Hướng dẫn học tập Lý thuyết xác suất và thống kê toán

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
- - - - - - - 	 - - - - - - - 
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN 
 Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG 
Lưu hành nội bộ 
HÀ NỘI - 2006 
 LỜI NÓI ĐẦU 
Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu 
nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không 
thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành 
quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra 
được những kết luận khoa học về hiện tượng này. 
Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê - môn học nghiên cứu các các 
phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết 
định cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệ thông tin, lý 
thuyết xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa 
học tự nhiên và xã hội. Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê được giảng dạy cho hầu hết các 
nhóm ngành ở đại học. 
 Có nhiều sách giáo khoa và tài liệu chuyên khảo viết về lý thuyết xác suất thống kê. Tuy 
nhiên, với phương thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên phải làm việc độc 
lập nhiều hơn, vì vậy cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập của từng môn học thích hợp cho đối 
tượng này. Tập tài liệu “Hướng dẫn học môn toán xác suất thống kê” này được biên soạn cũng 
nhằm mục đích trên. 
Tập tài liệu “Hướng dẫn học môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán” được biên soạn theo 
chương trình qui định của Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông dành cho hệ đại học 
chuyên ngành Quản trị kinh doanh. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo trình của các trường 
đại học khối kinh tế và theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình 
này cũng có thể dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường đại học 
và cao đẳng khối kinh tế. 
Giáo trình gồm 8 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết): 
Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất. 
Chương II: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất. 
Chương III: Một số quy luật phân bố xác suất quan trọng. 
Chương IV: Biến ngẫu nhiên hai chiều. 
Chương V: Luật số lớn. 
Chương VI: Cơ sở lý thuyết mẫu. 
Chương VII: Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên. 
Chương VIII: Kiểm định giả thiết thống kê. 
 3
Năm chương đầu thuộc về lý thuyết xác suất, ba chương còn lại là những vấn đề cơ bản của 
lý thuyết thống kê. Điều kiện tiên quyết của môn học này là hai môn toán cao cấp đại số và giải 
tích trong chương trình toán đại cương. Tuy nhiên, vì sự hạn chế của chương trình toán dành cho 
khối kinh tế, nên nhiều kết quả và định lý chỉ được phát biểu, minh họa, chứ không có điều kiện 
để chứng minh chi tiết. 
Giáo trình này được trình bày theo phương pháp phù hợp đối với người tự học, đặc biệt 
phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người học 
nên xem phần giới thiệu của mỗi chương, để thấy được mục đích, ý nghĩa, yêu cầu chính của 
chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người học có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông 
qua cách diễn đạt và chỉ dẫn rõ ràng. Đặc biệt học viên nên chú ý đến các nhận xét, bình luận, để 
hiểu sâu sắc hơn hoặc mở rộng tổng quát hơn các kết quả và hướng ứng dụng vào thực tế. 
Hầu hết các bài toán trong giáo trình được xây dựng theo lược đồ: đặt bài toán, chứng minh 
sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là 
để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người học dễ tiếp thu 
bài hơn. Sau các chương có phần tóm tắt các nội dung chính, và cuối cùng là các câu hỏi luyện 
tập. Có khoảng từ 20 đến 30 bài tập cho mỗi chương, tương ứng với 3 -5 câu hỏi cho mỗi tiết lý 
thuyết. Hệ thống câu hỏi này bao trùm toàn bộ nội dung vừa được học. Có những câu hỏi kiểm tra 
trực tiếp các kiến thức vừa được học, nhưng cũng có những câu đòi hỏi học viên phải vận dụng 
một cách tổng hợp và sáng tạo các kiến thức đã học để giải quyết. Vì vậy, việc giải các bài tập này 
giúp học viên nắm chắc hơn lý thuyết và tự kiểm tra được mức độ tiếp thu lý thuyết của mình. 
Giáo trình được viết theo đúng đề cương chi tiết môn học đã được Học Viện ban hành. Các 
kiến thức được trang bị tương đối đầy đủ, có hệ thống. Tuy nhiên, nếu người học không có điều 
kiện đọc kỹ toàn bộ giáo trình thì các nội dung có đánh dấu (*) được coi là phần tham khảo thêm 
(chẳng hạn: chương 5 luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm (*), mục 6.6 chương 6 ). 
