Một nghiên cứu thực nghiệm về các khó khăn liên quan đến việc học khái niệm tập mở, tập đóng trong không gian mêtric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 16, No. 1 (2019): 73-84
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
73 
MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ CÁC KHÓ KHĂN 
 LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC HỌC KHÁI NIỆM TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG 
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC 
Nguyễn Ái Quốc, Lê Minh Tuấn 
Trường Đại học Sài Gòn 
Tác giả liên hệ: Email: nguyenaq2014@gmail.com 
Ngày nhận bài: 14-5-2018; ngày nhận bài sửa: 12-7-2018; ngày duyệt đăng: 17-01-2019 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả thực nghiệm về các khó khăn của sinh viên 
của ba trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Sài Gòn và Đại học Đồng Nai 
khi giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đóng, mở của một tập trong không gian mêtric. Các khó khăn 
này sinh ra bởi chướng ngại tri thức luận gắn liền với việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng 
như quá trình khái quát hóa khoảng mở, đóng của  và bởi ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế 
Toán đại học đối với tập mở và tập đóng. 
Từ khóa: chướng ngại tri thức luận, khó khăn, không gian mêtric, tập đóng, tập mở. 
1. Mở đầu 
1.1. Định nghĩa tập mở, tập đóng trong ba thể chế Toán đại học 
Tập mở, tập đóng là hai khái niệm cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô. 
Hai khái niệm này được tiếp cận bằng ba cách khác nhau trong thể chế Toán đại học của ba 
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSPTPHCM), Đại học Sài Gòn 
(ĐHSG) và Đại học Đồng Nai (ĐHĐN). 
 Thể chế Toán của Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 
Trong thể chế Toán của ĐHSPTPHCM, khái niệm tập mở và tập đóng chỉ xuất hiện 
trong giáo trình Tôpô đại cương và được định nghĩa theo lân cận: 
“Một tập hợp con U của  được gọi là mở nếu với mỗi x U, tồn tại một số thực 
dương  sao choO (x) U.  ” (Trần Tráng, 2005, tr. 44) 
“Một tập hợp con của  được gọi là đóng nếu nó là phần bù của một tập hợp con 
mở trong  .” (Trần Tráng, 2005, tr. 48) 
 Thể chế Toán của Đại học Sài Gòn 
Trong thể chế Toán của ĐHSG, khái niệm tập mở và tập đóng xuất hiện trong giáo 
trình “Giải tích hàm” và được định nghĩa theo hình cầu mở: 
“Cho không gian mêtric (X, d). Với tập con A X , ta nói A là một tập mở (trong X) 
nếu ứng với mỗi x A , tồn tại r > 0 sao cho ( )B x,r A . Nếu \X A là một tập mở, ta nói 
A là một tập đóng (trong X). (Đặng Đức Trọng, 2011, tr. 10) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
74 
 Thể chế Toán của Đại học Đồng Nai 
Trong thể chế Toán của ĐHĐN, khái niệm tập mở và tập đóng xuất hiện trong giáo 
trình “Cơ sở lí thuyết hàm và Giải tích hàm” và được định nghĩa theo phần trong: 
“ Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Ta nói A là tập mở nếu 
0
A A . 
Hay có thể nói A mở khi và chỉ chi 
0
A A . 
Ta nói tập con A là đóng nếu \X A là mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr. 18) 
1.2. Một số ghi nhận và giả thuyết nghiên cứu 
 Ghi nhận thực tế 
Việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng như quá trình khái quát hóa của các 
khoảng mở, khoảng đóng của đường thẳng thực  trong không gian mêtric có thể dẫn đến 
một số khó khăn về việc hiểu hai khái niệm này. Thật vậy, trong hai tháng 9 và 10/2017, 
Nguyễn Ái Quốc (2018a) đã tiến hành một thực nghiệm khảo sát dưới dạng phỏng vấn trực 
tiếp trên 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Toán của Trường ĐHSPTPHCM, 
ĐHSG, ĐHĐN và Đại học Khoa học Tự nhiên về định nghĩa khái niệm tập mở. Kết quả 
khảo sát cho thấy ở các sinh viên này có ba cách xác định một tập mở trong không gian 
mêtric: định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, và tập mở được thể hiện bằng hợp 
các quả cầu mở. Các quan niệm này ở sinh viên khá chênh lệch so với các định nghĩa chính 
thức. 
