Phân tích tĩnh tấm composite có lớp áp điện theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao reddy bằng phương pháp giải tích

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (4): 40–50
PHÂN TÍCH TĨNH TẤM COMPOSITE CÓ LỚP ÁP ĐIỆN
THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO REDDY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Trần Minh Túa,∗, Trần Hữu Quốca, Vũ Văn Thẩma
aKhoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Lịch sử bài viết:
Nhận ngày 5/12/2017, Sửa xong 11/5/2018, Chấp nhận đăng 30/5/2018
Tóm tắt
Bài báo thiết lập lời giải giải tích phân tích tĩnh tấm composite lớp cấu hình phản xứng vuông góc có gắn lớp
kích thích áp điện, chịu tác dụng đồng thời của tải cơ học và điện trường. Lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao
của Reddy được sử dụng để khảo sát ứng xử uốn của tấm composite áp điện. Điện thế áp đặt được giả thiết biến
đổi tuyến tính theo chiều dày của lớp áp điện. Kết quả được so sánh với lý thuyết bậc cao 12 ẩn chuyển vị và
với lời giải chính xác và cho thấy sự tương đồng với kết quả của các tác giả khác đã công bố.
Từ khoá: tấm composite lớp; áp điện; phân tích tĩnh; lý thuyết tấm Reddy; phương pháp giải tích.
ANALYTICAL SOLUTIONS FOR THE STATIC ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE PLATES
WITH PIEZOELECTRIC LAYERS BASED ON REDDY’S HIGHER-ORDER SHEAR DEFORMATION
THEORY
Abstract
An analytical solution for static analysis of cross-ply composite laminates integrated with piezoelectric fiber-
reinforced composite (PFRC) actuators under electro-mechanical loadings is presented in this paper. Reddy’s
higher-order shear deformation theory is used to analyze the bending behavior of the hybrid laminates. The
electro-static potential is assumed to be linear through the thickness of PFRC. Results are compared with 12-
unknown higher-order shear deformation theory and exact solution. It is found that there is good agreement
among the present results with those obtained by other authors.
Keywords: composite plate; piezoelectric; TSDT theory; PFRC actuator; electromechanical loading; analytical
solution.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(4)-05 c© 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
1. Giới thiệu
Vật liệu áp điện là loại vật liệu có khả năng tự thay đổi hình dạng, kích thước khi đặt chúng dưới
tác động của điện trường (trạng thái kích) hoặc tự sinh ra điện trường khi chúng bị biến dạng (trạng
thái cảm biến). Tính tương tác giữa trường biến dạng và trường điện sẽ tạo nên hiệu ứng cảm biến
hoặc hiệu ứng kích thích tùy thuộc mục đích điều khiển của người sử dụng. Kết cấu composite lớp có
gắn lớp áp điện được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp hàng không, giao thông vận tải và nhiều lĩnh
vực kỹ thuật khác, thường chịu tác dụng đồng thời của điện trường, nhiệt độ và tải trọng cơ học.
∗Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: tpnt2002@yahoo.com (Tú, T. M.)
40
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Các nghiên cứu về kết cấu composite có gắn lớp áp điện thường sử dụng các tiếp cận theo: lý
thuyết đơn lớp tương đương, lý thuyết nhiều lớp liên tiếp, lý thuyết ziczag, lý thuyết lớp rời rạc. Lời
giải giải tích về phân tích tĩnh và động các kết cấu composite lớp hỗn hợp này đã được khá nhiều tác
giả công bố trong thời gian gần đây. Lee [1] tính toán biến dạng uốn và xoắn của tấm composite áp
điện dưới tác dụng của trường điện theo lý thuyết tấm cổ điển (CLPT). Wang và Rogers [2] thiết lập
lời giải giải tích cho tấm mỏng composite có lớp bề mặt là vật liệu áp điện. Sử dụng lý thuyết biến
dạng cắt bậc nhất (FSDT), Jonnalagadda và cs. [3] phân tích tĩnh tấm composite có lớp áp điện dưới
tác dụng đồng thời của tải cơ-nhiệt-điện. Mitchell và Reddy [4] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc
cao tính toán độ võng do tải cơ học của tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp. Shiyekar và Kant trong [5]
đã tính toán kết cấu tấm composite có gắn lớp áp điện theo lý thuyết tấm bậc cao 12 ẩn số, kết quả
số được so sánh với nghiệm chính xác [6]. Các kết quả nghiên cứu trong nước về kết cấu tấm, vỏ
composite có lớp áp điện chủ yếu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [7–9].
Lý thuyết tấm cổ điển chỉ phù hợp với tấm mỏng, với tấm dày các lý thuyết biến dạng cắt đã được
phát triển theo nhiều giả thiết khác nhau. Nhược điểm chung của các lý thuyết này là không thỏa mãn
điều kiện ứng suất tiếp theo phương chiều dày bằng không tại mặt trên và dưới của tấm. Để khắc
phục nhược điểm này Reddy [10] đã đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc ba dựa trên lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao không đầy đủ với 9 ẩn số chuyển vị đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất tiếp triệt
tiêu tại mặt trên và dưới của tấm. Lý thuyết này đã được nhiều tác giả sử dụng để tính toán kết cấu
composite lớp.
Có nhiều phương pháp tính toán được sử dụng trong tính toán kết cấu composite nói chung và kết
cấu composite lớp có gắn lớp áp điện nói riêng. Phương pháp số với lợi thế giải quyết được những bài
toán phức tạp với hình dạng, điều kiện biên khác nhau, cấu hình bất kỳ, . . . Tuy nhiên tiếp cận giải tích
vẫn là một trong những lựa chọn tin cậy khi cho lời giải dạng hiển có thể dự đoán được quy luật ứng
xử cũng như kết quả số có thể kiểm soát được, mặc dù chỉ hạn chế cho những bài toán đặc thù. Trong
bài báo này, các tác giả sử dụng phương pháp giải tích, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của Reddy để
phân tích tĩnh tấm composite lớp có gắn lớp áp điện, làm phong phú thêm các nghiên cứu cho loại kết
cấu này. Kết quả số được so sánh với [5] sử dụng lý thuyết bậc cao 12 ẩn chuyển vị và lời giải chính
xác theo [6].
2. Cơ sở lý thuyết và mô hình tính
2.1. Trường chuyển vị và biến dạng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (TSDT)
Xét một tấm composite lớp cấu hình vuông góc (cross-ply) kích thước (a × b × h), bốn biên tựa
khớp, mặt trên tấm có gắn lớp áp điện (PFRC) đóng vai trò kích thích. Hệ trục tọa độ Đề-các xyz được
chọn như hình vẽ (Hình 1). Lớp áp điện PFRC có chiều dày tp.
Hình 1. Kết cấu tấm composite có lớp áp điện PFRC
41
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Reddy (TSDT) [10] trường chuyển vị của tấm được giả thiết:
u(x, y, z) = u0 + zφx − c1z3 (φx + ∂w0/∂x)
v(x, y, z) = v0 + zφy − c1z3 (φx + ∂w0/∂y)
w(x, y, z) = w0
(1)
trong đó u0, v0,w0 là các thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ trên mặt trung bình của tấm theo các
phương x, y, z; φx, φy là góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục y, x;
c1 =
(
4/3h2
)
Các thành phần biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị theo quan hệ chuyển vị - biến dạng:
εxx
εyy
εxy
 =

