Ổn định Holder của bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình đạo hàm riêng Elliptic nửa tuyến tính

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 59 
DOI:10.22144/ctu.jvn.2019.008 
ỔN ĐỊNH HÖLDER CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU BANG-BANG 
CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH 
Trương Gia Đại 
Lớp Cao học Toán Khóa 23, ngành Toán Giải tích, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ 
*Người chịu trách nhiệm về bài viết: Trương Gia Đại (email: tgiadai@gmail.com) 
Thông tin chung: 
Ngày nhận bài: 11/06/2018 
Ngày nhận bài sửa: 24/08/2018 
Ngày duyệt đăng: 27/02/2019 
Title: 
Hölder stability for bang-bang optimal 
control problems of semilinear elliptic 
partial differential equations 
Từ khóa: 
Điều khiển bang-bang, điều kiện tối ưu 
bậc hai, phương trình elliptic nửa tuyến 
tính, sự ổn định Hölder 
Keywords: 
Bang-bang control, hölder stability, 
second-order optimality condition, 
semilinear elliptic equation 
ABSTRACT 
This paper studies Hölder stability of a class of bang-bang 
optimal control problems governed by semilinear elliptic 
partial differential equations. A new second-order sufficient 
optimality condition for the class of bang-bang optimal 
control problems is establish. This sufficient optimality 
condition is used to prove some new results on Hölder stability 
of the class of control problems under consideration. 
TÓM TẮT 
Bài báo nghiên cứu sự ổn định Hölder của một lớp các bài 
toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi 
phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. Một điều kiện đủ 
tối ưu bậc hai mới cho lớp bài toán điều khiển tối ưu bang-
bang được thiết lập. Điều kiện đủ tối ưu này được sử dụng để 
chứng minh các kết quả mới về tính ổn định Hölder cho lớp 
bài toán điều khiển đang khảo sát. 
Trích dẫn: Trương Gia Đại, 2019. Ổn định Hölder của bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình 
đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 55(1A): 59-65. 
1 GIỚI THIỆU 
Hiện nay các bài toán điều khiển tối ưu bang-
bang cho các phương trình vi phân thường đã được 
nghiên cứu rộng rãi. Tuy nhiên, các kết quả liên 
quan đến bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho 
các phương trình vi phân đạo hàm riêng còn khá hạn 
chế. Một số kết quả đầu tiên trong hướng nghiên cứu 
này như: Casas (2012), Casaset al. (2017), Pörner 
and Wachsmuth (2016), Pörner and Wachsmuth 
(2017). Tiếp nối các kết quả nghiên cứu của Casas 
(2012), Casas et al. (2017), trong bài báo này nghiên 
cứu sự ổn định nghiệm của một lớp các bài toán điều 
khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân 
đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính được cho dưới 
dạng 
ቊ Min 𝐽ሺ𝑢ሻ ൌ ׬ 𝐿൫𝑥, 𝑦௨ሺ𝑥ሻ൯𝑑𝑥
ஐ 
thỏa đ. k. 𝛼ሺ𝑥ሻ ൑ 𝑢ሺ𝑥ሻ ൑ 𝛽ሺ𝑥ሻ với h. h. 𝑥 ∈ Ω,
(1.1) 
trong đó u là biến điều khiển và trạng thái 𝑦௨ là nghiệm của bài toán Dirichlet sau 
൜𝐴𝑦 ൅ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑢 trong Ω 𝑦 ൌ 0 trên Γ. (1.2) 
Trong trường hợp tổng quát các nghiệm địa 
phương 𝑢ത của bài toán (1.1) thường thỏa mãn tính 
chất bang-bang sau đây 
𝑢തሺ𝑥ሻ ∈ ሼ𝛼ሺ𝑥ሻ, 𝛽ሺ𝑥ሻሽ, với h. h. 𝑥 ∈ Ω, 
nên bài toán (1.1) còn được gọi là bài toán bang-
bang. 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 60 
Mục tiêu chính của bài báo này là khảo sát sự ổn 
định Hölder cho các nghiệm địa phương của bài toán 
điều khiển tối ưu bang-bang (1.1) dưới tác động của 
nhiễu. Để thu được các kết quả ổn định nghiệm cho 
bài toán (1.1), một điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho 
bài toán (1.1) đã được thiết lập, đồng thời cũng phát 
biểu lại một kết quả rằng bài toán điều khiển tối ưu 
nhiễu luôn có nghiệm toàn cục. Các kết quả này 
được sử dụng để chứng minh kết quả chính của bài 
báo về sự ổn định Hölder cho các nghiệm địa 
phương của bài toán (1.1). 
Phần còn lại của bài báo được bố cục như sau: 
Mục 2 phát biểu các giả thiết căn bản trong lý thuyết 
điều khiển tối ưu cần thiết cho bài báo này và nhắc 
lại một số kết quả đã biết về điều khiển tối ưu cho 
các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa 
tuyến tính; Mục 3 nhắc lại các điều kiện cần tối ưu 
bậc nhất và thiết lập mới một điều kiện đủ tối ưu bậc 
hai cho bài toán (1.1); Mục 4 tập trung vào kết quả 
chính của bài báo bao gồm các đánh giá Hölder cho 
các nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu so với 
nghiệm địa phương đang xét của bài toán (1.1); Kết 
luận và hướng phát triển được nêu trong Mục 5 của 
bài báo. 
