Rèn luyện kĩ năng vận dụng toán học cho học sinh Lớp 12 THPT thông qua dạy học chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 53 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 
THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ LŨY THỪA, MŨ, LÔGARIT 
Bùi Thị Hạnh Lâm1*, Phạm Thị Thu Hằng2, 
Đoàn Ánh Dương3, Lã Thị Thu Sen4 
1Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên, 2Trường THPT Ngô Quyền, TP. Thái Nguyên 
3Trường THPT Bắc Sơn, Bắc Sơn, Lạng Sơn, 4Trường THPT Ngô Quyền, TP. Nam Định 
TÓM TẮT 
Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học cho học sinh không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn 
các kiến thức, củng cố các kĩ năng Toán học mà các em còn thấy được ý nghĩa, vai trò của môn 
Toán đối với các lĩnh vực khoa học khác cũng như đối với thực tiễn cuộc sống. Trong phạm vi của 
bài báo này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày về kĩ năng vận dụng Toán học, một số biện pháp sư 
phạm rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề lũy thừa, mũ, 
lôgarit. Chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiên cứu thực 
tiễn và thực nghiệm sư phạm. Trên cơ cở nghiên cứu lí luận và thực tiễn, chúng tôi đã đưa ra quan 
niệm về kĩ năng vận dụng, biểu hiện của kĩ năng vận dụng Toán học. 
Từ khóa: kĩ năng; rèn luyện; kĩ năng vận dụng; kĩ năng vận dụng Toán học; rèn luyện kĩ năng 
vận dụng Toán học. 
Ngày nhận bài: 3/4/2019; Ngày hoàn thiện: 6/5/2019; Ngày duyệt đăng: 10/5/2019 
PRACTICING SKILLS OF MATHEMATIC APPLYING FOR 
12 GRADE STUDENTS BY TEACHING TOPICS ABOUT POWERS, 
EXPONENTS AND LOGARITHM 
Bui Thi Hanh Lam
1*
, Pham Thi Thu Hang
2
, 
Doan Anh Duong
3
, La Thi Thu Sen
4 
1TNU – University of Education, 2 Ngo Quyen High School, Thai Nguyen city 
3Bac Son High School, Bac Son, Lang Son city, 4Ngo Quyen High School, Nam Dinh city 
ABSTRACT 
Practicing skills of Mathematic applying for students can help them to understand of Mathematical 
knowledge, practice Mathematic skills and understand the meaning and relations between 
Mathematic and other subjects or real - life. In this article, we are going to focus on presenting 
skills of Mathematic applying, some teaching methods can be used to help students pracice skills 
of math applying by teaching topics about Powers, Exponents and Logarithm. We have used 
research methods: theoretical research, survey research and pedagogical experiment. On the basis 
of theoretical and survey research, we have given the concept of Mathematic applying skills, 
expression of Mathematic applying skills and proposed three pedagogical measures to practice 
skills to use Mathematic for students 
Keyword: skills; practice; skill applying; skills of Mathematic applying; practice skills of 
Mathematic applying. 
Received: 3/4/2019; Revised: 6/5/2019; Approved: 10/5/2019 
* Corresponding author. Email: buihanhlamdhsptn@gmail.com 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 54 
1. Đặt vấn đề 
Toán học là một môn học công cụ của nhiều 
các môn học ở trường phổ thông và cũng là 
một trong những môn học có mối liên hệ rất 
chặt chẽ với thực tiễn. Trong quá trình dạy 
học Toán ở trường phổ thông, ngoài việc 
trang bị cho người học những kiến thức, kĩ 
năng Toán học, giáo viên (GV) nên rèn luyện 
cho học sinh (HS) kĩ năng vận dụng Toán học 
trong các môn học khác và trong thực tiễn [1]. 
Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học 
cho HS không chỉ giúp HS hiểu sâu sắc hơn 
các kiến thức, củng cố các kĩ năng Toán học 
mà các em còn thấy được ý nghĩa, vai trò của 
môn Toán đối với các lĩnh vực khoa học khác 
cũng như đối với thực tiễn cuộc sống. Việc 
rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học còn đặc 
biệt có ý nghĩa trong việc rèn luyện kĩ năng 
giải quyết vấn đề và kĩ năng tư duy cho HS – 
những kĩ năng rất quan trọng đối với HS của 
bất cứ quốc gia nào trong bối cảnh toàn cầu 
hóa hiện nay. 
Chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit là một chủ đề có 
nhiều tiềm năng để rèn luyện kĩ năng vận 
dụng Toán học cho HS. Tuy nhiên, thực tiễn 
dạy học ở trường phổ thông cho thấy, nhiều 
GV chưa quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng 
vận dụng Toán học cho HS thông qua dạy học 
chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit và kĩ năng vận 
dụng Toán học của nhiều HS đối với chủ đề 
này còn nhiều hạn chế. 
