Hướng dẫn học tập Toán cao cấp (A2) (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
TOÁN CAO CẤP (A2) 
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) 
Lưu hành nội bộ 
HÀ NỘI - 2006 
 =====	===== 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
Giới thiệu môn học 
 5
0. GIỚI THIỆU MÔN HỌC 
1. GIỚI THIỆU CHUNG: 
Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên 
các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao 
cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn 
toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Có khá nhiều sách giáo 
khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào 
tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, do 
đó cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng môn học. Tập tài liệu 
hướng dẫn học môn toán cao cấp A2 này được biên soạn cũng nhằm mục đích 
trên. 
Tập tài liệu này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Học 
viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo 
trình của các trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học 
viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm 
giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình này cũng có thể dùng làm 
tài liệu học tập,tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các ngành đại học 
và cao đẳng. 
Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt 
phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi 
tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương để thấy được mục đích ý 
nghĩa, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc 
có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng. 
Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở 
rộng tổng quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài toán được xây dựng theo lược đồ: 
đặt bài toán, chứng minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật 
toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý 
hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học. Sau 
các chương có phần tóm tắt các nội dung chính và cuối cùng là các câu hỏi luyện 
tập. Có khoảng từ 30 đến 40 bài tập cho mỗi chương, tương ứng vói 3 -5 câu hỏi 
cho mỗi tiết lý thuyết. Hệ thống câu hỏi này bao trùm toàn bộ nội dung vừa được 
học. Có những câu kiểm tra trực tiếp các kiến thức vừa được học nhưng cũng có 
những câu đòi hỏi học viên phải vận dụng một cách tổng hợp và sáng tạo các kiến 
Giới thiệu môn học 
 6
thức để giải quyết. Vì vậy việc giải các bài tập này giúp học viên nắm chắc hơn lý 
thuyết và kiểm tra được mức độ tiếp thu lý thuyết của mình. 
 Các bài tập được cho dưới dạng trắc nghiệm khách quan, đây là một phương 
pháp rất phù hợp với hình thức đào tạo từ xa. Học viên có thể tự kiểm tra và đối 
chiếu với đáp án ở cuối sách. Tuy nhiên phương pháp trắc nghiệm cũng có những 
mặt hạn chế của nó, chẳng hạn phương pháp này không thể hiện được khả năng 
trình bày kết quả, khả năng lập luận, mà đây là một trong những yêu cầu chính của 
việc học toán. Một bài toán có thể giải cho đúng kết quả nhưng cách giải sai thậm 
chí sai cả về bản chất. Hai lần sai dấu trừ biến thành dấu cộng và cho kết quả đúng 
nhưng thực chất là sai. Mặt khác có thể giải bài toán trắc nghiệm bằng cách thử các 
trường hợp và loại trừ, nhưng cách làm này khá tiêu cực. Để khắc phục những hạn 
chế của phương pháp kiểm tra trắc nghiệm chúng tôi khuyên người đọc nên tự giải 
quyết các bài toán theo phương pháp tự luận, sau đó mới đối chiếu với các trường 
hợp a, b, c, d để chọn phương án đúng. 
Giáo trình gồm 7 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết): 
Chương I: Lô gích toán học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số. 
Chương II: Không gian véc tơ. 
Chương III: Ma trận. 
Chương IV: Định thức. 
Chương V: Hệ phương trình tuyến tính 
Chương VI: Ánh xạ tuyến tính. 
Chương VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương. 
Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn được 
xem là một ngành khoa học có phương pháp tư duy lập luận chính xác chặt chẽ. Vì 
vậy việc học toán cũng giúp ta rèn luyện phương pháp tư duy. Các phương pháp 
này đã được giảng dạy và cung cấp từng bước trong quá trình học tập ở phổ thông, 
nhưng trong chương I các vấn đề này được hệ thống hoá lại. Nội dung của chương 
I được xem là cơ sở, ngôn ngữ của toán học hiện đại. Một vài nội dung trong 
chương này đã được học ở phổ thông nhưng chỉ với mức độ đơn giản. Các cấu trúc 
đại số thì hoàn toàn mới và khá trừu tượng vì vậy đòi hỏi học viên phải đọc lại 
nhiều lần mới tiếp thu được. 
Các chương còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các 
chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là công cụ của chương 
khác. Vì vậy học viên cần thấy được mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này 
Giới thiệu môn học 
 7
là tính khái quát hoá và trừu tượng cao. Các khái niệm thường được khái quát hoá 
từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi học ta nên liên hệ đến các 
kết quả đó. 
2. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC 
Cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về đại số : Mệnh đề, tập hợp, 
ánh xạ , cấu trúc đại số và đại số tuyến tính bao gồm các khái niệm về không gian 
vecto, ma trận, định thức, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn 
phương..., làm cơ sở để tiếp thu các môn kỹ thuật điện và điện tử. 
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC 
Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau : 
1- Thu thập đầy đủ các tài liệu : 
◊ Bài giảng: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long, Nguyễn Phi Nga, Học viện 
Công nghệ BCVT, 2005. 
◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long, 
Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005. 
Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo trong 
mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này. 
2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: 
9 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng 
thực hiện chúng 
Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn của Học viện của môn học cũng như các 
môn học khác, sinh viên nên tự đặt ra cho mình một kế hoạch học tập cho riêng 
mình. Lịch học này mô tả về các tuần học (tự học) trong một kỳ học và đánh dấu 
số lượng công việc cần làm. Đánh dấu các ngày khi sinh viên phải thi sát hạch, nộp 
các bài luận, bài kiểm tra, liên hệ với giảng viên. 
9 Xây dựng các mục tiêu trong chương trình nghiên cứu 
Biết rõ thời gian nghiên cứu khi mới bắt đầu nghiên cứu và thử thực hiện, cố 
định những thời gian đó hàng tuần. Suy nghĩ về thời lượng thời gian nghiên cứu để 
“Tiết kiệm thời gian”. “Nếu bạn mất quá nhiều thì giờ nghiên cứu”, bạn nên xem 
lại kế hoạch thời gian của mình. 
3- Nghiên cứu và nắm những kiến thức đề cốt lõi: 
Giới thiệu môn học 
 8
Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng 
môn học và các tài liệu tham khảo khác. Nên nhớ rằng việc học thông qua đọc tài 
liệu là một việc đơn giản nhất so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng các 
hình thức học tập khác. 
Hãy sử dụng thói quen sử dụng bút đánh dấu dòng (highline maker) để đánh 
dấu các đề mục và những nội dung, công thức quan trọng trong tài liệu. 
4- Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: 
Thông qua các buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm 
được những nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh 
viên cũng có thể trao đổi, thảo luận của những sinh viên khác cùng lớp. Thời gian 
bố trí cho các buổi hướng dẫn không nhiều, do đó đừng bỏ qua những buổi hướng 
dẫn đã được lên kế hoạch. 
5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: 
Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet. Hệ 
thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập trong suốt 24 giờ/ngày 
và 7 ngày/tuần. Nếu không có điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động 
sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phương thức truyền thông khác 
(điện thoại, fax,...) để trao đổi thông tin học tập. 
6- Tự ghi chép lại những ý chính: 
Nếu chỉ đọc không thì rất khó cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là 
một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho 
việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu. 
7 -Trả lời các câu hỏi ôn tập sau mỗi chương, bài. 
Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng vạch 
ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện. 
Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn, đáp 
án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để nhận được 
sự trợ giúp. 
Nên nhớ thói quen đọc và ghi chép là chìa khoá cho sự thành công của việc tự học! 
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 
 9
1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP 
ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 
1.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA 
Đây là chương mở đầu làm cơ sở, làm ngôn ngữ và công cụ không những cho 
toán học mà còn cho các ngành khoa học khác. 
Ta biết rằng toán học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ 
sở tuân thủ nghiêm ngặt các qui luật lập luận của tư duy lôgich hình thức. Các qui 
luật cơ bản của lôgich hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (Arít-xtốt ) (thế 
kỷ thứ 3 trước công nguyên) cùng với sự phát triển rực rỡ của văn minh cổ Hy 
Lạp. Tuy nhiên mãi đến thế kỷ 17 với những công trình của De Morgan (Đờ 
Mocgan), Boole ... thì lôgích hình thức mới có một cấu trúc đại số đẹp đẽ và cùng 
với lý thuyết tập hợp giúp làm chính xác hoá các khái niệm toán học và thúc đẩy 
toán học phát triển mạnh mẽ. Việc nắm vững lôgich hình thức giúp học viên không 
những học tốt môn toán mà còn có thể vận dụng trong thực tế và biết lập luận 
chính xác. Học tốt môn lôgich là cơ sở để học tốt đại số Boole, vận dụng để giải 
các bài toán về sơ đồ công tắc rơle, các sơ đồ điện và công nghệ thông tin. Yêu cầu 
của phần này là phải nắm vững khái niệm mệnh đề toán học, các phép toán liên kết 
mệnh đề và các tính chất của chúng. 
