Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

55
PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT 
VÀ PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI
Phạm Văn Chững*, Đoàn Hồng Chương**
TÓM TẮT
Phương pháp mô men tổng quát 
(Generalized Method of Moments, viết tắt 
là GMM), được giới thiệu bởi Hansen, đã 
và đang trở thành công cụ thiết yếu cho các 
nghiên cứu kinh tế, tài chính trong những năm 
gần đây. Phương pháp này là dạng mở rộng 
của nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc 
như phương pháp bình phương tối thiểu (LS), 
phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS), 
phương pháp dùng biến công cụ (IV) và phương 
pháp hợp lý cực đại (ML). Ưu điểm của GMM 
so với các phương pháp được đề cập ở trênlà 
nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và tính toán đơn 
giản hơn. Một trong những ví dụ điển hình về 
ưu điểm của GMM so với phương pháp bình 
phương tối thiểu (LS) là trường hợp mô hình 
có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity). 
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày ứng 
dụng của phương pháp mô men tổng quát 
trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh 
tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài 
báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1” 
về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn 
1920-1941.Các tính toán và ước lượng được 
thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.
Từ khóa: Phương pháp mô men tổng quát 
(GMM), Phương sai thay đổi), Mô hình Klein-I.
GENERALIZED METHOD OF MOMENTS 
AND HETEROSKEDASTICITY
ABSTRACT
The Generalized Method of Moments 
(GMM), introduced by Hansen, has been 
an essential tool for economic and financial 
research in recent years. This method 
generalizes many usual estimation methods 
such as Least Squares (LS), Two Stage Least 
Squares (2SLS), Instrumental Variables (IV) 
and Maximal Likelihood (ML). The advantage 
of GMM over the methods mentioned above 
is that it requires fewer hypotheses and its 
manipulation method is simple. One of the 
best examples of the advantage of GMM 
versus the Least Squares method (LS) is the 
case of heteroskedasticity. In this paper, we 
will present the application of Generalized 
Method of Moments in the Klein-I model 
which is an economic model occurring the 
heteroskedasticity.Data was extracted from 
the “Klein.wf1” database of the US economy 
during the period of 1920-1941. The software 
Eviews 9 was used to analyze the data. 
Keywords: Generalized Method of 
Moments (GMM), Heteroskedasticity, Klein-I 
model.
* TS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chungpv@uel.edu.vn
** ThS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chuongdh@uel.edu.vn
Phương pháp mô men tổng quát ...
56
Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật
1. MỞ ĐẦU
Phương pháp mô men tổng quát 
(Generalized Method of Moments, viết tắt 
là GMM), được giới thiệu trong bài báo của 
Hansen [1], đã và đang trở thành công cụ 
thiết yếu cho các nghiên cứu kinh tế, tài chính 
trong những năm gần đây. GMM là dạng mở 
rộng của nhiều phương pháp ước lượng quen 
thuộc như phương pháp bình phương tối thiểu 
(LS), phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS, 
Two Step Least Square), phương pháp dùng 
biến công cụ (IV, Instrumental Variables) và 
phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (ML, 
Maximal Likelihood) (xem [2], [3], [4]). Ưu 
điểm của GMM so với các phương pháp được 
đề cập ở trên là nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và 
tính toán đơn giản hơn. Một trong những ví 
dụ điển hình về ưu điểm của GMM so với 
phương pháp bình phương tối thiểu (LS) là 
trường hợp mô hình có phương sai thay đổi 
(Heteroskedasticity). Phương sai thay đổi là 
một trong những hiện tượng phổ biến của các 
mô hình hồi quy với dữ liệu chéo và dữ liệu 
bảng. Khi hiện tượng phương sai thay đổi 
xảy ra thì các sai số chuẩn của các ước lượng 
sẽ bị thay đổi. Do đó các ước lượng trong 
mô hình không còn tính hiệuquả (xem [5]). 
Trong các nghiên cứu thực nghiệm ngày nay, 
GMM được xem như là công cụ hiệu quả duy 
nhất để giải quyết các bài toán mà mô hình có 
phương sai thay đổi. Ước lượng thu được từ 
phương pháp này là không chệch (unbiased) 
và có đủ các tính chất thống kê tốt như tính 
nhất quán (consistency), tính tiệm cận phân 
phối chuẩn (asymptotic normality) và tính 
hiệu quả (efficiency).
