Phương pháp lặp giải phương trình vi phân cấp cao với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 41 
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VỚI HỆ SỐ 
PHỤ THUỘC CÁC PHIẾM HÀM TÍCH PHÂN 
Vũ Vinh Quang*, Lại Văn Trung 
Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Trong các dạng phương trình vi phân bậc cao, lớp các phương trình có chứa các hệ số phụ thuộc 
các phiếm hàm tích phân mô tả các dạng bài toán đặc biệt trong cơ học đang được các nhà toán 
học quan tâm trong thời gian gần đây. Các kết quả đã nghiên cứu thường đề cập đến tính chất định 
tính của các bài toán, tuy nhiên việc tìm nghiệm số của các dạng bài toán này chưa được quan tâm 
do dạng đặc biệt của bài toán. Nội dung của bài báo gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày kết quả 
xây dựng lược đồ sai phân bậc cao đối với phương trình vi phân cấp hai, phần thứ hai trình bày các 
kết quả xây dựng lược đồ lặp giải các phương trình vi phân bậc cao có các hệ số phụ thuộc các 
phiếm hàm dạng tích phân. Các kết quả thực nghiệm số trên các lược đồ sai phân bậc cao khẳng 
định tính hữu hiệu của các sơ đồ lặp đã đề xuất. 
Từ khóa: Phương trình vi phân bậc cao, lược đồ sai phân, phiếm hàm tích phân, sơ đồ lặp. 
Ngày nhận bài: 01/3/2019; Ngày hoàn thiện: 25/3/2019; Ngày duyệt đăng: 07/5/2019 
ITERATIVE METHOD FOR SOLVING HIGHER 
ODER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH COEFFICIENTS 
DEPENDENT ON INTEGRAL FUNCTIONS 
Vu Vinh Quang
*
, Lai Van Trung 
University of Information and Communication Technology - TNU 
ABSTRACT 
In higher order differential equations, classes of equations contain coefficients that depend on 
integral functions describing special types of problems in mechanics that are of interest to 
scientists recently. The results studied often refer to the qualitative nature of the problems. 
However, finding the numerical solution of these types of problems has not been considered due to 
the special form of the problem. The content of the article consists of two parts: The first part 
presents the results of developing a higher oder differential diagram for the second order 
differential equation, the second part presents the results of building a loop iteration of higher oder 
differential equations with coefficients that depend on integral functions. The numerical 
experimental results on higher oder differential diagram confirm the effectiveness of the proposed 
iteration diagram. 
Keywords: Higher order differential equations, differential diagram, integral function, iteration 
diagram. 
Received: 01/3/2019; Revised: 25/3/2019; Approved: 07/5/2019 
* Corresponding author: Email: vvquang@ictu.edu.vn 
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 42 
1. Giới thiệu 
Khi nghiên cứu về phương trình vi phân phi 
tuyến tính bậc cao, một trong những kết quả 
đã đạt được trong những năm qua có thể kế 
đến các kết quả của nhóm tác giả: Đặng 
Quang Á, Nguyễn Thanh Hường, Ngô Thị 
Kim Quy. Dạng phương trình phi tuyến tổng 
quát nhất được xét là dạng: 
4 ' '' '''
' '
0 1 0
'' ''' '' '''
0 1 0 1
, , , , , ,
, ,
, .
u x f x u u u u a x b
a u a a u a A b u b bu b B
c u a c u a C d u b d u b D
 (1) 
Về mặt lý thuyết, sự hội tụ của sơ đồ lặp trên 
đã được chứng minh bằng lý thuyết của 
phương trình toán tử. Việc giải số các bài toán 
cấp hai đã thực hiện bằng việc xây dựng các 
lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 4 cho 
bài toán cấp hai. 
''
'
0 1
'
0 1
( ) ( ), ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
u x f x a x b
u a u a A
u b u b B (2) 
Các kết quả đã được công bố trong [1]. 
Trong các công trình gần đây, một số tác giả 
trên thế giới đã đề cập tới các mô hình bài 
toán cơ học có sự phụ thuộc tích phân. Cụ 
thể, trong [2], các tác giả: N. Kachakhidze, N. 
