Phương trình sóng tuyến tính liên kết với một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 39 
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH 
LIÊN KẾT VỚI MỘT BÀI TOÁN CAUCHY 
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 
Phạm Thanh Sơn*, Lê Khánh Luận†, Trần Minh Thuyết‡ 
1. Giới thiệu. 
Bài báo đề cập đến bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng 
tuyến tính sau đây 
2
1
0 1
( ) ( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) (1, ) (1, ),
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
tt xx t
x x t t
t
u t u Ku u f x t x t T
t u t Y t t u t u t u t
u x u x u x u x
a
m l
m m l
-
ìï - + + = < < < <ïïïï = - =íïï = =ïïïî
% %
 (1.1) 
trong đó 1, , ,K l l a là các hằng số cho trước; 0 1, , ,f u um % % là các hàm cho trước 
thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau; ẩn hàm ( , )u x t và giá trị biên chưa biết ( )Y t 
thoả mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau 
0 1
( ) ( ) ( ) (0, ), 0 ,
(0) , (0) ,
ttY t pY t qY t u t t T
Y Y Y Y
bì ¢¢ ¢ï + + = < <ïí ¢ï = =ïî
 (1.2) 
trong đó 0 1, , , ,p q Y Yb là các hằng số cho trước, với 
2 4 0.p q- < 
Bài toán (1.1), (1.2) và các dạng tương tự với các điều kiện biên khác nhau 
đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1] – [8]) và các tài liệu 
tham khảo trong đó 
Trong trường hợp ( ) 1,tm º các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình 
Triều [1] đã xét bài toán (1.1)1,3, (1.2), với 
 ( , ) 0,f x t = 0, 0,p q= > 0 1 00, 0,u u Y= = =% % (1.3) 
trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi 
 (0, ) ( ), (1, ) 0.xu t Y t u t= = (1.4) 
* Học viên Cao học Giải Tích K18, ĐHSP Tp. HCM, 
† ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, 
‡‡ TS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 40 
Trong trường hợp này, bài toán (1.1)1,3, (1.2), (1.3), (1.4) mô tả dao động 
của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên nền cứng. 
Trong [2], Bergounioux, Long, Dinh, đã nghiên cứu bài toán (1.1)1,3, (1.2), 
với 
 ( ) 1,tm º 0, 0,p q= > (1.5) 
trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi 
 1 1(0, ) ( ), (1, ) (1, ) (1, ),x x tu t Y t u t u t K u tl= - = + (1.6) 
với các hằng số cho trước 1 10, 0.Kl > ³ Như vậy bài toán chúng tôi xét với 
điều kiện biên phi tuyến tổng quát hơn (1.6) tương ứng với 1 0.K = 
Từ (1.2), ta biểu diễn ( )Y t theo dạng 
0
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
t
Y t g t u t k t s u s dsb= + - -ò (1.7) 
trong đó 
 ( ) ( )10 0 0 1 0 1( ) (0) cos (0) (0) sin ,tg t e Y u t Y Y u u ta w w a a w- -é ù= - + + + -ê úë û 
 1 2 2( ) 2 cos ( ) sin ,tk t e t tabw a w w w a w- - é ù= + -ê úë û 
với 2, 4 .
2
p q pa w= = - 
Do đó bài toán (1.1), (1.2) được đưa về (1.1), (1.7). 
Bài báo gồm 4 phần chính. Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo - 
Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi chứng minh bài toán 
(1.1), (1.7) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục. Các phần sau được xét trong 
trường hợp 2.a = Phần 2 khảo sát tính trơn và tính ổn định của nghiệm phụ 
thuộc vào dữ kiện bài toán. Phần 3 nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm 
yếu khi 1 0 .l +® Cuối cùng, phần 4 trình bày một khai triển tiệm cận của nghiệm 
yếu của bài toán (1.1) – (1.3) đến cấp 1
2
N + theo ba tham số bé 1, , .K l l Kết 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 41 
quả thu được ở đây là một sự tổng quát hóa một cách tương đối các kết quả trong 
[1 – 5]. 
