Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát quang điện tử trên phương tiện cơ động

Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 70 
PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE CỦA ĐÀI QUAN SÁT 
QUANG ĐIỆN TỬ TRÊN PHƯƠNG TIỆN CƠ ĐỘNG 
Vũ Quốc Huy* 
Tóm tắt: Bài báo diễn giải lại kết quả nghiên cứu xây dựng phương trình 
Euler-Lagrange được thực hiện trong [2], trong đó nhấn mạnh đến một số hiệu 
chỉnh mô hình dựa trên điều kiện hoạt động thực tế của các đài quan sát quang 
điện tử [1] đã và đang được trang bị trong quân đội hiện nay. 
Từ khóa: Euler-Lagrange; Đài quan sát; Phương tiện cơ động; Góc nghiêng. 
1. MỞ ĐẦU 
Đài quan sát mục tiêu là một thành phần không thể thiếu trong tổ hợp điều 
khiển hỏa lực phòng không tích hợp trên phương tiện cơ động hoặc nằm trong cụm 
tổ hợp phòng không mặt đất [1]. Đây là một hệ thống định vị mục tiêu sử dụng các 
thiết bị quang điện tử như camera ánh sáng ngày, camera ảnh nhiệt hồng ngoại và 
đo xa la-de đặt trên một cơ hệ quay quét. Máy đo xa la-de đo cự ly từ đài quan sát 
đến mục tiêu. Các camera thu nhận cảnh vật bên ngoài và tạo ra các chuỗi ảnh đưa 
vào hệ điều khiển truyền động bám. 
Ở công trình nghiên cứu [2], động lực học của hệ quay quét đã được xây 
dựng, Theo đó, các yếu tố liên quan đến chuyển động của phương tiện cũng được 
đưa vào phương trình mô tả động lực học cơ hệ. Phương trình Euler-Lagrange 
trong [2] không chú trọng phân rã độc lập các kênh điều khiển tầm và hướng như 
kết quả nghiên cứu trong [1], [3], [4] mà coi chúng có sự liên kết với nhau. Xét 
một cách tổng quát, bài toán xây dựng phương trình động lực học và đề xuất 
thuật toán điều khiển đã có lời giải phù hợp. Tuy nhiên, trong thực tế, tất cả các 
đài quan sát đưa vào trang bị trong quân đội, mặc dù được đưa lên phương tiện 
cơ động nhưng đều đang hoạt động ở vị trí cố định. Có nghĩa, phương tiện chỉ 
mang tính cơ động di chuyển đến vị trí mới, sau đó dừng lại, thiết lập và thực 
hiện bắt bám. Vì phương tiện không chuyển động trong quá trình bắt bám nên 
động lực học của cơ hệ quay quét sẽ có thể được hiệu chỉnh ở một biểu diễn toán 
học khác, đơn giản hơn. Với cách tiếp cận như vậy, bài báo diễn giải lại phương 
trình động lực học của cơ hệ quay quét thực hiện trong [2] và phân tích những 
ảnh hưởng do sự tích hợp cơ hệ của đài quan sát trên phương tiện cơ động. Từ đó 
hiệu chỉnh phương trình động lực học này phù hợp với điều kiện hoạt động của 
các đài quan sát đang trang bị hiện nay. 
2. CÁC HỆ TỌA ĐỘ SỬ DỤNG 
Các hệ tọa độ gắn với cơ hệ ĐQS được biểu diễn trên hình 1. Gọi O là gốc hệ 
tọa độ liên kết. Gọi B là gốc hệ tọa độ gắn liền với phương tiện, có trục Bxb trùng 
với trục dọc của phương tiện và hướng về phía trước của phương tiện; Byb vuông 
góc với Bxb và nằm trên mặt phẳng song song với sàn xe; trục Bzb hướng lên trên 
và hợp với Bxb, Byb tạo thành một tam diện thuận. Gọi A là gốc hệ tọa độ chuyển 
động gắn với khối phương vị, có Aza trùng với trục quay phương vị và hướng lên 
trên; Aya hướng về phía mục tiêu, vuông góc với Aza trên mặt phẳng đối xứng của 
đài; Axa nằm trên mặt phẳng phương vị và tạo với các trục Aza, Aya thành một tam 
diện thuận. Gọi E là gốc hệ tọa độ chuyển động gắn với khối tà, có Eye trùng với 
Nghiên c
Tạp chí Nghi
véc
ph
hợp với các trục 
là 
quay c
độ từ 
B A E           
góc 
với tốc độ góc 
-tơ đư
ẳng đối xứng của đ
Sau đây s
góc
Phép bi
Véc
Gi