 Kết quả phân tích tri thức luận 
Mặt khác, qua phân tích tri thức luận lịch sử, Nguyễn Ái Quốc (2018a) xác định 
được một đặc trưng quan trọng trong quá trình xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng: 
Đặc trưng về cấp độ thể hiện khái niệm: Cấp độ cụ thể trên đường thẳng thực, cấp độ 
khái quát trong không gian Euclide n chiều, cấp độ trừu tượng hóa trong không gian 
Lesbesgue, không gian mêtric và không gian tôpô, tiên đề hóa trong không gian các lân cận 
và trong không gian tôpô. 
Từ đó, Nguyễn Ái Quốc (2018) xác định chướng ngại tri thức luận đối với SV khi 
lần đầu tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng: sự khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng 
thực vào không gian Euclide n chiều, và từ không gian Euclide n chiều sang không gian 
tôpô trừu tượng và không gian mêtric tổng quát. 
 Kết quả phân tích thể chế Toán 
Phân tích thể chế Toán của ba trường trên cho thấy sự tồn tại năm kiểu nhiệm vụ 
(KNV) liên quan đến tập mở, tập đóng như sau: 
+ TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa trên định nghĩa; 
+ TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa trên định nghĩa; 
+ TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở của một tập bằng định nghĩa; 
+ TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa trên các khái niệm liên quan; 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
75 
+ TCMĐL: Chứng minh định lí và hệ quả. 
Kết quả phân tích mối quan hệ thể chế Toán của ba trường đối với tập mở, tập đóng 
cho thấy cả ba thể chế quan tâm nhiều đến KNV TCMĐL, và hầu như không quan tâm đến 
KNV TXTĐM-ĐN. Hơn nữa, trong giáo trình của ba trường, KNV TXTĐM-ĐN chỉ được trình 
bày liên quan đến các tập không phải là các tập cụ thể. 
Trong thể chế Toán của Trường ĐHSPTPHCM, kết quả phân tích cho thấy KNV 
TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) trong tổng số 26 ví dụ (VD) và bài tập (BT), trong khi đó 
KNV TXTĐM-ĐN và TXĐM-KNLQ xuất hiện rất ít, 3,8% tại ĐHSPTPHCM, 36,4% tại ĐHSG, 
và 30,8% tại ĐHĐN. Hơn nữa, hai KNV này hầu hết là khảo sát tính đóng, mở của một tập 
trừu tượng trong không gian mêtric tổng quát. 
Bảng 1. Các KNV liên quan tập mở, tập đóng trong thể chế Toán ĐHSPTPHCM 
KNV VD BT Tổng (%) 
TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa trên định nghĩa 0 3 3/26 (11,5%) 
TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa trên định nghĩa 0 3 3/26 (11,5%) 
TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở của một tập bằng định nghĩa 0 0 0/26 (0%) 
TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa trên các khái niệm liên quan 0 1 1/26 (3,8%) 
TCMĐL: Chứng minh định lí và hệ quả 9 10 19/26 (73,2%) 
Trong thể chế Toán của Trường ĐHSG, kết quả phân tích giáo trình cho thấy KNV 
TCMĐL chiếm số đa số (31,8%) trong tổng số 22 VD và BT, trong khi đó KNV TXTĐM-ĐN 
xuất hiện không đáng kể (9,1%). (Bảng 2) 
Bảng 2. Các KNV liên quan tập đóng, tập mở trong thể chế Toán ĐHSG 
KNV VD BT Tổng (%) 
TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa trên định nghĩa 1 3 4/22 (18,2%) 
TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa trên định nghĩa 0 3 3/22 (13,6%) 
TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở của một tập bằng định nghĩa 2 0 2/22 (9,1%) 
TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa trên các khái niệm liên quan 2 4 6/22 (27,3%) 
TCMĐL: Chứng minh định lí và hệ quả 4 3 7/22 (31,8%) 
Trong thể chế Toán của Trường ĐHĐN, kết quả phân tích giáo trình cho thấy KNV 
TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) trong tổng số 26 VD và BT, trong khi đó KNV TXTĐM-ĐN 
hoàn toàn vắng bóng (0%). (Bảng 3) 
Bảng 3. Các KNV liên quan tập đóng, tập mở trong thể chế Toán ĐHĐN 
KNV VD BT Tổng (%) 
TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa trên định nghĩa 0 2 2/13 (15,4%) 
TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa trên định nghĩa 0 1 1/13 (7,7%) 
TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở của một tập bằng định nghĩa 0 0 0/13 (0%) 
TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa trên các khái niệm liên quan 3 1 4/13 (30,8%) 
TCMĐL: Chứng minh định lí và hệ quả 2 4 6/13 (41,6%) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
76 
 Giả thuyết nghiên cứu 
Từ các ghi nhận thực tế, phân tích tri thức luận và phân tích mối quan hệ thể chế 
Toán của ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG và ĐHĐN cho phép rút ra hai giả thuyết nghiên 
cứu H1 và H2 như sau: 
H1: Việc xây dựng khái niệm tập mở, đóng như một quá trình khái quát hóa của 
khoảng mở, khoảng đóng của đường thẳng thực  trong không gian n là một chướng 
ngại tri thức luận ảnh hưởng đến các chiến lược giải quyết KNV xét tính đóng, mở của một 
tập trong n của SV. 
