Giáo trình Xử lý ảnh - Chương 14: Biến đổi sóng con

 244 
Ch­¬ng 14 
BIẾN ĐỔI SÓNG CON 
14.1. GIỚI THIỆU 
Những quan tâm chính trong thời gian gần đây là việc phát triển các kỹ thuật biến 
đổi mới. Nhận biết địa chỉ các vấn đề đối với việc nén ảnh, các cạnh và các đặc trưng 
cần nhận biết khác, cũng như việc phân tích cấu trúc ảnh. Các kỹ thuật được biết đến 
như phân tích đa giải pháp, phân tích phổ thời gian, thuật toán hình chóp, và biến đổi 
sóng con (Wavelet). 
Trong chương này, chúng ta sẽ xem lại một vài giới hạn trong biến đổi cổ điển 
Fourier và biến đổi tương tự Fourier và định nghĩa ba loại biến đổi sóng con. biến đổi 
sóng con mở ra một triển vọng cải thiện được cho các chương trình ứng dụng. Chúng 
ta sẽ sơ qua lịch sử phát triển dẫn tới phép phân tích sóng con, nên nhớ biến đổi 
tương tự có khuynh hướng thống nhất các cách tiếp cận khác nhau với mục đích 
quan trọng là biến đổi sóng con. Phần sau trong chương này, chúng ta sẽ minh hoạ 
một vài ứng dụng của biến đổi sóng con. 
Chúng ta hạn chế biến đổi sóng con với các giá trị thực, tính toán được, các hàm 
tính tích phân của một hoặc hai chiều, bao gồm các tín hiệu và các ảnh mà chúng ta 
quan tâm. Như trước, để đơn giản chúng ta giới thiệu các khái niệm một chiều và sau 
đó tổng quát hoá nó trong hai chiều cho các chương trình ứng dụng. Chúng ta bắt đầu 
bằng cách giới thiệu ba loại biến đổi cơ sở của sóng con. Sau đó chúng ta minh hoạ 
một vài trường hợp cụ thể của sóng con và một vài chương trình ứng dụng của sóng 
con. 
14.1.1. Sóng và sóng con 
Trở lại biến đổi Fourier mà chúng ta đã sử dụng, các hàm cơ sở, sóng hình sin. 
Chúng được gọi với tên như vậy vì nó giống như sóng của đại dương và được truyền 
trong các phương tiện khác. Đối với biến đổi tích phân mà hai cận ở vô cùng. Các 
vec tơ của biến đổi Fourier rời rạc cũng là các số khác 0 trên toàn miền xác định; tức 
là, chúng không được hỗ trợ trọn gói. 
Ngược lại, các thành phần tín hiệu tức thời chỉ khác 0 trong một khoảng thời gian 
ngắn, nhiều đặc điểm quan trọng trong ảnh (các biên chẳng hạn) cũng được định vị 
trong không gian. Các thành phần kể trên không giống các hàm cơ sở của biến đổi 
Fourier và chúng không được thể hiện đầy đủ trong các hệ số biến đổi (chẳng hạn 
như phổ tần số), sẽ đề cập đến sau này. Việc này làm cho biến đổi Fourier và các 
biến đổi sóng khác, như đã đề cập trong phần trước của chương, ít các tuỳ chọn cho 
phép nén và phân tích tín hiệu và ảnh trong các thành phần tạm thời hay cố định. 
Tính chất khá tốt đó là, chúng ta chú ý biến đổi Fourier có thể đưa ra các hàm 
phân tích chẵn của một tín hiệu tức thời hẹp như tổng của tín hiệu hình sin. Thực 
hiện việc này, rất phức tạp cho việc huỷ bỏ các sóng hình sin để tạo ra các hàm có 
giá trị 0 trong chủ yếu các khoảng thời gian. Một cách đúng đắn cho việc thực hiện 
biến đổi ngược, nhưng bỏ đi các phổ hơn là việc làm rối tung các hàm. 
 245 
Bạn có thể hiểu một cách không đầy đủ, các nhà toán học và các kỹ sư đã mở rộng 
một vài cách tiếp cận sử dụng biến đổi với các hàm cơ sở với khoảng tồn tại giới hạn. 
Các hàm cơ sở có nhiều loại như chẳng hạn như tần số. Chúng là sóng giới hạn bị 
chặn và được biết đến với tên là sóng con (Wavelet). Biến đổi dựa trên chúng gọi là 
biến đổi sóng con. Chúng cũng được gọi như việc thực hiện xoá trong một lượng 
đáng quan tâm của ngôn ngữ tiếng pháp đối với các chủ thể. 
Hình 14-1 minh hoạ sự khác biệt giữa sóng và sóng con. Hai sóng trên là sóng 
cosin và sóng sin khác nhau về tần số, nhưng không bền. Hai sóng dưới là sóng con 
khác nhau về tần số và vị trí theo trục. 
HÌNH 14-1 
Hình 14-1 Sóng và sóng con 
Phép biến đổi Haar là ví dụ đơn giản nhất trong biến đổi sóng con. Nó khác các 
biến đổi khác trong chương 13 cả vec tơ cơ sở sinh ra nó bởi phép chuyển đổi và lấy 
tỷ lệ của một hàm đơn. Hàm Haar, nó là một cặp xung chữ nhật lẻ, là biến đổi cổ 
điển nhất và đơn giản nhất của biến đổi sóng con. 
