Một phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng trong giải tích và tôpô học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 15, No. 10 (2018): 130-144
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
130 
MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN KHÁI NIỆM TẬP MỞ, 
TẬP ĐÓNG TRONG GIẢI TÍCH VÀ TÔPÔ HỌC 
Nguyễn Ái Quốc*, Võ Thị Tú Quỳnh 
Trường Đại học Sài Gòn 
Ngày nhận bài: 10-4-2018; ngày nhận bài sửa: 22-4-2018; ngày duyệt đăng: 25-10-2018 
TÓM TẮT 
Tập mở, tập đóng là các khái niệm cơ bản của tôpô học, đặc biệt là trong không gian mêtric. 
Nhiều khái niệm trong tôpô đại cương cũng như trong không gian mêtric đều được xây dựng dựa 
trên tập mở, tập đóng. Bài báo này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình 
thành và phát triển của khái niệm tập mở, tập đóng và xác định các đặc trưng tri thức luận của hai 
đối tượng này. 
Từ khóa: đặc trưng tri thức luận, không gian mêtric, phân tích tri thức luận, tập đóng, tập mở. 
ABSTRACT 
An epistemological analysis of open sets and closed sets in analysis and topology 
Open, closed sets are the basic concepts of Topology, especially in the metric space. Many of 
the concepts in the topology as well as in the metric space are based on these concepts. This paper 
presents an epistemological analysis that clairify the emergence and development of concept of 
open and closed set and determines the epistemological characteristics of theses two knowledge 
objects. 
Keywords: epistemological characteristic, metric space, epistemological analysis, closed set, 
open set. 
1. Đặt vấn đề 
1.1. Vai trò công cụ cơ bản của các khái niệm trong Giải tích 
Tập mở, tập đóng là hai khái niệm cơ bản và xuất hiện hầu hết trong các lĩnh vực của 
Giải tích như Tôpô đại cương, Giải tích hàm, Giải tích lồi, Giải tích hàm ứng dụng, Quy 
hoạch phi tuyến, Giải tích phức, Giải tích thực, vì vậy việc nghiên cứu tri thức luận về hai 
khái niệm này thực sự cần thiết trong việc dạy học các môn Giải tích ở bậc đại học. 
1.2. Tồn tại những quan niệm sai của sinh viên về khái niệm tập mở 
Trong hai tháng 9 và 10/2017, một thực nghiệm khảo sát dưới dạng phỏng vấn trực 
tiếp được tiến hành trên 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Toán của các Trường Đại 
học: Sài Gòn, Đồng Nai, Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh và Sư phạm Thành 
phố Hồ Chí Minh về khái niệm tập mở. Các sinh viên này đã kết thúc các học phần về 
không gian tôpô và không gian mêtric ở năm thứ hai với thời lượng 60 tiết, diễn ra trong 
* Email: nguyenaq2014@gmail.com 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
131 
15 tuần. Mục đích của khảo sát là nhằm tìm hiểu quan niệm của sinh viên về tập mở sau 
khi học xong các học phần trên. Chúng tôi cũng lưu ý rằng có ba cách định nghĩa tập mở 
trong không gian mêtric được đưa vào ở bốn trường đại học trên là: Định nghĩa theo hình 
cầu mở, định nghĩa theo phần trong và định nghĩa theo lân cận. 
 Định nghĩa tập mở theo hình cầu mở 
“Tập con G của X gọi là tập mở nếu a G tồn tại > 0 sao cho B(a, ) G.  
Tập con F của X gọi là tập đóng nếu \X F là tập mở.” (Sutherland, 2009, tr. 54) 
 Định nghĩa tập mở theo lân cận 
“Một tập hợp con U của  được gọi là mở nếu với mỗi x U, tồn tại một số thực 
dương  sao choO (x) U.  ” (Trần Tráng, 2005, tr. 44) 
“Một tập hợp con của  được gọi là đóng nếu nó là phần bù của một tập hợp con 
mở trong  .” (Trần Tráng, 2005, tr. 48) 
 Định nghĩa tập mở theo phần trong: 
“ Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Ta nói A là tập mở nếu 
0
A A . 
Hay có thể nói A mở khi và chỉ khi 
0
A A . 
Ta nói tập con A là đóng nếu X\A là mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr. 18) 
Câu hỏi đặt ra là: “Bạn hãy định nghĩa tập mở trong một không gian mêtric”. 
Kết quả cho thấy ở sinh viên (SV) khoa toán có ba cách xác định một tập mở trong 
không gian mêtric: Định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, và tập mở được thể hiện 
bằng hợp các quả cầu mở. Các quan niệm này ở sinh viên khá chênh lệch so với các định 
nghĩa chính thức. 
