Không gian vectơ và sự hình thành tư duy cấu trúc - Hệ thống trong hoạt động kinh tế - kinh doanh

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 
79 
KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ SỰ HÌNH THÀNH TƯ DUY CẤU TRÚC – 
HỆ THỐNG TRONG HOẠT ĐỘNG KINH TẾ – KINH DOANH 
SPECTACULAR VECTOR AND TRADITIONAL 
CONSULTANCY – SYSTEM IN ECONOMIC AND BUSINESS ACTIVITIES 
NGUYỄN VĂN LỘC và ĐINH TIẾN LIÊM 
 PGS.TS. Trường Đại học Văn Lang, nguyenvanloc@vanlanguni.edu.vn 
 ThS. Trường Đại học Văn Lang, dinhtienliem@vanlanguni.edu.vn, Mã số: TCKH13-02-2019 
TÓM TẮT: Không gian vectơ là khái niệm toán học trừu tượng, sinh viên được làm quen 
với các mô hình của không gian này ở môn toán bậc phổ thông, do vậy việc hình thành 
khái niệm không gian vectơ tổng quát hết sức thuận lợi nhờ sử dụng các mô hình cụ thể. 
Tri thức không gian vectơ cung cấp công cụ giải các bài toán kinh tế – kinh doanh và giúp 
cho sự hình thành tư duy cấu trúc – hệ thống, một trong các loại hình tư duy quan trọng 
nhất của con người. 
Từ khóa: không gian vectơ; tư duy cấu trúc - hệ thống. 
ABSTRACTS: Vector space is an abstract mathematical concept, but students have been 
familiar with its models since high schools, so the formation of the general vector space 
concept is very advantageous by using these specific models. Vector space knowledge 
provides not only a tool to solve economic and business problems, but also helps to form of 
system – structural thinking as one of the most important types of human thinking. 
Key words: vector space; structured thinking – the system. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hoạt động dạy - học ở Trường Đại học 
Văn Lang không những chuẩn bị cho sinh 
viên có kỹ năng giỏi trong thực hành nghề 
nghiệp mà còn chuẩn bị cho họ có tầm nhìn 
chiến lược về cấu trúc - hệ thống của thế 
giới, của mỗi đối tượng trong các lĩnh vực 
kinh tế, kinh doanh và kỹ thuật để một số 
trong họ vươn lên thành những doanh nhân 
thành đạt. Muốn vậy, trong đào tạo phải có 
chương trình chuẩn bị tiềm lực cho sinh 
viên tri thức về cấu trúc - hệ thống, chuẩn 
bị cho sinh viên tự học, tự đào tạo, tiếp tục 
học lên bậc học cao hơn. Toán học nói 
chung và đại số tuyến tính nói riêng là môn 
học “tự thân” có tiềm năng trang bị cho 
sinh viên các tri thức đó. Sau hàng nghìn 
năm sàng lọc, toán học mới xác định được 
ba cấu trúc: thứ tự, tô pô, đại số là các cấu 
trúc cơ bản, dạy học toán tất yếu phải 
hướng tới hình thành các biểu tượng về cấu 
trúc thông qua các vật liệu cụ thể của các 
môn học. Trong các cấu trúc-hệ thống, 
không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính là 
cấu trúc đại số - hình học hiện đại đầu tiên 
mà sinh viên được tiếp cận kết nối tri thức 
toán phổ thông và tri thức toán cao cấp ở 
đại học. Do vậy, việc tổ chức dạy học hình 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 
80 
thành có chủ định biểu tượng về không 
gian vectơ có ý nghĩa quan trọng đối với sự 
hình thành tư duy cấu trúc - hệ thống cho 
sinh viên. 
2. NỘI DUNG 
Việc hình thành tư duy cấu trúc - hệ 
thống cho sinh viên có thể bắt đầu bằng 
hoạt động dạy học hình thành cấu trúc toán 
học, trước hết là cấu trúc đại số - hình học, 
xây dựng nên từ các tập hợp mà các phần tử 
có thể “cộng” với nhau và “nhân” với một 
số, từ đó hình thành biểu tượng về không 
gian vectơ tổng quát. Chúng ta bắt đầu bằng 
các ví dụ cụ thể về mô hình cấu trúc không 
gian vectơ hình thành nên từ các kiến thức 
mà sinh viên đã được học ở bậc phổ thông. 
