Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn Toán ở trường Trung học Phổ thông: trường hợp dạy học đạo hàm của hàm số y = sin x

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0048
Educational Sci., 2016, Vol. 61, No. 6, pp. 53-59
This paper is available online at 
NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA GÓP PHẦN ĐỔI MỚI
NỘI DUNG DẠY HỌCMÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG:
TRƯỜNG HỢP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = sin x
Nguyễn Tiến Trung
Tạp chí Giáo dục
Tóm tắt. Bài báo trình bày một số phân tích và đề xuất điều chỉnh nhỏ trong nội dung dạy
học và kĩ thuật dạy học một nội dung toán học cụ thể: đạo hàm của hàm số y = sinx. Ba
phương án có thể thực hiện để tránh việc thừa nhận công thức lim
x→0
sinx
x
= 1 và góp phần
giúp học sinh khám phá tri thức toán học là: Thứ nhất, trong sách giáo khoa ban cơ bản có
thể trình bày hoặc đưa phần chứng minh định lí kẹp và định lí lim
x→0
sinx
x
= 1 (*) như trình
bày trong bài báo này vào phần bài tập. Như vậy, thông qua quá trình chữa bài tập cho học
sinh, giáo viên có thể trang bị cho các em các kĩ thuật chứng minh, tìm giới hạn, các công
cụ để giải bài toán tính đạo hàm của hàm số y = sinx khi cần thiết, tránh việc thừa nhận.
Thứ hai, có thể trình bày một phương án khác, sử dụng các kiến thức về hình học, trong
việc giúp học sinh kiến tạo công thức tính đạo hàm của hàm số y = sinx, trong đó không sử
dụng tới hai định lí đã được đề cập ở trên. Thứ ba, có thể sử dụng phần mềm hoặc hướng
dẫn học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để vẽ đồ thị hàm số y =
sinx
x
để giúp học sinh
hình dung, cảm nhận được sự tồn tại và giá trị của “giới hạn” (∗).
Từ khóa: Giới hạn, đạo hàm, tính đạo hàm bằng định nghĩa.
1. Mở đầu
Bài toán tìm giới hạn của hàm số là một dạng bài toán quan trọng, được ứng dụng trong
nhiều bài tập, trong đó có bài toán tính đạo hàm của hàm số. Ngôn ngữ giới hạn mang tới một sự
nhận thức mới – tư tưởng giới hạn, liên tục. Chúng tôi cũng rất đồng quan điểm rằng, "mặc dù tính
liên tục rất gần gũi và dễ nhận thấy, nhưng lại là một khái niệm không dễ diễn tả toán học chính
xác" [1, tr. 165]. Nghĩa là, đối với trình độ của học sinh thì nhiều khi việc hiểu rõ tri thức toán học
không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, hiện có một số nội dung liên quan đến bài
toán giới hạn mà theo chúng tôi còn có thể xem xét, thiết kế một số hướng tiếp cận giúp cho học
sinh có thể hình thành khái niệm, hiểu được khái niệm. Chẳng hạn như trong [2], chúng tôi thấy có
sự trình bày các kiến thức liên quan tới nhau ở các trang, chương khác nhau: đạo hàm của hàm số
y = sinx (trang 207-208); giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1 (dùng để tính đạo hàm của hàm số y = sinx)
Ngày nhận bài: 10/11/2015. Ngày nhận đăng: 10/6/2015.
Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: nttrung@moet.edu.vn
53
Nguyễn Tiến Trung
được trình bày ở các trang 153, 154, 206, 207; các định lí kẹp (dùng để chứng minh có giới hạn
lim
x→0
sinx
x
= 1) được trình bày ở trang 152, 153. Tuy nhiên, các nội dung giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1
và các định lí kẹp được trình bày trong Bài đọc thêm. Căn cứ vào yêu cầu dạy học, chúng tôi xác
định rằng yêu cầu đối với học sinh là nắm được và vận dụng được giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1 trong
làm bài tập, trong các phần kiến thức liên quan (để tính được đạo hàm bằng định nghĩa) chứ không
yêu cầu học sinh nắm chắc về mặt toán học các phép chứng minh. Tương tự như vậy, thực hiện
được phép tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = sinx cũng không phải là yêu cầu cơ
bản cho học sinh mà yêu cầu cơ bản là học sinh nắm được công thức (sinx)′ = cos x và vận dụng
trong giải bài tập. Tiếp đó, chúng tôi thấy rằng trong [3, tr. 163-164], trình bày việc thừa nhận định
lí lim
x→0
sinx
x
= 1 để phục vụ cho việc chứng minh định lí : "hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi
x thuộc Rvà (sinx)′ = cos x". Phần chứng minh định lí về đạo hàm của hàm số y = sinx trong
[3], tương tự như trong [2].
