Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu

64
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
CALIBRATE THE EQUATION OF EQUILIBRIUM
Nguyễn Thị Thanh Hải1, Nguyễn Thị Huệ2, Lê Nam Trung1
Email: minhhuesaodo@gmail.com 
1Trường Sĩ quan Phòng hóa, Binh chủng Hóa học 
2Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 21/5/2018 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 22/9/2018 
Ngày chấp nhận đăng: 28/9/2018
Tóm tắt
Trong bài toán hiệu chỉnh, nếu f là một song hàm đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất 
nghiệm. Tuy nhiên, nếu f là một song hàm giả đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh không còn là đơn điệu 
mạnh hay đơn điệu, thậm chí không là giả đơn điệu. Do đó bài toán hiệu chỉnh nói chung không có 
nghiệm duy nhất, thậm chí tập nghiệm là không lồi. Bài báo trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 
và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Chúng tôi khẳng định 
được rằng bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm khi bài toán gốc có nghiệm và mặc dù bài toán hiệu 
chỉnh không có nghiệm duy nhất nhưng mọi quỹ đạo nghiệm của nó đều có cùng một giới hạn. 
Từ khóa: Giả đơn điệu; bài toán cân bằng; bài toán hiệu chỉnh.
Abstract
In the calibration problem, if f is a monotonic function, the calibration problem is unique solution. 
However, if it is a monotone denture, the calibration problem is not monotonous or monotonous, not 
even monotone. Therefore the calibration problem generally has no single solution, even the experiment 
is not convex.This article presents Tikhonov’s method of calibration and the approach to calibration for 
the monotone equilibrium problem. We assert that the calibration problem approximates the solution 
when the original problem has the solution and although the problem there is no single solution, but 
every fund of its own has the same limit.
Keywords: Simplified; equilibrium problem; calibration problem.
1. GIỚI THIỆU
Bài toán cân bằng lần đầu tiên được đưa ra vào 
năm 1955 bởi H. Nikaido, K. Soda nhằm tổng 
quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi 
không hợp tác, và vào năm 1972 nó được xét 
đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởi 
tác giả Ky Fan. Bài toán thường được sử dụng 
để thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết trò chơi 
(Games Theory).
Các hướng nghiên cứu đang được chú trọng đối 
với bài toán cân bằng là: Nghiên cứu những vấn 
đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập 
nghiệm, tính ổn định và định lượng như phương 
pháp giải, tính hội tụ. Trong việc nghiên cứu 
những vấn đề này, các phương pháp giải đóng 
một vai trò rất quan trọng. Đến nay đã có một số 
kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân 
bằng với các giả thiết lồi và đơn điệu, trong đó chủ 
yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề, phương 
pháp nguyên lý bài toán phụ, phương pháp hiệu 
chỉnh Tikhonov.
Bài toán cân bằng khi hàm f không có tính đơn 
điệu mạnh, nói chung là bài toán đặt không chỉnh 
theo nghĩa bài toán không có duy nhất nghiệm 
hoặc nghiệm của nó không ổn định theo dữ kiện 
ban đầu. 
Trong bài báo, chúng tôi sẽ trình bày phương 
pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm 
gần kề cho bài toán cân bằng khi hàm f là một 
song hàm giả đơn điệu. Ý tưởng chính của các 
phương pháp này là: Xây dựng các bài toán hiệu 
chỉnh bằng cách thêm vào toán tử của bài toán 
gốc một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào 
tham số sao cho bài toán hiệu chỉnh có nghiệm 
duy nhất. Khi đó, với các điều kiện phù hợp, dãy 
lặp nhận được bằng cách giải bài toán hiệu chỉnh, 
có giới hạn là một nghiệm nào đó của bài toán 
gốc khi cho tham số dần tới một điểm giới hạn 
thích hợp.
Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh
 2. TS. Đào Trọng Quyết
65
NGÀNH TOÁN HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng một số kí 
hiệu, kiến thức, kết quả đã được trình bày trong 
[1, 2, 3].