 Khái niệm tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số là các khái niệm cơ bản: vừa 
là công cụ vừa ngôn ngữ của toán học hiện đại. Vì vai trò nền tảng của nó nên khái 
niệm tập hợp được đưa rất sớm vào chương trình toán phổ thông (lớp 6). Khái 
niệm tập hợp được Cantor đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Sau đó được chính xác hoá 
bằng hệ tiên đề về tập hợp. Có thể tiếp thu lý thuyết tập hợp theo nhiều mức độ 
khác nhau. Chúng ta chỉ tiếp cận lý thuyết tập hợp ở mức độ trực quan kết hợp với 
các phép toán lôgich hình thức như "và", "hoặc", phép kéo theo, phép tương 
đương, lượng từ phổ biến, lượng từ tồn tại. Với các phép toán lôgích này ta có 
tương ứng các phép toán giao, hợp, hiệu các tập hợp con của các tập hợp. 
Trên cơ sở tích Descartes (Đề-các) của hai tập hợp ta có khái niệm quan hệ 
hai ngôi mà hai trường hợp đặc biệt là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. 
Quan hệ tương đương được dùng để phân một tập nào đó thành các lớp không giao 
nhau, gọi là phân hoạch của tập đó. Quan hệ đồng dư môđulô p (modulo) là một 
quan hệ tương đương trong tập các số nguyên. Tập thương của nó là tập p các 
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 
 10
số nguyên môđulô p. Tập p có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã, an toàn 
mạng. Quan hệ thứ tự được dùng để sắp xếp các đối tượng cần xét theo một thứ tự 
dựa trên tiêu chuẩn nào đó. Quan hệ ≤ trong các tập hợp số là các quan hệ thứ tự. 
Khái niệm ánh xạ là sự mở rộng khái niệm hàm số đã được biết. Khái niệm 
này giúp ta mô tả các phép tương ứng từ một tập này đến tập kia thoả mãn điều 
kiện rằng mỗi phần tử của tập nguồn chỉ cho ứng với một phần tử duy nhất của tập 
đích và mọi phần tử của tập nguồn đều được cho ứng với phần tử của tập đích. Ở 
đâu có tương ứng thì ta có thể mô tả được dưới ngôn ngữ ánh xạ. 
Sử dụng khái niệm ánh xạ và tập hợp ta khảo sát các vấn đề của giải tích tổ 
hợp, đó là các phương pháp đếm số phần tử. Giải tích tổ hợp được sử dụng để giải 
quyết các bài toán xác suất thống kê và toán học rời rạc. 
Ta có thể thực hiện các phép toán cộng các số, hàm số, đa thức, véc tơ hoặc 
nhân các số, hàm số, đa thức... Như vậy ta có thể thực hiện các phép toán này trên 
các đối tượng khác nhau. Cái chung cho mỗi phép toán cộng hay nhân ở trên là các 
tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố... Một tập hợp có phép toán thoả mãn điều 
kiện nào đó được gọi là có cấu trúc đại số tương ứng. Các cấu trúc đại số quan 
trọng thường gặp là nhóm, vành, trường, không gian véc tơ. Đại số học là một 
ngành của toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số. Lý thuyết Nhóm được Evarist 
Galois (Galoa) đưa ra vào đầu thế kỉ 19 trong công trình "Trong những điều kiện 
nào thì một phương trình đại số có thể giải được?", trong đó Galoa vận dụng lý 
thuyết nhóm để giải quyết. Trên cơ sở lý thuyết nhóm người ta phát triển các cấu 
trúc đại số khác. 
Việc nghiên cứu các cấu trúc đại số giúp ta tách ra khỏi các đối tượng cụ thể 
mà thấy được cái chung của từng cấu trúc để khảo sát các tính chất, các đặc trưng 
của chúng. Chẳng hạn, tập các ma trận vuông cùng cấp, các tự đồng cấu tuyến tính, 
các đa thức ... có cấu trúc vành không nguyên nên có những tính chất chung nào 
đó. 