Vì những lí do trên, chúng tôi phân tích, đề xuất một phương án dạy học tính đạo hàm của
hàm số bằng định nghĩa một cách phù hợp, thông qua việc mô tả bài toán giải tích thông qua hình
học và lượng giác. Phân tích này (thông qua mô tả hình học hoặc mô tả, biểu diễn bằng phần mềm
vẽ đồ thị) góp phần giúp học sinh hình dung, cảm nhận được giới hạn của hàm số f (x) =
sinx
x
khi x → 0 một cách trực quan, dù rằng vẫn thừa nhận, không đặt vấn đề chứng minh công thức
giới hạn trên.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Từ bài toán tính đạo hàm của hàm số y = sin x
Trong [2, tr. 207-208], trình bày về việc tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất
kì thuộc R bằng định nghĩa theo cách như sau:
△ y = sin (x+ △ x)− sinx = 2cos
(
x+
△ x
2
)
sin
△ x
2
Khi đó ta có
△ y
△ x
=
2cos
(
x+
△ x
2
)
sin
△ x
2
△ x
Tìm giới hạn
lim
x→0
y
x
= lim
x→0
2 cos
(
x+
x
2
)
sin
x
2
x
= lim
x→0
cos
(
x+
x
2
)
.
sin
x
2
x
2
Lại do lim
△x→0
cos
(
x+
△ x
2
)
= cos x (vì hàm số y = cosx liên tục) và lim
△x→0
sin
△ x
2
△ x
2
= 1
54
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn Toán...
Hình 1.
(định lí lim
x→0
sinx
x
= 1 (*) được thừa nhận, có
phần hướng dẫn chứng minh trong [2, tr. 154]) nên
ta có lim
△x→0
△ y
△ x
= cos x.
Vậy (sinx)′ = cos x.
Bây giờ, chúng ta xem và trình bày lại phần
chứng minh định lí (*) như sau:
Vì x 6= 0 nên chỉ cần xét x trong một
khoảng nào đó chứa điểm 0, chẳng hạn x ∈(
−
pi
2
;
pi
2
)
, x 6= 0.
Trước hết, giả sử x ∈
(
0;
pi
2
)
. Trên đường
tròn lượng giác, ta đặt cung
⌢
AM có số đo bằng
xrad. TiaOM cắt trục tung tại điểm T (hình bên).
Ta có
S△OAM < SquatOAM < S△OAT , tức là
1
2
sinx <
1
2
x <
1
2
tanx
Vì x ∈
(
0;
pi
2
)
nên sinx > 0, do đó chia các vế của các bất đẳng thức trên cho
1
2
sinx ta
được
1 <
x
sinx
<
1
cos x
(1)
Vì cos x > 0 với mọi x ∈
(
0;
pi
2
)
nên từ (1) suy ra
cos x <
sinx
x
< 1 (2)
Nếu x ∈
(
−
pi
2
; 0
)
thì −x ∈
(
0;
pi
2
)
và do đó áp dụng công thức (2) cho (−x), ta được
cos (−x) <
sin (−x)
(−x)
< 1 hay cos x <
sinx
x
< 1
Do vậy, với mọi x ∈
(
−
pi
2
;
pi
2
)
, x 6= 0 ta luôn có cosx <
sinx
x
< 1.
Lại có lim
x→0
cos x = 1.
Theo định lí kẹp (định lí 2, trình bày trong [2, tr. 153]) thì ta có
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy một cách chứng minh định lí (*) bằng cách sử dụng hình
học như sau (theo [4]):
55
Nguyễn Tiến Trung
Ta có đường tròn đơn vị tâm O, B̂OA = x (rad). Khi đó ta có độ dài cung
⌢
BA được tính
bằng s = rx = x.
