Một số biểu hiện của năng lực phát hiện quy luật toán học của học sinh Trung học Phổ thông

VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 235-239; 245 
235 
Email: hlamdhv@gmail.com 
MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỦA NĂNG LỰC PHÁT HIỆN QUY LUẬT TOÁN HỌC 
CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
Trương Thị Dung - Thái Thị Hồng Lam 
Trường Đại học Vinh 
Ngày nhận bài: 12/4/2018; ngày chỉnh sửa: 19/5/2019; ngày duyệt đăng: 22/5/2019. 
Abstract: Competency for detecting mathematical laws plays an important role, which enable 
students explore and discover new knowledge. During Math teaching process, teachers should 
focus on improving this competency for students. This article shows some expressions of 
competency for detecting mathematical laws of students, which provides some suggestions for 
teachers to be able to recognize, then they will have suitable way to help students be more proactive 
in comprehending, exploring and discovering new knowledge. 
Keywords: Competency for detecting mathematical laws, student, high school. 
1. Mở đầu 
A. N. Whitehead cho rằng: “Ngay từ ngày đầu đi 
học, đứa trẻ cần phải có những giây phút sung sướng 
mỗi khi phát hiện ra điều mới lạ. Sự phát hiện đó có khi 
chỉ là sự hiểu biết về hàng loạt các sự kiện xảy ra hàng 
ngày ở xung quanh nó và là một phần của cuộc đời 
nó”(theo [1; tr 262]). Điều đó nói lên rằng, mỗi khi 
phát hiện thêm một sự mới lạ, dù nhỏ nhoi, cũng là rất 
cần thiết đối với người học, tạo cho người học trạng thái 
vui vẻ, thích thú và cảm thấy được thỏa mãn. Cảm giác 
thích thú ấy cứ tăng dần trong các em. Nếu trong dạy 
học (DH), giáo viên (GV) tổ chức được cho học sinh 
(HS) phát hiện ra điều mới lạ về tri thức, kĩ năng, kĩ xảo 
mới, cách thức hành động mới để lĩnh hội tri thức thì 
dần dần hoạt động (HĐ) phát hiện trở thành nhu cầu, 
động cơ học tập (HT) đúng đắn của người học. Nhu cầu, 
lòng khát khao HT lại thúc đẩy HS tiếp tục phát hiện tri 
thức mới từ những sự kiện xảy ra xung quanh. 
Nói riêng, trong quá trình HT môn Toán ở nhà trường, 
HS không chỉ học cách hiểu, ghi nhớ, suy nghĩ về những 
khái niệm và quy luật toán học (QLTH) mà còn phải có 
khả năng vượt ra ngoài khuôn khổ các bài toán (BT) cụ thể 
và những điều đã biết để phát hiện ra những QLTH chưa 
có trong vốn kiến thức của mình. Điểm xuất phát của HĐ 
tìm tòi, phát hiện trong DH toán là những phát hiện ban 
đầu, những thông tin ban đầu được thu thập thông qua 
quan sát các sự vật và hiện tượng. Tiếp đó là HĐ nhằm tìm 
hiểu những thuộc tính, những mối liên hệ có tính quy luật. 
Trong quá trình đó, HS lại có thể phát hiện ra những vấn 
đề khác và có nhu cầu tiếp tục được tìm tòi, khám phá. 
Trong HT, các BT yêu cầu tìm kiếm QLTH một cách 
thuần túy tạo cơ hội cho HS thực hiện việc huy động, sắp 
xếp lại những kiến thức đã có để tạo nên những mối liên 
hệ và những cấu trúc toán học mới, tạo điều kiện để các 
em được rèn luyện các HĐ trí tuệ. Bên cạnh đó việc bồi 
dưỡng NL phát hiện các QLTH cũng góp phần tạo động 
cơ, hứng thú HT, giúp HS chủ động tìm kiếm tri thức 
toán học thay vì tiếp nhận một cách thụ động. Vì vậy, 
việc nghiên cứu, phân tích để làm sáng tỏ một số biểu 
hiện của năng lực phát hiện (NLPH) các QLTH sẽ giúp 
GV tìm kiếm các giải pháp nâng cao chất lượng và hiệu 
quả DH môn Toán. Bài viết sẽ trình bày một số biểu hiện 
của HS có NLPH các QLTH. 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Quy luật toán học 
Trong Toán học, tồn tại những mối liên hệ bản chất, 
ổn định, tất yếu, lặp đi lặp lại giữa các phương diện, các 
yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và 
quan hệ toán học. Ta sẽ gọi chúng là các QLTH. Từ đó, 
dựa trên quan niệm của triết học duy vật biện chứng về 
khái niệm quy luật, dựa vào đặc điểm về đối tượng của 
ngành khoa học Toán học, chúng tôi quan niệm QLTH là 
mối liên hệ khách quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và 
lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên trong 
của các đối tượng và quan hệ toán học. 
