So sánh bộ điều khiển PID với bộ điều khiển LQG cho robot cân bằng trên quả cầu

10 Cao Thanh Bộ, Phạm Trường Hưng, Lê Hoài Nam, Nguyễn Danh Ngọc 
SO SÁNH BỘ ĐIỀU KHIỂN PID VỚI BỘ ĐIỀU KHIỂN LQG CHO 
ROBOT CÂN BẰNG TRÊN QUẢ CẦU 
COMPARISON OF A PID CONTROLLER VERSUS LQG CONTROLLER FOR 
A BALL BALANCING ROBOT 
Cao Thanh Bộ1, Phạm Trường Hưng1, Lê Hoài Nam2, Nguyễn Danh Ngọc2 
1Sinh viên ngành Kỹ thuật Cơ điện tử, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng; 
2Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng; lehoainam@dut.udn.vn; ndngoc@dut.udn.vn 
Tóm tắt - Với diện tích tiếp xúc giữa robot và mặt đất nhỏ, khả năng 
chuyển động đa hướng và đổi hướng nhanh mà không cần xoay 
thân, robot cân bằng trên quả cầu phù hợp với các không gian làm 
việc chật hẹp. Robot này vốn dĩ không ổn định nên phải luôn được 
giữ cân bằng một cách chủ động. Trong bài báo này, hai bộ điều 
khiển (bộ điều khiển PID và bộ điều khiển LQG) được so sánh, đánh 
giá để lựa chọn áp dụng cho nguyên mẫu robot cân bằng trên quả 
cầu được thiết kế và chế tạo tại Khoa Cơ khí, Trường Đại học Bách 
khoa, Đại học Đà Nẵng. Chất lượng của các bộ điều khiển được 
đánh giá thông qua mô phỏng với các điều kiện hoạt động khác 
nhau. Các kết quả cho thấy bộ điều khiển LQG có chất lượng tốt hơn 
(thời gian đáp ứng, thời gian xác lập nhanh hơn) bộ điều khiển PID. 
Abstract - With small footprints, omnidirectional motion, and 
ability to swiftly reverse without rotating the body, ball balancing 
robots are suitable for operation in narrow areas. This robot is 
inherently unstable , so it must always be actively balanced. In 
this paper, two controllers (a PID controller and a LQG controller) 
are compared to apply to the prototype designed and built at the 
Faculty of Mechanical Engineering, University of Science and 
Technology, the University of Danang. The performance of the 
controllers is assessed through simulation under different 
operating conditions. The results show that LQG controllers are 
of better performance (small rise time, settling time) than PID 
controllers. 
Từ khóa - robot cân bằng trên quả cầu; thiết kế điều khiển; PID; 
LQG; bộ lọc Kalman. 
Key words - ball balancing robot; control design; PID; LQG; 
Kalman filter. 
1. Đặt vấn đề 
Robot cân bằng trên quả cầu (Ball Balancing Robot – 
BBR), còn gọi là Ballbot theo tên nguyên mẫu đầu tiên 
được nghiên cứu chế tạo [1]. Đây là loại robot di động 
gồm một quả cầu (bóng) và một robot cân bằng trên đầu 
quả cầu đó bằng cách lái các bánh của nó theo hướng thích 
hợp để tránh ngã đổ. Trái ngược với các robot di động 
truyền thống vốn dựa vào trọng tâm thấp và chiều dài cơ 
sở (wheel-base) lớn để giữ robot đứng thẳng, robot cân 
bằng trên quả cầu vốn dĩ không ổn định nên phải luôn 
được giữ cân bằng một cách chủ động [2] (tức phải luôn 
điều khiển các bánh). Ngoài ra, các robot di động bằng 
bánh truyền thống thường có hai bánh lái độc lập (ví dụ 
Segway) có thể xoay quanh điểm bất kỳ, nhưng không thể 
đổi hướng di chuyển ngay lập tức. Hạn chế này được khắc 
phục bởi robot cân bằng trên quả cầu, chúng có thể thực 
hiện chuyển động đa hướng nhanh mà không cần thay đổi 
hướng của các bánh xe (không cần xoay thân) [3]. Ưu 
điểm này giúp robot tránh va chạm khi làm việc trong các 
không gian chật hẹp. 
Nhiều nguyên mẫu BBR đã được thiết kế và chế tạo. 