14.1.2. Phân tích phổ thời gian. 
Trong các tài liệu về xử lý tín hiệu bao gồm các công việc như nhận và phân tích 
tín hiệu trong thuật ngữ của biến đổi hai chiều theo không gian tần số và thời gian. 
Các tiếp cận thực sự trước biến đổi Sóng con, nhưng bây giờ phải cải tạo cho thích 
hợp cùng công việc. Tuỳ thuộc vào nó, mỗi thành phần tức thì của bản đồ tín hiệu 
được định vị trong miền tần số và thời gian mà đảm nhận cho các tính trội cho các 
thành phần tần số và thời gian xảy ra (hình 14-2). 
HÌNH 14-2 
 246 
Hình 14-2 Không gian tần số- thời gian: (a) tín hiệu; (b) biểu diễn của nó 
Trong phân tích ảnh, không gian là ba chiều và có thể được xem như một ngăn 
xếp ảnh. Vị trí của thành phần sẽ xuất hiện chủ yếu tại mức cao của ngăn xếp sẽ đảm 
nhận cho tính trội của thành phần tần số. Trong hình 14-3 chỉ ra một ảnh chứa hai 
thành phần định vị được đưa ra cho hai bộ lọc thông. Trong trường hợp này hai bộ 
lọc hoàn toàn cô lập hai thành phần. 
Phương pháp tiếp cận này bắt đầu bằng với biến đổi Fourier cửa sổ Gabor, và dẫn 
đến biến đổi Fourier thời gian ngắn và mã hoá băng con. 
14.1.2.1. Sóng con và âm nhạc 
Hãy chú ý các nốt nhạc trong hình 14-4, nó có thể được xem như việc mô tả 
không gian hai chiều tần số và thời gian. Tần số tăng từ dưới lên, trong khi thời gian 
tăng theo chiều trái sang phải. mỗi nốt trên khuôn nhạc đảm nhận cho thành phần của 
sóng con (âm tần) mà nó sẽ xuất hiện trong khi thực hiện một bài hát. Độ bền của 
mỗi sóng con là được mã hoá bằng loại nốt, chứ không theo độ rộng của nó. 
Nếu ta phân tích việc thực hiện một bản nhạc và viết ra các điểm của nó, chúng ta 
sẽ có một loại biến đổi sóng con. Tương tự, việc ghi một bài hát có thể xem như một 
phép biển sóng con rời rạc, do nó xây dựng lại các tín hiệu từ việc đặt lại các tần số 
và thời gian. 
HÌNH 14-3 
Hình14-3 Phân tích không gian-tần số ảnh. 
HÌNH 14-4 
Hình14-4 Nốt nhạc như một mặt tần số-thời gian. 
 247 
14.1.3. Các biến đổi 
Nhắc lại rằng mỗi hệ số trong một biến đổi được xác định bằng một tích giữa hàm 
đầu vào và một trong những hàm cơ sở. Trong một vài trường hợp, giá trị này biểu 
diễn mức độ giống nhau hàm đầu vào và hàm cơ sở đó. Nếu các hàm cơ sở là trực 
giao (hay trực chuẩn), thì tích nhận được giữa hai hàm cơ sở bằng 0, nghĩa là chúng 
hoàn toàn giống hệt nhau. Vì vậy, nếu tín hiệu hay ảnh được tạo thành từ các thành 
phần tương tự với một hay một vài hàm cơ sở, thì tất cả trừ một hay một vài hệ số sẽ 
nhỏ. 
Tương tự, biến đổi ngược có thể xem như sự khôi phục lại các tín hiệu ban đầu 
hay các ảnh bằng cách tính tổng các hàm cơ sở có biên độ lớn bằng biến đổi các hệ 
số. Vì nếu tín hiệu hay ảnh được xây dựng từ các thành phần mà tương tự một hay 
một vài hàm cơ sở, sau đó phép tính tổng cần thiết có chỉ một vài thuật ngữ của biên 
độ tín hiệu. Rất nhiều thuật ngữ có thể sau đó bỏ qua và các tín hiệu hay ảnh có thể 
đưa lại bằng chỉ một vài biến đổi hệ số. 
Thêm vào đó, nếu các thành phần quan tâm trong tín hiệu hay ảnh tương tự như 
một hay một vài hàm cơ sở, sau đó những thành phần này sẽ rõ ràng trong các hệ số 
lớn đối với các hàm cơ sở. Do đó chúng sẽ dễ dàng tìm thấy trong biến đổi. Cuối 
cùng nếu một thành phần không được nhận biết tương tự là một hay một vài biến đổi 
cơ sở, sau đó nó cũng sẽ dễ dàng được tìm thấy. Nó sẽ dễ dàng bỏ đi, đơn giản bằng 
cách giảm hệ số đối với đáp ứng của biến đổi. 
Chúng ta bao gồm tất cả những giá trị tiềm ẩn trong sử dụng biến đổi với các hàm 
cơ sở mà mở rộng các thành phần của tín hiệu hay ảnh được thực hiện việc biến đổi. 
Chúng ta cũng nhớ đó là các thành phần tức thời không thể tương tự với các hàm cơ 
sở của biến đổi Fourier hay các biến đổi sóng khác. 
14.1.3.1. Các loại biến đổi. 
Trở lại trong chương 10 có ba loại biến đổi khác nhau, nhưng đều có kỹ thuật liên 
quan đến biến đổi Fourier. biến đổi tích phân Fourier, biến đổi chuỗi Fourier, biến 
đổi Fourier rời rạc. 
