Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học toán theo quan điểm liên môn: Trường hợp khái niệm tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 15, No. 10 (2018): 145-158
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
145 
NGHIÊN CỨU MỘT PHẦN THỰC TRẠNG DẠY HỌC TOÁN 
 THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN: TRƯỜNG HỢP KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 
Trần Văn Học* 
Trường THPT Bà Rịa, Bà Rịa – Vũng Tàu 
Ngày nhận bài: 12-5-2018; ngày nhận bài sửa: 18-6-2018; ngày duyệt đăng: 25-10-2018 
TÓM TẮT 
Từ nguồn cội hình thành và những ứng dụng phong phú trong Vật lí, tích phân thể hiện rõ là 
một ứng viên tiềm năng cho dạy học liên môn với Vật lí – một hình thức dạy học đang được khuyến 
khích, giúp đưa toán học trong nhà trường gần hơn với cuộc sống. Nhưng kết quả thực nghiệm của 
chúng tôi lại cho thấy, trong trường hợp khái niệm tích phân thì học sinh chưa thiết lập được tốt 
mối liên hệ liên môn Toán – Lí. Việc phân tích sách giáo khoa hiện hành phần nào lí giải cho kết 
quả thực nghiệm. 
Từ khóa: dạy học liên môn, tích phân, Vật lí. 
ABSTRACT 
Studying a situation of teaching Mathematics in the interdisciplinary perspective: 
Case of integral concepts 
From origins and rich applications in physics, integral is clearly a potential candidate for 
interdisciplinary teaching with Physics, an encouraging form of teaching, helping to bring 
mathematics closer to life. However, our experimental results suggest that the concept of integral, 
students have not established a good interdisciplinary relationship between Maths and Physics. 
The current textbook analysis partly explains the experimental results. 
Keywords: interdisciplinary teaching, integral, Physics. 
1. Đặt vấn đề 
1.1. Dạy học liên môn giúp đưa toán học gần hơn với cuộc sống 
Giáo viên (GV) Toán thường bị thách thức bởi vấn đề giải thích cho học sinh (HS) 
sự cần thiết của việc học Toán. Thật không may, nhiều HS trung học không nhìn thấy giá 
trị của toán học và không thấy được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống. Một trong 
những lí do có thể tìm thấy ở quan điểm dạy học và đánh giá truyền thống, theo đó thì mục 
tiêu đặt vào cung cấp kiến thức cho HS giải một số dạng toán quen thuộc mà không quan 
tâm đến ứng dụng thực tế của toán học. 
Một cách tiếp cận để giải quyết vấn đề đưa toán học trong nhà trường gần hơn với 
cuộc sống là dạy học Toán theo quan điểm tích hợp liên môn. Dạy học theo quan điểm liên 
môn là một cách giúp cho HS nhận ra giá trị ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực 
* Email: gvtranvanhocbr@gmail.com 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
146 
ngoài toán học. Dạy học Toán gắn với việc giải quyết những vấn đề ngoài toán giúp HS 
nắm rõ hơn nghĩa của tri thức toán và tin rằng toán học là hữu ích, quan trọng, thú vị. Nhận 
thức này có thể giúp làm gia tăng động cơ học tập cho HS. Hơn nữa, với dạy học theo quan 
điểm liên môn, HS được rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề, phối hợp nhiều kiến thức của 
nhiều ngành khác nhau, ít phải ghi nhớ kiến thức một cách máy móc, từ đó năng lực giải 
quyết vấn đề của HS được phát triển và khả năng đối diện với cuộc sống sẽ tốt hơn. 
Dạy học Toán theo quan điểm liên môn rõ ràng có nhiều ích lợi, nên không khó hiểu 
khi nó trở thành xu thế được bàn luận nhiều trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng. 
Trong đề án đổi mới chương trình, sách giáo khoa (SGK) giáo dục phổ thông, Bộ Giáo dục 
và Đào tạo chỉ đạo các cơ sở giáo dục tăng cường bồi dưỡng, nâng cao năng lực cho đội 
ngũ giáo viên sẵn sàng đáp ứng mục tiêu đổi mới, trong đó tăng cường năng lực dạy học 
theo hướng “liên môn” là một trong những vấn đề ưu tiên. 
1.2. Tích phân, một ứng viên tiềm năng cho dạy học liên môn 
Vấn đề liên môn qua dạy học tích phân đã được một số tác giả đề cập đến, chẳng hạn 
như Lê Thị Hoài Châu (2004), Phạm Trần Nguyệt Thảo (2016), Ngô Minh Đức (2017). 
Nghiên cứu lịch sử ở các tài liệu trên đã chỉ ra rằng ngoài nguồn gốc hình học, khái niệm 
tích phân còn được hình thành và phát triển từ việc nghiên cứu các vấn đề của vật lí. 