2. Các kí hiệu 
Đặt (0,1).W= Trong bài này, các kí hiệu ( ), ( )p p m mL L H H= W = W được 
sử dụng và cho phép chúng tôi bỏ qua định nghĩa của các không gian hàm thông 
dụng đó. Tích vô hướng trong 2L và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này lần lượt 
được kí hiệu bởi ,á××ñ và | | | | .× Kí hiệu ,á××ñ cũng được dùng để chỉ tích đối ngẫu 
của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm. 
Kí hiệu | | | |X× là chuẩn của không gian Banach .X Kí hiệu 
(0, ; ), 1 ,pL T X p£ £ ¥ để chỉ không gian Banach các hàm thực : (0, )u T X® đo 
được, sao cho 
(0, ; )
| | | | pL T Xu < + ¥ với 
1
0
(0, ; )
0
| | ( ) | | , khi 1 ,
| | | |
sup || ( ) | | , khi .
p
T pp
X
L T X
X
t T
u t dt p
u
ess u t p
< <
ìïï æ öï ÷ç £ < + ¥ï ÷ç ÷ï çï è ø= íïïï = ¥ïïïî
ò 
Ta cũng kí hiệu 1 2( ) { (0, ; ) : (0, ; )}tW T v L T H v L T L
¥ ¥= Î Î là không gian 
Banach thực với chuẩn định bởi 
 2 1( ) (0, ; ) (0, ; )| | | | | | | | | | | | .W T t L T L L T Hv v v¥ ¥= + 
Bổ đề 2.1. Phép nhúng 1H ↪ 0( )C W là compact và 
0 1
1
( )
2 , .
C H
v v v H
W
£ " Î 
3. Tồn tại và duy nhất nghiệm 
Ta thành lập các giả thiết 
 (A1) 1 20 1( , ) ,u u H LÎ ´% % 
 (A2) 1 2(0, ; ),f L T LÎ 
 (A3) 0 10([0, ]), ( ) 0, (0, ),C T t L Tm m m m¢Î ³ > Î 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 42 
 (A4) 1,1, (0, ),g k W TÎ 
 (A5) 12, 0, , , .Ka b l l+³ > ΠΡ ¡ 
Khi đó, ta có định lí sau 
Định lí 3.1. Cho 0.T > Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1), 
(1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu ( , ) ( ) (0, )u Y W T L T¥Î ´ sao cho 
 1,(0, ) (0, ), (1, ) (0, ).u L T u W Ta¥× Î × Î (3.1) 
Chứng minh định lí 3.1. Chứng minh định lí gồm 4 bước. 
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Chọn cơ sở đặc biệt { }jw của 
1H , nghiệm xấp xỉ 
của (1.1), (1.7) được tìm dưới dạng 
1
( ) ( ) ,
m
m mj j
j
u t c t w
=
= å (3.2) 
trong đó, ( )mjc t là nghiệm của hệ phương trình phi tuyến sau 
0 1
0
2
( ), ( ) ( ), ( ) (0) ( (1, )) (1)
( ) ( ), ( ), , 1, ,
(0) , (0) ,
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
( ) ,
m j mx jx m j m j
m m j j
m m m m
t
m m m
u t w t u t w Y t w H u t w
Ku t u t w f t w j m
u u u u
Y t g t u t k t s u s ds
H z z z
a
a
a
m
l
b
-
ìï ¢¢ ¢+ + +ïïïï ¢+ + = =ïïïïïïï ¢= =íïïïï = + - -ïïïïïï =ïïî
ò
 (3.3) 
trong đó, 
0 0
1
m
m mj j
j
u w ua
=
= ®å % mạnh trong 1,H (3.4) 
1 1
1
m
m mj j
j
u w ub
=
= ®å % mạnh trong 2.L (3.5) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 43 
Với 0T > cho trước, chúng tôi sử dụng định lí điểm bất động Schauder để 
chứng minh hệ (3.3) có nghiệm 1( ) ( ( ), ..., ( ))mc t c t c t= trên khoảng [0, ] [0, ].mT TÌ 
Bổ đề 3.2. Cho 0T > . Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, tồn tại 0mT > sao 
cho hệ (3.3) có nghiệm 1( ) ( ( ), ..., ( ))mc t c t c t= trên khoảng [0, ] [0, ].mT TÌ 
Đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy , .mT T m= " 
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. Nhân (3.3)1 với ( )mjc t¢ và lấy tổng theo ,j 
sau đó tích phân theo biến thời gian với cận từ 0 đến t , và cuối cùng áp dụng bổ 
đề Gronwall, chúng ta thu được kết quả như trong bổ đề sau: 
Bổ đề 3.3. Tồn tại một hằng số (1)TC chỉ phụ thuộc vào T sao cho 
2 2 2 (1)
1
0
| | ( ) | | | | ( ) | | (0, ) | (1, ) | , [0, ], .