Khomeriki, J. Peradze, Z. Tsiklauri đã nghiên 
cứu mô hình bài toán được mô hình hóa bởi 
phương trình phi tuyến cấp hai 
1
'' 2 ''
0
(w ) w ( ), 0 1,
w(0) w(1) 0.
dx f x x
 (3) 
Trong [3], các tác giả Q.A. Dang, T.L.Vu đã 
nghiên cứu mô hình bài toán cấp bốn phi 
tuyến dạng 
4 '' ' 2 ''
0
'' ''
2
( ) ( ), 0 1,
(0) ( ) 0, (0) ( ) 0.
y y y dx y p x x
y y y y
 (4) 
Trong [4], các tác giả T.F. Ma, A.L.M. 
Martinez đã xét dạng bài toán biên phi tuyến 
cấp 4 dạng 
24 ' '' '
0
'' '' '
( ( ) s) ( ) ( , , u ),
(0) , ( ) ,
(0) , ( ) ( ( )).
L
u M u s d u x f x u
u A u L B
u C u L g u L
 (5) 
Có thể thấy rằng điểm chung của các mô hình 
bài toán (3), (4), (5) mà các tác giả đã nghiên 
cứu đều có các hệ số của phương trình phụ 
thuộc tích phân của hàm cần tìm. Để nghiên 
cứu các bài toán này, chúng ta có thể sử dụng 
các phương pháp biến đổi để chuyển các 
thành phần phụ thuộc tích phân sang vế phải 
của phương trình chuyển các bài toán đang 
xét về dạng bài toán (1). Khi đó có thể nghiên 
cứu sự hội tụ của phương pháp lặp bằng các 
phương trình toán tử và việc tính toán số sử 
dụng các lược đồ sai phân với độ chính xác 
bậc bốn của dạng bài toán (2). Hiển nhiên khi 
thực hiện phép biến đổi, thành phần vế phải 
sẽ trở nên phức tạp hơn vì sẽ chứa thêm thành 
phần hàm ( )f x . Một cách tự nhiên, chúng ta 
cần nghiên cứu phương pháp giải các bài toán 
trên mà không cần chuyển các thành phần 
chứa tích phân sang vế phải. 
Để giải quyết vấn đề trên, trong bài báo này 
chúng tôi trình bày việc xây dựng phương 
pháp lặp tổng quát cho mô hình các bài toán 
có hệ số phương trình chứa thành phần tích 
phân của đạo hàm cần tìm và lược đồ sai phân 
với độ chính xác cấp bốn cho bài toán cấp hai 
dạng tổng quát hơn. 
Bài báo gồm 5 phần, sau Phần giới thiệu là 
Phần 2, trình bày lược đồ sai phân với độ 
chính xác bậc cao; Phần 3, trình bày mô hình 
bài toán biên với hệ số phụ thuộc phiếm hàm 
tích phân và sơ đồ lặp để giải bài toán; Phần 
4, trình bày cá kết quả thực nghiệm và Phần 5 
là phần Kết luận. 
2. Lược đồ sai phân với độ chính xác bậc cao 
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 43 
Trong phần này chúng ta xét dạng bài toán biên tổng quát 
''
0 1
'
0 1
'
0 1
( ) ( ), ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
u u x f x a x b
u a u a A
u b u b B
 (6) 
Chúng ta sẽ xây dựng lược đồ sai phân tìm nghiệm số của bài toán với độ chính xác bậc 4.
2.1 Phương pháp sai phân đạo hàm 
Xét công thức khai triển Taylor 
43 3
3 4' ''( ) ( ) ... ( ).
2 6 24
nh h hu x h u x hu u u u O h 
Trong đó h kí hiệu là bước lưới. Xuất phát từ (8), ta nhận được 
4 '' ''
1
0
1
u f u
Thay vào công thức Taylor, ta nhận được 
2 3 4
' '' (3) '' '' 4
1 1
0
2 3 4
' '' (3) '' '' 4
1 1
0
( ) ,
2 6 24
( ) .