ε(0)xx
ε(0)yy
ε(0)xy
 + z

ε(1)xx
ε(1)yy
ε(1)xy
 + z3

ε(3)xx
ε(3)yy
ε(3)xy
 ;
{
γyz
γxz
}
=
 γ(0)yzγ(0)xz
 + z2  γ(2)yzγ(2)xz
 (2)
trong đó

ε(0)xx
ε(0)yy
ε(0)xy
 =

∂u0
∂x
∂v0
∂y
∂u0
∂y
+
∂v0
∂x

;

ε(1)xx
ε(1)yy
ε(1)xy
=

∂φx
∂x
∂φy
∂y
∂φx
∂y
+
∂φy
∂x

;

ε(3)xx
ε(3)yy
ε(3)xy
=−c1

∂φx
∂x
+
∂2w0
∂x2
∂φy
∂y
+
∂2w0
∂y2
∂φx
∂y
+
∂φy
∂x
+ 2
∂2w0
∂x∂y

;
 γ(0)yzγ(0)xz
 =

φy +
∂w0
∂y
φx +
∂w0
∂x
 ;
 γ(2)yzγ(2)xz
 = −c2

φy +
∂w0
∂y
φx +
∂w0
∂x

(3)
Có thể thấy rằng nếu c1 = 0 và φx = −∂w0/∂x, φy = −∂w0/∂y ta nhận được trường chuyển vị và
biến dạng của lý thuyết tấm cổ điển; khi c1 = 0 ta nhận được trường chuyển vị và biến dạng của lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất.
2.2. Phương trình vật lý của lớp vật liệu áp điện
Quan hệ ứng suất - biến dạng của lớp composite áp điện thứ k trong hệ trục tọa độ tấm (x, y, z)
được biểu diễn dưới dạng [5]:
σx
σy
σxy

(k)
=
 Q¯11 Q¯12 Q¯16Q¯12 Q¯22 Q¯26
Q¯16 Q¯26 Q¯66

(k)
εx
εy
εxy

(k)
−
 0 0 e¯310 0 e¯32
0 0 e¯36

(k)
Ex
Ey
Ez

(k)
{
σyz
σxz
}(k)
=
[
Q¯44 Q¯45
Q¯45 Q¯55
](k){
εyz
εxz
}(k)
−
[
e¯14 e¯24 0
e¯15 e¯25 0
] 
Ex
Ey
Ez

