Mô hình và lời giải số cho bài toán động học robot song song bất đối xứng nhóm 3urs

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 200(07): 113 - 117 
 Email: jst@tnu.edu.vn 113 
MÔ HÌNH VÀ LỜI GIẢI SỐ CHO BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC ROBOT SONG 
SONG BẤT ĐỐI XỨNG NHÓM 3URS 
Phạm Thành Long, Lê Thị Thu Thủy* 
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Trong lĩnh vực y khoa, có một số robot cấu trúc song song bất đối xứng có động học rất phức tạp. 
Những robot này có chức năng là cơ cấu chấp hành cho trị liệu vật lý, phục hồi chức năng hoặc 
bàn máy CT (chụp cắt lớp). Tuy cấu trúc song song có ưu điểm tạo ra độ cứng vững cơ học cao, độ 
chính xác cao nhưng cấu trúc song song bất đối xứng là nhóm có động học phức tạp nhất trong các 
loại robot. Bài báo này đề cập đến một robot cấu trúc song song kiểu 3URS do trường Đại học 
Hoa Nam, Trung Quốc thiết kế. Tuy kết cấu cơ khí hoàn thiện nhưng việc khảo sát động học của 
cấu trúc này còn để ngỏ. Trong phạm vi bài báo này chúng tôi giới thiệu mô hình toán, phương 
pháp và công cụ mà chúng tôi đề xuất để chuẩn bị dữ liệu động học cho robot này. Các kết quả đạt 
được cho thấy đề xuất của chúng tôi hoàn toàn phù hợp. 
Từ khóa: robot song song, cấu trúc bất đối xứng, 3URS, Bài toán động học, phương pháp GRG 
Ngày nhận bài: 09/4/2019;Ngày hoàn thiện: 26/4/2019;Ngày duyệt đăng: 07/5/2019 
MODEL AND NUMERICAL SOLUTION FOR ASYMMETRIC PARALLEL 
ROBOT KINEMATIC PROBLEM 3URS 
Pham Thanh Long, Le Thi Thu Thuy
*
University of Technology - TNU 
ABSTRACT 
In the medical field, there are a number of asymmetric parallel robots that have very complex 
kinematics. The function of these robots is the actuator for physical therapy, rehabilitation or CT 
table (tomography). Although the parallel manipulator has the advantage of creating high 
mechanical rigidity and high accuracy, the asymmetric parallel structure is the most complex 
group of robots. This article refers to an asymmetrical parallel structure robot 3URS designed by 
South China University of Technology, Guangzhou, China. The mechanical structure is complete, 
but the kinematic investigation of this structure is left open. Within the scope of this paper, we 
introduce the mathematical model, methods and tools we propose to prepare kinematic data for 
this robot. The results show that our proposal is completely appropriate. 
Keywords: parallel robot, asymmetric structure, 3URS, kinematic problem, GRG method 
Received: 09/4/2019; Revised: 26/4/2019;Approved: 07/5/2019 
* Corresponding author: Tel: 0982 567982, Email:hanthuyngoc@tnut.edu.vn 
Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 199(06): 113 - 117 
 Email: jst@tnu.edu.vn 114 
1. Mở đầu 
Các thiết bị cơ điện tử phi tiêu chuẩn mang 
cấu hình robot ngày nay có rất nhiều ứng 
dụng trong lĩnh vực y khoa. Chúng cho độ 
cứng vững cao nên đạt độ chính xác tốt 
