Phát triển chương trình con làm khớp dữ liệu với nhiều mô hình

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
122 
PHÁT TRIỂN CHƯƠNG TRÌNH CON LÀM KHỚP DỮ LIỆU 
VỚI NHIỀU MÔ HÌNH 
ThS. Nguyễn Ngọc Anh1 
ThS. Trương Văn Minh2 
TÓM TẮT 
Hiện nay, có rất nhiều phần mềm máy tính cho phép người dùng làm khớp dữ 
liệu thực nghiệm với dạng hàm tùy ý nhập bởi người dùng. Tuy nhiên, các chương 
trình này có dạng đóng (đối với các chương trình thương mại) hoặc có hệ thống thư 
viện liên kết rất phức tạp (đối với các chương trình mã nguồn mở). Do đó, việc tận 
dụng thư viện của các chương trình này để nhúng vào các chương trình phần mềm 
nhỏ tự thiết kế là không thích hợp. Bài báo này đưa ra bộ chương trình con, cho 
phép người dùng làm khớp số liệu thực nghiệm với dạng hàm tùy ý, được viết bằng 
ngôn ngữ C++, có cấu trúc đơn giản, gói gọn trong một tập tin chỉ dài 438 dòng, 
thuận tiện để nhúng vào các chương trình tự phát triển. Kết quả thu được bằng 
chương trình được so sánh với ROOT. 
Từ khóa:Chương trình làm khớp nền C++, thuật toán làm khớp Levenberg–
Marquardt
1. Giới thiệu 
Làm khớp dữ liệu theo một mô 
hình (dạng hàm) là một thủ tục được tiến 
hành rất phổ biến trong phân tích số liệu 
(phân tích phổ, xây dựng mô hình, xác 
định các tham số để nội suy, ngoại suy). 
Các thủ tục này có thể được thực hiện bởi 
các chương trình có giao diện trực quan 
như Origin [1], SciDavis [2] hoặc các 
chương trình dưới dạng lệnh thực thi như 
ROOT [3], R [4], Matlab [5], Gnuplot 
[6]. Tuy nhiên, một số là các chương 
trình thương mại (Origin, Matlab), do đó 
người sử dụng sẽ phải bỏ ra một chi phí 
không nhỏ để trang bị phần mềm. Tiếp 
nữa, các chương trình này thường có bộ 
thư viện đi kèm rất lớn, và liên kết với 
nhau rất phức tạp. Do, đó việc nhúng các 
thư viện này vào các chương trình nhỏ tự 
viết là rất phức tạp, và làm tăng kích 
thước của chương trình. 
Trong thực tế, tùy thuộc vào tình 
huống cụ thể, việc sử dụng các phần 
mềm lớn kể trên để làm khớp không 
phải lúc nào cũng thuận lợi: chương 
trình quá nặng; hệ điều hành không hỗ 
trợ;  Khi đó các phần mềm tự viết sẽ 
là một giải pháp thích hợp. 
Bộ chương trình con được cung 
cấp trong bài báo này cho phép người 
dùng nhúng vào trong các phần mềm tự 
viết, để thực thi tác vụ làm khớp số liệu 
theo mô hình bất kỳ do người dùng khai 
báo, sử dụng thuật toán LEVENBERG-
MARQUARDT [7]. Chương trình cho 
phép người dùng lựa chọn làm khớp có 
trọng số hoặc không có trọng số. Bộ 
chương trình con này có kích thước rất 
nhỏ, chỉ ~12 kb, gói gọn trong một tập 
tin *.h, thuận tiện để người dùng khai 
báo trong chương trình chính. Ngôn 
ngữ được sử dụng là C++.Biên dịch 
bằng GNU g++ [8]. 
Bộ chương trình con được hiệu 
lực hóa bằng cách so sánh kết quả với 
chương trình mã nguồn mở đã được 
chứng nhận và sử dụng rộng rãi trên các 
phòng thí nghiệm trên thế giới, 
ROOT.Trong báo cáo này, bộ số liệu 
đã được sử dụng để so sánh. 
