Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 14 (39) - Thaùng 3/2016 
107 
 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco 
cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets 
ThS. Bùi Nguyên Trâm Ngọc 
Trường Đại học Đồng Nai 
M.A. Bui Nguyen Tram Ngoc 
The University of Dong Nai 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này. 
Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco. 
Abstract 
In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the 
sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence. 
Keywords: random sets, Mosco convergence 
1. Mở đầu 
Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng 
cách Hausdorff được sử dụng khi nghiên 
cứu các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các 
tập compact. Đối với biến ngẫu nhiên đa trị 
nhận giá trị là các tập đóng (có thể không 
bị chặn), người ta thường sử dụng các loại 
hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco và 
hội tụ Wijsman. Việc nghiên cứu các định 
lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị 
theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú 
vị và ý nghĩa. Trong thời gian gần đây, đã 
có nhiều tài liệu nghiên cứu về các định lí 
giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị 
theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], 
[4] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy 
nhiên, cho đến nay, trong các công trình 
khoa học, khi nói đến hội tụ Mosco, người 
ta chỉ đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắc 
chắn theo nghĩa Mosco. Trong bài báo này, 
chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo 
xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số 
tính chất của loại hội tụ này. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
Trong bài báo này, chúng tôi giả thiết 
rằng (Ω, A, P) là một không gian xác suất 
đầy đủ, ( , . )X là không gian Banach 
khả ly thực và *X là không gian đối ngẫu 
của nó. 
X
B là  -đại số Borel trên X . 
Ký hiệu ( )c X là họ tất cả các tập con 
đóng khác rỗng của không gian Banach 
X , là tập tất cả các số thực. Trên 
( )c X ta xác định một cấu trúc tuyến tính 
 108 
với các phép toán được định nghĩa như sau: 
{ : , }A B a b a A b B , 
{ : },A a a A  
trong đó , ( ),  X A B c . 
Cho , ( )A B c X , hàm khoảng cách 
(., )d A , khoảng cách Hausdorff 
( , )Hd A B , hàm tựa ( ,.)s A , chuẩn A 
của A được định nghĩa như sau: 
( , ) inf{ , },d x A x y y A x X , 
( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}H
x A y B
d A B d x B d y A
 , 
* * * *( , ) sup{ , : },s x A x y y A x X , 
sup{ : }A x x A . 
Kí hiệu: 
{ ( ) : }U C c C U  X , 
trong đó U X . 
( )c XB là  -đại số trên ( )Xc sinh 
bởi tất cả các tập U , với U là tập con mở 
của X . 
2.1. Biến ngẫu nhiên đa trị 
Một ánh xạ : ( )F c X được gọi 
là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập 
con mở U của X thì tập con 
1( ) { : ( ) }F U F U     A . 
Một phần tử ngẫu nhiên :f  X 
được gọi là một hàm chọn của biến ngẫu 
nhiên đa trị F nếu ( ) ( )f F  h.c.c. với 
mọi   . 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F , ta 
kí hiệu 
1
( ){ ( ) : }F cF
X
A U U B . 
Khi đó FA là  -đại số con bé nhất của 
A mà F đo được. 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo 
được F và với mỗi số thực 1p , ta kí 
hiệu 
( ) { ( , , , ) : ( ) ( )p pFS f L f F    F F X , h.c.c.}, 
