Một tương tự của định lý Nevanlinna - Cartan p-adic

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 13, 2002
MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ NEVANLINNA - CARTAN P-ADIC
Nguyễn Thành Quang 
Nguyễn Quốc Hải, Phan Đức Tuấn 
Đại học Vinh 
1. GIỚI THIỆU
Năm 1995, Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư đã diễn đạt và chứng minh định lý Nevanlinna – Cartan p-adic (xem [1]). Định lý này có ý nghĩa trong việc thiết lập mối quan hệ giữa hàm độ cao của đường cong chỉnh hình và hàm đếm các không điểm, đặc biệt nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính hyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic.
Nhắc lại rằng, với mỗi hàm chỉnh hình p-adic g, chúng ta sử dụng ký hiệu Nk(g , t) để chỉ hàm đếm Cartan mức k và N(g, t) là hàm đếm các không điểm của g (xem [1]).
Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic (xem [1]).
 Giả sử H1 , H2 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh p-adic P n(Cp) và f = ( f1 , f2 , ... , fn+1) : Cp ® Pn(Cp) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Khi đó, ta có:
,
trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi t ® - ¥.
Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian, chúng tôi đưa ra một đánh giá khác về hàm độ cao và hàm đếm.
2. ĐỊNH LÝ KIỂU NEVANLINNA - CARTAN P-ADIC
 2.1. ĐỊNH LÝ. Giả sử H1 , H2 , ... , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n(Cp), tương ứng được xác định bởi các phương trình tuyến tính: F1 = 0 , F2 = 0 , ... , Fq = 0 và f = ( f1, f2, ..., fn+1) : Cp ® P n(Cp) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử rằng
 	 # o 
với mọi không điểm a của hàm . Khi đó, ta có:
,
trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi t ® - ¥.
 Để chứng minh Định lý 2.1. ta cần xét các bổ đề sau:
 2.1.1. BỔ ĐỀ. ( xem [1]) Giả sử Gj = Fj f với j = 1 , ... , q. Khi đó, với mỗi z Î Cp có nhiều nhất n hàm Gj sao cho Gj(z) = 0.
 Gọi b1, b2, ..., bq-n-1 là số phân biệt của tập số I = {1, 2,..., q}, ta đặt
G = ( ..., Gb1Gb2... Gbq-n-1,... ),
trong đó (b1 , b2 , ... , bq-n-1) được lấy với m = ( tổ hợp chập của q) cách chọn chỉ số của tập I. Vì nên từ Bổ đề 2.1.1, suy ra các hàm Gb1 , Gb2 , ... , Gbq-n-1 không có không điểm chung. Vì vậy, G xác định một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh. 
 	2.1.2. BỔ ĐỀ. (xem [1]) Với mỗi t Î R, ta có:
h( G, t) 
 trong đó không phụ thuộc vào t.
 	2.1.3. BỔ ĐỀ . ( xem [1]) Giả sử rằng a1 , a2 , . . . , an+1 là n+1 số phân biệt của tập số I = { 1, 2, . . . , q } . Khi đó:
,
trong đó hằng số chỉ phụ thuộc vào .
Đặt và .
 2.1.4.. BỔ ĐỀ ( xem [1]). .
 2.1.5. BỔ ĐỀ. .
CHỨNG MINH. Giả sử a là một không điểm của R(z), suy ra a là một không điểm của . Theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại ít nhất hàm Gi không nhận a làm không điểm. Giả sử là các chỉ số sao cho không nhận a làm không điểm và n1, n2, ..., nn+1 là các chỉ số còn lại. Từ Bổ đề 2.1.3, suy ra:
.
Đặt Q(z) = .
Định thức trên bằng tổng của các hạng tử có dạng:
 (). Giả sử hạng tử chứa p hàm Gi sao cho Gi(a) = 0. Từ giả thiết định lý, suy ra p k. Ta có: 
 = .
Từ đó suy ra:
Orda 
.
Theo cách đánh giá này thì mọi số hạng còn lại của Q(z) đều có bậc tại a không bé hơn: .
Vì vậy Orda(Q(z))
Từ đó ta có: Orda(R(z)) = Orda(Q(z)).
 Do đó Orda(R) ( n(a) - t ).