Phép biến đổi Fourier tích phân được thiết lập với hàm liên tục hai chiều (một tín 
hiệu và phổ của nó). Nó và rời rạc của nó được đưa ra trong tích phân một chiều là: 
 dsexFxfdxexfxF xsjxsj 22 vµ (1) 
Phép biến đổi chuỗi Fourier mở rộng đưa ra một hàm tuần hoàn (hay một hàm tức 
thời có thể tính trong một chu kỳ của một hàm tuần hoàn) như một sự liên tục của hệ 
số Fourier (hữu hạn hoặc vô hạn). nó và rời rạc của nó thông thường được tạo với s = 
n s một biến rời rạc, vì vậy: 
  
0
2
0
2
n
sxnj
n
L sxnj
n eFsxfdxexfsnFF
 vµ (2) 
Trong đó L là quãng thời gian với s = 1/L. 
Phép biến đổi Fourier rời rạc đưa ra một hàm mẫu bằng một phổ mẫu, và số các 
mẫu độc lập trong cùng cả hai miền. Nó thông thường được tạo với x = i x một biến 
rời rạc. nếu g(x) là giới hạn giải và mẫu như đòi hỏi bởi thuyết lấy mẫu, sau đó gi = 
g(i x) và 
 248 
 
1
0
21
0
2 1 N
k
N
kij
ki
N
i
N
i
πkj
ik eGN
geg
N
G
 vµ 
1 (3) 
Trong tất cả ba kỹ thuật biến đổi, sin và cosin của các tần số khác nhau tạo thành 
một tập các hàm cơ sở trực chuẩn. Hơn nữa, mỗi hệ số biến đổi được xác định bởi 
tích của hàm biến đổi và một trong những hàm cơ sở. DFT sử dụng một tích rời rạc 
và các hàm rời rạc cơ sở, trong khi các biến đổi khác sử dụng một tích nguyên và các 
hàm cơ sở liên tục. Trong mỗi trường hợp, biến đổi ngược bao gồm tổng các hàm cơ 
sở mà biên độ của nó thay đổi tuỳ thuộc vào hệ số biến đổi. Tổng này có thể trở 
thành một số nguyên đối với biến đổi Fourier liên tục. 
Biến đổi Fourier rời rạc trong chương trước cũng sử dụng các hàm rời rạc trực 
chuẩn cơ sở. Vì thế, chúng thực hiện theo cách chung thông thường của biến đổi 
Fourier rời rạc. Hầu hết trong các trường hợp, các hàm cơ sở là thực và biến đổi xuôi 
và ngược đều giống nhau. 
14.1.3.2. Các loại biến đổi sóng con. 
Như với biến đổi Fourier, sóng con cũng có ba loại biến đổi: biến đổi sóng con 
liên tục (CWT), khai triển chuỗi sóng con, và biến đổi sóng con rời rạc (DWT). Tuy 
nhiên, nó hơi phức tạp hơn một chút, vì các hàm sóng con cơ sở có thể hoặc không 
thể là các hàm trực chuẩn. 
Tập các hàm cơ sở có thể hỗ trợ cho một biến đổi thậm chí khi các hàm không 
trực chuẩn. Điều đó có nghĩa là, cho ví dụ, khai triển một chuỗi sóng con mở rộng 
phải thể hiện một hàm bằng rất nhiều hệ số. Nếu dãy các hệ số bị cắt để có độ dài 
hữu hạn, thì chúng ta có thể khôi phục chỉ một phần gần đúng các hàm ban đầu. 
Cũng như thế, một biến đổi sóng con rời rạc có thể đòi hỏi nhiều hệ số các điểm mẫu 
hơn hàm ban đầu để khôi phục lại nó một cách chính xác, hay mức gần giống có thể 
chấp nhận. 
14.1.3.3. Các ký hiệu và định nghĩa. 
Tiếp theo chúng ta đưa ra một số định nghĩa để làm sáng tỏ các khái niệm về biến 
đổi sóng con. Chúng ta giới hạn điểm quan tâm chính chỉ là các hàm biến đổi một 
chiều. 
Mục đích làm cho phù hợp với phần lớn tài liệu biến đổi sóng con chúng ta sử 
dụng j như là một chỉ số nguyên trong chương này. Như một vài phần khác trong 
cuốn sách, chúng ta cũng sử dụng j để biểu diễn đơn vị ảo 1 , phải lưu ý không sử 
dụng trong cả hai phương pháp trong cùng một biểu thức. Điểm phân biệt này sẽ rõ 
ràng hơn trong nội dung của nó. 
Lớp các hàm chúng ta tìm kiếm để thể hiện bằng biến đổi sóng con đó là các tích 
của hàm bình phương trên một trục thực (chẳng hạn là tập các số thực trên trục x). 
Lớp này được ký hiệu là L2(R). Do đó ký hiệu f(x) L2(R) nghĩa là 
 dxxf 2 (4) 
Trong phân tích sóng con, chúng ta tạo ra một tập các hàm cơ sở bằng cách giãn 
và tính tiến một hàm (x) đơn nguyên, gọi là một sóng con cơ sở. Đây là một hàm 
dao động nào đó, thường tập trung vào ở giá trị ban đầu và tắt dần khi x . Vì 
thế, (x L2(R). 
 249 
14.2. BIẾN ĐỔI SÓNG CON LIÊN TỤC 
Phép biến đổi sóng con liên tục (còn được gọi là biến đổi sóng con tích phân) 
được đưa ra bởi hai ông Grossman và Morlet. 
