Lợi ích của phân tích khoa học luận trong dạy học xác suất thống kê một phân tích khoa học luận về phân phối chuẩn

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
LỢI ÍCH CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 
TRONG DẠY HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ 
MỘT PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VỀ PHÂN PHỐI CHUẨN 
ĐÀO HỒNG NAM* 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi thực hiện một phân tích khoa học luận nhằm điểm lại 
những nét chính trong quá trình hình thành và phát triển của luật phân phối chuẩn, giả 
thiết được áp dụng phổ biến khi thực hiện các kiểm định thống kê và làm nên nền tảng của 
phân tích thống kê, làm rõ những đặc trưng khoa học luận cơ bản và chỉ ra những lợi ích 
của phân tích khoa học luận trong dạy học khái niệm này. 
Từ khóa: khoa học luận, tri thức, phân phối chuẩn. 
ABSTRACT 
Benefits of epistemological analysis of Probability Statistics 
 in teaching the concept of normal distribution 
In this paper, we conduct an epistemological analysis to review the main aspects in 
the process of formation and development of the Normal Distribution Law- the assumption 
commonly applied when performing the statistical tests, serving as the basis of statistical 
analysis, to clarify epistemological characteristics of this law and point out the benefits of 
the epistemological analysis in teaching this concept. 
Keywords: epistemology, knowledge, normal distribution. 
1. Cơ sở lí thuyết 
1.1. Về thuật ngữ “khoa học luận”: 
nguồn gốc và sự tiến triển 
Thuật ngữ khoa học luận xuất hiện 
vào thế kỉ XIX, nó được hình thành từ hai 
từ gốc Hi lạp épistèmè (khoa học) và 
logos (nghiên cứu về). Khoa học luận là 
một bộ phận quan trọng của triết học 
khoa học (philosophy of sciences) 
Phân tích khoa học luận một tri 
thức (TT) là một nghiên cứu lịch sử hình 
thành TT đó, phân tích nhằm làm rõ: 
- Những điều kiện, những trở ngại 
cho sự nảy sinh TT khoa học và sự “tiến 
triển” của TT hay kiến thức; 
* NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
- Nghĩa của TT, những vấn đề mà TT 
đó cho phép giải quyết; 
- Những quan niệm có thể gắn liền 
với TT. 
Phân tích khoa học luận giúp ta 
hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây 
dựng TT trong cộng đồng khoa học với 
việc dạy và học TT này. 
Thuật ngữ “tiến triển” được hiểu 
theo nghĩa rộng: nó có thể liên quan đến 
sự biến đổi tình trạng kiến thức của một 
hệ thống, một thể chế hay một cá thể. Nó 
không chỉ chú ý đến những tư tưởng tiến 
bộ mà còn đến cả những trì trệ, những 
bước lùi. 
1.2. Khoa học luận và chuyển đổi 
didactic 
 36 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Đào Hồng Nam 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
TT khoa học toán học là đối tượng 
nghiên cứu của các nhà toán học, được 
lưu hành trong cộng đồng các nhà toán 
học. Từ TT khoa học toán học đến TT 
toán học mà học sinh (HS) học được có 
sự chuyển đổi didactic. Đó là sự chuyển 
đổi từ TT khoa học thành TT giáo khoa 
được thể hiện trong chương trình hay 
trong các sách giáo khoa (SGK). Từ TT 
giáo khoa, thầy giáo chuyển đổi thành TT 
dạy học. (hình 1) 
Hình 1. Sự chuyển đổi didactic giữa các cấp độ TT 
1.2.1. Tri thức khoa học 
Sự ra đời của một TT bác học là kết 
quả của một hoạt động khoa học gắn liền 
với lịch sử cá nhân của nhà nghiên cứu. 
Để giải quyết một vấn đề toán học nào 
đó, các nhà toán học phải khám phá ra 
những phương pháp, những kiến thức và 
chọn một trong số các kiến thức đủ mới, 
đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng 
khoa học. Để trình bày một TT toán học, 
các nhà toán học tạo cho những kiến thức 
này một dạng khái quát nhất có thể được, 
theo những quy tắc diễn đạt thông dụng 
đang lưu hành trong cộng đồng khoa học 
mà không trình bày lịch sử của TT đó, 
không nêu lại quá trình tìm tòi, phát minh 
của mình, bỏ qua những sai lầm gặp phải. 
Khi đó, TT khoa học đã được phi hoàn 
cảnh hóa, phi cá nhân hóa và phi thời 
gian hóa. 