Chẳng hạn, sinh viên SV1 cho rằng một tập hợp là mở nếu với bất kì điểm nào trong 
tập, ta đều có thể vẽ một quả cầu mở xung quanh điểm đó sao cho quả cầu chứa trong tập 
hợp. Sinh viên này đã không quan tâm đến việc điểm đó là tâm của quả cầu, mặc dù định 
nghĩa này gần với định nghĩa hình thức của tập mở theo hình cầu mở. 
Sinh viên SV2 thì cho rằng tập mở là tập mà ta có thể lấy bất kì quả cầu mở xung 
quanh bất kì điểm nào chứa hoàn toàn trong tập đó. Định nghĩa này không đúng mặc dù 
“mạnh” hơn định nghĩa hình thức vì ta không cần mọi quả cầu cho mỗi điểm mà chỉ cần ít 
nhất một quả cầu cho mỗi điểm. 
Trong khi đó, có 6 sinh viên khác thì trả lời rằng tập mở là hợp của các quả cầu mở 
và hai sinh viên còn lại thì cho rằng tập mở là một khoảng không chứa biên của nó. Các 
sinh viên này đã sử dụng các tính chất để định nghĩa tập mở và riêng hai sinh viên cuối 
cùng thì chỉ nói đến khái niệm tập mở trên đường thẳng thực. 
Tất cả các sinh viên đều không nói đến các quả cầu là mở trong không gian mêtric 
(X, d). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
132 
1.3. Sự cần thiết của phân tích tri thức luận 
Những sai lầm của sinh viên và nguồn gốc của chúng là câu hỏi mà nhà nghiên cứu 
cần trả lời trước khi tìm cách giúp sinh viên loại bỏ được sai lầm. Theo Brousseau (1983): 
Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, như cách 
nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là 
hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, đã từng có ích đối với việc học trước kia, nhưng 
lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những 
sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được. Chúng tạo thành 
chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm 
bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể 
này. (tr. 171) 
Một phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm tập mở và tập đóng nhằm xác định các 
đặc trưng và các chướng ngại tri thức luận cho phép giải thích thỏa đáng các sai lầm trên 
của sinh viên khoa toán theo quan điểm didactic Toán. Đó cũng là mục đích của nghiên 
cứu trình bày trong bài viết này. 
Phân tích tri thức luận lịch sử một tri thức là nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá 
trình hình thành nên một tri thức, những vấn đề gắn liền với tri thức đó, những trở ngại, 
những bước nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh. (Lê Thị Hoài Châu, 2017) 
Phân tích tri thức luận một tri thức nhằm làm rõ: 
- Những điều kiện, những trở ngại cho sự nảy sinh tri thức khoa học và sự “tiến triển” 
của tri thức hay kiến thức. Từ đó, người ta có thể xác định các chướng ngại tri thức luận. 
Đó là chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức mà việc vượt qua nó đóng vai 
trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể. Trong học tập, việc vượt 
qua những chướng ngại tri thức luận là điều không thể tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu 
thành nên kiến thức. 
- Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết. 
- Những quan niệm có thể gắn liền với tri thức. 
