Một phương pháp tính toán và tương quan giữa xung nhịp máy và phép cộng hai số nguyên khi thực hiện trên phần cứng

Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ 
T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN qu©n sù, Sè 33, 10 - 2014 75 
MéT PH¦¥NG PH¸P TÝNH TO¸N T¦¥NG QUAN 
GI÷A XUNG NHÞP M¸Y Vµ PHÐP CéNG HAI Sè 
NGUYªN KHI THùC HIÖN TR£N PHÇN CøNG 
LỀU ĐỨC TÂN*, HOÀNG VĂN QUÂN**, HOÀNG NGỌC MINH* 
Tóm tắt: Trong việc thực hiện các hệ mật mã khóa công khai, các phép tính 
toán số học trên các số nguyên lớn luôn là phép tính quan trọng và nặng nề 
nhất. Để đánh giá được mức độ tiêu tốn tài nguyên cũng như tốc độ thực hiện 
của các phép toán này, nội dung bài báo trình bày một phương pháp tính toán 
tính tương quan giữa xung nhịp máy và phép cộng hai số nguyên khi thực hiện 
trên phần cứng. 
Từ khóa: Phép cộng, Xung nhịp máy, ECC. 
1. MỞ ĐẦU 
Khi thực hiện tính tổng hai số nguyên X, Y [0, 2k) bằng mạch cộng m-bits thì 
số nhịp máy cần thiết để thực hiện phép cộng này, được ký hiệu là flops(X,Y), sẽ 
là một số xác định. Tuy nhiên nếu ký hiệu F(k) là số nhịp máy để thực hiện phép 
cộng hai số nguyên trong miền [0, 2k) thì đây sẽ là một đại lượng ngẫu nhiên [1,2]. 
Bài báo này trình bày kết quả nghiên cứu về số nhịp máy trung bình được ký hiệu 
là AAF(k) để thực hiện phép cộng hai số nguyên trong miền [0, 2k) và đó cũng 
chính là giá trị kỳ vọng của đại lượng F(k). Mục 2 mô tả hoạt động của mạch cộng 
làm cơ sở cho việc xác định các giá trị flops(X,Y) cũng như phân phối xác suất của 
đại lượng F(k), trong mục này trình bày thêm cách tiếp cận và các công cụ được sử 
dụng để tìm các giá trị AAF(k). Mục 3 liệt kê các kết quả tính toán được về các giá 
trị AAF(k) và quan trọng nhất là thu được kết quả AAF(k) trình bày trong kết quả 1 
và đã được chứng minh trong mục 3.4. 
2. MẠCH CỘNG HAI SỐ NGUYÊN 
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG F(k) 
2.1. Hoạt động của mạch cộng m-bits và trạng thái các thanh ghi sau mỗi nhịp 
máy 
Mạch cộng bao gồm thanh ghi A được gọi là thanh ghi tổng (theo nghĩa giá trị 
tổng sẽ được lưu trong thanh ghi này khi mạch dừng hoạt động) còn C được gọi là 
thanh ghi điều kiển (mạch sẽ dừng khi tất cả các bít trong thanh ghi này bằng 0) 
[2]. Cho A và C là hai thanh ghi m-bits với m>k. Để tính tổng X+Y với X, Y 
[0, 2k), xâu m bít biểu diễn nhị phân của hạng tử thứ nhất đưa vào thanh ghi A còn 
của hạng tử thứ hai đưa vào thanh ghi C. Tức là nếu biểu diễn nhị phân của X và Y 
lần lượt là 
X = (xm 1, ..., xk, xk 1, ..., x1, x0)2 và (2.1) 
Y = (ym 1, ..., yk, yk 1, ..., y1, y0)2 (2.2) 
thì bít thứ i (i=0, ..., k) của các thanh ghi A và C tương ứng, ký hiệu là A[i] và C[i], 
là 
A[i] = xi và C[i] = yi. (2.3) 
Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính 
L. §. T©n, H. V. Qu©n, H. N. Minh, " Mét ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n ... trªn phÇn cøng." 76 
Chú ý: Do X, Y [0, 2k) nên trong vế phải của (2.1) và (2.2) ta luôn có xs = ys 
= 0 với mọi s k. 
Mỗi nhịp máy các giá trị ở bít thứ i của A và C được xử lý tại một khâu tương 
ứng, bit tổng (không nhớ) được đưa vào bít thứ i của A còn bit tràn được đưa vào 
bit thứ i+1 của C. Khi thanh ghi C có trị tất cả các bít bằng 0 thì giá trị X+Y có 
biểu diễn nhị phân chính là các bít tương ứng của thanh ghi A. Ký hiệu A', C' và 
A", C" là trạng thái của hai thanh ghi A và C trước và sau một nhịp máy nào đó thì 
"[0] 0
"[ ] '[ 1] '[ 1] (0 )
"[ ] '[ ] '[ ] (0 )
C
C i A i C i i m
A i A i C i i m
  