1.2.2. Tri thức giáo khoa 
Trong những TT toán học được tích 
lũy qua lịch sử, các nhà thiết kế chương 
trình chọn ra một số vấn đề làm đối 
tượng dạy học. Để trở thành TT có thể 
dạy được cho một bộ phận công chúng, 
TT lại tiếp tục bị biến đổi sao cho đảm 
bảo được sự tương hợp giữa hệ thống dạy 
học với môi trường của nó. TT này được 
mô tả chính thức trong chương trình học 
hay thể hiện trong SGK. Các nhà biên 
soạn tạo nên SGK nhằm tìm cách trình 
bày lại những TT được chọn để có thể 
dạy được cho một bộ phận công chúng 
xác định, phù hợp với thể chế dạy - học, 
đối tượng dạy - học. 
Để TT được xắp xếp theo một thứ 
tự hợp logic và người học có thể lĩnh hội 
được, nhiều khi tác giả phải viết lại các 
định nghĩa, các tính chất, biến đổi các 
phép chứng minh, thậm chí nhiều tính 
chất toán học chỉ được công nhận mà 
không chứng minh nếu việc chứng minh 
quá phức tạp và khó hiểu đối với HS. 
Quá trình tái sáng tạo này có thể dẫn tác 
giả đến chỗ sáng tạo ra một số đối tượng 
mới. Hệ quả là sự xuất hiện một sự chênh 
lệch khá lớn giữa TT khoa học với TT 
xuất hiện trong chương trình và SGK. 
1.2.3. Tri thức dạy học 
Đây là TT được giảng dạy trên lớp 
học. Dựa vào trình độ từng đối tượng HS, 
cơ sở vật chất, phương tiện giảng dạy và 
phương pháp sư phạm của mình, thầy 
giáo sẽ chuyển tải những hiểu biết của họ 
về TT đó đến HS. 
 37
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Về phương diện didactic, cái được 
hay không được của thầy giáo và HS là 
TT nhưng các phương án về TT đó thì 
khác nhau do vị trí của thầy giáo và HS 
trong mối quan hệ didactic. 
1.3. Sự cần thiết của phân tích khoa 
học luận đối với việc nghiên cứu đối 
tượng cần dạy 
Muốn phân tích độ chênh lệch giữa 
TT bác học và TT được dạy phải căn cứ 
vào nội dung TT bác học trên quan điểm 
khoa học luận, nghĩa là trên những yếu tố 
do phân tích khoa học luận mang lại: 
nghĩa của TT, những vấn đề mà TT đó 
cho phép giải quyết, những trở ngại cho 
sự hình thành TT, những điều kiện cho 
phép TT nảy sinh, Đây là những hiểu 
biết cần thiết cho việc thiết kế một môi 
trường để trong đó hoạt động học xảy ra. 
Phân tích khoa học luận giúp ta 
vạch rõ các tham chiếu hợp thức của TT 
cần dạy, trả lại cho TT những nghĩa rộng 
hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần 
chương trình và SGK không thể mang 
lại. Những hiểu biết khoa học luận về TT 
cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên 
nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, 
không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại 
hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó 
dưới lăng kính của chương trình và SGK. 
2. Một phân tích khoa học luận về 
phân phối chuẩn 
Luật phân phối chuẩn (PPC) là một 
phần quan trọng của lí thuyết xác suất 
(XS) và ứng dụng thống kê (TK). Có thể 
nói, nếu không có PPC thì không có phép 
kiểm định TK, cũng không có cả phân 
tích TK. Vai trò của luật PPC đã được 
chứng minh và khẳng định giá trị qua 
nhiều thế hệ nghiên cứu học thuật, lịch sử 
phát triển của khái niệm PPC gắn liền với 
rất nhiều thành tựu quan trọng trong 
nhiều lĩnh vực toán học, đặc biệt là giai 
đoạn toán học hiện đại. 
PPC không chỉ là một công cụ toán 
học hay chỉ có giá trị biểu tượng, mà là 
một quy luật vận hành của giới tự nhiên 
và xã hội đã được nhận thức và kiểm 
chứng. Theo đó, nguyên nhân tính phổ 
biến rộng rãi của PPC đã được giải thích. 
Theo Borel, PPC là quy luật của hiện 
tượng ngẫu nhiên, trong đó nhiều nguyên 
nhân tác động mà không nguyên nhân 
nào là quyết định. Theo Liapunov, đại 
lượng ngẫu nhiên là tổng một số lớn các 
đại lượng ngẫu nhiên độc lập và phương 
sai rất bé so với phương sai của tổng. 
Trong thực tiễn, mỗi đại lượng ngẫu 
nhiên được sinh ra bởi vô số nguyên 
nhân, trong đó không nguyên nhân nào 
chiếm ưu thế so với các nguyên nhân còn 
lại, nên phương sai của mỗi nguyên nhân 
là rất nhỏ không so sánh được với 
phương sai của đại lượng được xét. Do 
đó phần lớn các đại lượng ngẫu nhiên 
trong thực hành có PPC. 
