Lượng tử hóa biến dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp của một vài lớp nhóm lie giải được 5 chiều

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 87 
LƯỢNG TỬ HÓA BIẾN DẠNG 
TRÊN CÁC QUỸ ĐẠO ĐỐI PHỤ HỢP 
CỦA MỘT VÀI LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU 
Dương Minh Thành* 
1. Mở đầu 
Lượng tử hóa biến dạng là một lĩnh vực nghiên cứu rất được quan tâm trong 
Toán học và Cơ học lượng tử. Mặc dù khái niệm này được ra đời rất sớm nhưng 
phải đến những năm 70 của thế kỉ trước người ta mới phát hiện được những ứng 
dụng quan trọng của nó nhờ vào các công trình sâu sắc của Bayen, Fronsdal, 
Lichnerowicz, Plato và Sternheimer. Một trong những ứng dụng đáng chú ý nhất 
của lượng tử hóa biến dạng là nghiên cứu các biểu diễn của nhóm Lie. Cụ thể là 
từ việc xây dựng công thức lượng tử hóa biến dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp 
của một nhóm Lie, ta sẽ thu được các biểu diễn của nhóm Lie đó. Áp dụng tính 
chất này, Arnal, Cortet và Ludwig đã tìm ra biểu diễn của lớp các nhóm Lie 
nilpotent và lớp các nhóm Lie giải được exponent [1]. Tuy nhiên, cho đến nay 
chưa có kết quả tổng quát nào được tìm ra cho lớp các nhóm Lie giải được không 
exponent. 
Một trong những bài toán đặt ra hiện nay là tìm ra những lớp đủ rộng các 
nhóm Lie giải được có chứa những nhóm Lie không exponent mà việc xây dựng 
công thức lượng tử hóa trên các quỹ đạo của chúng vẫn có thể thực hiện được. 
Trong quá trình nghiên cứu lớp MD-nhóm [2], tức là lớp các nhóm Lie thực giải 
được mà các quỹ đạo đối phụ hợp của chúng hoặc là 0-chiều hoặc có chiều cực 
đại, Đỗ Ngọc Diệp và các cộng sự đã phát hiện ra rằng, lớp MD-nhóm rất thích 
hợp với công cụ lượng tử hóa biến dạng. Năm 1999, Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn 
Việt Hải đã xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo của lớp MD -
nhóm (MD-nhóm mà chiều cực đại của quỹ đạo đối phụ hợp bằng với chiều của 
nhóm) và lớp MD4-nhóm (MD-nhóm 4 chiều), đồng thời đưa ra các biểu diễn 
unita vô hạn chiều tương ứng của các lớp nhóm này [3,4]. Áp dụng phương pháp 
này, năm 2007, tác giả cũng đã xây dựng công thức lượng tử hóa và đưa ra các 
biểu diễn unita vô hạn chiều của một nhóm thuộc lớp MD5-nhóm (MD-nhóm 5 
* Nghiên cứu sinh, Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 88 
chiều) [5]. Thật không may rằng lớp các MD5-nhóm đến nay vẫn chưa được 
phân loại hoàn toàn. Tuy nhiên, trong công trình gần đây của Lê Anh Vũ và Kar 
Ping Shum, một số lớp con của lớp MD5-đại số (đại số Lie tương ứng với MD5-
nhóm) đã được liệt kê, trong đó có 2 lớp con chứa khá nhiều MD5-đại số [6]. 
Lớp thứ nhất là lớp đại số hầu như giao hoán, tức là có ideal dẫn xuất giao hoán 
đối chiều 1. Lớp thứ hai có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều 2. Điều này gợi ý 
cho tác giả tiếp tục sử dụng công cụ lượng tử hóa biến dạng để tìm ra các biểu 
diễn của hai lớp đại số đặc biệt này. 
Nội dung của bài báo được sắp xếp như sau. 
Chương 2 chủ yếu nêu lại khái niệm quỹ đạo đối phụ hợp của một nhóm 
Lie và các kết quả liên quan đến bài toán phân loại MD-nhóm và MD-đại số, 
trong đó liệt kê đầy đủ 2 lớp MD5-đại số đã được nêu trên và là đối tượng nghiên 