 Nguồn cội vật lí của phép tính tích phân 
Đầu tiên phải kể đến quá trình tìm lời giải cho bài toán tính quãng đường của vật 
chuyển động thẳng biến đổi đều. Đáng chú ý là cách dùng đồ thị để mô tả chuyển động của 
Oresme có từ thế kỉ thứ XIV, nối tiếp sau đó, Galileo tiến hành nghiên cứu chuyển động 
rơi tự do. Cả hai ông đều lập luận diện tích dưới đồ thị của hàm vận tốc thể hiện cho quãng 
đường di chuyển của vật. Với trường hợp chuyển động thẳng biến đổi đều, phần diện tích 
dưới đồ thị là hình thang hoặc tam giác có thể tính dễ dàng nhưng trong trường hợp tổng 
quát là chuyển động không đều, biến đổi không đều thì phải cần đến công cụ tích phân. 
Như vậy, vật lí với bài toán tính quãng đường đi khi biết hàm vận tốc, cũng là một động 
lực thúc đẩy sự ra đời của khái niệm tích phân. 
 Tích phân và mối quan hệ với đạo hàm 
Barrow, sau đó là Newton và Leibniz, những người đầu tiên nhận thấy mối quan hệ 
gắn bó của đạo hàm với tích phân, làm cho giải tích trở thành một hệ thống hoàn chỉnh trên 
nền tảng của phép tính vi tích phân. Theo chứng minh của hai nhà bác học này, tích phân 
có thể được tính dựa vào nguyên hàm như sau: 
න݂(ݔ)݀ݔ௕
௔
= ܨ(ܾ) − ܨ(ܽ) 
trong đó, ܨ(ݔ) là một nguyên hàm của hàm số ݂(ݔ) nên ܨ′(ݔ) = ݂(ݔ) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
147 
Thay vì phải xác định giới hạn của tổng Riemann, công thức trên cho ta một phương 
pháp thuận tiện để tính tích phân. Nhưng ý nghĩa quan trọng của tích phân không chỉ nằm 
ở đó, khi mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân được thiết lập, ứng dụng của tích phân 
vượt xa khỏi những bài toán ban đầu hình thành ra nó. Cụ thể, chúng ta đều biết là công cụ 
đạo hàm được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong khi đó tích phân cho phép 
giải quyết “vấn đề ngược”1 của những bài toán sử dụng đạo hàm. Do đó, đạo hàm có ứng 
dụng gì thì tích phân cũng có ứng dụng tương ứng. Ví dụ, đạo hàm cho phép xác định 
cường độ dòng điện tức thời trong mạch khi biết phương trình điện lượng, bởi công thức 
ܫ(ݐ) = ݍ′(ݐ). Ngược lại, việc tính điện lượng khi biết phương trình cường độ dòng điện 
cần sử dụng công cụ tích phân là ݍ(ݐ) = ∫ ܫ(ݐ)݀ݐ. 
Như vậy, phát hiện ra mối quan hệ với đạo hàm không chỉ giúp cho việc tính tích 
phân dễ dàng hơn mà còn tìm thêm được nhiều ứng dụng phong phú của khái niệm này. 
 Tích phân – công cụ giải quyết nhiều bài toán Vật lí 
Tích phân ra đời là một bước ngoặt lớn trong lịch sử không chỉ đối với Toán học mà kể 
cả Vật lí. Các nhà vật lí cũng sớm nhận ra được “sức mạnh” to lớn của công cụ tích phân và 
sử dụng vào giải quyết nhiều vấn đề trong ngành của họ, những vấn đề trước đây không giải 
quyết được hoặc giải quyết rất khó khăn, nay trở nên dễ dàng hơn nhờ công cụ tích phân. 
Một số đối tượng quen thuộc trong chương trình Vật lí phổ thông như: quãng đường, 
vận tốc, điện lượng, cường độ dòng điện, nhiệt độ, công, mômen quán tính, khi chưa có 
công cụ tích phân chỉ có thể xem xét ở trường hợp đặc biệt (ví dụ như là chuyển động đều và 
chuyển động biến đổi đều). Tích phân ra đời giúp giải quyết tất cả các trường hợp tổng quát. 
Với những ghi nhận ở trên, tích phân đã tỏ rõ là một trong những “ứng cử viên sáng 
giá” cho dạy học liên môn Toán – Vật lí. 
2. Một ghi nhận từ thực tế 
Chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm nhỏ với hai bài toán Vật lí, nhằm mục đích 
trả lời câu hỏi: HS có nắm được các nghĩa của khái niệm tích phân và HS có biết sử dụng 
công cụ tích phân để giải quyết một vài vấn đề cơ bản của Vật lí? 
