Phân tích tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên có gân gia cường

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (6): 20–28
PHÂN TÍCH TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA VỎ TRỤ TRÒN LÀM
BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG
Nguyễn Văn Lợia,∗, Trần Bình Địnha, Chu Thanh Bìnha
aKhoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 29/06/2018, Sửa xong 18/07/2018, Chấp nhận đăng 28/09/2018
Tóm tắt
Bài báo này trình bày lời giải giải tích cho bài toán dao động riêng của vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (FGM) có gân gia cường trực giao, có biên tựa khớp ở hai đầu vỏ. Trong đó, tính chất vật liệu được
giả thiết là biến thiên theo phương chiều dầy của vỏ theo quy luật hàm lũy thừa. Mục đích chính của nghiên cứu
này là trình bày một phương pháp đơn giản để giải bài toán dao động riêng vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường.
Hơn nữa, mặc dù kết cấu này có tính ứng dụng cao, tuy nhiên có rất ít nghiên cứu liên quan đến dao động riêng
của vỏ trụ tròn có gân gia cường trực giao, do đó nghiên cứu về loại kết cấu này là cần thiết. Dựa trên lý thuyết
vỏ Love, kỹ thuật san đều tác dụng gân, cùng với việc áp dụng nguyên lý Hamilton, phương trình chuyển động
của vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường được thiết lập. Kế tiếp, lời giải Navier được sử dụng để giải bài toán dao
động tự do của vỏ trụ tròn FGM có gia cường biên tựa khớp. Ngoài ra, trong bài báo, một số ảnh hưởng của
các tham số như chỉ số tỷ lệ thể tích vật liệu, kích thước gân, tỷ số chiều dài trên bán kính vỏ và tỷ số chiều dầy
trên bán kính vỏ cũng đã được khảo sát. Cuối cùng, một số nhận xét hữu ích cho các chủ đề liên quan đến kết
cấu vỏ trụ tròn FGM gia cường cũng đã được đưa ra.
Từ khoá: phân tích dao động riêng; vỏ trụ tròn FGM có gân; lý thuyết vỏ Love.
FREE VIBRATION ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED CYLINDRICAL SHELL WITH STIFF-
ENERS
Abstract
In this study, an analytical solution for the free vibration of orthogonally stiffened functionally graded circular
cylindrical shell with the simply supported boundary conditions at both of ends is presented. Here, the material
properties are assumed to be graded in the thickness direction of shell according to the simple power-law
distribution. The purpose of this study is to show a simple approach in solving the problem on free vibration of
the stiffened FG cylindrical shell. Moreover, despite the high applicability of this structure, there are also very
few researches related to the stiffened FG cylindrical shell with orthogonal stiffeners, so the study on this type of
structure is essential. Based on Love’s shell theory, the smearing stiffener technique, by applying the Hamilton’s
principle, the motion equation of stiffened FG cylindrical shell is developed. Next, Navier’s solution is also used
to solve the problem on the free vibration of simply supported stiffened FG cylindrical shell. Besides, in this
paper, the influences of parameters such as power-law index, the dimension of stiffeners, the shell’s length –
to – radius ratio and the shell’s height – to – radius ratio on the natural fundamental frequency of stiffened
FG circular cylindrical shell are investigated. Finally, some useful comments for the relevant subjects on the
stiffened FG circular cylindrical shells are also given.
Keywords: free vibration analysis; stiffened FG cylindrical shell, Love’s shell theory.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(6)-03 c© 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
∗Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: loinv@nuce.edu.vn (Lợi, N. V.)
20
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
1. Giới thiệu
Kết cấu dạng tấm, vỏ là một trong những dạng kết cấu quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt trong
các lĩnh vực như: công trình dân dụng, công nghiệp, hàng không, vũ trụ, đóng tàu, . . . Tính toán kết
cấu dạng này luôn chiếm được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Cho đến
nay đã có nhiều nghiên cứu về dao động của tấm và vỏ đã được công bố. Các nghiên cứu chuyên sâu
về dao động vỏ bằng vật liệu đẳng hướng, được tìm thấy trong các tài liệu [1, 2]. Có thể thấy, một loạt
các nghiên cứu về dao động vỏ trụ không gân gia cường đã được nhiều tác giả công bố, chẳng hạn
như trong các công trình nghiên cứu [3–6].
Các nghiên cứu về vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân gia cường có thể tìm thấy trong các công bố
[7–11]. Ở giai đoạn sau, khi vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được ứng dụng, dao động vỏ trụ tròn
làm bằng loại vật liệu FGM tiếp tục dành được sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu. Đáng chú ý
là các tác giả [12, 13], họ đã công bố các công trình nghiên cứu về vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu FGM
khá sớm.
Những năm gần đây, có một số tác giả đã công bố các bài báo về vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu
FGM có gân gia cường vòng như các tác giả [14, 15]. Một hướng nữa là phân tích dao động vỏ trụ
tròn FGM có gân gia cường và quay như trong các nghiên cứu [16–18]. Trong bài báo này, tác giả tập
trung vào phân tích dao động của vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường trực giao (cả gân vòng và dọc)
bằng việc sử dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân Lekhnitskii, và áp dụng lời giải Navier cho bài toán
vỏ trụ tròn có biên tựa khớp tại hai đầu. Trên cơ sở đó, tác giả so sánh kết quả bài báo với một số công
bố khác và ngoài ra tác giả cũng tiến hành khảo sát các ảnh hưởng của chỉ số thể tích vật liệu cũng
như một số tham số kích thước vỏ, gân đến tần số dao động của vỏ.
2. Cơ sở lý thuyết
Xét vỏ trụ tròn có bán kính R, chiều dày h, chiều dài L với hệ tọa độ trụ (x, θ, z) làm bằng vật liệu
có cơ tính biên thiên được gia cường bởi các gân vòng và gân dọc như Hình 1. Kích thước và khoảng
cách giữa các gân dọc được ký hiệu bởi chỉ số s, của các gân vòng được ký hiệu bởi chỉ số r. Chiều
cao và bề rộng gân dọc (hoặc vòng) được ký hiệu là hs (hoặc hr) và bs (hoặc br). Khoảng cách giữa
các gân dọc và giữa các gân vòng lần lượt là ss và sr. Mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số Poisson
của vỏ FGM giả thiết biến thiên theo qui luật hàm lũy thừa như sau [13]:
E(z) = (E1 − E2)
(
z
h
+
1
2
)p
+ E2
ρ(z) = (ρ1 − ρ2)
(
z
h
+
1
2
)p
+ ρ2
ν(z) = (ν1 − ν2)
(
z
h
+
1
2
)p
+ ν2
(1)
trong đó p là chỉ số tỉ lệ thể tích; E1, ρ1, ν1: là mô đun đàn hồi, khối lượng riêng và hệ số Poisson của
vật liệu ở mặt ngoài của vỏ. E2, ρ2, ν2: là mô đun đàn hồi, khối lượng riêng và hệ số Poisson của vật
liệu ở mặt trong của vỏ.
Theo lý thuyết vỏ Love, tài liệu [6], trường biến dạng như sau:
εx
εθ
γxθ
 =