(k) (4)
trong đó Q¯i j là các hệ số trong ma trận độ cứng vật liệu chuyển đổi và e¯i j các mô đun đàn hồi vật liệu
áp điện chuyển đổi được tính theo [10];
(
σi j, εi j, Ei
)
là các thành phần ứng suất, biến dạng cơ học và
các thành phần điện trường.
42
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Cường độ điện trường E tính toán thông qua trường điện thế ξ (x, y, z) của lớp áp điện thứ k [5]
{E}kx = −
∂ξ(x, y, z)(k)
∂x
; {E}ky = −
∂ξ(x, y, z)(k)
∂y
; {E}kz = −
∂ξ(x, y, z)(k)
∂z
(5)
2.3. Các thành phần nội lực
Tích phân các thành phần ứng suất theo chiều dày của tấm ta nhận được các thành phần nội lực
cơ, nhiệt và điện của tấm composite có lớp áp điện:
{N}
{M}
{P}
 =
 [A] [B] [E][B] [D] [F]
[E] [F] [H]


{ε(0)}
{ε(1)}
{ε(3)}
 −

[N p]
[Mp]
[Pp]
 ;
{ {Q}
{R}
}
=
[
[A] [D]
[D] [F]
] { {γ(0)}
{γ(2)}
}
−
{ {Qp}
{Rp}
}
(6)
trong đó
(
Ai j, Bi j,Di j, Ei j, Fi j,Hi j
)
=
n∑
k=1
∫ zk+1
zk
Q¯(k)i j (1, z, z
2, z3, z4, z6)dz (i, j = 1, 2, 6)
(
Ai j,Di j, Fi j
)
=
n∑
k=1
∫ zk+1
zk
Q¯(k)i j (1, z
2, z4)dz (i, j = 4, 5)
(7)
{
N p,Mp, Pp
}
=

N px
N py
N pxy
 =
n∑
k=1
zk+1∫
zk
 0 0 e¯310 0 e¯32
0 0 e¯36

(k)
Ex
Ey
Ez

(k)
(1, z,z3)dz (8)
{
Qpyz
Qpxz
}
=
n∑
k=1
zk+1∫
zk
[
e¯14 e¯24 0
e¯15 e¯25 0
] 
Ex
Ey
Ez

(k)
dz;
{
Rpyz
Rpxz
}
=
n∑
k=1
zk+1∫
zk
[
e¯14 e¯24 0
e¯15 e¯25 0
] 
Ex
Ey
Ez

(k)
z2dz
(9)
2.4. Phương trình cân bằng
Hệ phương trình cân bằng tĩnh được thiết lập theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần và có
dạng sau [10]:
∂Nxx
∂x
+
∂Nxy
∂y
= 0;
∂Nxy
∂x
+
∂Nyy
∂y
= 0
∂Q¯x
∂x
+
∂Q¯y
∂y
+
∂
∂x
[
Nxx
∂w0
∂x
+ Nxy
∂w0
∂y
]
+
∂
∂y
[
Nxy
∂w0
∂x
+ Nyy
∂w0
∂y
]
+
+c1
∂2Pxx
∂x2
+ 2
∂2Pxy
∂x∂y
+
∂2Pyy
∂y2
 + q = 0
∂M¯xx
∂x
+
∂M¯xy
∂y
− Q¯x = 0; ∂M¯xy
∂x
+
∂M¯yy
∂y
− Q¯y = 0
(10)
trong đó
M¯xx = Mxx − c1Pxx; M¯yy = Myy − c1Pyy; M¯xy = Mxy − c1Pxy;
Q¯x = Qx − 3c1Rx; Q¯y = Qy − 3c1Ry (11)
43
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Từ hệ phương trình (10), biểu diễn các thành phần ứng lực theo ứng suất, rồi ứng suất qua biến
dạng và cuối cùng là biến dạng qua chuyển vị, ta nhận được hệ phương trình cân bằng theo các thành
phần chuyển vị.
2.5. Lời giải giải tích cho tấm composite áp điện sử dụng TSDT
Xét tấm chữ nhật composite lớp áp điện bốn cạnh liên kết khớp, điều kiện biên thể hiện dưới dạng:
- Tại các cạnh x = 0 và x = a:
v0 = 0,w0 = 0, φy = 0,Nxx = 0, M¯xx = 0, ξ= 0. (12)
- Tại các cạnh y = 0 và y = b:
u0 = 0,w0 = 0, φx = 0,Nyy = 0, M¯yy = 0, ξ= 0. (13)
trong đó a và b là kích thước của tấm theo phương x và y.
Sử dụng dạng nghiệm Navier thỏa mãn điều kiện biên (12), (13) cho tấm composite lớp cấu hình
vuông góc, có gắn các lớp áp điện (kích thích) như sau:
u0(x, y, t) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Umn(t) cosαx sin βy; v0(x, y, t) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Vmn(t) sinαx cos βy;
w0(x, y, t) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Wmn(t) sinαx sin βy; φx(x, y, t) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Xmn(t) cosαx sin βy;
φy(x, y, t) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Ymn(t) sinαx cos βy
(14)
trong đó α = mpi/a, β = npi/b và (Umn,Vmn,Wmn, Xmn,Ymn) là các hệ số cần xác định.
Khai triển tải trọng tác dụng q(x, y) và trường điện thế ξ(x, y) dưới dạng chỗi lượng giác kép:
q+z =
∞∑
n=1,3,5
∞∑
m=1,3,5
q+zmn sinαx sin βy; ξ (x, y, z) =
∞∑
n=1,3,5
∞∑
m=1,3,5
ξmn (z) sinαx sin βy (15)
Với tải trọng ngoài tác dụng dạng hình sin (xét với m = n = 1): q+zmn = q0.
Điện thế được giả thiết biến đổi tuyến tính theo chiều dày của lớp áp điện [5]:
ξmn =
(
Vt
tp
)
z −
(
Vth
2tp
)
(Vt là giá trị điện thế áp đặt lên lớp kích thích) (16)
Thay các biểu thức (14) ÷ (16) vào hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị, ta nhận được hệ
phương trình đại số tuyến tính có dạng:
s11 s12 s13 s14 s15
s21 s22 s23 s24 s25
s31 s32 s33 s34 s35
s41 s42 s43 s44 s45
s51 s52 s53 s54 s55