Các cấu trúc đại số có tính khái quát hoá và trừu tượng cao vì vậy người ta 
nghĩ rằng khó áp dụng vào thực tiễn. Tuy nhiên thực tế cho thấy đại số Boole được 
ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán về sơ đồ mạch điện, vào 
máy tính. Lý thuyết nhóm được ứng dụng vào cơ học lượng tử. Lý thuyết vị nhóm 
và vành được ứng dụng trong lý thuyết mật mã, lý thuyết Ôtômát. 
1.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 
1.2.1 Lôgíc mệnh đề 
a. Mệnh đề 
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 
 11
b. Liên kết mệnh đề: 
9 Phép phủ định: p đọc không p 
9 Phép hội: qp ∧ đọc p và q 
9 Phép tuyển: qp ∨ đọc p hoặc q 
9 Phép kéo theo: qp⇒ đọc p kéo theo q, p suy ra q 
9 Phép tương đương: qp ⇔ đọc p tương đương q 
9 Lượng từ phổ biến: ∀ đọc với mọi 
9 Lượng từ tồn tại: ∃ đọc tồn tại. 
1.2.2 Tập hợp và phần tử 
a. Tập hợp 
9 a là phần tử của A ký hiệu Aa∈ , đọc a thuộc A 
9 a không phải là phần tử của A ký hiệu Aa∉ , đọc a không thuộc A. 
9 Tập rỗng φ 
9 Tập con: ( )BxAxBA ∈⇒∈⇔⊂ 
9 Tập bằng nhau ( ))()( ABBABA ⊂∧⊂⇔= 
b. Các phép toán trên tập hợp 
9 Hợp ( )BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ 
9 Giao ( )BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈ 
9 Hiệu ( )BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \ 
9 Phần bù AXAXA \, =⊂ 
9 Tập tất cả các tập con của X : ( ) { }XAAX ⊂=P 
9 Tích đề các { }BbAabaBA ∈∈=× ,),( 
 { }CcBbAacbaCBA ∈∈∈=×× ,,),,( 
c. Quan hệ 
9 Quan hệ hai ngôi R trên X là tập con XX ×⊂R , gọi là có tính: 
o phản xạ nếu Xxxx ∈∀,R 
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 
 12
o đối xứng nếu xyyx RR ⇒ 
o bắc cầu nếu zxzyyx RRR ⇒∧ 
o phản đối xứng nếu yxxyyx =⇒∧ RR 
9 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó 
có tính phản xạ đối xứng bắc cầu, ký hiệu ~. 
9 Lớp tương đương của y, ký hiệu { }yxXxy ~∈= 
9 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan  ... về dạng chính 
tắc và viết tên chúng 0180383 22 =+−+ yxyx . 
Câu 38: Hãy đưa các đường bậc hai có phương trình sau về dạng chính 
tắc và viết tên chúng 01641294 22 =++−++ yxyxyx . 
Câu 39: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc 
và viết tên chúng 246012124421077 222 =++−+−−++ zyxyzxzxyzyx . 
Câu 40: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc 
và viết tên chúng 01266222 =−−−++ zyxyzxzxy . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 112
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 
CHƯƠNG 1 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 c 21 a) 120, b) 48, c) 72, d) 250 
2 d 22 c 
3 b 23 d 
4 c 24 d 
5 d 25 b 
6 d 26 b 
7 b 27 a) 210, b) 62, c) 203, d) 70 
8 a 28 d 
9 d 29 a 
10 30 b 
11 d 31 c 
12 32 a 
13 c 33 c 
14 34 b 
15 d 35 c 
16 c 36 a,c,d tương đương 
17 b 37 b 
18 c 38 b 
19 b 
20 
Câu 3, 4, 5, 6, 7: Sử dụng lôgích mệnh đề. 
Câu 9: a) Không đối xứng. b), c) Không bắc cầu. 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 113
Câu 10: Lớp tương đương của a là { }0)1)(( 22 =−++−∈= axxaxaxa  
{ }
{ }
{ }⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−
≠<⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −±−
=−
>
=
322,
3132234,
312,
32
2
aaa
aaaaa
aaa
aa
a
 nÕu 
 vµ nÕu 
 nÕu 
 nÕu 
a) { }a b) { }aa 2,− c) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −±− 234, 2aaa d) { } 2, aa − 
Câu 12: 
a) { }1≤∈= xxA 4 , { }22 <∈= xxB 4 . 
b) { }22 <∈= xxA 4 , { }2<∈= xxB 4 . 
c) { }2<∈= xxA 4 , { }2≤∈= xxB 4 . 
d) { }2,0 2 <<∈= xxxA 4 
Câu 13: Giải phương trình yxf =)( . 
