Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua tìm lời giải và khai thác bài toán chứng minh hình học trung học cơ sở

TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 1 - 8 
1 
RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CHO HỌC SINH 
THÔNG QUA TÌM LỜI GIẢI VÀ KHAI THÁC BÀI TOÁN 
CHỨNG MINH HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ 
 Hoàng Thị Thanh1 
 Trường Đại học Tây Bắc 
Tóm tắt: Một trong những mục tiêu của môn Toán ở trường phổ thông là phát triển các năng lực trí tuệ 
chung, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học. Trong bài báo này, tôi trình bày nghiên cứu về 
việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua tìm lời giải và khai thác bài toán chứng minh 
hình học trung học cơ sở (THCS). Mỗi biện pháp đề xuất đều được làm sáng tỏ thông qua một số ví dụ 
minh họa. 
Từ khóa: Hoạt động trí tuệ chung, Trung học cơ sở, Bài toán chứng minh hình học. 
1. Đặt vấn đề 
Do tính đặc thù, môn Toán đòi hỏi học sinh (HS) phải thường xuyên thực hiện các hoạt 
động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa... nên 
có nhiều cơ hội để rèn luyện các hoạt động trí tuệ này, đồng thời giúp hình thành ở HS khả 
năng suy đoán, tưởng tượng và phương pháp tư duy hiệu quả. 
Trong các bài toán hình học ở trung học cơ sở, bài toán thường gặp nhất là bài toán 
chứng minh. Các bài toán chứng minh hình học đã từng hấp dẫn nhiều thế hệ học sinh vì 
những lời giải đẹp. Chính vì vậy, tôi chọn bài toán chứng minh hình học để rèn luyện các hoạt 
động trí tuệ chung cho học sinh. 
2. Các hoạt động trí tuệ chung 
2.1. Phân tích và tổng hợp 
“Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành 
những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, 
liên kết nhiều vật thành một hệ thống” [3]. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái 
ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. 
Trong hoạt động giải toán, có thể hiểu phân tích (phép phân tích) là phương pháp suy 
luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết. 
Phân tích đi lên (suy ngược lùi) có sơ đồ như sau: 0 1 nB B B ... B A.    
Phân tích đi xuống (suy ngược tiến) có sơ đồ như sau: 0 1 nB B B ... B A. 
Trong hai sơ đồ trên cũng như sơ đồ dưới đây, A là một định nghĩa, tiên đề hay một 
mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh. 
1
 Ngày nhận bài: 26/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 
Liên lạc: Hoàng Thị Thanh, e - mail: hoangthanhppt@gmail.com 
2 
Trong phạm vi toán học, tổng hợp (phép tổng hợp) còn được gọi là phép suy xuôi là 
phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết. Sơ đồ của phép tổng hợp như sau: 
0 1 nA A A ... A B . Thông thường phép này được dùng để trình bày lời giải sau 
một quá trình phân tích. 
2.2. So sánh và tương tự 
So sánh là thao tác tư duy nhằm phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm 
khác nhau ở một số đối tượng. 
“Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những 
đối tượng toán học khác nhau” [4]. 
Có thể mô tả kết luận dựa trên sự tương tự của hai đối tượng A và B như sau: Đối tượng A 
có các tính chất a, b, c. Đối tượng B có các tính chất a, b. Vậy B có thể có tính chất c. 
Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụng trong việc giảng 
dạy toán học. Song, cũng giống như phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tương tự có thể 
dẫn đến kết luận sai. 
2.3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa 
“Khái quát hoá là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc 
nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm 
chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [4]. 
“Đặc biệt hoá là quá trình ngược lại của khái quát hoá, là việc chuyển từ việc nghiên cứu 
một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó” [4]. 
Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong tìm tòi và giải toán, Từ một 
tính chất nào đó, muốn khái quát hóa thành một dự đoán nào đó, trước hết ta thử đặc biệt hóa; 
nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, 
nếu sai ta dừng lại. 
2.4. Trừu tượng hóa 
Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. 
Sự phân biệt bản chất với không bản chất mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích 
hành động [3]. 
Về mặt toán học, trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tính 
chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế giới khách quan) để nghiên cứu 
riêng tính chất đó. 