1
Viện Nghiên cứu Hạt nhân Đà Lạt 
2
 Trường Đại học Đồng Nai 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
123 
2. Thuật toán v s 
 tr 
Thuật toán LEVENBERG-
MARQUARDT 
Xét bộ số liệu với n điểm thực 
nghiệm (Xi,Yi), mô hình cần làm khớp 
là F(X,α), với α là vectơ tham số 
{α1,α2,α3,.,αm). Theo đó: 
 Yi=F(Xi,α1,α2,α3,.,αm) (1) 
Để xác định các tham số tự do, 
ta sử dụng phương pháp bình phương 
tối thiểu [9]. Phương pháp này đòi hỏi 
phải xác định αsao cho là cực tiểu: 
(2) 
Trong đó là trọng số tương ứng 
với điểm số liệu thứ i. cực tiểu khi: 
(3) 
Đối với các hàm tuyến tính, hệ 
m phương trình nói trên có thể được 
giải ra nghiệm xác định bằng phương 
pháp Gauss-Jordan.Tuy nhiên, với các 
bài toán phi tuyến, hệ phương trình trên 
không thể giải được. Khai triển F(X,α) 
theo chuỗi Taylor, ta thu được biểu thức 
dưới dạng ma trận: 
(4) 
Trong đó M là ma trận [m m] mà: 
(5
) 
Và 
(6
) 
là vectơ biến thiên của vectơ 
tham số . 
Giải phương trình (3) cho phép 
xác định , từ đó xác định được 
mới. Thủ tục này lặp đi lặp lại nhiều lần 
cho tới khi hội tụ. Phương pháp 
LEVENBERG-MARQUARDT, bổ 
sung thêm vào thuật toán 2 tham số và 
, nhằm cải thiện khả năng hội tụ của 
quá trình khớp. 
Thuật toán có thể được mô tả 
ngắn gọn, từng bước một như sau, lưu 
đồ thuật toán được đưa ra trong Hình 1: 
1. Đặt , , n=0. 
2. Xác định từ phương trình: 
(7) 
Với , là ma trận 
đơn vị. 
3. n=n+1 
4. 
5. Tính 
6. Nếu n<2, đi tới bước 9 
7. Nếu n<3, đi tới bước 8 
8. Nếu , 
trong đó thì tiếp tục 
vòng lặp, nếu không, thoát ra 
khỏi vòng lặp. 
9. Đặt ; Quay lại 
bước 2. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
124 
Hình 1. Lưu đồ thuật toán 
 ắt đầu 
n<2 
n<3 
Kết thúc 
có 
không 
có 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
125 
S d tr o 
Thủ tục làm khớp dữ liệu được thực hiện bởi hai chương trình con LSfit_NL 
(không có trọng số) và LSfit_NLW (có trọng số). Cú pháp khai báo như sau: 
LSfit_NL(matrix X, matrix Y, int par_num, matrix par) 
LSfit_NLW(matrix X, matrix Y, matrix W, int par_num, matrix 
par) 
Trong đó X, Y là hai ma trận tương ứng với bộ số liệu thực nghiệm (X,Y), W 
là ma trận trọng số, par_num là số tham số tự do của mô hình làm khớp, par là ma 
trận tương ứng với giá trị ban đầu của tham số. 
Mảng hai chiều hoặc một chiều có thể được chuyển thành ma trận (matrix) 
thông qua chương trình con array_to_matrix với cú pháp như sau: 
 array_to_matrix((double *)array, int row, int col); 
array là mảng 1 chiều hoặc 2 chiều, row là số dòng, và col là số cột của ma 
trận tạo thành. Ví dụ, mảng hai chiều A[3][2] có thể được chuyển đổi thành ma trận 
MA[3][2] thông qua câu lệnh sau: MA = array_to_matrix((double*)A, 3, 2) 
Mô hình làm khớp được khai báo bên trong chương trình con uf 
double uf(double x, matrix par) 
{ 
 double result; 
 result = par.E[0]*exp(x/par.E[1]); //par.E[i] là tham số tự 
do thứ i, x là biến. 