14.2.1. Định nghĩa 
Nếu (x) là hàm thực của phổ Fourier,(x), thoả mãn tiêu chuẩn có thể chấp 
nhận 

 ds
s
s
C
2)(
 (5) 
và (x) được gọi là sóng con cơ sở. Chú ý rằng, vì s thuộc mẫu số của tích phân 
nên cần có 
  dxx)(0)0(  (6) 
Hơn nữa, vì ( ) cũng bằng 0 nên chúng ta có thể nhận thấy phổ biên độ của 
sóng con có thể chấp nhận tương tự hàm truyền đạt của bộ lọc thông dải. Thực tế, 
đáp ứng xung của một bộ lọc thông dải bất kỳ với trung bình 0, suy giảm về 0 đủ 
nhanh bằng với tốc độ tăng tần số, đều có thể thoả mãn như một sóng con cơ sở đối 
với biến đổi này. 
Hình 14-5 Một sóng con 
Tập các hàm sóng con cơ bản, {a,b(x)}, có thể được tạo ra bằng cách tịnh tiến và 
lấy tỷ lệ sóng con cơ bản, 
a
bx
a
xba 
1)(, (7) 
trong đó a > 0 và b là các số thực. Biến a phản ảnh tỷ lệ hàm sóng con cơ bản, 
còn b xác định rõ vị trí tịnh tiến của hàm theo trục x. Thông thường, sóng con cơ sở, 
(x), được đặt tại gốc toạ độ sao cho a,b(x) đặt tại x = b. 
 2/2 21
3
2)( xexx 
 (8) 
Biến đổi sóng con liên tục của f(x) liên quan đến sóng con (x) là 
0 2 4 6x
0
1
0.5
-0.5
 250 
 dxxxffbaW babaf )()(,),( ,,  (9) 
Grossman và Morlet đã chứng minh rằng biến đổi sóng con liên tục ngược là 
0 2,
)(),(1)(
a
dadbxbaW
C
xf baf 

 (10) 
Hệ số tỷ lệ trước vế phải của biểu thức (7) bảo đảm các tiêu chuẩn của tất cả các 
hàm sóng con cơ sở đều như nhau, vì 
 xfadx
a
bxf
a
bxf 
2
 (11) 
14.2.2. CWT hai chiều 
Biến đổi sóng con liên tục W(a,b) của hàm f(x) một chiều là một hàm hai biến. 
Đối với các hàm nhiều hơn một biến, biến đổi này cũng làm tăng số chiều thêm một. 
Nếu f(x,y) là hàm hai chiều thì biến đổi sóng con của nó là 
 dxdyyxyxfbbaW
yx bbayxf ),(),(),,( ,, (12) 
trong đó bx và by xác định biến đổi theo hai chiều. Biến đổi sóng con ngược liên 
tục hai chiều là 
0 3,,
),(),,(1),(
a
dadbdbyxbbaW
C
yxf yxbbayxf yx

 (13) 
trong đó 
a
bx
a
bx
a
yx yxbba yx ,
1),(,,  (14) 
và (x,y) là sóng con cơ sở hai chiều. Tổng quát hoá mở rộng để kiểm soát các 
hàm có nhiều hơn hai biến. 
14.2.3. Giải thích khối lọc (Filter Bank) 
Ví dụ minh hoạ tiếp theo là một cách để xem xét biến đổi sóng con liên tục. 
Chúng ta đầu tiên định nghĩa các hàm cơ sở chung với tỷ lệ a là 
a
x
a
xa 
1 (15) 
Đây là hàm sóng con cơ sở tỷ lệ a và thông thường là a-1/2. Nó định nghĩa một tập 
các hàm trở nên rộng rãi với việc tăng a. Chúng ta cũng định nghĩa. 
a
x
a
xx aa
**
~ 1
 (16) 
Nó là liên hợp phức được phản xạ của sóng con tỷ lệ. Nếu (x) là thực và chẵn, 
như các trường hợp thông thường khác, thì phản xạ và liên hợp không có kết quả. 
Bây giờ chúng ta có thể viết biến đổi sóng con [Biểu thức 9] như sau: 
 251 
 aaf fdxxbxfbaW
~~
,  
 (17) 
Với phần không đổi a, sau đó Wf(a,b) là tích chập của f(x) với sóng con liên hợp 
theo tỷ lệ a. 
Hình 14-6 cho thấy biến đổi sóng con tích phân như một khối (bank) các bộ lọc 
tuyến tính (tích chập) thực hiện trên f(x). mỗi giá trị của a định nghĩa một bộ lọc 
thông dải khác nhau, và đầu ra của tất cả các bộ lọc, thực hiện đồng thời, bao gồm 
biến đổi sóng con. Thêm vào đó biểu thức 10 trở thành 
 20
~
0 2
~ 11
a
daxf
Ca
dadbxbbf
C
xf aaaa 
 

 (18) 
Nó ngụ ý rằng các đầu ra bộ lọc, mỗi đầu ra lại được lọc bởi a(x) và lấy tỷ lệ hợp 
lý, kết hợp với nhau để khôi phục f(x). Nó là phát biểu của Calderon, ra đời trước 
Grossman và Morlet 20 năm. 
HÌNH 14-6 
Hình 14-6 Sự giống nhau của khối lọc đối với biến đổi sóng con tích phân của 
một tín hiệu 
Nhắc lại  ... tạo thành 4 ảnh nhỏ hơn theo tỷ lệ 2j+1 (hình 14-26c). Kết quả cuối 
cùng là một sự xắp xếp giống như biến đổi Haar, cho trong hình 14-26d. 