2.1. Các mô hình không gian vectơ ở bậc 
phổ thông 
Ở bậc phổ thông, từ tiểu học, học sinh 
khi làm quen với các phép toán trên các tập 
hợp số: N, Z, Q, R, đã bắt đầu làm quen 
dưới hình thức “ẩn tàng” với các biểu 
tượng về không gian vectơ. Để thuận lợi 
cho việc nhận dạng các cấu trúc không gian 
vectơ, chúng ta sẽ “tường minh hóa” các biểu 
tượng không gian vectơ mà học sinh được 
làm quen dưới dạng “ẩn tàng”, trước tiên là 
không gian vectơ hình thành từ các phần tử 
“số” và các phép toán trên các tập số. 
2.1.1. Không gian vectơ
2R 
Theo [5, tr.196-tr.197], xét 2R là tập 
mà mỗi phần tử là bộ 2 số thực có thứ tự 
1 2( , )x x , ở bậc phổ thông, học sinh đã làm 
quen với mặt phẳng tọa độ, trong đó mỗi 
cặp số 2
1 2( , )x x R được biểu diễn bằng 
một điểm, mà 1x là hoành độ và 2x là tung 
độ, tọa độ của điểm M cũng được đồng 
nhất với tọa độ của vectơ OM , học sinh 
cũng được làm quen với phép cộng hai 
vectơ quy về cộng các tọa độ tương ứng, 
phép nhân một số thực với một vectơ quy 
về nhân số thực với các tọa độ thành phần, 
do đó chúng ta có thể gọi 1 2( , )x x là vectơ 
hai thành phần. Ký hiệu 2V R là tập hợp 
các bộ số thực đó. Xét 1 2( , )x x x và 
1 2( , )y y y . Phép cộng hai vectơ là một 
luật hợp thành trong trên V, cho phép tạo ra 
từ một cặp vectơ ,x y V một vectơ duy 
nhất gọi là tổng của chúng, ký hiệu là x+y. 
Phép nhân một vectơ với một số, còn gọi là 
phép nhân với vô hướng, là một luật hợp 
thành ngoài trên V, cho phép tạo ra từ một 
vectơ x V và một số thực k R một vectơ 
duy nhất gọi là tích của chúng, ký hiệu là 
kx. Kiểm tra được 10 yêu cầu sau thỏa mãn 
với mọi , ,x y z V và mọi ,k l R . 
(1) Nếu ,x y V thì x y V 
(2) , ,x y y x x y V  
(3) ( ) ( ) , , ,x y z x y z x y z V  
(4) Tồn tại vectơ V sao cho 
,x x x x V   
Phần tử  gọi là phần tử trung hòa của 
phép + (hay của V) 
(5) Với mỗi x V tồn tại x V sao 
cho ( ) ( )x x x x  
Phần tử -x gọi là phần tử đối xứng (hay 
phần tử đối) của x 
(6) Nếu k R và x V , thì kx V 
(7) k(x+y) =kx +ky 
(8) (k+l)x = kx +lx 
(9) k(lx) = (kl)x 
(10) 1.x = x 
Khi đó, tập 2V R còn được gọi là 
không gian vectơ trên trường số thực R. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 
81 
Mười yêu cầu (1)-(10) gọi là mười tiên 
đề của không gian vectơ. Để xác định xem, 
một cấu trúc nào đó có phải là không gian 
vectơ hay không, chúng ta chỉ cần xác định 
tập đóng vai trò tập V, xác định hai phép 
toán và “nghiệm” 10 tiên đề đã nêu trên. 
Sau đây, chúng ta nêu thêm một số mô hình 
không gian vectơ mà học sinh đã làm quen 
dưới dạng “ẩn tàng” ở bậc phổ thông. 