Kí hiệu:H là một không gian Hilbert thực. 
Giả sử C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và 
 thỏa mãn ( )f x,x 0= với 
mọi x C∈ . Khi đó ta gọi hàm f là một song hàm 
cân bằng trên C .
Song hàm là song hàm giả 
đơn điệu nếu: ( ) ( )f x, y 0 f y,x 0, x, y C≥ ⇒ ≤ ∀ ∈ .
Bài toán cân bằng: Cho f là một song hàm cân bằng 
trênC. Tìm *x C∈ sao cho ( )*f x , y 0, y C≥ ∀ ∈ . 
Ta kí hiệu bài toán này là ( )EP C, f và gọi là bài 
toán cân bằng, tập nghiệm của nó được kí hiệu 
là ( )S C, f .
Một số giả thiết khi xét sự tồn tại nghiệm của bài 
toán cân bằng.
Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và
. Giả thiết:
(A1). ( )f ., y là hàm nửa liên tục trên, yếu trên H 
đối với mỗi x C∈ .
(A2). ( )f x,. là hàm lồi, nửa liên tục dưới yếu trên 
H và khả vi trên ( )domf x,. đối với mỗi x C∈ .
Mệnh đề 2.1
Giả sử f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2). Xét các 
mệnh đề sau:
1. Tồn tại một vectơ 0y C∈ sao cho 
 là một tập bị chặn.
2. Tồn tại một hình cầu đóng B ⊆ H và một vectơ 
 sao cho ( )0f x, y 0, x C \ B< ∀ ∈ .
3. Tập nghiệm ( )S C, f của bài toán là 
khác rỗng và compact yếu.
3. HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ 
ĐƠN ĐIỆU
Bài toán cân bằng trong trường hợp f là song hàm 
giả đơn điệu là bài toán đặt không chỉnh. Vấn 
đề đặt ra là tìm cách hiệu chỉnh để xét tính duy 
nhất nghiệm, tính ổn định nghiệm của bài toán 
cân bằng.
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong 
những phương pháp cơ bản thường được sử 
dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng 
của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài 
toán cân bằng là thay song hàm f bằng một song 
hàm f : f gε ε= + , trong đó 0ε > là tham số hiệu 
chỉnh và g là song hàm đơn điệu mạnh được gọi 
là song hàm hiệu chỉnh, sau đó xét bài toán cân 
bằng với song hàm fε . Xét bài toán cân bằng:
Tìm *x C∈ sao cho .
trong đó C là một tập lồi đóng trongH 
là một song hàm giả đơn điệu trên C. Khi đó bài 
toán hiệu chỉnh được xây dựng như sau: Tìm 
x C∈ sao cho
( )
trong đó ( )g x, y là một song hàm đơn điệu mạnh 
được gọi là song hàm hiệu chỉnh, 0ε > là tham số 
hiệu chỉnh. 
Định lý sau đây cho thấy, khi song hàm cân bằng 
f là giả đơn điệu, bài toán hiệu chỉnh ( )EP C, fε
có nghiệm khi và chỉ khi bài toán ban đầu ( )EP C, f
có nghiệm và mặc dù không có nghiệm duy nhất 
nhưng mọi quỹ đạo nghiệm của nó đều hội tụ đến 
nghiệm của bài toán ( )EP C, fε gần với nghiệm dự 
đoán xg nhất.
Định lý 3.1: Giả sử f là giả đơn điệu trên C và 
thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2). Khi đó các khẳng 
định sau là tương đương: 
1. khác rỗng với mọi 0ε > và ( )
0
lim x
ε
ε
+→
tồn tại, với ( )x ε chọn tùy ý trong .
2. khác rỗng với mọi 0ε > và 
( )
0
lim sup x
ε
ε
+→
< ∞ với ( )x ε chọn tùy ý trong .
3. 
Hơn nữa, nếu một trong các khẳng định trên được 
thỏa mãn thì trong đó *x là nghiệm 
duy nhất của bài toán cân bằng với 
 là một song hàm đơn điệu mạnh 
thỏa mãn 
Ngoài ra, nếu g là song hàm khoảng cách thì x* 
là hình chiếu của xg trên tập nghiệm của bài toán
( )EP C, f .
Tuy nhiên, nhiều khi bài toán hiệu chỉnh còn khó 
giải hơn bài toán ban đầu, vì vậy để hạn chế 
phần nào nhược điểm nói trên ta thay thế bất 
đẳng thức trong bài toán ( )EP C, fε
bởi bất đẳng thức ( )f x, yε δ≥ - trong đó 0δ ≥ là 
một hằng số cho trước. Khi đó bài toán ( )EP C, fε
với song hàm hiệu chỉnh là song hàm khoảng cách 
 trở thành bài toán hiệu chỉnh: 
Tìm x C∈ sao cho
( ) ( ): gf x, y f x, y x x , y x , y C.ε ε δ= + - - ≥ - ∀ ∈ 
( ( )EP C, fδ ε )
Kí hiệu là tập nghiệm của bài toán
( )EP C, fδ ε .
66
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
Nhận xét:
Nếu x thỏa mãn ( )f x, y 0ε ≥ với mọi y C∈ thì 
cũng thỏa mãn ( )f x, yε δ≥ - với mọi y C∈ , do đó
( ) ( )S C, f S C, fδ ε δ ε⊆ .
Bổ đề 3.1: Giả sử f là giả đơn điệu trên C . Khi 
đó với mọi ( )0, 0,x S C, fε δ> ≥ ∈ , ( )x S C, fδ∈ và 
gx C∈ ta có:
1) ( ) ( )
2 22g gx x x x x x 2 .δε ε
ε
- + - ≤ - +
2) ( )
2g gx x x xS C, f B 0, C.
2 2δ ε
δ
ε
 