Với quan niệm đó, QLTH chứa những thuộc tính cơ 
bản sau đây: - QLTH là mối liên hệ chỉ liên quan đến các 
đối tượng và quan hệ toán học; - QLTH có tính bản chất, 
tất yếu, khách quan; - QLTH là mối liên hệ phổ biến, lặp 
đi lặp lại; - QLTH được xác nhận bằng lập luận chứng 
minh (trừ các tiên đề). 
Sau đây là một số ví dụ. 
1) Xét mệnh đề: “Đối với bất kì hai số tự nhiên a, b đều 
xảy ra a b b a ”. Đây là một QLTH. Tính đúng đắn 
của nó đã được xác nhận. Nó có tính phổ biến và lặp đi lặp 
lại đối với mọi cặp giá trị số tự nhiên của a và b. Nó là tất 
yếu vì là vốn có, nó là bản chất của các số tự nhiên, không 
phụ thuộc vào hình thức diễn đạt bởi các chữ a và b. Nó liên 
quan đến chỉ các đối tượng toán học là các số tự nhiên và 
các quan hệ cộng (+) và bằng nhau (=). 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 235-239; 245 
236 
2) Xét mệnh đề: “Ba đường trung tuyến của tam giác 
cắt nhau tại một điểm”. Đây là QLTH. Nó chỉ liên quan 
đến các đối tượng toán học là các tam giác, trung tuyến 
của tam giác, đường thẳng, điểm,và quan hệ toán học 
là sự cắt nhau của các đường thẳng. Nó là khách quan, 
tất yếu vì điều đó là vốn có như vây; nó có tính bản chất 
vì không phụ thuộc vào các yếu tố không bản chất như 
kích cỡ, hình dạng cụ thể của tam giác. Nó có tính phổ 
biến, lặp đi lặp lại vì điều đó là có đối với mọi tam giác. 
Nó đã được xác nhận (chứng minh) từ lâu. 
Từ quan niệm đã nêu về khái niệm QLTH và các 
thuộc tính cơ bản của nó đã được trình bày ở trên, có thể 
nói rằng các QLTH thực chất là những mệnh đề toán học 
đúng phản ánh mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ 
toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lí, tính 
chất, công thức toán học, và những quy tắc, quy luật suy 
diễn thường dùng trong suy luận toán học. 
2.2. Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát 
hiện các quy luật toán học 
HĐ phát hiện các QLTH chính là HĐ nhận thức các 
QLTH. Có hai mức độ khác nhau, đó là nhận thức cảm 
tính và nhận thức lí tính (tư duy). Ở mức độ nhận thức 
cảm tính, khi đạt đến trình độ phát triển cao của sự tri 
giác có mục đích, có kế hoạch, có biện pháp và đạt tới 
mức phản ánh đối tượng tốt nhất thì tri giác trở thành 
HĐ quan sát của con người, cung cấp cho con người 
các thông tin cần thiết của HĐ tư duy, tưởng tượng và 
sáng tạo. 
Như vậy, một HS có NLPH các QLTH chính là HS 
có NL nhận thức cảm tính và NL tư duy trong lĩnh vực 
toán học. Dựa trên những đặc điểm của nhận thức cảm 
tính và tư duy, có thể mô tả các biểu hiện của HS có 
NLPH QLTH như sau: 
Biểu hiện 1: Biết thực hiện HĐ quan sát một cách có 
chủ định các đối tượng toán học để nhận ra các mối quan 
hệ toán học lặp đi lặp lại trong cấu trúc của đối tượng. 
 Quan sát là mức độ phát triển cao của tri giác. Đó là 
loại tri giác có chủ định, diễn ra tương đối độc lập và lâu 
dài, nhằm phản ánh đầy đủ, rõ rệt các sự vật, hiện tượng 
và những biến đổi của chúng. Trong công việc, ai cũng 
tiến hành quan sát, dựa trên những nghiên cứu về đối 
tượng của toán học, các quan điểm của tâm lí học về quan 
sát và NL quan sát, chúng tôi cho rằng biểu hiện này có 
thể nhận thấy thông qua các HĐ sau: 
- HS biết xác định mục đích của quan sát và nắm 
vững phương pháp quan sát. 
HS nhận thức được rằng HĐ quan sát trong toán học 
có hai mục đích chủ yếu, đó là thu được kiến thức mới và 
vận dụng kiến thức để giải bài tập. Về phương pháp quan 
sát, HS nhận thức được rằng bất cứ sự quan sát nào cũng 
bao hàm hai yếu tố: yếu tố nhìn thấy và yếu tố tư duy. Sự 
kết hợp hai yếu tố này không những xuyên suốt quá trình 
quan sát mà phải kéo dài cả trước và sau khi quan sát. 