 (2.4) 
2.2. Phân phối xác suất của đại lượng F(k) 
Tính chất: F(k) là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên từ 0 đến k+1 có 
phân bố 
Prob(F(k)=f) = 
k4
)f,k(N (f=0, 1, ..., k+1). (2.5) 
trong đó, N(k,f) = #{(X,Y): X, Y [0, 2k) và flops(X,Y) = f}. 
Chứng minh: Với Y = 0 thì trạng thái của thanh ghi C có giá trị tất cả các bít bằng 
0 vì vậy mạch dừng và điều này có nghĩa 
 flops(X,0) = 0. (2.6) 
Với mọi f = 1, 2, ..., k+1; lấy X = 1 và Y = 2f 1 1 thì trạng thái đầu tiên của C là 
có đúng f 1 bít 1 từ các vị trí thấp nhất còn của A chỉ có đúng một bít 1 ở vị trí 
thấp nhất. Dễ dàng nhận ra rằng 
 flops(1, 2f 1 1) = f (f = 1, 2, ..., k+1). (2.7) 
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ với mọi X, Y [0, 2k) thì 
flops(X,Y) k+1. (2.8) 
Thật vậy, từ X, Y < 2k nên X + Y < 2k+1 vì vậy trong suốt quá trình thực hiện 
của mạch cộng thanh ghi C có các bít 1 chỉ xuất hiện ở k+1 vị trí thấp nhất. Theo 
công thức (2.4) thì sau mỗi nhịp máy thì số bít thấp nhất bằng 0 của C sẽ tăng thêm 
1 (do phép dịch trái 1 vị trí) cho nên nhiều nhất là k+1 nhịp thì C sẽ không còn bít 
1 và đương nhiên phép cộng đã hoàn thành. Như vậy, các kết quả (2.6), (2.7) và 
(2.8) đã chứng minh tính đúng đắn của tính chất. Từ X, Y [0, 2k) nên ta có 2k 2k 
= 4k cặp (X,Y) khác nhau và từ định nghĩa của giá trị N(k,f) ta có ngay (2.5) và 
tính chất đã được chứng minh. 
2.3. Cách tiếp cận và công cụ để tính giá trị AAF(k) 
Để tính AAF(k) có hai tiếp cận để thực hiện đó là tính đúng giá trị này trong 
trường hợp k<15 và tính gần đúng nó trong trường hợp ngược lại. 
2.3.1. Công thức tính đúng giá trị AAF(k) 
 Theo công thức (2.5) ta có công thức sau để tính đúng giá trị AAF(k): 
Công thức tính đúng giá trị AAF(k) 
AAF(k) =
( )
4
Total k
k
 (2.9) 
Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ 
T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN qu©n sù, Sè 33, 10 - 2014 77 
 trong đó 
, [0,2 )
( , )
kx y
Total k flops x y
  là tổng số nhịp máy cần thiết để thực hiện 
toàn bộ 4k phép cộng các số nguyên trong miền [0, 2k). 
Thật vậy, AAF(k)= E(F(k))
1
0
( , )
4
k
j
N k f
j
k
  = 
1k
0j
k
)f,k(Nj
4
1 = 
k4
)k(Total . Như 
vậy công thức (2.9) đã được chứng minh. 
2.3.2. Công thức tính gần đúng giá trị AAF(k) 
Theo [1] khi khảo sát một đại lượng ngẫu nhiên X nào đó người ta tiến hành M 
phép thử (quan sát giá trị nhận được của X), giả sử trong phép thử thứ i, giá trị 
nhận được của X là xi (i=1, ..., M). Khi này 
1
(1/ )
M
i
i
M x
 được gọi là kỳ vọng mẫu, 
M được gọi là kích thước mẫu và như một hệ quả của định lý Markov ta có với 
mọi >0 nhỏ tùy ý thì 
1
lim Pr ( )
1
M
ob x E XiM M i
 
