTUM WELL 
OF POLED SEMICONDUCTOR IN THE ACTION OF LASER FIELD
Tran Cong Phong
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Kinetic equation for phonon in quantum well semiconductor in the presence of strong laser field was used to study the phonon increase. The condition and the rate of phonon increase were theoretically calculated for poled-semiconductors.