Vì thế, trong khuôn khổ của bài báo này 
chúng tôi sẽ tập trung trình bày về kĩ năng 
vận dụng Toán học, một số biện pháp sư 
phạm rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học 
cho HS lớp 12 THPT thông qua dạy học chủ 
đề lũy thừa, mũ, lôgarit. 
2. Rèn luyện kĩ năng vận dụng toán học 
cho học sinh lớp 12 thpt thông qua dạy học 
chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit 
2.1 Quan niệm về kĩ năng vận dụng Toán học 
Có rất nhiều cách quan niệm khác nhau về kĩ 
năng tùy theo góc độ quan tâm của người 
nghiên cứu hoặc lĩnh vực nghiên cứu: 
Theo từ điển Tiếng Việt [8], “Kĩ năng là khả 
năng vận dụng những kiến thức thu nhận 
được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. 
“Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các 
tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận 
dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, 
bản chất của các sự vật và giải quyết thành 
công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành 
xác định” [1]. 
Theo [2], “Kĩ năng là khả năng vận dụng kiến 
thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để 
giải quyết một nhiệm vụ mới”. 
Như vậy, kĩ năng có thể được hiểu theo nhiều 
cách khác nhau. Tuy nhiên, các khái niệm đó 
đều có điểm chung đó là: nói đến kĩ năng là 
nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực 
hiện các thao tác, hành động để đạt được mục 
đích đã định. Kĩ năng chính là kiến thức trong 
hành động, nó được hình thành, phát triển 
trong hoạt động và bằng hoạt động. 
Xét theo góc độ về kĩ năng vận dụng Toán 
học, chúng tôi quan niệm “Kĩ năng là khả 
năng biết vận dụng những kiến thức, kinh 
nghiệm đã có một cách phù hợp với điều kiện 
thực tiễn để thực hiện có kết quả một hành 
động hay một hoạt động nào đó.” 
Trên cơ sở đó chúng tôi cho rằng “Kĩ năng vận 
dụng Toán học là khả năng người học huy 
động, sử dụng những kiến thức, kĩ năng Toán 
học đã học trên lớp hoặc học qua trải nghiệm 
thực tế của cuộc sống để giải quyết những vấn 
đề đặt ra trong những tình huống đa dạng, 
phức tạp của Toán học, của các môn học khác 
hay của đời sống một cách hiệu quả”. 
2.2 Biểu hiện của kĩ năng vận dụng Toán học 
Dựa trên quan niệm trên về kĩ năng vận dụng 
Toán học, qua nghiên cứu các công trình liên 
quan trong các tài liệu [3], [4], [5] và khảo sát 
thực tiễn dạy học ở trường phổ thông, chúng 
tôi nhận thấy kĩ năng vận dụng Toán học của 
HS có thể có các biểu hiện sau: Hiểu được 
sâu sắc các kiến thức Toán học, hiểu được sự 
thể hiện, ý nghĩa thực tiễn của các kiến thức 
Toán học trong chương trình; Có khả năng 
phát hiện, phân tích và chuyển tình huống 
thực tiễn, tình huống trong các môn học khác 
thành tình huống Toán học; Có khả năng xác 
định và tìm hiểu các thông tin Toán học liên 
quan đến tình huống cần giải quyết; Lập kế 
hoạch, đề xuất các giải pháp, chọn giải pháp 
phù hợp để giải quyết tình huống; Có khả 
năng chuyển từ tình huống Toán học đã học 
thành các tình huống thường gặp trong thực 
tiễn, trong các môn học khác. 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 55 
2.3 Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ 
năng vận dụng Toán học cho HS lớp 12 
trong dạy học chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit 
2.3.1 Rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học 
vào nội bộ môn Toán thông qua chủ đề lũy 
thừa, mũ, lôgarit 
Mục đích của biện pháp 
Thông qua việc vận dụng Toán học vào nội 
bộ môn Toán giúp HS củng cố kiến thức 
Toán học đồng thời làm cho HS thấy rõ 
những ứng dụng của chủ đề lũy thừa, mũ, 
lôgarit trong việc giải toán. 
Hướng dẫn thực hiện biện pháp 
Để thực hiện biện pháp này, GV có thể thực 
hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Hình thành kiến thức. 
