Lý thuyết gia tăng sóng âm (Phonon âm) do hấp thụ bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 20, 2003
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) 
DO HẤP THỤ BỨC XẠ LASER TRONG DÂY LƯỢNG TỬ 
HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ VÔ HẠN
Phạm Thị Nguyệt Nga
 Nguyễn Quốc Hưng, Nguyễn Quang Báu
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội
Trần Công Phong
Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Huế 
1. MỞ ĐẦU
Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) do hấp thụ bức xạ laser trước đây đã được nghiên cứu rộng rãi cho bán dẫn khối [1-3], hố lượng tử [4-6], và bước đầu với dây lượng tử [7,8]. Bài toán cho dây lượng tử hình trụ đã được xét đến với hố thế vô hạn [7] và hố thế parabol [8]. Tất cả các công trình trên đều chỉ ra tốc độ thay đổi mật độ phonon nhận giá trị âm trong một số vùng của vectơ sóng phonon, tức là có sự gia tăng sóng âm, hay số phonon âm trong hệ tăng dần theo thời gian.
Nối tiếp ý tưởng trên, trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu lý thuyết sự gia tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser trong dây lượng tử có dạng hình chữ nhật và hố thế vô hạn dọc theo biên. Đây là mô hình tiêu biểu cho loại dây lượng tử chế tạo bằng phương pháp epitaxy, và được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu lý thuyết. Chúng tôi sẽ xét trường hợp hấp thụ một photon và trường hợp hấp thụ nhiều photon cho hệ khí điện tử không suy biến với giả thiết phonon khối (phonon không chịu ảnh hưởng của sự giảm số chiều [6,9]). Phương pháp tính toán là thiết lập phương trình động lượng tử cho phonon, từ đó rút ra các biểu thức giải tích cuối cùng cho hệ số gia tăng, điều kiện gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia vào quá trình làm tắt dần hay gia tăng sóng âm. Các kết quả được xử lý số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl.
2. CÁC BIỂU THỨC TỔNG QUÁT
Xét mô hình dây lượng tử (DLT) có kích thước Lx, Ly, Lz, với Lz>>Lx, Ly. Với giả thiết hố thế giam cầm điện tử là vô hạn dọc theo biên của dây (trục x và y), hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử bên trong dây có dạng [10]:
 , 
 ,
với n và l là các số lượng tử theo hai phương x và y, là vectơ sóng và m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon tương tác trong trường laser với thế vectơ có dạng , trong đó:
 (1)
trong đó e là điện tích của điện tử, c là vận tốc ánh sáng, và ( và ) là toán tử sinh và huỷ điện tử (phonon), là tần số phonon với vectơ sóng , là hằng số tương tác điện tử phonon, , x là hằng số thế biến dạng, r là khối lượng riêng, vs là vận tốc sóng âm, V là thể tích chuẩn hóa, là thừa số đặc trưng cho dây lượng tử và xác định bởi:
Sử dụng Hamiltonian (1), sau khi thực hiện các phép biến đổi toán tử và theo phương pháp tương tự như trong [1-3], chúng tôi thu được phương trình động lượng tử cho phonon:
 (2) trong đó ký hiệu trung bình thống kê của toán tử X, , là hàm Bessel đối số thực, và .
Từ (2), thực hiện phép biến đổi Fourier và bỏ qua hệ số tương tác điện tử-phonon với bậc cao hơn hai [1-3], chúng tôi thu được từ phương trình tán sắc của phonon, biểu thức tổng quát cho tốc độ biến đổi mật độ phonon trong dây lượng tử:
 (3)
với d(x) là hàm Delta Dirac.
Từ biểu thức tổng quát này chúng tôi tiếp tục tính toán để thu được biểu thức tường minh cho tốc độ biến đổi mật độ phonon với giả thiết hệ điện tử là không suy biến trong hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon.
3. SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG TRƯỜNG HỢP 
HẤP THỤ MỘT PHOTON
Do cường độ trường laser chỉ chứa trong đối số l của hàm Bessel trong biểu thức (3), nên trong trường hợp cường độ trường laser không quá mạnh, có thể giả thiết . Giới hạn các số hạng đầu tiên trong tổng theo n, sau khi thực hiện một số tính toán, chúng tôi thu được biểu thức tường minh cho tốc độ biến đổi mật độ phonon:
(4)
với 
, ,,
 là hằng số Boltzmann. Điều kiện đối với vectơ sóng điện tử để nhận được (4) là
 ,	(5)
nghĩa là chỉ có những k thỏa mãn điều kiện (5) mới tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm. Khi , nhận giá trị âm, ta có hệ số gia tăng sóng âm:
 (6)
4. SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG TRƯỜNG HỢP
 HẤP THỤ NHIỀU PHOTON
Sử dụng công thức gần đúng trong [11,12]
, với 
và từ công thức tổng quát (3), sau khi tính toán, chúng tôi thu được biểu thức cho tốc độ biến đổi mật độ phonon do hấp thụ bức xạ laser trong trường hợp hấp thụ nhiều photon:
 (7)
với là hàm Gamma và 
trong đó là hàm Bessel đối số phức.
	Tương tự như (5), điều kiện để điện tử tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm là:
 .	(8)
Chú ý rằng nếu:
, 	 	 (9)
thì , chúng ta lại có hệ số gia tăng sóng âm, hay số phonon trong dây tăng dần theo thời gian.
5. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Dựa vào các kết quả thu được, chúng tôi vẽ đồ thị cho sự phụ thuộc của tốc độ biến đổi mật độ phonon vào số sóng của phonon, tần số bức xạ laser, và vào nhiệt độ cho trường hợp hấp thụ một photon. Các thông số được chọn để vẽ đồ thị là: m=0.067m0 (m0 là khối lượng của electron tự do), x=137.324J, r=5300kgm-3, vs=4078ms-1, Lx=20nm, Ly=5nm. Các hình vẽ cho trường hợp hấp thụ ngoại mini vùng: với n và l được lấy tới 4 (4 mini vùng năng lượng đầu tiên). Có thể thấy tốc độ biến đổi mật độ phonon nhận giá trị âm, tức là có gia tăng sóng âm, và sự gia tăng sóng âm là mạnh nhất tại (hình 1), (hình 2) và (hình 3). So sánh các đồ thị này với trong [7,8] ta thấy hàm sóng và phổ năng lượng điện tử của dây lượng tử hình chữ nhật không ảnh hưởng nhiều đến sự gia tăng sóng âm so với các cấu hình khác.
	Có thể nhận thấy rằng trong các biểu thức (4) và (7) chỉ có đóng góp của các điện tử thỏa mãn điều kiện xung lượng (5) và (8), tức là chỉ những điện tử có xung lượng thỏa mãn điều kiện này mới tham gia vào quá trình làm tắt dần hay gia tăng sóng âm. Trong trường hợp điều kiện (khi hấp thụ một photon) và (9) (khi hấp thụ nhiều photon) được thỏa mãn, nhận giá trị âm, tức là ta có hệ số gia tăng sóng âm. Lúc này, số phonon trong hệ tăng dần theo thời gian. Trong trường hợp hấp thụ nhiều photon, sự phụ thuộc của hệ số gia tăng vào cường độ trường laser có bậc lớn hơn hai do thừa số nằm trong hàm Bessel In(x) trong công thức (7), trong khi ở trường hợp hấp thụ một photon, sự phụ thuộc này chỉ là bậc hai (l2) trong công thức (4). Các công thức này có dạng khác với các công thức tương ứng của hố lượng tử và bán dẫn khối do đặc trưng về sự giảm số chiều của vật liệu, nhưng chỉ khác các công thức tương ứng trong trường hợp dây lượng tử hình trụ [7,8] ở các thừa số chứa phổ năng lượng và hệ số tương tác điện tử phonon. 
Hình 1: Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng sóng âm vào vectơ sóng phonon trong trường hợp hấp thụ một photon với T=77K, W=100THz.
Hình 2: Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng sóng âm vào tần số laser khi hấp thụ một photon với T=77K, m=0.067m0
6. KẾT LUẬN
	Trong phần kết luận, chúng tôi muốn nhấn mạnh một số kết quả đã nhận được như sau:
1. Thiết lập được phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử, về hình thức có dạng tương tự với phương trình trong hố lượng tử và bán dẫn khối.