Trước khi quan sát, HS phải xác định quan sát cái gì. Tiếp 
đó phải phân tích các thông tin thu được, tiến hành quy 
nạp và cố gắng đi đến những kết luận đúng đắn. Cuối 
cùng, sau khi quan sát sẽ giải quyết vấn đề và tiếp tục suy 
nghĩ về kết quả đã quan sát được. 
- HS biết xem xét đối tượng và quan hệ toán học một 
cách độc lập, đồng thời cũng biết đặt và quan sát chúng 
trong mối tương quan với những đối tượng gần gũi khác 
nhằm tìm ra đặc điểm của đối tượng cần quan tâm. 
Ví dụ 1. + Khi xem xét một hình không gian, ban đầu 
phải quan sát toàn bộ hình để nắm được cái tổng thể, mặt 
khác có thể phân tách thành những bộ phận phẳng, hoặc 
những hình đơn giản, quen thuộc hơn để thuận lợi cho 
việc tìm hiểu đối tượng đó; + Khi học về phương trình 
bậc bốn trùng phương, HS biết xem xét đặc điểm cấu tạo 
của nó, mặt khác biết xét mối liên hệ của nó với phương 
trình bậc hai tương ứng và cũng có khi đặt nó trong mối 
liên hệ với các phương trình bậc cao. 
- HS biết sử dụng hợp lí các phương tiện và các giác 
quan trong quá trình quan sát. 
Quan sát không phải chỉ là dùng mắt để nhìn, HS đã 
biết sử dụng kết hợp các phương tiện vật chất và các giác 
quan để cân, đong, đo, đếm, ước lượng và để cảm nhận, 
biểu đạt, đánh giá. 
Ví dụ 2. Có nhiều khối lập phương đơn vị, yêu cầu HS 
thực hiện các HĐ: + HĐ 1. Ghép các khối lập phương đơn 
vị thành những khối hộp chữ nhật có kích thước khác nhau 
cho trước. Sau đó nhận xét về số khối lập phương cần dùng 
để ghép cho mỗi khối hộp chữ nhật và giá trị các kích 
thước của chúng; + HĐ 2. Dùng 24 khối lập phương đơn 
vị để ghép thành các khối hộp chữ nhật. Sau khi thực hiện 
HĐ 1, HS phát hiện ra rằng số khối lập phương đơn vị cần 
dùng bằng tích của ba kích thước. Đây là một nhận xét 
đúng trong trường hợp cụ thể khi kích thước các cạnh là 
những số nguyên, và HS được thừa nhận kết quả này trong 
trường hợp tổng quát với độ dài cạnh là số không nguyên 
tùy ý. Để thực hiện HĐ 2, HS phải thử nhiều lần vì chưa 
biết vận dụng kết quả ở HĐ 1 để phân tích số 24 thành tích 
của 3 số nguyên dương. Tuy nhiên, các em đã thu được 
nhận xét thú vị: có thể xếp được nhiều hình hộp chữ nhật 
từ 24 khối lập phương, chứng tỏ có nhiều hình hộp chữ 
nhật có cùng thể tích. 
- HS biết tự đặt ra những câu hỏi, thắc mắc nếu thấy 
có hiện tượng bất thường. 
Trong quá trình HT, HS xây dựng kiến thức bằng chính 
sự hiểu biết của mình thông qua việc lặp lại những kinh 
nghiệm có liên quan đến sự tác động qua lại giữa bản thân 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 235-239; 245 
237 
và tài liệu HT. HS biết tự đưa ra ý kiến thông qua việc đặt 
câu hỏi, quan sát những gì xảy ra và khám phá ra câu trả lời. 
Chẳng hạn, trong quá trình xét các trường hợp riêng, nếu 
nhận thấy hiện tượng nào đó xảy ra nhiều lần thì HS biết tự 
hỏi “tại sao?” và biết đặt ra nghi vấn: “phải chăng có một 
quy luật ẩn sau các hiện tượng này?”. 
Biểu hiện 2: Dựa trên những bất biến khi xét các 
trường hợp riêng, biết sử dụng các thao tác tư duy đưa 
ra dự đoán về mối quan hệ có tính quy luật giữa các đối 
tượng toán học trong trường hợp tổng quát. 
J. Bruner cho rằng việc đưa ra dự đoán rồi cố gắng 
chứng minh hoặc phản đối những dự đoán đó là một trải 
nghiệm học có tác động lớn đối với HS (theo [2; tr 106]). 
Do đó, trong HT môn Toán, có thể tiến hành HĐ dự đoán 
là một dạng biểu hiện của HS khả năng tìm tòi, phát hiện 
kiến thức. Các em không chỉ dừng lại ở những tri thức 
toán học cụ thể, riêng lẻ mà biết sử dụng các thao tác tư 
duy để liên kết chúng nhằm bước đầu rút ra những dự 
đoán có tính khái quát về đối tượng. 