t
m mx m m Tu t u t u t u s ds C t T m
al¢ ¢+ + + £ " Î "ò 
Bước 3. Qua giới hạn. Từ kết quả của Bổ đề 3.3 và các định lí nhúng 
compact, ta thu được một dãy con của dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm yếu 
của bài toán. Trong quá trình chuyển qua giới hạn của số hạng phi tuyến chúng 
tôi đã sử dụng bổ đề sau. 
Bổ đề 3.4. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau 
1
0 1
1 1,1
( ) , 0 1, 0 ,
( ) (0, ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) ( ),
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
( ), (0, ) (0, ), (1, ) (0, ), (0, ).
xx
x x
u t u F x t T
t u t u t Y t t u t Z t
u x u x u x u x
u W T u L T u H T Y W T
m
m b m
¥
ì ¢¢ï - = < < < <ïïï = + - =ïïí ¢ï = =ïïï Î × Î × Î Îïïî
% %
 (3.6) 
Khi đó, ta có 
2 2 2 2 2
1 0
0
1 1 1 1 1|| ( ) | | ( ) | | ( ) | | | | | | (0) | | | | ( ) | | ( ) | |
2 2 2 2 2
t
x x xu t t u t u u s u s dsm m m¢ ¢+ ³ + + ò
2 2
0 0
0
( ) (1, ) (0, ) (0) ( ) (0, ) (0) (0)
2 2
t
Z s u s ds u t u Y t u t Y ub b¢- - + - +ò 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 44 
1
0 0
( ) (0, ) ( ), ( ) ,
t t
Y s u s ds F s u s ds¢ ¢+ + á ñò ò a.e. [0, ].t TÎ (3.7) 
Hơn nữa, nếu 0 1 0u u= = thì (3.7) xảy ra đẳng thức. 
Bổ đề 3.4 được chứng minh bằng kĩ thuật tương tự như trong [8]. 
Bước 4. Sự duy nhất nghiệm. Để chứng minh sự duy nhất nghiệm yếu 
chúng tôi sử dụng bổ đề 3.4 một lần nữa và kết hợp với bất đẳng thức Gronwall. 
Từ đó định lí 3.1 được chứng minh. 
Chú thích 1. Kết quả thu được tổng quát hóa các kết quả trước đây xem [1-
2]. 
4. Tính trơn của nghiệm 
Trong phần này, chúng tôi tăng cường thêm các giả thiết sau: 
 (B1) 2 10 1( , ) ,u u H HÎ ´% % 
 (B2) 1 2, (0, ; ),tf f L T LÎ 
 (B3) 1 10([0, ]), ( ) 0, (0, ),C T t L Tm m m m¢¢Î ³ > Î 
 (B4) 2,1, (0, ),g k W TÎ 
 (B5) 12, 0, , , .Ka b l l+= > ΠΡ ¡ 
Khi đó, chúng tôi thu được nghiệm yếu ( , )u Y có tính trơn tốt hơn như sau: 
Định lí 4.1. Cho 0.T > Giả sử (B1) – (B5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1), 
(1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu ( , )u Y sao cho 
2 1 2
1, 2 1,
(0, ; ), (0, ; ), (0, ; ),
(0, ) (0, ), (1, ) (0, ), (0, ).
t ttu L T H u L T H u L T L
u W T u H T Y W T
¥ ¥ ¥
¥ ¥
ìï Î Î Îïïíï × Î × Î Îïïî
 (4.1) 
Chứng minh định lí 4.1. Trong (3.3)1, thay 2,a = và sau đó lấy đạo hàm 
theo biến thời gian t rồi nhân hai vế với ( )mjc t¢¢ và lấy tổng theo ,j sau đó tích 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 45 
phân với cận từ 0 đến ,t và cuối cùng áp dụng bổ đề Gronwall, chúng tôi thu 
được kết quả như bổ đề sau. 