2. Phân tích tri thức luận của khái niệm tập mở, tập đóng 
2.1. Quá trình hình thành và phát triển của khái niệm tập mở, tập đóng trong lịch sử 
2.1.1. Quan niệm giải tích của Cantor (QC) về tập đóng 
Trong khoảng thời gian từ 1872 đến 1890, các bài toán hội tụ gắn liền với chuỗi 
lượng giác đã đưa Georg Cantor đến việc nghiên cứu các tính chất của một số tập con vô 
hạn của đường thẳng thực. Vì lợi ích của các nghiên cứu này, ông đã giới thiệu khái niệm 
cơ bản về điểm giới hạn của một tập và các ý tưởng về tập đóng, tập dẫn xuất và tập trù 
mật. (Burton, 2011, tr. 729) 
Các nghiên cứu quan trọng nhất của Cantor trong lí thuyết tập hợp trải dài qua một 
loạt sáu bài báo tựa đề “Uber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten”(“Về các tập 
điểm tuyến tính vô hạn”) xuất bản trên tạp chí Mathematische Annalen của Đức trong giai 
đoạn 1879 – 1884. (Burton, 2011, tr. 695) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
133 
Năm 1872, Cantor đưa ra cái tên “Grenzpunkt” cho khái niệm điểm giới hạn của một 
tập trong khi mở rộng định lí của ông về tính duy nhất của sự biểu diễn một hàm số thực 
bởi các chuỗi lượng giác của nó từ trường hợp hàm số đó liên tục đến trường hợp nó không 
liên tục tại rải rác một số điểm. Định nghĩa của ông về điểm giới hạn của một tập hợp P 
trên một đường thẳng dựa trên một định nghĩa của “lân cận”, mà định nghĩa này lại dựa 
trên định nghĩa “phần trong” của một khoảng: 
Một điểm giới hạn của một tập điểm P được hiểu là một điểm nằm trên đường thẳng theo 
cách mỗi lân cận của điểm đó chứa nhiều vô số điểm của P. Có thể xảy ra rằng điểm giới hạn 
cũng thuộc P. Lân cận của một điểm có nghĩa là bất kì khoảng nào chứa điểm đó nằm trong 
phần trong của nó. Từ điều này, dễ dàng chứng minh rằng một tập điểm gồm nhiều vô hạn 
điểm phải có ít nhất một điểm giới hạn. (Cantor, 1872, tr. 98) 
Trong bài báo 1872 của ông về chuỗi lượng giác, Cantor đã sử dụng thuật ngữ “điểm 
giới hạn” mới của ông để định nghĩa “tập dẫn xuất” của tập điểm P, tức là tập tất cả các 
điểm giới hạn của P. Sau đó ông lặp lại phép tính của tập dẫn xuất với P(n) không đổi cho 
tập dẫn xuất thứ n của P. Giống như Weierstrass, Cantor chỉ xem định lí Bolzano-
Weierstrass là một định lí trong giải tích cổ điển. Điều tương tự cũng đúng với cách mà 
Cantor xem xét các khái niệm về điểm giới hạn và tập dẫn xuất. 
Năm 1884, Cantor lần đầu tiên định nghĩa khái niệm tập đóng như là một tập có chứa 
tất cả các điểm giới hạn của nó. Ông chỉ ra rằng bất kì tập P đóng là tập dẫn xuất của một 
tập Q nào đó và cũng chỉ ra rằng tập dẫn xuất của A B là hợp của tập dẫn xuất của A và 
tập dẫn xuất của B. (Cantor, 1884, tr. 226) 
Như vậy, Cantor đã định nghĩa khái niệm tập đóng dựa trên khái niệm điểm giới hạn 
(mà ngày nay gọi là điểm tụ) và tập dẫn xuất trên đường thẳng thực  và xem xét nó với 
quan điểm giải tích thực. Sự ra đời của tập đóng gắn liền với việc mở rộng định lí của 
Cantor về tính duy nhất của sự biểu diễn một hàm số thực bởi các dãy hàm lượng giác của 
nó và kết quả của định lí Bolzano – Weierstrass rằng mọi tập đóng vô hạn bị chặn trong 
không gian Euclide n chiều có ít nhất một điểm tụ. Do đó quan niệm giải tích của Cantor 
(QCT) về tập đóng mang hình thức khái niệm toán học1, mang tính tiếp cận địa phương2 
và có cơ chế đối tượng3. 
2.1.2. Dedekind với quan niệm nguyên thủy về tập mở (trước 1879) 
Dedekind là người có những ý tưởng đầu tiên về tập mở mặc dù ông gọi nó với một 
cái tên khác là “Körper”. Ngày 19-01-1879, Dedekind có gửi cho Cantor một bức thư, 
trong đó có đề cập đến bản thảo có tựa đề General Theorems about Spaces, bắt đầu với 
định nghĩa của cái mà ông gọi là một “Körper”: 
1 Hình thức khái niệm toán học: có tên và có định nghĩa. Chúng vừa là đối tượng vừa là công cụ của hoạt động toán học. 
2 Tiếp cận địa phương một khái niệm khi đối tượng gắn liền với khái niệm được xét trên một lân cận đủ bé. 
3 Khái niệm có cơ chế đối tượng khi nó là đối tượng nghiên cứu. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
134 
Một hệ [tức là tập] các điểm p, p', tạo thành một Körper nếu với mỗi điểm p của nó, có một 
độ dài d sao cho tất cả các điểm có khoảng cách từ chúng đến p nhỏ hơn d thì thuộc P. Các 
điểm p, p'[được gọi là] nằm trong P. (Dedekind, 1931, tr. 353) 
Như vậy, Körper của Dedekind chính xác là một tập mở trong không gian Euclide, 
có thể là không gian n chiều. Ông sử dụng khái niệm Körper để định nghĩa thế nào là một 
điểm nằm bên ngoài một Körper P. Từ hai định nghĩa này, ông đã định nghĩa một “điểm 
biên” (“Grenzpunkt”) của P như một điểm không nằm trong và không nằm ngoài P; “biên” 
(“Begrenzung”) của P được định nghĩa là tập tất cả các điểm biên của P. Kết quả cuối cùng 
của ông là: biên của một Körper không thể là một Körper (Dedekind, 1931, 354). 