Umn
Vmn
Wmn
Xmn
Ymn

=

0
0
−q+zmn
0
0

− Vt

V1
V2
V3
V4
V5

(17)
44
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Các hằng số si j ma trận độ cứng được biểu diễn theo (18), các hệ số Ai j ÷ Hi j xác định theo (19).
s11 = −
(
A11α2 + A66β2
)
; s12 = − (A12 + A66)αβ; s13 =
[
E11α2 + (E12 + 2E66)β2
]
c1α;
s14 = (c1E11 − B11)α2 + (c1E66 − B66) β2; s15 = [(E66 + E12) c1 − B12 − B66]αβ;
s22 = −
(
A66α2 + A22β2
)
; s23 =
(
(2E66 + E12) βα2 + E22β3
)
c1; s24 = s15;
s25 = (E66c1 − B66)α2 + (E22c1 − B22)β2; s33 =
(
(−2H12 − 4H66 − H22β2)c21β2+
+2D55c2 − F55c22 − A55)α2 + (−F44c22 + 2D44c2 − A44)β2
)
; s34 =
(
−H11c21 + F11c1
)
α3+
+
((
(−H12 − 2H66) c21 + (2F66 + F12) c1
)
β2 + 2D55c2 − F55c22 − A55
)
α;
s35 =
(
(−H12 − 2H66) c21 + (2F66 + F12) c1
)
βα2 +
(
F22c1 − H22c21
)
β3+
+
(
−F44c22 + 2D44c2 − A44
)
β; s44 = (−D11 − H11c21 + 2F11c1)α2+
+(−D66 − H66c21 + 2F66c1)β2 − A55 + 2D55c2 − F55c22;
s45 = ((−H66 − H12)c21 + (2F12 + 2F66)c1 − D66 − D12)αβ
s55 = (−D66 − H66c21 + 2F66c1)α2 + (−H22c21 + 2F22c1 − D22)β2 − F44c22 + 2D44c2 − A44
(18)
Điều kiện để tồn tại nghiệm Navier trong trường hợp tấm có cấu hình phản xứng vuông góc:
A16 = A26 = A45 = B16 = B26 = D16 = D26 = 0
E16 = E26 = F16 = F26 = H16 = H26 = D45 = F45 = 0
(19)
Các thành phần véc tơ điện thế Vi được xác định trong (20)
V1 =
pie31
a
;V2 =
pie32
b
;V3 =
pi2
6a2b2h2
(
−3e32tpa2h2 − e31h3b2 − e32h3a2 − 3e31tpb2h2 +
8e15t2pb
2h + 6e15t3pb
2 − 4e31t2pb2h − 2e31t3pb2 + 8e24t2pa2h + 6e24t3pa2 − 4e32t2pa2h − 2e32t3pa2
)
;
V4 =
pi
(
−2e31t2ph + 4e15t2ph + 3e15t3p + e31h3 − e31t3p
)
3ah2
;
V5 =
pi
(
−2e32t2ph + 4e24t2ph + 3e24t3p + e32h3 − e32t3p
)
3bh2
(20)
Giải hệ phương trình (17) ta nhận được các hệ số: Umn,Vmn,Wmn, Xmn,Ymn, rồi thay vào biểu thức
(14) để có các thành phần chuyển vị u0, v0,w0, từ đó dễ dàng xác định các thành phần biến dạng và
ứng suất tương ứng.
3. Kết quả số
Xét tấm composite áp điện cấu hình [p/0/90/0], bốn biên tựa khớp. Tấm chịu tải trọng cơ học
(q+z = 40 N/m
2) và điện thế áp đặt lên mặt trên lớp PFRC với các trường hợp: Vt = 0 V; Vt = +100 V;
Vt = −100 V phân bố dạng hình sin (m = n = 1), chiều dày mỗi lớp composite là hk = 0.1 mm, lớp
áp điện có chiều dày tp = 0.25 mm.
Các thông số vật liệu của lớp vật liệu composite [6]: E1 = 172.9 GPa, E1/E2 = 25,G12 =
0.5E2,G23 = 0.2E2, ν12 = 0.25.
Các thông số vật liệu của lớp vật liệu của lớp áp điện PFRC [6]: C11 = 32.6 GPa, C12 = C21 =
4.3 GPa, C13 = C31 = 4.76 GPa, C22 = C33 = 7.2 GPa, C23 = 3.85 GPa, C44 = 1.05 GPa,
C55 = C66 = 1.29 GPa, e31 = −6.76 C/m2, η11 = η22 = 0.037e−9 C/Vm, η33 = 0.037e−9 C/Vm.
Xét tấm chịu tải trọng cơ học (q+z = 40 N/m
2) và điện thế áp đặt lên mặt trên lớp PFRC với các
trường hợp: Vt = 0 V; Vt = +100 V; Vt = −100 V.
45
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Các đại lượng khảo sát không thứ nguyên tính theo [6]:
u¯
(
0,
b
2
,±h
2
)
=
E2
q0S 3h
u; w¯
(
a
2
,
b
2
, 0
)
=
100E2
q0S 4h
w;
σ¯xx
(
a
2
,
b
2
,±h
2
)
=
σx
q0S 2
; σ¯yy
(
a
2
,
b
2
,±h
6
)
=
σy
q0S 2
; τ¯xy