H2: Mối quan hệ thể chế Toán của ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN đối với 
khái niệm tập mở, tập đóng ảnh hưởng đến việc giải quyết KNV xét tính đóng, mở của một 
tập cụ thể trong các không gian  và 2 với mêtric thông thường của SV. 
Hai giả thuyết nghiên cứu này sẽ được kiểm chứng bằng một thực nghiệm được trình 
bày trong phần tiếp theo. 
2. Thực nghiệm 
Thực nghiệm được tiến hành vào giữa tháng 11/2017 trên 121 SV, trong đó gồm 44 
SV lớp Toán Ứng dụng (SGU) và 23 SV lớp sư phạm Toán (SGS) của ĐHSG, 17 SV Sư 
phạm Toán của ĐHSP TPHCM, 37 SV sư phạm Toán của ĐHĐN. Tất cả 121 SV đều là 
SV năm hai, đã học xong học phần “Mêtric và Tôpô” hoặc “Giải tích hàm” (ĐHSG và 
ĐHĐN) hay “Tôpô đại cương” (ĐHSP TPHCM). Mục đích thực nghiệm không nhằm tìm 
hiểu ảnh hưởng của ba cách tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng lên các chiến lược giải 
của SV trong việc xét tính đóng, mở của một tập, mà nhằm kiểm chứng hai giả thuyết H1 
và H2. 
2.1. Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm bao gồm bộ ba câu hỏi điều tra dạng viết, thời gian làm bài 45 phút. 
Trong mỗi câu, SV chọn câu trả lời thỏa đáng theo lựa chọn của họ và giải thích cho sự lựa 
chọn câu trả lời đó. Cả ba câu hỏi đều thuộc KVN TXTĐM: Xét tính đóng, mở của một tập 
số cụ thể trong  và 2 , và được thiết kế sao cho SV có thể sử dụng các định lí và hệ quả 
liên quan đến tập đóng, tập mở để giải quyết KNV này. 
Bộ câu hỏi điều tra gồm 3 câu hỏi như sau: 
Câu hỏi 1. Xét không gian mêtric ( , d) với d là mêtric Euclide thông thường trên  . 
Trong các tập sau đây, hãy xác định tập nào là tập đóng và tập nào không phải là tập đóng? Giải 
thích tại sao? 
(0,1]A ; 
1
1 1; , 
n
B = n
n n
  . 
Mục đích của Câu hỏi 1 là nhằm kiểm tra xem SV có xác định được A là tập không 
đóng, và B là một tập đóng trong không gian mêtric ( , d). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
77 
Câu hỏi 2. Cho (2; 4) là một khoảng mở trong không gian mêtric ( , d) với d là mêtric 
Euclide thông thường trên  . Ta đặt (2;4) 0C và gọi  là mêtric Euclide thông thường 
trên 2 . Trong không gian mêtric 2 , , tập con C là một tập: 
a) Mở, không đóng, b) Đóng, không mở, 
c) Không mở, không đóng, d) Vừa mở, vừa đóng. 
Hãy giải thích tại sao? 
Mục đích của Câu hỏi 2 là nhằm xác định sự ảnh hưởng của tính mở của khoảng 
(2; 4) trong không gian (  , d) lên việc xét tính mở của tập C trong không gian 2 , . 
Đáp án chính xác là C không đóng, không mở. 