Dedekind đã kết thúc bản thảo ngắn sau khi đưa ra định nghĩa của biên một tập. Ông 
không tiếp tục phát triển khái niệm tập mở vì vào thời điểm đó, ông định công bố các bài 
thuyết trình của Dirichlet về lí thuyết thế năng và đưa ra một khảo sát chặt chẽ đối với 
nguyên lí của Dirichlet. Tuy nhiên, ông được xem là người đầu tiên đưa ra định nghĩa khái 
niệm một tập mở. 
Như vậy, quan niệm của Dedekind (QDD) về tập mở là quan niệm hình học, xem xét 
tập mở theo khoảng cách trong không gian Euclide n chiều mà ngày nay gọi là định nghĩa 
theo quả cầu mở. Tập mở ra đời với vai trò là một công cụ được Dedekind sử dụng để xét 
thế nào là một điểm nằm bên ngoài một Körper P. Quan niệm QDD về tập mở có hình 
thức của một khái niệm cận toán học và có cơ chế công cụ tường minh.4 
2.1.3. Peano và Jordan với tiếp cận không thành công đối với tập mở 
Cantor không bao giờ sử dụng ý tưởng tổng quát của một tập mở, thậm chí trên một 
đường thẳng. Thay vào đó, ông chỉ nói đến một điểm “bên trong” một khoảng (Cantor, 
1872, tr. 98) hoặc “những điểm trong” của một tập điểm liên tục (Cantor, 1879, tr. 135). 
Tuy nhiên, định nghĩa về điểm trong của Cantor năm 1879 gần với định nghĩa của 
Giuseppe Peano đưa ra trong tác phẩm “Geometric Applications of the Infinitesimal 
Calculus” (Peano, 1887). 
Peano xem xét một tập điểm A (trong không gian 1, 2, hoặc 3 chiều) và định nghĩa 
một điểm p là “điểm trong” của nếu có một số dương r sao cho tất cả các điểm có khoảng 
cách từ p đến chúng nhỏ hơn r thì thuộc A. Trong hai định nghĩa tiếp theo, Peano vượt xa 
những gì Cantor đã làm và phát biểu rằng một điểm p được gọi là “điểm ngoài” của A nếu 
p là điểm trong phần bù của A. Sau cùng, p được gọi là một điểm biên của A nếu p không 
phải là điểm trong lẫn điểm ngoài của A. Peano nhận ra rằng nếu A chứa một số nhưng 
không phải tất cả các điểm trong không gian, thì A nhất thiết phải có một điểm biên, có thể 
thuộc hoặc không thuộc A (Peano, 1887, tr. 152-160). 
4 Khái niệm có cơ chế tường minh khi nó được vận dụng bởi chủ thể và chủ thể có thể trình bày hay giải thích nó. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
135 
Như vậy, những ý tưởng của Peano có thể dễ dàng dẫn đến khái niệm tập mở vào lúc 
đó vì ông có thể định nghĩa tập mở là tập tất cả các điểm trong của nó, nhưng rất tiếc điều 
này đã không xảy ra. 
Năm 1892, trong một bài báo về tích phân xác định, các ý tưởng của Cantor được 
Jordan sử dụng theo một cách mới và hiệu quả hơn. Làm việc trong không gian n-chiều, 
Jordan đã giới thiệu một mêtric ("écart") khác với hàm khoảng cách thông thường được 
Định lí Pythagore đưa ra. Mêtric của Jordan chỉ ra khoảng cách của hai điểm (a1, a2, ..., an) 
và (b1, b2, ..., bn) là: 2 2 ... .1 1 n na b a b a b 
Tiếp theo, ông đưa ra một định nghĩa về điểm giới hạn khác với Cantor, nhưng hai 
thập kỉ sau trở thành định nghĩa chuẩn: 
“Một điểm p được gọi là điểm giới hạn của tập E nếu với bất kì >0 có một điểm q 
của E khác p sao cho khoảng cách giữa p và q nhỏ hơn  ”. (Jordan, 1892) 
Tuy nhiên, trong bản sửa đổi của tác phẩm “Cours d'analysis”  ... không gian O. Ngược lại, 
nếu trong một không gian O, tất cả các tập mở có chứa một điểm x được coi là một lân cận 
của x thì họ của tất cả các tập, là các lân cận của điểm nào đó của không gian, là một không 
gian lân cận. 