với F là  -đại số con của A . 
Nếu F A thì ( )pFS F được viết 
gọn là 
p
FS . 
Một biến ngẫu nhiên đa trị 
: ( )F c X được gọi là khả tích nếu 
tập 
1
FS khác rỗng và được gọi là khả tích bị 
chặn nếu 
1F L . 
Một dãy { : 1}nF n của các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong ( )c X được gọi là hội tụ 
theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, 
kí hiệu 
( )H
nF F khi n , nếu dãy 
biến ngẫu nhiên { ( , ) : 1}H nd F F n hội tụ 
theo xác suất đến 0 khi n . 
2.2. Hội tụ Mosco 
2.2.1. Định nghĩa 
- Cho dãy nS các tập con của 
X ( X là không gian định chuẩn thực). Ta 
định nghĩa: 
lim { : lim , , 1}n n n ns S v v s v v S n - X -
lim { : lim , , 1}- X -
kn k k n
w S v v w v v S k 
với 
kn
S là một dãy con của dãy nS . 
Các tập lim ns S- và lim- nw S lần lượt 
gọi là giới hạn dưới theo topo mạnh trong 
X và giới hạn trên theo topo yếu trong 
X của dãy nS . 
- Cho dãy nS các tập con của X . 
Khi đó, ta nói dãy nS hội tụ theo nghĩa 
Mosco đến tập S X nếu, 
lim lim- -n ns S w S S 
Lúc này ta viết, 
( )M
nS S hay 
Lim nS S . 
109 
Rõ ràng, 
( )M
nS S khi và chỉ khi 
(i) lim nS s S - 
(ii) lim- nw S S 
2.2.2. Hội tụ của dãy các tập lồi 
Cho nS là dãy các tập con lồi, đóng 
của X . Khi đó, ta có (xem [5]): 
- Nếu 
( )M
nS S trong X thì S là 
tập con lồi, đóng của X . Ngoài ra, 
- Nếu S là tập con lồi, đóng của X và 
nS S , với mọi 1n thì dãy nS hội tụ 
theo nghĩa Mosco và Lim nS S . 
- Nếu Lim nS S và kS là một dãy 
con của dãy nS thì 
( )M
kS S khi 
k . 
- Nếu bất kì dãy con kS của dãy 
 nS chứa một dãy con { }hS hội tụ theo 
nghĩa Mosco đến S trong X thì 
dãy nS hội tụ theo nghĩa Mosco đến 
S trong X . 
Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu 
nhiên đa trị được định nghĩa tương tự như 
trên bằng cách thay thế nS bởi ( )nF  và 
S bởi ( )F  , các phát biểu là đúng h.c.c.. 
3. Hội tụ theo xác suất theo nghĩa 
Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
Trong phần này, ta xét sự hội tụ theo 
xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và ta sẽ chứng minh một 
số tính chất của loại hội tụ này. 
3.1. Định nghĩa 
Dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
{ : 1}nF n được gọi là hội tụ theo xác suất 
theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa 
trị F , kí hiệu ( )M
P
nF F khi n , 
nếu mọi dãy con { : 1}
kn
F k của dãy 
{ : 1}nF n , tồn tại một dãy con 
{ : 1}
kl
nF l của dãy { : 1}knF k sao cho 
( )
( ) ( )
kl
M
nF F  h.c.c. khi l 
Rõ ràng rằng nếu một dãy biến ngẫu 
nhiên đa trị hội tụ h.c.c. theo nghĩa Mosco 
thì sẽ hội tụ theo xác suất theo nghĩa 
Mosco. 
Để chứng minh các kết quả tiếp theo, 
ta cần bổ đề sau đây 
3.2. Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4]) 
Giả sử , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong không gian Banach khả 
ly X . Nếu ( ) lim ( )nF s F  - h.c.c., thì 
limsup ( , ( )) ( , ( ))n
n
d x F d x F 
với mọi x X , h.c.c.. 
Chứng minh 
Vì X là không gian khả ly, nên tồn tại 
tập D đếm được và trù mật trên X . Theo 
giả thiết, tồn tại tập N A sao cho 
( ) 0P N và với mọi \ N  , 
 ( ) lim ( )nF s F  - . (1) 
Cố định \ N  . Khi đó, với mỗi 
x D và mỗi p N , tồn tại 
( )y F  sao cho 
1
( , ( ))x y d x F
p
 . 
Từ (1), và với mỗi 1n , tồn tại 
( )n nf F  sao cho nf y khi n . 
Từ đó, 
limsup ( , ( )) lim
1
( , ( )) .
n n
nn
d x F f x
x y
d x F
p