Trong các tình huống điển hình dạy học khái 
niệm, dạy học định lý, dạy học quy tắc 
phương pháp trong chủ đề này GV sẽ phải 
hình thành cho HS khái niệm lôgarit, hàm số 
mũ, hàm số lũy thừa, hàm số lôgarit, các định 
lí, quy tắc về phép biến đổi lũy thừa, mũ, 
lôgarit và tính chất của hàm số mũ, hàm số 
lũy thừa, hàm số lôgarit. 
Bước 2: Củng cố kiến thức. 
Trong các tình huống điển hình trên, sau khi 
hình thành kiến thức, GV cần giúp HS củng 
cố các kiến thức đã học qua thông qua hoạt 
động nhận dạng và thể hiện. 
Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm, 
định lí, quy tắc phương pháp, hoạt động giải 
bài tập là những hoạt động cần thiết và quan 
trọng để HS củng cố các kiến thức, kĩ năng 
Toán học vào trong tình huống của nội bộ môn 
Toán [3]. Việc củng cố này cần được thực hiện 
một cách thường xuyên và có hệ thống. 
Hoạt động nhận dạng và thể hiện này có thể 
được thực hiện dưới dạng các câu hỏi, bài tập 
ngắn yêu cầu vận dụng trực tiếp hoặc các hoạt 
động củng cố, tìm tòi, mở rộng đào sâu ở cuối 
giờ học (GV có thể thiết kế các hoạt động đòi 
hỏi HS vận dụng một cách tương đối tổng hợp, 
nâng cao hơn các kiến thức, kĩ năng) theo 
những hình thức khác nhau. Qua đó, HS sẽ từng 
bước được rèn luyện và phát triển về kĩ năng 
vận dụng Toán học trong nội bộ môn Toán, 
đồng thời GV có thể thu được phản hồi về việc 
lĩnh hội kiến thức và mức độ kĩ năng của HS, 
thấy được những điểm HS còn chưa hiểu, 
những lúng túng và sai lầm của các em, có biện 
pháp giúp HS bổ sung, sửa chữa kịp thời. 
Ví dụ 1: Sau khi học xong định nghĩa lôgarit 
GV có thể cho HS củng cố qua bài tập sau: 
 “1. Tính 3
4log 4 2 
2. Tìm cơ số a biết: 3 11log (3. 3. 3)
12
a 
” 
Giải: 
a. Ta có: 
3
4log 4 2 x 
7 7
3 3 64 4 2 4 2 4 4x x x 
7
6
x 
 b. Ta có: 
3 11log (3. 3. 3)
12
a 
1111 11 11 11
3 612 12 12 123. 3. 3 3 9a a a
11
11
12
12
1
9
a
1
9
a . 
Ví dụ trên giúp HS hiểu rõ hơn về khái niệm 
lôgarit, thấy được phép toán mũ và lôgarit là 
hai phép toán ngược của nhau. 
Ví dụ 2: Sau khi học xong các quy tắc tính 
lôgarit, trong hoạt động luyện tập củng cố 
toàn bài, GV đưa ra một số bài tập tổng hợp 
để HS củng cố các quy tắc đó: 
Bài tập 1: a. Tính giá trị của các biểu thức 
sau: 
log 6 log 85 7
1 log 4 log 272 log 39 1252
25 49 3
3 4 5
A
b. Cho 
2log 3m và 2log 5n . Tính theo m, 
n giá trị của các biểu thức: 6
2log 360B 
Giải: 
a. Ta biến đổi biểu thức về dạng: 
log 6 log 82 25 7
2 3log 4 log 32 33 5
log 32 2
(5 ) (7 ) 3
4
3.3 5
(2 )
A
2 2
log 6 log 85 7
1 2
log 4 log 33 52
2
log 32
5 7 3
4
3. 3 5
2
36 64 3
9
16
6 3
9
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 56 
b. Ta có: 
6
2log 360B 
3 6
2log ( 2. 3. 5) 
1 1 1
2 3 6
m n 
Qua bài tập giúp HS vận dụng tổng hợp quy 
tắc tính lôgarit của một tích và quy tắc tính 
lôgarit của một lũy thừa trong việc giải quyết 
bài tập. 
2.3.2 Rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học 
vào các môn học khác thông qua chủ đề lũy 
thừa, mũ, lôgarit 
Mục đích của biện pháp 
Dạy học tích hợp liên môn là một trong 
những nhu cầu và định hướng đổi mới 
phương pháp dạy học ở trường phổ thông 
hiện nay. Theo [6], dạy học tích hợp liên môn 
là dạy học những nội dung kiến thức liên 
quan đến hai hay nhiều môn học, là việc liên 
kết các kiến thức của các môn học để phối 
hợp, giải quyết một tình huống. Thông qua 
việc vận dụng kiến thức về lũy thừa, mũ, 
lôgarit trong các môn học khác một mặt HS 
vừa được củng cố kiến thức về lũy thừa, mũ, 
lôgarit, mặt khác còn thấy được vai trò công 
cụ của môn Toán, mối quan hệ liên môn giữa 
các môn học như Vật lí, Sinh học, Địa lí... 