+ - ⊂ + + ∩  
 
3) ( )
2g g
g x x x xx x .
2 2
δ
ε
ε
+ -
- ≤ + +
trong đó kí hiệu ( )B x,r là hình cầu đóng tâm x, bán kính r.
Chứng minh. Giả thiết ( )x S C, f∈ do f là giả đơn 
điệu nên ta có
( ) ( )f x, y 0 f y,x 0, y C.≥ ⇒ ≤ ∀ ∈ (1)
Do ( ) ( )x S C, fδ εε ∈ nên
( )( ) ( ) ( )gf x , y x x , y x , y C.ε ε ε ε δ+ - - ≥ - ∀ ∈ (2)
Thay ( )y x ε= vào bất đẳng thức thứ hai trong 
công thức (1) và thay y x= vào công thức (2) ta 
được 
và
Từ đó ta có
Do đó
( ) ( )
2 22g gx x x x x x 2 .δε ε
ε
- + - ≤ - +
Vậy 1) được chứng minh.
Mặt khác, ta có
( ) ( )
2 22g g g gx x x x x x x x 2 .δε ε
ε
  - + - - - ≤ - +   
Trong đó
( ) ( )
2g g gx x x x ,x x δε ε
ε
- - - - ≤
Do đó
( ) ( )
2 2g g
gx x x xx x x
2 2
ε ε
+ -
- = - -
( ) ( )
g2g g g
g
x xx x x x ,x x
2
x x .
2
-
= - - - - +
-
≤ +
ε ε
δ
ε
( ) ( )
g2g g g
g
x xx x x x ,x x
2
x x .
2
-
= - - - - +
-
≤ +
ε ε
δ
ε
Khi đó: 2), 3) được chứng minh.
Bổ đề tiếp theo cho biết tính chất và cấu trúc 
của tập δ - nghiệm của bài toán hiệu chỉnh khi 
bài toán gốc có nghiệm.
Bổ đề 3.2: Giả sử f là giả đơn điệu trên C và thỏa 
mãn các giả thiết (A1), (A2). Khi đó, nếu tập nghiệm 
( )S C, f là khác rỗng thì với mọi 0, 0ε δ> > tập δ -
nghiệm ( )S C, fδ ε là khác rỗng và compact yếu.
Chứng minh:
Theo Mệnh đề 2.1, ta luôn tìm được một vectơ 
0y C∈ sao cho tập
( ) ( ){ }0 0L y , f : x C : f x, y .δ ε ε δ= ∈ ≥ - là bị chặn.
Lấy ( )0y S C, f∈ và ( )0x L y , fδ ε∈ . Từ định nghĩa 
của ( )0L y , fδ ε ta có
( ) ( )0 0 g 0f x, y : f x, y x x , y xε ε δ= + - - ≥ -
Từ điều kiện ( )0f y ,x 0≥ , do f là giả đơn điệu 
nên ta có ( )0f x, y 0≤ .
Do đó: g 0x x , y x δ
ε
- - ≥ -
Khi đó:
Từ đó
2 2 2g 0 g 0x x x y x y 2 .δ
ε
- + - ≤ - +
Trong đó
2 2 2g 0 g 0x x x y x y 2 δ
ε
- + - ≤ - +
suy ra 
( )2g 0 g 0x x y x 2 , x L y , fδ εδε≤ + - + ∀ ∈
Vậy tập ( )0L y , fδ ε là bị chặn.
Định lý dưới đây cho thấy dãy σ - nghiệm 
của các bài toán hiệu chỉnh sẽ hội tụ mạnh 
về nghiệm của bài toán gốc gần với nghiệm 