ε0x
ε0θ
γ0xθ
 + z.

κx
κθ
κxθ
 (2)
21
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE 2018. 13(5):1-16 
3 
0
0
0
x x x
x x x
z.  
  
  
  
  
   
= +   
   
 (2) 
Hình 1. Hệ tọa độ và dạng hình học của vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường 
trong đó 
2 2
0 00 0 0 0 0
02 2 2
1 1
x x
u w v w v
; ; w ;
x x R R
    
  
      
= = − = + = − − 
     
2
0 0 0 0 01 2
x x
v u w v
;
x R R x x
  
 
    
= + − − 
     
; 
với 0 0 0u ,v ,w là chuyển vị của điểm trên mặt trung bình của vỏ. 
Đối với vật liệu FGM, ta có quan hệ ứng suất - biến dạng: 
11 12
12 22
66
0
0
0 0
x x
x x
Q Q
Q Q
Q
 
 
 
 
 
  
=   
   
 (3) 
trong đó 
 11 22 12 662 2 21 1 1 2 1
E( z ) E( z ) ( z )E( z ) E( z )
Q ;Q ;Q ;Q G( z )
( z ) ( z ) ( z ) ( z )

   
= = = = =
− − − +
Dựa trên kỹ thuật san đều tác dụng gân Lekhnitskii, bỏ qua thành phần xoắn của 
gân, chúng ta đạt được biểu thức của các thành phần ứng lực của vỏ trụ tròn có gân gia 
cường như sau, theo [16, 19, 20]: 
0
11 12 11 12
0
12 22 12 22
0
66 66
0 0
0 0
0 0 0 0
' ' ' '
x x x
' ' ' '
' '
x x x
N A A B B
N A A B B
N A B
  
  
 
 
 