 110 
Bằng cách cho p , ta nhận được 
limsup ( , ( )) ( , ( ))n
n
d x F d x F 
 . (2) 
Tiếp theo, ta lưu ý rằng hàm khoảng 
cách (., )d A là hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, 
với mọi AX và mọi ,x y X , 
( , ) ( , ) ( , )d x A d y A d x y x y . (3) 
Với x bất kỳ thuộc X , tồn tại dãy 
{ : 1}kx k D  sao cho lim k
k
x x
 . Khi 
đó, với mỗi 1n và mỗi 1k , 
 
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
 ( , ( )) ( , ( ))
 ( , ( )) ( , ( ))
n n k n
k n k
k
d x F d x F d x F d x F
d x F d x F
d x F d x F
   
 
 
  2 ( , ) ( , ( )) ( , ( )) (do (3)).k k n kd x x d x F d x F  
Cho n , ta có 
 limsup ( , ( )) ( , ( )) 2 ( , ) (do (2)).n k
n
d x F d x F d x x 
 Sau đó, cho k , ta nhận được 
 limsup ( , ( )) ( , ( )) 0.n
n
d x F d x F 
Điều này dẫn đến điều phải chứng minh. ■ 
Để tìm hiểu một số tính chất của loại 
hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng 
minh sự tồn tại của dãy các hàm chọn hội 
tụ h.c.c. của dãy các biến ngẫu nhiên đa trị 
hội tụ h.c.c. theo Mosco. 
Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm 
chọn đo được hội tụ h.c.c., ta được một số 
kết quả dưới đây. 
3.3. Định lí 1 
Cho , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong không gian Banach khả 
ly X . Nếu 
( )
( ) ( )
M
nF F  h.c.c. 
khi n , thì với mỗi 0Ff S , có một 
dãy 
0{ }
nn F
f S sao cho ( ) ( )nf f  
h.c.c. khi n . 
Chứng minh 
Với mỗi 
0
Ff S và 1n , ta đặt 
: ( )nG c X xác định bởi 
1
( ) { ( ) : ( ) ( ( ), ( )) }, n n nG x F f x d f F
n
       . (4) 
Khi đó ( )
X
A BnGr G  , ta có thể 
chọn một biến ngẫu nhiên : Xnf  
với ( ) ( )n nf G  h.c.c. 
Hơn nữa, 
( )
( ) ( )
M
nF F  h.c.c. 
khi n nên 
lim ( ) ( ) lim ( )- -n nw F F s F    . 
Do đó, theo bổ đề 3.2, ta được 
limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))n
n
d f F d f F   
với mọi x X , h.c.c. 
Vì vậy, 
( ( ), ( )) 0nd f F  h.c.c. khi n . 
Kết hợp với, 
1
( ) ( ) ( ( ), ( ))n nf f d f F
n
    h.c.c. (5) 
Ta được 0
nn F
f S và ( ) ( ) 0nf f  
h.c.c. khi n . ■ 
Cũng theo cách như trên, ta có được 
những kết quả sau. 
111 
3.4. Định lí 2 
Giả sử , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong không gian Banach khả 
ly X . Nếu 
( )
( ) ( )
M
nF F  h.c.c. 
khi n , thì với mỗi hàm chọn 
f { : 1}A nF n -đo được của F , có một dãy 
0{ ( )}A
n nn F F
f S sao cho ( ) ( )nf f  h.c.c. 
khi n . 
Chứng minh 
Với mỗi hàm chọn f { : 1}A nF n -đo 
được của F và với 1n , xét 
: ( )nG c X xác định như (4). 
Khi đó ( )
X
A BnGr G  , ta có thể 
chọn một biến ngẫu nhiên A
nF
-đo được 
: Xnf  với ( ) ( )n nf G  h.c.c. 
Như vậy ta có được điều cần chứng 
minh, cách chứng minh tương tự như trong 
định lí 1. ■ 
Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm 
chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta được một số 
kết quả sau. 
3.5. Định lí 3 
Giả sử , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong không gian Banach khả 
ly X . Nếu 
( )
( ) ( )
M
nF F  h.c.c. 
khi n , thì với mỗi 1Ff S , có một 
dãy 
1{ }
nn F
f S sao cho 
lim ( ) ( )n
n
f f 
 h.c.c. 
Chứng minh 
Giả sử 
1
Ff S và 1n , xét 
: ( )nG c X và : Xnf  như 
trong chứng minh định lí 1. 
Bằng cách lập luận tương tự như trong 
định lí 1, ta được 
( ( ), ( )) 0nd f F  h.c.c. khi n . 
Kết hợp điều này với 
1
( ) ( ) ( ( ), ( ))n nf f d f F
n
    
