Giáo trình Xử lý ảnh - Chương 12: Xử lý dữ liệu lấy mẫu

 203 
Ch­¬ng 12 
XỬ LÝ DỮ LIỆU LẤY MẪU 
12.1. GIỚI THIỆU 
Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến xử lý ảnh số mà không đặc boiệt 
chú ý đến các ảnh hưởng của việc lấy mẫu. Chúng ta đã giả thiết rằng, được thực 
hiện một cách hoàn chỉnh, việc lấy mẫu sẽ không làm mất hiệu lực các kết quả thu 
được từ việc phân tích các hàm liên tục. Nhưng lấy mẫu vốn thuộc xử lý số. Cho nên, 
chúng ta sẽ sử dụng các công cụ mà chúng ta đã phát triển trong các chương trước để 
tiếp cận việc lấy mẫu một cách súc tích và hiệu quả trong chương này. 
Trước hết, chúng ta điều tra nghiên cứu các nhánh (ramification) lấy mẫu ảnh liên 
tục và xử lý dữ liệu lấy mẫu. Đặc biệt, chúng ta sẽ trả lời những câu hỏi sau đây: (1) 
Trong phạm vi nào thì việc lấy mẫu sẽ làm mất mát thông tin? (2) Khi lấy mẫu một 
hàm liên tục thì có thể khôi phục lại một cách đầy đủ được không và nếu có thig như 
thế nào? (3) Chúng ta phải lấy mẫu một hàm chi tiết đến mức nào để có thể bảo toàn 
được nó? (4) Việc lấy mẫu có ảnh hưởng gì lên phổ của một hàm? (5) Nếu chúng ta 
coi một hàm được lấy mẫu như thể một hàm liên tục thì phải gồm những giả thiết, 
những giá trị xấp xỉ, những lỗi gì? 
12.2. LẤY MẪU VÀ PHÉP NỘI SUY 
Trước khi chúng ta có thể miêu tả các kết quả lấy mẫu một cách định lượng, 
chúng ta phải thiết lập một thủ tục toán học để mô hình hoá quá trình. Để thực hiện 
điều này, chúng ta sử dụng một hàm đặc biệt gọi là hàm Shah. 
12.2.1. Hàm Shah 
Một công cụ quan trọng cho việc mô phỏng quá trình lấy mẫu là dãy (train) xung 
vô hạn, III(x), đọc là “Shah của x” và được định nghĩa 
 
n
nxxIII )()(  (1) 
III(x) là chuỗi các xung đơn vị biên độ nằm cách đều nhau trên trục x. Thật may 
mắn cho chúng ta, hàm Shah cũng chính là biến đổi Fourier của nó; tức là, 
 )()}({ sIIIxIII  (2) 
Chúng ta sẽ sử dụng hàm này để mô phỏng quá trình lấy mẫu một tín hiệu liên 
tục. 
12.2.1.1. Tính đồng dạng 
Nếu chúng ta thay thế lý thuyết đồng dạng 
 
a
sF
a
axf 1)}({ (3) 
 204 
Vào biểu thức (2), chúng ta sẽ được 
 )( sIIIxIII 




  (4) 
Trong đó phổ là dãy các xung nằm cách đều nhau một khoảng 1/ trên trục s 
(Hình 12-1). 
Nên nhớ rằng do tính đồng dạng, xung có tính chất kỳ lạ đó là 
 )(1)( x
a
ax  (5) 
Bởi vì III(x) là dãy vô hạn các xung có khoảng cách bằng nhau [biểu thức(1)] nên 
nó cũng biểu hiện tính chất này dưới sự giãn ra và nén lại. Đặc biệt, 
 
nn a
nxanaxaxIII  )()( (6) 
Nghĩa là 
 
n a
nx
a
axIII 1 (7) 
HÌNH 12-1 
Hình 12-1 Hàm Shah và phổ của nó 
Nếu ta đặt a = 1/ thì ta sẽ có 
 
n
nxxIII 

 (8) 
Hay các xung nằm cách nhau từng khoảng . Chú ý rằng khoảng cách  giữa các 
xung chứ không phải các đơn vị khoảng cách nhân với hệ số cường độ xung . Biến 
đổi biểu thức (8) ta được 
 