Hướng dẫn thực hiện 
Cách thức và mức độ tích hợp phải được GV 
nghiên cứu để thiết kế và tổ chức dạy học sao 
cho các tình huống dạy học tích hợp phát huy 
được vai trò của các môn học, tránh khiên 
cưỡng, làm mất đi ý nghĩa, tính chính xác về 
khoa học của các lĩnh vực khoa học, đồng 
thời phải phù hợp với đối tượng HS và cơ sở 
vật chất của nhà trường. Trong khuôn khổ của 
một tiết dạy Toán, GV có thể lồng ghép các 
tình huống tích hợp liên môn vào các giai 
đoạn khác nhau như: gợi động cơ, hình thành 
kiến thức, củng cố, tìm tòi, mở rộng, đào sâu. 
a) Thiết kế tình huống dạy học liên môn để 
gợi động cơ hình thành kiến thức lũy thừa, 
mũ, lôgarit 
Việc gợi động cơ bằng các tình huống dạy 
học liên môn làm cho quá trình học tập có ý 
nghĩa hơn và từ đó HS xác định rõ mục tiêu, 
các mối quan hệ giữa các môn học khác nhau. 
Ví dụ 3: GV có thể gợi động cơ hình thành 
khái niệm lôgarit từ vấn đề tiếng ồn (độ to của 
âm thanh) trong thực tiễn đồng thời cũng liên 
quan đến độ ồn của âm thanh (mức cường độ 
âm) trong Vật lí. 
Tình huống (thảo luận nhóm): Người ta biết 
được công suất âm thanh từ tiếng la hét của 
một em bé là 9,5 (W). Hãy tính độ ồn của âm 
thanh này. 
Câu hỏi 1: Làm thế nào giải quyết được vấn 
đề này? 
Câu hỏi 2: Hãy biểu diễn 9,5 dưới dạng 10x ? 
Câu hỏi 3: Hãy tính độ ồn âm thanh la hét của 
em bé ở trên? 
Thông qua ví dụ, GV phân tích và giúp HS 
phát hiện ra khái niệm lôgarit như sau: 
Vấn đề đặt ra là cần biểu diễn chính xác số 
mũ x trong lũy thừa cơ số 10 sao cho bằng 
một số dương bất kỳ. Mặt khác, các nhà Toán 
học đã chứng minh được rằng với hai số 
dương a, b, a 1, luôn tồn tại duy nhất số mũ 
 sao cho a b (điều này sẽ được kiểm 
chứng lại ở bài hàm số mũ). Để giải quyết vấn 
đề này, các nhà Toán học đã đi tìm cách thức 
tổng quát cho việc tìm kiếm số mũ trong biểu 
thức lũy thừa đó với cơ số bất kì. Qua bài học 
hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm 
lôgarit - ý tưởng Toán học được sử dụng để 
biểu diễn cho số mũ trong a b với 
, 0, 1a b a . 
Ví dụ 4: Giúp HS thấy được khái niệm hàm số 
mũ xuất phát từ nhu cầu thực tiễn liên quan đến 
sự tăng trưởng của vi khuẩn trong Sinh học. 
GV đưa ra bài toán sau “Sự tăng trưởng của 
một loài vi khuẩn tuân theo công thức 
. rtS Ae , trong đó A là số lượng vi khuẩn 
ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r>0), t là thời 
gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn 
ban đầu là 100 con và tỉ lệ tăng trưởng của 
loài vi khuẩn này là 21% . Hỏi sau 10 giờ có 
bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số 
lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?” 
Giải: Áp dụng công thức . rtS Ae ta có: 
Sau 10 giờ sẽ có số con vi khuẩn là: 
0,21.10100.S e 
2,1100.e 816 (con) 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 57 
Để số lượng vi khuẩn gấp đôi số lượng ban 
đầu thì 0,21.200 100. te 
0,21 2te ln 2 3,3
0,21
t (giờ) 
GV gợi mở: Sự tăng trưởng của loài vi khuẩn 
trên biến thiên theo đại lượng thời gian t với ẩn 
t ở số mũ của lũy thừa được gọi là hàm số mũ. 
Tình huống bài tập đưa ra nhằm hình thành 
khái niệm hàm số mũ cho HS và cũng có thể 
dùng để gợi động cơ hướng HS đến việc giải 
phương trình mũ ( )f xa b . 
b) Sau khi học xong kiến thức phần lũy thừa, 
mũ, lôgarit cho HS vận dụng kiến thức Toán 
học vào các tình huống liên môn. 