2.1. Đối tượng, hình thức và nội dung của thực nghiệm 
Đối tượng thực nghiệm là HS lớp 12 học theo chương trình chuẩn, sau khi các em đã 
học hết chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”. Về hình thức thực nghiệm, các 
em làm hai bài tập tự luận trên giấy có in sẵn câu hỏi trong thời gian 15 phút, với sự hỗ trợ 
của máy tính cầm tay (MTCT). Còn về nội dung thực nghiệm, HS được đề nghị tìm lời giải 
cho hai bài toán sau: 
1 Từ “vấn đề ngược” (hay “bài toán ngược”) được chúng tôi sử dụng ở đây theo nghĩa: hai vấn đề được gọi là “ngược” 
của nhau nếu giả thiết và câu hỏi của bài toán này sẽ tương ứng ở vị trí câu hỏi và giả thiết ở bài toán kia. Ví dụ, biết 
phương trình biểu thị quãng đường của chuyển động, tìm vận tốc tức thời của vật và biết phương trình vận tốc tức thời, 
tìm quãng đường của chuyển động là hai “vấn đề ngược” của nhau. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
148 
Bài toán 1. Một vật chuyển động trong 
4 giờ (h). Hình bên biểu thị đồ thị của vận tốc 
ݒ	(km/h) theo thời gian ݐ (h). Tính quãng 
đường s mà vật đi được trong 4 giờ đó. 
Bài toán 2. Trong một mạch điện, cường độ dòng điện i (đơn vị A) là một hàm số 
theo thời gian ݐ (đơn vị giây (s)) được cho bởi công thức: ݅ = √2ܿ݋ݏ ቀ100ߨݐ + గ
ସ
ቁ. Điện 
lượng ݍ dịch chuyển qua tiết diện thẳng của vật dẫn trong khoảng thời gian từ lúc ݐ = 0 (s) 
đến ݐ = 0,001 (s) là bao nhiêu? 
2.2. Phân tích tiên nghiệm 
Biến didactic được sử dụng là cách biểu diễn của hàm số ݂(ݔ) cần tính tích phân, có 
ba giá trị của biến: Hàm số ݂(ݔ) cho dưới dạng biểu thức giải tích, dạng đồ thị và cho bằng 
bảng giá trị. 
a) Bài toán 1 
Mục đích của bài toán không chỉ là tìm hiểu cách học sinh giải quyết một vấn đề liên 
môn mà còn muốn biết “diện tích phục vụ tính tích phân” có được học sinh khai thác để 
tìm đáp án nhanh. 
Các chiến lược giải 
 Chiến lược S௩௟ : Dùng kiến thức vật lí 
 Trong khoảng thời gian từ ݐ଴ = 0 đến ݐଵ = 1, đồ thị vận tốc là đoạn thẳng nên 
chuyển động là nhanh dần đều và gia tốc của vật là 
ܽ = ௩(௧భ)ି௩(௧బ)
௧భି௧బ
= ସି଴
ଵି଴
= 4	(݇݉/ℎଶ)
Khi đó, quãng đường ݏଵ vật đi được trong khoảng thời gian từ ݐ଴ đến ݐଵlà 
ݏଵ = 12 ܽ(ݐଵ − ݐ଴)ଶ + ݒ(ݐ଴). (ݐଵ − ݐ଴) = 12 4. 1ଶ = 2	(݇݉) 
 Trong khoảng thời gian từ ݐଵ = 1 đến ݐଶ = 4, vật chuyển động đều với vận tốc là	 
ݒ = 4. Do đó, quãng đường ݏଶ vật đi được trong khoảng thời gian từ ݐଵ đến ݐଶ	là 
ݏଶ = ݒ. (ݐଶ − ݐଵ) = 4.3 = 12	(݇݉) 
 Vậy quãng đường cần tìm là ݏ = ݏଵ + ݏଶ = 14	(݇݉). 
 Chiến lược ܵ௧௣: Dùng công cụ tích phân 
 Xác định công thức hàm vận tốc ݒ(ݐ) theo thời gian, ݒ(ݐ) = ቄ4ݐ	, 0 ≤ ݐ < 14	,	1 ≤ ݐ ≤ 4 
 Quãng đường ݏ vật đi được trong khoảng thời gian từ ݐ଴ = 0 đến ݐଶ = 4 là 
ݐ 
ݒ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
149 
ݏ = න ݒ(ݐ)݀ݐ = න4ݐ݀ݐଵ
଴
+ න 4݀ݐସ
ଵ
= 14	(݇݉)௧మ
௧బ
 Chiến lược ܵ௬௡௛௛ : Dùng ý nghĩa hình học của tích phân 
 Quãng đường ݏ vật đi được trong khoảng thời gian từ ݐ଴ đến ݐଶ là ݏ =
∫ ݒ(ݐ)݀ݐ	(ݒ(ݐ) ≥ 0,∀ݐ ∈ [ݐ଴; ݐଶ])௧మ௧బ bằng với diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các 
đường ݕ = ݒ(ݐ),ݕ = 0, ݐ = ݐ଴ , ݐ = ݐଶ. 