( ) (0, ( )) 1nf d F  h.c.c., (6) 
ta được 1
nn F
f S và ( ) ( ) 0nf f  
h.c.c. khi n . Vì vậy, ta có được điều 
cần chứng minh. ■ 
3.6. Định lí 4 
Giả sử , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị khả tích trong không gian 
Banach khả ly X . Nếu 
( )
( ) ( )
M
nF F  h.c.c. khi n , 
thì với mỗi f { : 1}A nF n -đo được trong 
1
FS , có một dãy 
1{ ( )}A
n nn F F
f S sao cho 
lim ( ) ( )n
n
f f 
 h.c.c. 
Chứng minh 
Với mỗi f { : 1}A nF n -đo được trong 
1
FS và với mỗi 1n , ta xét : ( )nG c X 
và : Xnf  như trong chứng minh 
định lí 1. Phần còn lại, ta chứng minh 
tương tự như trong định lí 3. ■ 
Bây giờ, ta chứng minh một tính chất 
quan trọng của hội tụ theo xác suất theo 
nghĩa Mosco. 
3.7. Định lí 5 
Cho { , , , 1}n nF F G n là tập hợp các 
biến ngẫu nhiên đa trị trong ( )Xc sao cho 
( ) 0n nF G khi n . Khi đó, 
( )M
nF F

 khi n nếu và chỉ nếu 
( )M
nG F

 khi n . 
Chứng minh 
Giả sử ( )MnF F

 khi n . 
 112 
Với mỗi dãy con { : 1}
kn
G k của dãy 
{ : 1}nG n , ta xét dãy con { : 1}knF k 
của dãy { : 1}nF n với tập chỉ số giống 
như dãy { : 1}
kn
G k . 
Vì ( )MnF F

 khi n nên 
theo định nghĩa 3.1, tồn tại một dãy con 
{ : 1}
kl
nF l của dãy { : 1}knF k sao cho 
( )
( ) ( )
kl
M
nF F  h.c.c. khi l . 
Do đó, ( ) lim ( )-
kl
nF s F  và từ đây 
với mỗi 
0
Ff S , theo bổ đề 3.2, ta được, 
limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
kl
n
l
d f F d f F   
 h.c.c., với mọi   , 
nên có một tập 1 AN thỏa mãn 
1( ) 0N và 
( ( ), ( )) 0
kl
nd f F  khi l , (7) 
với mọi 1\ N  . 
Mặt khác, với giả thiết ( ) 0n nF G 
khi n ta có 
( ( , ) 0) 0H n nd F G khi n . 
Điều này có nghĩa là, với mọi 0 , 
( ( , ) ) ( ( , ) 0) 0H n n H n nd F G d F G  
khi n . 
Do đó, dãy các biến ngẫu nhiên 
{ ( , ) : 1}H n nd F G n hội tụ theo xác suất đến 
0 khi n . Nên dãy { ( , ) : 1}
k kl l
H n nd F G l , 
với tập chỉ số giống như (7), hội tụ theo 
xác suất đến 0 khi l . Vì vậy, có một 
dãy con { ( , ) : 1}
k kl ls s
H n nd F G s của dãy 
{ ( , ) : 1}
k kl l
H n nd F G l và một tập 
2 AN thỏa mãn 2( ) 0N và 
( ( ), ( )) 0
k kl ls s
H n nd F G  khi s , (8) 
với mỗi 2\ N  . Lấy tập 
1 2N N N  , thì tập N có xác suất bằng 0. 
Như vậy, kết hợp (7) và (8), với mỗi 
0
Ff S và \ N  , 
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
k k k kl l l ls s s s
n n H n nd f G d f F d F G      
0 khi s . 
Khi đó, tồn tại dãy { }sx trong 
( )
kls
nG  sao cho ( ) 0sx f  khi 
s . Do đó, ( ) lim- s
s
f s x
 và 
( ) lim ( )-
lks
nf s G  . Vì vậy, 
( ) lim ( )-
kls
nF s G  . (9) 
Tiếp đến ta chứng minh 
lim ( ) ( )-
kls
nw G F  . 
Với mỗi lim ( )-
kls
nx w G  , tồn tại dãy 
{ }tx trong ( )
klst
nG  , là dãy con của 
( )
kls
nG  , sao cho lim- t
t
x w x
 . Với mỗi 
1t , ta chọn được dãy { }ty trong ( )
klst
nF  , 
sao cho 
1
( ( ), ( ))
k kl ls st t
t t H n nx y d F G
t
  . 
Do (8), ta được 0t tx y khi t . 
Khi đó, lim( ) 0- t t
t
s x y
 và dẫn 
đến lim( ) 0- t t
t
w x y
 . 
Mặt khác lim- t
t
x w x
 nên lim- t
t
x w y
 . 
Vì vậy, 
lim lim ( )- -
kls
t n
t
x w y w F 
 . 
113 
Ngoài ra, 
( )
( ) ( )
kls
M
nF F  h.c.c. 
khi s nên 
lim ( ) ( )-
kls
nw F F  . 
Điều này dẫn đến ( )x F  . 
Vì vậy, 
 lim ( ) ( )-
kls
nw G F  . (10) 
Từ (9) và (10), ta được 
( )
( ) ( )
kls
M
nG F  h.c.c. khi s . 
Theo định nghĩa 3.1, điều này có nghĩa 
là ( )MnG F