Ở đây chúng tôi làm rõ biểu hiện của HS khi sử dụng 
ba phương thức thường dùng để thực hiện HĐ dự đoán: 
quy nạp không hoàn toàn, tương tự, khái quát hóa. 
Phương thức 1: Dự đoán thông qua quá trình quy nạp 
từ một số trường hợp riêng. “Có thể hiểu, phát hiện là 
phương pháp quy nạp, bởi vì HS bắt đầu từ những ví dụ 
cụ thể rồi đi đến khái niệm. Học phát hiện trước hết sẽ 
giúp HS hiểu thấu đáo các khái niệm, sau đó tiến tới tổng 
quát hóa, đưa ra các nguyên lí, các định luật có liên quan 
tới những khái niệm đó” (theo [1; tr 257]). Khi tiến hành 
dự đoán thông qua quy nạp từ một số trường hợp riêng, 
với sự hướng dẫn của GV, HS biết thực hiện theo các 
bước sau: Bước 1: Quan sát các trường hợp riêng; Bước 
2: Sắp xếp các trường hợp riêng; Bước 3: Dự đoán các 
kết quả từ những trường hợp riêng đã quan sát; Bước 4: 
Phát biểu dự đoán; Bước 5: Xác nhận dự đoán; Bước 6: 
Khái quát hóa dự đoán; Bước 7: Biện minh sự dự đoán. 
Phương thức 2: Dự đoán thông qua quá trình khái 
quát hóa. Với sự hướng dẫn của GV, HS biết sử dụng 
thao tác khái quát hóa để tìm kiếm kiến thức mới thông 
qua việc biết thực hiện các bước sau: Bước 1: Quan sát 
một số đối tượng toán học riêng lẻ cần khái quát hóa; 
Bước 2: phát hiện những thuộc tính của các đối tượng đã 
quan sát được; Bước 3: So sánh các thuộc tính đã phát 
hiện được ở bước 2; Bước 4: Tách những thuộc tính bản 
chất (ổn định, có tính lặp lại) trong số những thuộc tính 
giống nhau (xác định được ở bước 3) ra khỏi các thuộc 
tính không bản chất (có tính bộ phận và hay thay đổi) của 
các đối tượng riêng lẻ; Bước 5: Xác minh tính đúng đắn 
của các thuộc tính bản chất đối với tập hợp các đối tượng 
rộng hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đã xét ở bước 2; 
Bước 6: Phát biểu kết quả tổng quát. 
Phương thức 3: Dự đoán thông qua việc sử dụng 
phép tương tự. Sau khi được giới thiệu sơ đồ của phép 
tương tự: “Đối tượng A có các thuộc tính a, b, c; Đối 
tượng B có các thuộc tính a, b, c, d. Kết luận đối tượng A 
có thuộc tính d. Nếu kết luận trên là đúng thì chúng ta đã 
phát hiện được một mối liên hệ, một QLTH mới” (dựa 
theo [3]), cùng với sự hỗ trợ của GV, HS biết tiến hành 
các bước sau để dự đoán kết quả mới: Bước 1. Quan sát 
nhằm tìm các thuộc tính giống nhau của hai đối tượng A, 
B; Bước 2. Tìm thuộc tính a có ở A mà chưa kết luận là 
có ở B; Bước 3. Phát biểu và xác minh dự đoán “B có thể 
có tính chất a”; 
Biểu hiện 3: Phát biểu được những điều đã dự đoán 
thành giả thuyết toán học bằng các thuật ngữ và kí hiệu toán 
học, đồng thời biết thực hiện HĐ kiểm định giả thuyết. 
Theo Paul Ernest: “Người ta có thể nói rằng kiến thức 
toán học bắt đầu với việc đạt được kiến thức ngôn ngữ. 
Ngôn ngữ tự nhiên bao gồm cơ sở của toán học thông qua 
bản danh sách các thuật ngữ toán học cơ bản của nó, 
thông qua những quy tắc và quy ước cung cấp cơ sở cho 
logic học và chân lí logic” (theo [4; tr 88]). Diễn đạt thành 
lời là cơ hội để HS HT lẫn nhau, để trao đổi và làm cho 
người khác hiểu được suy nghĩ của mình. Các phát biểu 
của HS dù còn vụng về trong diễn đạt nhưng cũng thể hiện 
khả năng xâu chuỗi đối với các sự kiện, các ý tưởng toán 
học. Ngôn ngữ giúp người học phát triển các ý tưởng, lập 
luận các giả định, xác lập giả thuyết, trình bày ý kiến cá 
nhân. Do đó, các dự đoán nếu chỉ nằm trong đầu mỗi 
người thì bản thân nó sẽ mất đi cơ hội được phát triển. Mặt 
khác, một trong những việc không thể thiếu khi bắt tay vào 
học toán là cần xây dựng cho mình những phỏng đoán, 
hay đề ra những giả thuyết rồi sau đó tiến hành chứng 
minh. Những điều nói trên chứng tỏ việc có thể phát biểu 
thành giả thuyết bằng ngôn ngữ toán học các sự kiện trong 
nội bộ môn Toán hoặc trong đời sống thực tiễn, đồng thời 
biết thực hiện HĐ kiểm định giả thuyết là một biểu hiện 
của người HS có NLPH các QLTH. 
