Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lí Cosin cho tứ diện

50 
HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0061 
Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 5, pp. 50-58 
This paper is available online at  
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN 
THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG TÁI KHÁM PHÁ ĐỊNH LÍ COSIN CHO TỨ DIỆN 
Lê Văn Cường1, Trần Cường2 
1Trường THCS&THPT Nguyễn Tất Thành, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 
2Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 
Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi tìm hiểu về một số phiên bản khác nhau của định lí 
cosin trong không gian, thiết kế nội dung cho tình huống học tập tái khám phá định lí nhằm 
rèn luyện tư duy sáng tạo cho người học. Một hoạt động thực nghiệm được thiết kế và tổ chức 
cho 81 sinh viên K65 (năm thứ ba) ngành Toán ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, cho phép 
bước đầu đánh giá về khả năng - thói quen tiến hành hoạt động tương tự hóa ở người học, kéo 
theo những kết luận đầu tiên về tính khả thi, hiệu quả của tình huống. 
Từ khoá: Tư duy sáng tạo, sinh viên sư phạm toán, định lí cosin, tứ diện. 
1. Mở đầu 
Tổng quan về lịch sử nghiên cứu sự sáng tạo trong khoa học giáo dục [1] cho thấy, mặc dù 
sáng tạo mới chỉ trở thành một khái niệm khoa học trong vòng hơn một thế kỉ, song trong nhiều 
cuộc thảo luận, tranh luận về triết học, tâm lí học, giáo dục học,... đã được nhen nhóm từ hàng 
nghìn năm trước. Freud, Piaget, Rogers và Skinner đã nghiên cứu và khám phá những quy luật 
khoa học đầu tiên vào đầu thế kỷ XX (Albert & Runco, 1999). Từ sau đó, rất nhiều các nghiên 
cứu trong lĩnh vực nghệ thuật, giáo dục học, nhận thức luận,... ngày càng làm sáng rõ bản chất của 
sự sáng tạo, chẳng hạn Finke và cộng sự (1996) đã chỉ ra sự liên quan mật thiết giữa sự sáng tạo 
và những trải nghiệm của chủ thể nhận thức. 
 Bách khoa toàn thư về giáo dục toán học [2] cũng đề cập tới rất nhiều công trình về sáng tạo: 
năm 2002, Treffinger và cộng sự đã thống kê được hơn 100 quan niệm khác nhau cho sáng tạo 
toán học, có thể được chia thành hai xu hướng: Feldman, Csikczentmihalyi & Gardner (1994) 
dùng thuật ngữ sáng tạo lớn để chỉ sự tạo ra những tri thức, sản phẩm mới có tác dụng thay đổi 
thế giới quan của cộng đồng, nhân loại, trong khi thuật ngữ sáng tạo nhỏ gần với khung cảnh 
trường học được đưa ra bởi Kauffman (2009). Nhiều tác giả cũng gắn sáng tạo với lĩnh vực tri 
thức liên quan để nói về sáng tạo trong những lĩnh vực chuyên biệt (domain specific) và sáng tạo 
chung (domain general). Dù là sáng tạo lớn hay nhỏ, ở lĩnh vực chuyên biệt hay chung chung, tất 
cả các quan niệm đều nhấn mạnh ở sản phẩm cần có tính mới và tính có ý nghĩa (Kaufman & 
Sternberg, 2006). Mới và có ý nghĩa, tất nhiên cũng có mức tương đối, trong giáo dục toán học, 
đối với học sinh phổ thông, sáng tạo có thể xem là quá trình sản sinh ra một ý tưởng, giải pháp 
mới cho một vấn đề toán học hoặc sự hình thành những câu hỏi mới. 
Ngày nhận bài: 6/4/2018. Ngày sửa bài: 23/05/2018. Ngày nhận đăng: 30/5/2018. 
Tác giả liên hệ: Trần Cường, email: trancuong@hnue.edu.vn. 
Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 
51 
 Ở nước ta, sáng tạo được coi là một phẩm chất của con người mới. Nhiệm vụ và mục tiêu cơ 
bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích 
cực cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo. “Làm thế nào 
phát triển tư duy sáng tạo cho người học?” là câu hỏi nhận được quan tâm rộng khắp của cộng 
đồng nghiên cứu: tìm kiếm tiếng Việt trên Google với từ khóa tư duy sáng tạo cho gần 9 triệu kết 
quả, tìm kiếm từ khóa sáng tạo tại thư viện quốc gia cho gần 800 ngàn kết quả trong các tóm tắt 
tài liệu; trên trang web của Tạp chí giáo dục trả về 345 bài báo khoa học có liên quan. Một số tác 
giả đã dành mối quan tâm tới việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán. Trong [3] 
(2010), B. V. Nghị đã đề xuất biện pháp rèn luyện phương pháp sáng tạo bài toán cho sinh viên sư 
phạm toán thông qua nội dung Tọa độ trong không gian: dựa trên một số dữ kiện (tọa độ, phương 
trình) cho trước, thảo luận để đặt ra bài tập mới. Cách làm này khiến cho giờ Lý luận dạy học trở 
nên sôi nổi, hấp dẫn, sinh viên hoạt động tích cực, đề ra được nhiều bài tập thú vị. Tuy nhiên bài 
báo chưa quan tâm tới khía cạnh thể thức hóa, quy trình hóa để có một phương pháp chung sáng 
tạo bài tập mới trong những tình huống khác nhau. B. D. Hưng ([4], 2011) đã đề xuất các hướng 
khai thác bài tập toán THPT và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu bài toán 
cho sinh viên. Một số ví dụ điển hình được đưa ra cùng những phân tích về sự biến đổi bằng suy 
luận có lí, cùng quy trình dạy khai thác bài toán cho sinh viên. Cách làm này tập trung vào một số 
bài toán giàu tiềm năng được lựa chọn kỹ càng từ trước, nhưng không đề cập đến quá trình làm 
việc cùng những kết quả trung gian của sinh viên. 
 Việc triển khai dạy sáng tạo trong nhà trường sư phạm còn rất cần được tiếp tục nghiên cứu, 
cải thiện. Mục đích của bài báo này là thiết kế một tình huống giúp sinh viên sư phạm toán khám 
phá lại định lí cosin trong Hình học không gian. Xuất phát từ định lí cosin trong Hình học phẳng 
bằng cách sử dụng tương tự hóa và một số hoạt động trí tuệ cơ bản khác - lấy ý tưởng từ cách làm 
của Polya - hướng tới phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên. 
 Bằng các phương pháp Nghiên cứu lí luận, Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm, 
nghiên cứu trả lời những câu hỏi sau: (1) Tư duy sáng tạo có những đặc trưng gì? (2) G. Polya 
quan niệm thế nào về những suy luận có lí? (3) Định lí cosin có những phiên bản nào, quá trình 
hình thành phát triển ra sao? (4) Có thể hướng dẫn người học tái khám phá định lí cosin như thế 
nào để rèn luyện các hoạt động thuộc về tư duy sáng tạo? 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Tư duy sáng tạo 
2.1.1. Tư duy 
 Theo [5] (1999), tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những 
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách 
quan. Hai thuộc tính quan trọng của tư duy là: 1- tính có vấn đề, tức là tư duy chỉ nảy sinh trong 
hoàn cảnh chứa đựng mục đích, vấn đề, cách thức mới mà những kinh nghiệm, hiểu biết cũ không 
đủ để giải quyết. Vấn đề phải được nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân; 
2- tính gián tiếp, ngụ ý tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phương tiện, công cụ, kết quả của 
nhận thức cảm tính, dựa trên kinh nghiệm của chủ thể. Ngoài ra, tư duy còn có tính trừu tượng, 
khái quát, liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, Muốn thúc đẩy người học tư duy phải đặt họ vào tình 
huống có vấn đề, phát triển tư duy phải song song với trang bị tri thức, phải gắn với trau dồi ngôn 
ngữ và rèn luyện cảm giác, tri giác, tính nhạy cảm, năng lực quan sát và trí nhớ. 
 Có 5 nhóm hoạt động trí tuệ gắn với nội dung môn Toán: nhận diện - thể hiện; hoạt động 
toán học phức hợp; hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán; hoạt động trí tuệ chung; hoạt 
động ngôn ngữ ([6, ch. 2], 2017). 
Lê Văn Cường, Trần Cường 
52 
 Trong các hoạt động trí tuệ chung, ngoài phân tích, tổng hợp, so sánh,..., G. Polya đặc biệt 
quan tâm tới khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự. Trong [7], (1954), tác giả coi “hai hệ là 
tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận 
tương ứng”. Tương tự hóa thường dùng trong suy luận bằng quy nạp, tìm tòi lời giải,... Khái quát 
hóa, đặc biệt hóa và tương tự hợp tác với nhau trong việc giải quyết các vấn đề toán học, chúng 
“kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán”, giúp hình thành khái 
niệm và các tri thức lí thuyết, mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu và 
hệ thống hóa kiến thức, về lâu dài, hình thành các phẩm chất trí tuệ cho người học, đặc biệt là tư 
duy sáng tạo (TDST). 
2.1.2. Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy 
nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị [8]. 
 Những dấu hiệu quan trọng của TDST là (i) Sự tự lực chuyển các tri thức, kỹ năng sang một 
tình huống mới; (ii) Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết đúng quy cách; (iii) 
Nhìn thấy một chức năng mới của một đối tượng quen biết; (iv) Nhìn thấy cấu trúc mới của đối 
tượng đang nghiên cứu; (v) Có khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau; (vi) 
Biết kết hợp những phương thức đã biết thành một phương thức mới; (vii) Tạo ra cách làm độc 
đáo tuy đã biết nhiều cách khác. 