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày 
tổng quan và GMM (xem [6], [7]) và ứng dụng 
GMM vào mô hình Klein-I (xem [5], [8], [9]), 
là mô hình có phương sai thay đổi. Dữ liệu của 
bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.
wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai 
đoạn 1920-1941.Các tính toán và ước lượng 
được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.
Bài báo được trình bày thành 5 mục. Trong 
mục tiếp theo, Mục 2, chúng tôi sẽ trình bày 
tổng quan về GMM và so sánh các ước lượng 
của GMM với các ước lượng của phương 
pháp bình phương tối thiểu (LS) và phương 
pháp dùng biến công cụ (IV). Kiểm định về 
phương sai thay đổi được chúng tôi trình bày 
trong Mục 3. Mục 4 được dành cho kiểm định 
J (hay kiểm định Sargan-Hansen) (xem [10]) 
về sự phù hợp của các biến công cụ trong mô 
hình. Mục 5, mục cuối cùng, là ứng dụng của 
GMM vào mô hình Klein-I.
2. PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT
2.1. Phương pháp bình phương tối thiểu 
(LS)
Xét mô hình hồi qui đơn tuyến tính
 ' . , 1,..., nt t ty x tβ ε= + = (2.1)
trong đó ( )1 ,...,t t mtx x x= là biến giải thích,
( )1,..., mβ β β= là vecto tham số của mô hình
và tε là các nhiễu.
Đối với phương pháp LS, mô hình (2.1) 
phải thỏa các điều kiện cơ bản sau:
(i) ( ) 0, 1,...,tE t nε = = ;
(ii) ( ) ( )2 0, 1,...,t tVar E t nε ε= = = ;
(iii) ( ) 0, 1,...,t tE x t nε = = ;
(iv) ( ) 0,t vE t vε ε = ≠ .
Các điều kiện từ (i) đến (iv) được gọi là 
các điều kiện về mô men. Để ước lượng tham 
số β , với mẫu số liệu ( ),t ty x cho trước chúng 
ta có thể dùng điều kiện
 ( ) 0t tE x ε = . (2.2)
Phương trình (2.2) tương đương với dạng
57
( )( )' . 0t t tE y x xβ− =
Thay giá trị kỳ vọng bởi trung bình mẫu, 
ta có phương trình
 ( )( )
1
1
' . 0
n
t t t
t
y x x
n
β
=
− =∑ (2.3)
Giải phương trình (2.3), ta được kết quả
1
1 1
ˆ ' ' .
n n
t t t t
t t
x x x yβ
−
= =
   = ∑ ∑   
   
Kết quả này cho thấy ước lượng ˆ LSβ β= 
(là ước lượng của β khi sử dụng phương pháp 
LS).
2.2. Phương pháp dùng biến công cụ (IV)
Tiếp theo chúng ta xét mô hình
1 2' . ' ' , 1,...,t t t t t ty x x x t nβ ε γ δ ε= + = + + =
 (2.4)
trong đó 1tx là vecto gồm 1K biến và 2tx là 
vecto gồm 2K biến thỏa mãn giả thiết
( )1 0t tE x ε = và ( )2 0t tE x ε ≠ .
Các biến 2tx được gọi là biến nội sinh. 
Khi đó, ước lượng LS cho các tham số β của 
mô hình bị chệch (biased) và không nhất quán 
(inconsistent). Để giải bài toán này, chúng ta 
thay thế 2K biến 2tx bởi 2K biến mới 2tz , 
gọi là biến công cụ, trong đó 2tz thỏa mãn tính 
chất 2tz có tương quan với 2tx và
( )2 0t tE z ε =
Để đơn giản hóa mô hình, ta ký hiệu
1
2
t
t
t
x
x
x
 
=  
 
 và 1
2
t
t
t
x
z
z
 
=  
 
thì điều kiện về mô men của mô hình với biến 
công cụ tz có dạng (ở đây 1tx được xem là 
biến công cụ của chính nó)
( )( )' . 0t t tE z y x β− =
Với mẫu số liệu ( ),t ty x , điều kiện về mô 
men mẫu của mô hình như sau:
( )
1
1
' . 0
n
t t t
t
z y x
n
β
=
− =∑
Nếu 
1
'
n
t t
t
z x
=
∑ không suy biến thì hệ trên có 
nghiệm duy nhất
1
1 1
ˆ '
n n
t t t t
t t
z x z yβ
−
= =
   = ∑ ∑   
   
Nhận xét 2.1. Điều kiện không suy biến ở 
trên tương đương với điều kiện về số mô men 
R của mô hình (2.4) bằng số tham số K cần 
ước lượng.