   
= +    
    
 (4) 
Hình 1. Hệ tọa độ và dạng hình học của vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường
trong đó ε0x =
∂u0
∂
; κx = −
∂2w0
∂x2
; ε0θ =
1
R
(
∂v0
∂θ
+ w0
)
; κθ = −
1
R2
(
∂2w0
∂θ2
− ∂v0
∂θ
)
; γ0xθ =
∂v0
∂x
+
1
R
∂u0
∂θ
; κxθ =
2
R
(
∂2w0
∂x∂θ
− ∂v0
∂x
)
; với u0, v0,w0 là chuyển vị của điểm trên mặt trung bình của vỏ.
Đối với vật liệu FGM, ta có quan hệ ứng suất - biến dạng:
σx
σθ
σxθ
 =
 Q11 Q12 0Q12 Q22 0
0 0 Q66


εx
εθ
γxθ
 (3)
trong đó Q11 =
E(z)
1 − ν2(z) ;Q22 =
E(z)
1 − ν2(z) ;Q12 =
ν(z)E(z)
1 − ν2(z) ;Q66 =
E(z)
2 [1 + ν(z)]
= G(z).
Dựa trên kỹ thuật san đều tác dụng gân Lekhnitskii, bỏ qua thành phần xoắn của gân, ta đạt được
biểu thức của các thành phần ứng lực của vỏ trụ tròn có gân gia cường như sau, theo [16, 19, 20]:
Nx
Nθ
Nxθ
 =
 A
′
11 A
′
12 0
A′12 A
′
22 0
0 0 A′66


ε0x
ε0θ
γ0xθ
 +
 B
′
11 B
′
12 0
B′12 B
′
22 0
0 0 B′66


κx
κθ
κxθ
 (4)

Mx
Mθ
Mxθ
 =
 B
′
1 B
′
12 0
B′12 B
′
22
0 0 B′66


ε0x
ε0θ
γ0xθ
 +
 D
′
11 D
′
12 0
D′12 D
′
22 0
0 0 D′66


κx
κθ
κxθ
 (5)
trong đó
A′11 = A11 +
EsAs
ss
; B′11 = B11 +
EsAszs
ss
; D′11 = D11 +
EsIs
ss
A′12 = A12; B
′
12 = B12; D
′
12 = D12
A′22 = A22 +
ErAr
sr
; B′22 = B22 +
ErArzr
sr
; D′22 = D22 +
ErIr
sr
A′66 = A66; B
′
66 = B66; D
′
66 = D66
22
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
A11 = A22 =
h/2∫
−h/2
E(z)
1 − ν2(z)dz; B11 = B22 =
h/2∫
−h/2
E(z)
1 − ν2(z)zdz; D11 = D22 =
h/2∫
−h/2
E(z)
1 − ν2(z)z
2dz
A12 =
h/2∫
−h/2
ν(z)E(z)
1 − ν2(z)dz; B12 =
h/2∫
−h/2
ν(z)E(z)
1 − ν2(z)zdz; D12 =
h/2∫
−h/2
ν(z)E(z)
1 − ν2(z)z
2dz
A66 =
h/2∫
−h/2
E(z)
2 [1 + ν(z)]
dz; B66 =
h/2∫
−h/2
E(z)
2 [1 + ν(z)]
zdz; D66 =
h/2∫
−h/2
E(z)
2 [1 + ν(z)]
z2dz
Is =
bsh3s
12
+ Asz2s ; Ir =
brh3r
12
+ Arz2r ; zs = ±
hs + h
2
; zr = ±hr + h2
ở đây, khoảng cách từ mặt trung bình của vỏ đến trọng tâm của gân dọc và gân vòng tương ứng là zs
và zr. Diện tích mặt cắt ngang của gân dọc và gân vòng tương ứng là As và Ar. Mô đun đàn hồi, mô
đun đàn hồi trượt của gần dọc và của gân vòng lần lượt là Es,Gs và Er,Gr.
Phương trình chuyển động của vỏ trụ tròn biểu diễn theo các thành phần ứng lực, theo [6], có dạng:
∂Nx
∂x
+
1
R
∂Nxθ
∂θ
= J0
∂2u0
∂t2
∂Nxθ
∂x
+
1
R
∂Nθ
∂θ
+
1
R
∂Mxθ
∂x
+
1
R2
∂Mθ
∂θ
= J0
∂2v0
∂t2
∂2Mx
∂x2
+
2
R
∂2Mxθ
∂x∂θ
+
1
R2
∂2Mθ
∂θ2
− Nθ
R
= J0
∂2w0
∂t2
(6)
trong đó, mô men quán tính J0 =
(
ρ2 +
ρ1 − ρ2
p + 1
)
h +
ρsAs
ss
+
ρrAr
sr
.
3. Lời giải giải tích
Thế phương trình (4)–(5) với biểu thức của phương trình (2)–(3) vào phương trình (6) ta được
phương trình chuyển động của vỏ viết theo các thành phần chuyển vị: L11 L12 L13L21 L22 L23
L31 L32 L33