Câu hỏi 3. Trong không gian mêtric 2 , với  là mêtric Euclide thông thường 
trên 2 , tập 2( ) : 3 5D x, y x y  là một tập: 
a) Mở, không đóng, b) Đóng, không mở, 
b) Vừa đóng, vừa mở, d) Đáp án khác. 
Hãy giải thích tại sao? 
Mục đích của Câu hỏi 3 là nhằm xác định sự ảnh hưởng của tính vừa mở, vừa đóng 
của đường thẳng thực  lên việc xét tính đóng, mở của đường thẳng biểu diễn tập D trong 
không gian 2 , . Đáp án chính xác là tập D đóng, không mở trong 2 , . 
2.2. Dự kiến các chiến lược giải (CLG) của sinh viên khi trả lời các câu hỏi 
Đối với Câu hỏi 1, các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng của tập A và B được 
trình bày trong các Bảng 4 và 5. 
Bảng 4. Các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng của tập A 
Tập Chiến lược Nội dung 
A 
SCS: định nghĩa 
tập đóng 
Xét  \ ; 0 1;A  . Vì không tồn tại quả cầu tâm 0, bán 
kính 0r đủ nhỏ để (0 ) \B ,r A  , nên \ A không mở. Do đó, 
A không đóng 
SB: biên Vì {0,1}A và A không chứa tất cả các điểm biên của nó nên A 
không đóng 
SCL: bao đóng Vì [0,1]A và A A , nên A không đóng 
SSL: giới hạn 
dãy Chọn dãy 
1( )nx n
 với n  . Vì nx A và lim 0nx A , nên 
A không đóng 
SINV: khoảng 
trong  
Vì tập A = (0; 1] là nửa khoảng không đóng bên trái nên A không đóng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
78 
Bảng 5. Các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng của tập B 
Tập Chiến lược Nội dung 
B 
SCS: định 
nghĩa tập 
đóng 
Xét \ ;0 0;B  . Vì tập \ B là hợp hai tập mở nên 
\ B là tập mở. Do đó, B đóng. 
Vì {0}B và \ ;0 0;B  là tập mở, nên B đóng 
SB: biên Vì 0B = và B chứa tất cả các điểm biên của nó nên B đóng 
SCL: bao đóng Vì 0B và B B , nên B đóng 
SOI : giao các 
tập mở 
Vì B là giao các tập mở nên B mở, do đó B không đóng 
SINV: khoảng 
trong  
Vì B là giao các khoảng mở nên là tập mở 
Đối với Câu hỏi 2, các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng và xét tính mở của tập 
C được trình bày trong Bảng 6. 
Bảng 6. Các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng, mở của tập C 
Tập Chiến lược Nội dung 
C 
SOB: quả cầu mở 
không tìm được quả cầu mở tâm x = (3; 0) , bán kính 0r chứa trong 
C nên C không mở 
SIn: phần trong Vì C có phần trong 
0
C là rỗng, nên 
0
C C , suy ra C không mở 
SCS: định nghĩa 
tập đóng 
Xét 2 1 2 1 2\ ; | (2,4) 0C = x x x x   . Vì 2(2;0) \x C  
và không tồn tại r dương đủ nhỏ sao cho 2( ) \B x,r C  , nên 
2 \ C không mở, do đó C không đóng 
SB: biên Vì   2; 4 0C và C C  nên C không đóng 
SCL: bao đóng Vì [2,4] 0C và C C , nên C không đóng 
SSL: giới hạn 
dãy 
Chọn dãy 
1( ) 2 ;0nx n
 với n  . Vì nx C và 
lim (2;0)nx C , nên C không đóng 
Đối với Câu hỏi 3, các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng và xét tính mở của tập 
D được trình bày trong Bảng 7, trong đó ( ) là đường thẳng có phương trình x + 3y = 5. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
79 
Bảng 7. Các CLG có thể đối với KNV xét tính đóng, mở của tập D 
Tập Chiến lược Nội dung 
D 
SCS: định nghĩa 
tập đóng 
Biểu diễn của D là đường thẳng chia mặt phẳng 2 thành hai miền là 
hai tập mở, do đó 2 \ D mở, suy ra D đóng. 