Bổ đề 4.2. Tồn tại một hằng số (2)TC chỉ phụ thuộc vào T sao cho 
2 2 2 2 (2)
1
0
| | ( ) | | | | ( ) | | | (0, ) | | (1, ) | , [0, ], .
t
m mx m m Tu t u t u t u s ds C t T ml¢¢ ¢ ¢ ¢¢+ + + £ " Î "ò
Từ các bổ đề 3.3 và 4.2, định lí 4.1 được chứng minh. 
Chú thích 2. Ta suy ra từ (4.1) rằng 
0 1 1 2 2
0 2 1 2
([0, ]; ) ([0, ]; ) (0, ; ),
([0, ]; ) (0, ; ), (0, ; ).t tt
u C T H C T L L T H
u C T L L T H u L T L
¥
¥ ¥
ìï Î Ç Çïïíï Î Ç Îïïî
 (4.2) 
Do đó, 2 2, , , , , (0, ; ) ( ).x t xx xt tt Tu u u u u u L T L L Q
¥Î Ì Điều này dẫn đến 
 2 2( ) (0, ; ).Tu H Q L T H
¥Î Ç (4.3) 
Từ (4.3) nếu 2 10 1( , )u u H HÎ ´% % thì thành phần u của nghiệm yếu ( , )u Y sẽ 
thuộc vào không gian hàm 2 2( ) (0, ; ).TH Q L T H
¥Ç Nghiệm này khá giống với 
nghiệm cổ điển thuộc 2( ),TC Q mà 0 1( , )u u% % không nhất thiết thuộc về 
2 1( ) ( ).C CW ´ W 
5. Sự ổn định của nghiệm vào dữ kiện của bài toán 
Trong phần này, chúng tôi khảo sát tính sự ổn nghiệm của bài toán (1.1), 
(1.7) tương ứng với 2.a = Giả sử các hàm 0 1( , )u u% % thỏa giả thiết (B1). Theo định 
lý 4.1, thì bài toán (1.1), (1.7) có duy nhất nghiệm yếu ( , )u Y phụ thuộc vào 
1, , , , , , , .K f g kl b l m 
 1 1( , , , , , , , ), ( , , , , , , , ).u u K f g k Y Y K f g kl b l m l b l m= = (5.1) 
trong đó 1( , , , , , , , )K f g kl b l m thỏa các giả thiết (B2) – (B5). 
Đặt 
 0 1 1( ) {( , , , , , , , ) : ( , , , , , , , )K f g k K f g km l b l m l b l mÁ = thỏa (B2) – (B5)} 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 46 
với 0 0m > là các hằng số cho trước. 
Khi đó, ta có định lý sau 
Định lý 5.1. Giả sử (B1) – (B5) thỏa. Khi đó, với mỗi 0,T > nghiệm của 
bài toán (1.1), (1.7) là ổn định với dữ kiện 1( , , , , , , , )K f g kl b l m trong 0( ),mÁ 
nghĩa là: 
Nếu 1 1 0( , , , , , , , ), ( , , , , , , , ) ( )
j j j j j j j jK f g k K f g kl b l m l b l m mÎ Á sao cho 
1 2 2
2,1 2,1
1 1
([0, ]) ( ) ( )
(0, ) (0, )
| | | | | | 0,
| | | | 0, | | | | | | | | 0,
| | | | 0, | | | | 0,
T T
j j j
j j j
t tC T L Q L Q
j j
W T W T
K K
f f f f
g g k k
l l l l
m m
ìï - + - + - ®ïïïï - ® - + - ®íïïï - ® - ®ïïî
 khi ,j ® + ¥ (5.2) 
thì 
( ) ( ), (1, ), , (1, ), ,j j ju u Y u u Y× ® × trong 1 2( ) (0, ) (0, )W T H T L T´ ´ khi ,j ® + ¥ (5.3) 
trong đó 1 1( , , , , , , , ), ( , , , , , , , )
j j j j j j j j j j j j j j j j
j ju u K f g k Y Y K f g kl b l m l b l m= = . 
6. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 1 0l +® 
Trong phần này, ta giả sử rằng 2a = và 0 1( , , , , , , , , )u u g k f Km l b% % thỏa các 
giả thiết (A1) – (A5). Với mỗi 1 0,l > do định lí 3.1 bài toán (1.1), (1.7) có duy 
nhất nghiệm yếu ( , )u Y phụ thuộc vào 1 :l 
1 1
, .u u Y Yl l= = (6.1) 
Ta xét bài toán nhiễu sau, với 1 0l > là tham số nhỏ 
1
0 1
0
( ) ( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) (1, ),
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) .
tt xx t
x x t
t
t
u t u Ku u f x t x t T
t u t Y t t u t u t
u x u x u x u x
Y t g t u t k t s u s ds
m l
m m l
b
ìï - + + = < < < <ïïïï = - =ïïïïí = =ïïïïïï = + - -ïïïî
ò
% % 
1
( )Pl 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 47 
Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu ( , )u Y của bài toán 
1
( )Pl phụ thuộc vào tham số 1.l 
Khi đó, ta có định lí sau 
Định lí 6.1. Cho 0.T > Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó 
(i) Bài toán 0( )P tương ứng với 1 0l = có nghiệm duy nhất 
0 0( , ) ( ) (0, )u Y W T L T
¥Î ´ thỏa 
 10 0(0, ) (0, ), (1, ) (0, ).u L T u H T
¥× Î × Î (6.2) 
(ii) Nghiệm 
1 1
( , )u Yl l hội tụ mạnh trong ( ) (0, )W T L T
¥´ về 0 0( , )u Y khi 
1 0 .l +® 
Hơn nữa, chúng ta có đánh giá tiệm cận 
2
1 1 10 ( ) 1 0 0 1(0, ) (0, )
| | | | | | (1, ) (1, ) | | | | | ,W T TL T L Tu u u u Y Y Cl l ll l¥¢ ¢- + × - × + - £ (6.3) 
trong đó, TC là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào .T 
Chứng minh định lí 6.1. 
i) Tương tự như chứng minh Định lí 3.1. 
ii) Xét dãy 1{ }ml sao cho 1 0 ,ml +® khi ,m ® ¥ ta chứng minh được rằng 
1 1
{( , )}
m m
u Yl l là dãy Cauchy trong ( ) (0, )W T L T
¥´ . Từ đó ta suy ra rằng nghiệm 
1 1
( , )u Yl l hội tụ về 0 0( , )u Y mạnh trong ( ) (0, )W T L T
¥´ khi 1 0 .l +® 
7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo ba tham số bé 
1, ,K l l 
Trong phần này, ta giả sử 2, 0a b= ³ và 0 1( , , , , , )u u f g km% % thỏa các giả thiết 
(A1) – (A4). Với 1( , ) ,K l l +ΠΡ ¡ thì từ định lí 3.1, bài toán (1.1), (1.7) có duy 
nhất nghiệm yếu ( , )u Y phụ thuộc vào 1( , , )K l l : 1 1( , , ), ( , , ).u u K P P Kl l l l= = 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 48 
Ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo ba tham số bé 1, ,K l l thỏa *| | ,K K£ 
* 1 1*| | , 0l l l l£ £ £ ( * * 1*, ,K l l là các hằng số cố định). 
1
0 1
0
( ) ( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) (1, ),
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) .
tt xx t
x x t
t
t
A u u t u Ku u f x t x t T
t u t Y t t u t u t
u x u x u x u x
Y t g t u t k t s u s ds
m l
m m l
b
ìï º - = - - + < < < <ïïïï = - =ïïïí = =ïïïïïï = + - -ïïî ò
% % 1, ,( )KP l l 
Chúng tôi khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán 
1, ,
( ) ( )KP Pl l eº r theo 
ba tham số bé 1, ,K l l tức là ta có thể xấp xỉ nghiệm yếu u bởi một đa thức theo 
ba biến 1, ,K l l và đánh giá được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp 
xỉ. 