Nguyên mẫu đầu tiên được phát triển vào năm 2006 tại Đại 
học (ĐH) Carnegie Mellon (CMU) có kích thước tương 
đương người thật với mục đích tương tác với con người. 
Robot này có một cơ chế lái khá phức tạp gồm 4 con lăn 
(roller) chủ động và một hệ thống lái nhằm thực hiện 
chuyển động xoay theo trục dọc. Năm 2008, ĐH Tohoku 
Gakuin (TGU) đã phát triển một nguyên mẫu BBR khác 
nhỏ hơn so với nguyên mẫu của CMU, có thể thực hiện các 
chuyển động tương tự (bao gồm chuyển động xoay quanh 
trục dọc) chỉ với 3 động cơ nối với 3 bánh xe đa hướng 
(omni-wheel) để lái quả bóng [4]. ĐH Adelaide xây dựng 
một BBR có hai bánh xe để lái bóng sử dụng bộ kit LEGO 
Mindstorms NXT và các khối LEGO vào năm 2009 [2]. 
ETH Zurich vào năm 2010 cũng phát triển nguyên mẫu 
BBR tương tự của TGU. Nguyên mẫu Rezero của ETH 
Zurich có độ bền vững động (dynamic robustness) cao, có 
thể đạt được tốc độ đến 2 m/s và góc nghiêng 20 [5]. Gần 
đây, có thêm nhiều nguyên mẫu BBR được thiết kế và chế 
tạo [6, 7, 8, 3]. 
Để BBR có thể thực hiện các chuyển động phức tạp ở 
tốc độ cao, nhiều chiến lược điều khiển khác nhau được đề 
xuất: điều khiển PD [4], PID tự chỉnh mờ [9], PID tầng [5], 
PID tầng tích hợp cơ cấu bù feedforward [10], cũng như 
điều khiển mờ [11], điều khiển toàn phương tuyến tính 
(Linear Quadratic Regulator - LQR) kết hợp với một khâu 
tích phân [2] được đề xuất để điều khiển BBR. 
Tuy nhiên, theo hiểu biết của nhóm tác giả thì chưa 
nhiều nghiên cứu đề cập đến việc ứng dụng bộ điều khiển 
Gaussian toàn phương tuyến tính (Linear Quadratic 
Gaussian - LQG) vào điều khiển BBR. Bộ điều khiển 
LQG là một trường hợp cụ thể của LQR, trong đó bộ lọc 
Kalman được sử dụng để ước lượng trạng thái của hệ 
thống. Trong bài báo, bộ điều khiển LQG được thiết kế 
và đánh giá hiệu năng, thông qua mô phỏng, với một bộ 
điều khiển cổ điển là PID. 
2. Mô hình hoá hệ thống 
2.1. Nguyên mẫu robot 
Lấy cảm hứng từ Rezero của ETH Zurich, nguyên 
mẫu BBR được thiết kế và chế tạo tại Khoa Cơ khí, 
Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng gồm ba 
bánh xe đa hướng được truyền động bởi ba động cơ DC 
được bố trí lệch nhau 120. Điểm đặc biệt là phần thân 
nguyên mẫu có hình lăng trụ lục giác đều, phù hợp cho 
việc chế tạo lớp vỏ bảo vệ. Như thể hiện trên Hình 1, 
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 7(128).2018 11 
nguyên mẫu BBR bao gồm 3 phần chính: phần thân, hệ 
thống động lực và quả cầu. 
 (a) (b) 
Hình 1. Nguyên mẫu robot: (a) Mô hình 3D và (b) Mô hình thật 
Thân robot bao gồm 4 tấm ngang hình lục giác và 6 tấm 
phẳng thẳng đứng được làm bằng vật liệu ABS và 
plexiglass để giảm khối lượng của BBR. Các tấm này được 
lắp ráp với nhau bởi các chi tiết nối được chế tạo bằng công 
nghệ in 3D. Hệ thống động lực được gắn chặt vào tấm đáy. 
Tấm thứ hai đặt nguồn cung cấp cho robot. Khối đo lường 
quán tính (IMU - Inertia Measurement Unit) và mạch điều 
khiển trung tâm được đặt trên tấm thứ ba. 
Hình 2 minh họa cấu trúc hệ thống điều khiển của robot. 