Trong chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit ở trường 
phổ thông có nhiều nội dung liên quan hoặc 
có thể được khai thác, sử dụng trong các môn 
học khác như: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Địa 
lí Khai thác tốt những yếu tố liên môn vừa 
giúp HS giải quyết các tình huống trong các 
môn học khác đồng thời góp phần r ...  khuẩn sinh sản theo 
kiểu phân đôi tế bào với thời gian thế hệ là 30 
phút, giả sử ban đầu chỉ có một tế bào. 
Thời gian 
t (phút) 
60 90 120 150 180 200 240 
Số lượng 
tế bào N 
a) Điền các số thích hợp vào ô trống và tìm 
công thức liên hệ giữa số lượng tế bào N và 
thời gian t. 
b) Cần bao lâu để từ một tế bào ban đầu ta có 
1024 tế bào? 
c) Số tế bào trong quần thể là bao nhiêu sau 
24 giờ 45 phút? 
Bài toán 2: Khoảng 200 năm trước, hai nhà 
khoa học pháp Clausius và Clapeyron đã thấy 
rằng áp lực của hơi nước (tính bằng milimet 
thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó 
chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước 
chứa trong bình kín được tính theo công thức: 
27310
k
tP a , trong đó t là nhiệt độ C của 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 59 
nước, a và k là những hằng số. Cho biết 
2258,624k . 
a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 
100 C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg 
(tính chính xác đến hàng phần chục). 
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ 
của nước là 40 C (tính chính xác đến hàng 
phần chục). 
 - Em hãy đưa ra phương án để giải quyết 2 
bài toán trên? 
 - Để giải quyết 2 bài toán trên em đã sử dụng 
những kiến thức nào trong chủ đề lũy thừa, 
mũ, lôgarit? Tại sao? 
GV quan sát và giúp đỡ khi HS gặp khó khăn. 
Trong bài tập 1 trước tiên, GV giải thích lại 
khái niệm thời gian thế hệ đã được học ở môn 
Sinh học làm cơ sở để HS giải quyết bài toán 
trên: Thời gian từ khi sinh ra một tế bào cho 
đến khi số tế bào của quần thể tăng lên gấp đôi 
gọi là thời gian thế hệ. Trong sự phân đôi của 
tế bào số lượng vi khuẩn trong quần thể tăng 
lên gấp đôi sau khi kết thúc thời gian thế hệ. 
 - Ở câu a, quá trình lập bảng tìm hiểu mối 
liên hệ giữa N và t (thời gian khớp với thời 
điểm kết thúc thời gian thế hệ). HS dễ phát 
hiện được mối liên hệ giữa N và t là 302
t
N 
(có thể dùng chiến lược tỉ lệ hay chiến lược 
lôgarit 
230logt N ). Dựa vào mối liên hệ 
302
t
N , HS lần lượt tìm được các giá trị N 
một cách dễ dàng khi biết giá trị t. 
 - Ở câu b, vì số liệu về số lượng tế bào đưa 
ra phải thỏa điều kiện sản sinh tế bào theo 
nguyên tắc gấp đôi nên số liệu này phải biểu 
diễn được với dạng 2T với số mũ T nguyên 
dương. Do đó, thông qua biểu thức 
301024 2
t
 , HS sẽ dễ dàng sử dụng trực tiếp 
định nghĩa lôgarit để tìm t thông qua 
2log
30
t
N . 
 - Trong câu c, ý đồ của GV là quay lại kiểu 
câu hỏi tìm N khi biết t, nhưng lúc này số liệu 
thời gian t không đủ để phân chia tế bào trong 
các phút cuối cùng điều này gây khó khăn cho 
HS. Gặp phải vấn đề này HS phải biết cách 
điều câu trả lời của mình thành 302
t
N
 , 
trong đó 
30
t 
 là phần nguyên của 
30
t . 
Sau khi thời gian hoạt động nhóm kết thúc, 
GV treo sản phẩm của các nhóm lên bảng và 
gọi đại diện của 2 nhóm lên trình bày lời giải 
của nhóm mình, GV và HS cả lớp cùng thảo 
luận và đưa ra lời giải chính xác. 
Hoạt động 2: GV cho HS trình bày những ví 
dụ đã sưu tầm được ở nhà và tổ chức cuộc thi 
giữa các nhóm để giải quyết các bài tập đó. 
GV chọn ba bài tập điển hình có liên môn 
giữa Toán với các môn học khác và tổ chức 
cho HS các nhóm cùng thảo luận. 