 
n
nssIIIxIII



 (9) 
 205 
Hai biểu thức sau cùng chỉ rõ rằng một dãy các xung cường độ  đặt cách nhau 
từng khoảng trong miền thời gian tạo ra một dãy xung đơn vị đặt cách nhau một 
khoảng 1/ trong miền tần số. Dĩ nhiên, chúng ta có thể chia biểu thức (8) cho  để 
được các xung đơn vị cường độ trong miền thời gian và các xung cường độ 1/ tương 
ứng trong miền tần số. 
12.2.2. Lấy mẫu bằng hàm Shah 
Giả sử hàm Shah bị giới hạn dải tần tại tần số s0; tức là, 
 00)( sssF (10) 
Điều này được cho thấy trong hình 12-2. Nếu chúng ta lấy mẫu f(x) tại các khoảng 
cách  bằng nhau, chúng ta sẽ triệt tiêu toàn bộ hàm f(x) ngoại từ tại điểm x = n. 
Chúng ta có thể mô phỏng quá trình lấy mẫu như phép nhân đơn giản giữa hàm f(x) 
với III(x/) để tạo thành hàm được lấy mẫu g(x). Quá trình triệt tiêu hàm giữa các 
điểm lấy mẫu bằng cách chia nó cho 0 và nhưng vẫn bảo toàn giá trị hàm tại các 
điểm lấy mẫu trong cường độ các xung kết quả. Hình 121-3 minh hoạ cho một hàm 
được lấy mẫu. Sự thuận tiện về toán học khiến cho mô hình này được lựa chọn làm 
phương pháp lẫy mẫu. 
HÌNH 12-2 
Hình 12-2 Hàm giới hạn dải 
HÌNH 12-3 
Hình 12-3 Hàm được lấy mẫu 
 206 
12.2.3. Lấy mẫu và phổ 
Bây giờ chúng ta xem xét việc lấy mẫu phổ của f(x) sẽ cho ta cái gì. Lý thuyết 
phép nhân chập cho rằng khi chúng ta nhân f(x) với III(x/), chúng ta sẽ nhân chập 
F(s) với III(s). Nhắc lại III(s) là chuỗi xung đơn vị cường độ nằm cách nhau 
khoảng 1/ trên trục s. Cũng cần nhắc lại rằng phép nhân chập một hàm với một 
xung đơn thuần chỉ tạo ra một bản sao của hàm đó. Vì thế, phép nhân chập trong 
miền tần số tái tạo F(s) tại từng khoảng 1/ trên trục s. 
Như đã chỉ ra trong hình 12-3, G(s) bao gồm vô vàn các bản sao phổ F(x) đặt 
bằng nhau trên trục s từ - đến . Lưu ý phổ của hàm được lấy mẫu là tuần hoàn với 
tần số . Cho nên, bất kỳ hàm nào được lấy mẫu tại các khoảng cách  bằng nhau đều 
có phổ tuần hoàn với tần số. 
12.2.4. Lý thuyết lấy mẫu 
Bây giờ hàm f(x) đã được lấy mẫu, thông tin giữa các điểm lấy mẫu đã bị 
mất.nhưng chúng ta có thể khôi phục lại hàm ban đầu nguyên vnj từ các điểm lấy 
mẫu này không? Rõ ràng, chúng ta có thể phục hồi (reclaim) f(x) từ g(x) nếu chúng ta 
có thể phục hồi F(s) từ G(s). Chúng ta có thể thực hiện phần sau đơn thần bằng cách 
loại trừ tất cả các mô hình của F(s), ngoại trừ hàm F(s) đặt gữa gốc. Có một cách để 
thực hiện điều này là nhân G(s) với (s/2s1), trong đó 
 010
1 sss 

 (11) 
Khi đó 
 sF
s
ssG 

12
 (12) 
Và chúng ta lấy lại được phổ của f(x) từ phổ của tín hiệu lấy mẫu g(x). hàm ban 
đầu được cho bởi 
  