Ở đây, ta sẽ dùng các kí hiệu sau, với đa chỉ số 31 2 3( , , )g g g g += Î ¢ và 
3
1( , , ) ,Ke l l= Î
r ¡ ta đặt 
 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 2 2
1 1
3
| | , ! ! ! !,
, | | | | ,
, , , 1, 2, 3.i i
K K
i
g g gg
g g g g g g g g
e l l e l l
a b b a b a+
ìï = + + =ïïïïï = = + +íïïïï Î £ Û £ " =ïïî
r r
¢
 (7.1) 
Giả sử 0,0,00u uºr là nghiệm yếu duy nhất của bài toán 0,0,00( ) ( )P Pºr% % (như 
trong định lí 3.1) ứng với 1( , , ) (0, 0, 0),K l l = tức là 
0
( )Pr%
0 0
0 0 0
0 10 0
0 0 00
1
0 0 0 0
( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) 0,
( , 0) ( ) , ( , 0) ( ),
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
( , ) ( ) (0, ), (0, ) (0, ), (1, ) (0, ).
x x
t
Au F f x t x t T
t u t Y t t u t
u x u x u x u x
Y t g t u t k t s u s ds
u Y W T L T u L T u H T
m m
b
¥ ¥
ì
= º < < < <
= - =
¢= =í
= + - -
Î ´ × Î × Î
ò
r r
r r r
r r
r r r
r r r r
% %
ïïïïïïïïïïïï
ïïïïïïïïïïïïî
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 49 
Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu 3( , ), , 1u Y Ng g g g+Î £ £¢ được xác 
định bởi các bài toán sau 
 ( )Pg%
0
1
, 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) ,
( , 0) 0, ( , 0) 0,
( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
( , ) ( ) (0, ), (0, ) (0, ), (1, ) (0, ).
x x
t
t
A u F x t T
t u t Y t t u t Z
u x u x
Y t g t u t k t s u s ds
u Y W T L T u L T u H T
g g
g g g g
g g
g g g
g g g g
m m
b
¥ ¥
ìïï = < < < <ïïïïï = - =ïïïïï = =íïïïïï = + - -ïïïïï Î ´ × Î × Îïïî
ò
trong đó , ( ), ,F Z t Ng g g £ được xác định bởi công thức truy hồi sau 
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2
1, , 1 2
, 1, 1 2
1, , , 1, 1 2
( , ), 0,
0, 0, 1
, 1, 0, 1 ,
, 0, 1, 1 ,
, 1, 1, 2 ,
f x t
N
F u N
u N
u u N
g g g g
g g g
g g g g g g
g
g g g
g g g
g g g
g g g
-
-
- -
ìï =ïïïïï = = £ £ïïïïï= - ³ = £ £íïïïï ¢- = ³ £ £ïïïïï ¢- - ³ ³ £ £ïïî
 (7.2) 
và 
1 2 3
3
1 20
, , 1
( ), 0,
0, 0, 1
(1, ), 0, 1 ,
(1, ), 2 .
g t
N
Z
u t N
u t N
g
g g g
g
g g
g g g
g-
ìï =ïïïïï = £ £ïï= íï ¢ = = £ £ïïïïï ¢ £ £ïïî
r
 (7.3) 
Giả sử ( , ) ( , )u Y u Ye e= r r là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( ).Per Khi đó 
 , ,
N N
v u u R Y Yg gg g
g g
e e
£ £
= - = -å år r (7.4) 
thỏa bài toán sau 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 50 
1
0
( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) (1, ) ( ),
( , 0) ( , 0) 0,
( ) (0, ) ( ) (0, ) ,
t N
x x t N
t
t
A v Kv v E x t x t T
t v t R t t v t v t E t
v x v x
R t v t k t s v s ds
l
m m l
b
ìï + + = < < < <ïïïï = - = +ïïïí = =ïïïïïï = - -ïïî ò
%
 (7.5) 
trong đó 
 ( )( , ) ,N
N
E x t Ku u gg g
g
l e
=
¢= - +å r 1( ) (1, ) .N
N
E t u t gg
g
l e
=
¢= å r% (7.6) 
Bổ đề 7.1. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Khi đó ta có 
 i) 2 11(0, ; )| | | | | | | | ,
N
N NL T L
E C e¥ +£
r% (7.7) 
 ii) 2 12(0, )| | | | | | || ,
N
N NL T
E C e +£ r% % (7.8) 
trong đó 1NC% và 2NC% là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các hằng số 
*|| | | ,e
r 1 2(0, ; ) (0, ; )| | | | , | | | | ,tL T H L T Lu ug g¥ ¥ 2(0, ) (0, )| | (0, ) | | , | | (1, ) | | , | | .tL T L Tu u Ng g g¥× × = 
Kế tiếp, ta có định lí sau 
Định lí 7.2. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Thì mọi 1( , ) ,K l l +ΠΡ ¡ thỏa 
*| | ,K K£ * 1 1*| | , 0l l l l£ £ £ bài toán 1, ,( )KP l l có duy nhất nghiệm yếu 
( , ) ( , )u Y u Ye e= r r ( ) (0, )W T L T
¥Î ´ thỏa đánh giá tiệm cận tới cấp 1
2
N + như 
sau 
2( ) 1 (0, )
1
* 2
(0, )
| | | | | | (1, ) (1, ) | |
| | | | | | | | ,
W T L T
N N
N
NL T
N
u u u u
Y Y C
g g
g g
g g
g
g
g
e l e
e e¥
£ £
+
£
¢ ¢- + × - ×
+ - £
å å
å
r r
r r%
 (7.9) 
với mọi 1( , ) ,K l l +ΠΡ ¡ thỏa *| | ,K K£ * 1 1*| | , 0 ,l l l l£ £ £ ( , )u Yg g là 
nghiệm yếu của bài toán 3( ), , | | ,P Ng g g+Î £% ¢ và 
*
