Một số vấn đề về sai số và nội suy

 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất Tập 60, Kỳ 1 (2019) 87 - 92 87 
Một số vấn đề về sai số và nội suy 
Nguyễn Văn Ngọc *, Tô Văn Đinh 
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất, Việt Nam 
THÔNG TIN BÀI BÁO 
TÓM TẮT 
Quá trình: 
Nhận bài 18/12/2018 
Chấp nhận 22/02/2019 
Đăng online 28/02/2019 
 Mọi tính toán đều có sai số. Bài báo cung cấp cách nhìn tổng quan về sai số, 
trong đó sai số tính toán được đề cập như một điển hình. Các bài toán kỹ 
thuật địa chất, xây dựng,  thường được đặt ra với bộ dữ liệu được khảo sát 
rời rạc. Nội suy là giải pháp nhân rộng kết quả khảo sát. Bài báo mở rộng 
nội suy hàm số một biến số cho hàm số hai biến số. 
© 2019 Trường Đại học Mỏ - Địa chất. Tất cả các quyền được bảo đảm. 
Từ khóa: 
Sai số 
Nội suy 
Nội suy nhiều biến 
1. Mở đầu 
Tiếp xúc trực tiếp với thầy/cô các khoa Xây 
dựng, Địa chất trong trường, các học viên cao 
học nhiều ngành nghề; đọc các tài liệu trắc địa, địa 
chất, xây dựng (Võ Trọng Hùng, 1992, 1993), 
chúng tôi thấy một số vấn đề về tính toán được đặt 
ra. Bài này trình bày bài bản, ngắn gọn các vấn đề 
đó, hy vọng cung cấp cách nhìn tổng quan về một 
công cụ cơ bản cho các lĩnh vực kỹ thuật trong 
trường, đó là sai số và nội suy. 
Về sai số, chúng tôi liệt kê tất cả các loại sai số 
nhằm phác thảo bức tranh toàn cảnh để trong 
những tình huống cụ thể nhà kỹ thuật đưa ra các 
giải pháp hữu hiệu hạn chế sai số, đặc biệt đối với 
loại sai số không thể đánh giá chính xác được. 
Trong mục 2.2 phần 4, chúng tôi lấy một ví dụ 
cụ thể để trình bày sai số hệ thống hay sai số 
phương pháp với lưu ý đặc biệt là: có nhiều 
phương pháp giải cho cùng một bài toán. Mỗi 
phương pháp có thuật toán riêng với độ phức tạp 
và sai số của kết quả cuối cùng khác nhau. Việc lựa 
chọn phương pháp (quy trình) là công việc cực kỳ 
quan trọng. Trong thực tế ta vẫn thường thấy 
“đúng quy trình” nhưng vẫn không cho kết quả 
như ý, đó là quy trình quá phức tạp (không khả 
thi) hoặc sai số quá lớn (không đúng người đúng 
việc). 
Vấn đề nội suy cho kết quả là hàm số một biến 
số là bài toán cơ bản của phương pháp tính, được 
trình bày trong mọi tài liệu về phương pháp tính. 
Tuy nhiên, nội suy với dữ liệu cho trước tại các 
điểm M(xi, yi) và kết quả là hàm số hai biến số được 
đặt ra bởi các thầy/cô trong trường đã thôi thúc 
chúng tôi mạnh dạn mở rộng kết quả cho bài toán 
mới với hy vọng các thầy/cô áp dụng được vào 
công việc của mình và rất mong nhận được sự 
phản hồi từ thực tế để chúng tôi hoàn chỉnh các 
đánh giá lý thuyết về sai số. Trước mắt chúng tôi 
chỉ thuyết phục thông qua các ví dụ minh họa ở 
phần cuối cùng của bài này. 