Vì những lí do trên, chúng tôi thực 
hiện một nghiên cứu khoa học luận nhằm 
điểm lại những nét chính trong quá trình 
hình thành và phát triển của luật PPC, 
trên cơ sở đó làm rõ những đặc trưng 
khoa học luận cơ bản và chỉ ra những 
điều thiết yếu trong việc dạy học khái 
niệm này. 
Về mục tiêu cụ thể, chúng tôi tiến 
hành khảo sát và tìm câu trả lời cho 
những câu hỏi về PPC như sau: 
 38 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Đào Hồng Nam 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
- Điều kiện nảy sinh và những đặc 
trưng cơ bản của khái niệm PPC là gì? 
- Khái niệm PPC được hình thành và 
phát triển qua các giai đoạn nào? 
- Bài toán và các đối tượng liên quan 
gắn với khái niệm PPC là gì? 
- Có những cách tiếp cận nào liên 
quan đến khái niệm PPC? Sự tương đồng 
và khác biệt giữa những cách tiếp cận 
này là gì? 
Khi trả lời những câu hỏi trên, 
chúng tôi hướng đến nhiệm vụ chuyên 
môn sư phạm là xây dựng nội dung và hệ 
thống khái niệm nền tảng cho XS-TK, 
làm cơ sở cho kĩ năng vận dụng hiệu quả 
các kiến thức, nâng cao chất lượng giảng 
dạy môn Xác suất và Thống kê Y học 
trong Đại học Y Dược (ĐHYD) TPHCM. 
Chúng tôi cũng hướng đến nhiệm 
vụ giáo dục đào tạo là nâng cao trình độ, 
đào tạo và bồi dưỡng nhân lực ngành y tế 
trên cả ba mặt quy mô, chất lượng và 
hiệu quả, đáp ứng nhu cầu xã hội theo 
chiến lược phát triển của ngành y tế trong 
giai đoạn hiện nay. 
Về giới hạn nghiên cứu, chúng tôi 
tập trung phân tích các khái niệm dùng 
trong phương pháp thống kê xác xuất 
(probability-based statistical method) và 
thống kê có tham số (parametric 
statistics) trong khoảng thời gian lịch sử 
từ năm 1730 đến năm 1920. Đây cũng là 
những kiến thức cơ bản, mở đầu của học 
phần XS-TK được giảng dạy tại ĐHYD 
TPHCM. 
2.1. Phân tích khoa học luận lịch sử 
hình thành khái niệm PPC 
Ban đầu PPC xuất hiện chỉ như một 
công cụ giải tích trợ giúp cho tính toán 
XS. Sau một quá trình tích lũy phát triển 
lâu dài qua nhiều thế hệ các nhà nghiên 
cứu PPC mới được công nhận là khái 
niệm trọng tâm của XS-TK. Luật PPC 
được ứng dụng cho nhiều hiện tượng tự 
nhiên với các đơn vị đo khác nhau và 
tham số khác nhau, điều này gây khó 
khăn khi so sánh biến số. Vì vậy, cần xây 
dựng luật phân phối chuẩn tắc (PPCT) 
độc lập với đơn vị đo. Do PPC được xác 
định bởi 2 tham số trung bình và độ lệch 
chuẩn, nên PPCT có trung bình là 0 và độ 
lệch chuẩn là 1. Phép biến đổi chuẩn hóa 
biến ngẫu nhiên chính là hoán chuyển z, 
cho kết quả là chỉ số z. Một biến ngẫu 
nhiên Z được gọi là có PPCT khi nó có 
hàm mật độ xác suất 
2(-0.5z )1( ) e
2
zf
p
= . 
Hàm này hiển nhiên dương, nhưng không 
dễ dàng thấy được đó là hàm mật độ xác 
suất, vì muốn vậy cần tính được tích phân 
 . 
2(-0.5z )
0
e dz
¥
ò
Vào năm 1774, Laplace đưa ra tính 
toán chặt chẽ đầu tiên đánh giá tích phân 
trên trong bài viết Mesmoire sur la 
probabilites des causes par les 
esvenements 
2(-0.5z )
0
2e
2
dz p
¥
=ò 
Cuốn sách đầu tiên về lí thuyết xác 
suất, “The Doctrine of Chances: or a 
method of calculating the probability of 
events in play” được viết bởi Abraham 
de Moivre và được xuất bản 3 lần vào 
những năm 1718, 1738 và 1756. Trong 
đó, khái niệm mật độ XS chưa được đề 
cập mà chỉ xoay quanh vấn đề luật của 
 39
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
khai triển nhị thức (a+b)n , nghiên cứu sâu 
các hệ số của hạng tử và chỉ ra khi n lớn, 
hệ số của hạng tử trung tâm xấp xỉ 
nπ2
2 . Như vậy đây là dẫn nhập đầu tiên 
về PPC như là một giới hạn của dãy phân 
phối nhị thức. 