trong điều kiện mang tải nặng. Cấu trúc cơ 
khí truyền động song song dư cho phép 
điều khiển linh hoạt và không phải sử dụng 
các động cơ công suất lớn. Với mục đích 
phát triển một cơ cấu phục hồi chức năng 
bàn chân ở người phải trị liệu khớp chân, 
Đại Học Hoa Nam – Trung Quốc đã phát 
triển một robot cấu trúc song song kiểu 
3URS [1] cho mục đích này. Tuy nhiên các 
tác giả [1] còn bỏ ngỏ khả năng chuẩn bị 
dữ liệu động học cho cấu trúc của họ. Vì 
không tìm được đối chứng nào tiếp tục 
công trình còn bỏ dở, trong bài báo này 
chúng tôi đề xuất phương pháp GRG [2] để 
hoàn thành bài toán động học. 
Bài toán được bắt đầu theo quan điểm riêng 
của chúng tôi, tức là chuyển nó về dạng tối 
ưu trước khi thực sự tìm lời giải thay vì giải 
bài toán gốc [3]. Phương pháp này cho thấy 
khả năng của nó trên nhóm robot chuỗi [3] 
và trên nhóm robot song song [4]. Tuy nhiên 
khả năng áp dụng trên nhóm song song bất 
đối xứng là điều sẽ được chúng tôi kiểm 
chứng ở đây. 
2. Mô hình toán robot song song 3URS 
Hình 1 cho thấy kết cấu cơ khí của robot 
này theo dữ liệu của Đại Học Hoa Nam 
cung cấp: 
Hình 1a. Kết cấu cơ khí Hình 1b. Sơ đồ tương đương 
Hình 1. Robot cấu trúc song song kiểu 3URS. 
Gọi P(px, py, pz) là tọa độ của O1 trong hệ quy chiếu O0 gốc ở trọng tâm tấm cố định; 
Gọi (cos(α), cos(β), cos(γ)) là véc tơ cosin chỉ hướng của O1 gốc này ở trọng tâm tấm di động so 
với O0; 
Tách kết cấu như hình 2b, các tọa độ mút của các véc tơ cần xác định trong hệ quy chiếu tương 
ứng bao gồm: 
A1, B1, C1, d1, d2, d3 đo tọa độ trong hệ quy chiếu O1 bằng tọa độ thực theo kết cấu của nó; 
A, B, C, e1, e2, e3 đo tọa độ trong hệ quy chiếu O0 bằng tọa độ thực theo kết cấu của nó; 
Theo hình 2a, phương trình vòng véc tơ qua chân 1 biểu diễn như sau: 
0 0 1 1 1 1 1 1 1.( )RPYO p O A e a b c R d AO 
(1) 
1 1 1 0 0 1 1 1 1( ) .( )RPYa b c O p O A e R d O A 
(2) 
Để tính tổng các tọa độ ở vế trái của phương trình (2), sử dụng sơ đồ khai triển trên hình 3. 
Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 199(06): 113 - 117 
 Email: jst@tnu.edu.vn 115 
Hình 2a. Vòng véc tơ ảo qua chân số 1 
Hình 2b. Các điểm kết cấu cần đo kích thước 
Hình 2. Vòng véc tơ ảo qua chân thứ nhất và kết cấu hai tấm tam giác. 
Hình 3. Sơ đồ tính tổng vế trái phương trình (2) 
Cuối cùng kết hợp cả các tọa độ lý thuyết (vế trái phương trình 2) và các tọa độ thực (vế phải 
phương trình (2) theo kết quả đo được) để có phương trình khai triển vòng kín là (3): 
1 21 11 1 31 21 11 1 31 21 11
1 21 11 1 31 21 11 1 31 21 11
1 21 1 31 21 1 31 21
.cos( ).cos( ) b .cos( ).cos( ) c .sin( ).cos( )
.cos( ).sin( ) b .cos( ).sin( ) c .sin( ).sin( )
.sin( ) b .sin( ) c .cos( )
x
y
z
a
a
a
p
p
p
1
1
1
cos( ).cos( ) sin( ).sin( ).cos( ) cos( ).sin( ) cos( ).sin( ).cos( ) sin( ).sin( )
cos( ).sin( ) sin( ).sin( ).sin( ) cos( ).cos( ) cos( ).sin( ).sin( ) sin( ).cos( )
sin( )
e
e
e
x
y
z
       