HS biết thực hiện việc kiểm định giả thuyết, cụ thể là 
biết tiến hành các HĐ: 
- Kiểm tra tính đúng đắn theo những cách khác nhau. 
- Xem xét giả thuyết trong trường hợp đặc biệt. 
- Sử dụng hình vẽ trực quan: Chẳng hạn: sử dụng trục 
số, đường tròn, đồ thị để kiểm tra về nghiệm của một 
phương trình hay hệ phương trình, sử dụng hình vẽ để 
kiểm tra về mối liên hệ giữa các điểm, đường thẳng, mặt 
phẳng trong hình học, 
- Thử: HS thường dùng cách này để kiểm tra kết quả 
một cách thuần túy, hoặc kiểm tra quá trình suy nghĩ, lập 
luận. HS thường tỏ ra hoài nghi với dự đoán hay giả thuyết 
của mình, lúc đầu họ có thể tin, nhưng sau đó lại có sự trăn 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 235-239; 245 
238 
trở, tự kiểm tra lại dự đoán, đôi khi có sự thay đổi. Lúc này, 
bằng cách “thử”, họ có thể tiếp tục đưa ra những dự đoán 
hợp lí hơn, cuối cùng có thể đi đến câu trả lời đúng. 
- So sánh với một kết luận chung đã biết. 
- Thiết lập phép chứng minh hoặc tìm phản ví dụ. 
- Xác lập mối liên hệ nhân quả giữa giả thuyết và tri 
thức đã có. 
- Xem xét lại quá trình hình thành giả thuyết. 
Biểu hiện 4: Thay đổi được cách nhìn quen thuộc 
khi xem xét mối liên hệ ổn định, lặp lại giữa các đối 
tượng và quan hệ toán học, từ đó thiết lập mối quan hệ 
toán học mới. 
Một ý tưởng thú vị thường nảy ra bất chợt, nó đem lại một 
yếu tố quan trọng, mới mẻ và làm thay đổi quan điểm, trạng 
thái tâm lí, kích thích chúng ta tích cực hành động để đạt được 
mục đích. Muốn tìm tòi, phát hiện điều mới lạ, không thể cứ 
mãi mãi đi theo một lối mòn, đôi khi những thói quen, những 
sự rập khuôn làm hạn chế cách thức hành động và làm xơ 
cứng dòng suy nghĩ, ngăn cản sự sáng tạo. Vì một ý tưởng là 
một kết hợp mới từ các phần tử cũ, do vậy cần thử các mối 
kết hợp khác nhau. Trong học Toán, sự thay đổi cách nhìn 
quen thuộc các đối tượng toán học tỏ ra có hiệu quả để thiết 
lập các mối liên hệ mới. Biểu hiện này được nhận thấy qua 
việc HS biết thực hiện các công việc sau: 
- HS biết khai thác những ý nghĩa khác nhau của cùng 
một đối tượng toán học. Chúng tôi minh họa biểu hiện này 
qua việc mô tả lại suy nghĩ của HS khi giải BT sau: 
Ví dụ 3. So sánh 0 2 1 2 n 2n n nM (C ) (C ) ... (C ) và 
2
n
nN C . Khi cho n nhận một số giá trị (bé) cụ thể, HS 
nhận thấy hai biểu thức có cùng giá trị. HS đã suy nghĩ 
rằng liệu có thể giải BT bằng cách sử dụng công thức tổ 
hợp để chứng minh đẳng thức 
0 2 1 2 n 2 n
n n n 2n(C ) (C ) ... (C ) C hay không? Có thể sử 
dụng phương pháp quy nạp toán học hay không? Hầu hết 
những sự cố gắng theo hai hướng trên đều không đi đến 
đích. Và như vậy, cần phải chuyển hướng suy nghĩ nhằm 
tìm cách giải quyết mới. Giá như phát hiện được các đại 
lượng M và N là hai cách thể hiện của cùng một đối tượng 
nào đó thì thật là may mắn! Với ý tưởng ấy, trước hết HS 
đã nhận ra 
n
nC2 là hệ số của 
nx trong khai triển 
Newton của 2n(1 x) , một câu hỏi được đặt ra là phải 
chăng M cũng là hệ số của lũy thừa nx trong khai triển 
Newton của 2n(1 x) ? Để tiếp tục hướng suy nghĩ này 
cần tìm cách biểu diễn khác của 2n(1 x) . Sự có mặt số 
mũ 2 trong mỗi số hạng của M gợi ý cho cách viết
2
n2n(1 x) 1 x 
. Ta có 
2
n n2n n
0 1 n n 0 1 n n
n n n n n n
(1 x) 1 x (1 x) 1 x
C C x ... C x C C x ... C x ,
hệ 
số của nx trong khai triển Newton của 2n(1 x) ở dạng 
này là 0 n 1 n 1 n 0n n n n n nC C C C ... C C
 (*). Vì 
2
2( ) . .k k n k n k k n kn n n n n nC C C C C C
 với 
0 k n , nên ta thấy biểu thức (*) chính là vế trái của 
đẳng thức đã thiết lập ở trên. 