2. Sai số và sai số tính toán. 
_____________________ 
*Tác giả liên hệ 
E - mail: nguyenvanngoc@humg. edu. vn 
THÔNG TIN KHOA HỌC 
88 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 
(1) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
2.1. Phân loại sai số 
Vấn đề sai số được đặt ra trong mọi lĩnh vực 
kinh tế, khoa học, kỹ thuật: kỹ thuật dầu khí, kỹ 
thuật địa chất, kỹ thuật xây dựng Sai số khi đánh 
giá trữ lượng một mỏ dầu; khi đo tốc độ của một 
phương tiện; khi đánh giá kết quả một công việc, 
một bài thi. Sai số của giá trị một biểu thức khi các 
toán hạng tham gia biểu thức đó có sai số... Vậy với 
mỗi đại lượng, sai số được hiểu thế nào? Để trả lời 
câu hỏi này người ta phân chia ra các loại sai số 
khác nhau với các cách nghiên cứu rất khác nhau. 
Một đại lượng cần nghiên cứu U được xấp xỉ 
bằng một hằng số a. Nếu U được hiểu là một biến 
ngẫu nhiên thì sai số |U-a| là biến ngẫu nhiên và 
sai số trong trường hợp này gọi là sai số ngẫu 
nhiên. Sai số ngẫu nhiên được nghiên cứu bằng lý 
thuyết xác suất và thống kê bởi các bài toán 
phương sai, ước lượng kỳ vọng  
Người ta có thể xem đại lượng U như là một 
biến số thực, khi đó |U-a| là biến số thực. Sai số 
trong trường hợp này gọi là sai số tính toán và 
được nghiên cứu trong giải tích hàm. 
Một đại lượng cũng có thể được đánh giá bằng 
các phương pháp, bằng các hệ thống quy tắc khác 
nhau. Sai số phát sinh trong trường hợp này gọi là 
sai số phương pháp hay sai số hệ thống. Có nhiều 
cách đánh giá sai số hệ thống như làm các thực 
nghiệm, các kiểm định, dùng giải tích hàm, v.v 
Trở lại sai số tính toán. Đại lượng cần xác định 
U có sai số phụ thuộc vào các toán hạng tham gia 
quá trình tính U. Để nghiên cứu sai số trong 
trường hợp này, trước hết phải nghiên cứu sai số 
của các toán hạng riêng lẻ, chi tiết được trình bày 
sau đây. 
2.2. Sai số tính toán 
Để tiện theo dõi, ở đây nhắc lại vài khái niệm 
cơ bản (Tô Văn Đinh và nnk, 2016). 
Xét đại lượng A (nói chung A không biết chính 
xác, ta xem nó như là biến số). 
Ta nói số a (cho trước) là xấp xỉ của A với sai 
số (sai số tuyệt đối hay sai số tuyệt đối giới hạn) ∆a 
nếu a - ∆a ≤ A ≤ a - ∆a 
Tức là: | a - A | ≤ ∆a 
Nói cách khác, số dương ∆a được gọi là sai số 
tuyệt đối của a nếu: | a - A | ≤ ∆a 
Khi đó ta viết: A = a ± ∆a. 
Đại lượng δ gọi là sai số tương đối của số a: 
𝛿 =
∆𝑎
|𝑎|
Sai số tương đối cho biết mức độ tin cậy của 
số xấp xỉ. Sai số tuyệt đối không phản ánh được 
điều đó. Giả sử đo chiều dài của hai cung đường, 
được kết quả S1 = 1500m ± 50cm; S2 = 10m ± 
50cm. 
Hai phép đo có cùng sai số tuyệt đối nhưng 
phép đo sau chính xác hơn phép đo trước. 
Tuy nhiên, nếu biết sai số tuyệt đối thì suy ra 
sai số tương đối và ngược lại. Mở rộng (1) nếu A = 
f(X1,X2,,Xn); a=f(x1,x2,,xn). Trong đó x1, x2,, xn 
tương ứng là xấp xỉ của X1, X2, , Xn với sai số tuyệt 
đối ∆𝑥1 , ∆𝑥2 ,  , ∆𝑥𝑛 thì: 
|𝐴 − 𝑎| = |∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑐1,  , 𝑐𝑛)| ≤
|∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑐1,  , 𝑐𝑛)| ∆𝑥𝑖 
Trong đó ci nằm giữa xi và Xi với mọi i. 