Nếu HS không tìm được ví dụ tốt thì GV có 
thể cung cấp các ví dụ dự phòng sau: 
Bài toán 3: (Độ chấn động trong Địa lí) 
Cường độ một trận động đất M (richter) được 
cho bởi công thức: 
0logA logM A với A là 
biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ 
chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20, một trận động 
đất ở SanFrancisco có cường độ 8,3 độ 
Richter. Trong cùng năm đó, một trận động 
đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp 4 
lần. Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là? 
Bài toán 4: (Độ pH trong Hóa học) Trong 
mỗi dung dịch, nồng độ ion hidro [H3O+] đặc 
trưng cho tính axit, nồng độ hydroxyn [OH-] 
đặc trưng cho tính bazơ (kiềm). Để đặc trưng 
cho tính axit, bazơ của một dung dịch người 
ta chỉ xét độ pH với pH=-log[H3O+]. Do đó 
ta có pH 7: 
dung dịch có tính kiềm; pH = 7: dung dịch là 
trung tính. 
Hãy tính độ pH của bia, rượu nếu biết bia có 
[H3O+]=0,00008 và rượu có[H3O+]= 0,0004. 
Bài toán 5: Trên mặt mỗi chiếc radio đều có 
vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn 
đúng sóng radio cần tìm. Biết rằng vạch chia 
ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một 
khoảng d (cm) thì ứng với tần số dF ka 
(kHz), trong đó k và a là hai hằng số được 
chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với 
tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng 
với tần số 160 kHz và hai vạch này cách nhau 
12 cm. 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 60 
a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng 
phần nghìn). 
b) Giả sử đã cho F hãy giải phương trình 
dka F với ẩn d. 
c) Áp dụng kết quả ý b) hãy điền vào chỗ 
trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác 
đến hàng phần trăm). 
F 53 60 80 100 120 140 160 
D 
 - GV chất vấn với các nhóm xung phong và 
tổng kết một vài các ứng dụng của nội dung 
chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit đối với các môn 
học khác trong chuyên đề. 
- GV giới thiệu thêm những nội dung khác có 
thể ứng dụng chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit 
như: Tính tuổi thọ của cây, bài toán liên quan 
đến khối lượng chất phóng xạ trong môn Vật 
lí và một số ứng dụng khác trong lĩnh vực y 
tế, kinh tế 
Hoạt động 3: Tìm tòi, mở rộng, đào sâu kiến thức 
GV yêu cầu HS tiếp tục tìm thêm các ứng 
dụng của chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit trong 
các lĩnh vực khoa học khác và trong thực tiễn 
cuộc sống. 
2.4 Rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học 
vào thực tiễn thông qua chủ đề lũy thừa, 
mũ, lôgarit 
2.4.1 Biện pháp 
Mục đích của biện pháp 
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và chính 
các kết quả Toán học lại phục vụ cho thực 
tiễn, cải tạo thực tiễn. Do đó, trong quá trình 
dạy học Toán nói chung và dạy học chủ đề 
lũy thừa, mũ, lôgarit nói riêng cần làm cho 
HS thấy rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa Toán 
học với thực tiễn, vừa làm yêu cầu của việc 
phát triển tư duy biện chứng cho HS; đồng 
thời HS thấy các kiến thức, kĩ năng Toán học 
gần gũi với các em, tạo cho các em hứng thú 
và đam mê học toán. 
Phương pháp chung để giải các bài toán có 
nội dung thực tiễn 
Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa 
dạng, phong phú xuất phát từ những nhu cầu 
khác nhau trong lao động sản xuất của con 
người. Do vậy, càng không thể có một thuật 
giải chung để giải quyết các bài toán thực 
tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn 
chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện 
cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. 
Dựa trên đặc thù của bài toán thực tiễn, dựa 
trên tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý 
chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán 
cùng với việc kiểm nghiệm thông qua thực 
tiễn dạy học, chúng tôi đề xuất phương pháp 
chung để giải các bài toán thực tiễn như sau: 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán 
Ở bước này HS phải thực hiện Toán học hóa 
bài toán, chuyển tình huống thực tiễn dưới 
dạng ngôn ngữ thông thường thành bài toán 
Toán học, các dữ kiện được biểu thị bằng các 
ẩn số, các con số, biểu đồ, đồ thị,... Các ràng 
buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn 
được chuyển thành các biểu thức, các phương 
trình, hệ phương trình, bất phương trình,... 