       

1
1
1sin( ).cos( ) cos( ).cos( )
d
d
d
x
x y
z  
(3) 
Do tính bất đối xứng thể hiện ở kích thước thực nên phương trình (3) vẫn truy hồi được, cho
chân 
thứ hai và ba để nhận được hệ phương trình đầy đủ gồm 9 phương trình mô tả toàn bộ cấu trúc 
nói trên. Chân thứ hai: 
2 22 12 2 32 22 12 2 32 22 12
2 22 12 2 32 22 12 2 32 22 12
2 22 2 32 22 2 32 22
.cos( ).cos( ) b .cos( ).cos( ) c .sin( ).cos( )
.cos( ).sin( ) b .cos( ).sin( ) c .sin( ).sin( )
.sin( ) b .sin( ) c .cos( )
x
y
z
a
a
a
p
p
p
2
2
2
cos( ).cos( ) sin( ).sin( ).cos( ) cos( ).sin( ) cos( ).sin( ).cos( ) sin( ).sin( )
cos( ).sin( ) sin( ).sin( ).sin( ) cos( ).cos( ) cos( ).sin( ).sin( ) sin( ).cos( )
sin( )
e
e
e
x
y
z
       
       

2
2
2sin( ).cos( ) cos( ).cos( )
d
d
d
x
x y
z  
(4) 
Chân thứ ba: 
Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 199(06): 113 - 117 
 Email: jst@tnu.edu.vn 116 
3 23 13 3 33 23 13 3 33 23 13
3 23 13 3 33 23 13 3 33 23 13
3 23 3 33 23 3 33 23
.cos( ).cos( ) b .cos( ).cos( ) c .sin( ).cos( )
.cos( ).sin( ) b .cos( ).sin( ) c .sin( ).sin( )
.sin( ) b .sin( ) c .cos( )
x
y
z
a
a
a
p
p
p
3
3
3
cos( ).cos( ) sin( ).sin( ).cos( ) cos( ).sin( ) cos( ).sin( ).cos( ) sin( ).sin( )
cos( ).sin( ) sin( ).sin( ).sin( ) cos( ).cos( ) cos( ).sin( ).sin( ) sin( ).cos( )
sin( )
e
e
e
x
y
z
       
       

