Phương trình tán sắc chính xác của sóng rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước
Bài báo nghiên cứu sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất
trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. Để giải quyết bài toán, tác giả lần lượt đi tìm
các mối liên hệ giữa biên độ ứng suất và biên độ chuyển dịch của lớp và của bán không gian. Từ
các mối liên hệ này kết hợp với điều kiện biên và điều kiện liên tục giữa lớp và bán không gian, tác
giả đã tìm được phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong môi trường này.
Đồng thời để khẳng định tính chính xác của kết quả tìm được, từ công thức tìm được tác giả đưa về
được trường hợp đặc biệt là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian
đàn hồi có ứng suất trước đã được tìm trong tài liệu (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden 1991; Vinh,
2011). Các thức tìm ra ở dạng hoàn toàn tường minh, chúng sẽ là những công cụ rất hữu hiệu cho
các nhà khoa học trong và ngoài nước.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Phương trình tán sắc chính xác của sóng rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước
![Phương trình tán sắc chính xác của sóng rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước Phương trình tán sắc chính xác của sóng rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước](https://s1.tailieubachkhoa.net/rl6k7x3q9zfh00j8/thumb/2021/11/25/phuong-trinh-tan-sac-chinh-xac-cua-song-rayleigh-truyen-tron_0yahrxd4qK.jpg)
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 3 BÀI BÁO KHOA HỌC PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CHÍNH XÁC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRUYỀN TRONG BÁN KHÔNG GIAN CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC PHỦ MỘT LỚP MỎNG CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC Nguyễn Thị Khánh Linh1 Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. Để giải quyết bài toán, tác giả lần lượt đi tìm các mối liên hệ giữa biên độ ứng suất và biên độ chuyển dịch của lớp và của bán không gian. Từ các mối liên hệ này kết hợp với điều kiện biên và điều kiện liên tục giữa lớp và bán không gian, tác giả đã tìm được phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong môi trường này. Đồng thời để khẳng định tính chính xác của kết quả tìm được, từ công thức tìm được tác giả đưa về được trường hợp đặc biệt là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước đã được tìm trong tài liệu (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden 1991; Vinh, 2011). Các thức tìm ra ở dạng hoàn toàn tường minh, chúng sẽ là những công cụ rất hữu hiệu cho các nhà khoa học trong và ngoài nước. Từ khóa: sóng Rayleigh, đàn hồi có ứng suất trước, phương trình tán sắc. 1. MỞ ĐẦU* Các bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi (Achenbach, J.D. and Keshava, S.P., 1967- R. W. Ogden, 1984) có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật như Âm học, Địa chấn học, Địa vật lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không phá hủy, Chẩn đoán y học bằng hình ảnh, Công nghệ viễn thông, Các cấu trúc mỏng ngày này xuất hiện nhiều trong trong cuộc sống, nên bài toán nghiên cứu về sự truyền sóng trong các cấu trúc này đang được rất nhiều các nhà nghiên cứu quan tâm (Tiersten, H.F.,1969-P. C. Vinh and N. T. K. Linh, 2013) Khi nghiên cứu về sóng, sóng mặt Rayleigh được quan tâm nhiều nhất. Đối với sóng Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận (khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu) và đặc biệt nó còn là cơ sở lý thuyết để giải quyết các bài toán ngược (xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng 1 Khoa Cơ khí, Trường Đại học Thủy lợi (Viktorov, I. A., 1967). Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh. Đối với các môi trường bán không gian phủ lớp mỏng đẳng hướng và trực hướng, phương trình tán sắc đã được tìm ra trong các tài liệu tham khảo (Bovik, P., 1996; Tiersten, H.F., 1969; Vinh, 2011; Vinh, P.C., Linh, N.T.K., 2012 - P. C. Vinh and N. T. K. Linh, 2013). Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao hơn, phức tạp hơn, chẳng hạn môi trường đàn hồi monoclinic, môi trường có ứng suất trước, môi trường đàn hồi chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ trường,.. vẫn còn đang bỏ ngỏ. Vì vậy mục tiêu của bài báo đi tìm phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. 2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Xét một lớp vật liệu thuần nhất có độ dày h, phủ lên một bán không gian thuần nhất, giả thiết cả lớp và bán không gian là đàn hồi nén được có ứng suất trước. KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 4 Các hướng chính của biến dạng trong lớp và bán không gian là trùng nhau và vuông góc với mặt phẳng x2=0. Một trục tọa độ Cartesian vuông góc (x1, x2, x3) được sử dụng với các trục của nó trùng với các hướng chính của biến dạng. Lớp vật liệu chiếm miền –h<x2<0 và bán không gian chiếm miền tương ứng x2>0. Các độ giãn chính của bán không gian và lớp được ký hiệu tương ứng với 1 2 3, , và 1 2 3, , . Bán không gian và lớp được giả thiết là gắn chặt. Chú ý rằng các đại lượng giống nhau của bán không gian và lớp có cùng ký hiệu nhưng phân biệt bằng dấu gạch ngang ở trên nếu liên quan đến lớp. Đối với lớp, bỏ qua lực khối phương trình chuyển động có dạng(M. A. Dowaikh and et al, 1991; R. W. Ogden, 1984): 11,1 21,1 1 12,1 22,1 2, ,s s u s s u (1) trong đó là mật độ khối lượng của vật liệu ở trạng thái ban đầu. ,ji ijlk k ls A u (2) trong đó jiklA là các thành phần của tenxơ đàn hồi bậc 4 trong (M. A. Dowaikh and et al, 1991; R. W. Ogden, 1984) được xác định như sau: 2W ijkl i j i j J A (3) 2 2 2 ( , ) 1 ( , ) 2 i i j i j i j i j ijkl ijkl iijj i i j i W W i j J A W J A J A i j (4) và ( )ijji jiij ijij i i W J A J A J A i j (5) với i,j=1,2,3, 1 2 3W W( , , ) là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích ở trạng thái tự nhiên (không biến dạng) 1 2 3J ( 0k ). Để đơn giản trong cách trình bầy, ta sử dụng các ký hiệu sau: 11 1111 22 2222 12 21 1122 1 1212 2 2121 * 2112, , , , ,A A A A A A (6) Sử dụng các phương trình trên, phương trình (2) được viết lại: 11 11 1,1 12 2,2 22 12 1,1 22 2,2 12 1 2,1 * 1,2 21 * 2,1 2 1,2 , , , , s u u s u u s u u s u u (7) Từ các điều kiện strong-ellipticity, ik và k phải thỏa mãn các đẳng thức (R. W. Ogden, 1984): 11 22 1 20, 0, 0, 0 (8) Xét sóng Rayleigh truyền theo phương 1x và tắt dần theo phương 2x với vận tốc sóng c (>0) và số sóng k (>0). Khi đó các thành phần chuyển dịch và ứng suất của lớp đàn hồi có dạng 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 2( ) , ( ) , ik x ct ik x ctu U y e u U y e y kx (9) trong đó KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 5 1 1 1 2 1 3 2 4 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2 ( ) ch sh ch sh ( ) ( sh ch sh ch ) U y A b y A b y A b y A b y U y i A b y A b y A b y A b y (10) với 1 2 3 4, , ,A A A A là các hằng số, k