2 CÁC GIẢ THIẾT CĂN BẢN VÀ KẾT 
QUẢ BỔ TRỢ 
Xét tập hợp Ω ⊂ ℝே với 𝑁 ∈ ሼ1,2,3ሽ và các hàm 
𝛼, 𝛽 ∈ 𝐿ஶሺΩሻ thỏa điều kiện 𝛼ሺ𝑥ሻ ൏ 𝛽ሺ𝑥ሻ với hầu 
hết (viết tắt là h.h.) 𝑥 ∈ Ω. Hơn nữa, các hàm 
𝐿, 𝑓: Ω ൈ ℝ → ℝ là các hàm Carathéodory thuộc lớp 
𝒞ଶ tương ứng với biến thứ hai và thỏa mãn các giả 
thiết dưới đây: 
(A1) 𝑓ሺ⋅ ,0ሻ ∈ 𝐿௣బሺΩሻ với 𝑝଴ ൐ 𝑁/2, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൒ 0 với h. h. 𝑥 ∈ Ω, 
và với mọi 𝑀 ൐ 0 tồn tại hằng số 𝐶௙,ெ ൐ 0 sao cho 
ฬ𝜕𝑓𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦ሻฬ ൅ ቤ
𝜕ଶ𝑓
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ሻቤ ൑ 𝐶௙,ெ với h. h. 𝑥
∈ Ω và |𝑦| ൑ 𝑀. 
Với mỗi 𝑀 ൐ 0 và 𝜀 ൐ 0 tồn tại 𝛿 ൐ 0 phụ thuộc 
vào M và 𝜀 sao cho 
ቤ𝜕
ଶ𝑓
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ଶሻ െ
𝜕ଶ𝑓
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ଵሻቤ ൏ 𝜀 nếu |𝑦ଵ|, |𝑦ଶ|
൑ 𝑀, |𝑦ଶ െ 𝑦ଵ|൑ 𝛿, và với h. h. 𝑥 ∈ Ω. 
 (A2) 𝐿ሺ∙ ,0ሻ ∈ 𝐿ଵሺΩሻ và với mọi 𝑀 ൐ 0 tồn tại 
hằng số 𝐶௅,ெ ൐ 0 và hàm 𝜓ெ ∈ 𝐿௣బሺΩሻ sao cho với 
mọi |𝑦| ൑ 𝑀 và với hầu hết 𝑥 ∈ Ω, 
ฬ𝜕𝐿𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦ሻฬ ൑ 𝜓ெሺ𝑥ሻ, ቤ
𝜕ଶ𝐿
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ሻቤ ൑ 𝐶௅,ெ. 
Với mỗi 𝑀 ൐ 0 và 𝜀 ൐ 0 tồn tại 𝛿 ൐ 0 phụ thuộc 
vào M và 𝜀 sao cho 
ቤ𝜕
ଶ𝐿
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ଶሻ െ
𝜕ଶ𝐿
𝜕𝑦ଶ ሺ𝑥, 𝑦ଵሻቤ ൏ 𝜀 nếu |𝑦ଵ|, |𝑦ଶ|
൑ 𝑀, |𝑦ଶ െ 𝑦ଵ|൑ 𝛿, và với h. h. 𝑥 ∈ Ω. 
 (A3) Tập Ω là một miền mở và bị chặn trong ℝே 
với biên Lipschitz Γ (xem định nghĩa biên Lipschitz 
trong Tröltzsch (2010)), và A là toán tử elliptic bậc 
hai dưới dạng 
𝐴𝑦ሺ𝑥ሻ ൌ െ ෍ 𝜕௫ೕ ቀ𝑎௜௝ሺ𝑥ሻ𝜕௫೔𝑦ሺ𝑥ሻቁ
ே
௜,௝ୀଵ
, 
trong đó các hàm hệ số 𝑎௜௝ ∈ 𝐶ሺΩഥሻ thỏa mãn 
điều kiện: tồn tại 𝜆஺ ൐ 0 sao cho 
𝜆஺|𝜉|ଶ ൑ ෍ 𝑎௜௝ሺ𝑥ሻ𝜉௜𝜉௝,
ே
௜,௝ୀଵ
 ∀𝜉 ∈ ℝே, với h. h. 𝑥
∈ Ω 
Tập các điều khiển chấp nhận được sẽ được ký 
hiệu bởi 
𝒰௔ௗ ≔ ሼ𝑢 ∈ 𝐿ஶሺΩሻ| 𝛼ሺ𝑥ሻ ൑ 𝑢ሺ𝑥ሻ൑ 𝛽ሺ𝑥ሻ với h. h. 𝑥 ∈ Ωሽ. 
Rõ ràng ta có 𝒰௔ௗ ് ∅. Cho 𝑝 ∈ ሾ1, ∞ሿ, ký hiệu 
𝐵തఌ௣ሺ𝑢തሻ ≔ ൛𝑣 ∈ 𝐿௣ሺΩሻ| ‖𝑣 െ 𝑢ത‖௅೛ሺஐሻ ൑ 𝜀ൟ là quả 
cầu đóng trong không gian 𝐿௣ሺΩሻ có tâm tại 𝑢ത ∈
𝐿௣ሺΩሻ và bán kính 𝜀 ൐ 0. Một điều khiển 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ được gọi là nghiệm toàn cục của bài toán (1.1) nếu 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൑ 𝐽ሺ𝑢ሻ, ∀𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ . 
Điều khiển 𝑢ത được gọi là nghiệm địa phương của 
bài toán (1.1) theo nghĩa 𝐿௉ሺΩሻ nếu tồn tại một quả 
cầu đóng 𝐵തఌ௣ሺ𝑢തሻ sao cho 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൑ 𝐽ሺ𝑢ሻ, ∀𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ ∩ 𝐵തఌ௣ሺ𝑢തሻ. 