Khi đó: 
∆𝑎= |∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑐1,  , 𝑐𝑛)| ∆𝑥𝑖 
là sai số của a. Tương tự, sai số tương đối của 
a là 𝛿𝑎 =
∆𝑎
|𝑎|
Ví dụ 1 
Cho u = x + y. Tìm ∆𝑢 biết ∆𝑥 , ∆𝑦 
Giải: Theo (4), vì 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 1 
nên ∆u = ∆x + ∆y ; 
Vậy ∆𝑥+𝑦= ∆𝑥 + ∆𝑦 
Ví dụ 2 
Cho u = x + y. Tìm 𝛿𝑢 biết 𝛿𝑥 , 𝛿𝑦. 
Giải: Theo (3), ta có ∆𝑢= |𝑦|∆𝑥 + |𝑥|∆𝑦 
𝛿𝑢 =
∆𝑢
|𝑢|
=
|𝑦|∆𝑥 + |𝑥|∆𝑦
|𝑥𝑦|
=
∆𝑥
|𝑥|
+
∆𝑦
|𝑦|
= 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 
Vậy 𝛿𝑥𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 
Chú ý 
1) Tương tự ví dụ 2, ta có công thức (7) 
𝛿𝑥/𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 
2) Từ công thức (5) ta suy ra công thức (8) 
𝛿𝑥𝑛 = 𝑛𝛿𝑥 
Ví dụ 3 
(2) 
 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 88 - 93 89 
(9) 
(10) 
(11) 
(12) 
Thể tích hình cầu đường kính d tính bởi 
𝑉 =
1
6
𝜋𝑑3 
Cho d=3,7±0,05 và 𝜋 =3,14. Tính 𝛿𝑣 và ∆𝑉. 
Giải: Theo công thức (5) và (8) ta có 𝛿𝑣 =
𝛿𝜋 + 𝛿𝑑3 = 𝛿𝜋 + 3𝛿𝑑 
Mặt khác 𝛿𝜋 =
0,0016
3,14
= 0,0005, 𝛿𝑑 =
0,05
3,7
=
0,0135. 
Vậy 𝛿𝑉 = 0,0005 + 3.0.0135 = 0,04 
 ∆𝑉= 𝑉. 𝛿𝑉 =
1
6
. 3,14. 3,73. 0,04 = 1,06 
2.3. Sai số hệ thống và sai số tính toán 
Nói chung sai số hệ thống hay sai số phương 
pháp được xác định thông qua sai số tính toán của 
phương pháp đó. Để sáng tỏ điều này ta xét chi tiết 
ví dụ sau: 
Ví dụ 1 
Tính 𝐴 = (√2 − 1)10 bằng 2 phương pháp 
Cách 1: Tính trực tiếp 𝐴 = (√2 − 1)10 
Cách 2: Áp dụng khai triển Newton ta được 
A=3363-2378√2 
√2 (√2 − 1)10 3363-2378√2 
1,4 0,0001048576 33,8 
1.41 0,00013422659 10,02 
1,41421 0,00014866399 0,00862 
1,414213563 0,00014867678 0,0001472 
Kết quả khác biệt đó xảy ra vì theo công thức 
(3), mỗi phương pháp có sai số tính toán khác 
nhau. Cụ thể theo công thức (3) 
Sai số tính toán theo cách 1 
A=(x-1)10 
Suy ra: ∆𝑎= 10. (𝑥 − 1)
9∆𝑥 
Sai số tính toán theo cách 2 
A=3363-2378x 
Suy ra: ∆𝑎= 2378∆𝑥 
Ta nhận thấy rằng xấp xỉ x = 1,4 có sai số tuyệt 
đối x = 0,05. Tính sai số như trên dễ dàng lý giải 
sự khác biệt kết quả trong Bảng 1 (các dòng sau 
của Bảng 1 có sai số được tính tương tự). 
Sự ổn định 
Xét một quá trình tính vô hạn (tức là gồm vô 
số bước) để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói 
quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là 
các sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn. 
Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình 
tính là không ổn định. 
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì 
khó có hy vọng tính được đại lượng cần tính với 
sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Cho nên trong tính 
toán nên tránh các quá trình tính không ổn định. 
Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình 
tính thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại 
một bước, sau đó các phép tính đều làm đúng 
không có sai số, nếu cuối cùng sai số tính toán 
không tăng vô hạn thì xem như quá trình tính là 
ổn định. 
Ví dụ2 
Xét quá trình tính 
yi+1 = qyi 
yo và q cho trước. 
Giả sử tại bước i xác định nào đó khi tính yi ta 
phạm một sai số 𝛿𝑖 (đây không phải là kí hiệu của 
sai số tương đối như trước đây), nghĩa là thay cho 
yi ta chỉ thu được 𝑦�̃�. Giả sử: 
|�̃�𝑖 − 𝑦𝑖| = 𝛿, 𝛿 > 0 
Sau đó thay cho 𝑦𝑖+1 ta có �̃�𝑖+1 với (11) 
�̃�𝑖+1 = 𝑞�̃�𝑖 
Lấy (11) trừ (9) vế với vế ta được: 
�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 = 𝑞�̃�𝑖 − 𝑞𝑦𝑖 
�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 = 𝑞(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Tiếp theo đó ta có: 
�̃�𝑖+2 = 𝑞�̃�𝑖+1 
𝑦𝑖+2 = 𝑞𝑦𝑖+1 
Bằng phép trừ như trên ta lại có: 
�̃�𝑖+2 − 𝑦𝑖+2 = 𝑞(�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1) 
= 𝑞2(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Một cách tổng quát ta có (12) 
�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛 = 𝑞
𝑛(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Như vậy, nếu ở bước thứ i ta mắc một sai số 
|�̃�𝑖 − 𝑦𝑖| = 𝛿 và sau đó mọi phép tính đều làm 
đúng thì ở bước i+n ta sẽ mắc sai số: 
|�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛| = |𝑞|
𝑛𝛿
Bảng 1. Kết quả của A tính theo 2 cách. 
90 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 
(13) 
(14) 
Ta thấy có hai trường hợp cần phân biệt: 
1) Trường hợp |q|≤1 lúc đó |𝑞|𝑛 ≤ 1 nên sai 
số 
�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛 ≤ 𝛿, ∀𝑛 
Nghĩa là sai số tính toán bị chặn (không tăng 
vô hạn). Vậy quá trình tính ổn định. 
2) Trường hợp |q|>1 lúc đó |𝑞|𝑛 tăng khi n 
tăng và |𝑞|𝑛 → ∞ khi 𝑛 → ∞, nên sai số 
|�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛| → ∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 
Vậy quá trình tính không ổn định. 
Trong thực tế, mặc dù quá trình tính là vô hạn, 
người ta cũng chỉ làm một số hữu hạn bước, 
nhưng vẫn phải đòi hỏi quá trình tính ổn định mới 
hy vọng với một số hữu hạn bước có thể đạt được 
mức độ chính xác mong muốn. 
4. Nội suy đối với hàm số hai biến số 
Các tài liệu phương pháp tính chỉ đề cập bài 
toán nội suy cho hàm số một biến số. Theo yêu cầu 
của các nhà kỹ thuật chúng tôi mở rộng nội suy 
cho hàm số hai biến số theo hai phương pháp sau. 
4.1. Nội suy theo phương pháp Lagrange 
Bài toán 1 
Cho trước hệ lưới điểm ba chiều 
x x1 x2 ... xn 
y y1 y2 ... yn 
z z1 z2 ... zn 
Tìm hàm số z = F(x,y) thoả mãn bảng 2 dạng 
đa thức Lagrange. 
Hàm F(x,y) được thành lập theo hai bước sau 
Bước 1 
Lập hàm số sau, gọi là đa thức Lagrange cơ sở: 
𝐼𝑖(𝑥, 𝑦) =
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖+1)(𝑥−𝑥𝑛)
(𝑥𝑖−𝑥1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖+1)(𝑥𝑖−𝑥𝑛)
∗
(𝑦−𝑦1)(𝑦−𝑦𝑖−1)(𝑦−𝑦𝑖+1)(𝑦−𝑦𝑛)
(𝑦𝑖−𝑦1)(𝑦𝑖−𝑦𝑖−1)(𝑦𝑖−𝑦𝑖+1)(𝑦𝑖−𝑦𝑛)
xi, yi (1 ≤ I ≤ n) cho ở Bảng 2. 