 khi n và định lí 
được chứng minh. ■ 
3.8. Định lí 6 
Cho , , 1nF F n là các biến ngẫu nhiên 
đa trị trong ( )Xc . Nếu ( )MnF F

 khi 
n , thì với mỗi 0Ff S , tồn tại một 
dãy 
0{ }
nn F
f S sao cho nf hội tụ theo xác 
suất đến f khi n . 
Chứng minh 
Với mỗi 
0
Ff S và với 1n , ta xét 
: ( )nG c X , : Xnf  như trong 
chứng minh định lí 1. Từ giả thiết 
( )M
nF F

 khi n , với mỗi dãy con 
{ : 1}
kn
f k của dãy { : 1}nf n , xét dãy 
con { : 1}
kn
F k của dãy { : 1}nF n với 
cùng tập chỉ số như của dãy { : 1}
kn
f k . 
Theo định nghĩa 3.1, tồn tại dãy con 
{ : 1}
kl
nF l của dãy { : 1}knF k sao cho 
( )
( ) ( )
kl
M
nF F  h.c.c. khi l . 
Điều này dẫn đến ( ) lim ( )-
kl
nF s F  . 
Tương tự như trong chứng minh định lí 1, 
ta có ( ( ), ( )) 0
kl
nd f F  h.c.c. khi 
l . Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta 
được ( ) ( ) 0
kl
nf f  khi l . 
Do đó từ (4) ta được 
0
nn F
f S và 
nf f

 khi n . ■ 
Bằng cách chứng minh tương tự như 
định lí 6, ta được kết quả sau. 
3.9. Định lí 7 
Cho , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong ( )Xc . Nếu 
( )M
nF F

 khi n , thì với mỗi 
hàm chọn f { : 1}A nF n -đo được của F , có 
một dãy 
0{ ( )}A
n nn F F
f S sao cho nf hội 
tụ theo xác suất đến f khi n . 
Kết hợp định lí 3 và định lí 6, ta được 
3.10. Định lí 8 
Cho , , 1nF F n là các biến ngẫu nhiên 
đa trị khả tích trong ( )Xc . Nếu 
( )M
nF F

 khi n , thì với mỗi 
1
Ff S , có một dãy 
1{ }
nn F
f S sao cho nf 
hội tụ theo xác suất đến f khi n . 
Kết hợp định lí 4 và định lí 6, ta được 
kết quả dưới đây 
3.11. Định lí 9 
Cho , , 1nF F n là các biến ngẫu 
nhiên đa trị khả tích trong ( )Xc . Nếu 
( )M
nF F

 khi n , thì với mỗi 
f { : 1}A nF n -đo được trong 
1
FS , có một 
dãy 
1{ ( )}A
n nn F F
f S sao cho nf hội tụ 
theo xác suất đến f khi n . 
 114 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. S. Li, Y. Ogura and V. Kreinovich (2002). 
Limit theorems and applications of set-
valued and fuzzy set-valued random 
variables. Theory and Decision. Series B: 
Mathematical and Statistical Methods, 
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 
The Netherlands. 
2. Ilya Molchanov (2005). Theory of Random 
sets. Springer, London. 
3. U. Mosco (1969). “Convergence of convex 
sets and of solutions of variational 
inequalities”. Adv. in Math., 3, 510-585. 
4. N.V.Quang and D.X.Giap (2014). 
Convergence in Probability in the sense of 
Wijsman and the multivalued weak law of 
large numbers for unbounded random sets 
(Manuscript). 
5. N.V.Quang and D.X.Giap (2013). “Mosco 
convergence of SLLN for triangular arrays of 
rowwise independent random sets”. Statistics 
and Probability Letters, 83, 1117-1126. 
Ngày nhận bài: 25/01/2016 Biên tập xong: 15/03/2016 Duyệt đăng: 20/03/2016