Câu 14: a) ⎩⎨
⎧
−= lÎ nÕu
ch½n nÕu
nn
nn
ngf
 1
)(o , 
 b) nngnfg == )2()(o ; với mọi số nguyên n . 
 c) nnff 4)( =o 
 d) ffgf =oo 
Câu 20: a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1342
4321μσ o , 
b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2431
4321σμ o 
c) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
2143
43211σ 
d) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
1423
43211μ . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 114
Câu 15, 16, 17, 18, 19: Sử dụng lôgích mệnh đề, định nghĩa và các tính chất 
của ánh xạ. 
Câu 29: ∑
=
−=+
31
0
31
31
31 1937)1937(
k
kkkC ; Đặt kkkk Ca
−= 3131 1937 
Xét 14,20
56
11281
37
19
31
1
1937
1937
13111
31
31
31
1
=<⇔<⋅−
+== −−++
−
+
k
k
k
C
C
a
a
kkk
kkk
k
k 
⇒ 20≤∀k ta có: 211 aaaa kkk <⇒< + 
 21≥∀k ta có: 211 aaaa kkk ≤⇒> + 
Vậy 10211031
102121
3121 19.3719.37 CCaaMax === . 
Câu 30, 31, 32, 33, 34: Sử dụng trực tiếp định nghĩa phép hợp thành, nhóm, 
vành và trường. 
Câu 35: 
 a) Nếu yxxy = thì ( ) ∑
=
−=+
m
k
kmkk
m
m yxCyx
0
. Giả sử 0,0 21 == nn yx thì 
( ) 021 =+ +nnyx . 
b) Nếu yxxy = thì ( ) mmm yxxy = . 
Giả sử 0,0 21 == nn yx thì ( ) 021 =+nnxy . 
d) Nếu 0=nx thì ( )( ) 1....11 1 =+++− −nxxx . 
 ( ) 11 ....11 −− +++=−⇒ nxxx . 
Câu 37: Từ xzxx =∧∨ )'( và zzyzy =∧∨∧ )()'( 
⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng zx∨ . 
Câu 38: Công thức Boole tương ứng của mạng 
 [ ]( ))'()'()( zyzyxzyxA ∧∨∧∧∨∧∧= 
 [ ] )()'()'()( zyxzyzyzyx ∨∧=∧∨∧∨∧∧= 
⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng )( zyx ∨∧ . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 115
CHƯƠNG 2 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 d 16 a) 3 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 3 
2 c 17 c 
3 b 18 a 
4 c 19 c 
5 c 20 c 
6 21 b 
7 b 22 c 
8 a 23 d 
9 c 24 a 
10 b 25 c 
11 c 26 d 
12 c 27 
13 b 28 
14 a) 3 ; b) 2 ; c) 1 ; d) 3 29 
15 c 30 
Câu 1, 2, 3, 4, 5: Sử dụng trực tiếp định nghĩa không gian véc tơ và không 
gian véc tơ con. 
Câu 6: a) Giải hệ phương trình 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
−=−+
=++
15 85
2673
7 32
γβα
γβα
γβα
 ⇒ 0;5;11 =−== γβα ⇒ 321 0)5(11 vvvu +−+= . 
Giải các hệ phương trình tương tự ta có các kết quả sau 
 b) 321 )1(53 vvvu −++= c) 321 32 vvvu ++= . 
 d) 321 vvvu ++= . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 116
Câu 7: Bài toán tương đương với việc tìm giá trị của λ để hệ phương trình 
sau có nghiệm 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
−=−+
=++
λγβα
γβα
γβα
 85
2673
7 32
 ⇒ λ = 12. 
Câu 8: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp và áp dụng định lý 2.17 suy ra: 
a) là một hệ sinh của 3 ; b) c) d) không phải là hệ sinh của 3 . 
Hoặc hệ phương trình 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−
=−+
=++
c
b
a
 5 3
 2
 32
γβα
γβα
γβα
 luôn có nghiện với mọi 3),,( ∈cba còn hệ phương trình tương ứng với 
trường hợp b) c) d) không phải luôn có nghiện với mọi 3),,( ∈cba . 
Câu 10: a) Hai véc tơ vu, tỷ lệ với nhau nên phụ thuộc tuyến tính; 
 Bằng hai phương pháp như câu 8) suy ra: 
 b) độc lập tuyến tính; c) d) phụ thuộc tuyến tính. 