2.1.2. Không gian các vectơ hình học 2 
Theo [5, tr.196], chúng ta gọi 2 là 
tập các vectơ hình học trong mặt phẳng. 
Như vậy, mỗi vectơ trong mặt phẳng là một 
phần tử của 2 . Hai vectơ được xem là 
bằng nhau nếu chúng: cùng phương, cùng 
hướng và cùng độ dài. 
Trong 2 định nghĩa 2 phép toán như sau: 
Phép toán “cộng”: chính là phép cộng 
vectơ; Phép toán “nhân”: là phép nhân 
vectơ với một số thực. 
Khi đó, tổng của 2 vectơ trong 2 là 
một vectơ trong 2 , tích của một vectơ với 
một số thực là một vectơ trong 2 . 
Phần tử trung hòa là vectơ không ( 0 ), 
vectơ này có tính chất: 0 , a a a  
Phần tử đối của vectơ a là vectơ a , 
có tính chất: ( ) 0, a a a  
Với các phép toán đã xác định, có thể 
kiểm tra được, 10 tiên đề nêu trên “nghiệm” 
thỏa mãn, khi đó chúng ta nói 2 là một 
không gian vectơ trên trường số thực R. 
Một cách tương tự tập 3R các vectơ 
hình học trong không gian có chung gốc 
hay các vectơ hình học tự do trong không 
gian (trong đó, chúng ta đồng nhất các 
vectơ bằng nhau) với phép cộng vectơ và 
phép nhân vectơ với một số thực là một 
không gian vectơ. 
2.1.3. Không gian các hàm số liên tục 
Theo [2, tr.68], gọi  ,C a b là tập các 
hàm số liên tục trên đoạn ,a b , với a và b 
cho trước. Xét hai hàm số:  ,f C a b và
 ,g C a b . Chúng ta xem: f g nếu
 ( ) ( ), ,f x g x x a b  . Trên  ,C a b 
định nghĩa 2 phép toán như sau: 
Phép cộng 2 hàm số liên tục: 
  ( ) ( ) ( ), ,f g x f x g x x a b  . 
Phép nhân hàm số liên tục với số thực: 
  ( ) ( ); k , ,kf x kf x x a b   . 
Trong tập này có: 
Phần tử trung hòa là hàm số đồng nhất 
không; Phần tử đối xứng của hàm f là hàm 
–f được xác định như sau: 
  ( ) ( ), ,f x f x x a b  . 
Tập  ,C a b với hai phép toán nêu trên, 
“nghiệm” thỏa mãn các tiên đề (1)-(10), do 
vậy  ,C a b là một không gian vectơ. 
Mở rộng ra, chúng ta xét tập 
 ,C là tập các hàm số liên tục trên 
 , , với các phép toán định nghĩa 
như trên tập  ,C a b thì ,C là một 
không gian vectơ. 
2.1.4. Không gian các đa thức 
Theo [5, tr.200], trong tập các hàm liên tục 
 ,C , chúng ta xét một lớp hàm đặc biệt 
đó là lớp hàm đa thức, được định nghĩa như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 
82 
Đa thức bậc n (n nguyên dương) có 
dạng: 
2
0 1 2
n
na a x a x a x . Trong đó: 
0 1 2, , , , na a a a được gọi là các hệ số của đa thức. 
Gọi nP là tập các đa thức có bậc bé 
hơn bằng n (với n nguyên dương), tức: 
 20 1 2| : nn nP p p a a x a x a x . 
Chúng ta thấy, một đa thức bậc n là 
một hàm số liên tục trên , , 
Trong nP , hai phép toán cộng và nhân 
được xác định cụ thể như sau: 
Cho
2
0 1 2:
n
np a a x a x a x , 
2
0 1 2:
n
nq b b x b x b x , và k , 
chúng ta có: 
2
0 1 2:
n
nkp ka ka x ka x ka x 
0 0 1 1
2
2 2
:
n
n n
p q a b a b x
a b x a b x
Trong tập nP này có: 
Phần tử trung hòa là đa thức không 
Phần tử đối của đa thức 
2
0 1 2:
n
np a a x a x a x là: 
2
0 1 2:
n
np a a x a x a x . 