Bước 2 
Lập hàm số 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐼𝑖(𝑥, 𝑦)𝑧𝑖
𝑛
𝑖=1 
Dễ dàng kiểm nghiệm z = F(x,y) nghiệm đúng 
Bảng 2. 
Ví dụ 1 
Tìm đa thức nội suy Lagrange biết lưới điểm 
như Bảng 3. 
TT x y z 
1 2 2 0 
2 2 0 2 
3 2 -2 0 
4 0 1 0 
5 0 0 1 
6 0 -1 0 
7 -2 2 0 
8 -2 0 2 
9 -2 -2 0 
Giải như Bảng 4 
x y 
Tử số của đa thức 
Lagrange cơ sở 
Mẫu số của 
Đa thức cơ sở 
z 
2 2 
x(x+2)(y-1)y 
(y+1)(y+2) 
192 0 
2 0 
x(x+2)(y-2) 
(y-1)(y+1)(y+2) 
32 2 
2 -2 
x(x+2)(y-2) 
(y-1)y(y+1) 
192 0 
0 1 
(x-2)(x+2)(y-2) 
y(y+1)(y+2) 
24 0 
0 0 
(x-2)(x+2)(y-2) 
(y-1)(y+1)(y+2) 
-16 1 
0 -1 
(x-2)(x+2)(y-2) 
 (𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 2) 
24 0 
-2 2 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 1)𝑦 
(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 
192 0 
-2 0 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2) 
(𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 
32 2 
-2 -2 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2) 
(𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 1) 
192 0 
Vậy hàm số cần tìm: 
𝐹(𝑥, 𝑦) =
𝑥(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32
. 2 +
(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
16
+
(𝑥−2)𝑥(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32
. 2 
Bảng 2. Bảng giá trị của hàm số tại n điểm cho trước. 
Bảng 3. Lưới điểm đa thức nội suy Lagrange. 
Bảng 4. Kết quả đa thức nội suy Lagrange. 
 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 91 
(15) 
(16) 
𝐹(𝑥, 𝑦) =
1
16
[𝑥(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2)] 
4.2. Nội suy bởi hệ hàm độc lập tuyến tính 
Bài toán 2 
Chọn trước một họ gồm n hàm số, gọi là họ 
hàm cơ sở 
𝑓1(𝑥, 𝑦); 𝑓2(𝑥, 𝑦);  ; 𝑓𝑛(𝑥, 𝑦). 
Tìm z = F(x,y) thỏa mãn bảng 2 dạng 
𝑧 = 𝑎1𝑓1(𝑥, 𝑦) + 𝑎2𝑓2(𝑥, 𝑦) + 
 + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥, 𝑦) 
Trong đó: 𝑎1; 𝑎2;  ; 𝑎𝑛 là các tham số. 
Hàm F(x,y) được thành lập theo 2 bước sau: 
Bước 1 
Giải hệ phương trình tuyến tính sau với 
𝑎1; 𝑎2;  ; 𝑎𝑛 là ẩn, xi, yi, zi (1 ≤ i ≤ n) cho ở Bảng 2 
{
𝑎1𝑓1(𝑥1, 𝑦1) + 𝑎2𝑓2(𝑥1, 𝑦1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥1, 𝑦1) = 𝑧1
𝑎1𝑓1(𝑥2, 𝑦2) + 𝑎2𝑓2(𝑥2, 𝑦2) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥2, 𝑦2) = 𝑧2
𝑎1𝑓1(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) + 𝑎2𝑓2(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑧𝑛
Bước 2 
Lập hàm số z = F(x,y) theo công thức (15) 
Để giải được hệ cần điều kiện cho hệ hàm cơ 
sở là ma trận của hệ (16) không suy biến. 
Ví dụ 2 
Tìm hàm nội suy cho lưới điểm ở Ví dụ 1. 
Giải: Do tính đối xứng của hàm lưới, nên ta chỉ 
cần nội suy cho các điểm lưới trong góc phần tư I, 
và hệ hàm cơ sở là các hàm chẵn theo x và y. 