(
0, 0,±h
2
)
=
τxy
q0S 2
;
τ¯yz
(a
2
, 0, 0
)
=
τyz
q0S
; τ¯xz
(
0,
b
2
, 0
)
=
τxz
q0S
(21)
3.1. Kết quả chuyển vị
Chương trình tính toán các thành phần chuyển vị và ứng suất của tấm composite áp điện được viết
trên nền Matlab để tính toán đồng thời theo ba lý thuyết CLPT, FSDT và TSDT. Bảng 1 và Bảng 2
trình bày các kết quả số được kiểm chứng với nghiệm chính xác [6] và nghiệm giải tích [5] theo lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao đầy đủ 12 ẩn số chuyển vị với các tỉ số a/h = 10; 20 và 100.
Bảng 1. Chuyển vị màng và độ võng không thứ nguyên u¯, w¯ của tấm composite [p/0/90/0] chịu uốn bởi tải
trọng cơ học và điện thế áp đặt phân bố dạng hình sin tại mặt trên của lớp PFRC
Theory
a/h = 10 a/h = 20 a/h = 100
V = 0 V = +100 V = −100 V = 0 V = +100 V = −100 V = 0 V = +100 V = −100
u¯ (0, b/2,±h/2)
CLPT (Bài báo)
0.0063 −2.8886 2.9012 0.0063 −0.7174 0.7300 0.0063 −0.0227 0.0352
−0.0063 0.8828 −0.8953 −0.0063 0.2160 −0.2285 −0.0063 0.0026 −0.0152
FSDT (Bài báo)
0.0071 −2.7969 2.8110 0.0064 −0.6962 0.7090 0.0062 −0.0220 0.0343
−0.0074 0.8795 −0.8942 −0.0067 0.2162 −0.2296 −0.0064 0.0025 −0.0154
TSDT (Bài báo)
0.0065 −2.9159 2.9290 0.0063 −0.7191 0.7318 0.0063 −0.0227 0.0352
−0.0065 0.9101 −0.9231 −0.0063 0.2177 −0.2303 −0.0063 0.0026 −0.0152
HSDT [5] 0.0063 −3.1184 3.1311 0.0062 −0.7147 0.7271 0.0061 −0.0219 0.0342
−0.0069 0.8789 −0.8927 −0.0066 0.2168 −0.2299 −0.0065 0.0025 -0.0154
Exact [6] 0.0066 −3.1410 3.1542 0.0063 −0.7229 0.7356 0.0062 −0.0223 0.0346
−0.0070 0.8897 −0.9038 −0.0067 0.2213 −0.2346 −0.0065 0.0026 −0.0157
w (a/2, b/2, 0)
CLPT (Bài báo) −0.3999 120.0470 −120.8469 −0.3999 29.7118 −30.5117 −0.3999 0.8045 −1.6044
FSDT (Bài báo) −0.6248 110.7076 −111.9572 −0.4578 28.5823 −29.4979 −0.4027 0.7763 −1.5817
TSDT (Bài báo) −0.6644 130.9680 −132.2968 −0.4688 30.3444 −31.2820 −0.4027 0.8029 −1.6083
HSDT [5] −0.6681 129.0550 −130.3910 −0.4711 29.7724 −30.7146 −0.4043 0.7753 −1.5840
Exact [6] −0.7100 132.9000 −134.3000 −0.4866 30.3370 −31.3100 −0.4089 0.7873 −1.6050
Trong Bảng 1, kết quả chuyển vị u¯ và độ võng w¯ được tính toán khi tấm composite chịu đồng thời
của tải trọng cơ học và điện thế theo các tỷ số a/h khác nhau. Trường hợp tấm chiều dày trung bình
(a/h = 10) chuyển vị u¯ tính toán theo HSDT [5] cho kết quả gần với nghiệm chính xác (sai số 0.72%)
trong khi sai số giữa TSDT và nghiệm chính xác là 7.17%. Độ võng w¯ tính theo TSDT và HSDT [5]
lại cho sai số so với nghiệm chính xác gần như nhau. Trường hợp tấm mỏng (a/h = 100), các kết quả
tính theo các lý thuyết CLPT, FSDT (hệ số hiệu chỉnh cắt k = 5/6), TSDT, HSDT gần như trùng khớp
với nghiệm chính xác.
Đồ thị trên Hình 2 biểu diễn biến thiên của độ võng không thứ nguyên theo tỷ số a/h với trường
hợp chỉ chịu điện thế áp đặt V = +100 V (không có tải trọng cơ học). Đường biến thiên độ võng - tỉ
46
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
số a/h theo lý thuyết tấm cổ điển (CLPT) là đường cong cho thấy độ võng không thứ nguyên tại tâm