Viết các tích trong như các tích chập chúng ta có 
   
   
   
   nmyxyxfnmf
nmyxyxfnmf
nmyxyxfnmf
nmyxyxfnmf
jj
jj
jj
jj
2,2,,,
2,2,,,
2,2,,,
2,2,,,
30
2
3
2
20
2
2
2
10
2
1
2
0
2
0
2
2
1
1
1




 (82) 
Và mối giai đoạn yêu cầu 4 phép toán lọc lấy mẫu con như nhau. 
Bởi vì các hàm tỷ lệ và sóng con là tấch được, nên mỗi tích chập được chia thành 
các tích chập một chiều trên các hàng và các cột của yxf j ,02 . Hình 14-27 cho thấy 
điều này dưới dạng biểu đồ. 
HÌNH 14-26 
Hình 14-26 Biến đổi sóng con rời rạc hai chiều; (a) ảnh ban đầu, (b) bước thứ 
nhất, (c) bước thứ hai, (d) bướcthứ ba 
Ví dụ, tại bước 1, đầu tiên chúng ta nhân chập các hàng của ảnh f1(x,y) với h0(-x) 
và với h1(-x) và bỏ đi các cột đánh số lẻ (cột tận cùng bên trái đánh số 0) của hai 
mảng kết quả. Các cột của mỗi mảng N/2 N sau đó được nhân chập với h0(-x) và 
với h1(-x) và các hàng đánh số lẻ được bỏ đi (hàng trên cùng bên trái đánh số 0). Kết 
quả là ta được 4 ma trận N/2 N/2 cần thiết cho giai đoạn thứ nhất của biến đổi. 
Vì thế biến đổi sóng con tách được hai chiều ó thể tính toán một cách nhanh 
chóng. Quá trình biến đổi có thể chia thành J công đoạn, trong đó )(2log
NJ đối với 
một ảnh N N điểm ảnh. Nếu các hệ số biến đổi được tính với số phẩy động chính 
xác, thì biến đổi ngược có thể khôi phục ảnh ban đầu bị suy giảm một chút. 
 274 
Hình 14-28 cho thấy trong mặt phẳng tần số, mỗi một trong số 4 ảnh tỷ lệ cao hơn 
tiếp có được từ đâu, nếu chúng ta sử dụng các sóng con sinc (tức là, các bộ lọc thông 
thấp và thông dải nửa dải lý tưởng). Tại mỗi tỷ lệ, yxf j ,02 chứa thông tin tần số 
thấp từ công đoạn trước đó, trong khi yxf j ,12 , yxf j ,
2
2 và yxf j ,
3
2 chứa thông tin về 
chiều ngang, chiều dọc và cạnh đường chéo. 
HÌNH 14-27 
Hình 14-27 Bước phân tích ảnh DWT 
HÌNH 14-28 
Hình14-28 Phân tích DWT trong miền tần số 
14.4.6.2. Biến đổi ngược 
Biến đổi ngược được thực hiện bởi một quá trình tương tự. Quá trình này có biểu 
đồ như trong hình 14-29. 
Tại mỗi giai đoạn (chẳng hạn bước cuối cùng), chúng ta trên lấy mẫu mỗi một 
trong 4 giai đoạn trước đó bằng cách chèn một cột các số 0 vào cột bên trái của mỗi 
mảng. Sau đó chúng ta nhân chập các hàng với h0(x) hay với h1(x), như đã cho trong 
hình và cộng thêm các mảng N/2 N vào với nhau theo từng cặp. haH ma trận kết 
quả sau đó được trên lấy mẫu để trở thành N N cộng thêm một hàng các số 0 trên 
mỗi hàng. Các cột của hai mảng này sau đó được nhân chập với h0(x) và với h1(x), 
như đã trình bày. Tổng của hai ma trận kết quả là kết quả của bước khôi phục. 
 275 
HÌNH 14-29 
Hình 14-29 Bước khôi phục ảnh DWT 
14.4.6.3. Các ví dụ 
HÌNH 14-30 
Hình 14-30 Ví dụ về tính biến đổi sóng con rời rạc hai chiều 
Hình 14-30 cho thấy một ví dụ cụ thể của bước tính toán thứ nhất biến đổi sóng 
con rời rạc hai chiều. Hình vẽ miêu tả một ảnh tương tự xung Gauss 8 8. Hình 14-
31 đưa ra giai đoạn tương ứng của biến đổi ngược sóng con rời rạc của cùng một 
ảnh. (Chú ý: Một cách tuỳ chọn, ta có thể đảo thứ tự xử lý hàng và cột trong cả biến 
đổi xuôi lẫn biến đổi ngược) 
HÌNH 14-31 
Hình 14-31 Ví dụ về tính toán biến đổi ngược sóng con rời rạc hai chiều 
 276 
Hình 14-32 đưa ra một ví dụ về các sóng con hai chiều tách được. Những sóng 
này được xây dựng từ sóng con và hàm tỷ lệ r = 2 của Daubechies (hình 14-24) bằng 
biểu thức (78) và (79). 