Trong góc phần tư I có 4 điểm lưới. Chọn 4 
hàm cơ sở là 𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑦4 ; 1 . 
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 +
𝑐𝑦4 + 𝑑. 
TT x y x2 y2 y4 1 z 
1 0 0 0 0 0 1 1 
2 0 1 0 1 1 1 0 
3 2 2 4 4 16 1 0 
4 2 0 4 0 0 1 2 
Vậy a, b, c, d là nghiệm của hệ 
(
0 0
0 1
0 1
1 1
4 4
4 0
16 1
0 1
) (
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
1
0
0
2
) 
Giải hệ được nghiệm: 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
0,25
−0,16667
0,166667
1
). 
Vậy hàm số cần tìm là 
0.25𝑥2 − 1,16667𝑦2 + 0,166667𝑦4 + 1 
Ví dụ 3 
Giải ví dụ 2 với hệ hàm cơ sở khác. 
Giải: Trong góc phần tư I có 4 điểm lưới. Chọn 
4 hàm cơ sở chẵn theo biến x và y là 
cos 𝑥 ; cos 𝑦 ; cos 2𝑦 ; 1. 
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = a cos 𝑥 +
𝑏 cos 𝑦 + 𝑐 cos 2𝑦 + 𝑑. 
Lập bảng giá trị 
x y cos(x) cos(y) cos(2y) 1 z 
0 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 0.540302 -0.41615 1 0 
2 2 -0.41615 -0.41615 -0.65364 1 0 
2 0 -0.41615 1 1 1 2 
Vậy a, b, c, d là nghiệm của hệ 
( 
1
1
−0,41615
−0,41615
1
0,540302
−0,41615
1
1
−0,41615
−0,65364
1
1
1
1
1
) 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
1
0
0
2
) 
Giải hệ được nghiệm 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
−0,70614
0,946482
0,398902
0,360757
) 
Vậy hàm nội suy cần tìm là 
𝐹(𝑥, 𝑦) = −0,70614 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 0,946482 𝑐𝑜𝑠 𝑦 +
+0,398902 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 + 0,360757 
Bảng 5. Bảng giá trị 
Bảng 6. Bảng giá trị 
92 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 
5. Kết luận 
Bài báo này trình bày các phương pháp nội 
suy hàm số hai biến số theo định hướng ứng dụng. 
Chúng tôi lựa chọn cách lấy ví dụ để chứng minh 
cho hiệu quả của các phương pháp đã trình bày, 
phù hợp với tư duy biện chứng của các nhà kỹ 
thuật. 
Chúng tôi chân thành cám ơn các đồng nghiệp 
đã tin tưởng đặt vấn đề. Tác giả rất vui và rất sẵn 
sàng tiếp tục trao đổi cùng các bạn ở các lĩnh vực 
liên quan đến ứng dụng của toán học trong kỹ 
thuật. 
Tài liệu tham khảo 
Tô Văn Đinh, 2016, Phương pháp tính. Nhà xuất 
bản giáo dục Việt Nam. 
Võ Trọng Hùng, 1992, Nghiên cứu xây dựng sơ đồ 
tính toán lớp đất đá bảo vệ đáy moong khai 
thác chịu tác dụng của nước ngầm cao áp. Tạp 
chí Công nghiệp Mỏ 4. 12-14. 
Võ Trọng Hùng. 1993, Nghiên cứu tính toán chiều 
dày lớp đất đá bảo vệ chịu ảnh hưởng của áp 
lực nước ngầm trong khai thác lộ thiên. Tuyển 
tập các công trình khoa học Hội nghị Cơ học 
Toàn quốc Lần thứ 5. Tập 5. 78-83. 
ABSTRACT 
Some problems about errors and interpolation. 
Ngoc Van Nguyen, Dinh Van To 
Faculty of General Education, Hanoi University of Minning and Geology, Vietnam 
All computations contain errors. In the first part of this article, computational errors are defined and 
examined through several examples. We highlight the importance of selecting appropriate computation 
method to ensure numerical stability. The second part of the article discusses data interpolation using 
Lagrange polynomials. We demonstrate how Lagrange method can be extended for engineering 
applications that involve more than one independent variable.