Dữ liệu trạng thái của robot được thu thập bởi khối IMU 
bao gồm một cảm biến MPU6050 xác định vận tốc góc 
bằng gia tốc kế và con quay hồi chuyển (gyroscope) và một 
cảm biến HMC5883L đo lường góc thông qua hướng và độ 
lớn của từ trường Trái đất. Dữ liệu từ hai cảm biến được 
tổng hợp bởi mạch Arduino Nano trước khi gửi đến khối 
điều khiển trung tâm. 
Hình 2. Cấu trúc hệ thống điều khiển 
Khối điều khiển trung tâm là một mạch Arduino 
Mega2560, nhận dữ liệu trạng thái từ IMU và tính toán, 
truyền đến khối điều khiển động cơ, các giá trị đặt cho mỗi 
động cơ. Mạch này cũng đảm bảo các kết nối không dây để 
điều khiển và thu thập dữ liệu BBR từ xa. 
Hệ thống động lực robot bao gồm ba động cơ DC dẫn 
động ba bánh xe đa hướng và các mạch driver tương ứng. 
Vị trí trục và dòng điện của các động cơ được đo bằng 
encoder và cảm biến dòng. Các thông tin này được khối 
điều khiển động cơ sử dụng để điều chỉnh tốc độ và 
mô-men xoắn của mỗi động cơ theo phương pháp điều chế 
độ rộng xung (PWM - Pulse Width Modulation). Các thông 
số cơ bản của nguyên mẫu robot được tóm tắt bởi Bảng 1. 
Bảng 1. Các thông số cơ bản của nguyên mẫu 
Thông số 
Ký 
hiệu 
Thứ 
nguyên 
Giá 
trị 
Chiều cao phần thân h m 0,67 
Chiều dài cạnh lục giác đều a m 0,115 
Khối lượng phần thân mB kg 8,6 
Khối lượng động cơ mM kg 1,3 
Khối lượng bánh xe đa hướng mOW kg 0,12 
Khối lượng bóng mS kg 0,8 
Bán kính bóng rS m 0,125 
Bán kính bánh xe đa hướng rOW m 0,05 
Tỉ số truyền hộp số k - 99,5 
2.2. Mô hình toán học 
Mục này giới thiệu mô hình tuyến tính của BBR sẽ 
được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển ở mục tiếp theo. 
Trong bài báo này, phương pháp Lagrangian được sử dụng 
để xác định các phương trình chuyển động. Bằng cách giải 
phương trình Euler-Lagrange: 
d
dt
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞�̇�
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞�̇�
= 𝜏𝑒𝑥𝑡,𝑖 (1) 
Trong đó: 
• i = 1...5 ứng với các thành phần của véc-tơ toạ độ 
tối thiểu q được xác định bởi: 
𝑞 = [𝑥𝑆 𝑦𝑆 𝜓𝑥 𝜓𝑦 𝜓𝑧]𝑇 
với 𝑥𝑆 và 𝑦𝑆 tương ứng thể hiện dịch chuyển của quả bóng 
dọc theo trục x và trục y, và 𝜓𝑥, 𝜓𝑦 và 𝜓𝑧 xác định hướng 
của thân robot và các bánh xe đa hướng. 
• Lagrangian 𝐿(𝑞, �̇�) = 𝑇 − 𝑉 thể hiện động năng T 
và thế năng V của tất cả các khối cứng của robot (bóng, 
thân robot và các bánh đa hướng). 
• 𝜏𝑒𝑥𝑡 thể hiển các mô-men xoắn bên ngoài. BBR được 
kích hoạt bởi ba bánh xe đa hướng và động cơ. Do đó, mô-
men xoắn bên ngoài là mô-men xoắn của các bánh xe đa 
hướng, được truyền bởi mô-men xoắn của các động cơ. 
Ta nhận được các phương trình mô tả chuyển động của 
BBR có dạng như sau: 
𝑀(𝑞)�̈� + 𝐶(𝑞, �̇�)�̇� + 𝐺(𝑞) = 𝜏𝑒𝑥𝑡 (2) 
Trong đó: thành phần 𝑀(𝑞) đại diện cho các lực quán tính 
do gia tốc, 𝐶(𝑞, �̇�) đại diện cho lực Coriolis và lực ly tâm, 
𝐺(𝑞) đại diện cho lực hấp dẫn và vế bên phải 𝜏𝑒𝑥𝑡 đại diện 
cho các mô-men xoắn bên ngoài [10]. Trình tự tính toán 
chi tiết có thể tham khảo trong [2] và [6]. 