Lấy B’ đối xứng với B qua OA, khi đó ta có B̂′OA = x (rad), arc
⌢
BA = arc
⌢
B′A. Kẻ
BB’ cắt OA tại H, khi đó ta có
BB′ < arc
⌢
BAB′ < BC + CB′
Hình 2.
Lại do
BB′ = 2 sinx;BC = CB′ = tan x
Như vậy ta có
2 sinx < 2x < 2 tan x⇔ 1 <
x
sinx
<
1
cosx
Khi đó ta có
cos x <
sinx
x
 −
sinx
x
> −1
⇔ 1− cos x > 1−
sinx
x
> 0
Sử dụng định lí kẹp ta suy ra
lim
x→0
(
1−
sinx
x
)
= 0 = 1− lim
x→0
sinx
x
⇒ lim
x→0
sinx
x
= 1 (Đpcm)
Hình 5.
Như vậy, định lí về đạo hàm của hàm số y = sinx được chứng minh hoàn thiện. Cả hai
phần trình bày chứng minh định lí (*) ở trên đều phải sử dụng đến định lí kẹp về giới hạn. Các định
lí này đều là định lí khó, trong sách giáo khoa cơ bản của Việt Nam không được dạy, trong Sách
56
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn Toán...
giáo khoa nâng cao được trình bày trong phần Bài đọc thêm. Chính vì lí do đó, chúng tôi tìm cách
tiếp cận khác để mô tả, tiếp cận với định lí chủ yếu thông qua các kiến thức hình học phẳng.
Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm được một cách mô tả thông qua đồ thị của hàm số f (x) =
sinx
x
để từ đó học sinh có thể hình dung về giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1 như hình vẽ [5].
2.2. Một số phương án đề xuất trong dạy học, điều chỉnh nội dung dạy học
Từ việc trình bày như trên, chúng tôi thấy rằng, học sinh không gặp khó khăn lắm trong việc
tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = sinx khi đã thừa nhận các định lí đã được chứng
minh.
Tuy vậy, chúng tôi đề xuất ba phương án có thể thực hiện để tránh việc thừa nhận (phần
thừa nhận này được trình bày trong Bài đọc thêm):
Thứ nhất, trong sách giáo khoa ban cơ bản có thể trình bày hoặc đưa phần chứng minh định
lí kẹp và định lí (*) như trình bày trong bài báo này vào phần bài tập. Như vậy, thông qua quá trình
chữa bài tập cho học sinh, giáo viên có thể trang bị cho các em các kĩ thuật chứng minh, tìm giới
hạn, các công cụ để giải bài toán tính đạo hàm của hàm số y = sinx khi cần thiết, tránh việc thừa
nhận.
Thứ hai, có thể trình bày một phương án khác, sử dụng hình học, trong việc giúp học sinh
kiến tạo công thức tính đạo hàm của hàm số y = sinx, trong đó không sử dụng tới hai định lí đã
được đề cập ở trên.
Thật vậy, trên đường tròn đơn vị, ta sẽ biểu diễn các đối tượng như mô tả dưới đây. Điểm
M trên đường tròn đơn vị biểu diễn góc lượng giác có số đo là x (rad), điểm N (rất gần điểm M)
biểu diễn góc lượng giác x+ △ x (rad).
Hình 3. Hình 4.
Trước hết, chúng ta có một số nhận xét như sau:
1) Trong đường tròn đơn vị, ta có
⌢
MN =△ x (rad)
2) Khi △ x tiến dần tới 0 tức là số vô cùng nhỏ, nên cung
⌢
MN là vô cùng nhỏ, do đó, có
thể hình dung độ dài cung
⌢
MN xấp xỉ bằng độ dài dâyMN , tức là có thể coiMN =△ x.
3) Hơn nữa, vì △ x vô cùng nhỏ nên có thể coi như góc ÔMN = pi (rad). Cũng do đó,
57
Nguyễn Tiến Trung
và do x = ÔMP (hai góc ở vị trí so le), ta có ÔMP = P̂NM (vì có thể coi hai ÔMP, P̂NM
là góc có hai cạnh tương ứng vuông góc là PN⊥PM ; MN⊥OM ).