Với điểm I tùy ý thuộc 2 \ D , tồn tại quả cầu mở với bán kính 
1 ( , )
2
r d I chứa trong 2 \ D , do đó 2 \ D mở, suy ra D đóng 
SB: biên Đường thẳng biểu diễn D không có biên nên không đóng 
SOB: quả cầu mở Với điểm I tùy ý thuộc đường thẳng x + 3y = 5, không tồn tại quả cầu 
mở tâm I chứa trong đường thẳng đó, nên D không mở 
 SR: đường thẳng 
thực 
Biểu diễn của D là đường thẳng như đường thẳng thực nên vừa mở 
vừa đóng 
2.3. Phân tích hậu nghiệm 
 Phân tích kết quả Câu 1 
Đối với tập A, CLG được huy động nhiều nhất là SB với 27/121 trường hợp và tất cả 
trả lời chính xác. CLG được huy động nhiều tiếp theo là SCS sử dụng định nghĩa của tập 
đóng. Tuy nhiên, trong số 21/121 trường hợp này thì có 5 trường hợp trả lời không chính 
xác. Chẳng hạn, có SV suy luận “tập  \ ;0 1;A  là hợp của tập không mở 
( ; 0] và tập mở (1; + ) nên không mở, do đó A không đóng”. Tiếp theo, có 8/121 
trường hợp chứng tỏ rằng A không thể chứa quả cầu tâm là 1 với bán kính nhỏ tùy ý nên A 
không đóng. Có 7/121 trường hợp huy động SSL, nhưng có 2 trường hợp không chính xác 
khi chỉ chọn một dãy trong A hội tụ về 1 và kết luận A đóng. Đặc biệt, có 8/121 trường hợp 
huy động CLG SINV suy luận rằng “A là khoảng không đóng bên trái, hay A là nửa khoảng 
mở nên A không đóng”. Sau cùng, có đến 48/121 trường hợp không trả lời câu hỏi. Như 
vậy, có tổng cộng 58/121 trường hợp trả lời đúng và giải thích hợp lí. 
Bảng 8. Các CLG được huy động cho KVN xét tính đóng của tập A 
Tập A 
Chiến lược 
Trả lời 
Tổng 
Đúng Sai 
SCS 16/121 5/121 21/121 (17,4%) 
SB 27/121 0/121 27/121 (22,3%) 
SCL 2/121 0/121 2/121 (1,7%) 
SSL 5/121 2/121 7/121 (5,8%) 
SINV 8/121 0/121 8/121 (6,6%) 
Skhac 0/121 8/121 8/121 (6,6%) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
80 
Đối với tập B, CLG chiếm đa số là SCS với 24/121 trường hợp, nhưng trong đó có 4 
trường hợp hiểu sai 
1
1 1\ ;
n
B =
n n
 . CLG chiếm số lượng nhiều tiếp theo là SOI với 
19/121 trường hợp và tất cả đều trả lời không chính xác vì các SV này cho rằng “giao vô 
hạn các tập mở là mở”. Có 8/121 trường hợp huy động CLG SINV cho rằng “giao các 
khoảng mở là tập mở”. Có 4 SV huy động CLG SB, nhưng đều suy luận không chính xác, 
chẳng hạn có SV xác định 1 1; \B = B   
 
 , suy ra B mở. Có 3 SV huy động CLG 
khác, trong đó SV thứ nhất chọn dãy  1nx Bn
   
 
 có 
1
1 1lim 0 ;n
n
x B
n n
 , do 
đó B đóng. SV này không nhận ra nx n B  , và hơn nữa đây chỉ là trường hợp của 
một dãy. Hai SV lại đi chứng minh B mở bằng cách chứng tỏ rằng 1 1;B
n n
 và với 
mọi x thuộc B đều có một quả cầu ( , )B x B  . Sau cùng, có 63 trường hợp không trả lời. 
Vậy, đối với tập B, chỉ có 20 trường hợp trả lời đúng B là tập đóng. 
Bảng 9. Các CLG được huy động cho KVN xét tính đóng của tập B 
Tập B 
Chiến lược 
Trả lời 
Tổng 
Đúng Sai 
SCS 20/121 4/121 24/121 (19,8%) 
SB 0/121 4/121 4/121 (3,3%) 
SCL 0/121 0/121 0/121 (0%) 
SOI 0/121 19/121 19/121 (15,7%) 
SINV 0/121 8/121 8/121 (6,6%) 
Skhac 0/121 3/121 3/121 (2,5%) 
Kết quả phân tích cho thấy SV gặp khá nhiều khó khăn khi xét tính đóng, mở của 
một tập hợp số cụ thể trong không gian R. Tỉ lệ SV không trả lời và trả lời không chính xác 
lần lượt chiếm 52,1% và 83,5% trong KNV xét tính đóng của tập A và B. Sự chênh lệch 
lớn giữa hai tỉ lệ này do tập A có dạng quen thuộc (a; b] là tập không đóng, không mở, so 
với dạng giao vô hạn các tập mở trong  của B. Đặc biệt có sự xuất hiện các CLG sử 
dụng các tính chất của khoảng mở, khoảng đóng, khoảng nửa mở vào giải quyết KNV xét 
tính đóng của cả hai tập A và B. 