của tấm phụ thuộc vào tỉ số a/h trong khi nếu chỉ chịu tải trọng cơ học thì đường biến thiên này là
đường thẳng [10] (không phụ thuộc vào a/h). Khi tấm dày các đường biểu diễn cách xa nhau, khi tấm
càng mỏng các đường biểu diễn càng gần nhau hơn. Điều này cho thấy sự cần thiết phải sử dụng các
lý thuyết tấm thích hợp khi tính toán.
Hình 2. Biến thiên độ võng w¯ theo tỷ số a/h của tấm
composite áp điện [p/0/90/0] tính theo các lý thuyết
CLPT, FSDT, TSDT và HSDT
Hình 3. Biến thiên độ võng w¯ theo tỷ số a/h của tấm
composite áp điện [p/0/90/0] dưới tác dụng của các
mức điện thế áp đặt phân bố dạng hình sin
Chênh lệch độ võng w¯ của tấm trong trường hợp có điện thế kích thích (V = +100 V) so với khi
không có điện thế là 450 lần khi a/h = 10, 116 lần khi a/h = 20 và 6 lần với a/h = 100. Điều này
cho thấy vai trò kích thích của lớp áp điện với các kết cấu tấm có độ dày khác nhau (Hình 3).
3.2. Kết quả ứng suất
Bảng 2 trình bày kết quả tính toán ứng suất không thứ nguyên khi tấm composite chịu đồng thời
của tải trọng cơ học và điện thế theo các tỷ số a/h khác nhau. Các giá trị σ¯xx, σ¯yy, σ¯xy được xác định
từ phương trình (4), σ¯xz, σ¯yz xác định từ các phương trình cân bằng của lý thuyết đàn hồi [10] theo
biểu thức (22).
τxz = −
n∑
L=1
∫ z
−h/2
(
∂σx
∂x
+
∂τxy
∂y
)
dz; τyz = −
n∑
L=1
∫ z
−h/2
(
∂σy
∂y
+
∂τxy
∂x
)
dz (22)
Hình 4 biểu diễn biến thiên của ứng suất không thứ nguyên σ¯xx theo tỷ số a/h. Kết quả trên Bảng 2
và đồ thị trên Hình 4 cho thấy sự tương đồng giữa các lý thuyết khi tấm mỏng. Với tấm có chiều dày
trung bình (a/h = 10) kết quả tính theo TSDT cho sai lệch nhỏ so với tính theo lời giải chính xác. Các
Hình 5, Hình 6, và Hình 7 cho thấy nếu cực của điện áp thay đổi, lớp PFRC gây ra sự đảo chiều của
các ứng suất σ¯xx, σ¯yy, σ¯xy. Các đồ thị này cũng chỉ ra rằng khi áp đặt một điện thế kích thích làm thay
đổi các thành phần ứng suất màng trong tấm so với trường hợp chỉ có tải trọng cơ học. Ứng suất cắt
ngang σ¯xz, σ¯yz theo phương chiều dày tại bề mặt trên của lớp tiếp xúc với lớp áp điện không còn bằng
không như ở bề mặt dưới của tấm.
47
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 2. Ứng suất không thứ nguyên
(
σ¯xx, σ¯yy, σ¯xy, σ¯xz, σ¯yz
)
của tấm composite [p/0/90/0] áp điện chịu uốn bởi
tải trọng cơ học và điện thế áp đặt phân bố dạng hình sin tại mặt trên của lớp PFRC
Theory
a/h = 10 a/h = 20 a/h = 100
V = 0 V = +100 V = −100 V = 0 V = +100 V = −100 V = 0 V = +100 V = −100
σ¯xx (a/2, b/2,±h/2)
CLPT (Bài báo)
−0.4996 228.8587 −229.8578 −0.4996 56.8400 −57.8392 −0.4996 1.7940 −2.7932
0.4996 −71.0573 72.0565 0.4996 −17.3896 18.3888 0.4996 −0.2160 1.2152
FSDT (Bài báo)
−0.4633 225.2644 −226.1911 −0.4816 55.4269 −56.3902 −0.4882 1.7406 −2.7170
0.4850 −74.4478 75.4179 0.5044 −17.6749 18.6837 0.5114 −0.2078 1.2306
TSDT (Bài báo)
−0.5203 231.0224 −232.0630 −0.5045 56.9723 −57.9814 −0.4998 1.7940 −2.7936
0.5203 −73.2210 74.2617 0.5045 −17.5220 18.5311 0.4998 −0.2160 1.2156