 Trí tưởng tượng không gian là một trong những tiền đề quan trọng của TDST. Nó được thể 
hiện ở khả năng nhận thức cấu trúc thực tế của hình khối, nhận ra mối quan hệ giữa các đường, 
mặt, các hình, dễ dàng nhìn nhận chúng dưới nhiều góc độ, theo sự thay đổi hướng nhìn và hướng 
xoay của bản thân hình được xét cùng các bộ phận của nó. “Trí tưởng tượng còn quan trọng hơn 
cả kiến thức. Kiến thức thì hạn chế. Trí tưởng tượng lại bao quanh cả thế giới” (A. Einstein). 
 Cấu trúc của TDST được phân tích kỹ bởi nhiều tác giả quốc tế, chẳng hạn Renzulli (1990) 
đã đưa ra 5 thuộc tính quan trọng cơ bản: (1) Tính linh hoạt (flexibility) biểu hiện bởi khả năng 
nhanh chóng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; (2) Tính nhuần nhuyễn 
(fluency) là “đạt đến thành thạo, vận dụng một cách rất tự nhiên”; (3) Tính độc đáo (orginality) 
"thể hiện rõ nét ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”; (4) Tính 
hoàn thiện (elabolation) đặc trưng bởi khả năng lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động trong cả 
một quá trình để đạt hiệu quả cao nhất, nhìn các sự vật hiện tượng một cách toàn diện, khách quan 
và trong sự vận động, trong các mối quan hệ, “thấy được cả mâu thuẫn và thống nhất, cái chung 
và cái riêng, nội dung và hình thức”; (5) Tính nhạy cảm vấn đề (problem’s sensibility), tức nhanh 
chóng phát hiện ra vấn đề, liên tưởng tốt các mối quan hệ mà thậm chí không cần suy luận. Theo 
tâm lí học, nhạy cảm là đặc điểm riêng biệt, tương đối bẩm sinh, nhưng có thể được bồi đắp thông 
qua rèn luyện thường xuyên, khoa học. Một số thuộc tính khác của TDST cũng đáng quan tâm có 
thể kể tới như: tính chính xác (precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), 
năng lực định nghĩa lại (redefinition). 
2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian 
Có một số phiên bản khác nhau của định lí cosin trong toán sơ cấp: 
Định lí 1. (định lí cosin cho tam giác) Trong mọi tam giác ABC 
 a
2 = b2 + c2 - 2bccos A. (1) 
Định lí 2. (định lí cosin cho góc tam diện) Gọi A, B, C là các góc phẳng, còn a ,b ,g là các 
góc nhị diện tương ứng đối diện của cùng một góc tam diện thì: 
 cos A = cos BcosC + sin BsinC cosa ; cosa = -cosb cosg + sinb sing cos A. (2) 
Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 
53 
Định lí 3. (định lí cosin cho lăng trụ tam giác) Trong lăng trụ tam giác ABCA'B'C' gọi Sa, Sb, 
Sc lần lượt là diện tích các mặt BCC'B', CAA'C', ABB'A' và g A ,g B ,g C lần lượt là các góc nhị diện 
cạnh AA', BB', CC' thì: 
 Sa
2 = Sb
2 + Sc
2 - 2SbSc cosg A . (3) 
Trong tứ diện ABCD ký hiệu SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các mặt BCD, ACD, ABD, 
ABC còn q AB là góc nhị diện cạnh AB và tương tự với q AC ,q AD ,q BC ,qCD ,qBD . 
Định lí 4. (định lí cosin I cho tứ diện) 
SA
2 + SB
2 - 2SASB cosqCD =
1
4
AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû
2
. 
(4) 
Định lí 5. (định lí cosin II cho tứ diện) 
 SA
2 = SB
2 + SC
2 + SD
2 - 2SBSC cosq AD - 2SCSD cosq AB - 2SDSB cosq AC . (5) 
2.2.1. Định lí cosin trong lịch sử toán 
Định lí 1 là một kết quả cổ điển trong hình học phẳng: một đơn vị kiến thức quan trọng trong 
chương trình Hình học 10: kết quả vận dụng của khái niệm tích vô hướng trong mặt phẳng, mở 
rộng tự nhiên của định lí Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác, cùng với định lí sine làm 
thành hai công cụ chính của phương pháp giải tam giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. 
Mặc dù khái niệm cosin chưa xuất hiện ở thời đại của Euclid (khoảng thế kỷ thứ 3 trCN), 
nhưng kết quả tương đương đã có trong bộ Elements. Hai trường hợp tam giác nhọn và tam giác 
tù được trình bày riêng rẽ trong quyển 2, dưới dạng phát biểu bằng lời. Chẳng hạn: 
Trong tam giác tù, bình phương cạnh đối diện với góc tù lớn hơn tổng bình phương hai cạnh 
còn lại một lượng gấp đôi diện tích hình chữ nhật dựng bởi các kích thước: chiều dài bằng một 
trong hai cạnh góc tù chiều, rộng bằng hình chiếu của cạnh góc tù còn lại trên đó. 