 Bất đẳng thức trên đúng với mọi a là không điểm của R(z). Theo định nghĩa của hàm đếm của hàm phân hình p-adic, suy ra:
 N( R, t ) . †
 Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.1.
 Bởi vì , 
cho nên:
h(G, t) = 
 = =.
Theo Bổ đề 2.1.4. ta có: 
Theo Bổ đề 2.1.5, ta có:
 h(R, t) = h+(R, t) = N(R, t) + 0 (1)
 .
Suy ra: h(G, t) .
Kết hợp với Bổ đề 2.1.2, suy ra:
(q n1) h(f, t) .
Do đó: 
(q n1) h+(f, t) . €
Giả sử Hj , j = 1 , ... , q là các siêu phẳng của P n(Cp) ở vị trí tổng quát được xác định bởi phương trình Fj = 0 . Từ Định lý 2.1, chúng tôi mở rộng được Định lý về số khuyết (xem [1]), như sau:
2.2. ĐỊNH LÝ. Giả sử f là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và rẽ nhánh ít nhất là dj trên các siêu phẳng Hj . Giả sử rằng
 # o 
với mọi không điểm a của hàm . Khi đó, ta có: 
.
CHỨNG MINH. Từ Định lý 2.1. ta có:
Từ định nghĩa hàm đếm, ta có:
 = 
 = 
 .
Do vậy .
Suy ra .
Chú ý rằng, khi t thì nên với t đủ lớn thì: 
,
suy ra:
 ›
2.3. HỆ QUẢ (xem [4]). Giả sử f1 , f2 ,..., fn () là các hàm nguyên p-adic không có không điểm chung trên Cp sao cho: f1 + f2 ++ fn = 0.
 Giả sử rằng # , đối với mọi không điểm a của hàm . Khi đó f1 , f2 ,..., fn-1 phụ thuộc tuyến tính nếu bất đẳng thức sau được thực hiện
.
CHỨNG MINH. Giả sử ngược lại f1 , f2 ,..., fn-1 độc lập tuyến tính. Ta định nghĩa một đường cong chỉnh hình g trong P n-2 (Cp) như sau:
 Cp P n-2(Cp) 
 z . 
 Chọn n siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n-2(Cp) là Hj = { zj = 0 }, j = 1 , 2 , ... , n1 và Hn = { z1 + z2 + + zn-1 = 0 }. Khi đó g thoả mãn các giả thiết của Định lý 2.2, suy ra:
, hay là .
 Điều này mâu thuẫn với giả thiết. …
2.4. ĐỊNH LÝ. Giả sử f1 , f2 , . . . , fn () là các hàm nguyên p-adic không có không điểm chung trên Cp và các hàm f1 , f2 , . . . , fn-1 độc lập tuyến tính sao cho f1 + f2 + + fn = 0. Khi đó, ta có:
.
CHỨNG MINH. Trong P n-2(Cp) ta định nghĩa đường cong chỉnh hình g và chọn n siêu phẳng Hj , j = 1 , ... , n như trong chứng minh hệ quả 2.3. Khi đó từ Định lý 2.1 (với cách chọn k = 1), ta có: 
h+(g, t) ,
hay là h+(g, t) .
Từ đó, suy ra:
 .
Mặt khác
 .
Vì vậy:
. …
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, p-adic Nevanlinna - Cartan theorem, Inter. J. Math . 6(7), 719-731 (1995).
S. Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer – Verlag – New York – Berlin – Heidelberg, (1987).
Nguyen Thanh Quang, p-adic hyperbolicity of the complement of hyperplanes in 
P n(Cp) , Acta Math. Vietnamica, Vol. 23 , No.1, 143 - 149 (1998)
Nguyen Thanh Quang, Borel's lemma on the p-adic case, Viet nam J. Math, 26 : 4, 311 – 313 (1998).
Y. T. Siu and S. K. Yeung, Defects for ample divisors of abelian varieties, Schwars lemma, and hyperbolic hyper-surfaces of low degree, Amer. J. Math. 119, 1139 - 1172 (1997).
AN ANALOG OF THE P-ADIC NEVANLINNA - CARTAN THEOREM
Nguyen Thanh Quang Nguyen Quoc Hai, Phan Duc Tuan 
 Department of Mathematics, Vinh University
SUMMARY
 By using the technique of Wronskian, we proved an analog of p-adic Nevanlinna-Cartan theorem and proved a version of p-adic Borel/s lemma.