A A B
Từ (
 quay c
ủa hệ
A sang 
-
ữa hệ tọa độ 
 ; gi
  
1
ứu khoa học công nghệ
ờng ngắm của đ
ến đổi 
tơ t
Bx By Bz Ax Ay Az Ex Ey Ez
ữa hệ tọa độ 
), (
ên c
ẽ gọi tắt l
 tọa độ 
E
A
BT
ốc độ góc của hệ tọa độ 
BT
2) và (
ứu KH&CN 
ủa hệ tọa độ 
 như sau:

Ez
A
BT
cos sin 0
sin cos 0
A
, do đó:
3
e, Ey
E so v
Hình 
 chuy
0 0 1
 
 
 và h
0 0 
) ta có các công 
ài; 
e
à các h
; ;
T T T
E
quân s
Ex
 tạo th
A
ới hệ tọa độ 
1
ển hệ tọa độ từ 
ệ tọa độ 
 và h
ài; 
e 
ệ tọa độ 
 so v
. Bi
ệ tọa độ 

ự, Số Đặc san TĐH, 04 
Ez
trùng v
ành m
ới hệ tọa độ 
ểu diễn c
T
; 
e hư
; 
E, 
B 
ớng l
ới trục quay t
ột tam diện thuận. 
O
A
A, 
ch
E E A  
thức sau:
, 
 quanh tr
ơ h
B
E
AT
B đư
ỉ có một phép quay 
A c
ên trên, vuông góc v
B, A
ệ của ĐQS c
 sang 
ợc định nghĩa:
ũng chỉ có một phép quay quanh trục 
AT
 và 
B 
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
E
quanh tr
ục 
A 
-
à và có chi
. Như v
Ex
và phép bi
 
 

 2019
e. 

ục 
ơ đ
0 0
ậy g
Az
ộng
ến đổi 
quanh tr
ều sao cho chính nó 
óc tr
a; góc tr
. 

T
ới Ey
ục ph
ục t
E
AT
ục 
e
 chuy
Az
 trong m
ương v
à 
a v
 
ển hệ tọa 
ới tốc độ 
ị 
là góc
Ex
71
ặt 

(1)
(2)
e
(3)
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 72 
cos sin
sin cos
Ax Bx By
Ay Bx By
Az Bz
    
    
  

; (4) 
cos sin
sin cos
Ex Ax
Ey Ay Az
Ez Ay Az
  
    
    

 (5) 
3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ QUAY QUÉT CỦA ĐÀI QUAN SÁT 
3.1. Phương trình động lực học kênh tà 
Định luật II Newton đối với chuyển động quay được biểu diễn như sau: 
dH
M
dt
 ; với H J 
(6) 
Trong (6), H là véc-tơ động lượng của khối quay; M là véc-tơ mô-men tác 
động lên khối quay;  là tốc độ góc của trục quay; J là ma trận mô-men quán 
tính của khối quay. 
Gọi AJ và E J là ma trận mô-men quán tính của khối tà và khối phương vị. Mô-
men quán tính trục chính nên AJ và E J có dạng ma trận đường chéo. 
0 0 0 0
0 0 ; 0 0
0 0 0 0
Ax Ex
A E
Ay Ey
Az Ez
J J
J J J J
J J
(7) 
Động lượng kênh tà: 
E E EH J  (8) 
Véc-tơ mô-men tổng tác động lên kênh tà: 
E
E E Ed HM H
dt
  
(9) 
Véc-tơ động lượng cơ hệ kênh tà: 
Ex Ex Ex Ex
Ey Ey
Ez Ez
0 0
0 0
0 0
E E E
Ey Ey
Ez Ez
J J
H J J J
J J
 
  
 
Mô-men ngoại lực tác động lên trục quay kênh tà tương ứng với hàng thứ nhất 
của véc-tơ EM , gọi là ExM : 
 Ex Ex Ex Ey Ez Ez Ey
E
E E
x
x
d H
M H J J J
dt
      
(10) 
Thay (5), (2.10) vào (9): 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019 73
Ex Ax Ex Ey Ez Ez Ey
Ax Ex
Ez Eycos sin cos sinAy Az Az Ay
M J J J
J
J J
   
 
       
 
  (11a) 
Ex Ax Ex
2 2
Ez Eycos 2 sin 2
2
Az Ay
Ay Az
M J
J J
 
 
   