3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua tìm lời giải và khai thác 
bài toán chứng minh hình học 
3.1. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua tìm lời giải bài toán 
Bài tập toán nói chung và các bài toán chứng minh hình học nói riêng thường không có 
thuật toán nào tổng quát để giải mà phải dựa trên cơ sở phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, so 
3 
sánh, tương tự để nhận dạng bài toán, tìm và liên hệ xem có bài toán nào tương tự,.. từ đó đưa 
ra lời giải tốt nhất. Chính vì vậy thông qua việc tìm lời giải bài toán sẽ giúp rèn luyện các hoạt 
động trí tuệ chung cho học sinh. 
Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). E là giao điểm của hai đường chéo. 
Chứng minh EA= EB; EC= ED 
 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên: 
Để chứng minh EA= EB ta chứng minh EAB cân tại E 
tức là chứng minh BAC ABD , muốn vậy, ta chứng minh
BAC và ABD là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng 
nhau. Dễ dàng chọn ABC và BAD. Theo tính chất của 
hình thang cân HS dễ dàng chứng minh được ABC BAD 
(c.g.c) do có BA chung, BAD ABC , AD=BC. 
Phân tích đi lên là một phương pháp suy luận hiệu quả được sử dụng nhiều trong việc tìm lời 
giải của bài toán. Còn khi trình bày lời giải bài toán chứng minh, ta thường dùng phương pháp 
tổng hợp (suy xuôi), tức là trình bày theo thứ tự ngược lại của bước phân tích đi lên. 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB AC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD AC . 
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng: .
1
BEF BAC
2
Hướng dẫn HS phân tích tìm cách giải: 
Giả thiết cho BD AC và các trung điểm E, F. Nhìn 
vào hình vẽ ta thấy để liên kết các giả thiết với nhau cần 
thiết phải vẽ thêm hình phụ. 
Khi có trung điểm một cạnh trong tam giác, ta thường 
nghĩ đến vẽ thêm trung điểm một cạnh khác, hoặc đường 
trung bình, trung tuyến. Hơn nữa, từ kết luận gợi ý cho ta 
tạo ra một góc bằng BAC và có một cạnh là BE. Từ đây ta vẽ thêm điểm O là trung điểm của 
DC. Và do đó, EO là đường trung bình của tam giác EOF 
nên ta có BEO BAC (đồng vị). Từ đây ta chuyển bài toán 
về chứng minh .
1
BEF BEO
2
Theo cách lấy điểm O ta dễ dàng suy ra EOF cân tại 
O nên .OEF OFE Mà BEF OFE (so le trong). Nên 
 BEF OEF hay .
1
BEF BEO
2
Các cách khác: Theo phân tích để vẽ thêm hình phụ ở trên 
thay vì vẽ thêm điểm O ta có thể vẽ một trong các điểm sau: 
+ Trên tia CE vẽ điểm H sao cho E là trung điểm của CH. Ta chứng minh được BDH 
cân tại H. 
E
A
D
B
C
O
E
F
A
B C
D
H
E
F
A
B C
D
4 
+ Vẽ điểm I là trung điểm của AB, ta cũng có EIF cân tại I và BIF BAC . 
+ Trên tia DF ta lấy điểm K sao cho F là trung điểm của DK. Ta cũng chứng minh được 
ACK cân và lập luận suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC, cạnh a, M là điểm nằm trong miền tam giác. Chứng 
minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến các cạnh của ∆ABC là một hằng số. 
Hướng dẫn tìm cách giải: 
Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các 
cạnh BC, CA, AB. Khi đó ta cần chứng minh tổng x + y 
+ z = k không đổi. Để tìm được số k trước hết giáo viên (GV) 
cho HS đặc biệt hoá như sau: 
+ Cho MG x + y + x = 
a 3
2
(đó là chiều cao tam giác 
đều cạnh a). Vậy k = 
a 3
2
+ Hoặc, đặc biệt hóa bằng cách cho M B , khi đó 
x , z0 0 và y h là độ dài đường cao đỉnh B, cũng chính là 
chiều cao của tam giác đều ABC. 