  
1
11
2s
ssGsFxf (13) 
Áp dụng lý thuyết nhân chập vào vế phải biểu thức (13) ta được 
xs
xssxgxf
1
1
1 2
2sin2
 (14) 
Biểu thức này cho biết cách thức khôi phục f(x) từ g(x): Chúng ta chỉ cần nhân 
chập hàm được lấy mẫu với một hàm nội suy của dạng hàm sinc(x) = sin(x)/x. 
Quả thực biểu thức (14) cho thấy rằng chúng ta có thể khôi phục f(x) từ g(x) và 
cho ta biết cách thực hiện điều đó. Đầu tiên, f(x) phải được giới hạn dải tần tại s0 
[xem biểu thức (11)] vf thứ hai, mối quan hệ giữa khoảng cách lấy mẫu  và dải giới 
hạn s0 phải thoả mãn biểu thức (11). Điều mà chúng ta thực hiện đã chứng minh lý 
thuyết lấy mẫu biểu diễn một hàm lấy mẫu với khoảng cách  giống nhau và có thể 
khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lẫy mẫu, với điều kiện là 
02
1
s
  (15) 
 207 
Trong đó hàm được giới hạn dải tần tại s0. 
12.2.5. Phép nội suy 
Kết quả nhân chập g(x) với hàm nội suy cho trong biểu thức (14) đã tạo ra một mô 
hình hàm sin(x)/x tại mỗi một điểm lấy mẫu, giống như hình 12-4. Biểu thức (14) bảo 
đảm rằng tổng các hàm sin(x)/x chờm lên nhau sẽ tái tạo lại hàm ban đầu một cách 
chính xác. 
Hình 12-4 minh hoạ cho trường hợp s1 = 1/2, nhưng biểu thức (11) cho phép 
chọn tần số hàm sin(x)/x tuỳ ý nếu hàm nghịch đảo của khoảng cách lấy mẫu lớn hơn 
nhiều so với giới hạn dải tần s0. Biểu thức đó cho phép chúng ta đặt s1 tại bất kỳ vị trí 
nào giữa s0 và 1/ - s0. Để cho thuận tiện, chúng ta có thể đặt s1 tại trung điểm: 
2
1
1 s (16) 
Sau đó hàm nội suy sẽ trở thành 


 x
x
 sin
1 (17) 
HÌNH 12-4 
Hình 12-4 Nội suy hàm sin(x)/x 
12.2.6. Dưới lấy mẫu và trùm phổ (Undersampling and Aliasing) 
Biểu thức (15) xác định rõ cách mà người ta lấy mẫy một hàm khi nó có khả năng 
khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lấy mẫu của nó. Bây giờ chúng ta hãy xem xét điều 
gì sẽ xảy ra nếu điều kiện đó không thoả mãn. 
Giả sử  >1/2s0. Tiếp theo khi F(s) được tái tạo thành dạng G(s), các mô hình 
riêng lẻ sẽ chờm lên và cộng lại với nhau (Hình 12-5). Sau đó nếu chúng ta nội suy, 
dùng hàm trong biểu thức (17), ta sẽ không khôi phục được f(s) một cách chính xác, 
bởi vì 
 sF
s
ssG 