HS có thể thực hiện việc so sánh M và N dựa vào một 
số gợi ý của GV. 
GV: Hãy cho biết ý nghĩa toán học của công thức n2nC ? 
HS: 
n
nC2 là số cách lấy ra n phần tử của tập hợp A 
gồm 2n phần tử. 
GV gợi ý cho những phát biểu tiếp theo của HS, 
chẳng hạn, phải chăng 0 n 1 n 1 n 0n n n n n nC .C C C ... C C
 là 
số cách lấy ra n phần tử của tập hợp A gồm 2n phần tử. 
Với cách nhìn 0 n 1 n 1 n 0n n n n n nC C C C ... C C
 và 
n
nC2 
như là số cách lấy ra n phần tử của tập hợp A gồm 2n 
phần tử, HS đã giải được BT trọn vẹn. 
- HS biết thay đổi các yếu tố tạo nên BT để phát hiện 
mối liên hệ mới. 
Chúng tôi minh họa biểu hiện này qua việc mô tả lại 
cách suy nghĩ của HS khi giải BT sau: 
Ví dụ 4. Xét BT “Cho a, b, c là các số thực dương; x, 
y, z dương thỏa mãn ax by cz không đổi. Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức 
a b c
P
x y z
 ”. 
BT đã được HS giải như sau: 
Nhận thấy 
2
2
a b c
ax by cz
x y z
a b c
ax by cz
x y z
a b c
suy ra 
2
ax
a b c
P
by cz
. Dấu bằng xảy ra khi và chi 
khi x y z . Từ đó rút ra kết luận. 
Nhằm giúp HS phát hiện mối liên hệ mới, GV hướng 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 235-239; 245 
239 
dẫn HS thay đổi cách nhìn của giả thiết “a, b, c là các số 
thực dương; x, y, z dương thỏa mãn ax by cz 
không đổi”. Trước hết, yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Cho 
tam giác ABC có độ dài các cạnh 
1 1 1, ,BC a CA b AB c , gọi x, y, z lần lượt là 
khoảng cách từ điểm M trong tam giác đến các cạnh BC, 
CA, AB, có nhận xét gì về đại lượng 
1 1 1a x b y c z ? 
Lúc này HS đã nhận ra 
1 1 1a x b y c z không đổi, 
chính là hai lần diện tích tam giác ABC. Từ đó các em đã 
phát hiện kết quả mới: Cho M là điểm bất kì trong tam 
giác ABC, kí hiệu ' ' 'MA ,MB ,MC lần lượt là khoảng 
cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB của tam giác. Biểu 
thức 
' ' '
AB BC CA
MC MA MB
 đạt giá trị nhỏ nhất khi M là 
tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. 
Biểu hiện 5: Vận dụng chính xác và suy luận chặt chẽ 
tuân theo quy luật và quy tắc suy luận của logic hình thức 
để tìm những tiền đề đầy đủ và kết luận logic của các tiền 
đề cho trước, nhằm kết nối kiến thức, kĩ năng, kinh 
nghiệm đã có với những tình huống chứa đựng điều cần 
tìm kiếm. 
Theo Bùi Văn Nghị [5], cơ chế chủ yếu đảm bảo cho 
con người khả năng khám phá ra một quan hệ, một đặc 
tính mới từ trước chưa biết được thực hiện thông qua việc 
tạo lập nên những liên hệ mới nhằm kết nối giữa những 
kiến thức, kĩ năng đã biết với những điều chưa biết, những 
liên hệ mới này có vai trò như những chiếc cầu nối giúp 
HS phát hiện ra điều chưa biết. Đào Tam [6] quan niệm: 
Kết nối tri thức đã có với tri thức cần khám phá trong quá 
trình tìm tòi trí tuệ là việc chọn lọc có QL các tri thức đã 
có, tổ chức chúng với tư cách để dự đoán các vấn đề, vận 
dụng chúng để làm sáng tỏ nhiệm vụ nhận thức cũng như 
điều chỉnh quá trình lập luận nhằm tìm ra tri thức mới. 