Có thể nói, rèn luyện khả năng tìm lời giải bài toán là khâu 
có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán. Có nhiều con đường khác 
nhau để đi từ giả thiết đến kết luận, hay nói cách khác có nhiều cách giải khác nhau cho cùng 
một bài toán. GV cần thường xuyên tập luyện cho HS những hoạt động trí tuệ này để khi 
đứng trước mỗi bài toán, mỗi vẫn đề, HS có thể có phương pháp suy luận hiệu quả, lựa chọn 
được giải pháp tối ưu. 
3.2. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học 
sinh khai thác bài toán 
Xuất phát từ một bài toán hay từ lời giải của bài toán, GV có thể hướng dẫn HS khai 
thác bài toán bằng cách thực hiện một số hoạt động trí tuệ chung như: khái quát hóa, đặc biệt 
hoá, phân tích, tương tự để HS có thể tự tạo ra các bài toán mới, rèn luyện tính độc lập, khả 
năng sáng tạo cho các em. Đây là một biện pháp hiệu quả giúp rèn luyện các hoạt động trí tuệ 
chung cho học sinh. Dưới đây là một số ví dụ: 
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng ra ngoài tam giác các tam giác 
vuông cân tại A là CAE và BAD. Gọi P, Q, M lần lượt là trung điểm của BD, CE, CB. Chứng 
minh rằng: 
a. BE CD và BE CD; 
b. Tam giác PMQ vuông cân. 
Giải 
a. Ta có: oCAE BAC 90 (giả thiết), suy ra ba điểm B, A, E thẳng hàng. 
h
A
B C
H
z
y
x
A
B C
M
F I
G
5 
oBAD BAC 90 (giả thiết), suy ra ba điểm C, A, D thẳng hàng. 
Từ đây ta cũng suy ra BE CD và BE BA AE , CD CA AD. 
Mà BA AD (giả thiết), AC AE (giả thiết). Do đó BE CD. 
b. Từ giả thiết suy ra MP là đường trung bình của BDC do đó MP / /CD (hay 
MP / /AC ) và 
1
MP CD
2
 . (1) 
Tương tự, MQ là đường trung bình của BECnên 
MQ / /BE (hay MQ / /AB ) và 
1
MQ BE
2
 (2) 
Theo a) ta có BE CD (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra MP MQ (4) 
Mặt khác, BAC 90  (tức AB AC ) và 
MP / /AC , MQ/ /AB suy ra MP MQ (5) 
Từ (4) và (5) suy ra MPQ vuông cân tại M. 
Sau khi tìm được lời giải của bài toán, GV hướng dẫn HS sử dụng các hoạt động trí tuệ: 
phân tích, tương tự và khái quá hóa,... để khai thác bài toán. Cụ thể: 
Nhận xét 1(tương tự): Giả sử tam giác ABC cho trước không phải là tam giác vuông mà là 
tam giác thường, có A 90  chẳng hạn. Thiết lập bài toán tương tự, khi đó những điều đã chứng 
minh được ở trên có còn đúng không? Ta cũng chứng minh được kết quả tương tự, từ đó ta có Bài 
toán 1.1. 
 Bài toán 1.1: Cho tam giác thường ABC (có 
oA 90 ). Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự dựng ra phía 
ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân CAE và 
BAD. Gọi P, Q, M lần lượt là trung điểm của BD, CE, 
CB. Chứng minh rằng: 
a. BE CD và BE CD ; 
b. Tam giác PMQ vuông cân. 
Giải 
a. Xét DAC và BAE có: AD AB (giả thiết), 
AC AE (giả thiết), DAC 90 BAC BAE.  Suy ra 
 DAC = BAE. Do đó BE = CD và ACD AEB 
Gọi I là giao điểm của BE và CD. Xét DAC có: 
IEC 45 AEB 45 ACD 45 ACI    
oECI 45 ACI 
Suy ra EIC 180 IEC ECI 180 45 ACI 45 ACI 90      . Vậy BE  CD. 
I
M
Q
P A
B C
E
D
M
P
Q
A
B C
D
E
6 
b. Chứng minh tương tự như Bài toán 1. 
Nhận xét 2 (tương tự): Nếu tam giác ABC đã cho có A 90  . Thiết lập bài toán tương 
tự, khi đó những điều đã chứng minh được ở trên còn đúng không? Ta cũng chứng minh được 
kết quả trên, từ đó ta có Bài toán 1.2. 