 Tính diện tích hình phẳng D, ta có ݏ = ܵ஽ = ଵଶ . 1.4 + 3.4 = 14	(݇݉) 
Ở đây, chúng tôi chọn giá trị của biến là “Hàm vận tốc ݒ(ݐ) cho dưới dạng đồ thị” và 
hình phẳng dưới đồ thị hàm vận tốc là hình thang vuông hoặc có thể xem là tổng của tam 
giác vuông và hình chữ nhật. Với chiến lược S௩௟ , HS đã được học ở chương trình Vật lí và 
các em phải nhận ra dạng của chuyển động từ đồ thị để sử dụng công thức tương ứng. Còn 
chiến lược ܵ௧௣ buộc HS xác định công thức biểu diễn ݒ(ݐ). Một sự kết hợp hai chiến lược 
ܵ௧௣ và ܵ௬௡௛௛ có thể mang đến câu trả lời mà không cần tìm công thức biểu diễn ݒ(ݐ), chỉ 
cần tính diện tích tam giác vuông và diện tích hình chữ nhật với các kích thước đọc được 
dễ dàng trên hình vẽ. Rõ ràng chiến lược ܵ௬௡௛௛ là chiến lược tối ưu và cũng là chiến lược 
mà chúng tôi mong đợi. Biết sử dụng chiến lược này, chứng tỏ HS đã biết khai thác một 
phần ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân. 
b) Bài toán 2 
So với Bài toán 1, Bài toán 2 là một ứng dụng khác của tích phân trong Vật lí, đó là 
tính điện lượng khi biết cường độ dòng điện. Ứng dụng này của tích phân không được 
SGK Toán 12 (cả chương trình chuẩn và nâng cao) trình bày, nhưng ứng dụng đạo hàm để 
tính cường độ tức thời của dòng điện có được SGK Toán 11 chương trình chuẩn sử dụng 
trong một bài toán dẫn dắt đến khái niệm đạo hàm. Câu hỏi đặt ra là học sinh có biết khai 
thác mối “quan hệ ngược” với đạo hàm để tìm thấy ứng dụng này của tích phân? Tuy 
nhiên, ở lớp 11, ứng đạo hàm để tìm cường độ dòng điện có thể các em không được học 
hoặc là các em đã quên. Do đó, chúng tôi quyết định nhắc lại ứng dụng này của đạo hàm 
trong đề Bài toán 2: “Nếu điện lượng	Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q = Q(t) (Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại 
thời điểm t଴ là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại t଴: I(t଴) = Q′(t଴) 
Theo em, ngược lại, nếu biết hàm số của cường độ dòng điện theo thời gian thì điện 
lượng được tính như thế nào?” 
Kiến thức nhắc lại này chỉ được đưa cho một nửa số HS thực nghiệm, nửa còn lại thì 
không, sau đó đối chiếu so sánh kết quả hai nhóm này. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
150 
Chiến lược giải 
 Chiến lược ܵௗđ௞đ: Coi như dòng điện là không đổi trong khoảng thời gian “nhỏ” từ 
lúc ݐ = 0 (s) đến ݐ = 0,001 (s) 
 Cường độ dòng điện đại diện là ݅Đ஽ = ௜(଴)ା௜(଴,଴଴ଵ)ଶ 	(ܣ) 
 Điện lượng cần tìm là ݍ ≈ ݅Đ஽ . ݐ = ௜(଴)ା௜(଴,଴଴ଵ)ଶ . 0,001 ≈ 8,2102. 10ିସ	(ܥ) 
 Chiến lược ܵ௧௣: Dùng công cụ tích phân 
 Điện lượng cần tìm là ݍ = ∫ √2 cos ቀ100ߨ + గ
ସ
ቁ ݀ݐ ≈ 8,2784. 10ିସ(ܥ)଴,଴଴ଵ
଴
Ở bài toán này, chúng tôi chọn giá trị của biến là “Hàm số cường độ dòng điện I(t) 
cho dưới dạng biểu thức giải tích” HS chỉ việc tính tích phân của hàm số này là có đáp án. 
Mục đích thực nghiệm của Bài toán 2 là xem HS có biết ứng dụng tích phân để tính điện 
lượng hay các em có nhận ra mối “quan hệ ngược” của đạo hàm để tìm thấy ứng dụng này. 
Bài toán tính điện lượng chỉ được SGK Vật lí trình bày ở trường hợp dòng điện 
không đổi, còn trường hợp dòng điện xoay chiều (dòng điện biến đổi) không được SGK 
Vật lí đặt ra khi tích phân chưa được học. Rõ ràng chiến lược ܵௗđ௞đ phải lấy xấp xỉ, nhưng 
nếu nhận ra mối “quan hệ ngược” với đạo hàm HS có thể tìm thấy lời giải bằng tích phân 
cho kết quả chính xác (tuy nhiên, ở đây MTCT chỉ có thể đưa ra kết quả gần đúng). 
2.2. Phân tích hậu nghiệm 
Thực nghiệm được tiến hành đối với 20 học sinh học theo chương trình chuẩn, lớp 
12A1 (lớp có nhiều học sinh khá giỏi) trường THPT Bà Rịa của tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. 