 = 1 (2.10) 
Áp dụng cho X=F(k) ta có 
1
lim Pr ( ) ( )
1
M
ob F k AAF kiM M i
 
 = 1 (2.11) 
Từ (2.11) thì ta có thể lấy 
1
(1 / ) ( )
M
i
i
M F k
 là giá trị gần đúng của AAF(k) và chứng 
minh tương tự như cho công thức (2.9) ta có công thức tính gần đúng giá trị 
AAF(k) 
AAF(k) ( , )Total k M
M
 (2.12) 
trong đó, Total(k,M)=
1..
( , )
i M
flops x yi i 
 là tổng số nhịp máy cần thiết để thực hiện 
M phép cộng các số nguyên được lấy một cách ngẫu nhiên trong miền [0, 2k). 
Biểu thức vế phải ( , )Total k M
M
= 1 ( )
1
M
F kiM i

 trong công thức (2.12) được ký hiệu là 
AAF(k,M). 
2.4. Đánh giá |AAF(k) AAF(k,M)| 
2.4.1. Cơ sở lý thuyết 
Trong [1] cho biết với M khá lớn ta có thể sử dụng công thức đánh giá sau: 
 Pr ( ) ( )ob X E X t D X = 2(t). (2.13) 
trong đó 
1
/
M
i
X Xi M 
  với Xi là các đại lượng cùng phân phối và độc lập với nhau. 
Theo tính chất của kỳ vọng và phương sai ta có: E( X )=m ; D( X ) = 2 M 
Nên (2.13) trở thành 
 Pr ob X m t
M

 = 2(t). (2.14) 
Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính 
L. §. T©n, H. V. Qu©n, H. N. Minh, " Mét ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n ... trªn phÇn cøng." 78 
Đại lượng F(k) chỉ nhận hữu hạn giá trị do đó kỳ vọng AAF(k) và phương sai 
của nó, ký hiệu là (k)2, đều hữu hạn dó đó theo công thức (2.14) ta có công thức 
đánh giá tương ứng đó là: 
( )
Pr ( , ) ( )
k
ob AAF k M AAF k t
M
 
 = 2 (t). (2.15) 
Ví dụ 1: Với t = 3.1, giá trị (3.1) tra được trong bảng 1A (trang 72 [5]) (chú ý: 
với cùng một ký hiệu (t) nhưng trong tài liệu [5] chính là 2 (t) trong [1] là 
0.999032 và điều này có nghĩa nếu lấy (k)= 3.1 / ( )M k thì theo công thức 
(2.15) ta có Pr ( , ) ( ) ( )ob AAF k M AAF k k = 0.9990322. 
2.4.2 Ước lượng giá trị (k) 
Để áp dụng được công thức (2.15) việc quan trọng tiếp theo là xác định được 
giá trị (k). Trong điều kiện F(k) chưa biết phân bố nên chúng ta chỉ có thể ước 
lượng giá trị (k), mà điều cần thiết để ước lượng là một cận trên của nó. Trong 
mục này chúng ta sẽ đưa ra cách ước lượng nói trên, chúng ta cần chứng minh một 
bổ đề sau: 
Bổ đề: Cho sự kiện ngẫu nhiên A có phân phối xác xuất Prob(A)=p, nếu trong M 
phép thử độc lập ta thấy sự kiện này xuất hiện đúng M lần thì với mọi >0 cho 
trước ta có 
 Prob(1 p > ) = 
1
1
M

 (2.16) 
Chứng minh: Biết rằng xác suất để sự kiện A xuất hiện M lần trong M phép thử là 
pM , do đó, 
Prob(1 p > ) =
1 1
0 0
/M Mp dp p dp
 
 = 
1
1
M

 . 
Ví dụ 2. Với M=107 và =0.0000006908 ta có 1M1  = 0.001. 
Từ bổ đề trên ta dễ dàng thu được kết quả sau dùng để ước lượng cận trên cho 
giá trị . 
Hệ quả: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có miền giá trị là {0, 1, ..., n}. Nếu thực hiện 
M phép thử độc lập X chỉ nhận giá trị trong miền [s,e] và E(X) min ;
2 2
s e n 
 