Nghiệm địa phương 𝑢ത được gọi là chặt nếu 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൏ 𝐽ሺ𝑢ሻ với mọi 𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ ∩ 𝐵തఌ௣ሺ𝑢തሻ và 𝑢 ് 𝑢ത. 
Dưới các giả thiết (A1)-(A3), bài toán (1.1) có ít 
nhất một nghiệm toàn cục. Kết quả này là một 
trường hợp riêng của Casas et al. (2008) (Theorem 
2.2). 
Các kết quả trình bày dưới đây liên quan đến 
phương trình (1.2) được tham khảo trong Tröltzsch 
(2010) (Chapter 4). Với mỗi 𝑢 ∈ 𝐿௣ሺΩሻ và 𝑝 ൐
𝑁/2, phương trình (1.2) có duy nhất một nghiệm 
yếu 𝑦௨ ∈ 𝐻଴ଵሺΩሻ ∩ 𝐶ሺΩഥሻ. Thêm vào đó, tồn tại hằng số 𝑀ఈ,ఉ sao cho 
‖𝑦௨‖ுబభሺஐሻ ൅ ‖𝑦௨‖஼ሺஐഥሻ ൑ 𝑀ఈ,ఉ, ∀𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ. (2.1) 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 61 
Hàm điều khiển-trạng thái 𝐺: 𝐿ଶሺΩሻ → 𝐻଴ଵሺΩሻ ∩CሺΩഥሻ xác định bởi 𝐺ሺ𝑢ሻ ൌ 𝑦௨ thuộc lớp 𝒞ଶ. 
Hơn nữa, với mỗi 𝑣 ∈ 𝐿ଶሺΩሻ, 𝑧௨,௩ ൌ 𝐺ᇱሺ𝑢ሻ𝑣 là 
nghiệm yếu duy nhất của phương trình 
ቊ𝐴𝑧 ൅
డ௙
డ௬ ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑧 ൌ 𝑣 trong Ω
 𝑧 ൌ 0 trên Γ,
 (2.2) 
và với bất kỳ 𝑣ଵ, 𝑣ଶ ∈ 𝐿ଶሺΩሻ, 𝑤௩భ,௩మ ൌ𝐺ᇱᇱሺ𝑢ሻሺ𝑣ଵ, 𝑣ଶሻ là nghiệm yếu duy nhất của phương trình 
൝𝐴𝑤 ൅
డ௙
డ௬ ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑤 ൅
డమ௙
డ௬మ ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑧௨,௩భ𝑧௨,௩మ ൌ 0 trong Ω
 𝑤 ൌ 0 trên Γ,
 (2.3) 
trong đó 𝑦 ൌ 𝐺ሺ𝑢ሻ và 𝑧௨,௩೔ ൌ 𝐺ᇱሺ𝑢ሻ𝑣௜ với 𝑖 ൌ1,2. 
Với giả thiết (A2), hàm mục tiêu 𝐽: 𝐿ஶሺΩሻ → ℝ 
thuộc lớp 𝒞ଶ, và các đạo hàm bậc nhất và bậc hai 
của 𝐽ሺ∙ሻ được tính bởi các công thức 
𝐽ᇱሺ𝑢ሻ𝑣 ൌ ׬ 𝜑௨ሺ𝑥ሻ𝑣ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥, ஐ (2.4) 
và 
𝐽ᇱᇱሺ𝑢ሻሺ𝑣ଵ, 𝑣ଶሻ ൌ ׬ ቆడ
మ௅
డ௬మ ൫𝑥, 𝑦௨ሺ𝑥ሻ൯ െ
ஐ
𝜑௨ሺ𝑥ሻ డ
మ௙
డ௬మ ൫𝑥, 𝑦௨ሺ𝑥ሻ൯ቇ 𝑧௨,௩భሺ𝑥ሻ𝑧௨,௩మሺ𝑥ሻ𝑑𝑥, (2.5) 
trong đó 𝑧௨,௩೔ ൌ 𝐺ᇱሺ𝑢ሻ𝑣௜ với 𝑖 ൌ 1,2, và trạng thái liên hợp 𝜑௨ ∈ 𝐻଴ଵሺΩሻ ∩ CሺΩഥሻ của trạng thái 𝑦௨ là nghiệm yếu duy nhất của phương trình 
ቐ𝐴∗𝜑 ൅
𝜕𝑓
𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦௨ሻ𝜑 ൌ
𝜕𝐿
𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦௨ሻ trong Ω
 𝜑 ൌ 0 trên Γ,
trong đó 𝐴∗ là toán tử liên hợp của toán tử A. 
3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN 
ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG 
Trong mục này, một điều kiện đủ tối ưu bậc hai 
được thiết lập cho điều khiển bang-bang 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ theo đạo hàm bậc hai của hàm mục tiêu 𝐽ሺ∙ሻ. Ký hiệu 
𝑌 ≔ 𝐻଴ଵሺΩሻ ∩ 𝐶ሺΩഥሻ là không gian trạng thái với chuẩn ‖∙‖௒ tương ứng được định nghĩa bởi 
‖𝑦‖௒ ≔ ‖𝑦‖ுబభሺஐሻ ൅ ‖𝑦‖௅ಮሺஐሻ. 