Câu 11: Áp dụng định lý 2.17 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
+−
−−−−
↔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
21021
02121
2121
2121
2121
2121
λ
λ
λλλ
λ
λ
λ
 (nếu 21−≠λ ) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−−−−−
↔
2100
0210
21211
λ
λ
λλλ
Vậy hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi 1=λ hay 21−=λ . 
Câu 17: Bằng phương pháp tương tự ví dụ 2.14, thực hiện các phép biến đổi 
sơ cấp và áp dụng định lý 2.17, nhận xét 2.18 suy ra: 
{ } 2,,dim 3211 == vvvrV , { } 2,,dim 3212 == uuurV , 
( ) { } ( ) 1322dim3,,,,,dim 2132132121 =−+=∩⇒==+ VVuuuvvvrVV . 
Câu 18, 19: được giải tương tự. 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 117
CHƯƠNG 3 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 b 11 a 
2 c 12 a 
3 a 13 c 
4 d 14 a 
5 c 15 b 
6 a 16 d 
7 b 17 c 
8 d 18 c 
9 d 19 a 
10 b 20 b 
Câu 11: Quy nạp theo n . 
Câu 12: I=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
4
01
10
⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 01
103
01
104
01
10
01
10
5002003
. 
Câu 13: Nếu tồn tại BA, sao cho IBAAB =− thì ( ) 0Tr =− BAAB nhưng 
nI =Tr vô lý. 
Câu 14: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= n
nn
z
xA
0
* 
1 ,1 1 ±=±=⇒==⇒= zxzxIA nnn . 
♦ 1±== zx ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ±=
10
1 ny
An ⇒ 0=y . 
♦ 1±=−= zx ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
012A ⇒ y tùy ý. 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 118
CHƯƠNG 4 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 b 14 c 
2 c 15 b 
3 a 16 d 
4 d 17 b 
5 c 18 a 
6 c 19 c 
7 a 20 b 
8 b 21 a 
9 d 22 d 
10 c 23 c 
11 b 24 b 
12 a 25 c 
13 a 
Câu 9: Khai triển Laplace theo 2 hàng đầu ta được 
( ) 790
152
324
321
1
31
42 2121 =
−
−−−= +++D . 
Câu 10: Áp dụng định thức Vandermond có các phần tử tương ứng x,4,2,1− 
ta có 
 )4)(2)(1(30 −−+= xxxD . 
Câu 11: Khai triển Laplace theo hàng thứ ba và thứ tư ta được 
( ) 115
531
323
102
1
54
23 2143 −=
−−
−−−= +++D . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 119
Câu 14: )1)(5)(4(
41
14
23
det −+−== mmm
m
m
m
A . 
Vậy A khả nghịch khi 1,4,5−≠m . 
Câu 17: Áp dụng cônh thức 4.19 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
247
341
114
A có 7det −=A . 
4
24
34
)1( 1111 −=−
−−= +A , 23
27
31
)1( 2112 −=−−= +A , 
32
47
41
)1( 3113 −=−−=
+A , 2
24
11
)1( 1221 =−
−−= +A , 
15
27
14
)1( 2222 =−−= +A , 2347
14
)1( 3223 =−−=
+A , 
1
34
11
)1( 1331 =−
−−= +A , 11
31
14
)1( 2332 =−
−−= +A , 
15
41
14
)1( 3333 =−= +A , 
Vậy 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −−−
−=
−
152332
111523
124
7
1
15111
23152
32234
7
11
t
A . 
Câu 19: a) ( )( ) 111 ...... −−− +++=⇒=+++− mm AAIAIAAIAI . 
b) ( ) AIAIAAAAI −=⇒=−=− − 333 12 . 
d) CBACAABAAA =⇒=⇒∃⇒≠ −−− 111 )()(0det . 
Câu 22: 3)1)(3()det( −+= mmA . 
Khi 1,3−≠m hạng 4)( =Ar . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 120
Khi 1=m ma trận 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1111
1111
1111
1111
A suy ra hạng 1)( =Ar . 
 Khi 3−=m ma trận 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
1113
1131
1311
3111
A , định thức 
0
113
131
311
≠
−
−
−
suy ra hạng 3)( =Ar . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 121
CHƯƠNG 5 
1 d 16 b 
2 b 17 d 
3 a 18 b 
4 b 19 a 
5 b 20 c 
6 c 21 b 
7 a 22 d 
8 c 23 b 
9 b 24 a 
10 d 25 c 
11 b 26 b 
12 d 27 d 
13 b 28 a 
14 a 29 c 
15 c 30 b 
Sử dụng phương pháp khử Gauss ta có trhể giải các bài tập từ câu 7- câu 25. 