Tuy tác giả đã rất cố gắng, song do thời gian bị hạn hẹp, nên các thiếu sót còn tồn tại trong 
giáo trình là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, 
đồng nghiệp, các học viên xa gần. Xin chân thành cám ơn. 
Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới TS Tô Văn Ban, CN Nguyễn Đình Thực, đã đọc bản thảo 
và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người đã giúp tôi 
biên tập hoàn chỉnh cuốn tài liệu. 
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu 
Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã 
khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệu này. 
 Hà Nội, đầu năm 2006. 
 TÁC GIẢ 
 4 
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác xuất 
CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 
GIỚI THIỆU 
Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước kết 
quả) hoặc tất định (biết trước kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn ta biết chắc chắn rằng lông của quạ có 
mầu đen, một vật được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất... Đó là những hiện tượng diễn 
ra có tính quy luật, tất định. Trái lại khi tung đồng xu ta không biết mặt sấp hay mặt ngửa sẽ xuất 
hiện. Ta không thể biết có bao nhiêu cuộc gọi đến tổng đài, có bao nhiêu khách hàng đến điểm 
phục vụ trong khoảng thời gian nào đó. Ta không thể xác định trước chỉ số chứng khoán trên thị 
trường chứng khoán Đó là những hiện tượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá 
nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp 
ta có thể rút ra những kết luận có tính quy luật về những hiện tượng này. Lý thuyết xác suất 
nghiên cứu các qui luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép 
dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy các phương pháp của lý 
thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực 
khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế-xã hội. 
Chương này trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả chính về lý thuyết 
xác suất: 
- Các khái niệm phép thử, biến cố. 
- Quan hệ giữa các biến cố. 
- Các định nghĩa về xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê. 
- Các tính chất của xác suất: công thức cộng và công thức nhân xác suất, xác suất của 
biến cố đối. 
- Xác suất có điều kiện, công thức nhân trong trường hợp không độc lập. Công thức 
xác suất đầy đủ và định lý Bayes. 
Khi nắm vững các kiến thức về đại số tập hợp như: hợp, giao tập hợp, tập con học viên sẽ 
dễ dàng trong việc tiếp thu, biểu diễn hoặc mô tả các biến cố. 
Để tính xác suất các biến cố theo phương pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số các trường hợp 
thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể. Vì vậy học viên cần nắm vững các phương 
pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã được học ở lớp 12). Tuy nhiên để thuận lợi cho người học chúng 
tôi sẽ nhắc lại các kết quả chính trong mục 3. 
Một trong những khó khăn của bài toán xác suất là xác định được biến cố và sử dụng đúng 
các công thức thích hợp. Bằng cách tham khảo các ví dụ và giải nhiều bài tập sẽ rèn luyện tốt kỹ 
năng này. 
 5
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác xuất 
NỘI DUNG 
1.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 
1.1.1. Phép thử (Experiment) 
Trong thực tế ta thường gặp nhiều thí nghiệm, quan sát mà các kết quả của nó không thể dự 
báo trước được. Ta gọi chúng là các phép thử ngẫu nhiên. 
Phép thử ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi chữ C . Tuy không biết kết quả sẽ xảy ra như 
thế nào, nhưng ta có thể liệt kê được hoặc biểu diễn tất cả các kết quả của phép thử C . Mỗi kết 
quả của phép thử C được gọi là một biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép 
thử được gọi là không gian mẫu, ký hiệu Ω . 
Ví dụ 1.1: 
ƒ Phép thử tung đồng xu có không gian mẫu là { }NS ,=Ω . 
ƒ Với phép thử tung xúc xắc, các biến cố sơ cấp có thể xem là số các nốt trên mỗi mặt xuất 
hiện. Vậy . { }6,5,4,3,2,1=Ω
ƒ Phép thử tung đồng thời 2 đồng xu có không gian mẫu là: 
 { }),(),,(),,(),,( NNSNNSSS=Ω . 
 Chú ý rằng bản chất của các biến cố sơ cấp không có vai trò đặc biệt gì trong lý thuyết xác 
suất. Chẳng hạn có thể xem không gian mẫu của phép thử tung đồng tiền là , trong đó 0 
là biến cố sơ cấp chỉ mặt sấp xuất hiện và 1 để chỉ mặt ngửa xuất hiện. 