Năm 1925, nhà tôpô học người Nga, Pavel Alekxandrov xuất bản một bài báo về 
tôpô trong các không gian Euclide trên tạp chí Mathematische Annalen. Trong bài báo, ông 
đưa ra định nghĩa các không gian lân cận của Hausdorff theo ngôn ngữ tập mở mà ông gọi 
là “Gebiet”. Định nghĩa này đơn giản hơn rất nhiều so với định nghĩa của Tietze: 
(1) Giao của hai tập mở là mở, và hợp của một tập bất kì các tập mở là mở; 
(2) Hai điểm phân biệt bất kì được chứa trong các tập mở rời nhau. (1925, tr. 298). 
Như vậy, quan niệm tôpô của Heinrich Tietze (QT) và Pavel Alekxandrov (QA) về 
tập mở có khác biệt rất lớn so với quan niệm của Hausdorff khi xây dựng không gian các 
lân cận bằng ngôn ngữ tập mở, hay chính xác hơn là xây dựng không gian tôpô trừu tượng 
trên tập mở, và do đó cơ chế hoạt động của khái niệm tập mở được chuyển từ vai trò đối 
tượng nghiên cứu (đối với Hausdorff) sang đối tượng công cụ tường minh. Hơn nữa, tập 
mở trong hai quan niệm này có hình thức thể hiện khái niệm toán học và mang tính trừu 
tượng. 
2.1.8. Quan niệm tôpô của Waclaw Sierpin'ski về tập đóng và tập mở 
Năm 1926, Sierpin'ski, nhà Tôpô học người Ba Lan, đã công bố trên tạp chí 
Mathematische Annalen một phân tích chi tiết về ý tưởng “tập dẫn xuất” 'A của A có thể 
được sử dụng làm cơ sở cho tôpô bằng cách đặt nghiên cứu của ông trong bối cảnh của tất 
cả những gì đã được đưa ra trong hai mươi năm trước: điểm giới hạn của Fréchet, điểm tụ 
của Riesz, khoảng cách của Hausdorff và Fréchet và bao đóng của Kutarowski. Mục đích 
của bài báo là chứng tỏ tôpô có thể được phát triển như thế nào bằng cách lấy khái niệm 
của tập dẫn xuất làm ý tưởng nguyên thủy. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
140 
Trong phần cuối cùng của bài viết, Sierpin'ski đã có một cách tiếp cận khác và lấy 
khái niệm “tập đóng” làm ý tưởng nguyên thủy duy nhất. Sau đó ông xem xét một tập bất 
kì E khác rỗng và một tập bất kì F các tập con của E, thỏa mãn chỉ hai tiên đề sau: 
“(1) Tập E đóng. 
(2) Giao của bất kì tập đóng là đóng.” (1926) 
Do đó các phần tử của F được định nghĩa là “đóng”. Ông gọi tập E cùng với tập F 
các tập con như vậy là một không gian F. Sau đó, ông chứng minh rằng một tập E là một 
không gian F nếu và chỉ nếu E có một phép toán đơn điệu của tập dẫn xuất, trong đó tập 
dẫn xuất của A được xem là tập tất cả các phần tử p của E sao cho mỗi tập đóng bao hàm 
 \A p chứa p. 
Tương tự như vậy, ông đã đưa ra một bộ tiên đề cho bao đóng một tập sao cho E thỏa 
mãn các tiên đề này nếu và chỉ nếu E là một không gian F, trong đó một tập được xem là 
đóng nếu nó bằng với bao đóng của nó. 
Năm 1928, Sierpin'ski xuất bản bằng tiếng Ba Lan một cuốn sách tựa đề Topologia 
ogólna (General Topology) mà được chuyển ngữ tiếng Anh năm 1934. Trong tác phẩm 
này, ông tự coi mình là người đi theo con đường của Fréchet (chứ không phải của 
Hausdorff) và lấy khái niệm nguyên thủy là "tập mở". Sierpin'ski giới thiệu một số ít các 
tiên đề cho các tập mở trong chương đầu của ông và sau đó thêm một hoặc nhiều tiên đề 
trong sáu chương sau. 