12
 (18) 
 208 
HÌNH 12-5 
Hình 12-5 Chờm phổ 
Kết quả chờm các mô hình phổ có thể quan sát như sau. Năng lượng cao hơn tần 
số s1 được hạ thấp xuống dưới s1 và thêm vào phổ. Việc hạ thấp năng lượng này gọi 
là trùm phổ, và hiệu số giữa f(x) và hàm nội suy là do sai số trùm phổ. 
Chú ý rằng nếu f(x) chẵn thì F(s) cũng chẵn và trùm phổ có hiệu quả tăng năng 
lượng phổ. Nếu f(x) lẻ, xảy ra điều trái ngược, năng lượng phổ sẽ giảm. Nếu f(x) 
không chẵn và cũng không lẻ thì trùm phổ sẽ tâưng phần chẵn và giảm phần lẻ, tạo 
thành hàm và phổ của nó chẵn hơn trước đó. 
12.2.7. Ví dụ về sự lấy mẫu 
Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ trùm phổ trong miền tần số và kết quả của nó trong 
miền thời gian. Giả thiết rằng ta có hàm 
 tftf 02cos2 (19) 
Có phổ 
 00 fsfssF  (20) 
Như trong hình 12-6. Cũng giả thiết rằng chúng ta lấy mẫu f(t) tại các khoảng 
cách t bằng nhau. Chu kỳ của f(t) là 1/f0. 
Trên lấy mẫu (Oversampling). Đối với trường hợp 1, giả sử rằng 
0
1
4
1
f
t (21) 
HÌNH 12-6 
Hình 12-6 Hàm cosin và phổ của nó 
Có nghĩa tần số lấy mẫu là 
 209 
 022
1 f
t
f N 
 (22) 
Và chúng ta có bồn điểm mẫu trên một chu kỳ của f(t). 
Hình 12-7 cho thấy hàm được lấy mẫu và phổ của nó. Hình này cũng trình bày 
hàm nội suy và phổ của nó. Bởi vì F(s) không chứa năng lượng lơn hơn fN, nên f(t) 
có thể hoàn toàn được khôi phục từ các điểm mẫu của nó. 
HÌNH 12-7 
Hình 12-7 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 1 
Lấy mẫu tới hạn (Critical Sampling). Trong trường hợp 2, giả thiết rằng 
0
1
2
1
f
t (23) 
Có nghĩa là 
 0ff N (24) 
Và chúng ta có hai điểm mẫu trên một chu kỳ. Trường hợp này được minh hoạ 
trong hình 12-8. Ở đây, chúng ta đang lấy mẫu hàm cosin tại các đỉnh dương và âm 
của nó và hàm này vẫn có thể khôi phục lại bằng phép nội suy, như trường hợp 1. 
Trong miền tần số, các xung từ các mô hình liên tiếp nhau kết hợp tại s = f0, còn phổ 
của hàm nội suy nhận giá trị 1/2 tại điểm đó, vì vậy hàm được khôi phục nguyên vẹn. 
Dưới lấy mẫu (Undersampling). Đối với trường hợp 3, ta đặt 
0
1
3
2
f
t (25) 
Nghĩa là 
 04
3 ff n (26) 
 210 
HÌNH 12-8 
Hình 12-8 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 2 
HÌNH 12-9 
Hình 12-9 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 3 
Trường hợp này được minh hoạ trong hình 12-9. Ở đây, phổ tập trung tại s = 2fN 
tạo ra xung trái nằm giữa 0 và fN tại điểm s = f0/2. Nhờ vào phép nội suy, năng lượng 
tại s = f0 được hạ xuống đến tần số f0/2. Hình 12-9 cho thấy phép nội suy làm khít 
một hàm cosin có tần số f0/2 qua các điểm mẫu. Điều này mô tả sinh động thông tin 
tần số cao được làm như thế nào để nó xuất hiện như thông tin tần số thấp. 
Dưới lấy mẫu chặt (Severe Undersampling). Trong trường hợp 4, ta đặt 
0
1
f
t (27) 
để 
 02
1 ff n (28) 
Trường hợp này được minh hoạ trong hình 12-10. Năng lượng tại f0 hạ xuống tần 
số 0. Hàm cosin chỉ được lấy mẫu tại các đỉnh dương và khi các điểm mẫu này được 
nội suy thì biên độ hàm kết quả sẽ không đổi. 
 211 
HÌNH 12-10 
Hình 12-10 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 4 
Trường hợp 5 tương tự trường hợp 3, chỉ khác hàm là 
 )2sin(2 0tftf (29) 
Như trình bày trong hình 12-11. Ở đây, tại s = fN, các mô hình phổ liêp tiếp chờm 
nhau và các cặp xung lẻ bị loại bỏ. Hình vẽ cho thấy tại sao mà hàm được nội suy lại 