Trong cuốn sách, vai trò của định lí 
giới hạn trung tâm được quan tâm, với 
định hướng ứng dụng trong khoa học bảo 
hiểm. Các định nghĩa và kết quả được 
trình bày với nhiều tính trực giác và thực 
nghiệm: “Phân phối XS của một số lần 
đạt mặt ngửa khi tung một đồng xu 1800 
lần”. Nghiên cứu của Moivre chỉ giới hạn 
trong các yếu tố cơ bản nhất của lí thuyết 
XS, chứ chưa đề cập đến các vấn đề 
phương pháp của TK, ngay cả các ứng 
dụng cũng chỉ trong vấn đề về tính may 
rủi và thăng giáng của các hiện tượng. 
Đáng chú ý là đóng góp của ông nhằm 
xây dựng công cụ tính toán gần đúng khi 
tham số lớn, ông chỉ nhằm xây dựng 
phép xấp xỉ chuẩn tắc cho nhị thức 
Newton, đường cong chuẩn tắc chỉ đóng 
vai trò công cụ tính toán nhằm trình bày 
một xấp xỉ liên tục cho một đối tượng 
toán học rời rạc, chứ không phải là đường 
cong liên tục mật độ XS. Đây là phương 
pháp hàm sinh (generating function), 
được sử dụng xuyên suốt tác phẩm. Ông 
cũng chỉ ra sự quan trọng của cỡ mẫu n, 
chỉ ra độ lệch từ trung tâm phụ thuộc vào 
n. Ông cũng chỉ ra bản chất của luật PPC, 
khi XS của biến cố là 0.5, PPC là luật 
phân phối giới hạn của số lần xảy ra biến 
cố khi số các phép thử tăng lên vô hạn. 
Tuy nhiên, ông không đi xa hơn, để tiến 
đến luật số lớn và định lí giới hạn trung 
tâm. Những thành quả này cần nhiều năm 
sau do một nhà cơ học triết học và toán 
học người Pháp khác khám phá. Thời kì 
của Moivre gắn liền với lí thuyết XS cổ 
điển, TK học chưa có sự phát triển về 
phương pháp riêng và nền tảng toán học 
mà chủ yếu tập trung vào mô tả. TK suy 
luận phải đợi một thời gian sau, với các 
công trình của Laplace và Gauss. 
Các nghiên cứu liên quan đến PPC 
được định hình từ hai nguồn, nguồn thứ 
nhất tiếp nối các công trình của Moivre 
đưa ra các tính toán chuẩn hóa tham số 
và suy luận về tham số của nhị thức 
Newton, nguồn thứ hai xuất phát từ bài 
toán ngược trong cơ học nhằm suy đoán 
ước lượng hệ số của mô hình tuyến tính, 
gọi là phương pháp bình phương tối 
thiểu. 
Năm 1782, Laplace với những đóng 
góp to lớn về lí luận và tính toán đã đưa 
ra khái niệm về hàm mật độ XS và chuẩn 
hóa các tham số của PPC. Công lao của 
Laplace là nêu lên vai trò trung tâm của 
luật PPC, đóng góp nhiều xây dựng về lí 
thuyết cho khái niệm PPC. Ông đã chỉ ra 
cách lập luận dựa vào XS để suy luận về 
tham số p, không những thế, ông đã mở 
rộng phương pháp suy luận tổng quát hóa 
kết quả cho rất nhiều các phân phối XS. 
Năm 1812, ông hoàn tất công trình 
Analytical theory of probabilities, trong 
đó trình bày các kết quả căn bản với hình 
thức toán học chặt chẽ và toàn bộ lí 
thuyết sai số. Đó là một nền tảng vững để 
khẳng định vai trò của PPC. Nền tảng lí 
thuyết của PPC được khẳng định qua 
định lí giới hạn trung tâm, do Laplace 
phát biểu và chứng minh. Qua đó, PPC 
 40 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Đào Hồng Nam 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
được dùng để xấp xỉ và ước lượng các 
phân phối của tổng và trung bình của bất 
kì biến ngẫu nhiên của bất kì phân phối 
nào. 
Vào năm 1890, ông đã phát triển 
định luật Laplace, sau này gọi là định lí 
giới hạn trung tâm, nhấn mạnh vai trò 
quan trọng về mặt lí luận của PPC. Theo 
định lí này, phân phối của tổng các biến 
ngẫu nhiên xấp xỉ về PPC khi số biến 
ngẫu nhiên lớn. Laplace đã mở rộng kết 
quả của Moivre cho trường hợp phi đối 
xứng, khi X ... sở cho TK học, trong đó PPC trải qua rất 
nhiều đấu tranh và nhiều thử thách trong 
nhiều lĩnh vực. 
Năm 1894, ông đề xuất khái niệm 
độ lệch chuẩn. Năm 1900, ông phát minh 
phương pháp chi bình phương để kiểm 
định tính phù hợp giữa các phân phối. 