HÌNH 14-32 
Hình 14-32 Sóng con hai chiều tách rời được xây dựng từ hàm tỷ lệ và Sóng con 
r = 2 của Daubechies 
14.4.7. Biến đổi song trực giao (biorthogonal) 
Các hàm đủ tiêu chuẩn như là các sóng con trực chuẩn thiếu thuộc tính đối xứng 
cần thiết. Ví dụ, sẽ thuận lợi hơn nếu (t) có thể là một hàm lẻ hay chẵn. Nhờ sử 
dụng hai sóng con cơ sở khác nhau, (x) và x
~
 -một cho phân tích và một coa khôi 
phục-nên chúng ta có thể có các sóng con hỗ trợ đầy đủ đối xứng. Hai sóng con là 
đối ngẫu với nhau và họ sóng con {jk(x)} và x
~
 là song trực giao; tức là, 
 mkljml ,,,
~
,  kj, (83) 
Sau đó chúng ta có 
 xxfdxxfc kjkjkjj,k ,,,
~
,,  vµ (84) 
đối với việc phân tích và 
  
kj
kjkj
kj
kjkj xdxcxf
,
,
~
,
,
,,  (85) 
đối với việc khôi phục. Sóng con có thể sử dụng cho phân tích hoặc khôi phục. 
Biến đổi sóng con song trực giao cho phép sử dụng các sóng con đối xứng (chẵn và 
lẻ) có hỗ trợ đầy đủ. 
14.4.7.1. Thực hiện 
Biến đổi sóng con song trực giao một chiều đòi hỏi bốn bộ lọc rời rạc (các vec tơ 
đáp ứng xung). Chúng ta phải chọn hai bộ lọc thông thấp (các vec tơ tỷ lệ), h0(n) 
và nh0
~
, các hàm truyền đạt của nó thoả mãn 
 277 
 0100 0
~
00
~
0 NN sHsHHH vµ (86) 
Trong đó sN=1/2 x là đổi tần số cơ bản. Từ đây, chúng ta tạo ra hai bộ lọc thông 
dải (vec tơ sóng con), bằng cách dịch hàm truyền đạt đi nửa chu kỳ. 
 nhnhnhnh n 1111 0
~
101
~
 (87) 
Bây giờ chúng ta có thể thực hiện thuật toán hình chữ chi FWT sử dụng 4 bộ lọc, 
như trong hình 14-33. 
HÌNH 14-33 
Hình14-33 Một bước phân tích và một bước khôi phục của biến đổi sóng con 
song trực giao 
14.4.7.2. Sóng con song trực giao 
Các điều kiện đối với bộ lọc sóng con song trực giao là 
 02 1
~
10
~
0 
nnn
nhnhnhnh
n
 vµ (88) 
Và việc những tính chất yêu cầu để khôi phục chính xác 
 10
~
00
~
01
~
10
~
0 NN ssHssHsHsHsHsHsHsH (89) 
Hai hàm tỷ lệ được cho trong miền tần số là 
 
    
0
0
~
0
~
0
0
~
0
~
2/22/2
n
n
n
n sHssHssHssHs vµ (90) 
Và các sóng con là: 
  
nn
nxnhxnxnhx 212212
~
0
~
0 
~
 vµ (91) 
14.4.7.3. Xây dựng sóng con song trực giao 
Thiết kế sóng con song trực giao đòi hỏi phải phát triển các đáp ứng xung rời rạc 
(các vec tơ tỷ lệ) h0(n) và hàm truyền đạt nh0
~
 của nó thoả mãn biểu thức (86) và 
 278 
(89). Đây là phạm vi nghiên cứu tích cực, và một số tác giả đã phân chia các bộ lọc 
trên và đáp ứng các sóng con song trực giao tương ứng. 
Ví dụ, Cohen, Daubechies, và Feauveau đã chọn (x) như là hàm chốt B (B-
spline) (chẳng hạn hàm tam giác) và phát triển H0(s) như một đa thức theo cos(s). 
Vetterli và Herley đã giới thiệu các phương pháp tiếp cận dựa trên lý thuyết các biểu 
thức diophantine và dựa trên lý thuyết các phân số liên tục. Thông thường, việc sử 
dụng các đáp ứng xung dài hơn sẽ tạo ra các sóng con cân đối hơn, tức là, chúng có 
lượng lớn các đạo hàm và triệt tiêu mô men. Bảng 14-2 cho thấy ba cặp vec tơ tỷ lệ, 
và hình 14-34 đưa ra các sóng con song trực giao tương ứng được xây dựng bằng các 
thủ tục phác thảo trong hình 14-23. 
BẢNG 14.2 CHUỖI BỘ LỌC RỜI RẠC CHO SÓNG CON SONG TRỰC GIAO 
TRONG HÌNH 14-33. 
Bộ lọc phân tích 
Laplace 
 h0 = 2 [-.05 .25 .6 .25 -.05] 
Bộ lọc đối xứng 
Laplace 0
~
h = 2 [-.0107 .0536 .2607 .6071 .2607 -.0536 -.0107] 
Bộ lọc chốt 2 h0 = 2 [.25 .5 .25] 
Bộ lọc chốt 4 
128
2
0
~
 h [3 -6 -16 38 90 38 -16 -6 3] 
Bộ lọc phân tích 
18 điểm 
 h0 = [.0012 -.0007 -.0118 .0117 .0713 -.0310 -.2263 .0693 
.7318 .7318 .0693 -.2263 -.0310 .0713 .0117 -.0118 -.0007 
.0112] 
Bộ lọc đối xứng 
18 điểm 0
~
h = [.0012 .0007 -.0113 -.0114 .0235 -.0017 -.0444 .2044 
.6479 .6479 .2044 -.0444 .0017 .0235 -.0114 -.0113 .0007 
.0012] 
14.4.7.4. Sóng con song trực giao hai chiều 
Các sóng con song trực giao đối với biến đổi xuôi hai chiều được cho bởi biểu 
thức (79). Đối với biến đổi ngược, chúng là 
 yxyxyxyxyxyx
~~
3
~~
2
~~
1 ,,,  (92) 
Thực hiện FWT song trực giao hai chiều là một bước mở rộng trường hợp trực 
chuẩn đơn giản. 