 
 (11b) 
 Thay Az từ (4) vào (11b): 
Ex Ex Ax Ex Ez Ey
2 2 2
Ez Ey
cos 2
2
sin 2
2
Bz Ay Ay
Bz Bz Ay
M J J J J
J J
     
    

 
  (11c) 
2
Ex Ex Ez Ey
Ax Ex Ez Ey
2 2
Ez Ey
1
sin 2
2
cos 2
1
2 sin 2
2
Bz Ay Ay
Bz Bz Ay
M J J J
J J J
J J
  
    
    



 (11d) 
 Đặt: 
Ed Ax Ex Ez Ey
2 2
Ez Ey
cos 2
1
2 sin 2
2
Bz Ay Ay
Bz Bz Ay
M J J J
J J
    
    


 (11e) 
 Mô-men tác động lên kênh tà: 
 2Ex Ex Ez Ey Ed
1
sin 2
2
M J J J M    
(12) 
EdM chính là nhiễu do chuyển động của phương tiện tạo nên. Mô-men ngoại 
lực ExM bao gồm mô-men sinh ra từ cơ cấu chấp hành (CCCH) wEM , mô-men ma 
sát nhớt EvM , ma sát Coulomb EcM . 
Gọi tỉ số truyền và hiệu suất truyền mô-men tương ứng là ,E Ei  . Gọi mô-men 
đầu trục động cơ là EmM . Mô-men sinh ra từ CCCH tác động lên cơ hệ kênh tà: 
wE E E EmM i M (13) 
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục tà là: 
 wEx E Ev EcM M M M (14) 
Thay (13) vào (14): 
 Ex E E Em Ev EcM i M M M (15) 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 74 
Từ (10) và (15) có được: 
 21 sin 2
2
E E Em Ex Ez Ey
Ev Ec Ed
i M J J J
M M M
    

(16) 
Phương trình (16) được viết lại: 
 2 sin 2
2
Ez EyEx Ev Ec Ed
Em
E E E E E E
J JJ M M M
M
i i i
  
  
  
(17) 
Gọi Ef là nhiễu tác động lên kênh tà, do chuyển động của phương tiện và lực 
ma sát gây ra. 
1
E Ev Ec Ed
E E
f M M M
i 
(18) 
Phương trình (17) được viết lại: 
2 sin 2
2
Ez EyEx
Em E
E E E E
J JJ
M f
i i
  
 
  
(19) 
3.2. Phương trình động lực học kênh phương vị 
Véc-tơ động lượng cơ hệ kênh phương vị được tính bằng tổng động lượng của 
kênh phương vị và động lượng của kênh tà quy về trục quay phương vị. 
 1A A A E E EAH J T J  (20a) 
 Tương tự như kênh tà, tính được: 
Ax Ax Ex Ex
Ay Ey Ez
Az Ey Ez
cos sin
sin cos
A
Ay Ey Ez
Az Ey Ez
J J
H J J J
J J J
 
    
    
(20b) 
Véc-tơ mô-men tổng tác động lên kênh phương vị: 
A
A A Ad HM H
dt
  
(21) 
Mô-men ngoại lực tác động lên trục quay góc phương vị tương ứng với hàng 
thứ ba của véc-tơ AM , đặt là AzM : 
 Az
A
A A
z
z
d H
M H
dt
  
(22) 
Tính tích có hướng A AH  , tính vi phân bậc nhất của AH sau đó thay vào 
(22), có được: 
Az Az Ey Ey
Ez Ez
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin cos
cos sin
cos sin
Az Ey Ey
Ez Ez
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J
J J
J J J
J J
     
    
     
  
  
 
 (23a) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019 75
Thay 
Ey , Ez từ (5) vào (13a), tính được: 
Az Az Ay
Az
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
cos sin sin cos sin
cos sin cos
cos sin sin cos cos
cos sin sin
cos sin
Az Ay Az Az Ey
Ay Az Ey
Az Ay Ay Ez
Az Ay Ez
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J
J
J
J
J J J
J J
           
     
          
     
     
  
    

   

Az Az
2 2
Ay
2
2 2
Az
1 1
sin2 sin sin sin2
2 2
1
cos sin 2
2
1 1
cos sin 2 sin 2 cos
2 2
1
sin2
2
Az
Ey Ay Ey Az Ey Az Ey
Ay Ey Az Ey
Ez Az Ez Ay Ez Ay Ez
Az Ez Ay Ez
M J
J J J J
J J
J J J J
J J

         
     
         
    

   
 
   
 