cứu của bài báo này. Trong Chương 3, ta sẽ nhắc lại một số khái niệm liên quan 
đến lượng tử hóa biến dạng. Phương pháp xây dựng công thức lượng tử hóa biến 
dạng trên quỹ đạo đối phụ hợp cũng được mô tả đầy đủ trong chương này kèm 
theo 2 ví dụ chi tiết, một ví dụ dành cho nhóm không exponent, một ví dụ dành 
cho nhóm exponent. Các biểu diễn của 2 lớp MD5-đại số sẽ được liệt kê trong 
Chương 4. 
2. Quỹ đạo đối phụ hợp và MD5-đại số 
2.1. Quỹ đạo đối phụ hợp 
Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm tác động đối phụ hợp của một nhóm Lie. Cho 
G là một nhóm Lie liên thông và đơn liên, g là đại số Lie của G. Với mỗi phần 
tử g G , ta định nghĩa ánh xạ: 
( ) :A g G G 
1( )( )A g a gag 
Ánh xạ này cảm sinh ra tác động trên đại số Lie g : 
*( ) :A g g g 
1
0
exp( )
t
dX g tX g
dt
 g g. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 89 
Ta thường kí hiệu tác động này là Ad. Khi đó tác động đối phụ hợp K của 
nhóm Lie G trong không gian đối ngẫu g* được định nghĩa như sau: 
1( ) , : , ( )K g F X F Ad g X 
với mọi ,F X g* g and g G . 
Định nghĩa 2.1. Quỹ đạo của tác động K được gọi là quỹ đạo đối phụ hợp, 
hay còn gọi là K-quỹ đạo. Với F g*, ta kí hiệu F (hoặc đơn giản là  ) là quỹ 
đạo đối phụ hợp chứa F, ta có: 
 ( ) ( ) :F K G F K g F g G  g*. 
Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng một nhóm Lie giải được G thuộc lớp MD-
nhóm nếu mọi quỹ đạo đối phụ hợp của nó hoặc là 0-chiều hoặc có chiều cực 
đại. Đại số Lie tương ứng với một MD-nhóm được gọi là MD-đại số. 
Chiều của các quỹ đạo đối phụ hợp luôn chẵn. Hơn nữa, với mỗi quỹ đạo 
F , tồn tại một dạng vi phân tự nhiên liên kết với dạng song tuyến tính không 
suy biến trên không gian tiếp xúc FT  của quỹ đạo F : 
  , , , , ,FB X Y F X Y X Y g 
Dạng symplectic tương ứng được gọi là dạng Kirillov trên quỹ đạo đối phụ 
hợp F . 
Trong trường hợp mọi quỹ đạo đối phụ hợp có số chiều hoặc là 0 hoặc là 
dimG thì G được gọi là MD -nhóm. Bài toán nghiên cứu và liệt kê các MD-
nhóm và MD-đại số được xuất phát từ việc nghiên cứu *C -đại số của một nhóm 
Lie giải được. Đồng thời chính bài toán này cũng dẫn tới bài toán nghiên cứu 
không gian phân lá tạo bởi các quỹ đạo đối phụ hợp không tầm thường của một 
MD-nhóm và *C -đại số liên kết với phân lá đó. Vì ta chỉ xét nhóm G liên thông 
và đơn liên nên việc phân loại MD-nhóm tương đương với việc phân loại các 
MD-đại số tương ứng. Lớp các MD -đại số và MDn-đại số (MD-đại số n chiều), 
4n , đã được liệt kê hoàn toàn [2]. Tuy nhiên, cho đến nay chưa có phân loại 
hoàn toàn các MDn-đại số, với 5n . Gần đây Lê Anh Vũ và Kar Ping Shum đã 
đưa ra được một số lớp con của lớp MD5-đại số [6], trong đó có 2 lớp chứa một 
số lượng đáng kể các MD5-đại số mà ta sẽ liệt kê dưới đây. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 90 
2.2. MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều 2 
Định lý 2.3: Cho g là một đại số Lie thực giải được 5 chiều, 1 2 3 4 5, , , ,e e e e e 
là một cơ sở của g . Giả sử ta có ideal dẫn xuất của g là 
1 3
3 4 5[ , ] , ,e e e R g g g , khi đó đại số Lie g là một MD-đại số bất khả phân 
nếu và chỉ nếu g thỏa mãn điều kiện 
1
0ead , 2 1 3( )ead End Mat  g , 
 1 2 3,e e e và g đẳng cấu với mỗi đại số sau: 
1 25,3,1( , ) 
g : 
2
1
2 1 2 1 2
0 0
0 0 ; , \ 0,1 ,
0 0 1
ead