Bước 2: Tìm cách giải cho bài toán đã được 
thiết lập 
Sau khi thiết lập được bài toán, để giải bài 
toán đó HS cần tìm tòi và phát hiện cách giải 
nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: 
biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, 
liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những 
tri thức đã biết về thực tiễn và về Toán học; 
liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ 
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán 
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên 
quan, sử dụng những phương pháp đặc thù 
với những dạng toán; kiểm tra lời giải bằng 
cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc 
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết 
quả với một số tri thức có liên quan. 
Bước 3: Trình bày lời giải 
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các 
việc phải làm thành một chương trình gồm 
các bước thực hiện theo một trình tự thích 
hợp và thực hiện các bước đó. 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 61 
Bước 4: Kết luận và nghiên cứu sâu lời giải 
HS đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của 
bài toán thực tiễn, thường là một kết quả đo 
đạc, một phương án, một kế hoạch sản suất... 
do thực tiễn đặt ra; đồng thời cần có sự nghiên 
cứu sâu lời giải nghiên cứu khả năng ứng dụng 
kết quả của lời giải, nghiên cứu những bài toán 
tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây 
là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, 
tìm tòi sáng tạo của HS. 
Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải 
toán có nội dung thực tiễn như đã nêu ở trên 
và cần tăng cường rèn luyện cho HS khả năng 
và thói quen ứng dụng kiến thức, kĩ năng và 
phương pháp Toán học vào những tình huống 
cụ thể khác nhau (trong học tập, trong lao 
động sản xuất, trong đời sống,). 
Cách thức thực hiện biện pháp 
a) Gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tiễn 
thông qua chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit. 
Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể 
nêu: Thực tế gần gũi xung quanh HS; Thực tế 
xã hội rộng lớn (kinh tế, kĩ thuật, quốc 
phòng,); Thực tế ở những môn học và khoa 
học khác. 
Tuy nhiên, Toán học phản ánh thực tế một 
cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó không phải 
bất cứ nội dung, hoạt động nào cũng có thể 
được gợi động cơ xuất phát từ thực tế. Vì vậy, 
ta còn cần tận dụng cả những khả năng gợi 
động cơ xuất phát từ nội bộ môn Toán. 
Ví dụ 8: GV có thể giúp HS thấy được khái 
niệm phương trình mũ xuất phát từ nhu cầu 
của thực tiễn: 
“Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân 
hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với 
lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu 
năm gửi người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu 
đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất 
không thay đổi)?” 
GV gợi ý: Nếu gọi số tiền ban đầu là P, sau n 
năm số tiền thu được là nP thì nP được tính 
bằng công thức nào? 
Dự đoán câu trả lời của HS: 
(1 0.0756) (1,0756)n nnP P P 
GV: Để có ít nhất 120 triệu đồng ta có điều 
kiện gì? 
HS: 
120.000.000 60.000.000(1,0756) 120.000.000nnP 
(1,0756) 2n 
 Do đó 
1,0756log 2 9,51n (năm) 
Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít 
nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng 
ban đầu. 
GV gợi mở: Việc giải các phương trình có 
chứa ẩn số ở mũ của lũy thừa như phương 
trình trên được gọi là phương trình mũ. 
Ví dụ 9: Để hình thành khái niệm hàm số mũ 
xuất phát từ thực tế GV đưa ra bài Toán sau: 
“Dân số thế giới được ước tính theo công 
thức niS Ae trong đó A là dân số của năm 
lấy làm mộc tính, S là dân số sau n năm, i là 
tỉ lệ tăng dân số hằng năm. 
Cho biết năm 2017, Việt Nam có 94 970 597 
người và tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm là 
trung bình là 1% (số liệu của Tổng cục Thống 
Kê Việt Nam). Hỏi năm 2030 Việt Nam sẽ có 
bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng 
năm không đổi?” 
Giải: Áp dụng công thức niS Ae ta có: 
Dân số Việt Nam năm 2030 là 
(13.0,01)94970597.S e 108 155 211 (người). 
GV gợi mở: Dân số Việt Nam thay đổi từng 
năm theo công thức niS Ae , với ẩn là n ở số 
mũ của lũy thừa được gọi là một hàm số mũ. 
 b) Sau khi học xong kiến thức phần lũy thừa, 
mũ, lôgarit cho HS vận dụng kiến thức Toán 
học vào thực tiễn cuộc sống 
Việc rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức 
Toán học chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit vào 
thực tiễn vừa nhằm hình thành, củng cố cho 
HS những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo vừa phát 
triển năng lực tư duy của HS. Đặc biệt là rèn 
luyện các thao tác trí tuệ, góp phần phát triển 
năng lực Toán học ở HS. Tổ chức cho HS 
luyện tập ứng dụng kiến thức (bao gồm cả kĩ 
năng) vào những tình huống khác nhau trong 
cuộc sống là một khâu quan trọng của quá 
trình dạy học, không những giúp HS lĩnh hội 
Bùi Thị Hạnh Lâm và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 198(05): 53 - 62 
 Email: jst@tnu.edu.vn 62 
và củng cố kiến thức mà còn là cơ sở quan 
trọng chủ yếu để đánh giá chất lượng và hiệu 
quả học tập. Trên cơ sở đó, người thầy lựa 
chọn hoạt động dạy học tiếp theo: tiếp tục 
củng cố hoàn thiện nội dung đó hay chuyển 
sang nội dung khác. 