{ 1,0=Ω }
1.2.1. Biến cố (Event) 
Với phép thử C ta thường xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) mà việc xảy ra hay không 
xảy ra hoàn toàn được xác định bởi kết quả của C . Các biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các 
chữ in hoa A, B, C,  Mỗi kết quả ω của C được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A nếu A 
xảy ra khi kết quả của C là ω . 
Ví dụ 1.2: Nếu gọi A là biến cố số nốt xuất hiện là chẵn trong phép thử tung xúc xắc ở ví 
dụ 1.1 thì A có các kết quả thuận lợi là 2, 4, 6. 
Tung hai đồng xu, biến cố xuất hiện một mặt sấp một mặt ngửa (xin âm dương) có các kết 
quả thuận lợi là . ),(;),( SNNS
Như vậy mỗi biến cố A được đồng nhất với một tập con của không gian mẫu bao gồm 
các kết quả thuận lợi đối với 
Ω
A . 
Mỗi biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử được thực hiện, nghĩa là gắn với không gian 
mẫu nào đó. Có hai biến cố đặc biệt sau: 
• Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, biến cố này trùng 
với không gian mẫu . Ω
 6 
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác xuất 
• Biến cố không thể: là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố 
không thể được ký hiệu φ . 
Tung một con xúc xắc, biến cố xuất hiện mặt có số nốt nhỏ hơn hay bằng 6 là biến chắc 
chắn, biến cố xuất hiện mặt có 7 nốt là biến cố không thể. 
1.2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 
Việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không trong kết quả của một phép thử là điều không thể 
biết hoặc đoán trước được. Tuy nhiên bằng những cách khác nhau ta có thể định lượng khả năng 
xuất hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến cố. 
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó 
khi thực hiện phép thử. 
Dựa vào bản chất của phép thử (đồng khả năng) ta có thể suy luận về khả năng xuất hiện 
của biến cố, với cách tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển. 
Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử ta có thể tính được tần suất xuất hiện 
(số lần xuất hiện) của một biến cố nào đó. Tần suất thể hiện khả năng xuất hiện của biến cố, với 
cách tiếp cận này ta có định nghĩa xác suất theo thống kê. 
1.3. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 
1.3.1. Định nghĩa và ví dụ 
Giả sử phép thử C thoả mãn hai điều kiện sau: 
(i) Không gian mẫu có một số hữu hạn phần tử. 
(ii) Các kết quả xảy ra đồng khả năng. 
Khi đó ta định nghĩa xác suất của biến cố A là 
đ AP(A) = sè tr−êng hîp thuËn lîi èi víi 
sè tr−êng hîp cã thÓ
 (1.1) 
Nếu xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu Ω thì 
Ω=Ω=
AAAP
cña tö phÇn sè
cña tö phÇn sè)( (1.1)’ 
Ví dụ 1.3: Biến cố A xuất hiện mặt chẵn trong phép thử gieo con xúc xắc ở ví dụ 1.1 có 3 
trường hợp thuận lợi ( 3=A ) và 6 trường hợp có thể ( 6=Ω ). Vậy 
2
1
6
3)( ==AP . 
Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm của giải tích tổ hợp. 
 7
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác xuất 
1.3.2. Các qui tắc đếm 
1.3.2.1. Qui tắc cộng 
Nếu có cách chọn loại đối tượng , cách chọn loại đối tượng , ... , cách 
chọn loại đối tượng . Các cách chọn đối tượng không trùng với cách chọn nếu 
1m 1x 2m 2x nm
nx ix jx ji ≠ 
thì có cách chọn một trong các đối tượng đã cho. nmmm +++ "21
1.3.2.2. Qui tắc nhân 
Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp và mỗi công đoạn 
 có cách thực hiện thì có tất cả 
kHHH ,...,, 21
iH in knnn ××× "21 cách thực hiện công việc H . 