14.5. LỰA CHỌN SÓNG CON 
Sóng con cơ sở lý tưởng là một hàm dao động trong khoảng ngắn, trong đó các 
phép tịnh tiến tỷ lệ nhị phân của hàm là trực chuẩn. Hàm Haar là một minh hoạ cho 
điều này. Các hàm sóng con sẵn có khác có thể không hội đủ tất cả tiêu chuẩn đó. 
Thứ nhất, trong khi sóng con cơ sở phải tiến tới 0 khi |x| nhanh như hàm 1/x 
để đủ tiêu chuẩn có thể chấp nhận, nhiều sóng con vẫn là vô hạn, chứ không gói gọn. 
Nghĩa là chúng khác 0 trên toàn bộ trục thực, ngoại trừ các chéo 0 của chúng. (thiếu 
2 dòng do phô tô mờ quá) Trương tự, nó có thể là những thẻ lệ khác nhau sao cho 
sóng con là trực giao, nhưng một vài hay tất các cặp tính tiến có cùng tỷ lệ lại không 
trực giao. 
 279 
Chú ý rằng một vài biến đổi sóng con (chẳng hạn CWT) là quá đầy đủ, trong khi 
các biến đổi khác (chẳng hạn DWT) thì không. Đối với những biến đổi quá đầy đủ, 
những hạn chế của các hàm cơ sở tương đối dễ chịu. Đối với các biến đổi ít hoặc 
không dư thừa, như biến đổi sóng con rời rạc trực chuẩn, thì những hạn chế của các 
hàm cơ sở đơn giản hơn nhiều. 
HÌNH 14-34 
Hình 14-34 Ví dụ về sóng con song trực giao: (a) sóng con hình chóp Laplace; 
(b) sóng con của hàm chốt tuyến tính; (c) sóng con pha tuyến tính 18 điểm 
DWT song trực giao đòi hỏi hai vec tơ tỷ lệ và hai vec tơ sóng con chứ không 
phải là một, nhưng điều này không làm tăng chi phí tính toán của quá trình. Tuy 
nhiên, biến đổi song trực giao có đủ khả năng chọn lựa hình dạng sóng con thoải mái 
hơn biến đổi trực chuẩn, bởi vậy nó được sử dụng trong nhiều ứng dụng. 
Lựa chọn một sóng con cơ sở thông thường chịu ảnh hưởng bởi ứng dụng. Ví dụ, 
đối với nén không mất mát, một cơ sở trực chuẩn hay song trực giao là cần thiết hay 
được yêu cầu, bởi vì mục đích là để biểu diễn hàm một cách chính xác và đầy đủ. 
Một biến đổi quá đầy đủ sẽ làm tăng khối lượng dữ liệu cần thiết để biểu diễn hàm 
được chính xác. Nói cách khác, nếu mục đích là nén mất mát, thì việc phát hiện các 
thành phần cụ thể như các biên ảnh, hay loại bỏ nhiễu quan trọng hơn việc chọn lựa 
một sóng con tương tự với các thành phần mà chúng ta quan tâm. 
Biến đổi sóng con đưa ra triển vọng biểu diễn đầy đủ và có khả năng phát hiện các 
thành phần ảnh, phù hợp với dạng sóng con đã chọn. Biến đổi sóng con trực chuẩn 
vốn đã đầy đủ, nhưng nó không có tác dụng đối với các thành phần ảnh dịch chuyển 
ít. Một thành phần ảnh phù hợp với một sóng con sẽ xuất hiện đầy đủ trong biến đổi 
nếu ngẫu nhiên nó thẳng hàng với một cặp vị trí sóng con, nhưng vị trí khác thì 
không đúng. Với nguyên nhân này, những biến đổi không trực chuẩn thường thực 
hiện tốt hơn trong quá trình phát hiện. 
14.6. NHỮNG ỨNG DỤNG 
Mặc dù biến đổi sóng con là một khía cạnh tương đối mới mẻ trong xử lý ảnh, 
nhưng chúng đã bắt đầu được ứng dụng trong thực tế. 
14.6.1. Nén ảnh 
Biến đổi sóng con rời rạc phân tích một ảnh thành một tập liên tiếp các ảnh trực 
chuẩn nhỏ hơn. Hơn nữa, trong khi lược đồ mức xám của ảnh ban đầu có thể có hình 
dạng bất kỳ, thì lược đồ mức xám của ảnh biến đổi sóng con thường là đơn thức và 
 280 
đối xứng qua giá trị 0. Điều này làm đơn giản hoá việc phân tích các tính chất tĩnh 
của ảnh. 
Thông thường, người ta có thể lượng tử hoá không đúng cách hay đánh giá toàn 
bộ các hệ số có giá trị nhỏ. Mallat và một số người khác đã nghiên cứu khả năng 
khôi phục một ảnh chỉ từ các vị trí chéo 0 trên biến đổi sóng con của nó. Trong khi 
việc khôi phục hoàn chỉnh thường là điều không thể, thì nhiều ảnh có thể được xấp xỉ 
hoá thích hợp bằng việc mã hoá. 