Bây giờ, ta đưa một phần Hình 3 ra, “phóng to lên” và sử dụng hai chú ý trên, ta được Hình
4 như dưới đây.
Hình 5.
Khi đó ta có
△ y = sin (x+ △ x)− sinx = NP = MN cos x = △ x cos x
Suy ra
lim
△x→0
△ y
△ x
= lim
△x→0
sin (x+ △ x)− sinx
△ x
= lim
△x→0
△ x cos x
△ x
= cos x
Từ đó, có thể “phát biểu” rằng đạo hàm của hàm số y = sinx là cos x.
Thứ ba, có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ thị (miễn phí, có thể khai thác
trên mạng internet) để vẽ đồ thị hàm số y =
sinx
x
, như ví dụ ở hình 5, để giúp học sinh hình dung,
cảm nhận được sự tồn tại và giá trị của “giới hạn” lim
x→0
sinx
x
= 1. Từ đó, chúng tôi cho rằng cần
đưa vào dạy học một số phần mềm toán cho học sinh trung học để học sinh có thể sử dụng như
một công cụ để nhận thức, khám phá tri thức (chẳng hạn như các phần mềm vẽ hình, phần mềm
vẽ đồ thị, . . . ). Việc khai thác, sử dụng một số phần mềm như vậy không quá phức tạp, học sinh
có thể thực hiện được.
Với những trình bày trong mục này, chúng ta thấy rằng, rất nhiều chỗ trong quá trình phân
tích sử dụng tới các vô cùng bé – là một khái niệm khó hiểu với học sinh. Do vậy, chúng tôi sử
dụng ngôn ngữ dạng rất nhỏ, xấp xỉ để học sinh dễ hình dung hơn. Hơn nữa, chúng tôi cũng sử
dụng nhiều đánh giá xấp xỉ. Đương nhiên, các đánh giá này kết hợp lại rất có thể đem lại (về mặt
toán học) một kết quả không chính xác. Tuy vậy, trong trường hợp này, chúng tôi có được một kết
quả đúng (mang tính dự đoán và có thể chấp nhận được dưới dạng tư duy tưởng tượng). Mục tiêu
của chúng tôi hướng tới là giúp học sinh hình dung được vấn đề khó và không yêu cầu chứng minh
đầy đủ, hoàn thiện (quy định trong sách giáo khoa) thông qua một công cụ khá trực quan (hình
học).
58
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn Toán...
3. Kết luận
Với những trình bày ở trên, với mục tiêu tổ chức cho học sinh khám phá, kiến tạo tri thức,
chúng tôi đã đề xuất một số phương án điều chỉnh nội dung dạy học (trong dạy học môn Toán),
đối với trường hợp dạy học đạo hàm của hàm số y = sinx. Những đề xuất này tập trung vào việc
điều chỉnh nhỏ trong nội dung dạy học và kĩ thuật dạy học một nội dung toán học cụ thể.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Dương Quốc Việt, 2013. Những tư tưởng cơ bản ẩn chứa trong toán học phổ thông. NXB
Giáo dục Việt Nam.
[2] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết
Yên, 2008. Đại số và Giải tích 11. NXB Giáo dục.
[3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn
Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2007. Đại số và giải tích 11, nâng cao. NXB Giáo dục.
[4] 
[5] 
ABSTRACT
Research curriculum and textbooks to provide innovative content in high school math class:
teaching a formula for calculating the derivative of the functions of y = sin x
This article presents an analysis and proposes minor adjustments in math teaching content
and teaching techniques for determining the derivative of the function y = sin x. There are three
ways to avoid the recognition formula and each helps students form an inquisitive mind. First, the
textbook may present the path to prove theorems and theorems lim
x→0
sinx
x
= 1 as presented in this
article. Through the process of fixing student errors, teachers can demonstrate techniques, show
them how to find limits and the tools to solve the problem, calculate the derivative of a function y
= sinx when necessary, and avoid recognition. Second, we can present another embodiment, using
knowledge of geometry tohelp students create a derivative formula of y = sin x which does not use
the next two theorems, as mentioned above. Third, we can use computer software or guide students
in the use of graphing software to graph the function y =
sinx
x
to help students visualize and feel
the existence and value of ‘limited’.
Keywords: Limit, derivative, derivatives calculated using definitions.
59