Tập nP , với hai phép toán nêu trên 
“nghiệm” thỏa mãn các tiên đề (1)-(10), do 
vậy nP là một không gian vectơ. 
Khi thay n bởi các giá trị số cụ thể 
như: n=2, 3, Chúng ta thu được các mô 
hình cụ thể của không gian vectơ. 
Trên đây là một số mô hình không gian 
vectơ, được hình thành nên từ những tập 
hợp với các phần tử có tính chất khác nhau 
và sinh viên đã tiếp xúc ở bậc phổ thông. 
Tiếp theo sau, chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp 
một số mô hình không gian vectơ hình 
thành nên từ những tập hợp các đối tượng 
mà sinh viên được tiếp xúc trong các môn 
học Toán cao cấp ở trường đại học. 
2.2. Các mô hình không gian vectơ trong 
toán cao cấp ở trường đại học 
2.2.1. Không gian 
n
Theo [2, tr.66-tr.67], xét 
 1 2, ,..., |
n
n i
x x x x x . Trên 
n định nghĩa hai phép toán: 
Phép toán “cộng”: 
1 2 1 2
1 1 2 2
, ,..., , ,...,
, ,..., ; ,
n n
n
n n
x y x x x y y y
x y x y x y x y
  
Phép toán “nhân” ngoài: 
 1 2 1 2, ,..., , ,..., ;
 x , 
n n
n
tx t x x x tx tx tx
t
  
Với tập n cùng với hai phép toán 
được định nghĩa như trên, “nghiệm” thỏa 
mãn các tiên đề (1)-(10), do vậy n là một 
không gian vectơ. 
Đặc biệt, khi n = 1, thì n trở thành , 
và 2 phép toán cộng và nhân chính là 2 phép 
toán cộng và nhân 2 số thực mà ta đã biết. 
Khi n=2, chúng ta có 
2R là không gian 
vectơ đã xét ở trên. 
2.2.2. Không gian các ma trận cùng cấp 
Theo [3, tr.90], cho m nM là tập các 
ma trận thực cỡ m n . Trên m nM định 
nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau: 
Phép toán “cộng”: là phép cộng 2 ma trận; 
Phép toán “nhân”: là phép nhân một số 
thực với một ma trận. 
Phần tử trung hòa của tập m nM là 
ma trận không cỡ m n . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 
83 
Phần tử đối của phần tử 
ij m n
A a
là: 
ij m n
A a
Tập m nM cùng với hai phép toán 
nêu trên “nghiệm” thỏa mãn các tiên đề 
(1)-(10), do vậy m nM là một không 
gian vectơ. 
2.2.3. Không gian nghiệm của hệ phương 
trình tuyến tính thuần nhất 
Theo [3, tr.104], Hệ phương trình 
tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn 
có dạng: 
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
 *
.............................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
Và, chúng ta có các kết quả sau: 
(0,0,,0) là 1 nghiệm của hệ phương 
trình (*), và nó được gọi là nghiệm tầm 
thường của hệ; 
Nếu 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nc c c d d d là 
các nghiệm của hệ phương trình (*), thì 
 1 2, ,..., nt c c c và 
 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nc c c d d d cũng là 
nghiệm của hệ phương trình (*); 
Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của 
hệ phương trình (*) cũng là nghiệm của hệ 
phương trình (*). 
Chúng ta gọi, tập nghiệm của hệ 
phương trình tuyến tính thuần nhất (*) là: 
 1 2
1 2
| , ,..., ;
 , ,...,
n
n
n
T
  
 
 
. 
Khi đó, chúng ta có: 
, ; , T c d c d T    . 
Rõ ràng, T là tập con của n , trên T 
cũng có 2 phép toán cộng và nhân như 
trong
n
. 
Tập T cùng với hai phép toán xác định 
như trên, “nghiệm” thỏa mãn các tiên đề (1)-
(10), do vậy, T là một không gian vectơ. 