Năm 1920 ông đề ra tên gọi PPC như 
ngày nay. Ông cũng là tác giả của các 
phân tích độ nhọn của phân phối và họ 
đường cong Pearson. Cùng với trường 
phái Pearson, Yule đã đem lại sự thống 
nhất cho TK phân tích khi tổng hợp được 
phương pháp tương quan và hồi quy với 
 43
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
phương pháp bình phương tối thiểu và lí 
thuyết sai số vào năm 1897. Như vậy, 
không có gì lạ khi vai trò trung tâm quan 
trọng hàng đầu của PPC được chứng 
minh và sử dụng. Yule cũng là người 
phát minh ra khái niệm tương quan bội 
và tương quan từng phần, trong đó PPC 
nhiều chiều là công cụ không thể thiếu. 
Tên gọi “phân phối chuẩn tắc” cho PPC 
có µ = 0 và σ2 =1, được Hoel chỉ định 
vào năm 1947. 
Những năm 1920 là thời kì then 
chốt cho TK học dựa trên lí thuyết XS. 
Đây cũng là thời kì kinh tế tư bản chủ 
nghĩa phát triển, cùng với nó là sự thay 
đổi mạnh mẽ về tư tưởng. Trong giai 
đoạn này, tư tưởng kinh tế học mới do 
John Maynard Keynes đề xuất dựa trên 
xây dựng khái niệm XS dựa vào niềm tin 
và liên kết với hành vi của cá nhân thực 
thể kinh tế đã đem lại hình ảnh mới cho 
PPC, với vai trò là tiếng ồn hay tác động 
tổng hợp của các nhân tố trong hệ thống 
phức hợp tạo ra sự giao thoa tác động và 
tính bất định. Nhà TK vĩ đại nhất thế kỉ 
Ronald Fisher (1890-1962), đồng thời là 
nhà di truyền học, đã thay đổi lịch sử, 
đem lại bước ngoặt phát triển cho ngành 
phân tích TK. Phương pháp kiểm định ý 
nghĩa TK của Fisher kết hợp với kiểm 
định giả thuyết TK của Pearson là mô 
hình cơ sở của nghiên cứu lâm sàng. 
Câu chuyện về PPC đã và đang tiếp 
diễn sẽ còn tiếp tục, khái niệm PPC ngày 
càng tìm thêm ứng dụng sâu sắc hơn. 
Trong những năm 50, lí thuyết của quá 
trình ngẫu nhiên phát triển mạnh, PPC 
được sử dụng lại và phát triển mở rộng 
dưới nhiều tên gọi khác nhau mô tả 
những quá trình ngẫu nhiên: PPC nhiều 
chiều, quá trình Gauss, chuyển động 
Brown, v.v. Nhiều ứng dụng sâu vào các 
chuyên ngành hẹp của toán học như lí 
thuyết số được triển khai cũng dựa trên 
PPC. Sự thống nhất này là tất yếu của 
một quá trình mở rộng, phát triển mạnh 
mẽ khái niệm PPC. 
2.2. Các giai đoạn nảy sinh và phát 
triển 
Theo Thomas Kuhn, trong mỗi giai 
đoạn phát triển của khoa học, kiến thức 
được tổ chức theo khuôn mẫu khoa học, 
đó là bộ khung của những quan điểm 
được công nhận về đối tượng được 
nghiên cứu. Tiến trình phát triển của 
khoa học có những giai đoạn đan xen của 
sự phát triển tích lũy dần dần và nhảy vọt 
cách mạng, tại những điểm nhảy vọt là 
những công trình khám phá có tính cách 
mạng thay đổi khuôn mẫu cũ tạo nên 
bước ngoặt phát triển, tại đó bắt đầu 
những bước đột phá tư tưởng. 
Trong trường hợp riêng của lịch sử 
hình thành phát triển khái niệm PPC, 
chúng tôi nhận thấy có những giai đoạn 
nhảy vọt mang tính cách mạng. Sự nhảy 
vọt thứ nhất diễn ra với Gauss và 
Laplace, tạo ra tiền đề cơ sở toán học cho 
khái niệm, đây chính là sự khai sinh của 
khái niệm. Sự khai sinh khái niệm về mặt 
toán học này gắn liền với bước nhảy vọt 
về đối tượng phương pháp từ lí thuyết XS 
sang lí thuyết TK. Sự nhảy vọt thứ hai 
diễn ra với Pearson, khái niệm được 
chuẩn hóa với tên gọi hiện đại, kiến thức 
được tổ chức theo chuẩn mực của một 
khoa học TK độc lập với các ngành khác, 
đây là sự khai sinh lần thứ hai của khái 
 44 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Đào Hồng Nam 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
niệm, song hành với sự khai sinh ngành 
khoa học nó được vinh dự phục vụ, phân 
tích TK có cơ sở vững vàng, tách khỏi 
TK mô tả. Vì vậy ở đây sự phân chia các 
giai đoạn hình thành và phát triển khái 
niệm phụ thuộc vào quan điểm của nhà 
nghiên cứu, khi nhìn PPC như khái niệm 
thuần túy toán học được phát triển trong 
tiến hóa các ngành toán học, hay là một 
khái niệm TK học được gieo mầm và lớn 
lên trong liên ngành phức hợp toán học, 
cơ học, xã hội học, v.v để khai sinh như 
khái niệm trung tâm của XS-TK học. 