2. Thu được biểu thức giải tích cho tốc độ biến đổi mật độ phonon, điều kiện cho sự gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia vào quá trình làm tắt dần hay gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon và trường hợp hấp thụ nhiều photon.
3. Trong những điều kiện xác định, tốc độ biến đổi mật độ phonon nhận giá trị âm, tức là ta có sự gia tăng sóng âm. Sự gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ nhiều photon phụ thuộc rất phức tạp vào cường độ trường bức xạ laser so với trường hợp hấp thụ một photon.
4. Thực hiện tính số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl. Từ kết quả xử lý số cho thấy có xuất hiện những vùng sóng âm, tần số laser, nhiệt độ mà tại đó có sự gia tăng sóng âm (tốc độ biến đổi mật độ phonon nhận giá trị âm).
Hình 3: Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng sóng âm vào nhiệt độ khi hấp thụ một photon với W=100 THz, q=106 m-1.
Lời cảm ơn: Công trình được tài trợ bởi chương trình NCCB nhà nước, mã số 411301 và 411501.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Chhoumm Navy. VNU. Journal of Science, Nat. sci., 15, 1 (1999)
E.M. Epstein. Radio Physics, 18, 785 (1975)
E.M. Epstein. Lett. JETP, 13, 511 (1971)
Nguyen Quang Bau, Vu Thanh Tam, and Nguyen Vu Nhan. Military Science and Technology Magazine, No. 24, 38 (1998)
Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, and Nguyen Manh Trinh. Proceedings of IWOMS’99, Hanoi 1999, 869 (1999)
Peiji Zhao. Phys. Rev., B49, 13589 (1994)
Nguyen Quoc Hung, Nguyen Vu Nhan, and Nguyen Quang Bau. arXiv: cond-mat/0204563 v1 25 Apr 2002
Nguyen Quoc Hung, Dinh Quoc Vuong, and Nguyen Quang Bau. arXiv: cond-mat/0204260 vo1 11( 2002)
Nguyen Quang Bau and Tran Cong Phong. Journal of the Physical Society of Japan, Vol 67, 3875 (1998); Norihiko Nishiguchi, Phys. Rev., B54, 1494 (1996)
R. Mickevicius, V. Mitin. Phys. Rev., B48, 17194 (1993) [11]. Nguyen Hong Son, G.M. Shmelev, E.M. Epstein. Izv. VUZov USSR, Physics, 5, 19 (1984)
L.Sholimal. Tunnel effects in semiconductors and applications, Moscow, (1974).
TÓM TẮT
Dựa vào phương trình động lượng tử cho phonon, tốc độ biến đổi mật độ sóng âm (phonon âm) do hấp thụ bức xạ laser trong trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn được tính toán cho cả hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon. Các biểu thức giải tích cho hệ số gia tăng, điều kiện gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng của các điện tử tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm được thu nhận. Sự khác nhau giữa hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon, giữa dây lượng tử với bán dẫn khối và hố lượng tử được xem xét. Các kết quả được xử lý số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl. 
THEORY OF THE AMPLIFICATION OF ACOUSTIC PHONON BY THE ABSORPTION OF THE LASER RADIATION IN A RECTANGULAR QUANTUM WIRE WITH INFINITE POTETIALS 
Pham Thi Nguyet Nga, 
Nguyen Quoc Hung, Nguyen Quang Bau
 College of Natural Sciences, Hanoi National University
Tran Cong Phong
 College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Based on the quantum kinetic equation for phonon, the rate of acoustic phonons excitations by the absorption of the laser radiation in a rectangular quantum wire with infinite potetials is calculated for two cases of mono-photon and multi-photon absorption. The analytic expressions of the amplification coefficient and conditions for the amplification of sound and conditions for momentum of electrons that participate in the amplification of sound are obtained. The differences between the mono-photon and multi-photon absorption, between the phonon amplifications in a quamtum wire, in bulk semiconductors, and in a quantum well are considered. The analytic results are numerically calculated and ploted for specific quantum wire GaAs/GaAsAl.