a) Phân tích kết quả thực nghiệm Bài toán 1 
Thống kê kết quả: 
ܵ௩௟ ܵ௧௣ ܵ௬௡௛௛ Chiến lược khác Không trả lời 
1 18 0 0 1 
Qua tìm hiểu, chúng tôi được biết các em HS đã được GV hướng dẫn giải bài toán 
tương tự. Cụ thể là các em đã được giải câu 41 mã đề 101 trong đề thi chính thức trung học 
phổ thông quốc gia năm 2017: 
Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ݒ(݇݉/ℎ) phụ 
thuộc thời gian ݐ(ℎ) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong 
khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là 
một phần của đường parabol có đỉnh ܫ(2; 9) và trục đối xứng song 
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng 
song song với trục hoành. Tính quãng đường ݏ mà vật di chuyển 
được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) 
A. ݏ = 23,25(݇݉) B. ݏ = 21,58(݇݉) 
C. ݏ = 15,50(݇݉) D. ݏ = 13,83(݇݉) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
151 
Lời giải mà các em được GV truyền lại là dùng t ... y ứng 
dụng của tích phân. Như vậy, không khó để đưa một ứng dụng tích phân vào giảng dạy khi 
HS có biết ứng dụng của đạo hàm, và công cụ đạo hàm được SGK Vật lí sử dụng ở nhiều 
đối tượng. 
3. Một nghiên cứu thể chế 
Lợi ích của dạy học liên môn khái niệm tích phân với Vật lí là rõ ràng nhưng kết quả 
của thực nghiệm lại cho thấy một số HS chưa nhìn thấy nhiều ứng dụng của tích phân 
trong Vật lí. Chính điều này khiến chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm liên môn được SGK 
xét đến như thế nào. 
3.2. Ứng dụng của tích phân trong SGK Vật lí 
Đầu tiên, chúng tôi chọn phân tích SGK Vật lí chương trình chuẩn (đây là chương 
trình mà các HS chúng tôi thực nghiệm đang theo học) và bài toán mà chúng tôi quan tâm 
đặc biệt là bài toán tính quãng đường khi biết vận tốc của chuyển động. Khi tích phân chưa 
được học, SGK Vật lí 10 chương trình chuẩn (SVL10Ch) chỉ xét ở trường hợp đặc biệt là 
chuyển động thẳng đều và chuyển động thẳng biến đổi đều. Trong chuyển động thẳng đều, 
vận tốc ݒ(ݐ) là hàm hằng, áp dụng công thức: quãng đường bằng vận tốc nhân với thời 
gian, có được phương trình chuyển động là ݏ = ݒ. ݐ. Trong phần “Em có biết?” tác giả đã 
dùng đồ thị để minh họa và khẳng định quãng đường bằng diện tích hình chữ nhật dưới 
hàm ݒ(ݐ): 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
153 
ݐ(ݏ)
(s) 
ܱ 
ݒ(݉/ݏ) khi ta nói diện tích hình chữ nhật trong đồ thị vận tốc biểu diễn quãng đường đi 
được thì diện tích này phải tính theo đơn 
vị mét chứ không phải mét vuông. 
(SVL10Ch, tr.23) 
Ở trường hợp này, HS có thể hiểu đơn giản: quãng đường bằng vận tốc nhân với thời 
gian tương ứng trên đồ thị là chiều rộng nhân với chiều dài của hình chữ nhật. 
Còn về chuyển động thẳng biến đổi đều, vận tốc là hàm bậc nhất ݒ = ݒ଴ + ܽݐ. Với 
công cụ tích phân, phương trình chuyển động của chất điểm chuyển động thẳng biến đổi 
đều có thể được chứng minh như sau: s(t) = න v(t)dt୲
଴
⟺ s(t) = න (v଴ + at)dt୲
଴
⟺ s = v଴t + 12 atଶ 
Không được dùng kiến thức tích phân ở thời điểm này, tác giả thừa nhận công thức 
tính tốc độ trung bình ݒ௧௕ = ௩బା௩ଶ từ đó suy ra	s = v଴t + ଵଶ atଶ. Điều đáng chú ý là ở phần 
“Em có biết?” tác giả dùng đồ thị để chứng minh công thức này, như sau: 
Ta chia khoảng thời gian ݐ thành rất nhiều khoảng 
nhỏ Δݐ, sao cho trong mỗi khoảng thời gian nhỏ đó có thể 
coi chuyển động như thẳng đều với vận tốc là vận tốc ở 
điểm giữa của khoảng đó. Quãng đường đi được trong 
khoảng thời gian đó được biểu diễn bằng diện tích của 
dãy hẹp hình chữ nhật, một cạnh là Δݐ, một cạnh là ݒ. 
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δݐ tiếp 
sau cũng được biểu diễn bằng diện tích của dải hẹp hình chữ 
nhật như trên, nhưng cạnh ݒ dài hơn một chút. Cứ như thế, 
quãng đường đi được trong cả khoảng thời gian ݐ sẽ được 
biểu diễn bằng tổng diện tích của các dải hẹp sẽ bằng diện 
tích của hình thang vuông có chiều cao là ݐ, có các đáy nhỏ 
và đáy lớn là ݒ଴ và ݒ. Kết quả ta được: 
ݏ = ଵ
ଶ
(ݒ଴ + ݒ)ݐ với ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
Cuối cùng, ta được ݏ = ݒ଴ݐ + ଵଶܽݐଶ. (SVL10Ch, tr. 23) 
Nhìn vào đây, ta thấy tư tưởng “chia nhỏ, lập tổng” của khái niệm tích phân có xuất 
hiện, để tránh chuyển qua giới hạn tác giả “coi như” trong khoảng ∆ݐ rất nhỏ là chuyển 
động đều với vận tốc không đổi là vận tốc ở điểm giữa của khoảng đó. Lập tổng các quãng 
đường	Δݏ tương ứng là tổng tích phân và quãng đường trong trường hợp này được xác định 
bằng diện tích hình thang vuông. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
154 
Tương tự như bài toán tính quãng đường, bài toán tính điện lượng khi biết cường độ 
dòng điện cũng chỉ được SGK Vật lí 11 chương trình chuẩn (SVL11Ch) xét ở trường hợp 
dòng điện không đổi. Sang đến học kì 1 lớp 12, SGK Vật lí 12 chương trình chuẩn 
(SVL12Ch) có trình bày về dòng điện xoay chiều (dòng điện biến đổi); tuy nhiên, bài toán 
tính điện lượng không được xét đến do chưa có công cụ tích phân. 