và kb được xác định bởi 2 2 2 1 2 2 2 11 12 * 2 2 1 22 11 12 *2 2 2 2 11 1 1 2 1 2 2 22 2 22 4 4 ( ) b (X ) (X ) ( ) (X )(X ) , . , , , 1,2, 2 2 . k k k b X b S S P S S P b b n X b c S b b P (11) Thay thế (10), (11) vào (7) và kết hợp với (9), ứng suất của lớp có dạng 1 1(x ct) (x ct) 21 1 22 2, ik iks ik e s ik e (12) trong đó 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2 ( sh ch sh ch ) ch sh ch sh i A b y A b y A b y A b y A b y A b y A b y A b y (13) với * 2 12 22, , 1, 2k k k k k kb b k (14) Tại mặt biên x2=0, phương trình (13)và (10) có dạng: 1 1 3 2 1 2 2 4 1 1 2 2 4 2 1 1 2 3 (0) , (0) ( ), (0) ( ), U A A U i A A i A A A A (15) Từ phương trình (15), ta có: 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 1 2 4 2 1 1 (0) (0), (0) (0), [ ] [ ] [ ; ] [ ] 1 (0) (0), (0) (0) [ ] [ ] [ ; ] [ ] i i A U A U i i A U A U (16) Thế (16) vào (13) và (10) tại x2=-h, ta thu được mối liên hệ tuyến tính của 1 2 1( ), ( ), ( )U h U h h , và 2 ( )h với các số hạng 1(0)U , 2 (0)U , 1 (0) và 2 (0) . Mối liên hệ này có dạng ma trận là: ( ) (0)h T (17) trong đó 1 2 1 2(.) [ (.) (.) (.) (.)] TU U ξ và 1 2 3 4 T T T T T (18) với 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 [ ;sh ] [ch ][ ;ch ] i[ ;sh ] [ ; ] [ ][ ] [ ; ] , , [ch ] [ sh ][ sh ; ] [ ch ; ] [ ; ] [ ][ ] [ ; ] [ch ][ sh ] [ ] [ ; ] , [ch ] [ ; sh ] [ ] [ ; ] i T T i i i i T T i [ ; ch ] [ sh ] [ ; ] [ ] [ ; sh ] [ ch ] [ ; ] [ ] i i (19) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 6 trong đó , 1, 2,n nb n và 2 1[ch ] ch ch , 2 2 1 1 2 1 1[ ch ] ch ch , [ ; sh ] sh 2 1 1sh . Ma trận T xác định bởi (18) gọi là ma trận chuyển của lớp đàn hồi có ứng suất trước nén được. 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIÊN ĐỘ ỨNG SUẤT VÀ CÁC BIÊN ĐỘ CHUYỂN DỊCH TẠI MẶT BIÊN 3.1. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất và các biên độ chuyển dịch của lớp Xét sóng Rayleigh truyền dọc theo phương x1 và tắt dần theo x2 với vận tốc sóng c và số sóng k. Để đơn giản, các ma trận Ti (i=1,2,3,4) được viết dưới dạng sau: 11 12 11 12 11 12 11 12 2 3 4 21 22 21 22 21 22 21 22 , , , a ia ib b ic c d id ia a b ib c ic id d 1T T T T các , , ,ij ij ij ija b c d được xác định bởi (19).Từ điều kiện tự do ứng suất tại 2x h là 12 22 0ss và sử dụng phương trình (17) ta có 3 (0) (0) , 4T U T Σ 0 (20) Phương trình (20) là mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và biên độ của véc tơ chuyển dịch của lớp tại biên phân cách y=0. 3.2. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất và các biên độ chuyển dịch của lớp Theo Vinh (Pham Chi Vinh, 2011), các thành phần chuyển dịch và ứng suất của sóng Rayleigh trong bán không gian có dạng: 1 1( ) ( ) 2( ) , ( ) 1,, 2, ik x ct ik x ct n n n nu U y e ik y e n (21) trong đó: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( , ( ) , ( ) ), ( ) ( ), b y b y b y b y b y b y b y b y U y i B e B e U y B e B e y B e B e y i B e B e (22) với k , k , k được xác định bởi 2 212 * 11 2 2 * 12 222 22 1 12 * ( ) , , b , 1,2, ( ) ,k kk k k k k k k k k b X b b X c k b X b (23) và b1, b2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình 2 2 1 22 11 12 * 4 2 2 22 11 1(X ) (X ) ( ) (X )( ) 0,b b X (24) với 2 2 2 2 22 1 22 11 12 * 11 1 1 2 1 2 2 22 2 22 (X ) (X ) ( ) (X )(X ) , .b b S b b P (25) Ta dễ thấy nếu sóng Rayleigh tồn tại thì b1, b2 phải có phần thực dương, khi đó 11 1 1 2 1 20 min{ , , 0, 2 0, . , 2}X P S P b b P b b S P (26) Thế x2=0 vào (22) ta thu được 