Ví dụ 10: Sau khi học xong lôgarit, trong 
phần củng cố hoặc tìm tòi, mở rộng, GV có 
thể cho HS sử dụng các kiến thức về mũ, 
lôgarit vào giải quyết tình huống trong kinh 
tế, xã hội như: 
Bài toán 1: Một người gửi 15 triệu đồng vào 
ngân hàng theo cách nếu đến kì hạn người gửi 
không rút lãi thì tiền lãi được tính vào vốn 
của kì kế tiếp (được gọi là thể thức lãi kép), 
với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu 
người đó được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn 
lẫn lãi, giả sử lãi suất không thay đổi. 
Giải: Theo công thức lãi kép, số tiền cả vốn 
lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là: 
 15 1 0,0165 15.1,0165
n nS . 
Theo bài ta có 20S . Do đó: 20 15.1,0165n 
1,0165
20
log 17,58
15
n 
(quý) 
Vậy sau 4 năm 6 tháng người đó sẽ nhận 
được ít nhất 20 triệu đồng. 
Bài toán 2: Biết rằng năm 2016 dân số Việt 
Nam là 92,4 triệu người (số liệu của Tổng 
cục Thống Kê Việt Nam) và tỉ lệ tăng dân số 
hàng năm luôn là 1% thì ước tính dân số 
Việt Nam sau x năm sẽ là: 
0,01.92,4. xe 
(người). Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như 
vậy thì sau bao nhiêu năm nữa dân số nước 
ta ở mức trên 120 triệu người? 
Giải: Theo bài ta có: 
0,01.120 92,4. xe 
 Lấy lôgarit tự nhiên hai vế ta được: 
0,01.ln120 ln(92,4. )xe 
ln120 ln 92, 4
26,1
0,01
x
 (năm) 
Vậy sau khoảng 27 năm dân số nước ta ở mức 
trên 120 triệu người. 
Qua tình huống này HS không những được 
củng cố về kiến thức mũ, lôgarit mà còn được 
hiểu được các vấn đề liên quan đến lãi suất 
ngân hàng, tỉ lệ tăng dân số. 
Như vậy, việc rèn luyện kĩ năng vận dụng 
Toán học cho HS là cần thiết và có thể được 
thực hiện trong các thời điểm, giai đoạn khác 
nhau của tiết học Toán ở trường phổ thông. 
Chủ đề lũy thừa, mũ, lôgarit nói riêng và môn 
Toán nói chung có nhiều tiềm năng để rèn 
luyện kĩ năng vận dụng Toán học cho HS. Do 
đó, GV nên tận dụng các cơ hội để phát triển 
kĩ năng này cho HS trong quá trình dạy học 
Toán ở trường phổ thông. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Quang Cẩn, Tâm lí học đại cương, 
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005. 
[2]. Lê Văn Hồng (chủ biên), Tâm lí học lứa tuổi 
và tâm lí học sư phạm, Nhà xuất bản Đại học 
Quốc gia, Hà Nội, 2001. 
[3]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn 
Toán, Nxb Sư phạm Hà Nội, 2011. 
[4]. Lesh, R. - Sriraman, B., 2001 Mathematics 
Education curricula In Blum, W.et.al. (Eds.), 
Application and modelling in learning and 
teaching mathematics, 22-31. Chichester: Ellis 
Horwood, 2005. 
[5]. Nguyễn Danh Nam, Phương pháp mô hình 
hóa trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, 
NXB Đại học Thái Nguyên, 2016. 
[6]. Trần Thị Thanh Thủy, Nguyễn Công Khanh, 
Nguyễn Văn Ninh, Nguyễn Mạnh Hưởng, Bùi 
Xuân Anh, Lưu Thị Thu Hà, Dạy học tích hợp 
phát triển năng lực học sinh, Nxb Đại học Sư 
phạm, 2016. 
[7]. Rogiers X, Khoa sư phạm tích hợp hay làm 
thế nào để phát triển các năng lực ở nhà trường, 
Nxb Giáo dục, 1996. 
[8]. Viện ngôn ngữ học, Từ điển Tiếng Việt, Nhà 
xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh, 2005.