2 6 24
i i i i i i i
i i i i i i i
h h h
u u hu u u f u O h
h h h
u u hu u u f u O h
Từ đây suy ra 
4
2 '' '' '' 4
1 1 1
0
2 ( ) .
12i i i i i i
h
u u u h u f u O h 
Hay 
2
'' '' 41 1
2
2 0
1
0
2
.
12
(1 )
12
i i i
i i
u u u h
u f O h
h
h 
Đặt 
2
2 2
1
0
1 .
12
h
k h 
Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 4 
2
''1 1
0 12
2 2 2
2 ''1
1 1
0 0 0
2
; 1,2,..., 1,
12
2 ; 1,2,..., 1.
12
i i i
i i i
i i i i i
u u u h
u f f i n
k
k h k
u k u u f f i n
 (7) 
Sử dụng các công thức tính đạo hàm với độ chính xác bậc cao 
' 4
0 0 1 2 3 4
4
1 2 3 4
1
( ) 25 48 36 16 3 ,
12
1
'( ) 25 48 36 16 3 ,
12n n n n n n
f x f f f f f O h
h
f x f f f f f O h
h
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 44 
'' 2
0 0 1 2 3 42
'' 2
1 0 1 2 3 42
'' 2
2 1 1 22
'' 2
1 1 2 3 42
''
2
1
( ) 35 104 114 56 11 ,
12
1
( ) 11 20 6 4 ,
12
1
( ) 16 30 16 ,
12
1
( ) 11 20 6 4 ,
12
1
( ) 35 104
12
k k k k k k
n n n n n n
n n n
f x f f f f f O h
h
f x f f f f f O h
h
f x f f f f f O h
h
f x f f f f f O h
h
f x f f
h
2
1 2 3 4
114 56 11 .
n n n
f f f O h
Ta thu được hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp 4 đối với bài toán (6) như sau 
0 1 0 1 1 2 3 4
2 2 2
2 ''1
1 1
0 0 0
0 1 1 1 2 3 4
(12 25 ) 48 36 16 3 12 ,
(2 ) ; 1,2,..., 1,
12
(12 25 ) 48 36 16 3 12 .
i i i i i
n n n n n
h u u u u u hA
k h k
u k u u f f i n
h u u u u u hB
Ta thu được hệ đại số tuyến tính 
,AU F (8) 
trong đó 
00 01 02 03 04
10 11 12
21 22 23
31 32 33
3 4 3 3 4 3
2 3 2 2 2 1
1 2 1 1 1
4 3 2 1
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
... ... ...
0 0
0 0
0 0
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
nn nn nn nn nn
a a a a a
a a a
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a a a
a a a a a
; 
0 1 0 1
, ,..., ; , ,..., .
T T
n n
U u u u F F F F 
Nhận xét 
- Hệ phương trình sai phân (8) chính là hệ 
phương trình sai phân tương ứng với bài toán 
biên cho phương trình vi phân (6) với độ 
chính xác cấp 4. 
- Ma trận A của hệ không phải dạng 3 đường 
chéo, do đó hệ không giải được bằng thuật 
toán truy đuổi. 
2.2 Thủ tục biến đổi cơ bản 
Theo tính chất của hệ đại số tuyến tính, hệ sẽ 
không thay đổi nếu ta nhân một hàng tùy ý 
với một số k sau đó cộng vào hàng 1. Sử 
dụng tính chất trên, ta biến đổi ma trận của hệ 
(8) về dạng ba đường chéo qua bốn bước theo 
sơ đồ tính toán như sau: 
2 1
03 03 04 02 02 04
0
2 1
02 02 03 01 01 03
0
2 1
01 01 02 00 00 02
0
1 1 04 4 03 3 02 2
: 2 ; : ;
: 2 ; : ;
: 2 ; : ;
: .
a a k a a a a
a a k a a a a
a a k a a a a
F F a F a F a F
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 45 
Các sơ đồ tính toán trên cũng được thực hiện tương tự đối với hàng thứ 1n của hệ do tính chất 
đối xứng. 