    
 . 
5,3,2( )g : 2
1 0 0
0 1 0 ; \ 0,1
0 0
ead 

 . 
5,3,3( )g : 2
0 0
0 1 0 ; \{1}
0 0 1
ead


 . 
5,3,4g : 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ead
. 
5,3,5( )g : 2
0 0
0 1 1 ; \{1}
0 0 1
ead


 . 
5,3,6( )g : 2
1 1 0
0 1 0 ; \ 0,1
0 0
ead 

 . 
5,3,7g : 2
1 1 0
0 1 1
0 0 1
ead
. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 91 
5,3,8( , ) g : 2
cos sin 0
sin cos 0 ; \{0}, (0, )
0 0
ead
  

 . 
Chú ý 2.4: Một nhóm Lie đơn liên giải được G là exponent nếu và chỉ nếu 
ánh xạ :Xad g g không có giá trị riêng thuần ảo nào. Do đó, dễ dàng kiểm tra 
rằng, các nhóm Lie tương ứng với các đại số 
1 25,3,1( , ) 
g , 5,3,2( )g , 5,3,3( )g , 5,3,4g , 
5,3,5( )g , 5,3,6( )g , 5,3,7g , 
5,3,8 ,
2
 
g là exponent và nhóm Lie tương ứng với đại số 
5,3,8 ,
2
 
g là không exponent. 
2.3. MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều 1. 
Định lý 2.5: Cho g là đại số Lie thực giải được 5 chiều, 1 2 3 4 5, , , ,e e e e e là 
một cơ sở của g . Giả sử ta có ideal dẫn xuất của g là 
1 4
2 3 4 5[ , ] , , ,e e e e R g g g , khi đó g là một MD-đại số bất khả phân nếu và chỉ 
nếu g thỏa mãn điều kiện 
1
1
4( ) ( )ead End g Mat   và g đẳng cấu với một 
trong các đại số sau: 
1 2 35,4,1( , , )  
g : 
1
1
2
1 2 3
3
0 0 0
0 0 0
, , \ 0,1
0 0 0
0 0 0 1
ead


  

; 
1 25,4,2( , ) 
g : 
1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
, \ 0,1 ,
0 0 1 0
0 0 0 1
ead


   
; 
5,4,3( )g : 1
0 0 0
0 0 0
\ 0,1
0 0 1 0
0 0 0 1
ead



; 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 92 
5,4,4( )g : 1
0 0 0
0 1 0 0
\ 0,1
0 0 1 0
0 0 0 1
ead


; 
5,4,5g : 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ead
1 25,4,6( , ) 
g : 
1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
, \ 0,1 ,
0 0 1 1
0 0 0 1
ead


   
; 
5,4,7( )g : 1
0 0 0
0 0 0
\ 0,1
0 0 1 1
0 0 0 1
ead



; 
5,4,8( )g : 1
1 0 0
0 0 0
\ 0,1
0 0 1 1
0 0 0 1
ead



; 
5,4,9( )g : 1
0 0 0
0 1 1 0
\ 0,1
0 0 1 1
0 0 0 1
ead


; 
5,4,10g : 1
1 1 0 0
0 1 1 0
\ 0,1
0 0 1 1
0 0 0 1
ead 
; 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 93 
1 25,4,11( , , )  
g : 
1 1 2 1 2
1
2
sin 0 0
sin 0 0
, \ 0 , , (0, )
0 0 0
0 0 0
e
c
c
ad
    



os
os
; 
5,4,12( , ) g : 1 1 2 1 2
sin 0 0
sin 0 0
, \ 0 , , (0, )
0 0 0
0 0 0
e
c
c
ad
    



os
os
; 
5,4,13( , , )  g : 1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , , 0, (0, )
0 0
0 0
ead
   
 
 
 
5,4,14( , ) g : 1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; \{0}, (0, )
0 0 1
0 0 0
ead
 