Nếu 𝑢ത là một nghiệm địa phương của bài toán 
(1.1) theo nghĩa 𝐿௣ሺΩሻ, thì tồn tại một trạng thái 
𝑦௨ഥ ∈ Y và một trạng thái liên hợp 𝜑௨ഥ ∈ 𝑌 thỏa mãn các điều kiện cần tối ưu bậc nhất 
൜𝐴𝑦௨ഥ ൅ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦௨ഥሻ ൌ 𝑢ത trong Ω 𝑦௨ഥ ൌ 0 trên Γ, (3.1)
൝𝐴
∗𝜑௨ഥ ൅ డ௙డ௬ ሺ𝑥, 𝑦௨ഥሻ𝜑௨ഥ ൌ
డ௅
డ௬ ሺ𝑥, 𝑦௨ഥሻ trong Ω
 𝜑௨ഥ ൌ 0 trên Γ,
 (3.2) 
׬ 𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ൫𝑢ሺ𝑥ሻ െ 𝑢തሺ𝑥ሻ൯𝑑𝑥 ൒ 0, ∀𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ. ஐ (3.3) 
Sự kiện này được chứng minh trong Tröltzsch 
(2010) (Chapter 4). Hệ thống các điều kiện (3.1)-
(3.3) được gọi là hệ thống tối ưu bậc nhất của bài 
toán điều khiển (1.1). 
Cho 𝑝 ∈ ሾ1, ∞ሿ và 𝑢ത là nghiệm địa phương của 
bài toán (1.1) theo nghĩa 𝐿௣ሺΩሻ. Từ (3.3), ta suy ra 
𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ ൜𝛼ሺ𝑥ሻ, nếu 𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ ൐ 0𝛽ሺ𝑥ሻ, nếu 𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ ൏ 0 (3.4) 
và 
𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ ൌ ቐ
൒ 0, nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛼ሺ𝑥ሻ 
൑ 0, nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛽ሺ𝑥ሻ 
ൌ 0, nếu 𝛼ሺ𝑥ሻ ൏ 𝑢തሺ𝑥ሻ ൏ 𝛽ሺ𝑥ሻ.
(3.5) 
Xét trường hợp tập ሼ𝑥 ∈ Ω|𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ ൌ 0ሽ có độ đo Lebesgue bằng không. Khi đó, do (3.4) và (3.5) ta 
có 
𝑢തሺ𝑥ሻ ∈ ሼ𝛼ሺ𝑥ሻ, 𝛽ሺ𝑥ሻሽ, với h. h. 𝑥 ∈ Ω. (3.6) 
Điều khiển 𝑢ത thỏa tính chất (3.6) được gọi là điều 
khiển bang-bang. 
Ta biết rằng, chẳng hạn xem Bonnans and 
Shapiro, 2000 (Section 6.3), nón các hướng dừng 
liên kết với một điều khiển 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ được định nghĩa bởi 
𝐶௨ഥ ൌ ቐ𝑣 ∈ 𝐿ଶሺΩሻቮ𝑣ሺ𝑥ሻ ቐ
൒ 0 nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛼ሺ𝑥ሻ
൑ 0 nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛽ሺ𝑥ሻ
ൌ 0 nếu φ௨ഥሺ𝑥ሻ ് 0 
ቑ 
(3.7) 
và điều kiện cần bậc hai thường được viết dưới dạng 
𝐽ᇱᇱሺ𝑢തሻ𝑣ଶ ൒ 0, ∀𝑣 ∈ 𝐶௨ഥ, (3.8) 
Tuy nhiên, theo (3.4) và (3.7), nếu 𝑢ത là điều 
khiển bang-bang thì 𝐶௨ഥ ൌ ሼ0ሽ. Điều này cho thấy điều kiện (3.8) là tầm thường. Vì vậy, cần phải mở 
rộng điều kiện (3.8) để thu được những thông tin 
không tầm thường. Theo Casas (2012), nón 𝐶௨ഥ được mở rộng như sau: với 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ và 𝜏 ൒ 0, ta định nghĩa 
𝐶௨ഥఛ
ൌ ቐ𝑣 ∈ 𝐿ଶሺΩሻቮ𝑣ሺ𝑥ሻ ቐ
൒ 0 nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛼ሺ𝑥ሻ
൑ 0 nếu 𝑢തሺ𝑥ሻ ൌ 𝛽ሺ𝑥ሻ
ൌ 0 nếu |φ௨ഥሺ𝑥ሻ| ൐ 𝜏 
ቑ, 
(3.9) 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 62 
Ta thấy rằng 𝐶௨ഥ ⊆ 𝐶௨ഥఛ và 𝐶௨ഥ଴ ൌ 𝐶௨ഥ, hơn nữa ta có 𝐶௨ഥ ⊂ஷ 𝐶௨ഥఛ trong trường hợp tổng quát. 
Để khảo sát một điều khiển bang-bang 𝑢ത của bài 
toán (1.1) thì phải quan tâm đến trường hợp tập 
ሼ𝑥 ∈ Ω|𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ ൌ 0ሽ có độ đo Lebesgue bằng không. Khi đó, theo Casas et al. (2017), xét giả thiết đặt lên 
trạng thái liên hợp 𝜑௨ഥ sau đây: 
(A4) Giả sử 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ thỏa hệ thống tối ưu bật nhất (3.1)-(3.3) và điều kiện dưới đây 
∃𝐾 ൐ 0 sao cho ⟦ሼ𝑥 ∈ Ω: |𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ| ൑ 𝜀ሽ⟧ ൑𝐾𝜀, ∀𝜀 ൐ 0, (3.10) 
trong đó ⟦∙⟧ ký hiệu độ đo Lebesgue. 