 Thời kì môn lượng giác, hệ quả của những nghiên cứu về thiên văn học, phát triển vượt bậc ở 
khu vực Tiểu Á, Al-Battani (thế kỉ X) đã khái quát kết quả của Euclid trong hình học cầu khi tính 
toán khoảng cách giữa các ngôi sao. Trở lại dạng phẳng với phát biểu gần giống ngày nay là công 
lao của Al-Kashi (sách Samarqand, thế kỷ XV – ở Pháp, định lí cosin được gọi là định lí Al-
Kashi). Tới thế kỷ XVI, F. Viète đã học tập và truyền bá định lí về châu Âu. Tác phẩm sớm nhất ở 
châu Âu trình bày định lí giống hiện nay dường như là phần phụ lục về lượng giác trong sách 
Elements of Geometry: Containing the First Six Books of Euclid (J. Playfair, 1804). 
 Tên gọi Định lí cosin (law of cosin), ban đầu được dùng cho một định luật trong quang học 
về mối liên hệ giữa cường độ ánh sáng chiếu tới một đơn vị diện tích trên hai bề mặt, được giới 
thiệu bởi Lambert (1870). 
 Đến năm 1889, trong công trình [9], J. Casey mới dùng law of cosin trong hình học cho các 
Định lí 1, 2, 5, còn Định lí 4 chỉ là một bài tập. Là một cuốn sách thuần túy khoa học tự nhiên, [9] 
hoàn toàn không giải thích làm thế nào mà J. Casey (hoặc các nhà toán học trước đó) đã tới được 
các định lí cosin cho tứ diện. Tuy nhiên, với tiêu đề A treatise on spherical trigonometry and its 
applications on geodesy and astronomy, có căn cứ để tin rằng các định lí cosin trong không gian 
liên quan và có nguồn gốc từ các bài toán trong kỹ thuật hàng hải, trắc địa, thiên văn học; Tất 
nhiên, cũng không loại trừ khả năng các nhà toán học phát minh ra chúng nhờ sự mở rộng hoàn 
toàn lí thuyết (trong lời nói đầu, Casey gọi [9] là kế thừa tự nhiên của tác phẩm trước đó A 
Treatise on Plane Trigonometry, Containing an Account of Hyperbolic Functions). 
Lê Văn Cường, Trần Cường 
54 
2.2.2. Tái khám phá định lí cosin trong không gian 
 Trong không gian có nhiều hình tương tự như tam giác trong mặt phẳng. Liệu trên những 
hình đó, có kết quả giống với định lí cosin trong tam giác không? 
* Hình không gian tương tự với tam giác 
 - Nếu nhìn tam giác là hình phẳng gồm 3 đoạn thẳng "gắn" với nhau tại các đầu mút thì trong 
không gian có thể chọn: lăng trụ tam giác là hình được tạo thành nhờ "dán" 3 hình bình hành tại 
các "mép" là những đoạn thẳng bằng nhau; góc tam diện cũng được tạo thành khi "dán" 3 góc 
phẳng chung đỉnh. 
 - Nếu nhìn tam giác như hình tạo bởi một phần của đường thẳng làm đáy với một điểm ở 
ngoài đường thẳng làm đỉnh thì trong không gian có thể chọn: 
 Hình nón, thu được khi lấy một hình tròn làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng hình tròn 
làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay hình tròn trên mặt phẳng đều là các hình cầu: Trên 
đường thẳng d cho hai điểm A, B cách nhau một khoảng 2R rồi gọi J là trung điểm của AB thì AB 
= {M, JM ≤ R} là hình cầu 1 chiều. Còn trên mặt phẳng cho điểm J thì hình tròn tâm J bán kính R 
được định nghĩa bởi tập hợp {M, JM ≤ R} là hình cầu 2 chiều; 
 Hình chóp thu được khi lấy một đa giác phẳng làm đáy, một điểm nằm ngoài mặt phẳng đa 
giác làm đỉnh. Đoạn thẳng trên đường thẳng hay đa giác trên mặt phẳng đều là các đơn hình, tức 
giao một số hữu hạn các nửa không gian. 
 - Nếu nhìn miền tam giác như hình phẳng giới nội tạo bởi 3 đường thẳng (không thể ít hơn 3) 
thì trong không gian, cần ít nhất 4 mặt phẳng mới có thể tạo được một phần không gian như vậy, 
đó là một miền tứ diện. Cả tam giác và tứ diện, trong không gian của mình, đều là những hình giới 
nội tạo bởi một số tối thiểu các siêu phẳng trong không gian tương ứng. 
