Nghiên cứu sự gia tăng Phonon nhờ sự hấp thụ năng lượng của trường laser mạnh bằng phương pháp phương trình động học

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 13, 2002
NGHIÊN CỨU SỰ GIA TĂNG PHONON NHỜ SỰ HẤP THỤ NĂNG LƯỢNG 
CỦA TRƯỜNG LASER MẠNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC
Trần Công Phong, Lê Đình
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
1. Mở đầu
Như đã biết, tương tác electron-phonon dẫn đến sự tái chuẩn hóa phổ phonon và tạo ra một cơ chế cơ bản trong việc bẩy bắt phonon. Vì vậy, các trường ngoài (chẳng hạn trường Laser) làm thay đổi phổ và các trạng thái của electron sẽ ảnh hưởng đến phổ phonon và có tác dụng bẫy bắt phonon [1,2]. Nhiều công trình nghiên cứu [3-6] đã kết luận rằng tương tác của trường Laser với bán dẫn không chỉ làm thay đổi độ dẫn điện mà còn kích thích các dao động cao tần và gia tăng phonon.
Trong nghiên cứu lý thuyết, sự gia tăng phonon thường được nghiên cứu bằng cách giải phương trình Schrodinger đối với hạt tự do (electron hoặc lỗ trống) trong bán dẫn trong trường Laser, xử lý tương tác electron-phonon như một nhiễu loạn để tìm biên độ xác suất dịch chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối do va chạm với phonon. Trên cơ sở đó giới thiệu một phương trình động cho phonon dưới dạng hình thức luận. Một số tác giả [7-9] đã thiết lập phương trình động cho hàm phân bố lượng tử tổng quát và nghiên cứu sự gia tăng phonon trong các bán dẫn thấp chiều. Điều kiện gia tăng và hệ số gia tăng (hệ số hấp thụ nhỏ hơn không: a(q)<0) tìm được trên cơ sở thiết lập hệ thức tán sắc từ phương trình động học. “Hệ số gia tăng” tìm được từ phương pháp này là số phonon được tạo ra trên một đơn vị độ dài bước sóng. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu phương pháp thiết lập phương trình động (lượng tử) cho toán tử số phonon. Với một gần đúng (luôn được thỏa mãn cho loại bài toán này), có thể “trực tiếp” suy ra điều kiện để có sự gia tăng và hệ số gia tăng “tường minh” là tốc độ gia tăng phonon.
Cấu trúc của bài báo như sau: Mục 2 giới thiệu phương trình động học cho phonon. Việc ứng dụng phương trình tìm được để nghiên cứu sự gia tăng phonon được trình bày trong mục 3 (khí electron không suy biến) và mục 4 (khí electron suy biến). Cuối cùng là phần thảo luận và kết luận.
2. Thiết lập phương trình động học cho phonon trong bán dẫn khi có mặt trường Laser
Giả sử sóng Laser lan truyền dọc theo trục z trong bán dẫn. Vectơ cường độ điện trường của sóng này có dạng (là vectơ đơn vị theo phương trục x). Hamiltonian của hệ electron-phonon trong trường Laser trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp, có dạng:
 (1)
ở đây và ( và ) lần lượt là toán tử sinh và toán tử hủy electron (phonon) với xung lượng (chuẩn xung lượng ), là phổ năng lượng của phonon, là hằng số tương tác electron-phonon trong bán dẫn (phụ thuộc vào cơ chế tương tác), m và e là khối lượng và điện tích hiệu dụng của electron, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, là thế vectơ của trường Laser. Giữa và có mối liên hệ , vì vậy
	 = , Ao = cEo/w . 	 	 	 (2)
Dưới tác dụng của trường Laser, hệ phonon tương tác với electron trở nên không cân bằng, số phonon sẽ thay đổi theo thời gian. Sự thay đổi theo thời gian của N(t)=t được diễn tả bởi phương trình (theo cơ học lượng tử):
	ih ,	 (3)
ở đây t là ký hiệu lấy trung bình nhiệt động tại thời điểm t, t = Spt, với là toán tử ma trận mật độ.
Sử dụng các hệ thức giao hoán giữa các toán tử của cả hai loại hạt (Fermion và Boson) và thực hiện các phép tính đại số toán tử, ta được phương trình:
 (4)
ở đây e = 2/2m là phổ năng lượng của electron. Hàm phân bố của electron được giả thiết là không phụ thuộc thời gian, . Điều này hoàn toàn hợp lý vì chúng ta đang chú ý đến tính chất không cân bằng (sự gia tăng) của hệ phonon mà thôi.