 Theo chương trình môn Toán, tích phân bắt đầu được giảng dạy từ đầu học kì 2 của 
lớp 12. Khi khái niệm tích phân được đưa vào thì thời lượng chương trình các môn học 
khác cũng không còn nhiều. Tuy vậy, chúng tôi cũng muốn tìm hiểu xem tác giả SGK Vật 
lí có khai thác công cụ tích phân trong phần còn lại của chương trình hay không? Trong 
SGK Vật lí 12 chương trình nâng cao, công cụ tích phân không hiện diện. Trong 
SVL12Ch, tích phân chỉ xuất hiện khi chứng minh công thức nêu trong định luật phóng xạ 
“ܰ = ଴ܰ݁ିఒ௧” (tr. 191). Sau khi công thức được chứng minh, HS chỉ làm việc với công 
thức này, công cụ tích phân không còn được nhắc đến nữa. 
Nhận xét : Với bộ môn Vật lí, HS đã không được làm việc với công cụ tích phân. Khi 
chưa được học khái niệm tích phân, bài toán chuyển động chỉ được SVL10Ch xét ở trường 
hợp đặc biệt là chuyển động đều hoặc biến đổi đều. Trong hai trường hợp đặc biệt này, ý 
nghĩa hình học của tích phân có được thể hiện, quãng đường chuyển động lần lượt được 
tính theo công thức ݏ = ݒݐ và ݏ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ, tương ứng hình phẳng dưới đồ thị của hàm 
vận tốc là hình chữ nhật và hình thang. Việc tính diện tích hai hình này là quen thuộc với 
HS không cần đến công cụ tích phân, tuy nhiên nếu không có công cụ tích phân thật khó 
khăn cho HS để hiểu: “tính diện tích là tính quãng đường”. Ở trường hợp tổng quát thì không 
giải quyết được nếu chưa có tích phân, khi khái niệm tích phân đã được học ở môn Toán, 
SVL12Ch đã không quay lại để giải quyết trường hợp chuyển động bất kì. Sự “dang dở” 
trong nghiên cứu về chuyển động của SGK Vật lí phổ thông khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: 
Trong dạy học tích phân, SGK Toán có giúp HS tìm thấy lời giải của bài toán tính quãng 
đường của chuyển động bất kì không? Hay có vấn đề liên môn nào khác được trình bày? 
3.2. Khái niệm tích phân trong SGK Toán 12 nhìn từ quan điểm liên môn 
Chúng tôi chọn phân tích SGK Giải tích 12 theo chương trình chuẩn (SGT12Ch). 
Khái niệm tích phân được trình bày ở chương III: “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”. 
Về mục tiêu chính của chương, sách giáo viên (SGV) nhấn mạnh ứng dụng của tích phân 
trong hình học và chỉ với một câu để nói về ứng dụng của tích phân vào các lĩnh vực khác. 
Tích phân có ứng dụng trong nhiều lĩnh khoa học. Ở đây, đặc biệt lưu ý ứng dụng hình học 
của tích phân. Nhờ tích phân, ta thấy lại công thức tính diện tích hình phẳng và thể tích của 
hình khối của môn hình học giảng dạy trong chương trình THPT và hơn thế còn tính được 
diện tích và thể tích những hình khác nữa. (SGV Giải tích 12 chương trình chuẩn, tr. 109) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
155 
Rõ ràng ở đây, vai trò công cụ của tích phân chỉ tập trung thể hiện trong hình học, cụ 
thể là công cụ này được dùng để tính diện tích của hình phẳng và thể tích của vật thể. Công 
cụ tích phân trong Vật lí không được nhắc đến. 
a) Định nghĩa khái niệm tích phân 
Chúng tôi nhận thấy định nghĩa tích phân trong SGT12Ch được trình bày thông qua 
nguyên hàm, một “khái niệm ngược” với khái niệm đạo hàm. Trước khi đi vào định nghĩa, 
tác giả thể chế hóa đầy đủ công thức tính diện tích hình thang cong “ܵ(ܾ) = ܨ(ܾ) − ܨ(ܽ)” 
(tr.104) (với ܨ(ݔ) là một nguyên hàm của ݂(ݔ)) qua đó cho HS thấy được ý nghĩa của hiệu 
số này, từ đó lấy hiệu số ܨ(ܾ) − ܨ(ܽ) định nghĩa là tích phân: 
Cho ݂(ݔ) là hàm số liên tục trên đoạn [ܽ;ܾ]. Giả sử ܨ(ݔ) là một nguyên hàm của ݂(ݔ) trên 
đoạn [ܽ; ܾ]. 