* Quy trình phát triển các giả thuyết 
 Trên những hình vừa chọn, với một quy trình thích hợp, có thể đưa ra một số phán đoán 
giống với Định lí 1. 
Bước 1. Phân tích và so sánh tìm sự giống nhau để tương tự hóa các từ khóa. 
Bảng 1. Hình tương tự với tam giác trong không gian 
 Tam giác ABC Lăng trụ ABCA'B'C' Tứ diện ABCD 
Cấu 
tạo 
2 cạnh bên b, c 
"chụm lại" ở đỉnh 
A tạo với nhau 
góc A và "căng 
ra" đoạn BC 
2 mặt bên AA'C'C và 
AA'B'B "chụm lại" ở 
AA', tạo với nhau góc 
Ag và "căng ra" mặt 
BCC'B' 
2 mặt bên CDB, 
CDA "chụm lại" ở 
CD, tạo với nhau 
góc CDq và "căng 
ra" đoạn AB 
3 mặt bên ABC, ACD, 
ADB "chụm lại" ở đỉnh 
A, đôi một tạo với nhau 
các góc , ,AB AC ADq q q và 
"căng ra" mặt BCD 
Bước 2. Tổng hợp các yếu tố mới theo cấu trúc cũ từ mệnh đề gốc để phát biểu các giả thuyết. 
(Mệnh đề gốc, Định lí 1.) Trong tam giác, bình phương cạnh đáy bằng tổng bình phương hai cạnh bên 
trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc ở đỉnh. 
Giả thuyết 1. Trong lăng trụ tam giác bình phương diện tích mặt bên bằng tổng bình phương 
diện tích hai mặt bên còn lại trừ đi hai lần tích với cosin góc giữa hai mặt đó, công thức (3). 
Giả thuyết 2. Trong tứ diện, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương diện tích hai mặt 
bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc nhị diện giữa hai mặt đó: 
2 2 2 2 cos .A B A B CDAB S S S S q= + - (6) 
Giả thuyết 3. Trong tứ diện, bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương diện tích 
ba mặt bên trừ đi hai lần tích của chúng với cosin góc tam diện xác định ở đỉnh đối diện: 
Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 
55 
2 2 2 2 2 cos .A B C D B C DS S S S S S S A= + + - (7) 
Bước 3: Dùng các hoạt động trí tuệ để kiểm chứng các giả thuyết 
 Nhiều giả thuyết không hợp lí có thể dễ dàng sơ loại bằng hai nhận xét sau đây: 
- Tính đối xứng giữa các biến phải được đảm bảo; 
- Thứ nguyên (đơn vị) của hai vế phải cân bằng (ta sẽ đơn vị đo độ dài là metre – m). 
 Những giả thuyết không vượt qua "vòng sơ loại" sẽ bị bỏ đi hoặc được hợp lí hóa, sau đó 
chuyển sang bước kiểm chứng (chứng minh hoặc bác bỏ) các giả thuyết hợp lí. 
 Quy trình 3 bước nói trên cho phép tạo ra phát biểu mới, có khả năng trở thành một sáng tạo 
nhỏ. Tiếp theo ta sẽ phân tích làm rõ tiềm năng dạy tư duy sáng tạo ở bước 3 (kiểm chứng giả 
thuyết), qua đó dựng lại một con đường tự nhiên để tái khám phá ra các định lí. 
* Hợp lí hóa các giả thuyết 
 Giả thuyết 1 đảm bảo được cả hai điều kiện: phân tích và so sánh ta thấy đối với Sa làm đáy, 
vai trò của Sb, Sc như nhau, đều là các mặt bên, cho nên vế phải cần một biểu thức đối xứng với Sb, 
Sc. Cả hai vế đều có bậc thứ nguyên là m4; 
 Giả thuyết 2 không hợp lí, dù vế phải đảm bảo tính đối xứng đối với SA, SB nhưng lại có thứ 
nguyên m4, trong khi vế trái chỉ có thứ nguyên m2. Tổng hợp lại và phân chia trường hợp để hợp 
lí hóa Giả thuyết 2, ta có thể bổ sung một đại lượng có thứ nguyên m2 vào vế trái mà vẫn đảm bảo 
tính đối xứng. Nếu nhân thêm yếu tố nào thuộc mặt bên BCD thì đồng thời cũng phải lấy yếu tố 
tương tự của mặt bên ACD; Cũng có thể chỉ cần nhân thêm yếu tố thứ nguyên m2 thuộc về cặp đối 
diện AB, CD là đảm bảo được tính đối xứng. Đơn giản, hợp lí nhất là nhân thêm CD2 vào vế trái: 
2 2 2 2. 2 cos .A B A B CDAB CD S S S S q= + - (8) 
 Giả thuyết 3 đáp ứng tính đối xứng, nhưng vi phạm điều kiện về thứ nguyên, sơ sài về hình 
thức, vì cos A không được định nghĩa cho một góc tam diện. Cần phát biểu thận trọng hơn sao 
cho vế phải là biểu thức đối xứng của ba biến SB, SC, SD với thứ nguyên m4 giống như vế trái. Để 
giống (1) cần có yếu tố nào đó của tứ diện giống như cosin góc tạo bởi hai cạnh bên AB, AC trong 
tam giác. Theo suy nghĩ này, hệ thức (5) xuất hiện như Giả thuyết 4, kết quả điều chỉnh Giả 
thuyết 3, một cách rất tự nhiên và "đẹp". 