 
Chú ý 2.6. Việc liệt kê các đại số trên dựa trên dạng chuẩn tắc Jordan. Lớp 
các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều 1 chính là lớp các đại số 
Lie thực giải được 5 chiều có ideal dẫn xuất giao hoán đối chiều 1 mà thường 
được gọi với một tên khác là lớp các đại số Lie hầu như giao hoán 5 chiều. Lớp 
các đại số Lie hầu như giao hoán là một trong 2 lớp chiếm hầu hết các đại số Lie 
thấp chiều. Tương tự với Chú ý 2.4, các nhóm Lie tương ứng với các đại số 
1 2 35,4,1( , , )  
g , 
1 25,4,2( , ) 
g , 5,4,3( )g , 5,4,4( )g , 5,4,5g , 1 25,4,6( , ) g , 5,4,7( )g , 5,4,8( )g , 5,4,9( )g , 
5,4,10g , 
1 25,4,11( , , )2
   
g , 
5,4,12( , )
2
  
g , 
5,4,13( , , )
2
   
g , 
5,4,14( , )
2
  
g là exponent và các 
nhóm Lie tương ứng với các đại số 
1 25,4,11( , , )2
   
g , 
5,4,12( , )
2
  
g , 
5,4,13( , , )
2
   
g , 
5,4,14( , )
2
  
g là không exponent. 
3. Lượng tử hóa biến dạng trên quỹ đạo đối phụ hợp 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 94 
Định nghĩa 3.1: Cho ,M  là một đa tạp symplectic và  Z C M  
là không gian tuyến tính các chuỗi lũy thừa hình thức 
0
, ( )k k
k
a x a x 
  , 
 ( )ka x C M . Lượng tử hóa biến dạng của C M (hoặc lượng tử hóa biến 
dạng trên đa tạp M) được định nghĩa là ánh xạ: 
  
 , * ,r r
r
C M C M C M
u v u v C u v


  
thỏa mãn các tính chất sau: 
(i) * * * *u v w u v w    . 
(ii) 0 ,C u v uv , 1 1, , 2 ,C u v C v u u v , trong đó , là móc 
Poisson. 
(iii) * 1 1*u u u  . 
(iv) Các ánh xạ rC đều là các toán tử song khả vi. 
Ở đây, * là *-tích xác định trên C M . 
Định nghĩa 3.2: Moyal *-tích của hai hàm trơn 2, ( )nu v C R được định 
nghĩa như sau: 
1
1* . ( , )
! 2
r
r
r
u v u v P u v
r i 
  . 
Trong đó: 1( , ) { , }P u v u v 
1 1 2 2
1 2 1 2... ...
( , ) : ... r r
r r
i j i j i jr r r
i i i j j jP u v u v      
với 
1 2 1
1
... 1; ( , ) ( ,..., , ,..., )...r r
r
r n
i i i ni i x p q p p q qx x

 
 
, r ri j là các phần tử của 
1  . 
Vì mọi quỹ đạo đối phụ hợp đều là đa tạp symplectic G-thuần nhất với tác 
động đối phụ hợp của G, do đó không gian g* được phân thành hợp rời nhau của 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 95 
các đa tạp đa tạp symplectic G-thuần nhất. Với mỗi A g, tồn tại trường vectơ 
A được xác định như sau: 
0
.exp ,A
t
df F f F tA f C
dt
 