u
v
w
 =

0
0
0
 (7)
ở đây, các toán tử Li j là toán tử vi phân của các biến x, θ, t.
Trong bài báo này, tác giả chỉ tiến hành phân tích dao động của vỏ trụ tròn có biên tựa khớp tại
hai đầu, điều kiện biên có dạng:
v = w = Nx = Mx = 0|x=0,L (8)
Để phân tích dao động của vỏ trụ tròn thỏa mãn điều kiện biên (8) nêu trên, theo [12], ta chọn
trường chuyển vị có dạng:
u (x, θ, t) = Amn cos
(mpix
L
)
cos (nθ) cos (ωt)
v (x, θ, t) = Bmn sin
(mpix
L
)
sin (nθ) cos (ωt)
w (x, θ, t) = Cmn sin
(mpix
L
)
cos (nθ) cos (ωt)
(9)
23
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
trong đó Amn, Bmn,Cmn là biên độ chuyển vị theo mỗi phương; m và n là số nguyên và tương ứng là số
sóng theo phương dọc trục và phương vòng.
Để giải ra tần số dao động của vỏ trụ tròn, ta thế trường chuyển vị (9) vào phương trình (7), kết
quả đạt được có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
([K]3×3 − ω2[M]3×3){∆}3×1 = {0} (10)
trong đó {∆}3×1 = {umn, vmn,wmn}T , các hệ số Ki j và Mi j được xác định bằng phần mềm MATLAB.
Giải bài toán trị riêng của hệ (10) ta tìm được tần số dao động riêng ωmn và dạng dao động tương ứng
{∆}.
4. Kết quả số và thảo luận
Trong các ví dụ kiểm chứng và khảo sát sau đây, các kích thước hình học và thuộc tính vật liệu
của vỏ và gân được cho theo Bảng 1.
Bảng 1. Thông số vật liệu và kích thước hình học vỏ trụ tròn có gân gia cường
Thuộc tính Kích thước
Loại gân Gân dọc Gân vòng Gân dọc
Gân
vòng/dọc
Không gân
gia cường
Gân
vòng/dọc
Mô hình M1 M2 M3 M4 M5 M6
Số gân 60 19 04 13/20 05/05 (15/15)
Bán kính vỏ (m) 0,242 0,49759 0,1945 0,203 1 0,2
Chiều dầy vỏ (m) 6,50E-04 1,65E-03 4,64E-04 2,04E-03 0,05 0,002
Chiều dài vỏ (m) 0,6096 0,3945 0,9868 0,813 20 1
Chiều cao gân (m) 0,00702 0,005334 0,0101 0,006/0,006 0,006/0,006
Bề rộng gân (m) 0,002554 0,003175 0,00104 0,004/0,008 0,002/0,002
E (N/m2) 6,9E+10 6,9E+10 2,00E+11 2,07E+11 2,00E+11
ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
ρ
(
kg/m3
)
2714 2762 7770 7430 5700
E1
(
N/m2
)
2,07788E+11 2,00E+11
ν1 0,317756 0,3
ρ1 (kg/m3) 8166 5700
E2 (N/m2) 2,05098E+11 7,0E+10
ν2 0,31 0,3
ρ2 (kg/m3) 8900 2702
Kiểu gia cường Gân ngoài Gân ngoài Gân trong Gân trong Gân ngoài
4.1. Kiểm chứng kết quả
Thứ nhất, để kiểm chứng vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân, tác giả tiến hành so sánh kết quả bài
báo với kết quả của nhóm tác giả [10] với các thông số vật liệu là mô hình M1, M2, M3 và M4 theo
Bảng 1. Kết quả so sánh này được trình bày trong Bảng 2, ta thấy sai lệch lớn nhất về tần số dao động
riêng giữa kết quả bài báo với nhóm tác giả [10] chỉ là 1,97% ở mô hình M3 với (m, n) = (1, 4).
24
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 2. Tần số dao động của vỏ trụ tròn đẳng hướng có gân gia cường
Số
mode
Tần số dao động riêng (Hz)
M1 (gân dọc) M2 (gân vòng) M3 (gân dọc) M4 (gân trực giao)
m n [10]
Tác
giả
Sai
số
%
[10]
Tác
giả
Sai
số
%
[10]
Tác
giả
Sai
số
%
[10]
Tác
giả
Sai
số
%
1
1 1141 1143,1 0,19 1204 1225,4 1,78 778 778,1 0,01 942 936,3 0,61
2 674 672,3 0,25 1587 1596,7 0,61 317 317,2 0,07 439 436,8 0,50
3 427 425,3 0,39 4462 4476,2 0,32 159 159,3 0,20 337 331,0 1,79
4 296 294,5 0,50 8559 8593,7 0,41 99,6 101,6 1,97 482 477,5 0,94
5 225 223,3 0,77 13780 13874,3 0,68 91,5 91,4 0,14 740 739,7 0,03
Tiếp theo, tác giả so sánh tần số của vỏ trụ tròn không gân gia cường làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên FGM, mô hình M5, với kết quả của nhóm tác giả [12]. Kết quả đạt được là khá tốt (sai số
lớn nhất chỉ là 0,27%, ở trường hợp p = 30), được thể hiện trong Bảng 3.
Bảng 3. Tần số dao động của vỏ trụ tròn FGM không gân
Số
mode
Tần số dao động riêng (Hz)
p = 0 p = 1 p = 30
m n [12]
Tác
giả
Sai số
%
[12]
Tác
giả
Sai số
%
[12]
Tác
giả
Sai số
%
1
1 13,572 13,548 0,17 13,235 13,212 0,17 12,937 12,915 0,17