2.2.1. Giai đoạn những năm 1730 đến 
1770 
Trong giai đoạn này, PPC mới được 
phát hiện và mang tính công cụ. TK ứng 
dụng giai đoạn này cũng thô sơ, chủ yếu 
là các vấn đề dân số và nhân khẩu. Vì 
vậy PPC được đề cập đến trong các kĩ 
thuật tính toán, chưa có dáng vẻ một vấn 
đề toán học, không được coi là đối tượng 
để phát triển nghiên cứu, cũng không 
được đặt tên. PPC xuất hiện dưới hình 
thức công cụ tính toán đại số, chưa thật 
sự là một đối tượng toán học được hình 
thành bằng phương pháp giải tích toán 
học. Về mặt khái niệm, PPC chỉ được 
xem như một luật hàm sinh xấp xỉ liên 
tục các hệ số nhị thức Newton rời rạc, do 
đó phụ thuộc rất nhiều vào ý thích của 
các nhà nghiên cứu, chưa được xem như 
một công cụ toán học trợ giúp cho các 
nghiên cứu ứng dụng và các tính toán 
khoa học. Vì chưa phải là một đối tượng 
toán học, PPC chưa được nghiên cứu sâu 
về toán học, thêm nữa mối liên quan của 
PPC với định lí giới hạn trung tâm và 
phương pháp bình phương tối thiểu chưa 
được xác định rõ ràng. Phương pháp bình 
phương tối thiểu cũng mới ra đời, chưa 
được khẳng định là phương pháp chủ 
chốt của tính toán khoa học và các ngành 
khoa học ứng dụng. Định lí giới hạn 
trung tâm cũng được chứng minh dựa 
vào ý tưởng khai thác phương pháp này 
và mở rộng cho các bài toán cơ học. 
2.2.2. Giai đoạn những năm 1780 đến 
1860 
Khoa học thực nghiệm phát triển 
mạnh, các nhu cầu đo lường và xử lí số 
liệu cũng tăng lên. Giải tích toán học là 
môi trường tồn tại và phương pháp khai 
thác sức mạnh ứng dụng của PPC. Bên 
cạnh việc phục vụ tính toán xấp xỉ, PPC 
có vai trò kép, vừa là một phân phối của 
kết quả quan trắc vừa là một phân phối 
dùng làm chuẩn để so sánh kết quả. 
Trong giai đoan này, PPC đã qua tích lũy 
mà được sử dụng rộng rãi, có nhiều đóng 
góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực tính 
toán khoa học như lí thuyết đo lường, vật 
lí thiên thể, khí động học. Về mặt lí 
thuyết, PPC được sử dụng trong phép 
chứng minh chặt chẽ và là một công cụ 
tính toán trợ giúp cho phương pháp bình 
phương tối thiểu và lí thuyết đo lường 
hiệu chỉnh sai số. Vị trí trong toán học 
như một phân phối XS liên tục cơ bản 
nhất được chứng minh nhờ định lí giới 
hạn trung tâm, theo đó trong những điều 
kiện nhất định, tổng các biến ngẫu nhiên 
có trung bình và độ lệch chuẩn hữu hạn 
tiến đến tiệm cận PPC khi số biến tăng. 
Phương pháp bình phương tối thiểu 
và lí thuyết sai số đạt được vị trí quan 
trọng, được sử dụng rộng rãi trong ứng 
dụng, được chứng minh chặt chẽ về mặt 
 45
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
toán học. Đây chính là thời cơ để PPC 
được xem xét như một đối tượng toán 
học. Đây cũng là thời kì này nảy sinh 
nhiều vấn đề xung quanh PPC. Lí thuyết 
tương quan và hồi quy là một mảng phát 
triển rất mạnh và giàu tính ứng dụng thực 
tiễn cũng như ý nghĩa phương pháp luận 
khoa học, được phát triển đã khẳng định 
vai trò trung tâm của PPC. Trong giai 
đoạn này PPC được biết đến và khai thác 
dưới nhiều khía cạnh, đặt tên theo khía 
cạnh được khai thác. Các nhà nghiên cứu 
không thống nhất ý kiến về khái niệm và 
biểu diễn công thức của PPC. PPC xuất 
hiện dưới nhiều cái tên khác nhau như 
luật sai số, luật Gauss, luật Laplace, tùy 
theo mối quan tâm và lĩnh vực của các 
chuyên gia. 