 Phân tích kết quả Câu 2 
CLG được huy động nhiều nhất là SB với 11/121 trường hợp để vừa xét tính đóng, 
vừa xét tính mở của C. Tuy nhiên, tất cả 11 trường hợp này đều trả lời không chính xác. 
Chẳng hạn, có SV lí luận rằng “ 2, 4 C , nghĩa là C không chứa biên của nó, nên C 
không đóng và do đó C mở”. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
81 
Bảng 10. Các CLG được huy động cho KVN xét tính đóng, mở của tập C 
Tập C 
Chiến lược Trả lời Tổng 
Đúng Sai 
SOB + SCS 4/121 3/121 7/121 (5,8%) 
SCS 0/121 1/121 1/121 (0,8%) 
SOB + SB 0/121 2/121 2/121 (1,7%) 
SIn 0/121 0/121 0/121 (0%) 
SB 0/121 11/121 11/121 (9,1%) 
SSL 0/121 1/121 1/121 (0,8%) 
Skhac 0/121 16/121 16/121 (13,2%) 
CLG khác được sử dụng nhiều tiếp theo là SOB + SCS với 7 trường hợp, trong đó SOB 
để xét tính mở và SCS để xét tính đóng của C. Tuy nhiên, có 3/7 trường hợp trả lời không 
chính xác. Chẳng hạn, để xét tính mở của C, một SV giả sử “có quả cầu mở B tâm (3; 0), 
bán kính 0r nằm trong C, vì khoảng cách giữa 3;
2
r 
 và (3; 0) nhỏ hơn r, nên 3;
2
r 
thuộc C dẫn đến 
2
r = 0 trái giả thiết 0r , do đó C không mở”. 
Để xét tính đóng của C, SV này giả sử “có quả cầu B tâm (2; 0) nằm trong 2 \ C và 
đặt min , 2m r thì điểm 2 ;0
2
m 
 thuộc 2 \ C , dẫn đến 4m trái giả thiết của m”. 
Có hai SV huy động CLG SOB+SB, trong đó SOB để xét tính mở và SB để xét tính đóng 
của C, nhưng cả hai đều trả lời không chính xác. Một trong hai SV này lí luận “quả cầu mở 
B(0, 1) không nằm trong C nên C không mở, và 0,2,4C C  nên C không đóng”. 
Có một SV huy động CLG SCS trả lời không chính xác, cho rằng “C không đóng vì 
(2; 0) 2 \ C , và vì C không đóng nên C là tập mở”. 
Có một SV huy động CLG SSL trả lời không chính xác, lấy một dãy bất kì 
  n nx y C sao cho nx hội tụ về 2 và ny hội tụ về 0, vì 2 C và y C nên C là tập 
không mở, không đóng. 
Có 16 SV huy động các CLG khác đều trả lời không chính xác. Chẳng hạn, SV thứ 
nhất cho rằng “C mở vì 
(2,4)
( ;0)
x
C = x
 và (2; 4) mở trong ”. SV này áp dụng tính chất 
hợp vô hạn các tập mở trong  là mở trong  cho tập trong 2 . SV thứ hai cho rằng “C 
là giao của hai tập mở ;4 0 và 2; 0 nên là tập mở”. SV này đã áp dụng 
tính chất giao của hai tập mở là mở. SV thứ ba lí luận rằng “ ( ;0) :C x x (2;4), x  , 
tập các phần tử của C thực chất là một đoạn thẳng bỏ hai đầu mút trong 2 , do đó C mở”. 
SV thứ tư lí luận rằng “(2; 4) là một tập mở trong  , {0} là tập đóng vì 
 \ {0} ;0 0;  mở trong  do nó là hợp của hai khoảng mở trong  , suy ra 
C vừa đóng vừa mở”. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
82 
Sau cùng, không có trường hợp nào huy động chiến lược phần trong SIn để xét tính 
mở của C, và có đến 83/121 không trả lời Câu hỏi 2. 