Để cân bằng BBR, cần xem xét đến đặc tính động học 
của robot xung quanh vị trí thẳng đứng của nó (điểm cân 
bằng không ổn định). 
Định nghĩa véc-tơ trạng thái: 
𝑥 = [𝑞 �̇�]𝑇 
= [𝑥𝑆 𝑦𝑆 𝜓𝑥 𝜓𝑦 𝜓𝑧 𝑥�̇� 𝑦�̇� 𝜓�̇� 𝜓�̇� 𝜓�̇�]
𝑇
(3) 
và các đầu vào u: 
12 Cao Thanh Bộ, Phạm Trường Hưng, Lê Hoài Nam, Nguyễn Danh Ngọc 
𝑢 = [
𝑢1
𝑢2
𝑢3
] = [
𝜏1
𝜏2
𝜏3
] (4) 
Trong đó, τi là mô-men xoắn của bánh xe đa hướng i. 
Tại điểm cân bằng, tất cả các biến trạng thái và các đầu 
vào bằng 0. Mô hình tuyến tính hóa có thể được biểu diễn 
bằng một dạng không gian trạng thái tuyến tính: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 
𝑦 = 𝐶𝑥 
(5) 
Trong đó, các ma trận A, B được định nghĩa như sau: 
𝐴 = 
[
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑥𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑦𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
. . . . . . .
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝜓�̇�
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑥𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑦𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
. . . . . . .
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝜓�̇�
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑥𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑦𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
. . . . . . .
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝜓�̇�
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑥𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑦𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
. . . . . . .
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝜓�̇�
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑥𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑦𝑆
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)
. . . . . . .
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝜓�̇�
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,�̅�)]
𝐵 = 
[
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢1
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢2
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢3
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢1
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢2
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕�̈�𝑆
𝜕𝑢3
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢1
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢2
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢3
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢1
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢2
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓�̈�
𝜕𝑢3
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓𝑧̈
𝜕𝑢1
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓𝑧̈
𝜕𝑢2
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝜕𝜓𝑧̈
𝜕𝑢3
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)]
 (6) 
Các thành phần 
𝜕�̈�
𝜕𝑥𝑖
 và 
𝜕�̈�
𝜕𝑢𝑖
 có thể được xác định bằng 
cách giải các phương trình nhận được bằng đạo hàm các 
phương trình chuyển động (2) theo các biến trạng thái và 
biến đầu vào: 
 𝑀(�̅�)
𝜕�̈�
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝐺(𝑞)
𝜕𝑥𝑖
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
=
𝜕𝜏𝑒𝑥𝑡
𝜕𝑥𝑖
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
𝑀(�̅�)
𝜕�̈�
𝜕𝑢𝑖
=
𝜕𝜏𝑒𝑥𝑡
𝜕𝑢𝑖
|
(𝑥,𝑢)=(�̅�,𝑢)
(7) 
với �̅� = 0 và (�̅�, �̅�) = (0,0) (tại vị trí cân bằng). 
Ma trận quan sát C thể hiện mối quan hệ giữa các giá 
trị đo lường và các biến trạng thái của hệ thống. Khối IMU 
đo trực tiếp các biến trạng thái 𝜓𝑥 , 𝜓𝑦 , 𝜓𝑧. Các biến trạng 
thái 𝑥𝑆, 𝑦𝑆 có thể được xác định bằng các giá trị góc của 
bánh xe đa hướng (đo bằng encoder). 
Sau khi hoàn thành các tính toán động lực học và thay 
thế các giá trị thông số mô hình của nguyên mẫu BBR 
(Bảng 1), ta nhận được các ma trận sau: 
𝐴 = 
[
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 −2.51 0 0 0 0 0 0
0 0 2.51 0 0 0 0 0 0 0
0 0 10.3 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 10.3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
𝐵 = 
[
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 −1,1741 1,1741
1,3556 −0,6778 −0,6778
2,1616 −1,0808 −1,0808
0 1,872 −1,872
−6,4787 −6,4787 −6,4787]
𝐶 = 
[
1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0]
(8) 
Trong thực tế, nhiễu xuất hiện trong các cảm biến trong 
quá trình đo. Do đó, để tính đến ảnh hưởng của nhiễu đo 
lường và nhiễu quá trình, một mô hình không gian trạng 
thái với nhiễu loạn được sử dụng: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝑤 
 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑣 
(9) 
Trong đó, w và v lần lượt là nhiễu quá trình và nhiễu đo 
lường. Cả hai được giả định là nhiễu trắng và không tương 
quan với nhau: 
𝑤~𝒩(0, 𝑄), 𝑣~𝒩(0, 𝑅) (10) 
Trong đó, Q và R là ma trận hiệp phương sai của nhiễu quá 
trình và nhiễu đo lường. 