   . 
Đồng thời phần tử A cũng xác định cho ta hàm Halminton A trên  có 
công thức  ,A F F A . Hàm A và trường vectơ A có mối liên hệ: 
  , ;A f A f f C   . 
Khi đó ánh xạ  A A C  G sẽ là một biểu diễn tuyến tính của đại số 
g trong đại số Poisson  , ,C  . Hơn nữa dạng symplectic  trên quỹ đạo 
đối phụ hợp  có dạng: 
  , , , , ; ,A B FB A B F A B A B   g . 
Trong trường hợp mỗi quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie G vi phôi với 
2nR , ta có thể trang bị trên đó một *-tích khả vi hình thức chính là Moyal *-tích. 
Đồng thời *-tích này thỏa mãn tính chất: 
     * * , , ,i A iB iB i A i A B A B  g . 
Do đó, ánh xạ  *A iA là một biểu diễn của đại số g trong không gian 
  Z C   và được kí hiệu là Al . Tuy nhiên, lượng tử hóa không chỉ là việc 
tìm ra toán tử Al mà còn tìm ra các đối tượng lượng tử tương ứng với các đối 
tượng cổ điển. Điều này đồng nghĩa với việc tìm các biểu diễn của đại số Poisson 
  , ,C  trong một không gian Hilbert, tức là ta phải xác định toán tử lượng 
tử Al có công thức như sau: 
1
A p A pl F F
   . 
Trong đó pF là phép biến đổi Fourier từng phần của hàm f từ biến p sang 
biến x , xác định trên không gian 2 2 , / 2 nnL R dpdq : 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 96 
 ./ 2
1, ,
2 n
ip x
p n R
F f x q e f p q dp
và phép biến đổi Fourier ngược: 
 1 ./ 2
1, ,
2 n
ip x
p n R
F f p q e f x q dx
 . 
Hiển nhiên rằng, nếu nhóm Lie G là liên thông và đơn liên thì exp Al 
chính là biểu diễn của G. Hơn nữa, nếu G là một nhóm exponent thì tất cả các 
biểu diễn unita vô hạn chiều của G đều có dạng Al . Mục tiêu của bài báo này là 
tìm tất cả các toán tử Al của các đại số Lie đã được liệt kê ở trên. 
Phương pháp xây dựng công thức lượng tử hóa biến dạng chia làm 3 bước: 
1) Mô tả tường minh các quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie G. Cách mô tả 
có thể thao khảo chi tiết trong [7]. 
2) Đưa ra công thức của ánh xạ symplectic  thỏa mãn tính tương thích 
của atlas. Bước này dể dàng thực hiện nhờ vào công thức mô tả của quỹ đạo đối 
phụ hợp. Vấn đề còn lại là kiểm tra tính tương thích của ánh xạ  . 
3) Từ các hàm Hamilton, ta sẽ nhận được công thức của lượng tử hóa biến 
dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp. Khi đó ta sẽ thu được các biểu diễn của các 
đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G. 
Ví dụ 1: 
Xét nhóm Lie 5,3,8( , )G  tương ứng với đại số Lie 5,3,8( , ) g g , 5,3,8( , )G  là 
nhóm exponent nếu và chỉ nếu 
2
 . Các móc Lie trên 5,3,8( , ) g được viết lại 
như sau:  2 3 3 4, cos . sin .e e e e ,  2 4 3 4, sin . cos .e e e e ,  2 5 5,e e e . Gọi 
g* là không gian đối ngẫu của g và cơ sở đối ngẫu tương ứng là * * * * *1 2 3 4 5, , , ,e e e e e , 
giả sử * * * * *1 2 3 4 5F e e e e e     g*. Khi đó quỹ đạo đối phụ hợp của G 
chứa F được mô tả như sau: 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 97 
qcos os
os os
os os
os -e cos( -qsin ) sin sin( -qsin )
,os(qsin )+ sin(qsin )
sin(qsin ) os(qsin )
qc
qc qc
qc bc
q
x c e
y p
p q Rz γe c e
t e δe c
s σe

  
  
 
1. Nếu 
2
 , ta có các kết quả sau: 
Mệnh đề 3.3: Với mỗi quỹ đạo không tầm thường F  g*, ánh xạ 
symplectic toàn cục  có công thức: 
cos cos
cos cos cos cos
( , ) cos cos( sin ) sin sin( sin ) , ,
cos( sin ) sin( sin ), sin( sin ) cos( sin ), .
q q
q q q q q
F
p q e q e q p
e q e q e q e q e
 
   
    
 
Hơn nữa, 1,F   tạo thành 1 atlas tương thích. 
Chứng minh: 
Để chứng minh 1,F   tạo thành 1 atlas tương thích ta cần phải chứng 
minh dạng Kirillov trên atlas này có dạng chuẩn tắc, tức là dp dq  . Điều này 
dễ dàng suy ra trực tiếp từ việc tính toán và so sánh các công thức  , ,F A B , 
A B  , trong đó 1 2 3 4 5A ae be ce de fe , 1 2 3 4 5' ' ' ' 'B a e b e c e d e f e 
 g . 
Từ công thức của hàm Hamilton A : 
cos cos
cos cos cos cos
( , ) cos cos( sin ) sin sin( sin )
cos( sin ) sin( sin ) sin( sin ) cos( sin )
q q
q q q q q
A p q a e q e q bp
c e q e q d e q e q f e
 