Câu 17: Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương lên các hàng của ma 
trận bổ sung của hệ phương trình 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−↔
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
↔
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
53280
02280
01140
23152
7332
471144
45364
23152
471144
45364
7332
23152
~
mm
m
A
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−↔
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−↔
51000
00000
01140
24092
51000
00000
01140
23152
mm
. 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 122
Hệ tương đương 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=−+−
=++
5)1(
04
2492
4
432
421
xm
xxx
xxx
Khi 1=m hệ vô nghiệm. 
Khi 1≠m hệ có nghiệm 
,
1
10
2
91,
1
54,
1
5
21234 −−−=−+=−= mxxmxxmx 
2x tùy ý. 
Câu 24: Véc tơ ),,( cba thuộc vào không gian con sinh bởi 321 ,, vvv khi và 
chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+−
=+
czy
bzyx
ayx
42
3
2
Ma trận bổ sung 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
↔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
↔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
ba
c
b
a
c
b
c
b
a
A
2630
420
311
012
420
311
420
311
012
~ 
 Vậy véc tơ ),,( cba thuộc vào không gian con sinh bởi 321 ,, vvv khi và chỉ 
khi )2(23 bac −= hay cba 342 += . 
Câu 26: Ma trận hệ số của hệ )(I là 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
2121
4453
2332
 có hạng bằng 2. 
Do đó 224dim 1 =−=V . Tương tự ta cũng có 224dim 2 =−=V . 
Không gian con 21 VV ∩ là không gian nghiệm của hệ )(I và hệ )(II có ma 
trận hệ số 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
−−−
−−−
4653
3421
91012
2121
4453
2332
có hạng bằng 3. Do đó 134)dim( 21 =−=∩VV . 
Suy ra 3122)dim(dimdim)dim( 212121 =−+=∩−+=+ VVVVVV . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 123
CHƯƠNG 6 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 b 21 d 
2 c 22 a 
3 a 23 c 
4 d 24 b 
5 c 25 a 
6 b 26 c 
7 d 27 b 
8 b 28 a 
9 a 29 c 
10 b 30 a 
11 c 31 c 
12 b 32 b 
13 a 33 d 
14 c 34 c 
15 b 35 d 
16 a 36 c 
17 b 37 b 
18 d 38 d 
19 c 39 c 
20 b 40 d 
Các câu 1, 2, 3, 4, 5 áp dụng trực tiếp định nghĩa ánh xạ tuyến tính. 
Câu 10: Ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 4 là 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
5114
1352
35110
2131
A 1)(4Kerdim3)(3)( =−=⇒=⇒= frffrAr . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 124
Câu 18: Định thức của ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cở sở chính tắc 
trong các trường hợp tương ứng 
 a) 1
111
110
101
−= , b) 4
111
111
111
=
−
−
−
, c) 36
031
413
823
= , 
d) 0
011
101
110
=
−
−
−
. 
Vậy ánh xạ trong trường hợp d) không đẳng cấu. 
Câu 20: Đặt 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
+−=
+−=
=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
++=
+=
=
434
323
212
11
43214
3213
212
11
''
''
''
'
'
'
'
'
eee
eee
eee
ee
eeeee
eeee
eee
ee
( ) ( ) ( )4332211432111 ''''2''3'23)()'( eeeeeeeeeeeefef +−++−++−+=+++==
 4321 ''''2 eeee +++−= . 
Tương tự ta tính được 4322 '3'4'4)'( eeeef ++−= . 
 43213 '4'6'8')'( eeeeef ++−= . 
 4324 '7'4'7)'( eeeef ++−= . 
Vậy ma trận của f trong cơ sở mới là 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
7431
4641
7841
0102
'A . 
Câu 36: Ma trận của f trong có sở chính tắc của 2P là 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
133
153
131
A 
Đa thức đặc trưng của A 
133
153
022
133
153
131
)(
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
−−
−−
+−−
=
−−
−−
−−
=P
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 125
 .)2)(1( 
103
123
002
2λλ
λ
λ
λ
+−=
−
−−
−−
= 
 Câu 37: Ma trận của f trong có sở chính tắc là 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
411
121
221
A 
Đa thức đặc trưng của A 
 .)3)(1(
300
131
201
330
121
221
411
121
221
)(
2−−=
−
−−
−
=
−−
−−
−
=
−−
−−
−
=
λλ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λP
Do đó A có các giá trị riêng 11 =λ và 32 =λ (kép). 