3. Thiết kế bộ điều khiển 
Trong mục này, hai bộ điều khiển PID và LQG được đề 
xuất để cân bằng và điều khiển vị trí BBR. 
3.1. Bộ điều khiển PID 
Hình 3. Hệ thống điều khiển BBR với bộ điều khiển PID 
Bộ điều khiển PID (Proportional – Integral – 
Derivative) là bộ điều khiển phản hồi dựa trên sai lệch giữa 
điểm đặt mong muốn và giá trị đo lường của quá trình. Sai 
lệch này được sử dụng để điều chỉnh đầu vào quá trình để 
giá trị đầu ra gần với giá trị đặt. Hàm truyền của bộ điều 
khiển PID như sau: 
𝐻𝑃𝐼𝐷(𝑠) = 𝐾𝑝 [1 +
1
𝑠𝑇𝑖
+ 𝑇𝑑𝑠] (11) 
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 7(128).2018 13 
với 𝐾𝑝 là hệ số tỉ lệ, 𝑇𝑖 là hằng số thời gian tích phân và 𝑇𝑑 
là hằng số thời gian vi phân. Các thông số này phải được 
lựa chọn thích hợp để đảm bảo sự ổn định và hiệu suất của 
hệ thống [12]. 
Hệ thống điều khiển PID cho BBR bao gồm 5 bộ điều 
khiển tương ứng với 5 thành phần của véc-tơ tọa độ tối 
thiểu (Hình 3). 
Đầu vào của hệ thống là 3 giá trị mô-men 𝜏𝑥, 𝜏𝑦, 𝜏𝑧 
tương ứng là mô-men giả lập của bánh xe đa hướng lần lượt 
theo mặt phẳng yz, xz, xy [2]. Các hàm truyền hệ thống 
được xác định bằng cách chuyển đổi từ mô hình không gian 
trạng thái (5) theo [2]: 
𝑃 = 𝐶. (𝑠. 𝐼 − 𝐴)−1. 𝐵.𝑀 (12) 
Trong đó, 𝐼 là ma trận đơn vị 10 × 10 và M là ma trận 
chuyển đổi giữa mô-men giả lập τx, τy, τz và mô-men xoắn 
của ba bánh xe đa hướng τ1, τ2, τ3. 
𝑀 =
[
2√2
3
0
−√2
3
−√2
3
√6
3
−√2
3
−√2
3
−√6
3
−√2
3 ]
 (13) 
Như vậy, đặc tính động lực học của BBR có thể được 
mô tả thông qua các hàm truyền sau: 
𝐻 𝜏𝑦→𝜓𝑦(𝑠) =
3,0570
𝑠2 − 10,3
𝐻 𝜏𝑥→𝜓𝑥(𝑠) =
3,0570
𝑠2 − 10,3
𝐻 𝜏𝑧→𝜓𝑧(𝑠) =
9,1623
𝑠2
𝐻𝜓𝑦→𝑥𝑠(𝑠) =
−0,6272𝑠2 + 3,95
𝑠2
𝐻𝜓𝑥→𝑦𝑠(𝑠) =
0,6272𝑠2 − 3,95
𝑠2
(14) 
Với các hàm truyền hệ thống được xác định ở trên các 
bộ điều khiển PID tương ứng được thiết kế với sự hỗ trợ 
của công cụ Tuner của MATLAB. 
3.2. Bộ điều khiển LQG 
Bộ điều khiển toàn phương Gauss (Linear Quadratic 
Gaussian - LQG) xem xét các hệ thống tuyến tính với các 
yếu tố ngẫu nhiên tuân theo phân bố Gaussian. Một cách 
cơ bản, LQG là sự kết hợp giữa bộ lọc Kalman và bộ điều 
khiển toàn phương tuyến tính (Linear Quadratic Regulator 
- LQR). Trong trường hợp này, bộ điều khiển được thiết kế 
với véc-tơ không gian trạng thái được ước lượng bởi bộ lọc 
Kalman. 