1.3.2.3. Hoán vị 
Mỗi phép đổi chỗ của phần tử được gọi là phép hoán vị phần tử. Sử dụng quy tắc nhân 
ta có thể tính được: 
n n
Có hoán vị n phần tử. !n
1.3.2.4. Chỉnh hợp 
Chọn lần lượt phần tử không hoàn lại trong tập phần tử ta được một chỉnh hợp chập 
của phần tử. Sử dụng quy tắc nhân ta có thể tính được số các chỉnh hợp chập của phần 
tử là: 
k n
k n k n
)!(
!
kn
nAkn −= (1.2) 
1.3.2.5. Tổ hợp 
Chọn đồng thời phần tử của tập phần tử ta được một tổ hợp chập của phần tử. 
Cũng có thể xem một tổ hợp chập của phần tử là một tập con phần tử của tập phần tử. 
k n k n
k n k n
Hai chỉnh hợp chập là khác nhau nếu: n k
ƒ có ít nhất 1 phần tử của chỉnh hợp này không có trong chỉnh hợp kia. 
ƒ các phần tử đều như nhau nhưng thứ tự khác nhau. 
Do đó với mỗi tổ hợp chập của phần tử có chỉnh hợp tương ứng. Mặt khác hai 
chỉnh hợp khác nhau ứng với hai tổ hợp khác nhau là khác nhau. 
k n !k
Vậy số các tổ hợp chập của phần tử là k n
)!(!
!
! knk
n
k
AC
k
nk
n −== (1.3) 
 8 
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác xuất 
Ví dụ 1.4: Tung một con xúc xắc hai lần. Tìm xác suất để trong đó có 1 lần ra 6 nốt. 
Giải: Số các trường hợp có thể là 36. Gọi A là biến cố “trong 2 lần tung con xúc xắc có 1 
lần được mặt 6”. Nếu lần thứ nhất ra mặt 6 thì lần thứ hai chỉ có thể ra các mặt từ 1 đến 5, nghĩa là 
có 5 trường hợp. Tương tự cũng có 5 trường hợp chỉ xuất hiện mặt 6 ở lần tung thứ hai. Áp dụng 
quy tắc cộng ta suy ra xác suất để chỉ có một lần ra mặt 6 khi tung xúc xắc 2 lần là 
36
10
. 
Ví dụ 1.5: Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ được 
rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi. 
Giải: Gọi A là biến cố “quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”. Số các trường hợp 
có thể là số các cặp hai chữ số khác nhau từ 10 chữ số từ 0 đến 9. Nó bằng số các chỉnh hợp 10 
chập 2. Vậy số các trường hợp có thể là . Số các trường hợp thuận lợi của 90910210 =⋅=A A là 
1. Do đó 
90
1)( =AP . 
Ví dụ 1.6: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2 
nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 6 người là như nhau. Tính xác suất biến cố: 
a. Hai người trúng tuyển là nam 
b. Hai người trúng tuyển là nữ 
c. Có ít nhất 1nữ trúng tuyển. 
Giải: Số trường hợp có thể 26 15CΩ = = . 
a. Chỉ có 1 trường hợp cả 2 nam đều trúng tuyển do đó xác suất tương ứng là . 15/1=P
b. Có cách chọn 2 trong 4 nữ, vậy xác suất tương ứng 624 =C 15/6=P . 
c. Trong 15 trường hợp có thể chỉ có 1 trường hợp cả 2 nam được chọn, vậy có 14 
trường hợp ít nhất 1 nữ được chọn. Do đo xác suất tương ứng 15/14=P . 