* Kiểm chứng các giả thuyết 
- Lăng trụ: Không khó khăn để chứng minh Định lí 3. 
- Tứ diện là phần còn lại của lăng trụ tam giác sau khi "bớt đi" hai đỉnh không cùng thuộc một 
cạnh bên. Chẳng hạn, bớt hai đỉnh B', C' ta thu được tứ diện A'ABC. Làm như vậy, diện tích các 
mặt bên bị "mất đi" một nửa, chỉ còn lại: SA' AB =
1
2 SA' ABB ' , SA' AC =
1
2 SA' ACC ', trong khi SBCC'B' = 
BC.BB'.sin(BC,BB') = BC.AA'.sin(BC,AA') do AA' song song và bằng BB'. Từ (3), trong tứ diện 
bất kỳ A'ABC: 
 SA' AB
2 + SA' AC
2 - 2SA' ABSA' AC cosg A = 14 AA'.BC.sin( AA ', BC)éë ùû
2
. 
Thay tên điểm A' bởi D để dùng những ký hiệu của tứ diện ABCD ta có Định lí 4. 
 Định lí 4 là một tiền đề thuận lợi tạo đà kiểm chứng Giả thuyết 4 vì đã có sẵn bình phương 
các diện tích, ta cần tính 2AS bởi một biểu thức đối xứng bậc hai của SB, SC, SD. Muốn đối xứng 
hóa SB, SC, SD cách tự nhiên nhất là áp dụng (6) đủ 3 lần khi các mặt ABC, ACD, ADB lần lượt 
"tựa trên" mặt BCD rồi cộng vế theo vế các đẳng thức thu được: 
 SA
2 + SB
2 - 2SASB cosqCD = 14 AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû
2
Lê Văn Cường, Trần Cường 
56 
 SA
2 + SC
2 - 2SASC cosqBD = 14 AC.BD.sin( AC, BD)éë ùû
2
 SA
2 + SD
2 - 2SASD cosqBC = 14 AD.BC.sin( AD, BC)éë ùû
2
dẫn tới 
   
 
  
22 2
, , , , , , , , , , , ,
13 2 cos . .sin( , .
4A X A X YZX B C D X Y Z B C D X Y Z T A B C D
S S S S XY ZT XY ZTq
 = =
+ - = 
   
Mặt khác SA = SB cosqCD + SC cosqBD + SD cosqBC nên ta có: 
 
 
  
22
, , , , , , , , ,
1 . .sin( , ) .
4XX A B C D X Y Z T A B C D
S XY ZT XY ZT
 =
=  (9) 
 Việc cô lập AS với , ,B C DS S S bằng cách lần lượt "tựa" cả ba mặt bên lên mặt đáy BCD chưa 
dẫn tới hiệu quả, nên có thể lật ngược vấn đề, đối xứng hóa bằng cách không dùng mặt đáy nữa 
mà lần lượt cho ba mặt bên "tựa lên nhau" theo vòng: 
 SC
2 + SD
2 - 2SCSD cosq AB = 14 AB.CD.sin( AB,CD)éë ùû
2
, 
 SD
2 + SB
2 - 2SDSB cosq AC = 14 AC.BD.sin(BD, AC)éë ùû
2
, 
 SB
2 + SC
2 - 2SBSC cosq AD = 14 AD.BC.sin(BC, AD)éë ùû
2
, 
rồi cộng vế theo vế các đẳng thức này để có: 
   
 
  
22
, , , , , , , , , , , ,
12 2 cos . .sin( , ) .
4X X Y AZX B C D X Y Z B C D X Y Z T A B C D
S S S XY ZT XY ZTq
 = =
- =   (10) 
Từ (9) và (10), Định lí 5 được chứng minh. 
2.3. Thực nghiệm và bàn luận 
2.3.1. Thực nghiệm 
 Để kiểm nghiệm tiềm năng tổ chức hoạt động tái khám phá như đã trình bày, chúng tôi tiến 
hành thực nghiệm trên 81 sinh viên (SV) sư phạm toán K65 trong giờ học chính khóa học phần Lý 
luận dạy học môn toán, tháng 3/2018, tại khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội bằng 
Phiếu bài tập có nội dung dưới đây, được trả lời trong 50 phút. Hai yêu cầu được in trên 2 mặt 
giấy riêng, gấp đôi và ghim kín lại để người tham gia không đọc trước được Yêu cầu 2. 