 
. 
Khi đó với mọi 0<<1 ta đánh giá 
2 
2 2
(1 ) (1 ) (1 )e s n s    . (2.17) 
Thì xác suất sai lầm loại 2 của đánh giá trên là  = 1M1  . 
3. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ AAF(k) VÀ AAF(k,M) 
3.1. Cách tính giá trị AAF(k) 
Chúng ta sử dụng hàm flops(X,Y) để tính số nhịp máy. Trong trường hợp k 
nhỏ, cụ thể k 14, và tiến hành đếm toàn bộ số nhịp máy cho tất cả 22k phép cộng, 
giá trị thu được ký hiệu là Total(k) và khi này ta có 
 AAF(k) = Total(k) 2 2k. (3.1) 
Ngược lại, chọn phương pháp thống kê đó là tiến hành lấy ngẫu nhiên M=107 
Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ 
T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN qu©n sù, Sè 33, 10 - 2014 79 
cặp số nguyên X, Y [0, 2k), tính Total(k,107) tổng của 107 giá trị flops(X,Y) 
trong mỗi lần lấy ngẫu nhiên đó và khi này 
 AAF(k,107) = Total(k,107) 10 7 (3.2) 
Để phục vụ cho việc đánh giá sai số như đã đưa ra trong mục 2.4, ngoài việc 
tính Total(k) chúng ta còn phải xác định hai tham số fs(k) và fe(k) (dùng trong công 
thức 3.3) với fs(k) là giá trị đầu tiên và fe(k) là giá trị cuối cùng có N(k,f) 0. 
3.2. Kết quả duyệt toàn bộ 22k phép cộng khác nhau với k từ 0 đến 14 
Total(1) = 3, AAF(1) = 0.750000 
Total(2) = 21, AAF(2)= 1.312500 
Total(3) = 113, AAF(3)= 1.765625 
Total(4) = 547, AAF(4)= 2.136719 
Total(5) = 2509, AAF(5)= 2.450195 
Total(6) = 11135, AAF(6)= 2.718506 
Total(7) = 48373, AAF(7)= 2.952454 
Total(8) = 206991, AAF(8)= 3.158432 
Total(9) = 876061, AAF(9) =3.341908 
Total(10)=3677047, AAF(10)=3.506705 
Total(11)=15334149, AAF(11)=3.655946 
Total(12)=63619791, AAF(12)=3.792035 
Total(13)=262861101, AAF(13)=3.91693 
Total(14)=1082389767, AAF(14)=4.032216 
3.3. Kết quả thống kê với 107 mẫu cho mỗi k từ 15 đến 4096 
Bảng 3.1 dưới đây ghi kết quả thống kê được của 112 giá trị k bao gồm k từ 15 
đến 64; k từ 96 đến 1024 trong dạng k=32 i (i=1,..., 30); k từ 1088 đến 2048 trong 
dạng k=64 i (i=1,..., 16) và ; k từ 2176 đến 4096 trong dạng k=128 i (i=1,..., 16). 
Các số liệu được ghi trong bảng bao gồm: k, AAF(k,107), fs(k), fe(k) và (k). 
Các số liệu AAF(k,107), fs(k), fe(k) có được từ thống kê còn (k) được ước 
lượng theo ví dụ 1 mục 2.4.1 (để đạt được độ tin cậy 0.999032), giá trị 2 được 
đánh giá theo công thức (2.17) còn  = 0.0000006908 được lấy theo ví dụ 2 mục 
2.4.2 (để đảm bảo xác suất sai không quá 0.001). Tóm lại (k) được tính theo công 
thức sau 
 (k) = 
2 2
(1 )( (1 ) ) ( 1 (1 ) )
3.1 7
10
f f k fe s s    (3.3) 
Bảng 3.1. Kết quả thống kê 112 giá trị của k. 
k AAF(k,107) fs (k) fe (k) (k) k AAF (k,10
7) fs(k) fe (k) (k) 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
4.1399501 
4.2386532 
4.3320945 
4.4200825 
4.5026766 
4.5807384 
4.6553482 
4.7249131 
4.7923977 
4.8568043 
4.9183709 
4.9770195 
5.0349873 
5.0876514 
5.1409723 
5.1919811 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
23 
24 
23 
24 
25 
24 
25 
24 
0.016039 
0.017042 
0.018044 
0.019046 
0.020049 
0.021051 
0.022054 
0.023056 
0.022054 
0.024059 
0.022054 
0.023056 
0.024059 
0.023056 
0.024059 
0.023056 
288 
320 
352 
384 
416 
448 
480 
512 
544 
576 
608 
640 
672 
704 
736 
768 
8.4977167 
8.6502339 
8.7886398 
8.9146046 
9.0295142 
9.1369311 
9.2362259 
9.3298887 
9.4175886 
9.5004907 
9.5784751 