2
Ax Ay Ey Ez Ay Ax Ex
sin
cos sinAy Ey Ez Ax ExJ J J J J

        
2 2
Az Az Az
Ay Ax Ex
Ay
Ax Ay Ey Ez
sin cos
sin2
1
sin2
2
cos sin
Az Az Ey Ez
Az Ey Ez Ax Ex
Ey Ez Ay Ey Ez
Ay Ey Ez
M J J J
J J J J
J J J J
J J J
    
     
   
     
  

 
 (23b) 
Thay Az từ (4) vào (13b): 
2 2
Az
2 2
Bz
Ay
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin cos sin2
sin2 sin cos
1
sin2
2
cos sin
Az Ey Ez Ez Ey
Bz Ez Ey Az Ey Ez
Ez Ey Ay Ez Ey
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J J J
J J J J J
J J J J
J J J
J J
    
     
   
     
  
  
 
  (24) 
Đặt: 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 76 
2 2sin cosAz Az Ey EzJ J J J  
(24a) 
2 2
Ad Bz
Ay
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin2 sin cos
1
sin2
2
cos sin
Bz Ez Ey Az Ey Ez
Ez Ey Ay Ez Ey
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J J J
J J J J
J J J
J J
     
   
     
  
 
 
 (24b) 
Thay (24a) và (24b) vào (24): 
 Az Adsin2Az Ez EyM J J J M      (25) 
Trong (24a), AdM chính là nhiễu do chuyển động của phương tiện tạo ra. 
Mô-men ngoại lực AzM bao gồm mô-men sinh ra từ CCCH AwM , mô-men ma 
sát nhớt AvM , mô-men ma sát Coulomb AcM . 
Gọi tỉ số truyền và hiệu suất truyền mô-men tương ứng là ,A Ai  . Gọi mô-men 
đầu trục động cơ là AmM . Mô-men sinh ra từ CCCH tác động lên kênh phương vị: 
Aw A A AmM i M (26) 
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục phương vị là: 
 AwAz Av AcM M M M (27) 
Thay (26) vào (27): 
 Az A A Am Av AcM i M M M (28) 
Mô-men sinh ra từ CCCH chính là tổng mô-men ngoại lực tác động lên kênh 
phương vị. Cân bằng (25) và (28): 
 1 sin 2Az Av Ac AdAm Ez Ey
A A A A A A
J M M M
M J J
i i i
  
  

    
(29) 
Gọi Af là nhiễu tác động lên kênh phương vị, do chuyển động của phương tiện 
và lực ma sát gây ra. 
1
A Av Ac Ad
A A
f M M M
i 
(30) 
 Phương trình (29) được viết lại: 
sin 2
Az Ez Ey
Am A
A A A A
J J J
M f
i i
  
 

    
(31) 
Như vậy phương trình động lực học cơ hệ quay/quét của ĐQS có dạng (19), 
(31). Nhiễu tác động lên kênh tà và kênh phương vị có dạng (18), (30). Động lực 
học cơ hệ ĐQS dưới dạng phương trình Euler-Lagrange như sau: 
( ) ( , )u D q q C q q q d    (32) 
     Am A; ;
T T T
Em Eu M M q d f f  
(32a) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019 77
Có rất nhiều cách để có được ma trận C trong (32). Tuy nhiên, để thuận lợi 
trong quá trình thiết kế bộ điều khiển sau này, chọn C như (32c) nhằm thỏa mãn 
điều kiện 2D C  là ma trận đối xứng lệch. 
2 2
Ey Ezsin cos
0
0
Az
A A
Ex
E E
J J J
i
D
J
i
 


(32b) 
sin 2 sin 2
2 2
sin 2 0
2
Ez Ey Ez Ey
A A A A
Ez Ey
E E
J J J J
i i
C
J J
i
   
 
 



(32c) 
4. HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH VÀ BÌNH LUẬN 
Công nghệ CAD, CAM, đặc biệt là công nghệ in 3D hiện nay cho phép thiết kế, 
chế tạo, lắp đặt và hiệu chỉnh đảm bảo cho cơ hệ quay quét đạt được trạng thái cân 
bằng động học. Nếu đảm bảo mô-men quán tính kênh tà trên trục Ey và trục Ez 
bằng nhau, khi đó 
Ey EzJ J ≜ EyzJ , có nghĩa ma trận Coriolis sẽ bị triệt tiêu. 
Phương trình (19) và (31) được rút gọn dưới dạng (33) và (34). 
Ex
Em E
E E
J
M f
i