Mệnh đề 3.1. (Casas et al., 2017, Proposition 
2.7) Giả sử 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại 𝜅 ൐ 0 sao cho 
𝐽ᇱሺ𝑢തሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻ ൒ 𝜅‖𝑢 െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ , ∀𝑢 ∈ 𝒰௔ௗ. (3.11) 
Định lý 3.1. Giả sử 𝑢ത ∈ 𝒰௔ௗ thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A4) và tồn tại các hằng số 𝛿 ൐ 0 và 𝜏 ൐
0 sao cho 
𝐽ᇱᇱሺ𝑢തሻ𝑣ଶ ൒ 𝛿‖𝑧௩‖௅మሺஐሻଶ , ∀𝑣 ∈ 𝐶௨ഥఛ, (3.12) 
trong đó 𝑧௩ ൌ 𝐺ᇱሺ𝑢തሻ𝑣 là nghiệm yếu của phương trình (2.2) với 𝑦 ൌ 𝑦௨ഥ. Khi đó, tồn tại 𝜀 ൐ 0 sao cho 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൅ ఑ଶ ‖𝑢 െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൅
ఋ
଼ ‖𝑧௨ି௨ഥ‖௅మሺஐሻଶ ൑𝐽ሺ𝑢ሻ, ∀𝑢 ∈ 𝐵തఌଶሺ𝑢തሻ ∩ 𝒰௔ௗ, (3.13) 
với 𝑧௨ି௨ഥ ൌ 𝐺ᇱሺ𝑢തሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻ và 𝜅 được cho trong Mệnh đề 3.1. 
Chứng minh. Nhận thấy rằng giả thiết (A4) của 
định lý trùng với giả thiết (A4.ae) trong trường hợp 
ae=1 của Qui and Wachsmuth (2017). Bằng cách sử 
dụng giả thiết (A4.ae) với ae=1 và áp dụng Qui and 
Wachsmuth (2017) (Theorem 3.1) ta thu được kết 
quả của định lý.  
 Chú ý rằng có thể sử dụng giả thiết (A4) để 
chứng minh trực tiếp Định lý 3.1 theo lược đồ chứng 
minh dưới đây. 
Lược đồ chứng minh trực tiếp Định lý 3.1 với 
giả thiết (A4). Với 𝑢 ∈ 𝐵തఌଶሺ𝑢തሻ ∩ 𝒰௔ௗ, ta định nghĩa điều khiển 
𝑣ሺ𝑥ሻ ൌ ൜𝑢ሺ𝑥ሻ െ 𝑢തሺ𝑥ሻ, nếu |𝜑௨ഥሺ𝑥ሻ| ൑ τ0, nếu ngược lại, 
và điều khiển 𝑤 ൌ ሺ𝑢 െ 𝑢തሻ െ 𝑣. 
Dễ dàng kiểm chứng được rằng 𝑣 ∈ 𝐶௨ഥఛ. Khai triển Taylor bậc hai hàm mục tiêu 𝐽ሺ∙ሻ tại 𝑢ത ta thu 
được 𝐽ሺ𝑢ሻ ൌ 𝐽ሺ𝑢തሻ ൅ 𝐽ᇱሺ𝑢തሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻ ൅ ଵଶ 𝐽ᇱᇱሺ𝑢ොሻሺ𝑢 െ𝑢തሻଶ với 𝑢ො ൌ 𝑢ത ൅ 𝜃ሺ𝑢 െ 𝑢തሻ và 𝜃 ∈ ሺ0,1ሻ. Từ (3.4) 
và 𝑢 െ 𝑢ത ൌ 𝑣 ൅ 𝑤 ta suy ra 𝐽ሺ𝑢ሻ ൌ 𝐽ሺ𝑢തሻ ൅
ଵ
ଶ 𝐽ᇱሺ𝑢തሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻ ൅
ଵ
ଶ ׬ |𝜑௨ഥ||𝑢 െ 𝑢ത|𝑑𝑥 ൅
ஐଵ
ଶ 𝐽ᇱᇱሺ𝑢ොሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻଶ. (3.14) 
Theo Mệnh đề 3.1, ta có 
ଵ
ଶ 𝐽ᇱሺ𝑢തሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻ ൒
ଵ
ଶ 𝜅‖𝑢 െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ . (3.15) 
Thêm vào đó, lập luận tương tự như trong chứng 
minh của Casas (2012) (Theorem 2.4) ta cũng thu 
được 
ଵ
ଶ ׬ |𝜑௨ഥ||𝑢 െ 𝑢ത|𝑑𝑥
ஐ ൅ ଵଶ 𝐽ᇱᇱሺ𝑢ොሻሺ𝑢 െ 𝑢തሻଶ ൒ఋ
଼ ‖𝑧௨ି௨ഥ‖௅మሺஐሻ. (3.16) 
Sử dụng (3.14), (3.15) và (3.16) ta thu được 
(3.13).  
 Để minh họa cho ý nghĩa các kết quả về điều 
kiện đủ tối ưu bậc hai thu được trong mục này độc 
giả có thể tìm đọc (Casas, 2012, Example 2.1) với 
những phân tích rất sâu sắc về ví dụ này. 