Bài toán 1.2 được phát biểu và chứng minh tương tự như Bài toán 1.1. 
Nhận xét 3 (khái quát hóa): Sau khi đã giải xong các bài toán trên, ta đi đến bài toán 
tổng quát cho cả ba bài toán trên. Ta có Bài toán 1.3. 
Bài toán 1.3: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC cho trước các tam giác vuông cân tại A 
là CAE và BAD. Gọi P, Q, M lần lượt là trung điểm của BD, CE, CB. Chứng minh rằng: 
a. BE CD và BE CD 
b. Tam giác PMQ vuông cân. 
Đến đây GV hướng dẫn HS phân tích kết quả của bài toán như sau: 
Nhận xét 4 (phân tích - tổng hợp): Gọi N là giao 
điểm của MP và BE, K là giao điểm của, MQ và CD. Khi 
đó, từ kết quả của Bài toán 1.3 hãy nhận xét về hình dạng 
của tứ giác NIKM (dễ dàng suy ra tứ giác NIKM là hình 
chữ nhật). Do đó ta có thể thay kết luận a) và b) của bài 
toán trên bằng câu hỏi khác. Ta có Bài toán 1.4. 
Bài toán 1.4: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC 
cho trước các tam giác vuông cân tại A là CAE và BAD. 
Gọi P, Q, M lần lượt là trung điểm của BD, CE, CB; N 
là giao điểm của MP và BE, K là giao điểm của MQ và 
CD. Chứng minh tứ giác NIKM là hình chữ nhật. 
Nhận xét 5 (phân tích - tổng hợp): Gọi J là trung điểm của DE. Khi đó, theo cách chứng 
minh Bài toán 1, hãy nhận xét hình dạng của tam giác PJQ (tam giác PJQ vuông cân tại J). Từ 
đó nhận xét hình dạng của tứ giác PMQJ (tứ giác PMQJ là hình vuông). Vậy, ta có thể bổ 
sung yêu cầu cho Bài toán 1 như sau: “c. Gọi J là trung điểm của DE. Chứng minh PMQJ là 
hình vuông”. 
Nhận xét 6 (tương tự): Ta tiếp tục hướng dẫn HS khai thác tương tự bằng cách thay giả 
thiết dựng ra ngoài tam giác ABC cho trước các tam giác vuông cân tại A là BAD và CAE 
bằng việc dựng ra ngoài hai tam giác đều. Khi đó, kết quả của bài toán sẽ thay đổi thế nào? Ta 
sẽ được bài toán mới với kết quả mới BE,DF 60 .  
Ngoài việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ, GV còn có thể rèn luyện hoạt động ngôn ngữ 
cho HS bằng cách yêu cầu HS phát biểu các bài toán trên theo những cách khác nhau... Chẳng 
hạn: Bài toán 1 có thể được phát biểu dưới dạng khác. Ta có Bài toán 1.5. 
Bài toán 1.5: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC cho trước các hình vuông BADG và 
CAEF. Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông BADG và CAEF, M là trung điểm của BC. 
Chứng minh rằng: a. BE CD và BE CD ; b. Tam giác PMQ vuông cân. 
K
N
I
J
M
P
Q
A
B C
E
D
7 
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến 1 1 1AA , BB , CC cắt nhau tại G. 
Chứng minh rằng 1 1 1
1 1 1
GA GB GC
1
AA BB CC
 . (1) 
Giải 
Từ giả thiết ta suy ra G là trọng tâm của ABC nên 
ta có: 1 1 1
1 1 1
GA GB GC 1
AA BB CC 3
 . 
Suy ra 1 1 1
1 1 1
GA GB GC 1 1 1
1
AA BB CC 3 3 3
 . 
* Khai thác bài toán 
Nhận xét 1(tương tự): Ta đã chứng minh được giao điểm của ba đường trung tuyến 
trong tam giác có tính chất (1). Câu hỏi đặt ra là nếu thay giả thiết giao điểm của ba đường 
trung tuyến bằng giao điểm của ba đường cao (hay ba đường trung trực, ba đường đường 
phân giác) trong tam giác, liệu tính chất (1) còn đúng không? Ta cũng chứng minh được kết 
quả trên, do đó ta có các bài Bài toán 2.1, Bài toán 2.2, Bài toán 2.3. 
Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao 1 1 1AA , BB , CC cắt 
nhau tại H. Chứng minh rằng 1 1 1
1 1 1
HA HB HC
1
AA BB CC
 . 
Giải 
Ta có: HBC 1
1
S .HA .BC
2
 , 2 Tf L (Q ). 
Suy ra HBC 1 1
ABC 1 1
S HA .BC HA2
.
S 2 AA .BC AA
 . 
Tương tự: HAB 1
ABC 1
S HC
S CC
 , HAC 1
ABC 1
S HB
S BB
HBC HAC ABCHAB 1 1 1
ABC ABC ABC 1 1 1 ABC
S S SS HA HB HC
1
S S S AA BB CC S
 . 
Bài toán đối với giao điểm của ba đường trung trực, ba đường đường phân giác được 
phát biểu và chứng minh tương tự Bài toán 2.1. 
Nhận xét 2 (khái quát hóa): Khái quát hóa từ các bài toán trên, nếu O là một điểm bất kì 
trong tam giác ABC, khi đó tính chất (1) còn đúng không? Ta cũng chứng minh được kết quả 
trên. Từ đây ta có Bài toán 2.4. 
Bài toán 2.4: Cho O là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Các tia AO, OB, OC kéo 
dài cắt BC, AC, AB lần lượt tại 1 1A , B và 1C . Chứng minh rằng: 
G
B1C1
A1
A
B C
H
C1
B1
A
B CA1
8 
 1 1 1
1 1 1
OA OB OC
1
AA BB CC
 . (Chứng minh tương tự 
Bài toán 2.1) 
Việc khai thác bài toán không chỉ tạo cơ hội cho 
HS được rèn luyện, phát triển các năng lực trí tuệ mà 
còn giúp các em biết mở rộng, đào sâu suy nghĩ, tự 
tạo ra các bài toán mới, tự phát hiện và giải quyết vấn 
đề,... hình thành khả năng làm việc độc lập, sáng tạo. 
3. Kết luận 
Trong bài viết này, tác giả đã đề xuất biện pháp và những ví dụ cụ thể về việc rèn luyện 
các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua tìm lời giải và khai thác bài toán chứng 
minh hình học THCS. Các biện pháp rèn luyện trên có thể được thực hiện thông qua dạy học 
giải các dạng toán khác trong chương trình toán ở trường phổ thông. Đồng thời, giáo viên 
cũng có thể rèn luyện cho học sinh trong những tình huống dạy học khác (như dạy học khái 
niệm, dạy học định lí, dạy học quy tắc phương pháp). Việc rèn luyện, phát triển các năng lực 
trí tuệ cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng cần và phải được tiến hành thường xuyên, liên 
tục trong suốt quá trình dạy học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Vũ Hữu Bình (2009). Tìm cách giải bài toán hình học cấp THCS. Nhà xuất bản Giáo dục. 
[2] Polya. G (1995). Toán học và những suy luận có lí, Nhà xuất bản Giáo dục. 
[3] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên) (2006). Phương pháp dạy học đại cương môn Toán. Nhà 
xuất bản Đại học Sư phạm. 
[4] Chu Cẩm Thơ (2015). Phát triển tư duy thông qua dạy học môn Toán ở trường phổ 
thông. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm. 
[5] Vũ Dương Thụy (Chủ biên) (1999). Thực hành giải toán. Nhà xuất bản Giáo dục. 
TRAINING GENERAL INTELLECTUAL ACTIVITIES FOR STUDENTS 
THROUGH FINDING SOLUTIONS AND EXPLOITING PROVEN GEOMETRY 
PROBLEMS AT LOWER SECONDARY SCHOOLS 
Hoang Thi Thanh 
Tay Bac University 
Abstract: One of the main goals of Mathematics is to develop students' general intellectual competence 
and mathematics reasoning ability. In this article, we would like to present my research on training general 
intellectual activities for students through finding solutions and exploiting proven geometry problems at lower 
secondary schools. Each suggested method is illustrated by an appropriate example. 
Keywords: General intellectual activities, Lower secondary school, Proven geometry problems. 
A
B C
O
A1
B1
C1