bằng 0. Trường hợp này tương ứng với việc lấy mẫu hàm sin tại các giao điểm 0 của 
nó. 
HÌNH 12-11 
Hình 12-11 Lấy mẫu hàm sin, trường hợp 5 
12.2.7.1. Trùm phổ trong sự số hoá ảnh 
Hình 12-12 trình bày một ví dụ về trùm phổ rõ rệt trong một ảnh số hoá. Ảnh này 
thu được từ một camera CCD với độ rộng điểm ảnh nhỏ hơn khoảng cách điểm ảnh 
một cách đáng kể. Chiếc áo sơ mi có mẫu dệt đẹp mà, trong (a), bị biến thành trùm 
phổ trong các tần số thấp hơn, tạo ra hiệu ứng Moiré. Trong (b), camera được đặt 
cách rất gần tiêu điểm để làm mờ mẫu dệt, theo cách đó trùm phổ được loại bỏ. 
12.3. TÍNH TOÁN PHỔ 
Một ứng dụng quan trọng của xử lý ảnh số là tính toán phổ của một tín hiệu hay 
một ảnh. Trong phần này, chúng ta sẽ miêu tả cách tính phổ của một tín hiệu và so 
sánh phổ tính toán với phổ thực tế của tín hiệu. 
12.3.1. Cắt trong miền thời gian 
Giả sử tín hiệu f(t) được biểu diễn bởi N điểm mẫu tách biệt nhau một khoảng t 
không đổi, như đã trình bày trong hình 12-13. Khoảng cách tổng cộng mà tín hiệu 
được lấy mẫu trên đó là 
 212 
 tNT (30) 
Trong đó T là độ rộng của cửa sổ cắt. Bởi vì một tín hiệu chỉ có thể được lấy mẫu 
với một số hữu hạn các điểm, quá trình lấy mẫu cắt tín hiệu bằng cách bỏ qua phần 
bên ngoài cửa sổ cắt. việc này chung qui là để đặt tín hiệu hướng đến 0 ra ngoài cửa 
sổ. 
HÌNH 12-13 
Hình 12-13 Tính toán phổ 
Chúng ta muốn sử dụng các giá trị mẫu của f(t) để tính các điểm trên phổ F(s) của 
nó. Chúng ta có thể thực hiện việc này bằng cách lập trình biến đổi Fourier như một 
phép tích phân số học. Tuy nhiên, đầu tiên chúng ta phải lựa chọn số điểm mà chúng 
ta sẽ tính toán trên phổ, khoảng cách giữa các điểm mẫu, và phạm vi tần số mà chúng 
ta sẽ tính phổ trên đó. 
Bởi vì tín hiệu lấy mẫu bao gồm N phép đo độc lập nên việc tính tổng N điểm trên 
phổ là hợp lý. Việc tính toán thêm các điểm sẽ dẫn đến dư thừa, mặc dù việc tính 
toán it điểm cũng không mang lại thuận lợi cho tất cảt những thông tin về f(t) mà ta 
có. Vì thế, một chương trình máy tính đa năng cho việc tính biến đổi Fourier phải 
làm N điểm mẫu thành N điểm trên phổ. Để thuận tiện, các điểm tính toán thường 
được đặt cách đều nhau theo trục s. 
12.3.2. Cắt trong miền tần số 
Vì f(t) là hàm được lấy mẫu với khoảng cách lấy mẫu t, nên phổ F(s) của nó tuần 
hoàn với chu kỳ là 1/ t. Rõ ràng, chúng ta chỉ nên hạn chế sự tính toán trong một 
chu kỳ của F(s). Thực tế thường chọn N điểm mẫu đều nhau trên một chu kỳ của 
F(s). Nghĩa là, chúng ta chỉ tính các điểm trong khoảng 
t
s
t 
2
1
2
1 (31) 
Nếu chúng ta trải N điểm mẫu cách đều nhau trên một chu kỳ của F(s), khi đó 
t
sN
1 (32) 
Trong đó 
TtN
s 11 
 (33) 
 213 
Là khoảng cách lấy mẫu trong miền tần số. Vì thế, đối với mục đích của chúng ta, 
cách lựa chọn tốt nhất để tính phổ của f(t) là tính các điểm có khoảng cách bằng 
nhau, cho bởi biểu thức (33), trên phạm vi tần số từ -sm đến sm, trong đó 
t
sm 
2
1 (34) 
Lưu ý rằng tần số tối đa mà chúng ta có thể tính có quan hệ ngược lại với khoảng 
cách lấy mẫu trong miền thời gian [biểu thức (34)]. Khoảng cách lấy mẫu trong miền 
thời gian, xác định mức độ tính phổ, có quan hệ nghịch đảo với độ rộng cửa sổ cắt 
trong miền thời gian [biểu thức (33)]. 
12.3.3. Tính phổ 
Tóm lại, khoảng cách lấy mẫu trong một miền bức chế (hay bị bức chế bởi) sự cắt 
bớt độ rộng trong một miền khác. Nếu chúng ta muốn tính các thành phần tần số cao 