2.2.3. Giai đoạn cuối thế kỉ 18 đến 1920 
Khái niệm PPC đã được phát triển 
trong khung lí thuyết toán học nhất quán 
và chặt chẽ, vai trò của PPC được chứng 
minh qua thực tế ứng dụng. PPC trở 
thành công cụ quan trọng được ứng dụng 
hết sức đa dạng trong nhiều lĩnh vực 
khoa học, không những trong nội bộ toán 
học mà cả các ngành khoa học tự nhiên, 
xã hội và con người. Bước phát triển mới 
liên kết, thống nhất phương pháp hồi quy 
tương quan với phương pháp bình 
phương tối thiểu và lí thuyết sai số đem 
lại ý nghĩa và phương pháp phân tích TK 
hiện đại, qua đó khẳng định vai trò của 
PPC. TK phân tích và TK tham số đã 
khẳng định được vị trí, tạo phân ngành đa 
dạng trong nội bộ TK học, tạo tiền đề cho 
TK phi tham số. Việc không sử dụng giả 
thiết PPC không phải là sự phủ định vai 
trò của PPC, mà chỉ nêu lên giới hạn của 
phổ khái niệm. Điều này hợp quy luật 
phát triển. 
Ngành khoa học TK mới ra đời, 
ngành toán học cũng được hưởng lợi ích 
và đang tích lũy để nhảy vọt với cuộc 
cách mang do Kolmogorov vào những 
năm 1930. 
Tên gọi PPC cũng được quy định 
thống nhất. Từ đây những dạng mở rộng 
của PPC được nghiên cứu và ứng dụng 
rộng rãi, PPC nhiều chiều liên quan đến 
tương quan đa bội và hồi quy đa bội. 
2.3. Phạm vi tác động, bài toán và đối 
tượng liên quan 
2.3.1. Phạm vi tác động 
PPC có phạm vi tác động rất lớn và 
trở nên phổ biến trong khoa học tự nhiên, 
kĩ thuật và khoa học xã hội nhân văn từ lí 
thuyết đến ứng dụng. 
Luật PPC tỏ ra phù hợp chính xác 
với nhiều định luật của tự nhiên. Hầu hết 
các hiện tượng tự nhiên được mô tả bằng 
luật PPC hay được chuyển biến mô tả để 
tuân theo luật PPC. Luật PPC được xấp 
xỉ cho nhiều lớp hiện tượng, nhiều áp 
dụng định lí giới hạn trung tâm và đánh 
giá sai số theo giải tích toán trong y sinh 
học, kĩ thuật. Luật PPC là nền tảng của 
các phân tích TK, là mô hình cho nhiều 
phân phối XS khác. Các bài toán kiểm 
định TK tham số không thể giải quyết 
được nếu thiếu giả thiết về PPC của quần 
thể khảo sát. 
2.3.2. Các bài toán liên quan 
Các bài toán liên quan đến PPC 
được phân chia theo phạm vi tác động. 
- Sự hình thành PPC: phân phối nhị 
thức, luật số lớn, luật giới hạn phân phối, 
 46 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Đào Hồng Nam 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
xử lí sai số đo đạc và bình phương tối 
thiểu. 
- Sự mở rộng PPC: PPC đa chiều với 
các vector ngẫu nhiên 
- Ứng dụng của PPC: 
Trong XS-TK, các bài toán liên 
quan bao gồm: kiểm định giả thuyết TK, 
ước lượng tham số và thiết kế nghiên 
cứu. 
Trong mô hình toán học: Tiếng ồn 
trắng, mô hình dân số dưới tác động ngẫu 
nhiên của môi trường, mô hình dòng điện 
dưới tác động ngẫu nhiên trong mạng 
điện, mô hình Black - Sholes 
Trong toán học thuần túy: Lí thuyết 
số và tổ hợp, luật phân phối số nguyên tố. 
Trong vật lí: Mô hình và lí thuyết 
khí lí tưởng, mô hình và lí thuyết chuyển 
động Brown, lí thuyết đo lường và sai số, 
v.v. 
Trong khoa học xã hội: Thiết kế 
nghiên cứu, xử lí và phân tích số liệu, 
ước lượng tham số, kiểm định TK, v.v. 
2.3.3. Các đối tượng có liên quan 
Sự hình thành và phát triển của khái 
niệm PPC có liên quan chặt chẽ đến các 
công cụ và phương pháp giải tích toán 
học, khung khái niệm và lí thuyết của XS 
và TK. Các đối tượng toán học được đề 
cập đến chủ yếu và được phân chia theo 
hai loại TT, nhằm tổ chức khung TT cho 
việc dạy và học. 