Trong trường hợp R K> (xác định quá 
mức, overidentified), thay vì xác định βˆ thỏa 
mãn các điều kiện về mô men ( ) 0t tE x ε = , 
chúng ta xác định βˆ thông qua dãy các bài 
toán cực tiểu với hàm mục tiêu dạng
 ( ) ( ) ( )'n nm g Wgβ β β= (2.5)
trong đó ( ) ( )1
1
' .
n
n t t t
t
g x y x
n
β β
=
= −∑ và W là 
ma trận xác định dương. Cách xác định W dựa 
vào thuật toán Hansen sẽ được trình bày trong 
mục 2.3.
2.3. Phương pháp mô men tổng quát 
(GMM)
Cho mẫu số liệu ( ),t ty x , (với 1,...,t n= 
và ( )1 ,...,
m
t t mtx x x= ∈� ), độc lập, có cũng 
phân phối (ký hiệu là i.i.d.) và θ ∈Θ là tham 
số chưa biết của mô hình. Mục tiêu của chúng 
ta là ước lượng giá trị thật 0θ của θ hoặc giá 
trị gần đúng nhất 0θ của θ dựa vào mẫu số 
liệu đã cho.
Giả sử điều kiện về mô men của mô hình 
ước lượng tham số θ là
 ( ) ( )( ), , 0t tm E g y xθ θ= = (2.6)
Phương pháp mô men tổng quát ...
58
Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật
trong đó ( ).E là kỳ vọng, ( ),t ty x là các biến 
quan sát, ( ).,g θ là hàm liên hệ giữa mẫu số 
liệu ( ),t ty x và tham số θ cần ước lượng 
trong mô hình.
Giả sử mô hình thỏa mãn luật số lớn. Khi 
đó ta có thể thay thế kỳ vọng ( )( ), ,t tE g y x θ 
bởi trung bình mẫu. Công thức (2.6) khi đó trở 
thành
( ) ( )
1
1
ˆ , , 0
n
t t
t
m g y x
n
θ θ
=
= =∑
Nếu tồn tại θˆ để ( )ˆˆ 0m θ = thì θˆ chính 
là ước lượng tốt nhất của mô hình. Tuy nhiên 
trong trường hợp R K> thì hệ phương trình 
trên có thể không tồn tại nghiệm. Do đó thay vì 
tìm nghiệm, GMM sẽ tìm θˆ cực tiểu khoảng 
cách giữa ( )mˆ θ và gốc tọa độ.
Hàm khoảng cách giữa ( )mˆ θ và gốc tọa 
độ có công thức như sau:
( ) ( ) ( )2ˆ ˆ ˆ'Wm m Wmθ θ θ= ,
với W là ma trận xác định dương và W được 
xác định từ mẫu số liệu đã cho. Khi đó ước 
lượng của θ trong GMM chính là nghiệm của 
bài toán tối ưu:
 (2.7)
Với các điều kiện chính quy thích hợp (xem [2]), ước lượng 0θˆ θ→ khi n → +∞ . Ma trận W 
trong bài toán (2.7) được xác định dựa vào thuật toán sau đây của Hansen [1].
Thuật toán 2 bước (Two Step Efficient GMM)
1: Đặt 1W I= (ma trận đơn vị). Tìm
2: Tính 
 và 
với 
Quá trình trên lặp cho đến khi dãy { }kθ hội tụ.