Và hơn thế nữa, chúng ta có thể xem 
tập T được sinh ra từ 2 nghiệm gốc hay còn 
gọi là nghiệm cơ sở (giả sử là: ,  ), tức 
là: ; , T c d c d   . 
Từ các mô hình cụ thể, chúng ta hình 
thành nên khái niệm không gian vectơ tổng 
quát sau: 
Theo “[3, tr.89], [4, tr.65]”, cho tập 
V  (mỗi phần tử của V gọi là một 
vectơ), là trường số thực, trang bị trên V 
hai phép toán: 
Phép cộng trên V:
 : ,V V V x y x y 
Phép nhân ngoài:
 . : ,V V k x kx 
Với 2 phép toán đã xác định, khi đó 10 
tiên đề nêu trên được thỏa mãn, thì ta nói V 
cùng với 2 phép toán trên làm thành một 
không gian vectơ trên trường . 
Khái niệm không gian vectơ tổng quát 
có thể cũng cố bằng các phản ví dụ, trong 
đó đưa ra các tập hợp có trang bị 2 phép 
toán nhưng không “đóng kín”, do vậy 
không tạo thành không gian vectơ. 
Thể hiện trong các bài toán kinh tế - kinh 
doanh, các phép toán không gian vectơ 
không được xét riêng biệt mà thường thể hiện 
“ẩn tàng” dưới dạng tổ hợp các phép toán, 
chúng ta gọi là các tổ hợp tuyến tính, khái 
niệm này trong toán học được trình bày chính 
xác như sau: “V là một không gian vectơ, S là 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 
84 
một họ vectơ của V:  1 2, ,..., nS x x x . Biểu 
thức: 1 1 2 2 ... n nc x c x c x với ic const R 
là một vectơ thuộc V và được gọi là một tổ 
hợp tuyến tính của các vectơ của họ S, hay 
cũng có thể nói gọn là tổ hợp tuyến tính của họ S”. 
Khi đó, với hai phép toán đã xác định, với 
mọi số thực: k1, k2, , kn, và với mọi vectơ: 
1 2 2, , , na a a , chúng ta có:
1 1 2 2 2n na k a k a k a , và chúng ta nói: vectơ 
a biểu diễn tuyến tính qua tổ hợp các vectơ 
1 2 2, , , na a a . Sau đây, chúng ta nêu “chức 
năng kép” của không gian vectơ trong cấu trúc 
kinh tế - kinh doanh vừa là “tri thức nghề - tri thức 
kỹ thuật” vừa là “tri thức chiến lược”, phương tiện 
hình thành tư duy cấu trúc - hệ thống. 
2.3. Từ cấu trúc toán học tới cấu trúc 
kinh tế, kinh doanh 
Theo “[1, tr.81-tr.93], [6, tr.353-tr.395]”, 
vận dụng tri thức cấu trúc - hệ thống, tích lũy 
từ các tri thức về không gian vectơ, có thể tập 
dượt cho sinh viên “nhìn thấy” mối liên hệ có 
tính cấu trúc - hệ thống giữa các yếu tố của 
hoạt động kinh tế - kinh doanh. 
2.3.1. Cấu trúc - hệ thống trong hoạt động 
kinh tế 
Trong phần này, chúng ta sẽ xét bài 
toán trong kinh tế đưa về tổ hợp tuyến tính 
Bài toán: Một công ty chuyên quản lý 
các dự án nông nghiệp, ứng dụng quy hoạch 
tuyến tính để tối đa lợi nhuận của một dự án 
dựa trên bảng các số liệu sau đây: 
Số liệu đầu vào đối với 
một đơn vị sản phẩm 
Loại sản phẩm Khả năng lớn nhất của các 
nguồn tài nguyên sẵn có Lúa Đậu nành 
Diện tích (ha/tấn) 4 6 100 ha 
Lượng nước (103m3/tấn) 12 8 180 x 103m3 
Nhân lực (công/tấn) 40 10 500 công 
Lợi nhuận (USD/tấn) 18 21 
Để giải quyết bài toán này, người ta 
làm như sau: 
Bước 1: Xác định các biến quyết định 
Gọi: 1x là số tấn lúa cần được sản xuất; 
2x là số tấn đậu nành cần được sản xuất. 