2 33,296 33,268 0,08 32,430 32,402 0,08 31,730 31,645 0,27
3 93,001 92,985 0,02 90,553 90,538 0,02 88,614 88,438 0,20
4 178,06 178,04 0,01 173,36 173,35 0,01 169,66 169,33 0,19
5 287,79 287,77 0,01 280,20 280,18 0,01 274,21 273,69 0,19
Từ các kết quả kiểm chứng ở trên, ta có thể thấy rằng sai lệch tương đối bé khi so sánh với các tác
giả khác [10, 12]. Như vậy, chương trình tính toán là đáng tin cậy.
4.2. Khảo sát ản ... ản của vỏ trụ tròn 
Hình 3. Biến thiên tần số dao động riêng 
của vỏ theo số sóng phương vòng n 
Các khảo sát về tần số đều được thực hiện cho vỏ trụ tròn có các thông số vật liệu 
và kích thước vỏ như mô hình M6, Bảng 1. Hình 2 thể hiện sự thay đổi của tần số dao 
động cơ bản của vỏ trụ tròn theo tỷ số chiều cao gân/ bể rộng gân 
s( r ) s( r )h / b , vỏ làm 
bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ số thể tích 0 3p , p= = và 20p = ; kích thước 
vỏ là 0 002 100 5h , m, R / h , L / R= = = , các số liệu khác như trong Bảng 1, mô hình 
M6. Trên hình cũng thể hiện kết quả cho hai trường hợp là vỏ không gân và vỏ trụ tròn 
có 5 gân vòng/ 5 gân dọc trực giao. Từ kết quả Hình 2, ta thấy ở trường hợp vỏ không 
có gân gia cường, khi chỉ số thể tích 0p = thì vỏ có tần số lớn nhất. Trong khi đó, ở 
trường hợp vỏ có gân gia cường, khi tăng tỷ số chiều cao gân ta thấy có sự biến động về 
tần số cơ bản, tần số không còn lớn nhất khi 0p = . 
Hình 3 thể hiện sự thay đổi của tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn có gân gia 
cường theo số sóng phương vòng n , vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ 
số thể tích 0 3p , p= = và 20p = . Từ kết quả Hình 3, ta thấy ở trường hợp này, đa 
phần là tần số dao động của vỏ có gâ hơn sẽ cao hơn tần số của vỏ không gân gia 
cường, tuy nhiên không phải là trên toà bộ miền k ảo sát. 
a) 0 10s rn n ;= = 
b) 5 15s rn n ;= = 
Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ số L / R đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn 
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
250
300
350
400
h
s(r)
/b
s(r)
f c
b
 (
H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
1 2 3 4 5 6 7 8
0
500
1000
1500
2000
2500
n
f 
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
2 3 4 5 6 7 8
0
100
200
300
400
500
600
700
800
L/R
f c
b
 (
H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
2 3 4 5 6 7 8
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
L/R
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
p=0,n
s
=n
r
=15
p=3,n
s
=n
r
=15
p=20,n
s
=n
r
=15
(a) ns = r = 0; 10
Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE 2018. 13(5):1-16 
8 
Hình 2. Ảnh hưởng của tỷ số 
s( r ) s( r )h / b 
đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn 
Hình 3. Biến thiên tần số dao động riêng 
của vỏ theo số sóng phương vòng 
Các khảo sát về tần số đều ược thực iện cho vỏ trụ tròn có các thông số vật liệu 
và kích thước vỏ như mô hình M6, Bảng 1. Hình 2 thể hiện sự thay đổi của tần số dao 
động cơ bản của vỏ trụ tròn theo tỷ số chiều cao gân/ bể rộng gân 
s( r ) s( r )h / b , vỏ làm 
bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ số thể tích 0 3p , p= = và 20p = ; kích thước 
vỏ là 0 002 100 5h , m, R / h , L / R= = = , các số liệu khác như trong Bảng 1, mô hình 
M6. Trên hình cũng thể hiện kết quả cho hai trường hợp là vỏ không gân và vỏ trụ tròn 
có 5 gân vò g/ 5 ân dọc trự giao. Từ kết quả Hình 2, ta thấy ở trường hợp vỏ không 
có gân ia cường, khi chỉ số thể tích 0p = thì vỏ có tần số lớn nhất. Trong khi đó, ở 
trường hợp vỏ có gân ia cường, khi tăng tỷ số chiều cao gân ta thấy có sự biến động về 
tần số cơ bản, tầ số không còn lớn nhất khi 0p = . 
Hình 3 t ể hiện sự thay đổi của tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn có gân gia
cường theo số sóng phương vòng n , vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ
số thể tích 0 3p , p= = và 20p = . Từ kết quả Hình 3, ta thấy ở trường hợp này, đa 
phần là tần số dao động củ vỏ có gân hơn sẽ cao hơn tầ số của vỏ không gân gia
cường, tuy hiê không phải là trên oàn bộ miền khảo sát.
a) 0 10s rn n ;= 
b) 5 15s rn n ;= = 
Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ số L / R đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn 
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
250
300
350
400
h
s(r)
/b
s(r)
f c
b
 (
H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
1 2 3 4 5 6 7 8
0
500
1000
1500
2000
2500
n
f 
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
2 3 4 5 6 7 8
0
100
200
300
400
500
600
700
800
L/R
f c
b
 (
H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
2 3 4 5 6 7 8
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
L/R
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
p=0,n
s
=n
r
=15
p=3,n
s
=n
r
=15
p=20,n
s
=n
r
=15
(b) ns = nr = 5; 15
Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ số L/R đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn
Hình 4 thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân gia cường theo
tỷ số chiều dài/bán kính của vỏ L/R, vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ số thể tích
p = 0, p = 3 và p = 20; có kích thước vỏ h = 0, 002 m, R/h = 100, các số liệu khác như trong Bảng
1, mô hình M6. Trên Hình 4 cũng thể hiện kết quả cho trường hợp không gân gia cường và các trường
hợp vỏ có gân gia cường trực giao.
Hình 5 thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân gia cường trực giao
theo tỷ số bán kính/chiều dầy của vỏ R/h, vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên với chỉ số thể tích
p = 0, p = 3 và p = 20; có kích thước vỏ h = 0, 002 m, L/R = 5.
Từ kết quả Hình 4(a) và 5(a) cho thấy, mô hình M6, vỏ trụ tròn không gân, thì tần số dao động cơ
26
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE 2018. 13(5):1-16 
9 
Hình 4a-b thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân 
gia cường theo tỷ số chiều dài/bán kính của vỏ L / R , vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính 
biên thiên với chỉ số thể tích 0 3p , p= = và 20p = ; có kích thước vỏ 
0 002 100h , m, R / h= = , các số liệu khác như trong Bảng 1, mô hình M6. Trên Hình 
4a-b cũng thể hiện kết quả cho trường hợp không gân gia cường và các trường hợp vỏ 
có gân gia cường trực giao. 
a) 0 10s rn n ;= = 
b) 5 15s rn n ;= = 
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ số R / h đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn 
Hình 5a-b thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân 
gia cường trực giao theo tỷ số bán kính/chiều dầy của vỏ R / h , vỏ làm bằng vật liệu có 
cơ tính biên thiên với chỉ số thể tích 0 3p , p= = và 20p = ; có kích thước vỏ 
0 002 5h , m, L / R= = . 
Từ kết quả Hình 4a-5a cho thấy, mô hình M6, vỏ trụ tròn không gân, thì tần số 
dao động cơ bản của trường hợp 0p = là lớn nhất, chỉ số thể tích lớn hơn thì có tần số 
bé hơn, điều này ổn định trên miền khảo sát. Tuy nhiên ở Hình 4a-5a và Hình 4b-5b, 
cũng cho thấy rằng khi khảo sát theo tỷ số L / R ( R / h ) thì ở trường hợp có gân gia 
cường kết quả tần số cơ bản của vỏ trụ tròn có nhiều biến động, không ổn định. 
5. Kết luận 
Bài báo đã xây dựng lời giải giải tích để tính toán tần số dao động riêng của vỏ trụ 
tròn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên FGM có gân gia cường. Qua các khảo sát ở 
trên, ta có thể thấy: 
+ Ảnh hưởng của kích thước vỏ trụ tròn và gân gia cường mạnh hơn ảnh hưởng 
chỉ số thể tích vật liệu đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn; 
+ Tần số dao động cơ bản của vỏ FGM có gân gia cường thường không ổn định so 
với vỏ trụ tròn FGM không gân. Do đó, việc tăng số lượng gân, chiều cao gân không 