Như vậy, Sierpin'ski định nghĩa tập đóng là tập bằng với bao đóng của nó trong bối 
cảnh tiếp cận không gian tôpô bằng ba cách khác nhau dựa trên tập dẫn xuất, tập mở và 
tập đóng. Vì thế, quan niệm tôpô của Sierpin'ski (QS) về tập mở và tập đóng có cơ chế 
công cụ tường minh, mang hình thức thể hiện khái niệm toán học, có tính trừu tượng và 
tiên đề hóa. 
2.2. Một số kết quả thu được từ việc phân tích lịch sử hình thành và phát triển của 
khái niệm tập mở, tập đóng 
2.2.1. Những điều kiện cho sự hình thành tập mở, tập đóng 
Khái niệm tập đóng ra đời năm 1884, khi Cantor nghiên cứu mở rộng định lí của ông 
về tính duy nhất của sự biểu diễn một hàm số thực bởi các chuỗi lượng giác của nó trong 
trường hợp hàm số đó liên tục và cả trường hợp nó không liên tục tại rải rác một số điểm. 
Tập đóng được Cantor định nghĩa là một tập chứa tất cả các điểm giới hạn của nó và định 
nghĩa này gắn liền với định nghĩa mới của ông về điểm giới hạn và tập dẫn xuất mà ông 
đưa ra vào năm 1872. 
Khái niệm tập mở ra đời năm 1899, dưới tên gọi ban đầu là miền mở, khi Baire sử 
dụng để chứng minh một định lí về các điều kiện để trong một miền mở cho trước, tất cả 
các hàm nửa liên tục trên có cùng một chặn trên nhỏ nhất. Miền mở của Baire là tập hợp 
các điểm thuộc một quả cầu mở 'S trong không gian Euclide n chiều sao cho với mỗi 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
141 
điểm có một quả cầu bán kính dương nhận điểm đó làm tâm mà tất cả các điểm của nó đều 
thuộc 'S . 
Tập mở có tên chính thức trong luận án của Lebesgue năm 1902 khi ông giới thiệu 
độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue, trong đó ông định nghĩa một tập trên đường thẳng 
là mở nếu nó không chứa bất kì điểm biên nào của nó; mọi điểm của tập mở là điểm trong 
của nó và phần bù của một tập mở là đóng. 
2.2.2. Các quan niệm gắn liền với tập đóng 
- Quan niệm giải tích của Cantor (QC), Jordan (QJ), Fréchet (QF), Lebesgue (QL): 
Cantor quan niệm tập đóng là tập chứa tất cả điểm giới hạn của nó mà ngày nay gọi là điểm 
tụ; Jordan quan niệm tập đóng là tập chứa tập dẫn xuất của tập đó mà ngày nay chính là tập 
chứa tất cả các điểm tụ của nó; Fréchet quan niệm tập đóng giống Jordan nhưng khái quát 
hóa trong không gian L và không gian Mêtric; Lebesgue quan niệm tập đóng là phần bù 
của tập mở. 
- Quan niệm tôpô của Hausdorff (QH), Sierpin'ski (QS): Hausdorff quan niệm tập 
đóng là tập các điểm tụ của nó giống Jordan và Fréchet, nhưng khái quát hóa trong không 
gian lân cận; Sierpin'ski quan niệm tập đóng là tập bằng với bao đóng của nó và quan niệm 
xây dựng không gian tôpô dựa trên tập đóng bằng hệ tiên đề cho bao đóng. 
2.2.3. Các quan niệm gắn liền với tập mở 
- Quan niệm hình học của Dedekind (QDD), Baire (QBA): Dedekind xem xét tập mở 
theo khoảng cách trong không gian Euclide n chiều mà ngày nay chính là theo các quả cầu 
mở; Baire định nghĩa tập mở (miền mở) qua các quả cầu mở trong không gian Euclide n 
chiều. 
- Quan niệm giải tích của Lesbesgue (QL): ông quan niệm tập mở theo điểm biên và 
các điểm trong và tổng quát hóa khái niệm tập mở cho không gian Euclide n chiều. 
- Quan niệm tôpô của Hausdorff (QH), Tietze (QT), Alekxandrov (QA), Sierpin'ski 
(QS): Hausdorff là người đầu tiên định nghĩa tập mở theo các điểm trong và tập đóng theo 
các điểm tụ trong Không gian Tôpô được xây dựng trên các lân cận; quan niệm tôpô của 
Heinrich Tietze và Pavel Alekxandrov về tập mở có khác biệt rất lớn so với quan niệm của 
Hausdorff khi xây dựng Không gian các lân cận bằng ngôn ngữ tập mở, hay chính xác hơn 
là xây dựng không gian tôpô trừu tượng trên tập mở; Sierpin'ski xây dựng không gian tôpô 
dựa trên tập mở bằng hệ tiên đề cho tập mở. 