HSDT [5] −0.5075 247.5430 −248.5580 −0.4933 56.7572 −57.7437 −0.4887 1.7380 −2.7154
0.5516 −70.7688 71.8720 0.5239 −17.4131 18.4609 0.5144 −0.2048 1.2336
Exact [6] −0.5281 248.7600 −249.8200 −0.5035 57.2690 −58.2760 −0.4948 1.7549 −2.7445
0.5623 −71.6660 72.7900 0.5305 −17.8100 18.8750 0.5193 −0.2181 1.2566
σ¯yy (a/2, b/2,±h/6)
CLPT (Bài báo)
−0.1665 44.0862 −44.4193 −0.1665 10.8967 −11.2297 −0.1665 0.2760 −0.6091
0.1665 −55.8858 56.2188 0.1665 −13.8465 14.1796 0.1665 −0.3940 0.7271
FSDT (Bài báo)
−0.2284 34.3220 −34.7788 −0.1806 9.8205 −10.1818 −0.1635 0.2562 −0.5831
0.2404 −47.9839 48.4647 0.1897 −13.3148 13.6942 0.1715 −0.3896 0.7325
TSDT (Bài báo)
−0.2481 42.7177 −43.2138 −0.1894 10.7919 −11.1706 −0.1675 0.2749 −0.6099
0.2481 −54.5173 55.0134 0.1894 −13.7418 14.1205 0.1675 −0.3929 0.7279
HSDT [5] −0.2373 39.4075 −39.8821 −0.1811 9.9600 −10.3222 −0.1600 0.2478 −0.5679
0.2626 −56.2713 56.7966 0.1996 −14.0978 14.4970 0.1761 −0.3971 0.7492
Exact [6] −0.2571 42.5320 −43.0460 −0.1901 10.4590 −10.8400 −0.1643 0.2596 −0.5882
0.2799 −57.6670 58.2270 0.2044 −14.1600 14.5660 0.1758 −0.3955 0.7470
σ¯xy (0, 0,±h/2)
CLPT (Bài báo)
0.0197 −7.3660 7.4055 0.0197 −1.8267 1.8662 0.0197 −0.0541 0.0936
−0.0197 4.4821 −4.5216 −0.0197 1.1057 −1.1452 −0.0197 0.0253 −0.0648
FSDT (Bài báo)
0.0229 −6.7532 6.7991 0.0204 −1.7458 1.7866 0.0195 −0.0522 0.0912
−0.0236 4.0441 −4.0913 −0.0210 1.0691 −1.1112 −0.0201 0.0246 −0.0648
TSDT (Bài báo)
0.0255 −7.4355 7.4865 0.0213 −1.8298 1.8724 0.0198 −0.0541 0.0937
−0.0255 4.5516 −4.6026 −0.0213 1.1089 −1.1514 −0.0198 0.0252 −0.0648
HSDT [5] 0.0247 −7.5662 7.6157 0.0208 −1.7913 1.8329 0.0194 −0.0519 0.0907
−0.0264 4.5282 −4.5811 −0.0219 1.1055 −1.1493 −0.0203 0.0246 −0.0652
Exact [6] 0.0261 −7.6960 7.7480 0.0215 −1.8220 1.8648 0.0197 −0.0527 0.0922
−0.0276 4.6190 −4.6740 −0.0224 1.1232 −1.1679 −0.0204 0.0251 −0.0660
σ¯xz (0, b/2, 0)
CLPT (Bài báo) −0.3664 23.4825 −24.2154 −0.3664 5.5958 −6.3287 −0.3664 −0.1280 −0.6049
FSDT (Bài báo) −0.3637 26.8483 −27.5757 −0.3753 6.0951 −6.8458 −0.3795 −0.1255 −0.6336
TSDT (Bài báo) −0.3357 23.1597 −23.8312 −0.3581 5.5822 −6.2984 −0.3661 −0.1276 −0.6046
HSDT [5] −0.3530 23.0262 −23.7322 −0.3747 - - −0.3825 −0.1241 −0.6409
Exact [6] −0.3448 23.6090 −24.2980 −0.3833 0.6819 −1.4485 −0.3847 −0.1174 −0.6520
σ¯yz (a/2, 0, 0)
CLPT (Bài báo) −0.0764 23.1991 −23.3519 −0.0764 5.7425 −5.8952 −0.0764 0.1564 −0.3091
FSDT (Bài báo) −0.1064 20.4339 −20.6468 −0.0867 5.6121 −5.7855 −0.0796 0.1565 −0.3157
TSDT (Bài báo) −0.1075 22.7326 −22.9476 −0.0851 5.7061 −5.8762 −0.0767 0.1560 −0.3094
HSDT [5] −0.1160 23.9406 −24.1725 −0.0914 - - −0.0823 0.1609 −0.3256
Exact [6] −0.1211 24.0650 −24.3070 −0.0832 0.8814 −1.0478 −0.0818 0.1593 −0.3228
48
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Hình 4. Thành phần ứng suất σ¯xx
(
a
2
,
b
2
,
h
2
)
biến
thiên theo tỷ số a/h
Hình 5. Phân bố thành phần ứng suất σ¯xx
(
a
2
,
b
2
)
theo tọa độ chiều dày tấm
Hình 6. Phân bố thành phần ứng suất σ¯yy
(
a
2
,
b
2
)
theo
tọa độ chiều dày tấm