phải lúc nào cũng đạt được sự hiệu quả trong việc tăng tần số, độ cứng của vỏ trụ tròn. 
100 120 140 160 180 200 220
0
50
100
150
200
250
300
R/h
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
100 120 140 160 180 200 220
0
50
100
150
200
250
300
350
R/h
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
p=0,n
s
=n
r
=15
p=3,n
s
=n
r
=15
p=20,n
s
=n
r
=15
(a) ns = nr = 0; 10
Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE 2018. 13(5):1-16 
9 
Hình 4a-b thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân 
gia cường theo tỷ số chiều dài/bán kính của vỏ L / R , vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính 
biên thiên với chỉ số thể tích 0 3p , p= = và 20p = ; có kích thước vỏ 
0 002 100h , m, R / h= = , các số liệu khác như trong Bảng 1, mô hình M6. Trên Hì h 
4a-b cũng thể hiện kết quả cho trường hợp không gân ia cường và các trường hợp vỏ 
có gân ia cường trực giao. 
a) 0 10s rn ;= 
b) 5 15s rn ;= 
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ số R / h đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn
Hình 5a-b thể hiện sự thay đổi của tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn có gân 
gia cường trực giao theo tỷ số bán kính/chiều dầy của vỏ R / h , vỏ làm bằng vật liệu có 
cơ tính biên thiên với chỉ số thể ích 0 3p , p= = và 20p = ; có kích thước vỏ 
0 002 5h , m, L / R= = . 
Từ kết quả Hình 4a-5a cho thấy, mô hình M6, vỏ trụ tròn không gân, thì tần số 
dao động cơ bản của trường hợp 0p = là lớn nhất, chỉ số thể tích lớn hơ thì có tần số 
bé hơn, điều này ổn đị h trên miền khảo sát. Tuy nhiê ở Hình 4a-5a và Hình 4b-5b, 
cũng cho t ấy rằng khi khảo sát theo tỷ số L / R ( / h ) thì ở trường hợp có gân ia 
cường kết quả tần số cơ bản của vỏ trụ tròn có hiều biến độ g, không ổ định. 
5. Kết luận 
Bài báo đã xây dựng lời giải i i tích để tính toán tần số dao động riêng của vỏ trụ 
tròn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên FGM có gân ia cường. Qua các khảo sát ở 
trên, ta có thể thấy: 
+ Ảnh hưởng của kích thước vỏ trụ tròn và gân ia cường mạnh hơn ảnh hưởng 
chỉ số thể tích vật liệu đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn; 
+ Tần số dao động cơ bản của vỏ FGM có gân gia cường thường không ổn định so 
với ỏ trụ tròn FGM không gân. Do đó, việc tăng số lượng gân, chiều cao gân không 
phải lúc nào cũng đạt được sự hiệu quả trong việc tăng tầ số, độ cứng của vỏ trụ tròn. 
100 120 140 160 180 200 220
0
50
100
150
200
250
300
R/h
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=0
p=3,n
s
=n
r
=0
p=20,n
s
=n
r
=0
p=0,n
s
=n
r
=10
p=3,n
s
=n
r
=10
p=20,n
s
=n
r
=10
100 120 140 160 180 2 0 220
0
50
100
150
200
250
300
350
R/h
f c
b
(H
z
)
p=0,n
s
=n
r
=5
p=3,n
s
=n
r
=5
p=20,n
s
=n
r
=5
p=0,n
s
=n
r
=15
p=3,n
s
=n
r
=15
p=20,n
s
=n
r
=15
(b) ns = nr = 5; 15
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến tần số dao động cơ bản của vỏ trụ tròn
bản của trường hợp p = 0 là lớn nhất, chỉ số thể ích lớn hơn thì có tần số bé hơn, điều này ổn định
trên miền khảo sát. Tuy nhiên ở Hình 4(a) và 5(a), Hình 4(b) và 5(b), cũng cho thấy rằng khi khảo sát
theo tỷ số L/R (R/h) thì ở trường hợp có gân gia cường kết quả tần số cơ bản của vỏ trụ tròn có nhiều
biến độ , không ổn địn .
5. Kết luận
Bài báo đã xây dựng lời giải giải tích để tính toán tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn làm bằng
vật liệu có cơ tính biến thiên FGM có gân gia cường. Qua các khảo sát ở trên, ta có thể thấy:
- Ảnh hưởng của kích thước vỏ trụ tròn và gân gia cường mạnh hơn ảnh hưởng chỉ số thể tích vật
liệu đến tần số dao ộng cơ bản của vỏ trụ tròn;
- Tần số dao động cơ bản của vỏ FGM có gân gia cường thường không ổn định so với vỏ trụ tròn
FGM không gân. Do đó, việc tăng số lượng gân, chiều cao gân không phải lúc nào cũng đạt được sự