Do đó, biết vận dụng chính xác các QL và quy tắc 
suy luận của logic hình thức nhằm kết nối những kiến 
thức, kĩ năng, kinh nghiệm đã có với những tình huống 
chứa đựng điều cần tìm kiếm là một biểu hiện của NLPH 
các QLTH. Biểu hiện này được nhận thấy thông qua việc 
HS thực hiện các HĐ sau: 
- HS biết vận dụng đúng các phép suy luận thường gặp 
(quy tắc suy luận kết luận, quy tắc suy luận bắc cầu, phép 
quy nạp hoàn toàn,...) và các phương pháp chứng minh 
(quy nạp toán học, phản chứng, trực tiếp, gián tiếp,...) vào 
việc tìm tòi, dự đoán, chứng minh khi học định lí, giải bài 
tập toán. Trên cơ sở những điều đã biết về các mệnh đề 
thuận, đảo, phản, phản đảo và mối quan hệ giữa chúng, 
HS nhận ra rằng nếu chứng minh trực tiếp BT dạng 
P Q gặp khó khăn thì nên nghĩ đến phương pháp 
gián tiếp, nghĩa là chứng minh mệnh đề phản đảo Q P. 
Khi định lí (BT) có dạng P Q , trong một số trường 
hợp, HS biết xét mệnh đề dạng Q P , nếu mệnh đề 
Q P đúng thì HS thu được kiến thức mới, và như vậy, 
đồng thời cũng có kết quả mới có cấu trúc P Q . HĐ 
này giúp HS tìm tòi, phát hiện tri thức mới nhân khi học 
định lí, sau khi giải xong một BT. 
- HS biết vận dụng quan hệ giữa các lượng từ “với 
mọi”, “tồn tại”, phép phủ định để chứng minh hoặc bác bỏ 
mệnh đề toán học khi biết rằng: phủ định của mệnh đề 
“đúng với mọi giá trị của x” là mệnh đề “sai với ít nhất một 
giá trị của x”; phủ định của mệnh đề “sai với ít nhất một giá 
trị của x” là mệnh đề “đúng với mọi giá trị của x”. 
- HS biết thực hiện các HĐ ăn khớp với những quy tắc 
kết luận logic thường dùng để tìm kiếm các kết luận từ 
những tiền đề cho trước, trong số đó, các kết luận được ghi 
nhận là có ý nghĩa chính là những phát hiện mới của HS. 
Biểu hiện 6: Có thói quen và hứng thú với việc khảo 
sát các mô hình, vật mẫu, tình huống, của đời sống 
thực tiễn nhằm phát hiện những mối liên hệ có tính chất 
toán học ẩn chứa trong các nghiên cứu đó. 
Nhiều phát minh toán học đã được tìm thấy khi người 
nghiên cứu khảo sát các mẫu hình, các tình huống thực tế. 
Trong HT toán, một số HS say sưa với việc tìm các 
phương án để sắp xếp các mẫu hình theo một trật tự hợp 
lí, điều này giúp các em phát hiện nhiều kết quả toán học 
thú vị. Bên cạnh đó, HS cũng thường thực hiện HĐ toán 
học hóa các tình huống thực tiễn với mong muốn tìm kiếm 
các quy luật ẩn chứa trong các tình huống này. Vì vậy, có 
thói quen và hứng thú với việc khảo sát các mô hình, vật 
mẫu, tình huống, của đời sống thực tiễn nhằm phát hiện 
những mối liên hệ toán học ẩn chứa trong đó được xem là 
một biểu hiện của HS có NLPH các QLTH. Biểu hiện này 
được nhận thấy qua việc HS thực hiện các HĐ: 
- Với đồ dùng trực quan đã được GV chuẩn bị, HS tỏ 
ra say sưa lắp ghép, sắp xếp để tạo ra những mô hình theo 
những cách khác nhau, từ đó hi vọng có thể thu được một 
tính chất hay QLTH và cố gắng để tìm kiếm chúng; 
- Từ tình huống trong cuộc sống hằng ngày, HS có ý 
thức quan sát, đo đạc, tính toán, thu thập số liệu, từ đó 
tìm kiếm tính chất, mối quan hệ của các số liệu được biểu 
diễn dưới dạng các biểu thức toán học; 
(Xem tiếp trang 245) 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt Kì 2 tháng 5/2019, tr 240-245 
245 
chúng tôi nhận thấy, nếu vận dụng sáng tạo các định 
hướng đã trình bày thì việc khai thác mạng xã hội học 
tập Edmodo vào học tập môn Toán sẽ giúp HS tích cực, 
chủ động trong học tập; từ đó, góp phần nâng cao kết 
quả học tập của HS. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Nguyễn Việt Dũng - Nguyễn Thị Thu Huyền 
(2018). Sử dụng hệ thống Edmodo hỗ trợ tổ chức 
hoạt động tự học ngoài giờ lên lớp cho sinh viên 
Trường Cao đẳng Sư phạm Thái Nguyên. Tạp chí 
Giáo dục, số 437, tr 59-63; 42. 