Thay (2) vào (4), lấy tích phân theo dt1 và đặt l = eE0/m, sau đó sử dụng khai triển:
,
( Js(z) là hàm Bessel bậc s, đối số z) ta nhận được phương trình động lực học cho phonon:
 (7)
3. Sự gia tăng phonon trong bán dẫn trong trường hợp khí electron không suy biến
Phương trình động học (7) có dạng tổng quát vì hầu như ta chưa thực hiện phép gần đúng nào (đặc biệt là cường độ điện trường của Laser và tương tác electron-phonon). Ta nhận thấy rằng nếu l ¹ s , phương trình (7) tính đến đóng góp của số hạng bậc cao hơn |C|2. Vì vậy, xử lý tương tác electron-phonon như một nhiễu loạn, chỉ tính đến bậc hai của tương tác electron-phonon (l = s), đồng thời giả sử khi có mặt trường Laser, ta có N(t) >>1, phương trình (7) trở thành:
 (8)
Khai triển Fourier đối với N(t) có dạng
. 	 (9)
Việc lấy tích phân theo dt’ được tiến hành nhờ giả thiết đoạn nhiệt của tương tác bằng cách nhân thêm thừa số . Với w’ ~ max(t--1, e||/ ), t là thời gian hồi phục trung bình của xung lượng, là xung lượng trung bình của electron. Đối với trường Laser mạnh với tần số thỏa mãn điều kiện:
 c/nF >> wt >>1 và w > w ; e, hw >> e||/ , 	 	 (10)
ta có thể bỏ qua w’ so với w. Vì vậy, kết quả có thể trình bày dưới dạng:
 ¶N(t)/¶t = g N(t)	 (11)
với
 (12)
Có thể nhận xét rằng g chính là tốc độ thay đổi phonon. Nếu g >0, số phonon tăng theo thời gian, ngược lại g <0 tương ứng với giảm phonon.
Biểu thức (12) trùng với kết quả mà A. L. Tronconi [10] đã tìm được trên cơ sở gần đúng lưỡng cực mà không sử dụng lý thuyết nhiễu loạn trong liên kết của tương tác giữa electron và trường Laser. Vì vậy, biểu thức (12) đúng cho cả trường hợp trường mạnh. Giả sử trường Laser mạnh thỏa mãn điều kiện L >> hw, ta có [4]:
 	(13)
với E = e+ - e -e. Trong (13) có đóng góp của sự phát xạ và hấp thụ nhiều photon (số photon L/hw >>1). 
Xét khí electron không suy biến với hàm phân bố có dạng: f() = exp[b(eF - e)] ( eF là năng lượng Fermi, b = 1/kBT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối). Để đơn giản tính toán, chọn theo phương , thay (13) và (14) vào (12), chuyển tổng theo thành tích phân (trong không gian xung lượng), kết quả ta được:
g(Q) = g(+)Q + g(-)Q,
 (16)
(Q là số sóng của phonon, W là thể tích chuẩn hóa. Dấu + (-) trên (dưới) trong (16) ứng với sự hấp thụ (phát xạ) photon.
Trong trường hợp sự tán xạ electron-phonon quang của các vật liệu có cực là trội, ta có: (17)
trong đó c0 và c¥ là độ thẩm điện môi tỉnh và độ thẩm điện môi cao tần, các phonon quang được coi là không tán sắc, có tần số wQ » w0 = const. 
4. Sự gia tăng phonon trong bán dẫn trong trường hợp khí electron suy biến
Giả sử khí electron suy biến có hàm phân bố là hàm Fermi-Dirac được lấy gần đúng bằng hàm có bước nhảy: 
 	f() = q(eF - e) = 	 (18)
Tiến hành tính toán như trường hợp trên với lưu ý rằng tích phân theo xung lượng chỉ khác không khi eF > e. Kết quả ta tìm được đối với phonon quang có cực là trội:
	 	 (19)
trong đó:
	 	 (20)
5. Thảo luận và kết luận
Từ (17) có thể nhận thấy rằng quá trình phát xạ photon (dấu dưới) luôn cho g(-)Q 0) nếu L> hw0. Kết quả cũng tương tự đối với (19) cho trường hợp khí electron suy biến. Như vậy, điều kiện cần để có sự gia tăng cho cả hai trường hợp là:
L > hw0	(21)
Vì là vận tốc kéo theo của electron dưới tác dụng của trường Laser nên (21) chính là điều kiện Cerenkov [I. Yokota, Phys. Lett. 10, 27 (1964)] để có sự bất ổn định của hệ phonon quang. Điều kiện này thể hiện hiệu ứng chỉ xảy ra với một khoảng nào đó của vectơ sóng của phonon.