4 ỔN ĐỊNH HÖLDER CHO BÀI TOÁN 
ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG 
Trong mục này sẽ khảo sát sự ổn định Hölder 
cho lớp bài toán điều khiển tối ưu dưới tác động của 
nhiễu. Bài toán nhiễu được cho dưới dạng 
൝Min 𝒥ሺ𝑢, 𝑒ሻ ൌ 𝐽൫𝑢 ൅ 𝑒௬൯ ൅ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ
thỏa đ. k. u ∈ 𝒰௔ௗሺ𝜀ሻ, 
(4.1) 
trong đó 
𝒰௔ௗሺ𝜀ሻ ൌ 𝒰௔ௗ ∩ 𝐵തఌଶሺ𝑢തሻ, 
và hàm 𝐽ሺ∙ሻ được cho trong (1.1), tức là 
𝒥ሺ𝑢, 𝑒ሻ ൌ න 𝐿 ቀ𝑥, 𝑦௨ା௘೤ሺ𝑥ሻቁ 𝑑𝑥
ஐ
൅ න 𝑒௃ሺ𝑥ሻ𝑦௨ା௘೤ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥
ஐ
, 
với 𝑦௨ା௘೤ ൌ 𝐺൫𝑢 ൅ 𝑒௬൯ là nghiệm yếu của bài toán 
Dirichlet nhiễu sau đây 
൜𝐴𝑦 ൅ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑢 ൅ 𝑒௬ trong Ω 𝑦 ൌ 0 trên Γ, (4.2) 
và 𝑒௃ ∈ 𝐿ଶሺΩሻ, 𝑒௬ ∈ 𝐿ଶሺΩሻ là các tham số. 
Ký hiệu 𝐸 ≔ 𝐿ଶሺΩሻ ൈ 𝐿ଶሺΩሻ là không gian tham 
số với chuẩn tương ứng là 
‖𝑒‖ா ൌ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ, ∀𝑒 ൌ
൫𝑒௃, 𝑒௬൯ ∈ 𝐸. (4.3) 
Định lý 4.1. (Qui và Wachsmuth, 2017, 
Theorem 4.1) Giả sử (A1)-(A3) được thỏa mãn và 𝑢ത 
là một nghiệm địa phương của bài toán (1.1) ứng với 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 63 
𝜀 ൐ 0. Khi đó, bài toán nhiễu (4.1) có ít nhất một 
nghiệm toàn cục 𝑢ത௘ ứng với trạng thái nhiễu tối ưu 
𝑦௨ഥ೐ା௘೤ ∈ 𝐻ଵሺΩሻ ∩ 𝐶ሺΩഥሻ với mọi 𝑒 ∈ 𝐸. 
Định lý sau đây phát biểu một tiêu chuẩn về sự 
ổn định Hölder cho bài toán nhiễu (4.1) trong 𝐿ଵሺΩሻ. 
Đây là kết quả chính của bài báo này. 
Định lý 4.2. Giả sử (A1)-(A4) được thỏa mãn và 
𝑢ത là một nghiệm địa phương của bài toán (1.1) tương 
ứng với 𝜀 ൐ 0 thỏa điều kiện (3.12). Khi đó, tồn tại 
hằng số 𝜚 ൐ 0 sao cho 
‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ ൑ 𝜚‖𝑒‖ா
భ
మ , (4.4) 
trong đó 𝑢ത௘ là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒 ∈ 𝐸 đủ bé. 
Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.1 cho 𝑢ത௘ ∈𝒰௔ௗሺ𝜀ሻ, ta thu được 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൅ ఑ଶ ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൅ఋ
଼ ฮ𝑧௨ഥ೐ି௨ഥฮ௅మሺஐሻ
ଶ (4.5) 
൑ 𝐽ሺ𝑢ത௘ሻ ൌ 𝐽ሺ𝑢ത௘ሻ െ 𝐽൫𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬൯ ൅ 𝐽൫𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬൯ 
ൌ 𝐽ሺ𝑢ത௘ሻ െ 𝐽൫𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬൯ ൅ 𝒥ሺ𝑢ത௘, 𝑒ሻ
െ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ. 
Không giảm tính tổng quát ta giả sử rằng tồn tại 
𝑙ଵ ൐ 0 sao cho supక∈ሾ଴,ଵሿฮ𝐽ᇱ൫𝑢ത௘ ൅ 𝜉𝑒௬൯ฮ ൑ 𝑙ଵ với 
mọi 𝑒 ∈ 𝐸 đủ bé. Theo định lý giá trị trung bình ta 
suy ra đánh giá sau đây 
𝐽ሺ𝑢ത௘ሻ െ 𝐽൫𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬൯ ൑ supక∈ሾ଴,ଵሿฮ𝐽
ᇱ൫𝑢ത௘ ൅ 𝜉𝑒௬൯ฮ ∙
ฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൑ 𝑙ଵฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ. (4.6) 
Thêm vào đó, vì 𝑢ത௘ là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒, nên ta có 
𝒥ሺ𝑢ത௘, 𝑒ሻ ൑ 𝒥ሺ𝑢ത, 𝑒ሻ. Điều này kéo theo 𝒥ሺ𝑢ത௘, 𝑒ሻ െ
ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ ൑ 𝒥ሺ𝑢ത, 𝑒ሻ െ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ 
ൌ 𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ ൅ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥା௘೤ቁ௅మሺஐሻ െ
ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ (4.7) 
ൌ 𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ ൅ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥା௘೤ െ 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ 
൑ 𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ ቛ𝑦௨ഥା௘೤ െ 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቛ௅మሺஐሻ. 