Kết quả phân tích cho thấy SV gặp nhiều khó khăn và phạm nhiều sai lầm hơn khi 
giải quyết KNV xét tính đóng, mở của một tập trong không gian 2 so với trong không 
gian  . Các khó khăn của SV gắn liền với các quan niệm không chính xác về biên, tập 
tích, quan hệ bao hàm, quan hệ thuộc Mặc dù, các CLG đa dạng, vận dụng nhiều định lí 
và hệ quả trong việc xét tính đóng, mở của tập C, nhưng tỉ lệ thành công rất thấp. Đặc biệt, 
xuất hiện một số CLG sử dụng các tính chất liên quan đến khoảng mở, đóng trong  như 
tập mở, tập đóng vào trong 2 . 
 Phân tích kết quả Câu 3 
Hai CLG được huy động nhiều nhất là SOB+SCS và SOB với 9/121 trường hợp cho mỗi 
CLG. Với CLG SOB+SCS, có 8 trường hợp trả lời đúng và giải thích chính xác. Trường hợp 
duy nhất trả lời chính xác là D đóng và không mở, nhưng giải thích sai. Để chứng minh D 
không mở, SV này suy luận rằng “với mọi điểm thuộc đường thẳng ( ): x + 3y = 5, có một 
quả cầu mở có tâm là điểm đó không chứa trong đường thẳng ( )”. Với CLG SOB, tất cả 9 
trường hợp đều trả lời không chính xác. Chẳng hạn, có SV lí luận rằng “với mọi điểm 
thuộc đường thẳng ( ), không tồn tại quả cầu mở có tâm là điểm đó chứa trong D, do đó D 
không mở và từ đó suy ra D đóng”. 
Hai CLG SCS và SB đều chỉ có 1 trường hợp huy động cho mỗi CLG, nhưng cả hai 
trường hợp này đều trả lời không chính xác. SV huy động SB cho rằng D chứa các điểm 
biên {0, 1, 2} (điều này sai) nên D là tập đóng và suy ra D không mở. SV huy động SCS 
chứng tỏ rằng “mọi điểm thuộc phần bù của D đều có quả cầu mở có tâm là điểm đó chứa 
trong phần bù của D, do đó D đóng và từ đó suy ra D không mở”. SV này mặc dù suy luận 
D đóng là đúng, nhưng từ đó suy ra D không mở là sai. 
Bảng 11. Các CLG được huy động cho KVN xét tính đóng, mở của tập D 
Tập D 
Chiến lược 
Trả lời 
Tổng 
Đúng Sai 
SOB + SCS 8/121 1/121 9/121 (7,4%) 
SCS 0/121 1/121 1/121 (0,8%) 
SOB 0/121 9/121 9/121 (7,4%) 
SB 0/121 1/121 1/121 (0,8%) 
Skhac 0/121 22/121 22/121 (18,2%) 
Có 22/121 trường hợp huy động các CLG khác và đều trả lời và giải thích không 
chính xác. Trong đó, có 15 trường hợp huy động SR trả lời rằng tập D vừa mở vừa đóng và 
giải thích rằng “đường biểu diễn tập D là đường thẳng như đường thẳng thực”. 
Sau cùng, có đến 79/121 trường hợp không trả lời Câu hỏi 3. 
Kết quả phân tích SV biết sử dụng định nghĩa tập đóng, tập mở để xét tính đóng mở 
của D, nhưng số lượng không nhiều và chỉ có 8/20 trường hợp trả lời chính xác. Tồn tại 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
83 
các quan niệm không chính xác ở SV như: “tập đóng thì không mở, tập mở thì không 
đóng”. Đặc biệt, trong số 22/121 trường hợp sử dụng các CLG khác, có 17 trường hợp xem 
đường biểu diễn tập D như đường thẳng thực nên vừa mở vừa đóng. 
3. Kết luận 
Kết quả thực nghiệm cho phép rút ra những kết luận sau: 
Tồn tại một số quan niệm về tính đóng, mở ở SV: Một tập đóng thì không mở, một 
tập mở thì không đóng. Các quan niệm này có nguồn gốc từ định nghĩa của tập đóng: “nếu 
phần bù của một tập là mở thì tập đó là đóng”, và từ tính nhị nguyên “đóng-mở” của một 
số hiện tượng trong cuộc sống, ví dụ: “cửa không mở thì đóng, cửa không đóng thì mở”. 