Từ phương trình (9), bộ điều khiển LQG được xác định 
bởi các phương trình sau: 
�̇̂� = 𝐴�̂� + 𝐵𝑢 + 𝐾(𝑦 − 𝐶�̂�) 
𝑢 = −𝐿�̂� 
(15) 
Trong đó, K là ma trận độ lợi của bộ lọc Kalman, L là ma 
trận phản hồi của bộ điều khiển LQR. 
Tại mỗi thời điểm, bộ lọc sẽ ước lượng �̂� của trạng thái 
x sử dụng các giá trị đo lường và đầu vào trước đó. Ma trận 
độ lợi Kalman được tính bởi [13]: 
𝐾 = 𝑃𝐶𝑇𝑅−1 (16) 
Trong đó, P đạt được bằng cách giải phương trình Riccati: 
𝐴𝑃 + 𝑃𝐴𝑇 − 𝑃𝐶𝑇𝑅−1𝐶𝑃 + 𝑄 = 0 (17) 
Ma trận phản hồi L của bộ điều khiển LQR với luật điều 
khiển 𝑢 = −𝐿�̂� được xác định bằng phương pháp tối thiểu 
hóa phương trình chỉ tiêu chất lượng toàn phương: 
𝐽 = ∫ (�̂�𝑇𝑄𝐿�̂� + 𝑢
𝑇𝑅𝐿𝑢)d𝑡
∞
0
 (18) 
với 𝑄𝐿 và 𝑅𝐿 lần lượt mà ma trận trọng số trạng thái và điều 
khiển. Ma trận phản hồi L được tính như sau [13]: 
𝐿 = 𝑅𝐿
−1𝐵𝑇𝑆 (19) 
Trong đó, S có được bằng phương pháp giải phương trình 
Riccati: 
𝐴𝑇𝑆 + 𝑆𝐴 − 𝑆𝐵𝑅𝐿
−1𝐵𝑇𝑆 + 𝑄𝐿 = 0 (20) 
Hình 4 mô phỏng hệ thống điều khiển LQG của BBR 
trên Matlab/Simulink. 
Hình 4. Hệ thống điều khiển BBR với bộ điều khiển LQG 
4. Đánh giá chất lượng điều khiển 
Hình 5 và 6 thể hiện các đáp ứng của BBR theo 2 bộ 
điều khiển PID và LQG trong trường hợp robot cân bằng 
và trường hợp tín hiệu đặt thay đổi. Như thể hiện trên Hình 
5, cả hai loại bộ điều khiển PID và LQG đều hoạt động tốt 
trong trường hợp muốn cân bằng robot (giá trị đặt của góc 
nghiêng thân 𝜓𝑥, 𝜓𝑦 bằng 0). 
Hình 5. Đáp ứng của hệ thống khi cân bằng 
Trong trường hợp cần điều khiển vị trí của robot, tức có 
sự thay đổi của tín hiệu đặt, bộ điều khiển LQG được so 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.05
0
0.05
x
 [
ra
d
]
Response of the system while balancing
x
LQG
x
PID1
x
PID2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Time [s]
-0.05
0
0.05
y
 [
ra
d
]
y
LQG
y
PID1
y
PID2
14 Cao Thanh Bộ, Phạm Trường Hưng, Lê Hoài Nam, Nguyễn Danh Ngọc 
sánh với 2 bộ điều khiển PID với các hệ số được điều chỉnh 
theo các yêu cầu chất lượng khác nhau. Cụ thể, một bộ điều 
khiển PID được điều chỉnh theo tiêu chí vọt lố nhỏ (Hình 
6) và một bộ điều khiển PID theo tiêu chí điều chỉnh theo 
tiêu chí đáp ứng nhanh (Hình 7). 
Hình 6. Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển LQG và PID 
vọt lố nhỏ khi tín hiệu đặt thay đổi: (a) thay đổi xs; 
(b) thay đổi ys và (c) thay đổi 𝜓𝑧 
Hình 7. Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển LQG và PID 
đáp ứng nhanh khi tín hiệu đặt thay đổi: (a) thay đổi xs; 
(b) thay đổi ys và (c) thay đổi 𝜓𝑧 
Bảng 2. So sánh chỉ tiêu chất lượng PID và LQG 
Chỉ tiêu chất lượng LQG 
PID ít 
vọt lố 
PID đáp ứng 
nhanh 
Thời gian quá độ (s) 3,025 16,384 2,105 
Thời gian xác lập (s) 4,49 18,77 4,97 
𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒2(𝑡)d𝑡
∞
0
 2,0336 2,4749 1,7961 
𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)|d𝑡
∞
0
 3,4238 5,0018 2,5495 
𝐼𝐴𝑇𝐸 = ∫ 𝑡𝑒(𝑡)d𝑡
∞
0
 10,0141 52,3034 12,7006 
Bảng 2 so sánh các chỉ tiêu chất lượng của hai bộ điều 
khiển trong trường hợp giá trị đặt xs = 1m tại thời điểm 5 s. 