   
    
 
ta có định lý sau: 
Định lý 3.4: Biểu diễn của đại số g nhận được từ lượng tử hóa biến dạng 
có công thức như sau: 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 98 

cos cos
cos cos cos cos
ˆ cos cos( sin ) sin sin( sin )
cos( sin ) sin( sin ) sin( sin ) cos( sin )
.
s s
A s
s s s s
s
b i a e s e s
c e s e s d e s e s
f e

   
    

  

Đồng thời, nếu ,A B g thì  ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B B A A B      . 
2. Nếu 
2
 , ta thay vi phôi toàn cục  bởi vi phôi địa phương k : 
: (2 ,2 2 )
( , ) sin ( 1 cos ), , cos sin , - sin cos ,
k F
q
R k k
p q q q p q q q q e
 
       
 
Khi đó các biểu diễn địa phương của g có công thức: 
 ˆ sin ( 1 cos ) cos sin - sin cos
A
k s
sb i a s s c s s d s s f e
         
Ví dụ 2: 
Xét nhóm Lie 
1 2 35,4,1( , , )
G    tương ứng với đại số Lie 1 2 35,4,1( , , )   g g . Gọi g* là 
không gian đối ngẫu của g và cơ sở đối ngẫu tương ứng là * * * * *1 2 3 4 5, , , ,e e e e e , giả 
sử * * * * *1 2 3 4 5 *F e e e e e g     . Khi đó quỹ đạo đối phụ hợp của G chứa F 
được mô tả như sau: 
31 2
1
2
3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )aa a a
a
a
a
a
b e c e d e f ex
a a a a
y e β
z e γ
t e δ
s e σ
 



    
Ánh xạ symplectic  có dạng 31 2( , ) , , , ,qq q qp q p e e e e      . 
Suy ra  31 2( , ) qq q qA p q ap b e c e d e f e      . Do đó 
 31 2ˆ ss s sA sa i b e c e d e f e       . 
4. Kết quả 
Áp dụng phương pháp trên cho các đại số còn lại ta thu được kết quả sau: 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 99 
1 25,3,1( , ) 
g : 
1
1 2
1
1ˆ
s
s s s
A s
eb i a c e d e f e

     

  
 . 
5,3,2( )g : ˆ 1 s s s sA sb i a e c e d e f e       . 
5,3,3( )g : 
1ˆ
s
s s s
A s
eb i a c e d e f e

    

  
 . 
5,3,4g : ˆ 1 s s s sA sb i a e c e d e f e       . 
5,3,5( )g : 1ˆ
s
s s s s
A s
eb i a c e d e f se e

     

  
 . 
5,3,6( )g : ˆ 1 s s s s sA sb i a e c e d se e f e        . 
5,3,7g : 
2
ˆ 1
2
s
s s s s s s
A s
s eb i a e c e d se e f se e       
  
 . 
5,3,8( , ) g : Nếu 2
 thì 

cos cos
cos cos cos cos
ˆ cos cos( sin ) sin sin( sin )
cos( sin ) sin( sin ) sin( sin ) cos( sin )
,
s s
A s
s s s s
s
b i a e s e s
c e s e s d e s e s
f e

   
    

  

nếu 
2
 thì 
 ˆ sin ( 1 cos ) cos sin - sin cos
A
k s
sb i a s s c s s d s s f e
         
1 2 35,4,1( , , )  
g : 31 2ˆ ss s sA sa i b e c e d e f e       . 
1 25,4,2( , ) 
g : 1 2ˆ s s s sA sa i b e c e d e f e       . 
5,4,3( )g : ˆ s s s sA sa i b e c e d e f e       . 
5,4,4( )g : ˆ s sA sa i b e c d f e      . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 100 
5,4,5g : ˆ sA sa i b c d f e      . 
1 25,4,6( , ) 
g : 1 2ˆ s s s s sA sa i b e c e d e f se e        . 
5,4,7( )g : ˆ s s s sA sa i b c e d e f se e       . 
5,4,8( )g : ˆ s s s sA sa i b e c s e d e f s e         . 
5,4,9( )g : 
2
ˆ
2
s s s s
A s
sa i b e c e d s e f s σ e     
  