phỏng đoán gx nhất khi , 0ε σ → , 0ε σ . Điều này cho 
thấy rằng, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp 
xỉ vẫn ổn định đối với bài toán cân bằng giả đơn 
điệu trong không gian Hilbert.
Định lý 3.2: Giả sử f giả đơn điệu trên C , thỏa 
mãn các giả thiết (A1), (A2) và tập nghiệm của 
bài toán ( )E C, f khác rỗng. Cho { } { }k k,ε σ là hai 
dãy số dương đơn điệu giảm về 0 và thỏa mãn 
67
NGÀNH TOÁN HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
k k0, 0ε σ→ → khi k → ∞ . Khi đó
a) Với mọi k ∈ ¥ , tập kδ - nghiệm ( )k kSE C, fδ ε
khác rỗng, compact yếu và
2 22g k k g k
k
x x x x x x 2
δ
ε
- + - ≤ - + (3)
trong đó ( ) ( )k kk gx SE C, f , x SE C, f , x C.δ ε∈ ∈ ∈
b) Dãy { }kx trong đó kx được chọn tùy ý trong 
( )k kSE C, fδ ε , hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất *x
của bài toán cân bằng , với 
và ( ) gg x, y : x x , y x= - - . Hơn nữa, *x chính là 
hình chiếu của gx trên ( )SE C, f .
Chứng minh: a) Chỉ cần áp dụng các bổ đề 3.1 -1), 
và bổ đề 3.2 với ( ) k kx x ,ε ε ε= = và kδ δ= .
b) Vì ( )SE C, f khác rỗng nên ta có thể lấy tùy 
ý ( )x : SE C, f= . Theo khẳng định a), tập kδ -
nghiệm của ( )kE C, fε là khác rỗng với mọi k ∈ ¥ . 
Lấy tùy ý ( )k kkx SE C, fδ ε∈ . Khi đó: với mỗi k ∈ ¥ , 
ta có:
( )
( ) ( )k
k
k k k g k
k k
f x,x 0
.
f x,x : f x,x x x ,x xε ε δ
 ≥

= + - - ≥ -
Do k ∈ giả đơn điệu nên từ bất đẳng thức thứ 
nhất suy ra ( )kf x ,x 0≤ . Do đó, từ bất đẳng thức 
thứ hai, ta nhận được 
( )k k g k k
k
g x ,x : x x ,x x , k.
δ
ε
= - - ≥ - ∀ (4)
Mặt khác, vì k
k
0
δ
ε
→ nên nó bị chặn, tức là 
k
k
M 0 : 0 M , k.
δ
ε
∃ > ≤ ≤ ∀
Áp dụng các tính chất 2) và 3) trong bổ đề 3.1 với 
( ) k k kx x , ,ε ε ε δ δ= = = , ta có
( )k k
g
k
2g
k
k
g
2g
x x0,
2
x SE C, f B C
x x
2
x x0,
2
 B C, k.
x x M
2
δ ε
δ
ε
 +
 
 
∈ ⊂ ∩ 
 -
+ +  
 
 +
 
 
⊂ ∩ ∀ 
 -
+ +  
 
và 
2g g
k g k
k
x x x xx x , k.
2 2
δ
ε
+ -
- ≤ + + ∀ (5)
Vì 
2g gx x x xB 0, M C, k
2 2
 