NC% là hằng số độc lập với 
1( , , ).Ke l l=
r 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Thanh Sơn và các tác giả 
 51 
Chú thích 3. Trong [4], với trường hợp đặc biệt của bài toán (1.1), (1.7), thì 
Long, Út, Trúc, đã đạt được khai triển tiệm cận của nghiệm tới cấp 1N + theo 
hai tham số bé ( , ).K l Theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có nhiều công trình 
nghiên cứu về khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé, một số kết quả 
về vấn đề này có thể tìm thấy trong [6, 7] và các tài liệu tham khảo trong đó. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Shock between absolutely 
solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at 
the side, J. Mech. NCSR. Vietnam, 13 (2), 1 – 7. 
[2]. Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long (2001), Alain Phạm Ngọc 
Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear 
viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43 (5), 547 – 561. 
[3]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005), 
On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound. Value 
Probl, (3) 337 – 358. 
[4]. Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On a 
shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 63 (2), 
198 – 224. 
[5]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave 
equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio 
Math. 36 (4), 915 – 938. 
[6]. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic 
expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous 
condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series 
A: Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864. 
[7]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành 
Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed 
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic 
expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & 
Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 52 
[8]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2009), 
On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions 
involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & 
Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965. 
Tóm tắt 
Bài báo này nghiên cứu một bài toán biên cho phương trình sóng tuyến tính 
( ) ( , ),tt xx tu t u Ku u f x tm l- + + = 0 1, 0 ,x t T< < < < trong đó điều kiện biên 
tại 0x = liên kết với một phương trình vi phân thường cấp hai có vế phải là 
(0, )ttu tb và điều kiện biên tại điểm 1x = có dạng 
2
1( ) (1, ) (1, ) (1, ),x t tt u t u t u t
a
m l
-
- = với 1 1, ,K l ,a b là các hằng số dương cho 
trước. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được chứng minh bằng phương pháp 
Faedo – Galerkin. Trong trường hợp 2,a = tính ổn định và tính trơn của nghiệm 
cũng được khảo sát. Cuối cùng, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận 
nghiệm của bài toán tới cấp 1
2
N + theo ba tham số bé 1, , .K l l 
Abstract. 
A linear wave equation associated with 
a cauchy problem for an ordinary differential equation 
We consider the initial boundary value problem for the linear wave 
equation ( ) ( , ),tt xx tu t u Ku u f x tm l- + + = 0 1, 0 ,x t T< < < < where the 
boundary condition at 0x = associated with a second order differential equation 
and the boundary condition at 1x = in the form 
2
1( ) (1, ) (1, ) (1, ),x t tt u t u t u t
a
m l
-
- = where 1 1,K l and a are given positive 
constants. Existence and uniqueness of a weak solution are proved by using the 
Faedo – Galerkin method. In the case of 2,a = the stability and regularity of 
solutions are also discussed. Finally, we obtain an asymptotic expansion of the 
solution of the problem up to order 1
2
N + in accordance with three small 
parameters 1, , .K l l