9.6527988 
9.7229998 
9.7910969 
9.8535831 
9.9160444 
4 
4 
4 
4 
4 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
30 
34 
33 
31 
31 
30 
31 
31 
30 
32 
33 
32 
34 
31 
34 
34 
0.026065 
0.030074 
0.029072 
0.027068 
0.027068 
0.025064 
0.026067 
0.026067 
0.025065 
0.027070 
0.028073 
0.027071 
0.029076 
0.026070 
0.029077 
0.029078 
Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính 
L. §. T©n, H. V. Qu©n, H. N. Minh, " Mét ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n ... trªn phÇn cøng." 80 
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 
51 
52 
53 
54 
55 
56 
57 
58 
59 
60 
61 
62 
63 
64 
96 
128 
160 
192 
224 
256 
5.2410299 
5.2881423 
5.3332005 
5.3778501 
5.4209489 
5.4637941 
5.5035587 
5.5434711 
5.5817211 
5.6189158 
5.6558295 
5.6920440 
5.7259800 
5.7601316 
5.7937005 
5.8254527 
5.8576532 
5.8874458 
5.9189435 
5.9480496 
5.9780568 
6.0063450 
6.0338280 
6.0620954 
6.0884972 
6.1156798 
6.1410676 
6.1666951 
6.1914261 
6.2161775 
6.2402992 
6.2647414 
6.2882122 
6.3104244 
6.9032910 
7.3216611 
7.6464142 
7.9104545 
8.1340866 
8.3274409 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
2 
2 
1 
2 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
3 
3 
3 
3 
4 
26 
27 
25 
25 
28 
27 
26 
27 
26 
26 
26 
28 
27 
31 
27 
27 
26 
29 
28 
27 
33 
27 
26 
27 
29 
28 
28 
33 
27 
28 
33 
29 
29 
27 
29 
29 
29 
28 
29 
30 
0.025061 
0.026063 
0.024059 
0.024059 
0.027066 
0.026064 
0.025061 
0.026064 
0.025061 
0.025061 
0.025061 
0.027066 
0.026064 
0.030073 
0.026064 
0.026064 
0.025061 
0.028068 
0.027066 
0.026064 
0.032078 
0.026064 
0.025061 
0.026064 
0.028068 
0.026064 
0.026064 
0.032078 
0.025061 
0.027066 
0.031076 
0.027066 
0.027066 
0.025061 
0.027066 
0.026064 
0.026064 
0.025062 
0.026064 
0.026064 
800 
832 
864 
896 
928 
960 
992 
1024 
1088 
1152 
1216 
1280 
1344 
1408 
1472 
1536 
1600 
1664 
1728 
1792 
1856 
1920 
1984 
2048 
2176 
2304 
2432 
2560 
2688 
2816 
2944 
3072 
3200 
3328 
3456 
3584 
3712 
3840 
3968 
4096 
9.9746949 
10.0314707 
10.0860103 
10.1386865 
10.1888623 
10.2389178 
10.2861217 
10.3310832 
10.4188155 
10.5008227 
10.5797636 
10.6537093 
10.7234819 
10.7905204 
10.8558274 
10.9169641 
10.9755471 
11.0313155 
11.0867588 
11.1397614 
11.1900650 
11.2385736 
11.2870085 
11.3325767 
11.4198410 
11.5021737 
11.5800870 
11.6550679 
11.7249838 
11.7917189 
11.8547999 
11.9175576 
11.9760081 
12.0320870 
12.0871429 
12.1393587 
12.1904356 
12.2395965 
12.2859574 
12.3345439 
5 
5 
6 
5 
5 
6 
5 
5 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
6 
7 
7 
6 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
8 
33 
33 
31 
32 
34 
35 
32 
34 
33 
35 
34 
32 
33 
34 
34 
35 
33 
34 
34 
33 
32 
32 
30 
33 
32 
32 
35 
35 
35 
34 
33 
33 
31 
35 
32 
35 
33 
34 
33 
32 
0.028076 
0.028077 
0.025071 
0.027076 
0.029081 
0.029082 
0.027078 
0.029083 
0.027081 
0.029087 
0.028086 
0.026085 
0.027089 
0.028093 
0.028095 
0.029099 
0.027099 
0.028102 
0.028105 
0.027107 
0.026109 
0.025112 
0.023115 
0.027119 
0.025126 
0.025134 
0.028141 
0.028149 
0.028157 
0.027167 
0.026178 
0.026188 
0.024205 
0.028205 
0.025225 
0.028226 
0.026246 
0.027254 
0.026272 
0.024299 
3.4. Đánh giá về hàm AAF(k) 