  
(33) 
EyzAz
Am A
A A
J J
M f
i


  
(34) 
 Trong đó: Ex AxE
E E
J
f
i



(35a) 
2
Ax Ax Ex Bz
Ax Ay
Az Eyz
A
A A
Ay Ax Eyz
A A
J J J
f
i
J J J
i
  

 

 
(35b) 
Trong trường hợp phương tiện không di chuyển, các thành phần gia tốc liên 
quan đến chuyển động phương tiện sẽ triệt tiêu, Bz 0  . Khi đó nhiễu tác động lên 
kênh phương vị là: 
 2Ax Ax Ex Ax Ay Ay Ax Eyz
A
A A A A
J J J J
f
i i
   
 

(35c) 
Xem xét công thức (35a) và (35c) thấy rằng mặc dù phương tiện không chuyển 
động nhưng mặt phẳng ngang của phương tiện không phải là mặt phẳng ngang 
trong hệ tọa độ chuẩn (hệ tọa độ nhận được từ phép biến đổi tịnh tiến hệ tọa độ cố 
định mặt đất đến tâm quay của đài quan sát khi bỏ qua sự thay đổi theo phương 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 78 
thẳng đứng trên mặt cong của trái đất [2]), do đó các trục Axa và Aya của hệ tọa độ 
A có sự chuyển động khi khối phương vị quay, có nghĩa là 0Ax  , Ax 0 , 
Ay 0 . Nghiên cứu trong [4] không sử dụng các tham số này mà thay vào đó sử 
dụng gián tiếp góc nghiêng mặt sàn của phương tiện (mặt phẳng bệ) để tính toán 
bù nghiêng cho hệ truyền động bám của các kênh điều khiển độc lập. Việc sử dụng 
bù góc nghiêng bệ chỉ xem xét được ảnh hưởng của nhiễu đến động học mà không 
thể đánh giá trực tiếp được ảnh hưởng của nó đến động lực học cơ hệ. 
5. KẾT LUẬN 
Bài báo đã diễn giải lại kết quả nghiên cứu xây dựng phương trình Euler-
Lagrange được thực hiện trong [2]. Trong điều kiện hoạt động thực tế của các đài 
quan sát trang bị trong quân đội, bài báo đã phân tích, đánh giá ảnh hưởng của 
chuyển động phương tiện đến hệ quay quét của đài quan sát trên quan điểm động 
lực học. Kết quả nghiên cứu trong bài báo là một gợi ý đề xuất trong việc sử dụng 
cảm biến góc nghiêng tĩnh hay cảm biến gia tốc góc trong tổ hợp phòng không tầm 
thấp trên phương tiện cơ động hiện nay. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Viện Tự động hóa KTQS (2005), “Đại đội PPK 37mm - 2N tác chiến ngày 
và đêm”, Tài liệu kỹ thuật tổng hợp, Hà Nội. 
[2]. Vũ Quốc Huy (2017), “Nghiên cứu tổng hợp hệ thống tự động bám sát mục 
tiêu cho đài quan sát trên phương tiện cơ động”, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, 
Viện KH-CN Quân sự, Hà Nội. 
[3]. Nguyễn Trung Kiên (2015), “Xây dựng phương pháp tổng hợp hệ thống điều 
khiển các đài quan sát tự động định vị từ xa các đối tượng di động”, Luận án 
Tiến sĩ kỹ thuật, Viện KH-CN Quân sự, Hà Nội. 
[4]. Trần Ngọc Bình và cộng sự (2017), “Nghiên cứu nâng cao khả năng cơ động 
cho đại đội pháo phòng không 37mm - 2N phục vụ bắn trong hành quân”, 
Báo cáo tổng hợp, Đề tài độc lập Nhà nước, Viện Tự động hóa KTQS. 
ABSTRACT 
EULER-LAGRANGE EQUATION OF OPTICAL ELECTRONICS 
OBSERVATOR IN MOBILE VEHICLE 
The paper explains the research results of building Euler-Lagrange equation 
which was carried out in [2] and emphasizes some modifications of the model 
based on actual operating conditions of optical electronics observators [1] has 
been equipped in the Vietnamese military today. 
Keywords: Euler-Lagrange; Observator; Mobile vehicle; Incline angle. 
Nhận bài ngày 15 tháng 01 năm 2019 
Hoàn thiện ngày 22 tháng 02 năm 2019 
Chấp nhận đăng ngày 15 tháng 3 năm 2019 
Địa chỉ: Viện Tự động hóa KTQS. 
 * Email: maihuyvu@gmail.com.