Hiệu số ܨ(ܾ) −ܨ(ܽ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ܽ; ܾ]) của hàm số ݂(ݔ), kí hiệu là 
∫ ݂(ݔ)݀ݔ௕௔ . (SGT12Ch, tr.105) 
Xác định ứng dụng của tích phân trong hình học là trọng tâm, SGT12Ch dành riêng 
một bài trong tổng số 3 bài của chương để trình bày kiến thức này, đó là Bài 3. Ứng dụng 
của tích phân trong hình học. Trong bài này, SGT12Ch thừa nhận thêm nhiều kiến thức, 
xây dựng một hệ thống công thức, ví dụ và bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhằm giúp HS 
có thể sử dụng công cụ tích phân để giải một số bài toán hình học. 
Như vậy, khái niệm tích phân hình thành trong HS là theo cách tiếp cận “ngược 
của đạo hàm”, cách tiếp cận “chia nhỏ, lập tổng rồi chuyển qua giới hạn” của khái niệm 
tích phân chỉ được chúng tôi tìm thấy ở bài đọc thêm, nếu không được GV giảng dạy 
thì cách tiếp cận này khó được xây dựng trong HS. Điều này dễ làm HS lầm tưởng rằng 
có khái niệm đạo hàm rồi mới có thể có khái niệm tích phân theo như trình tự 
SGT12Ch trình bày. 
b) Những praxéologie liên quan đến khái niệm tích phân có trong SGT12Ch và sách bài 
tập Giải tích 12 chương trình chuẩn 
Chúng tôi tiến hành thu thập các kiểu nhiệm vụ liên quan đến tích phân trong SGT12Ch 
và sách bài tập (SBT) Giải tích 12 chương trình chuẩn và thu được bảng tổng hợp sau: 
 Kiểu nhiệm vụ 
ଵܶ Tìm nguyên hàm ∫ f(x)dx, trong đó f(x) được cho sẵn qua một biểu thức giải tích 
ଶܶ Tính tích phân I = ∫ f(x)dxୠୟ , trong đó f(x) được cho sẵn qua một biểu thức giải tích 
ଷܶ Chứng minh đẳng thức tích phân 
ସܶ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
ݕ = ݂(ݔ),ݕ = ݃(ݔ),ݔ = ܽ, ݔ = ܾ; trong đó ݂(ݔ) và ݃(ݔ) được cho sẵn qua một 
biểu thức giải tích 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
156 
ହܶ Tính thể tích vật thể khi biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc 
với trục Ox và giới hạn bởi hai mặt phẳng (P): ݔ = ܽ, (Q): ݔ = ܾ 
ହܶ.ଵ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục hoành (hoặc 
trục tung); trong đó hình phẳng giới hạn bởi các đường ݕ = ݂(ݔ),ݕ = ݃(ݔ),	 ݔ =
ܽ, ݔ = ܾ và ݂(ݔ) và ݃(ݔ) được cho sẵn qua một biểu thức giải tích 
Như vậy, không có một dấu hiệu liên môn nào giữa tích phân và Vật lí trong 
SGT12Ch. Tuy nhiên, từ năm 2017, kì thi THPT Quốc gia đã được Bộ Giáo dục và Đào 
tạo chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm ở bộ môn Toán, và 
chúng tôi tìm thấy một kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí. Cụ thể là kiểu nhiệm vụ 
଺ܶ:	“Tính quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời 
điểm b khi biết phương trình vận tốc v(t)”; được tìm thấy ở câu 41 mã đề 101 trong đề thi 
chính thức mà chúng tôi đã trích dẫn ở phần trên (các mã đề khác đều có câu hỏi tương tự). 
Trước đó, nhằm mục đích giúp GV và HS định hướng ôn tập với hình thức thi mới, Bộ 
Giáo dục và Đào tạo đã công bố đề thi minh họa kì thi THPT Quốc gia năm 2017 và kiểu 
nhiệm vụ ଺ܶ cũng có xuất hiện ở câu 24: 
Câu 24. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô 
chuyển động chậm dần đều với vận tốc ݒ(ݐ) = −5ݐ + 10(݉/ݏ), trong đó ݐ là khoảng thời 
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô 
tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? 
A. 0,2m B. 2m C.10m D. 20m 
Kiểu nhiệm vụ ଺ܶ không hiện diện ở SGT12Ch nhưng được đưa vào đề thi. Cùng với 
kết quả thực nghiệm là nhiều HS giải được Bài toán 1, cho chúng tôi nhận định rằng: 
Trong quá giảng dạy khái niệm tích phân, GV có chú ý bổ sung thêm kiểu nhiệm vụ T଺, dù 
SGK không trình bày. Nhưng trong khuôn khổ của bài báo chúng tôi không tiến hành phân 
tích thực hành dạy học của giáo viên. 