- Hàm số: Hàm của tập (biến ngẫu 
nhiên), hàm của hàm (hàm của biến ngẫu 
nhiên), hàm đặc biệt (hàm mật độ XS, 
hàm tích lũy XS, hàm moment, hàm 
Gauss), hàm định nghĩa bằng tích phân 
(tích phân Gamma, PPC, phân phối 
Student, phân phối Chi bình phương, 
phân phối Fisher). 
- Không gian và topo: Không gian 
mẫu, không gian XS, không gian tham số 
- Phép tính vi tích phân: Độ đo XS, 
phép tính tích phân định hạn, phép tính 
tích phân mở rộng, tích phân Laplace, 
tích phân entropy, tin lượng Fisher. 
2.4. Các cách tiếp cận khái niệm PPC 
2.4.1. Theo giới hạn 
- Chuyển từ rời rạc sang liên tục, 
PPC là giới hạn của phân phối nhị thức 
khi mẫu lớn: B(n, p) ~N(np, np(1-p)) với 
n lớn và p ≅ 0,5. 
- Chuyển từ tham số của phân phối 
XS liên tục, PPC xem như xấp xỉ của 
phân phối: 
+ Phân phối Poisson: P(λ) ~ N(λ, 
λ) với λ = n×p; 
+ Phân phối Chi bình phương: χ2 (k) 
~ N(k, 2k) với k lớn; 
+ Phân phối Student: t(n) ~ N(0; 1) 
khi n lớn. 
2.4.2. Dùng đồ thị, biểu đồ 
- Chuyển từ công cụ tính toán, phần 
mềm tính toán: Dùng máy tính đếm số 
liệu và biểu diễn trực quan trên đồ thị, 
biểu đồ theo TK mô tả. 
- Xấp xỉ hình dạng đồ thị của phân 
phối, đặt giả thuyết phân phối đã cho là 
xấp xỉ PPC. 
2.4.3. Theo giải tích toán 
- Hàm Gauss, Q, erf, 
- Tích phân Laplace, hệ số chuẩn hóa 
π 
- Định nghĩa hàm số của PPC, PPCT. 
- Định nghĩa XS như diện tích dưới 
đường cong phân phối XS. 
 47
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
3. Kết luận 
Phân tích khoa học luận là một 
phần quan trọng trong các công trình 
nghiên cứu của didactic toán. Nó mang 
lại các yếu tố dường như không thể thiếu 
cho việc tìm hiểu quá trình hình thành và 
phát triển của TT trên nhiều phương diện 
khác nhau. 
Thông qua phân tích các kết quả 
nghiên cứu lịch sử toán học, phân tích 
quá trình hình thành và phát triển của 
khái niệm PPC và PPCT, chúng tôi rút ra 
những đặc trưng logic về quá trình phát 
triển cũng như chỉ ra một số đặc trưng 
khoa học luận cơ bản trong từng thời kì, 
từ đó xây dựng nên bức tranh đại cương 
thống nhất về lịch sử logic của khái niệm. 
Phân tích cũng chỉ ra những cách 
tiếp cận khác nhau đến PPC và PPCT, 
những cách tiếp cận này có những đặc 
trưng có thể dùng trong thiết kế dạy học 
khái niệm PPC ở ĐHYD TPHCM. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố 
cơ bản của Didactic toán, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM. 
2. Lê Thị Hoài Châu (2010), “Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm 
 xác suất”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TPHCM, (24). 
3. Nguyễn Phú Lộc (2007), Xu hướng dạy học không truyền thống, Trường Đại học 
Cần Thơ. 
4. Đào Hồng Nam (2010), “Mối quan hệ thể chế với PPC trong việc dạy và học Xác 
suất – Thống kê ở trường Đại học Y Dược TPHCM”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư 
phạm TPHCM, (24). 
5. Abraham de Moivre (1756), The Doctrine of Chances: or a method of calculating the 
probability of events in play, London. 
6. Dorier J.-L. (1996), Recherche en historique et en didactique des mathématiques sur 
l’algèbre linéaire. 
7. Dutka J. (1990), Robert Adrain and the method of least squares, Archive or History 
of. Exact Sciences, vol. 41, pp.171-184. 
8. Gauss C. F. (1857), Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis 
Solem Ambientium, Translation by Charles Henry Davis, Boston. 
9. Maxwell J.C. (1860), Illustrations of the Dynamical Theory of Gases, Philosophical 
Magazine, pp.19-32. 
10. Stigler S.M. (1977), An attack on Gauss, Legendre, Historia Math.4, pp.31-35. 
11. Stigler S.M. (1978), Mathematical statistics in the early States, Annals of Statistics, 
pp.239-265. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 01-11-2011; ngày chấp nhận đăng: 16-12-2011) 
 48