1.4. ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT 
Định nghĩa xác suất theo cổ điển trực quan, dễ hiểu. Tuy nhiên khi số các kết quả có thể vô 
 ... 1604 1582 1561 1539 1518 
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 000065 0063 0061 
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 
3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 
3,5 0009 0008 0008 00080 0008 0007 0007 0007 0007 0006 
3,6 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 
Phụ lục 
 193
PHỤ LỤC II: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC 
 ∫
∞−
−
π=Φ
t x
dxet 2
2
2
1)( 
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 
0,1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 
0,2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 
0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 
0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 
0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 
0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 
0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 
0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 
0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 
1,0 0,8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 
1,1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 
1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 
1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 
1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 
1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 
1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 
1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 
1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 
1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 
2,0 0,9773 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 
2,1 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 
2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 
2,3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 
2,4 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 
2,5 0,9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 
2,6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 
2,7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 
2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 
2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 
t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 
)(tΦ 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 
t a− x 
π2
1 
O
)(tΦ 
Phụ lục 
 194 
PHỤ LỤC III: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ STUDENT 
Bậc tự do 05,0=α 025,0=α 01,0=α 005,0=α 001,0=α 
1 6,314 12,706 31,821 63,657 318,309 
2 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 
3 2,353 3,128 4,541 5,841 10,215 
4 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 
5 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 
6 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 
7 1,895 2,365 2,998 3,499 4,705 
8 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 
9 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 
10 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 
11 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 
12 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 
13 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 
14 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 
15 1,753 2,131 2,606 2,947 3,733 
16 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 
17 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 
18 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 
19 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 
20 1,725 2,086 2,58 2,845 3,552 
21 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 
22 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 
23 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 
24 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 
25 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 
26 1,796 2,056 2,479 2,779 3,435 
27 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 
28 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 
29 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 
inf 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 
O 
)(tf 
α
( )t nα 
Phụ lục 
 195
PHỤ LỤC IV: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ KHI BÌNH PHƯƠNG 
2χ 
Bậc tự do 2 995,0χ 2 99,0χ 2 97,0χ 2 95,0χ 2 05,0χ 2 025,0χ 2 01,0χ 2 005,0χ 
1 0,000 0,000 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879 
2 0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,597 
3 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,345 12,838 
4 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,143 13,277 14,860 
5 0,412 0,554 0,831 1,145 11,070 12,832 15,086 16,750 
6 0,676 0,872 1,237 1,635 12,592 14,449 16,812 18,548 
7 0,989 1,239 1,690 2,167 14,067 16,013 18,475 20,278 
8 1,344 1,646 2,180 2,733 15,507 17,535 20,090 21,955 
9 1,735 2,088 2,700 3,325 16,919 19,023 21,666 23,589 
10 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 
11 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,757 
12 3,074 3,571 4,404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,300 
13 3,565 4,107 5,009 5,982 22,362 24,736 27,688 28,819 
14 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,141 31,319 
15 5,001 5,229 6,262 7,261 24,996 27,488 30,578 32,801 
16 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,267 
17 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,718 
18 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,524 34,805 37,156 
19 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582 
20 7,343 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 
21 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401 
22 8,543 9,542 10,982 12,388 33,924 36,781 30,289 42,796 
23 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181 
24 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,558 
25 10,520 11,524 13,120 14,611 37,625 40,646 44,314 46,928 
26 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290 
27 11,808 12,879 14,573 16,151 40,113 43,194 46,993 46,645 
28 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,993 
29 13,121 14,256 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,336 
30 13,787 14,930 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,672 
)(2 nαχ 
y
O
α
Phụ lục 
 196 
PHỤ LỤC Va: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ FISHER ),(
21
nnF 
MỨC 050,=α 
Bậc tự do 1n Bậc tự 
do 2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 
2 18.5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 
3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 
6 5,99 5,74 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,32 
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 
10 4,96 4,10 3,71 3,84 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 
17 4,45 3,69 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,81 2,46 2,41 
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 
20 4,35 3,19 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 
40 4,08 3,23 2,86 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 
120 3,92 3,07 26,8 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 
∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 
),(
21
nnfα 
y
O 
α
Phụ lục 
 197
PHỤ LỤC Vb: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ FISHER ),(