 return result; 
} 
Đoạn chương trình thực hiện tác vụ làm khớp bộ số liệu 1 điểm theo mô 
hình f(x)=a*exp(x/b) với a, b là các tham số tự do được đưa ra dưới đây: 
double uf(double x, matrix par) 
#include 
#include "matrix.h" 
#include 
using namespace std; 
{ 
 double result; 
 result = par.E[0]*exp(x/par.E[1]); // par.E[0]=a; 
par.E[1]=b 
 return result; 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
126 
} 
int main() 
{ 
 double A[15]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; 
 double 
B[15]={20,39,66,113,180,300,497,816,1346,2230,3674,6050,9
976,16454,27122}; 
 double C[15] = {0.222851, 0.160098, 0.122793, 
0.094265, 0.074557 ,0.057718, 0.044859, 0.035006, 0.027256, 
0.021178, 0.016497, 0.012857, 0.010012, 0.007796, 
0.006072}; 
 double para[2]={10,2}; 
 matrix X = array_to_matrix(A,15,1); 
 matrix Y = array_to_matrix(B,15,1); 
 matrix W = array_to_matrix(C,15,1); 
 matrix par = array_to_matrix(para,2,1); 
 cout<<"No Weighted:"<<endl; 
 Mprint(LSfit_NL(X,Y,2,par)); 
 par=array_to_matrix(para,2,1); //khởi tạo lại tham số ban 
đầu 
 cout<<"Weighted:"<<endl; 
 Mprint(LSfit_NLW(X,Y,W,2,par)); 
return 0; 
} 
Mảng A, B, C lần lượt tương ứng với các ma trận X, Y, W. 
Để hiệu lực hóa chương trình, kết quả tính toán thực hiện bởi chương trình 
trên nhiều bộ số liệu khác nhau với các mô hình liệt kê dưới đây được so sánh với 
chương trình ROOT. 
Các mô hình làm khớp được thử nghiệm bao gồm: 
- Mô hình hàm lũy thừa cơ số tự nhiên: f(x)=a*exp(x/b); 
- Mô hình hàm gauss g(x)=A*exp(-(x- )
2
/2 ), với A, , là các tham số tự 
do. 
- Mô hình hàm gauss nằm trên một nền phông tương ứng với đa thức bậc 1: 
f(x) = g(x) + a1*x + a0 
- Mô hình hai hàm gauss nằm chập lên nhau chồng trên một nền phông tương 
ứng với đa thức bậc 1: f(x) = g1(x) + g2(x)+ a1*x + a0 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
127 
- Mô hình ba hàm gauss chập trên nền phông tương ứng với đa thức bậc 1: 
f(x)=f(x) = g1(x) + g2(x)+g3(x)+ a1*x + a0 
3. H ệu tr t qu so s vớ ROOT 
Kết quả thu được bởi chương trình được so sánh với ROOT, phần mềm được 
sử dụng rộng rãi bởi nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới. Kết quả so sánh với một 
số mô hình được trình bày trong Bảng 1. 