2.2.4. Đặc trưng tri thức luận của khái niệm tập mở, tập đóng 
Phân tích tri thức luận quá trình hình thành và phát triển của khái niệm tập mở, tập 
đóng, chúng tôi thấy có các ý tưởng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành khái 
niệm tập mở, tập đóng; đồng thời, còn có các khái niệm gắn liền với tập mở, tập đóng. Từ 
đó cho phép chúng tôi phân loại khái niệm tập mở, tập đóng dựa các đặc trưng khoa học 
luận như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
142 
- Đặc trưng về phạm vi tác động của khái niệm tập mở, tập đóng: giải tích, tôpô, 
hình học. 
- Đặc trưng về các yếu tố gắn liền với khái niệm tập mở, tập đóng: bao đóng, điểm 
biên, biên, điểm trong, điểm giới hạn, điểm tụ, quả cầu đóng, quả cầu mở. 
- Đặc trưng về cơ chế hoạt động của khái niệm: công cụ ngầm ẩn, công cụ tường 
minh, đối tượng nghiên cứu. 
- Đặc trưng về hình thức thể hiện của khái niệm: khái niệm tiền toán học, khái niệm 
cận toán học, khái niệm toán học. 
- Đặc trưng về cách tiếp cận khái niệm: địa phương. 
- Đặc trưng về cấp độ thể hiện khái niệm: cấp độ cụ thể trên đường thẳng thực, cấp độ 
khái quát trong không gian Euclide n chiều, cấp độ trừu tượng hóa trong không gian 
Lesbesgue, không gian mêtric và không gian tôpô, tiên đề hóa trong không gian các lân cận 
và trong không gian Tôpô. 
- Đặc trưng về tính đa tiếp cận khái niệm tập mở: bằng không gian các lân cận, quả 
cầu mở, các điểm trong, biên, hợp của một họ đếm được các tập mở. 
- Đặc trưng về tính đa tiếp cận khái niệm tập đóng: bằng điểm giới hạn của dãy, phần 
bù của một tập mở, bao đóng, giao của họ bất kì các tập đóng, hợp một số hữu hạn các tập 
đóng. 
2.2.5. Vai trò của đường thẳng thực đối với việc hiểu các khái niệm tập đóng, mở trong 
không gian tổng quát 
Từ kết quả phân tích tri thức luận, cho phép chúng tôi rút ra một số nhận định sau: 
- Các nhà nghiên cứu đã khái quát hóa khái niệm khoảng cách trong  và n thành 
khái niệm mêtric. Các khái niệm về tập đóng và tập mở trong không gian mêtric tổng quát 
được kế thừa từ các khái niệm tương ứng trong  và n . 
- Ta có thể dùng các minh họa trong  và n để làm rõ các tính chất về tập đóng, tập 
mở trong không gian mêtric tổng quát. Hơn nữa, một tính chất (nào đó) nếu đúng với mọi 
không gian mêtric thì phải đúng trong không gian n . Do vậy, ta có thể dùng n như một 
trường hợp đặc biệt để kiểm tra tính chất này. 
- Tuy nhiên, một tính chất (nào đó) đúng trong không gian n thì chưa chắc bảo toàn 
tính đúng trong không gian mêtrtic tổng quát. 
2.2.6. Một số chướng ngại tri thức luận được nhận dạng 
Phân tích tri thức luận lịch sử cho phép xác định chướng ngại tri thức luận của tập 
mở là sự khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng thực vào không gian Euclide n chiều, 
và từ không gian Euclide n chiều sang không gian tôpô trừu tượng và không gian mêtric 
tổng quát. Chướng ngại này sinh ra trong sự tiến triển của các quan niệm QL, QH, QT, QA 
và QS. Tương tự cho trường hợp tập đóng cùng với sự tiến triển của các quan niệm QF, 
QH và QS. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
143 
3. Kết luận 
Phân tích tri thức luận lịch sử đã làm rõ các giai đoạn và các quan niệm của quá trình 
hình thành và phát triển của tập mở và tập đóng. Hai quan niệm ảnh hưởng lớn nhất đến sự 
hình thành và phát triển của chúng, đó là quan niệm giải tích và quan niệm tôpô. Tập mở 
và tập đóng được xây dựng trước hết trên đường thẳng thực, về sau được khái quát hóa 
trong không gian Euclide n chiều và được trừu tượng hóa trong không gian mêtric và tôpô. 