Có thể thấy bộ điều khiển LQG có các chỉ tiêu về chất 
lượng tốt hơn so với hai bộ điều khiển PID. 
5. Kết luận 
Trong bài báo, hai kỹ thuật điều khiển tuyến tính (PID 
và LQG) được so sánh và đánh giá thông qua mô phỏng 
cho vấn đề điều khiển robot cân bằng trên quả cầu. Đầu 
tiên, hệ thống robot được điều khiển bởi năm bộ điều khiển 
PID, trong đó mỗi bộ PID điều khiển một thành phần của 
véc-tơ tọa độ tối thiểu q của robot. Sau đó, một bộ điều 
khiển LQG tích hợp một bộ lọc Kalman được xây dựng cho 
robot này. Kết quả mô phỏng cho thấy bộ điều khiển LQG 
cho đáp ứng nhanh và chất lượng tốt hơn so với PID. Do 
đó, bộ điều khiển LQG sẽ được xem xét áp dụng trên 
nguyên mẫu thực tế. 
Lời cảm ơn: Bài báo này được tài trợ bởi Trường Đại 
học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng với đề tài có mã số 
T2018-02-09. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nagarajan Umashankar, Dynamic Constraint-Based Optimal Shape 
Trajectory Planner for Shape Accelerated Underactuated Balancing Systems, 
Proceedings of 2010 Robotics: Science and Systems, 2010, pp. 27-31. 
[2] Blonk, J. W., Modeling and Control of a Ball-Balancing Robot, 
Master’s Thesis, University of Twente, 2014. 
[3] Nagarajan, U., Mampetta, A., Kantor, G. A., & Hollis, R. L., State 
Transition, Balancing, Station Keeping, and Yaw Control for A 
Dynamically Stable Single Spherical Wheel Mobile Robot, IEEE 
International Conference on Robotics and Automation, May 2009, 
pp. 998-1003. 
[4] Kumagai, M., & Ochiai, T., Development of A Robot Balancing on 
A Ball, International Conference on Control, Automation and 
Systems, Oct. 2008, pp. 433-438. 
[5] Fong, J., Uppill, S., & Cazzolato, B., Design and Build A Ballbot, 
In Report. Adelaide, Australia: The University of Adelaide, 2009. 
[6] Fankhauser, P., & Gwerder, C., Modeling and Control of A Ballbot, 
Bachelor’s Thesis, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 
2010. 
[7] Su, X., Wang, C., Su, W., & Ding, Y., Control of Balancing Mobile 
Robot on A Ball with Fuzzy Self-Adjusting PID, Chinese Control and 
Decision Conference (CCDC), May 2016, pp. 5258-5262. 
[8] Vaidya, B., Shomin, M., Hollis, R., & Kantor, G., Operation of the 
Ballbot on Slopes and with Center-of-Mass Offsets, IEEE 
International Conference on Robotics and Automation (ICRA), May 
2015, pp. 2383-2388. 
[9] Yunong, Y., Ha, H. M., Kim, Y. K., & Lee, J. M., Balancing and 
Driving Control of A Ball Robot Using Fuzzy Control, International 
Conference on Ubiquitous Robots and Ambient Intelligence 
(URAI), Oct. 2015, pp. 492-494. 
[10] André Alstrin, Emil Sundell, Development of A Mechatronical 
Platform for AUTOSAR - The Ball-Balancing Robot, Master's 
Thesis, Chalmers University of Technology. 
[11] Carlucho, Ignacio, et al., Comparison of A PID Controller versus A 
LQG Controller for An Autonomous Underwater Vehicle, 
IEEE/OES South American International Symposium on Oceanic 
Engineering (SAISOE), 2016. 
[12] Karl J Astrom, PID Controllers: Theory, Design and Tuning, 
Instrument Society of America, 1995. 
[13] Lavretsky, E., & Wise, K. A., Robust and Adaptive Control, 
Springer, London, 2013.
(BBT nhận bài: 23/5/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 15/6/2018)