 Tiến trình tổ chức hoạt động như sau: 
 (i)- Trả lời câu hỏi 1. 
 (ii) Thảo luận kết quả câu hỏi 1, giảng viên dẫn dắt phân tích các thông tin về các hình 
không gian tương tự với tam giác, sau đó đặt câu hỏi để loại ra những SV đã biết và nhớ chính xác 
phát biểu của định lí cosin cho tứ diện (kết quả không cần loại SV nào). 
 (iii) Trả lời theo các bước ở yêu cầu 2. 
 Tất cả các phiếu trả lời được giữ nguyên trạng sau khi đã đánh giá, phân loại. Kết quả khảo 
sát là ý nghĩa và tin cậy vì nhiệm vụ được giao như một bài tập điểm danh, lấy điểm tính vào điểm 
học phần chính khóa, nên thực tế hoạt động đã diễn ra nghiêm túc, sôi nổi. 
Yêu cầu 1. Những hình nào trong không gian tương tự với tam giác trong mặt phẳng? 
Phát triển tư duy sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán thông qua hoạt động tái khám phá định lý cosine 
57 
 Kết quả trả lời của SV được thể hiện trong Bảng 2. Chỉ có 9 SV » 11,11% đưa ra giải thích 
tốt cho phương án (giải thích tốt nghĩa là nội dung toán học cơ bản đạt được phân tích trong mục 
2.2.2), đáng chú ý có 4 giải thích ( » 4,94%) độc đáo: a- lăng trụ tam giác là do các tam giác xếp 
chồng lên nhau, b- thiết diện theo phương nhất định luôn là tam giác hay c- mọi đa giác chia 
được thành các tam giác, mọi đa diện chia được thành các tứ diện. 
Yêu cầu 2. Hãy dự đoán định lí cosin trong không gian theo 3 bước. 
 Mặc dù có 27 SV đã từng nghe nói tới định lí cosin trong tứ diện (trả lời bằng giơ tay) nhưng 
tất cả đều khẳng định chưa từng học và không thể phát biểu lại được chính xác. 
 Tổng cộng 145 giả thuyết đã được phát biểu, trong đó: 53 SV » 65,43% đoán đúng công 
thức (3), chỉ 10 SV » 12,35% đoán đúng công thức (5) và không SV nào đoán được công thức (4) 
cho tứ diện; có 3 dự đoán không đối xứng, cũng không cân bằng thứ nguyên (của 3 SV » 3,70%); 
có 4 dự đoán đối xứng nhưng không cân bằng thứ nguyên (của 4 SV » 4,94%); 55 dự đoán đã 
cân bằng thứ nguyên nhưng không đối xứng (của 53 SV » 65,43%). 
2.3.2. Bàn luận 
 Một số thông tin đáng chú ý: 
 - Phần lớn (64/81 » 79,01%) số SV nhận ra tứ diện tương tự với tam giác; một nửa (40/81 » 
49,38%) số SV đưa ra được lăng trụ tam giác; 
 - Hơn một phần ba (30/81 » 37,04%) số SV tới được câu trả lời mong đợi, gồm cả lăng trụ 
tam giác và tứ diện; 
 - Một phần tư (21/81 » 25,93%) số SV nghĩ đến hình chóp; hơn một phần ba (34/81 » 
41,98%) số SV nhận thấy hình nón tương tự với tam giác; vẫn còn (3/81 » 3,70%) SV không 
nhận ra hình chóp tam giác chính là tứ diện; 
 - Hơn một phần ba (55/145 » 37,93%) số lượng các dự đoán không đảm bảo tính đối xứng; 
 - Hai phần ba (51/81 » 62,96%) số SV đoán đúng Định lí cosin cho lăng trụ tam giác; Hơn 
một phần mười (10/81 » 12,35%) số SV đoán được Định lí cosin II cho tứ diện; Không SV nào 
đoán được Định lí cosin I cho tứ diện. 
 - Chỉ gần một phần mười số SV giải thích được sự tương tự giữa các hình. 
Bảng 2. Kết quả trả lời yêu cầu 1 
Kết quả 81 SV Toán K65 
Tỷ lệ Số 
luợng 
1. Không trả lời 1,23% 1 
2. Có trả lời 98,77% 80 
 2.0. Giải thích tốt 11,11% 9 
 2.1. Hình chóp 25,93% 21 
 2.2. Tứ diện 79,01% 64 
 2.3. Chóp tam giác 9,88% 8 
Phiếu bài tập 
1- Những hình nào trong không gian tương tự với hình 
tam giác trong mặt phẳng? Tại sao? 