Hiển nhiên qua sơ đồ tính toán trên, ma trận của hệ được chuyển về dạng 3 đường chéo. Sơ đồ 
tính toán trên được viết thành một thủ tục chuẩn biến đổi hệ ban đầu về hệ mới dạng ba đường 
chéo. Dễ kiểm tra thấy rằng các hệ số của hệ sau khi biến đổi thỏa mãn tính chất 
00 01 1 1 1
, , , 1,2,..., 1.
nn n n ii ii ii
a a a a a a a i n 
Tức là hệ thu được là hệ ba đường chéo có tính chất chéo trội. 
Hệ (8) sau khi biến đổi giải được bằng thuật toán ba đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n). 
Thuật toán giải hệ được thiết kế thành thủ tục chuẩn qtr4().m bằng ngôn ngữ Matlab. 
Bảng 1. Một số kết quả kiểm tra sai số đối với qtr4.m 
0 1 0 1 0 1
9, 5, 3, 2, 4, 7. 
Lưới chia s in cosx x xe 4 cosxe x x 
10 7.9e-6 5.6e-6 1.2e-5 
50 1.6e-8 1.1e-8 2.8e-8 
100 1.0e-9 7.1 e-10 1.8e-9 
200 6.4e-11 4.6e-11 1.2e-10 
500 2.7e-11 1.1e-11 5.3e-11 
1000 1.0e-12 1.0e-12 2.2e-12 
Thủ tục qtr4.m luôn luôn được sử dụng để tìm nghiệm số cho các sơ đồ lặp sẽ được đề xuất trong 
các mục tiếp sau. 
3. Mô hình bài toán biên với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân 
Trong phần này, chúng tôi trình bày việc giải quyết một dạng mô hình bài toán được mô tả bằng 
các bài toán biên cho phương trình vi phân. Điểm khác biệt cơ bản là các hệ số của phương trình 
vi phân sẽ chứa tính phân của đạo hàm của hàm cần tìm 
2 2''
1 2
0 1 0 1
' ' ( ), ,
( ) '( ) ; ( ) '( ) .
b b
a a
p u ds u p u ds u f x a x b
a u a a u a A b u b b u b B
 (9) 
Đây chính là dạng tổng quát của bài toán đã được các tác giả N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J. 
Peradze, Z. Tsiklauri đưa ra trong [2]. Với bài toán trong [2], bằng cách đặt ,u v  bài toán 
chuyển về dạng bài toán 
'' ,0 1,
0 1 0.
v f x
v v
Từ đó bằng cách xác định tham số  để tìm nghiệm của bài toán. 
Cần lưu ý rằng phương pháp trên chỉ áp dụng được cho bài toán cụ thể (3) do các tác giả đặt ra. 
Khác với các tác giả trên, chúng tôi xét bài toán tổng quát hơn và đề xuất phương pháp giải quyết 
bài toán như sau: 
Đặt 
2
'( ) s
b
a
u s d , khi đó bài toán (9) có dạng 
''
1 2
0 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
( ) '( ) ; ( ) '( ) .
p u x p u x f x a x b
a u a a u a A b u b b u b B
 (10) 
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 46 
Hiển nhiên nếu xác định được thì nghiệm 
số của bài toán sẽ được tìm từ thủ tục qtr4.m. 
Chúng ta xây dựng thuật toán lặp như sau: 
Thuật toán : 
Bước 1: Xuất phát 
0
0; 
Bước 2: Với mọi 0,1,2,...k giải liên 
tiếp hai bài toán 
''
1 2
'
0 1
'
0 1
( ) ( ) ( ), ,
( ) ( ) ;
( ) ( ) ;
k k k k
k k
k k
p u p u f x a x b
a u a a u a A
b u b u v b B
 (11) 
Hiệu chỉnh 
2
'
1 ( ) s .
b
k k
a
u s d  
MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 
Trước tiên, chúng ta xét bài toán được các tác 
giả N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J. 