Bảng 1. So sánh giá trị tham số làm khớp của chương trình với ROOT 
T m số Gí trị b đầu 
C tr 
này 
ROOT 
Độ ệ 
tr (%) 
H m ũy t ừ số t ê : y= *exp(x/b) 
Không trọng số 
 a 10 15,0015 15,0015 0 
b 2 2,0000 2,0000 0 
Có trọng số 
 a 10 14,9828 15,0119 0,19 
b 2 1,9997 2,0002 0,03 
Hàm gauss: y = A*exp(-(x-μ)2/σ2) 
Không trọng số 
 A 80 99,7945 99,7951 0,00 
μ 52 50,0195 50,0195 0,00 
σ 20 10,0041 10,0041 0,00 
Có trọng số 
 A 80 99,3681 99,9418 0,58 
μ 52 50,1327 50,0060 0,25 
σ 20 10,0439 9,9759 0,68 
G uss + đ t ứ bậ 1: y = A*exp(-(x-μ)2/σ2)+ a1*x + a0 
Không trọng số 
 A 80 99,8306 99,8308 0,00 
μ 52 50,0090 50,0090 0,00 
σ 10 10,0198 10,0198 0,00 
a1 2 2,0047 2,0047 0,00 
a0 3 2,7612 2,7611 0,00 
Có trọng số 
 A 80 99,7179 99,9112 0,19 
μ 52 50,0157 50,0015 0,03 
σ 10 10,0227 10,0274 0,05 
a1 2 2,0026 2,0076 0,25 
a0 3 2,8558 2,5562 10,49 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
128 
2 m uss ập + đ t ứ bậ 1: y = A*exp(-(x-μ)2/σ2)+ a1*x + a0 + A1*exp(-(x-
μ1)2/σ12) 
Không trọng số 
 A1 80 79,8317 79,8321 0,00 
μ1 31 29,9800 29,9801 0,00 
σ1 8 7,9845 7,9845 0,00 
a1 2 0,9997 0,9997 0,00 
a0 3 2,0129 2,0128 0,00 
A2 90 99,9497 99,9500 
 μ2 51 49,9717 49,9717 
 σ2 10 12,0307 12,0307 
 Có trọng số 
 A1 80 79,6992 79,8282 0,16 
μ1 31 29,9754 29,9798 0,01 
σ1 8 7,9896 7,9745 0,19 
a1 2 0,9999 0,9997 0,03 
a0 3 2,0053 2,0195 0,71 
A2 90 99,8090 99,9412 0,13 
μ2 51 49,9667 49,9676 0,00 
σ2 10 12,0467 12,0371 0,08 
3 m uss ập + đ t ứ bậ 1: A1*exp(-(x-μ1)2/σ12)+ a1*x + a0 + A2*exp(-(x-
μ2)2/σ22)+ A3*exp(-(x-μ3)2/σ32) 
Không trọng số 
 A1 75 80,1944 80,2094 0,02 
μ1 25 31,0066 31,0096 0,01 
σ1 10 7,9983 8,0012 0,04 
a1 1 1,9997 1,9998 0,00 
a0 2 2,9995 2,9983 0,04 
A2 100 90,0007 89,9736 0,03 
μ2 45 50,9908 50,9791 0,02 
σ2 8 9,9805 9,9628 0,18 
A3 210 200,2460 200,4460 0,10 
μ3 65 60,9977 60,9968 0,00 
σ3 8 4,9986 5,0010 0,05 
Có trọng số 
 A1 75 80,6545 80,3449 0,38 
μ1 25 31,1255 31,0127 0,36 
σ1 10 8,1015 8,0189 1,02 
a1 1 2,0004 2,0020 0,08 
a0 2 2,9873 2,8098 5,94 
A2 100 88,8030 90,0044 1,35 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
129 
μ2 45 50,5029 50,9623 0,91 
σ2 8 9,2869 9,9319 6,95 
A3 210 208,4220 200,7630 3,67 
μ3 65 60,9426 60,9965 0,09 
σ3 8 5,0936 5,0069 1,70 
4. K t qu 
Mô hình đầu tiên được sử dụng 
để so sánh là mô hình hàm lũy thừa cơ 
số tự nhiên. Mô hình hàm lũy thừa là 
dạng mô hình điển hình nhất khi tiến 
hành thủ tục làm khớp phi tuyến, do 
tham số ảnh hưởng rất mạnh tới giá trị 
của hàm. Chỉ một lượng nhỏ thay đổi 
trong tham số cũng khiến giá trị của 
hàm thay đổi một lượng lớn.Kết quả 
trong Bảng 1 cho thấy, khi làm khớp 
không trọng số, chương trình hội tụ về 
giá trị tham số hoàn toàn giống với 
ROOT. Đối với quá trình làm khớp có 
trọng số, kết quả thulệch so với ROOT 
một lượng nhỏ hơn .2 . 