Hình 7. Phân bố thành phần ứng suất σ¯xy (0, 0) theo
tọa độ chiều dày tấm
Hình 8. Phân bố thành phần ứng suất σ¯xz
(
0,
b
2
)
theo
tọa độ chiều dày tấm
Hình 9. Phân bố thành phần ứng suất σ¯yz
(a
2
, 0
)
theo
tọa độ chiều dày tấm
49
Tú, T. M. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
4. Kết luận
Trong bài báo này, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của Reddy được sử dụng để phân tích tĩnh
kết cấu tấm composite có gắn lớp composite cốt sợi áp điện PFRC (piezoelectric fiber-reinforced
composite) đóng vai trò kích thích. Có thể thấy rằng chiều của điện thế áp đặt lên lớp PFRC sẽ có tác
dụng tăng thêm hay giảm bớt biến dạng gây ra bởi tải trọng cơ học. Lớp PFRC khi được kích hoạt sẽ
ảnh hưởng đến sự phân bố của ứng suất theo chiều dày tấm. Ảnh hưởng của điện thế áp đặt đến độ
võng của tấm dày là rõ rệt hơn so với tấm mỏng.
Các ví dụ số cũng cho thấy hiệu quả của lý thuyết tấm bậc ba đơn giản của Reddy với số ẩn chuyển
vị ít hơn (5 ẩn) nhưng vẫn cho kết quả phù hợp với kết quả tính theo lý thuyết đàn hồi [6] và theo lý
thuyết HSDT - 12 ẩn chuyển vị [5]. Mô hình này sẽ là một lựa chọn tốt cho các bài toán phân tích và
tối ưu kết cấu composite áp điện.
Tài liệu tham khảo
[1] Lee, C. K. (1990). Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensors/actuators.
Part I: Governing equations and reciprocal relationships. The Journal of the Acoustical Society of America,
87(3):1144–1158.
[2] Wang, B. T., Rogers, C. A. (1991). Laminate plate theory for spatially distributed induced strain actuators.
Journal of Composite Materials, 25(4):433–452.
[3] Jonnalagadda, K. D., Blandford, G. E., Tauchert, T. R. (1994). Piezothermoelastic composite plate anal-
ysis using first-order shear deformation theory. Computers & Structures, 51(1):79–89.
[4] Mitchell, J. A., Reddy, J. N. (1995). A refined hybrid plate theory for composite laminates with piezo-
electric laminae. International Journal of Solids and Structures, 32(16):2345–2367.
[5] Shiyekar, S. M., Kant, T. (2011). Higher order shear deformation effects on analysis of laminates with
piezoelectric fibre reinforced composite actuators. Composite Structures, 93(12):3252–3261.
[6] Mallik, N., Ray, M. C. (2004). Exact solutions for the analysis of piezoelectric fiber reinforced composites
as distributed actuators for smart composite plates. International Journal of Mechanics and Materials in
Design, 1(4):347–364.
[7] Thinh, T. I., Ngoc, L. K. (2008). Static and dynamic analysis of laminated composite plates with integrated
piezoelectrics. Vietnam Journal of Mechanics, 30(1):55–66.
[8] Ngoc, L. K., Thinh, T. I. (2009). Optimum problem of piezoelectric laminated composite plate using
genetic algorithm. Vietnam Journal of Mechanics, 31(2):87–96.
[9] Lê, K. N. (2010). Tính toán tĩnh và dao động của kết cấu tấm composite áp điện. Luận án Tiến sĩ, Trường
Đại học Bách khoa Hà Nội.
[10] Reddy, J. N. (2004). Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC Press.
50