Peradze, Z. Tsiklauri đưa ra trong tài liệu [2] 
1
' 2 ''
1
0
( ( ( )) ) ( ) ( ), 0 1,
(0) (1) 0.
p u s ds u x f x x
u u
Trong đó 
2
1 2
6+8 3
( ) 2-cos(pi*(z+1)/(z+2));f(x)= 2 cos x- (x-1)sin x .
2 3
p z 
Bài toán trên có nghiệm đúng là 
2
4 3
( ) (x-1)sin x.
2 3
d
u x
Đây là trường hợp đơn giản của dạng 1 với điều kiện biên Dirichlet. Áp dụng thuật toán 1, chúng 
tôi nhận được kết quả như sau: 
Bảng 2. Kết quả số so sánh tài liệu [2] 
Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số 
1 0.3644 6 5 e-6 
2 0.0248 7 6 e-7 
3 0.0032 8 8 e-8 
4 3 e-4 9 1 e-8 
5 4 e-5 10 3 e-9 
Có thể thấy rằng phương pháp lặp hội tụ rất nhanh và sai số đạt được là tốt hơn nhiều so với sai 
số trong tài liệu [2] đã công bố (Sai số e-3). 
Sau đây chúng tôi đưa ra một số kết quả tính toán với các hàm hệ số được chọn là tùy ý, điều 
kiện biên Neumann; 
Bảng 3. Kết quả kiểm tra đối với thuật toán 1 
1 2
0 1 0 1
( ) 1; ( ) cos 1.5; 0, 1,
2; 3; 5; 4, 100.
zp z e p z z a b
N
2 3 1
d
u x x sin
d
u x x
d
u e 3cos x
d
u x e x 
K K K k 
2 0.0028 5 0.058 1 0.2593 2 0.265 
4 3 e-5 10 0.0076 2 7 e-4 4 3 e-4 
6 3 e-7 15 0.001 3 3 e-5 6 4 e-6 
8 4 e-9 20 1 e-4 4 1 e-6 8 5 e-8 
10 8 e-11 30 3 e-6 5 9 e-8 10 2 e-10 
12 3 e-11 45 3 e-7 6 6 e-9 
Vũ Vinh Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 41 - 47 
 Email: jst@tnu.edu.vn 47 
Bảng 4. Kết quả kiểm tra đối với thuật toán 1 
1 2
0 1 0 1
( ) ; ( ) cos ; 0, 1,
2; 3; 5; 4, 100.
zp z e p z z a b
N
2 3 1
d
u x x sin
d
u x x
d
u e 3cos x
d
u x e x 
K K K k 
10 6 e-8 Không hội tụ 5 7 e-5 5 5 e-6 
20 4 e-11 10 1 e-9 10 6 e-10 
4. Kết luận 
Giải các phương trình vi phân cấp cao mà đặc 
biệt là lớp các phương trình vi phân cấp cao 
có hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân là rất 
có ý nghĩa trong cơ học. Bài báo đã trình bày 
việc giải số cho bài toán phương trình vi phân 
cấp hai tổng quát với hệ số phụ thuộc phiếm 
hàm tích phân. Đây là một kết quả rất quan 
trọng để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và giải 
quyết các bài toán vi phân cấp cao hơn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường 
(2017), Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho 
phương trình vi phân tuến tính và phi tuyến tính 
cấp cao, Hội nghị khoa học Quốc gia FAIR 10, 
107-126. 
[2]. N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J. Peradze, Z. 
Tsiklauri (2016), “Chipot’s method for a one-
dimensional Kirchohoff static equation”, Numer 
Algor ,73, 1091-1106. 
[3]. Quang A. Dang, Vu Thai Luan (2010), 
“Iterative method for solving a nonlinear fourth 
order boundary value problem”, Computers and 
Mathematics with Applications, 60, 112-121. 
[4]. T. F. Ma, A.L. M. Martinez (2010), “Positive 
solution for a fourth order equation with nonlinear 
buondary conditions”, Mathematics and Coputers 
in Simulation, 80, 2177-2184. 
  Email: jst@tnu.edu.vn 48