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 (0) , (0) ( , ( ) )0) ( , (0) . U B B U i B B i B B B B (27) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 7 Khử B1, B2 từ phương trình (27) ta có 12 11 12 22 (0) (0), iM M M iM Σ MU M (28) trong đó: 11 12 22 [ ; ] [ ] [ ] [ ] [ ] , , [ ] M M M và 1 2 1 2(.) [ (.) (.)] , (.) [ (.) (.)] T TU U Σ U . Phương trình (28) là mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và chuyển dịch của bán không gian tại biên y=0. Ma trận M là ma trận trở kháng mặt của bán không gian đàn hồi có ứng suất trước nén được. 4. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC Từ điều kiện lớp và bán không gian gắn chặt tại y=0 và mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ chuyển dịch và ứng suất của lớp và bán không gian tại biên y=0, (0) (0),U U (0) (0) , từ (20) ta có: 3 4(0) (0) 0 T U T Σ (29) Thế (29) vào (28) dẫn tới: 3 4(0) 0, ZU Z T T M (30) trong đó ( , 1,2)ijZ i j được xác định bởi 11 11 11 11 12 12 12 12 11 12 12 22 21 21 21 11 22 12 22 22 21 12 22 22 ( ), , , ( ). Z i c d M d M Z c d M d M Z c d M d M Z i c d M d M (31) Phương trình tán sắc thu được bằng cách det 0 Z có dạng: 0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 4 2 1ch ch shε shε chε shε chε shε 0A A A A A (32) trong đó: 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 12 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) [ ] [ ; ][ ] [ ] 2 ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ; ][ ] [ ] 2 ( ) [ ] [ ]( ) ( ) A A A 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 2 1 4 2 1 1 2 [ ] [ ; ][ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ; ] [ ] [ ; ] [ ] [ ; ] , [ ; ] , [ ] [ ] [ ] [ ] A A (33) với , , ( 1, 2)i i i i được xác định bởi (23) và 2 11 1 2 * 11 12 2 1 2 22 2 1 2 1 2 11 2 1 2 11 2 1 2 11 2 1 2 ( X)(b b ) ( X) (b b )[ ; ] [ ] [ ] , , [ ] [ ] [ ] b b b b X b b X b b X b b 2 2 1 22 11 12 * 11 1 2 22 2 22 ( X) ( X) ( ) (X )(X ) ,S P Công thức (32) được đưa về dạng không thứ nguyên bằng cách đưa vào các tham số không thứ nguyên sau: 11 22 12 * 2 11 1 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 22 12 * 1 1 1 1 4 5 1 1 2 1 , , , , , , , , , , . , , , , v e e e e e cX e x r e e e e r c c c (34) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 8 Rõ ràng ta thấy phương trình tán sắc phụ thuộc vào 13 tham số không thứ nguyên: , ,( 1, 2, 3,4,5)k ke e k , r , vr , và x, các tham số này thỏa mãn các bất đẳng thức sau 0, 0, 0, 0, 0.v k kr r e e Phương trình tán sắc (32) có dạng không thứ nguyên là 0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 4 2 1ch ch shε shε chε shε chε shε 0A A A A A (35) trong đó: * * * * * * * *2 1 2 1 2* * * * * * * * * * 0 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2* *2* * * * * * 1 2 2 1 1 2 ( ) [ ] [ ; ] [ ] [ ] 2 ( ) [ ] [ ]( ) A * * * * * * * * * *2 1 2 2 1 1 2* * * * * * * * * * 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1* *2 1 2 1 2 ( ) [ ] [ ; ] [ ] [ ] 2 ( ) [ ] [ ]( ) A *2 * *2 * * * * *2 2 1 1 2*2 *2 *2 *2 * * * * * * 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2* *2* * *2 * * *2 2 2 1 1 1 2 [ ] [ ; ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] A * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 1 2 2 1 4 2 1 1 2* * * * [ ; ] [ ] [ ; ] [ ] [ ; ] , [ ; ] , [ ] [ ] [ ] [ ] A A trong đó các đại lượng *k , * k , * k , * * * 11 12 22, ,M M M , * * * *, , ,S P S P được xác định bởi: 2 * * * * * 2 2 * *5 1 4 3 3 4 5 2 * 2 2 2 * 2 2 5 1 2 5 3 4 2 5 1 5 1 4 1 3 5 1 5 1 5 , ( ), , ( ) (1 ) ( ) ( ) , ( )(1 ), ( ) 2 ( ) , [ ; ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ , k v k k k k k k k k v v v v e b r x e b b r e r e e e b e e S e r x e e r x e e e e P e e e r x r x e e x S P e e x e e P e x e P e x e P 2 5 1 5 2 2 1 5 3 4 1 2 5 2 5 * * * ] 1 2 , ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) , e e P S P e x e P e e x e x e e e x x S P e e e e Trường hợp đặc biệt: Khi 0h , bài toán trở thành nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleig trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước. Từ (32) , ta có phương trình tán sắc của bán không gian đàn hồi có ứng suất trước: 2 2 2 12 22 11 1 2 11 * 2 1( X) ( X) ( X) 0b b (36) hoặc từ (35), ta có phương trình tán sắc ở dạng không thứ nguyên: 2 2 5 3 2 1 1 2 1 4 5(e x) (e x) (1 x) 0e e e b b e e (37) Công thức (36) và (37) chính là công thức của phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước nén được ở dạng có thứ nguyên và ở dạng không có thứ nguyên. Phương trình (37) trùng với phương trình (5.11) được tìm ra bởi Dowaikh và cộng sự (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden, 1991) và phương trình (25) được tìm ra bởi Vinh (Vinh, 2011) 5. KẾT QUẢ SỐ Chúng ta nghiên cứu trường hợp vật liệu là ứng suất trước biến dạng phẳng đẳng hướng theo tài liệu tham khảo (D. G. Roxburgh and R. W. Ogden, 1994) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 9 1 2 1 2, (38) Từ các phương trình (3) - (6), ta có các hằng số đàn hồi của bán không gian có dạng: 2 2 2 2 2 * 11 22 1 22 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 , , 2 2 W W W W W W W (39) Các hằng số đàn hồi của lớp có dạng (39) có dấu gạch ngang ở trên. Điều kiện liên tục của ứng suất pháp theo (R. W. Ogden and D. A. Sotiropoulos, 1996). 3 3 2 2 W W (40) Khảo sát vật liệu neo-Hookean, hàm năng lượng của loại vật liệu này có dạng theo (D. G. Roxburgh and R. W. Ogden, 1994): 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 ( 3 2 ln( )) 2 W (41) đối với bán không gian và tương tự đối với lớp. Từ các phương trình (38) - (41) và (34), ta có: 2 2 1 2 3 3 4 5 5 12 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 1 1 1 , 0, , 1, , 1 1 1 , , , , ( 1(1 )) (1 ) v e e e e e e e e e e r r R e r r (42) Hình 1. Biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh được biểu diễn bởi (35) truyền trong vật liệu neo-Hookean Hình 1 biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh x được biểu diễn bởi phương trình (35) truyền trong bán không gian phủ một lớp với giả thiết là cả bán không gian và lớp là vật liệu neo- Hookean. Với vật liệu này thì các tham số vật liệu chỉ còn phụ thuộc vào 3 tham số , r, R như công thức (42). Hình 1 biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào kh trong hai trường hợp: 1, 0.3, 2r R và 2, 0.5, 1.2r R . 6. KẾT LUẬN Bài báo khảo sát sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gian có ứng suất trước nén được được phủ lớp ứng suất trước nén được. Sử dụng mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất và các biên độ chuyển dịch của lớp và bán không gian tại biên phân chia, bài báo đã thu được phương trình chính xác của sóng. Từ công thức này, tác giả đã tìm được phương trình tán sắc cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước bằng cách cho độ dày của lớp bằng không. Các công thức tìm được là mới và ở dạng hoàn toàn tường minh, nên chúng sẽ là những công cụ rất hữu hiệu