Đặc biệt, tập mở trở thành yếu tố cơ bản nhất với vai trò công cụ để xây dựng các không 
gian tôpô. 
Chính sự trừu tượng hóa hai tri thức này trong các không gian mêtric và không gian 
tôpô sinh ra chướng ngại tri thức luận mà sinh viên khoa toán phải đương đầu khi nghiên 
cứu về chúng. Chẳng hạn, những kinh nghiệm trước đó của sinh viên về tập mở và tập 
đóng trong n có ảnh hưởng đến sự hiểu biết tính “mở” và “đóng” của một tập trong các 
không gian mêtric tổng quát. Đây chính là một vấn đề đặt ra cho các nhà đào tạo sư phạm 
và nghiên cứu didactic cần quan tâm khi giảng dạy tri thức tập mở và tập đóng cho sinh 
viên ngành sư phạm Toán. 
Chúng tôi sẽ trình bày một nghiên cứu về các sai lầm của sinh viên liên quan đến 
chướng ngại này trong một bài báo khác. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến. (2009). Những yếu tố cơ bản của 
didactic Toán. TP Hồ Chí Minh: Đại học Quốc gia. 
Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến. (2003). Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học 
trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán. Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, Mã 
số B2001-23-02. 
Lê Thị Hoài Châu. (2017). Sự cần thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt 
động dạy học và đào tạo giáo viên. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du 
sixième colloque international en didactique des mathématiques, Trường Đại học Sư phạm 
TP Hồ Chí Minh. 
Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc và Đỗ Đức Thái. (2001). Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích hàm. 
Hà Nội: NXB Giáo dục, Đại học Sư phạm Hà Nội. 
Trần Tráng. (2005). Giáo trình tôpô đại cương. TP Hồ Chí Minh: Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh. 
Aleksandrov, P. (1925). Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie. 
Mathematische Annalen, 94, 296-308. 
Baire, R. (1899). Sur les fonctions de variables réelles. Annali di matematica pura ed applicata, 
3(3), 1-123. 
Borel, E. (1898). Leçons sur la théorie des fonctions. Gauthier–Villars, Paris. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 
144 
Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. 
Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198. 
Burton, D. M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction. Seventh Edition, McGraw-
Hill, Inc. 
Cantor, G. (1872). Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen 
Reihen. Mathematische Annalen, 5, 123-132. Reprinted in (1932, 92-102). Pagination agrees 
with the reprint. 
Cantor, G. (1879). Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. Nachrichten 
von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-
physicalische Klasse, 127-135. Reprinted in (1932, 134-138). Pagination agrees with the 
reprint. 
Cantor, G. (1884). Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 6. Mathematische Annalen 
23, 453-488. Reprinted in (1932, 210-244). Pagination agrees with the reprint. 
Carathéodory, C. (1918). Vorlesungen über reelle Funktionen. Teubner, Leipzig. 
Dedekind, R. (1931). Gesammelte mathematische Werke, 2, (R. Fricke, E. Noether, Ö. Ore, Eds.). 
Vieweg, Braunschweig. 
Fréchet, M. (1904). Généralisation d’un théorème de Weierstrass. Comptes rendus hebdomadaires 
des séances de l’Académie des Sciences, Paris 139, 848-850. 
Jordan, C. (1892). Remarques sur les intégrales définis. Journal de mathématiques pures et 
appliquées, 4(8), 69-99. 
Jordan, C. (1893). Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, 1, second, revised edition. Gauthier–
Villars, Paris. 
Hausdorff, F. (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Veit, Leipzig. 
Lebesgue, H. (1902). Intégrale, longueur, aire. Annali di matematica pura ed applicata, 3(7), 
231-359. Pagination follows the original printing of the dissertation, 1-129. 
Peano, G. (1887). Applicazione geometriche del calcolo infinitesimale. Fratelli Bocca, Turin. 
Sierpinski, W. (1926). La notion de dérivée comme base d’une théorie des ensembles abstraits. 
Mathematische Annalen, 97, 321-337. 
Sierpinski, W. (1934). Introduction to General Topology. University of Toronto, Toronto. 
Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces. Second Edition, 
Emeritus Fellow of New College, Oxford. 
Tietze, H. (1923). Beiträge zur allgemeinen Topologie. I. Axiome für verschiedene Fassungen des 
Umgebungsbegriffs. Mathematische Annalen, 88, 290-312. 
Young, W. H., & Young, G. C. (1906). The Theory of Sets of Points. Cambridge University Press, 
Cambridge, UK.