14.6.2. Tăng cường ảnh (image enhance) 
DWT phân tích ảnh thành các thành phần có kích thước, vị trí và sự định hướng 
khác nhau. Cũng như lọc tuyến tính trong miền tần số Fourier, ta có thể thay đổi độ 
lớn các hệ số trong miền biến đổi sóng con trước khi tiến hành biến đổi ngược. Hình 
14-35 trình bày một ví dụ về tăng cường độ tương phản đặc trưng biên. Chú ý cách 
xử lý để tách bốn đỉnh trong lược đồ mức xám. 
14.6.3. Tổng hợp ảnh 
Tổng hợp ảnh kết hợp hai hay nhiều ảnh đã ghi nhận của cùng một đối tượng 
thành một ảnh đơn, được thể hiện dễ dàng hơn bất kỳ một ảnh ban đầu nào. Kỹ thuật 
này được ứng dụng biểu diễn ảnh đa phổ, cũng như ảnh y học, trong đó các ảnh của 
cùng một bộ phận cơ thể có được bằng các phương thức thu nhận khác nhau. 
HÌNH 14-36 
Hình 14-36 Tăng cường ảnh bằng gradient đa phổ: (a) ảnh gốc; (b) tăng cường 
bằng cân bằng lược đồ; (c) tăng cường bằng phác đồ biến thiên tỷ lệ. Bên dưới là 
lược đồ mức xám của mỗi ảnh 
Hình 14-36 cho thấy ví dụ tổng hợp ảnh sử dụng biến đổi sóng con. Trong mỗi 
trường hợp, hai ảnh được kết hợp trong miền biến đổi bằng chọn hệ số cực đại tại 
từng toạ độ. Sau đó một DWT ngược của các hệ số kết quả khôi phục ảnh đã hợp 
nhất. Trong trường hợp đầu, quá trình kết hợp thông tin rõ nét từ hai ảnh đầu vào. 
Trong trường hợp thứ hai, thông tin kết cấu của ảnh MRI được kết hợp với các thông 
tin tính chất của PET để tạo ra kiến trúc thích hợp. 
14.7. TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Một sóng con cơ sở là một hàm dao dộng tắt dần khi |x| . Phổ của nó 
tương tự hàm truyền đạt của bộ lọc thông dải. 
 281 
2. Có thể tạo ra tập các hàm cơ sở cho biến đổi sóng con bằng cách giãn và tính 
tiến một sóng con cơ sở. 
3. Biến đổi sóng con liên tục biểu diễn tín hiệu như một hàm hai biến thời gian 
và tỷ lệ. Nó biểu diễn một ảnh như một hàm với ba biến: hai biến toạ độ không 
gian và một biến tỷ lệ. 
HÌNH 14-36 
Hình 14-36 Tổng hợp ảnh biến đổi sóng con: (a),(b) ảnh chụp với tiêu điểm khác 
nhau; (c) ảnh tổng hợp, (d) ảnh MRI, (e) ảnh PET; (f) ảnh tổng hợp 
4. Khai triển chuỗi sóng con biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn hay hữu hạn bằng 
dãy các hệ số. 
5. Biến đổi sóng con rời rạc biểu diễn tín hiệu N điểm bằng N hệ số. Nó biểu diễn 
tín hiệu N N điểm bằng N2 hệ số. 
6. Biến đổi Haar là biến đổi sóng con rời rạc đơn giản nhất. 
7. DWT có thể được thực hiện trực tiếp hay gián tiếp bằng thuật toán biến đổi 
nhanh sóng con (FWT, hay thuật toán hình chữ chi). 
8. DWT hai chiều tách được cũng có thể được thực hiện bởi thuật toán biến đổi 
nhanh sóng con. 
9. Các hệ thống sóng con song trực giao cho phép DWT sử dụng các sóng con ít 
bị hạn chế bằng hỗ trợ đầy đủ. 
BÀI TẬP 
1. Biến đổi sóng con nào mà bạn cần để phát hiện các đường nét tốt nhất cho một 
bản vẽ chi tiết máy? tại sao? 
2. Biến đổi sóng con nào mà bạn cần để nén ảnh dấu vân tay tốt nhất? tại sao? 
3. Biến đổi sóng con nào mà bạn cần để tổng hợp ảnh tốt nhất? tại sao? 
4. Biến đổi sóng con nào mà bạn cần để phát hiện các ngôi sao trong một bức 
ảnh thiên văn? tại sao? 
5. Biến đổi sóng con nào mà bạn cần để phân đoạn kết cấu bề mặt các bức ảnh 
chụp trên không tốt nhất? tại sao? 
DỰ ÁN 
1. Phát triển một chương trình thực hiện biến đổi sóng con liên tục và sử dụng 
chương trình để định vị các nốt nhạc trong bản ghi số hoá của một bài hát đơn 
giản. 
2. Phát triển một chương trình tính khai triển chuỗi sóng con của một tín hiệu và 
sử dụng chương trình để nén tín hiệu. 
 282 
3. Phát triển một chương trình tính biến đổi sóng con rời rạc của một tín hiệu và 
sử dụng chương trình để định vị các thành phần tức thời trong tín hiệu. 
4. Phát triển một chương trình tính biến đổi sóng con liên tục của một ảnh và sử 
dụng chương trình để định vị các điểm trong một ảnh đơn giản. 
5. Phát triển một chương trình tính khai triển chuỗi sóng con của một ảnh và sử 
dụng chương trình để nén ảnh. 
6. Phát triển một chương trình tính biến đổi sóng con rời rạc của một ảnh và sử 
dụng chương trình để định vị các nốt nhạc trong bản ghi số hoá của một bài 
hát đơn giản.