Ví dụ 2.2. Xét lại mô hình
1 2' . ' ' , 1,...,t t t t t ty x x x t nβ ε γ δ ε= + = + + =
trong đó ( )1 0t tE x ε = và ( )2 0t tE x ε ≠
Giả sử rằng số mô men R của mô hình 
lớn hơn số tham số K cần ước lượng. Với các 
ký hiệu như trong mục 2.2, ta có hàm số sau
 ( ) ( ) ( )
1
1 1
ˆ ' . ' ,
n
t t t
t
m z y x Z Y X
n n
β β β
=
= − = −∑
 (2.8)
trong đó 1,n n KY X× × và n RZ × là các ma trận 
tương ứng với ,t ty x và tz . Áp dụng GMM, ta 
có bài toán tối ưu sau:
Thay hàm ( )ˆ ở (2.8) vào hàm mục 
tiêu, ta được dạng toàn phương:
59
Điều kiện cần cực trị của bài toán trên là
( )
2 2
2 2
' ' ' ' 0
Q
X ZWZ Y X ZWZ X
n n
β
β
β
∂
= − + =
∂
định White. Nguyên lý chung của các kiểm 
định ở trên là chúng khảo sát mối liên hệ giữa 
phần dư với các biến giải thích có trong mô 
hình. Để minh họa, trong bài báo này chúng 
tôi khảo sát kiểm định White.
Xét mô hình hồi quy gồm 2 biến độc lập
0 1 1 2 2 , 1,...,t t t ty x x t nβ β β ε= + + + = (3.1)
Kiểm định White được tiến hành như sau:
Bước 1: Ước lượng các tham số của mô 
hình (3.1) và tìm các phần dư tε .
Bước 2: Thực hiện mô hình hồi quy bổ trợ
 (3.2)
Tìm 2R từ mô hình hồi quy bổ trợ (3.2).
Bước 3: Với giả thiết 0H : “không có 
hiện tương phương sai thay đổi trong mô hình 
(3.1)”, thống kê 2LM nR= có phân phối chi 
bình phương với bậc tự do 1df K= − , với K 
là số tham số cần ước lượng trong mô hình hồi 
quy bổ trợ (3.2).
Bước 4: Nếu 2nR lớn hơn giá trị tới hạn 
thì ta bác bỏ giả thiết 0H .
4. KIỂM ĐỊNH SARGAN-HANSEN
Nếu mô hình có số biến công cụ nhiều 
hơn số biến nội sinh (tức là R K> ) thì 
mô hình được gọi là xác định quá mức 
(overidentified). Kiểm định Sargan-Hansen 
(hay kiểm định J) (xem [10]), thường được 
áp dụng để kiểm tra mô hình hồi quy có xác 
định quá mức hay không.
Với giả thiết ( )0 ˆˆ: 0H m θ = và các điều 
kiện chính quy thích hợp [2], thống kê
Vì ( )Q β là dạng toàn phương nên hàm số 
sẽ đạt cực tiểu tại
( ) ( ) 1ˆ ' ' ' 'GMM W X ZWZ X X ZWZ Yβ
−= .
Với giả thiết các nhiễu độc lập và có cùng 
phân phối (i.i.d.), ma trận optW tối ưu được 
xác định như sau:
1
2 2
1
ˆ ,
ˆ ˆˆ ' ' .
opt
n
t t
t
W S
S z z Z Z
n n
σ σ
−
=
=
= =∑
Thay kết quả trên vào ( )ˆGMM Wβ , ta có:
( )( ) ( )11 1ˆ ' ' ' ' ' ' .GMM X Z Z Z Z X X Z Z Z Z Yβ −− −=
Phương sai của ước lượng được xác định 
bởi công thức:
( ) ( )( ) 112ˆ ˆ ' ' 'GMMVar X Z Z Z Z Xβ σ −−=
3. GMM VÀ HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI 
THAY ĐỔI
So với các phương pháp ước lượng khác 
như LS, 2SLS và IV, các ước lượng của GMM 
luôn hiệu quả ngay cả khi hiện tượng phương 
sai thay đổi xảy ra. Trong trường hợp không 
có hiện tượng phương sai thay đổi thì các ước 
lượng của GMM cũng không xấu hơn so với 
các phương pháp ước lượng được liệt kê ở 
trên. Tuy nhiên, Hayashi (xem [2]) chỉ ra rằng 
ma trận trọng số tối ưu Sˆ trong GMM là một 
hàm mô men bậc 4 mà việc ước lượng nó đòi 
hỏi mẫu số liệu rất lớn. Do đó, các ước lượng 
của GMM sẽ không hiệu quả đối với các mẫu 
số liệu nhỏ.