+ - + + ∩ ∀  
 
 là tập 
compact yếu nên có một dãy con { } { }jk kx x⊂ 
sao cho
Do jkx là 
jk
δ - nghiệm của bài toán ( )k jE K , fε nên 
Bởi và ( )f ., y nửa liên tục trên yếu 
nên
( ) ( ) ( )j jk jj j
k k *
k k
0 lim f x , y lim f x , y f x , y , y Cε→∞ →∞≤ ≤ ≤ ∀ ∈
Chứng tỏ . Hơn nữa, sử dụng 
(4) với jk k= ta có
( ) jj j j
j
kk k kg
j
k
g x ,x : x x ,x x , k
δ
ε
= - - ≥ - ∀
và vì j j
j
k kg * g *
k
0 lim x x ,x x x x ,x x .
→∞
≥ - - ≥ - -
nên ( )* * g *g x ,x : x x ,x x 0.= - - ≥
Vì x là một phần tử tùy ý của nên suy ra *x
là nghiệm của bài toán . Do g đơn điệu 
mạnh trên C chứa , vì vậy bài toán có 
duy nhất nghiệm. 
Như vậy, ta đã chứng minh được { }kx bị chặn và 
bất kỳ điểm giới hạn yếu nào của nó cũng là ngiệm 
duy nhất *x của bài toán . Do đó toàn bộ 
dãy{ }kx phải hội tụ yếu về *x . Thay *x x= vào bất 
đẳng thức (5), ta được
2* g * g
k g k
k
x x x xx x , k
2 2
δ
ε
- -
- ≤ + + ∀
Vì k
k
0
δ
ε
→ khi k→∞ nên
* g
k g * g
2k k * g
k
k
x x
2
lim x x lim x x .
x x
2
δ
ε
→∞ →∞
 -
 