Vì 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ ൌ 𝐺ሺ𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬ሻ và 𝑦௨ഥା௘೤ ൌ 𝐺ሺ𝑢ത ൅ 𝑒௬ሻ 
là các nghiệm yếu của các phương trình (4.1) ứng 
với các vế phải 𝑢ത௘ ൅ 𝑒௬ và 𝑢ത ൅ 𝑒௬, nên tồn tại một 
hàm đo được 𝜃: Ω → ሾ0,1ሿ sao cho 
ቐ𝐴 ቀ𝑦௨ഥ೐ା௘೤ െ 𝑦௨ഥା௘೤ቁ ൅
𝜕𝑓
𝜕𝑦 ሺ𝑥, 𝑦ఏሻ ቀ𝑦௨ഥ೐ା௘೤ െ 𝑦௨ഥା௘೤ቁ ൌ 𝑢ത௘ െ 𝑢ത trong Ω
 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ െ 𝑦௨ഥା௘೤ ൌ 0 trên Γ,
trong đó 𝑦ఏ ൌ 𝑦௨ഥା௘೤ ൅ 𝜃 ቀ𝑦௨ഥ೐ା௘೤ െ 𝑦௨ഥା௘೤ቁ. Từ 
(A1) và (2.1) ta có 0 ൑ 𝜕𝑓/𝜕𝑦ሺ∙, 𝑦ఏሻ ∈ 𝐿ஶሺΩሻ. Điều này kết hợp với các kỹ thuật trong (Meyer et al., 
2011, Theorem 2.12] ta suy ra sự tồn tại hằng số 
𝐷ఈ,ఉ sao cho 
ቛ𝑦௨ഥ೐ା௘೤ െ 𝑦௨ഥା௘೤ቛ௅మሺஐሻ ൑ 𝐷ఈ,ఉ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ. 
Từ đánh giá này và (4.7) ta nhận được 
𝒥ሺ𝑢ത௘, 𝑒ሻ െ ቀ𝑒௃, 𝑦௨ഥ೐ା௘೤ቁ௅మሺஐሻ ൑ 𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ ൅
ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ. (4.8) 
Từ (4.5), (4.6) và (4.8) ta suy ra 
𝐽ሺ𝑢തሻ ൅ 𝜅2 ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ
ଶ ൅ 𝛿8 ฮ𝑧௨ഥ೐ି௨ഥฮ௅మሺஐሻ
ଶ 
൑ 𝑙ଵฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ 𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ ൅
ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ. (4.9) 
Sử dụng định lý giá trị trung bình một lần nữa ta 
suy ra các đánh giá sau 
𝐽൫𝑢ത ൅ 𝑒௬൯ െ 𝐽ሺ𝑢തሻ ൑ sup఍∈ሾ଴,ଵሿฮ𝐽
ᇱ൫𝑢ത ൅ 𝜁𝑒௬൯ฮ ∙
ฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൑ 𝑙ଶฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ, (4.10) 
trong đó sup
఍∈ሾ଴,ଵሿ
ฮ𝐽ᇱ൫𝑢ത ൅ 𝜁𝑒௬൯ฮ ൑ 𝑙ଶ với 𝑙ଶ ൐ 0 và 
𝑒 đủ bé. Từ (4.9) và (4.10) ta suy ra rằng 
𝜅
2 ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ
ଶ ൅ 𝛿8 ฮ𝑧௨ഥ೐ି௨ഥฮ௅మሺஐሻ
ଶ
൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ 
 ൑ ሺ𝑙ଵ ൅
𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
భ
మ (4.11) 
൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
ଵ
ଶ 
൑ ൬𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶ ൅ 𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
ଵ
ଶ൰ ቀฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻቁ 
ൌ ൬𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶ ൅ 𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
ଵ
ଶ൰ ‖𝑒‖ா 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 64 
trong đó ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ ൑ |Ω|ଵି
భ
మ‖𝑢ത௘ െ
𝑢ത‖௅మሺஐሻ ൑ 𝜀|Ω|
భ
మ. Điều này kéo theo 
‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൑ 2𝜅ିଵ ൬𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶ
൅ 𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
ଵ
ଶ൰ ‖𝑒‖ா. 
Bằng cách đặt 𝜚 ൌ ቆ2𝜅ିଵ ቀ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶ ൅
𝐷ఈ,ఉ𝜀|Ω|
భ
మቁቇ
భ
మ , ta thu được (4.4).  
Hệ quả 4.1. Giả sử tất cả các giả thiết trong Định 
lý 4.2 được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại một hằng số 
𝑐 ൐ 0 sao cho 
‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ ൑ 𝑐 ൬ฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
భ
మ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ൰, 
(4.12) 
trong đó 𝑢ത௘ là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số e đủ bé. 
Chứng minh. Theo (4.11), tồn tại các hằng số 
𝑙ଵ ൐ 0 và 𝑙ଶ ൐ 0 sao cho đánh giá sau đây được thỏa 
mãn ఑ଶ ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൅
ఋ
଼ ฮ𝑧௨ഥ೐ି௨ഥฮ௅మሺஐሻ
ଶ ൑ ሺ𝑙ଵ ൅
𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ. 
Sử dụng bất đẳng thức Young ta suy ra 
𝜅
2 ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ
ଶ ൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
൅ ቀ𝜉ିଵฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ𝐷ఈ,ఉቁ ൫𝜉‖𝑢ത௘
െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ൯ 
 ൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
൅ ൫𝜉
ିଵ𝐷ఈ,ఉ൯ଶ
2 ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ
ଶ
൅ 𝜉
ଶ
2 ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ
ଶ , 
với mọi 𝜉 ൐ 0. Vì vậy, có thể chọn 𝜉 ൐ 0 đủ bé để 
nhận được đánh giá sau đây 
𝑙ଷ‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
൅ 𝑙ସฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ
ଶ , 
trong đó 𝑙ଷ ൌ ఑ଶ െ
కమ
ଶ ൐ 0 và 𝑙ସ ൌ
൫కషభ஽ഀ,ഁ൯మ
ଶ ൐ 0. Như vậy, ta có 
‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻଶ ൑ ሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻ𝑙ଷି ଵฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
൅ 𝑙ଷି ଵ𝑙ସฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ
ଶ 
 ൑ 𝑙 ቀฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ
ଶ ቁ , 
trong đó 𝑙 ൌ maxሼሺ𝑙ଵ ൅ 𝑙ଶሻ𝑙ଷି ଵ, 𝑙ଷି ଵ𝑙ସሽ. Từ đây ta suy ra 
‖𝑢ത௘ െ 𝑢ത‖௅భሺஐሻ ൑ 𝑙
ଵ
ଶ ቀฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻ
ଶ ቁ
ଵ
ଶ 
 ൑ 𝑙ଵଶ ቀฮ𝑒௬ฮ௅మሺஐሻ
ଵ/ଶ ൅ ฮ𝑒௃ฮ௅మሺஐሻቁ. 