2- Hãy dự đoán định lý cosine trong không gian theo 
các bước sau: 
Bước 1. Phân tích các từ khóa có mặt ở định lý cosine 
trong tam giác a
2 = b2 + c2 - 2bccos A 
Bước 2. Liệt kê các yếu tố trong không gian tương tự 
với các yếu tố của tam giác vào bảng sau (cố gắng đưa 
các ký hiệu một cách có hệ thống): 
Tam giác ABC Lăng trụ 
ABCA'B'C' 
Tứ diện 
ABCD 
Cạnh BC = a 
Cạnh CA = b 
Lê Văn Cường, Trần Cường 
58 
3. Kết luận 
 Tình huống tái khám phá định lí cosin trong không gian có thể được tổ chức hiệu quả cho sinh viên sư 
phạm toán để góp phần rèn luyện khả năng sáng tạo trong toán phổ thông, đồng thời trang bị cho họ một 
con đường dạy sáng tạo dưới hình thức tái khám phá để trong tương lai có thể vận dụng trong dạy học môn 
Toán ở trường Trung học phổ thông khi trở thành giáo viên. 
 Về tri thức, khi tìm một số hình không gian tương tự với tam giác, khái niệm tứ diện xuất hiện rất dễ 
dàng, tự nhiên; khái niệm lăng trụ tam giác và hình chóp có thể được liên tưởng một cách rất thuận lợi và 
khái niệm hình nón là thuận lợi; Với lăng trụ tam giác, Định lí 2 có thể được dự đoán một cách rất dễ dàng, 
tự nhiên, Định lí 4 khó khăn hơn nhưng nhóm khá, giỏi, hoặc có năng khiếu vẫn có thể dự đoán được, riêng 
Định lí 3 để phát biể được là rất khó khăn, đòi hỏi mức độ hoàn thiện, mềm dẻo cao trong tư duy. 
 Về nhóm thực nghiệm, nói chung sinh viên toán K65 có thể nhận ra được những sự tương tự từ mặt 
phẳng sang không gian, nhưng khả năng diễn đạt, giải thích là rất hạn chế, hoặc, kiến thức về cơ sở hình 
học (nắm chắc, biết nhận diện, thể hiện các khái niệm chiều không gian, mặt phẳng, siêu phẳng, hình cầu, 
đơn hình,...) chưa vững chắc; khả năng nhìn một sự vật hiện tượng (yếu tố đối diện) còn thiếu và yếu; thẩm 
mỹ và trực giác toán học (cảm quan về tính đối xứng của các biểu thức) còn tương đối hạn chế; vẫn còn 
sinh viên năm thứ 3 bị hổng một đơn vị kiến thức toán phổ thông cơ bản. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Robyn McCarthy & Sharon Pittaway, 2014. An Historical Exploration of Creativity Research, (The 
Future of Educational Research Perspectives from Beginning Researchers), Sense Publisher, pp. 
111-120. 
[2] Bharath Sriraman, Per Haavold & Kyeonghwa Lee, 2014. Creativity in Mathematics Education, 
(Encyclopedia of Mathematics Education), Springer Reference, pp. 109-115. 
[3] Bùi Văn Nghị, 2010. Rèn luyện phương pháp sáng tạo cho sinh viên sư phạm toán ở trường đại học 
sư phạm, Tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm Hà Nội, số 55, kỳ 4, tr. 3-8 
[4] Bùi Duy Hưng, 2011. Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm toá, 
Tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm Hà Nội, số 56, kỳ 4, tr. 3-12. 
[5] Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), 1999. Tâm lí học đại cương, NXB ĐHQG 
[6] Nguyễn Bá Kim, 2017. Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội 
[7] George Polya, 1954. Mathematics and Plausible Reasoning – Vol. I: Induction and Analogy in 
Mathematics, Princeton University Press. 
[8] Đức Uy, 1999. Tâm lí học sáng tạo, Nxb. Giáo dục, Hà Nội. 
[9] John Casey, 1889. A treatise on spherical trigonometry and its applications on geodesy and 
astronomy. University press of Dublin. 
ABSTRACT 
Enhancing creative thinking for pre-service mathematics teachers through rediscovering 
The law of cosine for tetrahedron 
Le Van Cuong1, Tran Cuong2 
1Nguyen Tat Thanh High School, Hanoi National University of Education 
2Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Education 
In this article, we try to explore different versions of the law of cosine in 3-space, and design contents 
for learning situations in which learners will be encouraged to rediscover the theorems in order to enhance 
their creative thinking. An experimental activity has been designed and organized for 81 pre-service 
mathematics teachers in Hanoi University of Education) and allows us to conduct a first assessment of their 
ability and habit to draw analogies in mathematics, leading to our first conclusions about the feasibility and 
effectiveness of those learning situations. 
Keywords: Creative thinking, pre-service mathematics teachers, law of cosine, tetrahedron.