hiệu quả trong việc tăng tần số, độ cứng của vỏ trụ tròn.
Tài liệu tham khảo
[1] Leissa, A. W. (1973). Vibration of shells. Scientific and Technical Information Office, National Aeronau-
tics and Space Administration Washington.
[2] Soedel, W. (2004). Vibrations of shells and plates. CRC Press.
[3] Arnold, R. N., Warburton, G. B. (1949). Flexural vibrations of the walls of thin cylindrical shells having
freely supported ends. Proc. R. Soc. Lond. A, 197(1049):238–256.
[4] Chung, H. (1981). Free vibration analysis of circular cylindrical shells. Journal of Sound and Vibration,
74(3):331–350.
[5] Soldatos, K. P., Hadjigeorgiou, V. P. (1990). Three-dimensional solution of the free vibration problem of
homogeneous isotropic cylindrical shells and panels. Journal of Sound and Vibration, 137(3):369–384.
[6] Loy, C. T., Lam, K. Y., Shu, C. (1997). Analysis of cylindrical shells using generalized differential
quadrature. Shock and Vibration, 4(3):193–198.
[7] Hoppmann, W. H. (1958). Some characteristics of the flexural vibrations of orthogonally stiffened cylin-
drical shells. The Journal of the Acoustical Society of America, 30(1):77–82.
[8] Egle, D. M., Sewall, J. L. (1968). An analysis of free vibration of orthogonally stiffened cylindrical shells
with stiffeners treated as discrete elements. AIAA Journal, 6(3):518–526.
27
Lợi, N. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
[9] Rinehart, S. A., Wang, J. T. S. (1972). Vibration of simply supported cylindrical shells with longitudinal
stiffeners. Journal of Sound and Vibration, 24(2):151–163.
[10] Mustafa, B. A. J., Ali, R. (1989). An energy method for free vibration analysis of stiffened circular
cylindrical shells. Computers & Structures, 32(2):355–363.
[11] Tú, T. M., Lợi, N. V. (2015). Phân tích dao động riêng của panel trụ và vỏ trụ tròn bằng phương pháp giải
tích. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, 9(3):31–36.
[12] Loy, C. T., Lam, K. Y., Reddy, J. N. (1999). Vibration of functionally graded cylindrical shells. Interna-
tional Journal of Mechanical Sciences, 41(3):309–324.
[13] Pradhan, S. C., Loy, C. T., Lam, K. Y., Reddy, J. N. (2000). Vibration characteristics of functionally
graded cylindrical shells under various boundary conditions. Applied Acoustics, 61(1):111–129.
[14] Sheng, G. G., Wang, X. (2007). Effects of thermal loading on the buckling and vibration of ring-stiffened
functionally graded shell. Journal of Thermal Stresses, 30(12):1249–1267.
[15] Naeem, M. N., Kanwal, S., Shah, A. G., Arshad, S. H., Mahmood, T. (2012). Vibration characteristics of
ring-stiffened functionally graded circular cylindrical shells. ISRN Mechanical Engineering, 2012:1–13.
[16] Tu, T. M., Loi, N. V. (2016). Vibration analysis of rotating functionally graded cylindrical shells with
orthogonal stiffeners. Latin American Journal of Solids and Structures, 13(15):2952–2969.
[17] Tu, T. M., Loi, N. V. (2017). Free vibration of rotating functionally graded material cylindrical shells with
orthogonal stiffeners. Design, Manufacturing and Applications of Composites, 212–219.
[18] Talebitooti, M., Daneshjou, K., Talebitooti, R. (2013). Vibration and critical speed of orthogonally stiff-
ened rotating FG cylindrical shell under thermo-mechanical loads using differential quadrature method.
Journal of Thermal Stresses, 36(2):160–188.
[19] Bich, D. H., Dung, D. V., Nam, V. H. (2012). Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiffened
functionally graded cylindrical panels. Composite Structures, 94(8):2465–2473.
[20] Najafizadeh, M. M., Hasani, A., Khazaeinejad, P. (2009). Mechanical stability of functionally graded
stiffened cylindrical shells. Applied Mathematical Modelling, 33(2):1151–1157.
28