SV gặp nhiều khó khăn trong giải quyết KNV xét tính đóng, mở của một tập số cụ 
thể trong  và 2 . Những khó khăn này thể hiện ở các quan niệm không chính xác về 
biên của một tập, về khái niệm tập tích trong 2 , về quan hệ bao hàm và quan hệ thuộc 
trong 2 , về phép lấy phần bù của giao các tập hợp Những sai lầm này sinh ra từ ràng 
buộc của thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân của SV lên việc giải quyết KNV xét 
tính đóng, mở của một tập cụ thể. Từ đó, cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H2. 
Không có SV nào sử dụng định nghĩa tập mở bằng phần trong để xét tính mở của tập 
C. Điều này chứng tỏ SV gặp nhiều khó khăn trong quan niệm về phần trong của một tập 
số cụ thể trong 2 . 
Tỉ lệ trường hợp không trả lời hay trả lời không chính xác chênh lệch khá lớn đối với 
cùng KNV xét tính đóng của tập A và B trong câu hỏi 1 cho thấy tồn tại ở SV một quan 
niệm: “giao của một họ các tập mở là mở”, bất kể đó là giao của một họ hữu hạn các tập 
mở hay giao của một họ vô hạn các tập mở. 
Số lượng trường hợp không trả lời hay trả lời không chính xác tăng từ 50% lên hơn 80% 
khi chuyển từ Câu hỏi 1 sang Câu hỏi 2 và 3, cùng với sự xuất hiện quan niệm rằng một đoạn 
thẳng trong 2 là một tập đóng, một đường thẳng trong 2 là tập vừa mở, vừa đóng tương tự 
đường thẳng thực trong  . Từ đó, cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H1. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến. (2009). Những yếu tố cơ bản của 
didactic Toán. TP Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia. 
Lê Thị Hoài Châu. (2017). Sự cần thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt 
động dạy học và đào tạo giáo viên. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du 
sixième colloque international en didactique des mathématiques, Trường Đại học Sư phạm 
Thành phố Hồ Chí Minh. 
Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc và Đỗ Đức Thái. (2001). Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích hàm. 
Hà Nội: NXB Giáo dục. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 
84 
Nguyễn Ái Quốc. (2018a). Một phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng trong giải tích 
và tôpô học. Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 15(10), 
130-144. 
Trần Tráng. (2005). Giáo trình Tôpô đại cương. TP Hồ Chí Minh: Đại học Sư phạm TPHCM. 
Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm và Đinh Ngọc Thanh. (2011). Giải tích 
hàm. TP Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 
Trường Đại học Đồng Nai. (2013). Chương trình khung trình độ Đại học và kế hoạch đào tạo 
ngành: Sư phạm Toán học. 
Trường Đại học Sài Gòn. (2016). Chương trình đào tạo trình độ đại học, ngành: Sư phạm Toán. 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. (2016). Chương trình giáo dục đại học, ngành 
đào tạo: Sư phạm Toán học. 
Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces. Second Edition, Oxford 
University Press. 
Artigue, M. (1991). Epistémologie et Didactique. Recherche en Didactique des Mathematiques, 
10(3), 241-286. 
Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. 
Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198. 
AN EXPERIMENTAL STUDY OF THE DIFFICULTIES INVOLVED 
IN LEARNING THE CONCEPT OF OPEN SET 
AND CLOSED SET IN METRIC SPACES 
Nguyen Ai Quoc, Le MinhTuan 
Saigon University 
Corresponding author: Email: nguyenaq2014@gmail.com 
Received: 14/5/2018; Revised: 12/7/2018; Accepted: 17/01/2019 
ABSTRACT 
In this paper, we present the experimental research’s results about the student’s difficulties 
in three universities: Ho Chi Minh city University of education, Sai Gon University and Dong Nai 
University when solving the task of considering the closedness, the openness of a set in metric 
space. These difficulties are generated by the epistemological obstacle associated with the 
development of open-set and closed-set concepts such as the generalizing of the open and closed 
interavls of  and by the influence of institutional relations of university mathematics to open and 
closed sets. 
Keywords: epistemological obstacles, difficulties, metric spaces, closed sets, open sets.