 . 
5,4,10g : 
2 3 2
ˆ
2 6 2
s s s s
A s
s s sa i b e c s e d s e f s σ e        
  
 . 
1 25,4,11( , , )  
g : Nếu 
2
 thì 1 2ˆ i s sseA sa i b ic i e d e f e        , 
nếu 
2
 thì 1 2ˆ s sk isA sa i b ic i e d e f e       . 
5,4,12( , ) g : Nếu 2
 thì ˆ ise sA sa i b ic i e d f e       , 
nếu 
2
 thì ˆ k is sA sa i b ic i e d f e      . 
5,4,13( , , )  g : Nếu 2
 thì 
 ( )ˆ ise s iA sa i b ic i e d if i e        , 
nếu 
2
 thì ( )ˆ k is s iA sa i b ic i e d if i e        . 
5,4,14( , ) g : Nếu 2
 thì 
 ˆ ise s sA sa i b ic i e d e f s e         . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Dương Minh Thành 
 101 
nếu 
2
 thì ˆ k is s sA sa i b ic i e d e f s e        . 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Arnal D., Cortet J.C. and Ludwig J (1995), Moyal product and 
representations of solvable product Lie groups, J. Funct. Anal., 133, 
402-424. 
[2]. D.N.Diep (1999), Noncommulative Geometry Methods for Group C*-
Algebras, Chapman and Hall/ CRC Research Notes in Mathematics 
Series, Vol. 416, 284 pages. 
[3]. D.N.Diep and N.V.Hai (2001), Quantum half-planes via deformation 
quantization, Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to 
Algebra and Geometry), 42, No 2. 
[4]. N.V.Hai (2001), Quantum co-adjoint orbits of MD4-groups, Vietnam J. 
Math, 29, 131-158. 
[5]. D.M.Thanh (2007), K-quỹ đạo lượng tử trên MD5-nhóm, Tạp chí Khoa 
học Tự nhiên, Trường Đại học Sư phạm Tp. HCM, 12, 83-98. 
[6]. L.A.Vu and K.P.Shum, Advances in Algebra and Combinatorics 2008, 
World Scientific Publishing Co., 353-371. 
[7]. L.A.Vu and D.M.Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a Subclass 
of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, 
Contributions in Mathematics and Applications, A special Vol. of East-
West J. Math, 169-184. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 102 
Tóm tắt 
Các nghiên cứu quan trọng đầu tiên của khái niệm lượng tử hóa được tiến 
hành bởi Weyl, Moyal,  và sau đó phát triển mạnh mẽ trong những năm 1970 
bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng, trong đó xuất hiện những ứng dụng mới của 
“lượng tử hóa biến dạng” trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Từ việc xây dựng 
công thức lượng tử hóa trên các quỹ đạo đối phụ hợp của một nhóm Lie, ta thu 
được các biểu diễn vô hạn chiều của nhóm Lie đó. 
Song song với bài toán phân loại các MD-nhóm, ta cũng có bài toán xây 
dựng lượng tử hóa biến dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp của chúng. Sử dụng 
Moyal *-tích trên các quỹ đạo đối phụ hợp, ta sẽ liệt kê các biểu diễn của một số 
lớp con đặc biệt của lớp các MD5-đại số trong [6]. 
Abstract 
Deformation quantization on co-adjoining orbits of some classes of 5-
dimensional solvable lie groups 
The first important pieces of research on the concept of quantization were 
conducted by Weyl, Moyal,  and then strongly developed in 1970’s by many 
famous mathematicians, thereby new applications of “deformation quantization” 
appeared in the representation theory of Lie group. From building the formula of 
deformation quantization on co-adjoining orbits of a Lie group we get infinite 
dimension representations of that group. 
Addition to classification of MD-groups, we have the problem of building 
deformation quantization on their co-adjoining orbits. Using Moyal * - product 
on co-adjoining orbits, we will list representations of some special subclasses of 
class of MD5-algebras in [6].