Các mô hình gauss, gauss trên 
nền đa thức bậc một, chập 2 hàm gauss 
trên nền đa thức bậc 1, và chập 3 hàm 
gauss trên nền đa thức bậc một đều cho 
kết quả tương đồng với ROOT. Độ 
chênh lệch của giá trị tham số làm khớp 
thu được bởi chương trình với giá trị thu 
được từ ROOT phần lớn đều nhỏ hơn 
1%. Chỉ có một số ít trường hợp, giá trị 
tham số làm khớp thu được bởi chương 
trình lệch so với ROOT cao hơn 1 . 
Tuy nhiên trong các trường hợp đó, các 
tham số có độ lệch cao là các tham số có 
mức độ ảnh hưởng tới giá trị của hàm số 
rất nhỏ. Ví dụ như trường hợp tham số 
a thu được khi làm khớp với mô hình 
gauss trên nền đa thức bậc 1, độ lệch của 
chương trình với ROOT là 10,4% 
(2,8585 so với 2,5562). Mặc dù độ lệch 
cao, nhưng ảnh hưởng của tham số này 
tới giá trị của hàm là rất nhỏ. 
Kết quả có sự tương đồng cao 
giữa chương trình với ROOT khi áp 
dụng vào các mô hình chập gauss cho 
thấy, chương trình hoàn toàn đáp ứng 
tốt bài toán tách đỉnh chập, vốn rất phổ 
biến khi phân tích phổ gamma. 
5. K t luận 
Chương trình làm khớp có kết 
quả có độ tương đồng cao với ROOT. 
Cấu trúc của chương trình đơn giản, 
thuần túy chỉ sử dụng các thư viện có 
sẵn của C++, thuận tiện cho việc nhúng 
vào các chương trình con khác. 
Chương trình rất thích hợp để tích 
hợp vào các chương trình phân tích phổ 
tự thiết kế, qua đó giúp giảm chi phí mua 
phần mềm phân tích đắt tiền, với các tính 
năng ít hoặc không bao giờ được sử dụng. 
Ngoài ra, việc dễ dàng chỉnh sửa mã 
nguồn, giúp người dùng dễ dàng xây 
dựng các mô-đun chuyên biệt nhằm thực 
hiện các tác vụ theo yêu cầu cụ thể một 
cách thuận tiện và nhanh chóng. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
130 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. [Online]. Available:  
2. [Online]. Available:  
3. [Online]. Available: https://root.cern.ch/. 
4. [Online]. Available: https://www.r-project.org/. 
5. [Online]. Available:  
6. [Online]. Available:  
7. Gill, P. R.; Murray, W.; and Wright, M. H. "The Levenberg-Marquardt 
Method." §4.7.3 in Practical Optimization. London: Academic Press, pp. 136-137, 
1981.. 
8. [Online]. Available:  
9. Rao, C. R.; Toutenburg, H.; et al. (2008). Linear Models: Least Squares 
and Alternatives. Springer Series in Statistics (3rd ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-
3-540-74226-5 
DEVELOPMENT OF SUBROUTINE FOR DATA FITTING 
WITH VARIOUS MODELS 
ABSTRACT 
Currently, there are many computer programs, which allow users to fit 
experimental data to any mathematical models. However, these programs either do 
not give users their source codes (commercial software) or have complicated 
libraries (open source software). Consequently, using their libraries to form 
homemade software becomes a difficult task, and even impossible, in case of 
commercial software. This work presents a group of sub-programs, written in C++, 
which permit users to fit experimental data to any mathematical models, including 
weighted fit and non-weighted fit. The sub-programs are packaged in one file with 
only 438 code lines; hence, make it easy to develop programs based on these sub-
programs. The quality of these sub-programs was proved by comparing with ROOT. 
Keywords:Fitting C++ code, Levenberg–Marquardt algorithm