 
- ≤ = - 
 -
+ + 
 
Do đó dãy { }k gx x- hội tụ mạnh về * gx x- , do đó 
{ }kx cũng hội tụ mạnh về *x . Hơn nữa, từ (3) ta có
22k g g k
k
x x x x 2 , k
δ
ε
- ≤ - + ∀
Cho k → ∞ ta nhận được 
k g gx x x x .- ≤ - (6)
Khi đó tập nghiệm ( )SE C, f là lồi, đóng và khác 
rỗng nên hình chiếu của gx trên ( )SE C, f được xác 
định duy nhất, và từ (6) ta thấy, hình chiếu đó 
chính là *x .
68
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
3.2. Phương pháp điểm gần kề
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương 
pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn 
điệu. Kết quả hội tụ của phương pháp này cho 
thấy phương pháp điểm gần kề cũng có thể sử 
dụng cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Điểm 
khác biệt cơ bản với phương pháp hiệu chỉnh 
Tikhonov là trong phương pháp điểm gần kề tại 
mỗi bước lặp, bài toán hiệu chỉnh chỉ phụ thuộc 
vào điểm lặp ở bước trước và tham số hiệu chỉnh 
kc 0> không cần dần đến 0.
Xuất phát từ một điểm 0 gx : x C= ∈ cho trước, tại 
mỗi bước lặp k = 1, 2, 3... xét bài toán hiệu chỉnh: 
Tìm kx C∈ sao cho:
( ) ( )k k k k 1 kk k
k
f x , y : f x , y c x x , y x
 , y C.δ
-= + - -
≥ - ∀ ∈
trong đó tham số kx 0> và sai số k 0δ ≥ cho trước. 
Ta gọi nghiệm của bài toán hiệu chỉnh trên là kδ - 
nghiệm và kí hiệu tập tất cả các kδ - nghiệm là
( )
k k
S C, fδ . Gọi dãy { }kx với ( )kk kx S C, fδ∈ là một 
quỹ đạo xấp xỉ gần kề.
Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng, đối với bài toán cân 
bằng giả đơn điệu, mặc dù bài toán hiệu chỉnh 
không có duy nhất nghiệm nhưng mọi quỹ đạo 
xấp xỉ đều có cùng một giới hạn.
Định lý 3.3: Giả sử f là giả đơn điệu trên C thỏa 
mãn các giả thiết (A1), (A2) và bài toán ( )EP C, f là 
có lời giải. Lấy { }kc và { }kδ là hai dãy số dương 
sao cho kc c , k≤ < ∞ ∀ và k
k 1 kc
δ∞
=
< +∞∑ . Khi đó:
1. Đối với mỗi k ∈ ¥ tập nghiệm ( )
k k
S C, fδ là khác 
rỗng, đóng và bị chặn đều. Khi đó ta có:
 2 22k 1 k k k 1 k
k
x x x x x x 2 .
c
δ- -- + - ≤ - + (7)
trong đó ( ) ( )k
k
kx S C, f ,x S C, fδ∈ ∈ ( ) ( )k
k
kx , f ,x , fδ .
2. Xét dãy { }kx bất kỳ, trong đó kx chọn tùy ý trong 
tập ( )
k k
S C, fδ , hội tụ yếu đến một nghiệm của bài 
toán ( )EP C, f . Hơn nữa, nếu { }kx có một điểm hội 
tụ mạnh, khi đó toàn bộ dãy sẽ hội tụ mạnh đến 
một nghiệm của bài toán ( )EP C, f ban đầu.
Chứng minh:
1. Từ Bổ đề 3.2 với g k 1x x C-= ∈ và kc 0ε = > ta 
thấy, với mọi k=1; 2; 3... tập nghiệm của bài toán 
cân bằng ( )kEP C, f là đóng, rỗng và bị chặn đều.
Áp dụng ý 1) trong Bổ đề 3.1 
với ( )g k 1 kk kc ,x x ,x x , .ε ε δ δ-= = = =
Ta được
2 22k 1 k k k 1 k
k
x x x x x x 2 .
c
δ- -- + - ≤ - +
là điều phải chứng minh.
2. Gọi x là điểm bất động bất kỳ trong tập nghiệm 
của bài toán ( )kEP C, f , lấy ( )k
k
kx S C, fδ∈ với
k 1≥ . Từ (7) ta có
2 2k k 1 k
k
x x x x 2 .
c
δ-- ≤ - + (8)
Từ k
k 1 kc
δ∞
=
< +∞∑ ta có
k
x
lim x x µ
→∞
- = < ∞ . (9)
Dùng bất đẳng thức (7) ta có thể viết lại như sau
2 22k k 1 k 1 k k
k
x x x x x x 2 .
c
δ- -- ≤ - - - +
Khi đó, do (9) và k
k
0
c
δ
→ khi k ∈ ¥ k → ∞ , ta có
k k 1
k
lim x x 0.-
→∞
- =
 (10)
Đặt j
j 1 j
M : 2
c
δ∞
=
= < ∞∑ .
Khi đó, từ (8)
k2 2 2k g gi
j 1 k
x x x x 2 x x M k.
c
δ
=
- ≤ - + ≤ - + ∀∑
2k gx x x x M k.⇒ - ≤ - + ∀
2k gx x x x M k.⇒ ≤ + - + ∀
( )
k
2k g
kx S C, f B 0, x x x M C.δ
 