*) Giá trị riêng 1=λ có véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ phương 
trình: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0
0
0
311
111
220
z
y
x
có hệ phương trình tương đương: ⎩⎨
⎧
−=
−=⇒⎩⎨
⎧
=+
=+
yz
yx
zy
yx 2
0 
0 2
( ) )1,1,2(,,2 −−=−−= yyyyv chọn )1,1,2(1 −=v . 
**) Giá trị riêng 3=λ có véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ 
phương trình 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
0
0
0
111
111
222
z
y
x
Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: 0=−− zyx . 
( ) )1,0,1()0,1,1(,, zyzyzyv +=+= chọn )1,0,1(,)0,1,1( 32 == vv . 
{ }321 ,, vvv là một cơ sở gồm các véc tơ riêng của f 
332211 3)(,3)(,)( vvfvvfvvf === . 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 126
CHƯƠNG 7 
Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 c 19 d 
2 a 20 c 
3 d 21 a 
4 c 22 b 
5 b 23 d 
6 a 24 b 
7 c 25 d 
8 d 26 c 
9 b 27 b 
10 b 28 a 
11 a 29 c 
12 b 30 b 
13 d 31 a 
14 b 32 b 
15 c 33 d 
16 a 34 c 
17 c 35 a 
18 c 36 c 
Câu 30: Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc là 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
122
212
221
A . 
Đa thức đặc trưng 
λλ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
−−
−−
−
=
−
−
−
=−
15
15
225
12
12
221
2
2
2
2IA 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 127
 )5()1(
01
01
001
2
1
1)5( λλ
λ
λλ −+=
−−
−−−= 
 ♦Với giá trị riêng 51 =λ , véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
0
0
0
422
242
224
z
y
x
 Hệ phương trình trên tương đương với hệ 
⎩⎨
⎧
=−
=−
0 
0
zy
yx
 có nghiệm zyx == 
⇒ )1,1,1(),,( xxxxv == . Chọn )1,1,1(1 =u . 
Trực chuẩn hoá được )31,31,31(1 =v . 
♦ Với giá trị riêng 12 −=λ (nghiệm kép), véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm 
của hệ 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
222
222
222
z
y
x
 Hệ phương trình trên tương đương với phương trình 0=++ zyx 
 ⇒ ( ) ( ) ( )1,0,10,1,1,,),,( −+−=−−== zyzyzyzyxv . 
Chọn ( ) ( )1,0,1 , 0,1,1 32 −=−= uu . 
Trực chuẩn hoá hai véc tơ này ta có 
 ( )0,21,212 −=v , ( )62,61,613 −=v . 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Z
Y
X
z
y
x
62031
612131
612131
 ; 2225 ZYXQ −−= 
Câu 37: Xét dạng toàn phương có biểu thức tọa độ trong cơ sở chính tắc 
 22 383),( yxyxyxQ −+= 
Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 
 128
Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc là ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 34
43
A chéo hóa trực giao ma 
trận này ta tìm được cơ sở trực chuẩn mới ( ) ( )51;52,52;51 21 =−= vv ; 
21);( YvXvyx += 22 55),( YXyxQ +−=⇒ . 
Như vậy nếu đổi tọa độ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Y
X
y
x
5152
5251 thì đường bậc 2 đã cho 
có dạng chính tắc 1
3636
22
=− YX : Hyperbol 
Câu 38. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Y
X
y
x
133132
132133 ; 01
13
24
13
1013 2 =+−+ XYY : 
 Parabol 
Câu 39. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Z
Y
X
z
y
x
31062
312161
312161
; 
 ( ) ( ) 1
34
3
3417
6 222 =++++ ZYX : Ellipsoid 
Câu 40. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Z
Y
X
z
y
x
62031
612131
612131
; 
 ( ) ( ) 1
18
6
189
32 222 =−−−− ZYX : Hyperbolic 2 tầng 
Tài liệu tham khảo 
 129
8. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. 
Nauka, Moskva,1969. (tiếng Nga) 
2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại 
học và Trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977. 
3. K. MAURIN, Analiza, .1,,cCzes PWN, Warszawa, 1976. 
4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New 
York,Don Mills, 1991. 
5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB 
Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990. 
6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo 
dục, Hà nội, 1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)