Thêm nữa, kiểu nhiệm vụ ଶܶ: “Tính tích phân I = ∫ f(x)dxୠୟ ) với f(x) luôn được SGK 
cho sẵn qua một biểu thức giải tích”. Điều này có thể dẫn đến “cách hiểu” sai lầm trong 
HS: muốn tính tích phân nhất thiết phải có biểu thức giải tích dưới dấu tích phân. Đúng 
như kết quả thực nghiệm của Bài toán 1, các em đều cố gắng tìm biểu thức của hàm vận 
tốc mà bỏ qua cách giải đơn giản hơn. 
c) Nhận xét về SGT12Ch 
Từ những phân tích về cách trình bày khái niệm và các kiểu nhiệm vụ trong 
SGT12Ch và SBT Giải tích 12 chương trình chuẩn, chúng tôi nhận thấy vấn đề liên môn 
với Vật lí không được SGK xem xét đến. Như thế, HS không thể thấy được sự đa dạng 
trong các ứng dụng của tích phân. Về ý nghĩa hình học của tích phân để tính diện tích hình 
phẳng rất được chú trọng trong chương trình và HS được học với thời lượng khá nhiều 
TẠP CHÍ KHOA HỌC Trường ĐHSP TPHCM Trần Văn Học 
157 
nhưng chiều ngược lại là tính diện tích thay cho tính tích phân lại chưa được chú trọng. 
Chúng tôi thiết nghĩ để xây dựng ý nghĩa hình học của tích phân đầy đủ hơn SGK có thể 
bổ sung thêm một số bài tập buộc HS phải tính diện tích để tìm kết quả tích phân. 
Khái niệm tích phân được định nghĩa theo nguyên hàm, một “khái niệm ngược” của 
đạo hàm do đó HS có thể nhận ra mối “quan hệ ngược” với đạo hàm của tích phân. Tuy 
nhiên, tư tưởng “chia nhỏ, lập tổng rồi chuyển qua giới hạn” gần như không hình thành 
trong HS, làm mất đi phần nào nghĩa của khái niệm tích phân. 
4. Kết luận 
Kết quả phân tích SGT12Ch và SGK Vật lí đã phần nào lí giải kết quả của thực 
nghiệm. Do liên môn không được chú trọng nên nhiều ứng dụng của tích phân đã không 
được trình bày. Tích phân được định nghĩa thông qua nguyên hàm (một “khái niệm ngược” 
của đạo hàm) nên quan điểm này có hình thành trong học sinh, ý nghĩa hình học của tích 
phân có được SGK chú trọng; tuy nhiên, chỉ có tích phân phục vụ tính diện tích, chiều 
ngược lại không quan tâm hình thành cho HS. 
Khi chưa có công cụ tích phân, ta chỉ có thể xem xét ở trường hợp đặc biệt của chuyển 
động là đều hoặc biến đổi đều và nhiều đối tượng khác trong Vật lí cũng trong “tình cảnh” 
như vậy. Nhưng thật đáng tiếc, sau khi khái niệm tích phân được hình thành trong HS, những 
đối tượng này đã không được nhắc lại để giải quyết ở trường hợp tổng quát. 
Định hướng đổi mới nội dung chương trình, SGK của Bộ Giáo dục và Đào tạo xác 
định giảm các dạng bài tập “lắt léo”, tăng thời lượng cho nội dung ứng dụng kiến thức vào 
thực tế. Mong rằng những ứng dụng phong phú của tích phân sẽ được khai thác nhiều hơn 
và các nghĩa của khái niệm tích phân sẽ được bộc lộ đầy đủ. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2008). SGK Giải tích 12. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008). SGV Giải tích 12. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2008). SBT giải tích 12 chương trình chuẩn. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2009). SGK Vật lí 10. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2009). SGK Vật lí 11. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2009). SGK Vật lí 12. NXB Giáo dục. 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2009). SGK Vật lí 12 (Nâng cao). NXB Giáo dục. 
Lê Thị Hoài Châu. (2004). Khai thác lịch sử Toán trong dạy – học khái niệm tích phân. 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (2), 37-45. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 145-158 
158 
Lê Thị Hoài Châu. (2014). Tích hợp trong dạy học toán (Tài liệu bồi dưỡng GV). 
Ngô Minh Đức. (2017). Quan điểm tích hợp trong dạy học khái niệm tích phân. Tạp chí Khoa học 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 14(4), 20-28. 
Trần Lương Công Khanh. (2002). Nghiên cứu didactic về những khó khăn chính của học sinh khi 
tiếp thu khái niệm tích phân. Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh. 
Phạm Trần Nguyệt Thảo. (2016). Dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn. Luận văn 
Thạc sĩ, Trường Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. 
Đỗ Hương Trà. (2015). Nghiên cứu dạy học tích hợp liên môn: những yêu cầu đặt ra trong việc xây 
dựng, lựa chọn nội dung và tổ chức dạy học. Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội, 
31(1), 44-51.