3
3
3sin( ).cos( ) cos( ).cos( )
d
d
d
x
x y
z  
 (5) 
3. Phân tích và giải bài toán động học robot 3URS 
Thiết lập bài toán cùng các ràng buộc trên nền excel để theo phương pháp số GRG: 
 Hình 4. Thiết lập bài toán động học trên Excel 
Trong đó, 
- A, B, C, A1, B1, C1 lần lượt là tọa độ đầu mút các chân của robot tương ứng. 
- ei, ai, bi, ci,di là các tham số chân thứ i. 
- Px, Py, Pz, α, β,  tương ứng mô tả vị trí và hướng của tấm động của robot. 
- α1i, α3i, α2i là các góc khớp của chân thứ i, với α1i, α3i là góc khớp chủ động, α2i là góc 
khớp thụ động. 
Các bài toán động học sau được thực hiện: 
Bảng 1. Các thông số đầu vào và kết quả của bài toán động học ngược. 
STT 
Đầu vào Đầu ra 
Hàm mục tiêu F 
Px Py Pz α β  α11 α12 α13 α31 α32 α33 α21 α22 α23 
1 0 0 470 0 0 0 0,2339 0,5339 1,0460 3,3978 3,3978 -2,7859 1,5182 1,5182 -4,1298 3,6E-19 
2 10 10 426 0,1753 0 0 4,1477 -2,1354 3,9670 3,5549 3,5549 -2,6579 1,2618 1,2618 -4,5010 9,6E-16 
3 10 20 465 0,003 0,105 0 1,2181 1,1772 1,1931 3,3255 3,3029 -2,8089 1,3645 1,4678 -4,6195 3,52E-18 
4 34 26 400 0 0,123 0,295 0,6734 0,0871 2,3809 3,0348 3,0854 -2,7858 0,9215 1,0214 -4,9521 3,57E-13 
5 42 27 436 0,382 0,112 0,322 0,6607 0,5616 0,6585 3,2128 3,2133 -2,8964 1,0892 1,1667 -4,7839 2,3E-17 
6 2 35 452 0,0285 0,114 0,001 1,6035 -1,5693 1,5676 3,2777 3,5595 -2,8562 1,2427 1,5722 -4,7330 1,96E-15 
7 -14 21 428 0 0,118 0,218 1,2628 -2,8530 2,8456 3,2501 3,5186 -2,9247 1,1397 1,4118 -4,9406 3,3E-17 
8 -31 14 457 0,121 0,142 0,031 2,5920 -3,5874 2,7477 3,2732 3,2734 -2,8933 1,1915 1,3067 -4,6071 1,92E-17 
9 -47 -29 417 0,149 0,031 0 3,6085 -2,6740 3,6798 3,2164 3,2147 -2,9246 1,0250 1,0429 -4,8717 1,13E-14 
10 -28 -33 422 0,021 0,032 0,216 4,8309 -1,4586 3,6517 3,4065 3,2325 -3,0048 1,2281 1,1440 -5,0092 4,72E-17 
Phạm Thành Long và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 199(06): 113 - 117 
 Email: jst@tnu.edu.vn 117 
Bài toán ngược: 
Cho trước 6 thông số P(px, py, pz) và (cos(α), cos(β), cos(γ)) mô tả vị trí và hướng của tấm di 
động, cần tìm các thông số 1 2 3, , 1 3i i i i  từ hệ 9 phương trình đã biết ở trên. 
Bài toán thuận: 
Cho trước 6 tham số 1 3, 1 3i i i  cần tìm 2 1 3i i  , P(px, py, pz) và (α,β,γ) từ hệ 9 
phương trình đã biết ở trên. 
Bảng 2. Các thông số đầu vào và kết quả của bài toán động học thuận 
STT 
Đầu vào Đầu ra Hàm mục 
tiêu F α11 α12 α13 α31 α32 α33 Px Py Pz α β  α21 α22 α23 
1 0,23389 0,53392 1,04600 3,39777 3,39777 -2,78585 0,00485 0,00098 469,99422 0,00009 0,00002 0,00001 1,51802 1,51805 2,15331 3,68E-08 
2 4,14775 -2,13544 3,96698 3,55494 3,55494 -2,65791 9,98626 9,98138 425,90763 0,17532 0,00000 0,00001 1,26138 1,26138 1,78120 3,98E-06 
3 0,66070 0,56158 0,65853 3,21276 3,21327 -2,89636 42,10093 27,06141 435,21428 0,10816 0,11272 0,03216 1,08604 1,16367 1,49471 0,000704 
4 1,60352 -1,56931 1,56760 3,27768 3,55952 -2,85624 2,00559 35,00895 451,96981 0,02839 0,11429 0,00100 1,24248 1,57232 1,54986 2,43E-05 
Như vậy, các kết quả đã chỉ ra rằng hoàn toàn 
có thể sử dụng bằng phương pháp số GRG để 
giải bài toán động học cho robot song song 
bất đối xứng. 
4. Kết luận 
Xuất phát từ bài toán còn dở của trường Đại 
Học Hoa Nam, chúng tôi đã mô hình hóa và 
giải thử bằng phương pháp số do chúng tôi đề 
xuất. Kết quả giải bài toán thuận và ngược 
đều hội tụ, việc kiểm tra ở các tư thế đặc biệt 
tiến hành khi giải cho thấy mô hình và lời giải 
nhận được là đúng. Như vậy có nghĩa là 
phương pháp và công cụ mà chúng tôi đề xuất 
cho đối tượng hoàn toàn hợp lý. 
Tổng kết lại phương pháp GRG ứng dụng 
trên bài toán tối ưu khi áp dụng cho robot có 
thể giải được cho robot chuỗi, robot song 
song cấu trúc đối xứng và bất đối xứng. Đây 
là nhận định quan trọng để có thể rút ngắn 
chương trình giảng dạy môn học robot công 
nghiệp trong trường Đại học dựa trên các luận 
cứ khoa học rõ ràng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Weiguang Li, Jian Huang, Chunbao Wang, 
Lihong Duan, Quanquan Liu, Suntong Yang, 
Wanfeng Shang, Yajing Shen, Zhuohua Lin, 
Zhixiang Lu, Xiaojiao Chen, Zhengzhi Wu, 
Design of 6 – DOF parallel ankle rehabilitation 
robot, 2008 IEEE International Conference on 
Cyborg and Bionic Systems (CBS), 2008. 
[2]. L. S. Lasdon, A. D. Warren, A. Jain, and M. 
Ratner, Design and Testing of a generalized 
reduced gradient code for nonlinear 
Programming, ACM Trans. Math. SoftWare 4, 
(1), pp. 34-50, 1978. 
[3]. Trang Thanh Trung, Li Wei Guang and Pham 
Thanh Long, “A New Method to Solve the 
Kinematic Problem of Parallel Robots Using an 
Equivalent Structure,” Int. Conf. Mechatronics 
Autom. Sci. 2015)Paris, Fr., pp. 641–649, 2015. 
[4]. Trang Thanh Trung, Optimization analysis 
method of parallel manipulator kinematic model, a 
dissertation submitted for the degree of doctor, 
South China university of Technology 
Guangzhou, China 2018. 
  Email: jst@tnu.edu.vn 118