⇒ ∈ ⊂ + - + ∩ 
 
Do { }kx là bị chặn nên tồn tại một dãy con 
{ } { }k kjx x≤ sao cho
Do { }kx là một jkδ - nghiệm của bài toán cân bằng 
( )jkEP C, f với mọi jk , ta có
( )j j j jj j jk k k 1 kk k kf x , y c x x , y x , y Cδ-+ - - ≥ - ∀ ∈ (11)
Kết hợp với (10), với f là nửa liên tục trên yếu, 
và điều kiện cùng với (11), 
trong đó
( ) ( ) ( )j jj
j j
k k *
kk k
0 lim f x , y lim f x , y f x , y , y C
→∞ →∞
≤ ≤ ≤ ∀ ∈
cho thấy ( )*x S C, f∈ .
Ta cần chỉ ra rằng *x là điểm tụ yếu duy nhất 
của{ }kx .
Thật vậy, giả sử 
* *
1 2x ,x là hai điểm tụ yếu phân biệt 
của{ }kx . Khi đó ( )* *1 2x ,x S C, f∈ .
69
NGÀNH TOÁN HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018
Áp dụng (9) với * *1 2x ,x đóng vai trò như x ta được
k *
1 ik
lim x x , i 1,2.µ
→∞
- = =1; (12)
Rõ ràng
2 2 2k * * k * k * * *
1 1 2 2 1 1 22 x x ,x x x x x x x x .- - = - - - - - (13)
Do *1x là một điểm tụ yếu của { }kx từ (12), (13) 
dẫn đến
2 1
2k * * 2 2 * *
1 1 2 1 2k
0 2 lim x x ,x x x x .µ µ
→∞
= - - = - - - 
Do đó 2 1
22 2 * *
1 2x x 0.µ µ- = - >
Thay đổi vai trò của *1x và *2x cho nhau và lập luận 
tương tự ta cũng thu được kết quả
2
22 2 * *
1 2 1x x 0.µ µ- = - >
Điều này là vô lý. Vậy *x là duy nhất.
Giả sử dãy con { } { }jk kx x⊆ hội tụ mạnh tới *x ∈H . 
Khi đó ( )*x C, f∈ S .
Áp dụng công thức (8) với *x x= ta được
 (14)
Với 0γ > bất kỳ, do j
j
k *
k
lim x x 0
→∞
- = và
k
k 1 kc
δ∞
=
< +∞∑ , lấy sao cho 
lk *x x
2
γ
- ≤ và
l
2
i
i k 1 ic 4
δ γ∞
= +
<∑ .
Do đó, với lk k 1> + , từ (14) ta được
2 2k * k 1 *
k 2 * k k 1
k k 1
k 11 * k k 1
k k 1 k 1
2 2
x x x x 2
 x x 2
c c
 ...
 x x 2 ...
c c c
 .
2 2
δ δ
δ δ
γ γ
- +
- ≤ - +
 
≤ - + + 
 
≤
 
≤ - + + + +  
 
≤ + =
Do đó k * lx x , k k 1γ- ≤ ∀ > + .
Vậy, với tùy ý ta luôn có
k *
k
lim x x 0
→∞
- = .
hay{ }kx hội tụ mạnh về *x , vậy ta có điều cần 
chứng minh.
Kết luận:
Chúng ta đã chứng tỏ được rằng, bài toán hiệu 
chỉnh xấp xỉ có nghiệm khi bài toán gốc có nghiệm 
và bất kỳ dãy nghiệm nào của các bài toán hiệu 
chỉnh xấp xỉ cũng hội tụ về cùng một nghiệm của 
bài toán gốc, nghiệm này cũng chính là hình chiếu 
của nghiệm phỏng đoán lên tập nghiệm của bài 
toán ( )E C, f trong trường hợp sử dụng phương 
pháp hiệu chỉnh Tikhonov hay phương pháp điểm 
gần kề. 
Xét tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh 
Tikhonov và phương pháp điểm gần kề đối với bài 
toán cân bằng giả đơn điệu.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đỗ Văn Lưu (2009). Giải tích hàm. NXB Khoa học 
và Kỹ thuật, Hà Nội.
[2]. Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu 
Điển (2015). Giáo trình giải tích lồi ứng dụng. NXB 
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]. Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005). Bài toán đặt 
không chỉnh. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4]. Bui V. Dinh, Pham G. Hung, Le D. Muu (2014). 
Bilevel optimization as a regularization approach to 
pseudomonotone equilibrium problems, Numerical 
Functional Analysis and Optimization. 35:539-563.
[5]. Pham G. Hung, Le D. Muu (2011). The Tikhonov 
regularization extended to equilibrium problems 
involving pseudomontone bifunctions. Nonlinear 
Analysis 74:6121-6129.
[6]. M. Bianchi and S. Schaible (1996). Generalized 
monotone bifunctions and equilibrium problems. 
Journal of Optimization Theory and Applications. 
90:31-43.
[7]. G. Mastroeni (2003). On auxiliary priciple for 
equilibrium problems. Kluwer Academic, Dordrecht, 
pp. 289-298.
[8]. L. D. Muu (1984). Stability property of a class of 
variational inequality. Optimization 15:347-351.