cho các nhà khoa học trong và ngoài nước. KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO Achenbach, J.D. and Keshava, S.P. (1967), "Free waves in a platesupported by a semi-infinite continuum", J. Appl. Mech., 34, pp.397–404. Bovik, P. (1996), "A comparison between the Tiersten model andO(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thinlayers", J. Appl. Mech., 63, pp. 162–167. M. A. Dowaikh and R. W. Ogden (1991), On surface waves and deformations in a compressible elastic half-space. Stability and Applied Analysis of Continuous Media, 1(1), pp. 27–45. R. W. Ogden(1984),Non-linear elastic deformations. Ellis Horwood, Chichester,. R. W. Ogden and D. A. Sotiropoulos, (1996). The effect of pre-stress on guided ultrasonic waves between a surface layer and a half-space. Ultrasonics, 34, (2-5), (1996), pp. 491–494. D. G. Roxburgh and R. W. Ogden (1994). Stability and vibration of pre-stressed compressible elastic plates. International Journal of Engineering Science, 32, (3), (1994), pp. 427–454. Tiersten, H.F. (1969), "Elastic surface waves guided by thin films",J. Appl. Phys., 46, pp. 770–789. Viktorov, I. A. (1967), Rayleigh and Lamb waves: Physical theory andapplications, Plenum Press, New York. Pham Chi Vinh (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocityin pre-stressed compressible solids", Wave Motion, 48, 613-624. Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2012). An approximate secular equation of rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropicelastic layer, Wave Motion,49, 681–689. Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves in pre-stressed compressible elastic solids. Int. J. Non-Lin. Mech., 50, 91–96. Vinh, P.C., Linh, N.T.K., Anh, V.T.N., (2014). Rayleigh waves in an incompressible orthotropic elastic half-space coated by a thin elastic layer. Archives Mech,66,173–184. P. C. Vinh and N. T. K. Linh (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh wavesin pre-stressed compressible elastic solids. International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, 91–96. Abstract: AN EXACT SECULAR EQUATIONS OF RAYLEIGH WAVES IN A COMPRESSIBLE PRE-STRESSED ELASTIC HALF-SPACES COATED WITH AN ELASTIC LAYER This paper is concerned with the propagation of Rayleigh waves in a compressible pre-tressed elastic half-space coated with a compressible pre-stressed elastic layer. The main purpose of the paper is to establish an approximate secular equation of the wave. First, the relations between the traction amplitude vector and the displacement amplitude one of Rayleigh waves at two sides of the interface between the layer and the half-space are created. From the continuity condition at the interface and these relations the displacement amplitude vector of Rayleigh waves at the interface is determined. Then, an exact secular equation of the wave has been derived by using these relations. From this equation, an secular equation of Rayleigh wave is obtained for a compressible pre- stressed elastic half-space and this equation coincides in the equation of M. A. Dowaikh and R. W. Ogden (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden, 1991) and Vinh (Vinh, 2011). The explicit seculars derived in this paper are useful for scientists Keywords: Rayleigh waves, secular equation, pre-stressed, Ngày nhận bài: 22/3/2019 Ngày chấp nhận đăng: 13/4/2019
File đính kèm:
phuong_trinh_tan_sac_chinh_xac_cua_song_rayleigh_truyen_tron.pdf