Bước 2: Xác định hàm mục tiêu 
Hàm mục tiêu trong bài toán này là cực 
đại lợi nhuận Z. 
Max Z = 1 218 21x x 
Bước 3: Xác định các ràng buộc 
Ràng buộc về diện tích: 
1 24 6 100x x 
Ràng buộc về lượng nước: 
1 212 8 180x x 
Ràng buộc về nhân lực: 
1 240 10 500x x 
Giá trị của các biến không âm: 0ix với i = 1,2 
Với bài toán trên, mục tiêu là xét giá trị 
lớn nhất của biểu thức: 1 218 21x x . Chúng 
ta thấy, biểu thức này là tổ hợp tuyến tính 
của các phần tử trong tập (nếu ta bỏ qua 
ràng buộc: 1 2,x x > 0). Tương tự, các ràng 
buộc của bài toán trên cũng là những tổ hợp 
tuyến tính của các phần tử trong tập . 
Như vậy, với những dạng bài toán kinh 
tế này, ta đưa bài toán về xét tổ hợp tuyến 
tính của những phần tử trên tập hoặc là 
trên một tập nào đó là tập con của tập . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 
85 
2.3.2. Cấu trúc - hệ thống trong hoạt động 
kinh doanh 
Trong phần này, chúng ta sẽ xét bài 
toán trong hoạt động kinh doanh đưa về tổ 
hợp tuyến tính. 
Bài toán: Xét thị trường có 2 mặt hàng, 
biết hàm cung và hàm cầu của mỗi mặt 
hàng như sau: 
1 1 1 1 2
2 1 2 1 2
4 6 20 4 2 ,
3 6 45 3 3
s d
s d
Q P , Q P P
Q P , Q P P
Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. 
Giải: Để tìm điểm (giá) cân bằng, ta 
xét hệ phương trình: 1 1s dQ Q và 
2 2s dQ Q , tức: 
1 1 2
1 1 2
4 6 20 4 2
3 6 45 3 3
P P P
P P P
hay 
1 2
1 2
5 12
16
P P
P P
Giải hệ trên, chúng ta được: 
1 2
14 34
,
3 3
P P , suy ra: 
1 2
25
12, .
3
s sQ Q 
Vì: 1 2 1 2, , ,s sP P Q Q đều dương nên ta 
có hệ thống giá cân bằng là: 
1 2
14 34
,
3 3
P P . 
Với bài toán này, chúng ta đưa bài toán 
cân bằng thị trường về giải hệ phương trình 
tuyến tính. Như vậy, vế trái của hai phương 
trình trong hệ này là tổ hợp tuyến tính của P1 
và P2. Hơn nữa, nếu như vế phải của các 
phương trình trong hệ này đều bằng không, 
chúng ta được hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất. Vậy, chúng ta đưa bài toán ban 
đầu về bài toán mới với các tổ hợp tuyến tính. 
Các ví dụ trên còn cho thấy, để tìm giá 
trị cực đại của lợi nhuận Z, hay tìm điểm 
cân bằng thị trường, chúng ta phải xét hệ 
thống các điều kiện ràng buộc trong cấu 
trúc tổng thể chứ không thể xét đơn lẻ từng 
điều kiện của bài toán, có nghĩa là phải 
xem xét và giải bài toán với phương thức tư 
duy cấu trúc - hệ thống. 