Đặt 𝑐 ൌ 𝑙ଵ/ଶ ൐ 0, ta nhận được đánh giá 
(4.12). 
Hệ quả 4.2. Giả sử tất cả các giả thiết trong 
Định lý 4.2 được thỏa mãn. Khi đó, ta có 𝑢ത௘ → 𝑢ത trong 𝐿ଵሺΩሻ khi 𝑒 → 0 trong E, trong đó 𝑢ത௘ là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với 
tham số 𝑒 ∈ 𝐸. 
Nhận xét 4.1. Kết quả về tính ổn định Hölder 
của nghiệm của bài toán nhiễu thu được trong Định 
lý 4.2 dựa trên giả thiết (A4). Do đó, Định lý 4.2 
không thể suy ra từ Qui and Wachsmuth (2017) 
(Theorem 4.5) khi sử dụng giả thiết (A4.ae) với 
ae=1/2. Hơn nữa, kỹ thuật chứng minh Định lý 4.2 
(và cả Hệ quả 4.1) hoàn toàn khác với kỹ thuật 
chứng minh của Qui and Wachsmuth (2017) 
(Theorem 4.5). Chú ý rằng giả thiết (A4) và giả thiết 
(A4.ae) với ae=1/2 là hoàn toàn khác nhau. Về mặt 
kết quả, Định lý 4.2 thu được kết quả ổn định cho 
các nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu trong khi 
Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 4.5) thu được 
kết quả ổn định cho các điểm KKT của bài toán 
nhiễu đủ gần nghiệm địa phương của bài toán gốc, 
hai kết quả ổn định vừa nêu là hoàn toàn khác nhau. 
Ý nghĩa của kết quả ổn định Hölder. Tính ổn 
định Lipschitz của nghiệm của các bài toán tối ưu có 
tham số rất quan trọng trong việc nghiên cứu và thiết 
lập các thuật toán giải số cho các bài toán tối ưu. Tuy 
nhiên, khi tính ổn định Lipschitz không đạt được thì 
tính ổn định Hölder được lựa chọn để thay thế như 
một giải pháp tất yếu. Trong quá trình nghiên cứu sự 
ổn định của các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang 
có nhiễu, trong nghiên cứu này đã thu được các kết 
quả mới về tính ổn định Hölder cho lớp bài toán này. 
Độc giả có thể tìm đọc cuốn sách chuyên khảo 
rất nổi tiếng Tröltzsch (2010) với rất nhiều bài toán 
cụ thể và ví dụ số phong phú liên quan đến các bài 
toán điều khiển tối ưu bang-bang cùng những phân 
tích sâu sắc về tính cần thiết của sự ổn định nghiệm 
trong ứng dụng thực tế. 
5 KẾT LUẬN 
Bài báo đã thu được các kết quả mới về điều kiện 
đủ tối ưu bậc hai và đặc biệt là tính ổn định Hölder 
của một lớp các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang 
cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic 
nửa tuyến tính. Trong các nghiên cứu tiếp theo, các 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 59-65 
 65 
kết quả ổn định Hölder thu được sẽ áp dụng vào việc 
thiết lập các phương pháp số giải các bài toán điều 
khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân 
đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. 
LỜI CẢM TẠ 
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn 
Thành Quí về những trao đổi rất hữu ích liên quan 
đến chủ đề nghiên cứu của bài báo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bonnans, J.F., Shapiro, A., 2000. Perturbation 
Analysis of Optimization Problems. Springer-
Verlag, New York, 567 pages. 
Casas, E., 2012. Second order analysis for bang-bang 
control problems of PDEs. SIAM Journal on 
Control and Optimization. 50(4): 2355–2372. 
Casas, E., De Los Reyes, J.C. and Tröltzsch, F., 
2008. Sufficient second-order optimality 
conditions for semilinear control problems with 
pointwise state constraints. SIAM Journal on 
Optimization, 19(2), 616–643. 
Casas, E., Wachsmuth, D. and Wachsmuth, G., 2017. 
Sufficient second-order conditions for bang-bang 
control problems. SIAM Journal on Control and 
Optimization 55, 3066–3090. 
Meyer, C., Panizzi, L. and Schiela, A., 2011. 
Uniqueness criteria for the adjoint equation in 
state-constrained elliptic optimal control. 
Numerical Functional Analysis and Optimization 
32, 983–1007. 
Pörner, F., Wachsmuth, D., 2016. An iterative 
Bregman regularization method for optimal 
control problems with inequality constraints. 
Optimization 65, 2195–2215. 
Pörner, F., Wachsmuth, D., 2017. Tikhonov 
regularization of optimal control problems 
governed by semi-linear partial differential 
equations. Preprint, 1–25. 
Qui, N.T., Wachsmuth, D., 2017, Stability for bang-
bang control problems of partial differential 
equations. Optimization, (2018), pp.~1--21. 
DOI:10.1080/02331934.2018.1522634 
Tröltzsch, F., 2010. Optimal Control of Partial 
Differential Equations. Theory, Methods and 
Applications. American Mathematical Society, 
Providence, RI.