[2] Ekici, D. I. (2017). The Use of Edmodo in Creating 
an Online Learning Community of Practice for 
Learning to Teach Science. Malaysian Online Journal 
of Educational Sciences, Vol. 5 (2), pp. 91-106. 
[3] J. Lu - D. Churchill (2013). Creating personal 
learning environments to enhance learning 
engagement. 2013 IEEE 63rd Annual Conference 
International Council for Educational Media 
(ICEM), pp. 1-8. 
[4] Ariani, Y. - Helsa, Y. - Ahmad, S., - Prahmana, R. 
C. I. (2017). Edmodo social learning network for 
elementary school mathematics learning. In Journal 
of Physics: Conference Series, Vol. 943, No. 1, IOP 
Publishing. 
[5] Trust, T. (2017). Motivation, empowerment, and 
innovation: Teachers' beliefs about how participating 
in the Edmodo math subject community shapes 
teaching and learning. Journal of Research on 
Technology in Education, Vol. 49(1-2), pp. 16-30. 
[6] Trust, T. (2015). Deconstructing an online 
community of practice: Teachers’ actions in the 
Edmodo math subject community. Journal of Digital 
learning in Teacher education, Vol. 31(2), pp. 73-81. 
[7] Nguyễn Thị Hiền (2016). Áp dụng mô hình học tập 
kết hợp sử dụng mạng xã hội Edmodo để dạy các 
chủ đề sinh học 7. Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt kì 1 
tháng 6, tr 105-108; 131. 
MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỦA NĂNG LỰC 
(Tiếp theo trang 239) 
- Có thói quen và hứng thú quan sát hình ảnh, đồ vật 
thường gặp, huy động vốn kiến thức đã có để đưa ra 
những dự đoán về mối liên hệ có tính chất hình học 
(chẳng hạn tính đối xứng, song song, vuông góc, đường 
xiên, đường thẳng,) hay những ước lượng về hình 
dáng, độ lớn, tỉ lệ, khoảng cách,... để so sánh các đối 
tượng với nhau nhằm tìm kiếm một quy luật nào đó. 
3. Kết luận 
Trong DH môn Toán theo xu hướng phát triển 
năng lực, một nhiệm vụ của GV là cần phát hiện, theo 
dõi, hình thành và bồi dưỡng cho HS cách thức lĩnh 
hội, tiếp cận với kiến thức mới một cách chủ động, tích 
cực. Nghiên cứu làm sáng tỏ những biểu hiện của 
người HS có NLPH QLTH là một việc làm cần thiết, 
có ý nghĩa thiết thực. Trên cơ sở những biểu hiện này, 
GV sẽ có khả năng nhận biết, từ đó tìm kiếm cách tổ 
chức DH phù hợp góp phần giúp học sinh chủ động, 
sáng tạo trong HT môn Toán. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Nguyễn Hữu Châu (2006). Những vấn đề cơ bản về 
chương trình và quá trình dạy học. NXB Giáo dục. 
[2] Robert J. Marzano (2011). Nghệ thuật và khoa học 
dạy học. NXB Giáo dục Việt Nam. 
[3] Nguyễn Đức Đồng - Nguyễn Văn Vĩnh (2001). 
Lôgic Toán. NXB Thanh Hoá. 
[4] Phạm Sỹ Nam (2013). Nâng cao hiệu quả dạy học 
một số khái niệm giải tích cho học sinh trung học 
phổ thông chuyên toán trên cơ sở vận dụng lí thuyết 
kiến tạo. Luận án tiến sĩ Khoa học giáo dục, Trường 
Đại học Vinh. 
[5] Bùi Văn Nghị (2009). Vận dụng lí luận vào thực tiễn 
dạy học môn Toán ở trường phổ thông. NXB Đại 
học Sư phạm. 
[6] Đào Tam (2014). Bồi dưỡng năng lực kết nối tri thức 
trong dạy học toán ở trường phổ thông theo hướng 
nâng cao hiệu quả hoạt động tìm tòi trí tuệ. Kỉ yếu 
hội thảo Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng 
phát triển năng lực người học giai đoạn 2014-2020, 
NXB Đại học Sư phạm. 
[7] Ngô Thúc Lanh - Đoàn Quỳnh - Nguyễn Đình Trí 
(2000). Từ điển Toán học thông dụng. NXB Giáo 
dục. 
[8] Lin, F.L. (2006). Designing mathematics 
conjecturing activities to foster thinking and 
constructing actively. Mathematical Meeting and 
annual Meeting of the Mathematical Society of 
ROC, pp. 65-73. 
[9] Nickerson, R.S (2010). Mathematical Reasoning 
patterns, problems, conjectures and proofs. Taylor 
and Francis Group, New York.