21
nnF 
MỨC 050,=α 
Bậc tự do 1n Bậc tự 
do 2n 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 
1 244 246 248 249 250 251 252 3,70 3,67 
2 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 3,27 3,23 
3 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 2,97 2,93 
4 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 2,75 2,71 
5 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 2,58 2,54 
6 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 2,45 2,40 
7 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 2,34 2,30 
8 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,25 2,21 
9 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,18 2,13 
10 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,11 2,07 
11 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,06 2,40 
12 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,01 2,30 
13 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 1,79 2,21 
14 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 1,73 2,13 
15 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 1,90 2,07 
16 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 1,87 2,01 
17 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 1,84 1,96 
18 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,81 1,92 
19 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,79 1,88 
20 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,77 1,84 
21 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,74 1,68 1,81 
22 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,64 1,58 1,78 
23 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,53 1,47 1,76 
24 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,43 1,35 1,73 
25 2,15 2,09 2,01 1,96 1,92 1,78 1,32 1,22 1,71 
30 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 2,53 2,54 1,62 
40 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 29,5 19,5 1,51 
60 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 8,55 8,53 1,39 
120 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,59 5,66 5,63 1,25 
∞ 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 4,40 4,37 1,00 
),(
21
nnfα O 
α
Phụ lục 
 198 
PHỤ LỤC Vc: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ FISHER ),(
21
nnF 
MỨC 010,=α 
Bậc tự do 1n Bậc tự 
do 2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 4,052 5,000 5,403 5,625 5,764 5,859 5,928 5,982 6,023 6,056 
2 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 
3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 
4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 
5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 
6 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 
7 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 
8 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 
9 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 
10 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,70 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 
16 8,53 5,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 
17 8,40 6,71 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 
19 8,19 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,34 3,26 
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 
25 7,77 5,57 4,68 4,78 3,86 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 
∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 
),(
21
nnfα O 
α
Phụ lục 
 199
PHỤ LỤC Vd: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ FISHER ),(
21
nnF 
MỨC 010,=α 
Bậc tự do 1n Bậc tự 
do 2n 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 
1 6,106 6,157 6,209 6,235 6,261 6,287 6,313 6,339 6,366 
2 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 
3 27,1 26,9 26,7 26,6 26,5 26,4 26,3 26,2 26,1 
4 14,4 14,2 14,2 13,9 13,8 13,7 13,7 13,6 13,5 
5 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02 
6 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88 
7 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 
8 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 
9 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31 
10 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91 
11 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 
12 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36 
13 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,77 
14 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00 
15 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87 
16 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75 
17 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65 
18 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57 
19 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,56 2,49 
20 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42 
21 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36 
22 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31 
23 3.07 2.93 2.78 2.70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,36 
24 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,30 2,21 
25 2,99 2,85 2,70 2,62 2,53 2,45 2,36 2,27 2,17 
30 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01 
40 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,80 
60 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60 
120 2,34 2,10 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38 
∞ 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,00 
),(
21
nnfα 
α
Phụ lục 
 200
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 1999. 
[2]. Nguyễn Văn Phấn, Lương Hữu Thanh, Bài tập xác suất và thống kê, Đại Học Giao Thông 
Vận Tải, 1996. 
[3]. Tống Đình Quỳ, Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia 
Hà Nội, 2004. 
[4]. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, NXB Giáo dục, 
1997. 
[5]. Đặng Hùng Thắng, Bài tập xác suất, NXB Giáo dục - 1998. 
[6]. Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục,1999. 
[7]. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2000. 
[8]. Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), Các mô hình xác suất và ứng dụng, tập 1, 2, 3. NXB Đại Học 
Quốc Gia Hà Nội, 2000. 
[9]. Trần Mạnh Tuấn, Xác suất và Thống kê, lý thuyết và thực hành tính toán, NXB Đại Học 
Quốc Gia Hà Nội, 2004. 
[10]. Nguyễn Bác Văn, Xác suất và xử lí số liệu thống kê, NXB Giáo dục,1996. 
[11]. Nguyễn Cao Văn và Trần Thái Ninh, Bài giảng xác suất và thống kê toán, NXB 
Thống kê, Hà Nội 1999. 
[12]. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh và Nguyễn Thế Hệ, Bài tập lý thuyết xác suất và 
thống kê toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 2002. 
[13]. D. L. (Paul) Minh, Applied Probability Models, Duxbury, Thomson Learning, 2001. 
[14]. B.V. Gnedenko, The theory of probability, Mir publishers, Moscow 1976. 
[15]. Harald Cramer, Phương pháp toán học trong thống kê, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 
Hà Nội 1970. 
Tµi liÖu tham kh¶o 
LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN 
Mã số: 497XSU210 
Chịu trách nhiệm bản thảo 
TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 1 
(Tài liệu này được ban hành theo Quyết định số: 375/QĐ-TTĐT1 ngày 
22/05/2006 của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông) 
In tại : Công ty cổ phần In Bưu điện 
Số lượng : 2000 cuốn, khổ 19 x 26 cm 
Ngày hoàn thành : 01/06/2006.