2.4. Đổi mới phương pháp dạy học toán 
cao cấp ở Việt Nam và trên thế giới 
2.4.1. Về phía sinh viên 
Theo [7] Nguyễn Đức Trung, Đại học 
Toulouse (Pháp), đang là giảng viên của 
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cho 
rằng:“phương pháp duy nhất để đạt hiệu 
quả ở đại học đối với các học phần của 
Toán cao cấp là “Hoàn toàn chủ động tự 
học kiến thức mới và tự luyện tập trước khi 
lên giảng đường”. Vì rằng, “ngày nay, các 
em sinh viên có nhiều điều kiện thuận lợi 
hơn thế hệ đi trước nhiều lần nhưng dường 
như tính chủ động của các em lại không 
được phát huy đúng mức. Với một máy 
tính hoặc điện thoại thông minh có kết nối 
mạng thì các em hoàn toàn có thể làm chủ 
kiến thức của nhân loại”. Để thực hiện 
được điều này, dĩ nhiên cần có sự trợ giúp 
của giảng viên để “biến quá trình đào tạo 
thành quá trình tự đào tạo”, bằng cách 
thông qua một số xemina, hướng dẫn cho 
sinh viên cách lựa chọn và sử dụng tài liệu, 
cách lập sơ đồ “cây” xác lập mối liên hệ 
giữa các kiến thức, 
2.4.2. Về phía giảng viên 
Cần chú trọng sử dụng các thành tựu 
của công nghệ thông tin, đặc biệt trong dạy 
học giải bài tập cần kết hợp cách giải 
truyền thống với cách giải được trợ giúp 
bởi phần mềm Mathematica như một máy 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 
86 
tính và như một ngôn ngữ lập trình, nhờ đó 
có thể tiết kiệm đáng kể công sức dành cho 
việc tính toán thủ công. Tuy nhiên về mặt 
thuật giải, sáng tạo của người giải vẫn là 
then chốt. Do vậy, giảng viên cần khai thác 
và sử dụng các phương pháp dạy học toán 
hiện đại của Pháp, Hà Lan, như: Lý 
thuyết tình huống, dạy học khám phá, dạy 
học mô hình hóa, dạy học angorit hóa, dạy 
học chương trình hóa, các phương pháp 
dạy học này đã được “du nhập” vào Việt 
Nam hàng chục năm nay; Giúp sinh viên có 
cách tiếp cận đa chiều với kiến thức nhằm 
khám phá nhiều cách giải khác nhau và thói 
quen lựa chọn phương án giải tối ưu. Chú 
trọng thực tiễn hóa kiến thức, hình thành 
cho sinh viên kỹ năng vận dụng Toán cao 
cấp vào giải quyết các tình huống thực tiễn 
của kinh tế - kinh doanh và kỹ thuật. Đồng 
thời thông qua dạy học toán cao cấp, hình 
thành có chủ định cho sinh viên các kỹ 
năng mềm đáp ứng yêu cầu của cuộc cách 
mạng 4.0 như: kỹ năng sáng tạo trong công 
việc; kỹ năng khám phá và lãnh đạo bản 
thân; kỹ năng tổ chức công việc và quản lý 
thời gian; kỹ năng ra quyết định; kỹ năng 
giải quyết vấn đề, Phát triển ở sinh viên 
năng lực thích ứng với các yêu cầu luôn 
biến động của thị trường lao động trong 
giai đoạn hiện nay và trong tương lai. 
3. KẾT LUẬN 
Tư duy cấu trúc - hệ thống là một trong 
các loại hình tư duy giúp cho sự hình thành 
và phát triển nhân cách hoàn hảo của con 
người. Tri thức về cấu trúc - hệ thống là 
một trong các sản phẩm vĩ đại mà nhân loại 
đã tìm được cho mình bắt đầu từ sự phát 
hiện ra các cấu trúc cơ bản trong Toán học: 
Cấu trúc đại số, cấu trúc thứ tự, cấu trúc tô 
pô, tri thức đó nhanh chóng được ứng dụng 
rộng rãi trong kinh tế - kinh doanh và kỹ 
thuật. Do vậy, dạy học toán trong nhà 
trường tất yếu phải coi trọng dạy tư duy cấu 
trúc - hệ thống cho học sinh thông qua các 
vật liệu cụ thể của các bộ môn toán, trong 
đó tri thức cấu trúc - hệ thống về không 
gian vectơ là hình mẫu đầu tiên có thể hình 
thành cho sinh viên hết sức thuận lợi do 
sinh viên đã tiếp cận cụ thể ở trường phổ 
thông. Dạy học không gian vectơ cho sinh 
viên không những cung cấp cho sinh viên 
“phương tiện” xem xét bài toán kinh tế - 
kinh doanh bằng tri thức không gian vectơ 
mà còn giúp cho sự hình thành tư duy cấu 
trúc - hệ thống. 