Ngoài điều kiện (21), trong trường hợp khí electron suy biến còn phải thỏa mãn điều kiện (20), vì vậy sự gia tăng phonon quang trong trường hợp khí electron suy biến (gần thực tế hơn) sẽ khó xảy ra hơn so với trường hợp khí electron không suy biến. Lưu ý rằng điều kiện (20) đã không được chỉ ra bởi các tác giả khác khi nghiên cứu hiệu ứng này. Điều kiện này chỉ rõ tính không phân biệt được hệ các hạt Fermion đồng nhất khi chúng tôi sử dụng lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai để nghiên cứu hiệu ứng.
Với một giá trị xác định của số sóng Q, điều kiện để cho quá trình hấp thụ photon trội hơn so với quá trình phát xạ photon là L >> eF. Nghĩa là tồn tại một cường độ điện trường tới hạn Eth để xuất hiện hiệu ứng này, với:
Eth = mweF/ehQ	.	 (22)
Việc tính toán bằng số cho thấy giá trị này phù hợp với công suất Laser hiện nay.
Trong bài báo này, trường Laser được xử lý theo lý thuyết cổ điển, số photon |l| có nghĩa là số hw thỏa mãn điều kiện e+ - hw0 = De = |l|hw. Kết quả cho thấy rằng trong trường hợp trường mạnh chỉ có quá trình hấp thụ nhiều photon mới có ý nghĩa. Cơ chế này cho thấy rằng với điều kiện nhất định, một thế biến dạng để kích thích nhiều phonon có thể được tạo ra và tăng theo thời gian.
Kết quả chính của bài báo này là thiết lập phương trình động học cho phonon trong bán dẫn khi có mặt trường Laser, tìm điều kiện và biểu thức tính toán lý thuyết tốc độ gia tăng phonon cho cả hai trường hợp khí electron suy biến và không suy biến. Kết quả tính toán sử dụng nhiễu loạn tương tác electron-phonon nhưng trường Laser là mạnh. Về mặt kỹ thuật, muốn đạt được sự gia tăng phonon thì số phonon được tạo ra phải lớn hơn số phonon bị mất đi (trong cùng một khoảng thời gian) do các hiệu ứng khác (chẳng hạn như tính phi điều hòa của mạng, defect...). Tốc độ mất phonon được ước tính là cỡ 1010 -1011(s-1) [10]. Với các nguồn laser hiện nay, hoàn toàn có thể đạt được gQ > 1010 -1011(s-1) để có sự gia tăng phonon trong vật liệu bán dẫn.
Công trình này được hoàn thành với sự hỗ trợ kinh phí của chương trình NCCB cấp Nhà nước về KHTN, mã số 411501. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 S. M. Komirenco and K. W. Kim, et al, Phys. Rev. B 62, 7459 (2000). 
 G. Weber and J. F. Ryan, Phys. Rev. B 45, 11202 (1992).
 P. Zhao, Phys. Rev. B 49, 13589 (1994). 
 F. Ping and C. Nanxian, Phys. Rev. B 46, 7627 (1992).
 O. A. C. Nunces, Phys. Rev. B 29, 5679 (1984). 
 S. Frota-Pessoa and R. Luzzi, Phys. Rev. B 13, 5420 (1976).
 Nguyen Quang Bau et al, Proceedings of the Third International Workshop on Materials Science (IWOMS’99), Hanoi, November 2-4, 1999.
 Trần Công Phong, Lê Đình, Báo cáo tổng kết đề tài KHCN cấp Bộ, ĐHSP Huế, 2001. 
 Trịnh Quốc Vương, Luận án Thạc sĩ Vật lý, ĐHQG Hà Nội, 2000.
L. Tronconi and O. A. Nunces, Phys. Rev. B 33, 4125 (1986).
TÓM TẮT
Phương trình động học cho phonon trong bán dẫn khi có mặt của trường Laser mạnh đã được thiết lập và sau đó được sử dụng để nghiên cứu sự gia tăng phonon trong bán dẫn. Điều kiện gia tăng và tốc độ gia tăng phonon đã được tính toán bằng lý thuyết cho cả hai trường hợp khí electron suy biến và không suy biến. Kết quả tìm được trùng với các kết quả của các tác giả khác, chứng tỏ ý nghĩa về mặt phương pháp luận có thể áp dụng phương pháp này cho các loại bán dẫn khác.
USING KINETICS EQUATION METHOD 
TO STUDY PHONON INCREASE IN SEMICONDUCTOR 
BY THE WAY OF ABSORBING ENERGY OF STRONG LASER FIELD
Tran Cong Phong, Le Dinh
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Kinetic equation for phonon in semiconductor in the presence of Laser strong field was established. It is used for studying phonon in the semiconductor. The condition and the rate of phonon increasing were theoretically calculated for both degenerated and non-degenerated electron gas. The calculated results agree with those of other authors. This states that from the viewpoint of methodology it is possible to apply this method for other type of semiconductors.