Kết quả 1: Trong phạm vi k từ 1 đến 4096 ta có bất đẳng thức sau với xác suất tin 
cậy trên 0.998 
 log2(k)  AAF(k)  log2(k)+1. (3.4) 
Chứng minh: Như đã được đánh giá trong ví dụ 1 mục 2.4 thì 
|AAF(k) AAF(k,M)| < (3.1/ ) ( )M k (3.5) 
với 2(k) là phương sai của F(k) có xác suất tin cậy là 0.9990322 hay nói một cách 
khác là xác suất sai của bất đẳng thức (3.5) là không đến 0.001. Mặt khác theo bất 
đẳng thức (2.17) trong hệ quả trong mục 2.4.2 thì 
2 22 s)1(ns)1(e)1(     (3.6) 
Ví dụ 2 mục 2.4.2 cho thấy xác suất sai của bất đẳng thức trên trong trường hợp 
M=107 và =0.0000006908 là 0.001. 
Cho nên xác định giá trị (k) theo công thức (3.3) ta có (k) 3.1/ ( )M k 
và vì thế ta thu được 
AAF(k,107) (k) AAF(k) AAF(k,107)+ (k) (3.7) 
Với xác suất sai không đến 0.002 và do vậy xác suất tin cậy của (3.7) là trên 0.998. 
Từ số liệu thống kê về các giá trị AAF(k,107) và (k) tính được đưa ra trong 
bảng 1 ta có ngay được kết quả 1, tuy nhiên để dễ quan sát hơn chúng tôi đã thực 
hiện vẽ 4 đồ thị của các hàm AAF(k,107) (k), ký hiệu là AAF- , 
Nghiªn cøu khoa häc c«ng nghÖ 
T¹p chÝ Nghiªn cøu KH&CN qu©n sù, Sè 33, 10 - 2014 81 
AAF(k,107)+ (k), được ký hiệu là AAF + , log2(k) và log2(k)+1 trong hình vẽ 1. 
Rõ ràng bất đẳng thức trên là đúng và kết quả 1 đã được chứng minh. 
Hình 1. Đồ thị các hàm AAF(k,107) (k), AAF(k,107)+ (k), log2(k) và log2(k)+1 
trong khoảng [1, 4096]. 
4. KẾT LUẬN 
Trên thực tế, phép cộng là phép tính cơ sở cho việc thực hiện các phép tính như 
phép nhân điểm, phép lũy thừa, phép nghịch đảo trong các thuật toán mật mã. Bài 
báo đã đưa ra được một công thức tính tương quan gần đúng giữa xung nhịp máy 
và phép cộng hai số nguyên, nói cách khác là số xung nhịp máy tiêu tốn trung bình 
cho phép cộng hai số nguyên. Kết quả này sẽ là tiền đề để đánh giá tính hiệu quả 
của một số phép nhân số lớn trong các thuật toán mật mã [4]. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. T.T. Điệp, L.H.Tú, “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” NXBGD,Hà Nội 1999. 
[2]. N.T. Vân, “ Kỹ thuật số ”, Nhà xuất bản Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội 1999. 
[3]. Daniel Tabak, “ Advanced Microrocessors ”, McGraw-Hill Inc, 1995. 
[4]. Darrel Hankerson, Alfred Menezes, Scott Vanstone, “Guide to Elliptic Curve 
Crytography”, Springer-Verlag New York, Inc. 2004. 
[5]. J.Likeš, J. Laga, “Základní Statiscke Tabulky", Nakl. tech. literatury, Praha 1978. 
ABSTRACT 
A METHOD OF CALCULATING THE CORRELATION BETWEEN THE 
MACHINE CLOCK AND THE ADDITION OF TWO INTEGER WHEN 
IMPLEMENTED ON HARDWARE 
In the implementation of public-key cryptography systems, numerical 
calculations on the large integer calculation is always important and hardest. 
To assess the level of resource consumption as well as the speed of execution of 
this operation, in this paper we propose a method of calculating the correlation 
between the machine clock and the addition of two integers to real on 
hardware. 
Keywords: Addition, machine clock, Elliptic Curve Cryptography. 
Nhận bài ngày 15 tháng 6 năm 2014 
 Hoàn thiện ngày 10 tháng 9 năm 2014 
Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 9 năm 2014 
 Địa chỉ: * Ban Cơ yếu Chính phủ; 
 ** Cục Cơ yếu – BTTM; DĐ 0983074784. 
F
lo
p
s 
14 
12 
10 
 8 
 6 
 4 
 2 
 0