Trong năm học này (2018 - 2019), 
Toán cao cấp (phần 1) gồm các nội dung: 
Định thức - ma trận; hệ phương trình tuyến 
tính; quy hoạch tuyến tính (Tối ưu hóa hay 
Toán kinh tế) với thời gian bố trí 30 giờ, do 
đó phải loại khỏi chương trình những nội 
dung không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính 
và dạng toàn phương. Trong khi đó, như đã 
trình bày ở trên, việc loại những nội dung 
này ra khỏi chương trình là hoàn toàn 
không nên. “Quy hoạch tuyến tính” ở các 
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội 
và Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ 
Chí Minh dạy 120 tiết, do đó việc “gán 
ghép” một cách chắp vá, khiên cưỡng nội 
dung “Quy hoạch tuyến tính” vào đại số 
tuyến tính cũng là bất cập. Chúng tôi cho 
rằng, vì lợi ích to lớn của tri thức về không 
gian vectơ, ánh xạ tuyến tính và dạng toàn 
phương đem lại cho sinh viên, chúng ta nên 
“trả lại” cấu trúc lôgic vốn có của đại số 
tuyến tính: Bố trí tối thiểu 45 giờ dạy ma 
trận - định thức; hệ phương trình tuyến 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 
87 
tính; không gian vectơ; ánh xạ tuyến tính 
và dạng toàn phương, và nên có một học 
phần độc lập dạy Quy hoạch tuyến tính tối 
thiểu 45-60 giờ. Giải tích toán học (Toán 
cao cấp, phần 2) với khối lượng gấp nhiều 
lần đại số tuyến tính cùng các ứng dụng đa 
dạng, phong phú cũng nên điều chỉnh giờ 
dạy, ít ra tương tự như đại số tuyến tính. 
Khi xem xét tổng thể phân bố thời gian các 
môn học ở các khoa, chúng tôi thấy rằng, 
chỉ cần điều chỉnh giờ môn học “Phương 
pháp nghiên cứu khoa học trong kinh tế và 
kinh doanh” là có thể thực hiện được đề 
nghị của chúng tôi (môn học này với thời 
gian ít hơn, chúng tôi vẫn đảm bảo dạy, 
thực hiện được các yêu cầu của nhà trường 
mà không ảnh hưởng tới các môn chuyên 
ngành). Nếu cân đối lại giờ các môn 
chuyên ngành, nên lập học phần “Thực 
hành giải toán kinh tế - kinh doanh bằng 
các phương pháp Toán cao cấp”, trong học 
phần này chủ yếu “toán học hóa” các mô 
hình kinh tế và sử dụng công cụ toán học 
giải các bài toán kinh tế - kinh doanh. 
Chúng tôi hy vọng, những ý kiến tâm huyết 
của chúng tôi sẽ được các cấp lãnh đạo nhà 
trường, các khoa, các nhà khoa học chú ý đến. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Huy Hoàng (2010), Toán cao cấp tập một, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[2] Trần Trọng Huệ (2012), Đại số tuyến tính và hình học giải tích, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[3] Nguyễn Tiến Quang (2014), Cơ sở đại số tuyến tính, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[4] Nguyễn Cảnh Toàn (2009), Không gian vectơ, Nxb Giáo dục. 
[5] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên, 2014), Toán cao cấp tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[6] G. Xtreng. (1980), Đại số tuyến tính và ứng dụng của nó, Nxb Thế giới, Maxcơva (Tiếng Nga). 
[7] PV Moon.vn (2018), Nguyễn Đức Trung - Học toán cao cấp như thế nào, 
moon.vn/Tintuc/NoiDung/5956/321/tsnguyen-duc-trung--hoc-toan-cao-cap-nhu-the-nao-5956, 
ngày truy cập: 10/1/2019. 
Ngày nhận bài: 29-9-2018. Ngày biên tập xong: 10-01-2019. Duyệt đăng: 21-01-2019