Để xác định có hiện tượng phương sai thay 
đổi trong mô hình hay không, người ta thường 
dùng các kiểm định Breusch-Pagan hoặc kiểm 
Phương pháp mô men tổng quát ...
60
Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ. 'J n m Wmθ θ=
có phân phối chi bình phương với bậc tự do là
R K− . Trong kiểm định J, bác bỏ giả thiết 0H 
đồng nghĩa với việc dạng mô hình không phù 
hợp với dữ liệu được khảo sát.
5. ÁP DỤNG GMM CHO MÔ HÌNH KLEIN-I
Mô hình Klein-I (1950) là một trong 
những mô hình cơ bản trong kinh tế (xem [8], 
[9]). Mô hình bao gồm nhiều phương trình dựa 
trên dữ liệu hàng năm về nền kinh tế Mỹ trong 
giai đoạn 1920-1941. Mô hình Klein-I được 
sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu kinh 
tế bởi tính đơn giản của nó khi ước lượng các 
tham số của mô hình cũng như khi giải thích ý 
nghĩa của các biến trong mô hình. Trong mục 
này chúng tôi giới hạn sử dụng GMM để ước 
lượng các tham số cho mô hình Klein-I sau
( )0 1 2 31CONS Y Y Wβ β β β ε= + + − + + (5.1)
trong đó CONS là biến tiêu dùng, Y là biến lợi 
tức cá nhân, ( )1Y − là biến lợi tức cá nhân trễ, 
W là biến tiền lương.
Các biến công cụ trong mô hình lần lượt 
là ( )1P − (lợi tức ròng trễ), ( )1K − (vốn cổ 
phần trễ), ( )1X − (GNP trễ), TM (xu thế), 
WG (lương ngân sách), G (chi tiêu công) và 
T (thuế). Dữ liệu sử dụng trong ví dụ được 
trích xuất từ bộ dữ liệu mẫu “Klein.wf1” của 
phần mềm Eviews 9. Để xác định mô hình có 
phương sai thay đổi hay không chúng tôi thực 
hiện kiểm định White.
Kết quả trong bảng 1 cho thấy mô hình có 
hiện tượng phương sai thay đổi ( )5%p < . Vì 
vậy, GMM là phương pháp thích hợp cho mô 
hình với bộ số liệu nói trên.
Bảng 1. Kiểm định White
61
 Bảng 2 trình bày kết quả ước lượng các tham số của mô hình (5.1). Từ kết quả ước lượng 
ta suy ra phương trình hồi quy
( )20.5398 1.29898* 1.23668* 1 0.87568*CONS Y Y W= − + − +
Bảng 2. Ước lượng các tham số của mô hình (5.1) bằng GMM
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hansen, L. P. (1982). Large sample 
properties of generalized method of 
moments estimates, Econometrica, 50, 
1029-1054.
[2]. Hayashi, F. (2000). Econometrics. 
Princeton University Press, New Jersey.
[3]. Wooldridge, J. (2001). Applications 
of Generalized Method of Moments 
Estimation, Journal of Economic 
Perspectives, 15(4), 87–100.
[4]. Wooldridge, J. (2002), Econometric 
Analysis of Cross Section and Panel Data, 
MIT Press, Cambridge, MA.
[5]. Green, W. H. (2012). Econometric 
Analysis, Pearson, NJ.
[6]. Kunst, R. M. (2008). The generalized 
method of moments, University of Vienna 
and Institute for Advanced Studies Vienna, 
Retrieved from http: //homepage.univie.
ac.at/robert.kunst/gmm.pdf
[7]. Nielsen, H. B. (2005). Generalized 
Method of Moments (GMM) Estimation, 
Retrieved from 
metrics/Econometrics2_05_II/Slides/13_
gmm_2pp.pdf
[8]. Klein, L. R. (1950), Economic Fluctuations 
in the United States, 1921-1941, Wiley, 
New York.
[9]. Tingbergen, J. (1959), Selected Papers, 
edited by L. H. Klaassen, L. M. Koyck 
and J. H. Witteveen, North-Holland, 
Amsterdam.
[10]. Baum, C. F., Schaffer, M. E., Stillman, S. 
(2003). Instrumental variables and GMM: 
estimation and testing, The Stata Journal, 
3(1), 1-31.
Phương pháp mô men tổng quát ...