của phổ, chúng ta phải lấy mẫu trong miền thời gian. Hơn nữa, nếu chúng ta cần 
nhấn mạnh độ phân giải cao của phổ ( s nhỏ), ta phải dùng một cửa sổ cắt rộng rong 
miền thời gian, ngay cả đối với hàm hẹp. Quan hệ giữa việc lấy mẫu trong miền thời 
gian và miền tần số và các tham số cắt được tổng kết trong bảng 12-1. 
Nếu f(t) là phức và chúng ta tính phổ của nó, N giá trị thực và N giá trị ảo được 
biến đổi để tạo ra N giá trị thực và N giá trị ảo của phổ. Nếu f(t) là thực, thì N giá trị 
thực và N giá trị 0 (phần ảo) gây ra N/2 giá trị thực và N/2 giá trị ảo trong nửa bên 
phải của phổ. Vì F(s) là Hermite, nên nửa trái của phổ là hình phản chiếu của nửa 
phải. Vì thế, N/2 giá trị thực và N/2 giá trị ảo trong nửa phổ bên phải, xét về khía 
cạnh nội dung thông tin, là dư thừa. Chú ý rằng, trong cả hai trường hợp, số các điểm 
lấy mẫu không bị giới hạn trong cả hai miền là như nhau. 
BẢNG 12-1 LẤY MẪU VÀ CÁC THAM SỐ CẮT 
Bảng 12-1 
12.4. TRÙM PHỔ 
Bây giờ  ... với ban đầu. Tuy nhiên, 
điều này chỉ được thực hiện một cách chính xác nếu sin(x)/x được sử dụng như một 
hàm nội suy. Các hàm nội suy khác không loại bỏ hoàn toàn những mô hình phổ, 
giảm bớt thành phần năng lượng tần số cao của mô hình cơ bản, hoặc cả hai. 
Các tham số số hoá thường có được từ thiết kế thiết bị số hoá. Ví dụ, cửa sổ cắt 
biểu diễn khoảng cực đại mà bộ số hoá ảnh bao quát. Ống kính lấy mẫu chỉ đơn 
thuần là hàm cảm nhận của điểm quét. Khoảng cách lấy mẫu thường có thể điều 
chỉnh và thiết lập sao cho nó có liên quan đến đường kính của điểm. Đối với việc 
hiển thị một ảnh, hàm nội suy hiển thị chính bản thân điểm mẫu. 
12.7. ĐIỀU CHỈNH SAI SỐ TRÙM PHỔ 
Có hai tham số mà chúng ta có thể sử dụng để ngăn ngừa hiện tượng trùm phổ do 
sự gián đoạn thông tin trong ảnh: ống kính lấy mẫu và khoảng cách lấy mẫu. 
12.7.1. Bộ lọc chống trùm phổ 
Hình 12-24 minh hoạ cách thức người ta sử dụng một ống kính lấy mẫu hình chữ 
nhật để giảm trùm phổ. Độ rộng của ống kính gấp đôi khoảng cách lấy mẫu. Điều 
 221 
này sẽ đặt chéo 0 đầu tiên của hàm truyền đạt của nó tại fN = 1/2 t. Vì thế, năng 
lượng tại các tần số lớn hơn fN sẽ được làm suy giảm đi rất nhiều. 
HÌNH 12-24 
Hình 12-24 Giảm trùm phổ bằng ống kính hình chữ nhật 
Ống kính lấy mẫu hình tam giác được sử dụng trong hình 12-25 rộng bốn điểm 
mẫu và cũng có chéo 0 đầu tiên của nó tại fN. Vì phổ của nó triệt tiêu cùng tần số 
nhanh hơn xung chữ nhật, nên nó chống trùm phổ hiệu quả hơn. Tuy nhiên, giống 
như xung chữ nhật, nó giảm bớt năng lượng trong F(s) xuống fN. 
HÌNH 12-25 
Hình 12-25 Giảm trùm phổ bằng ống kính tam giác 
Trong hình 12-12, xảy ra hiện tượng trùm phổ do camera CCD có các kẽ hở khá 
lớn giữa các điểm ảnh trên chip cảm biến của nó. Vì thế, ống kính lấy mẫu (phần tử 
cảm biến chẳng hạn) là quá hẹp để hoạt động như một bộ lọc chống trùm phổ và loại 
bỏ thông tin tần số cao trước khi lấy mẫu. Trong phần (b), camera đặt khá gần tiêu 
điểm và vì vậy thấu kính làm việc như một bộ lọc chống trùm phổ. 
12.7.2. Lấy mẫu chồng (Oversampling) 
Các biểu thức (46) và (47) cho biết rằng một hàm liên tục không thể xử lý số mà 
không bị méo và những trình bày của chúng ta trước đây là vô ích. Tuy nhiên, có một 
lối ra - đó là lấy mẫu chồng. 
Nếu chúng ta khiến cho khoảng cách lấy mẫu nhỏ, thì chúng ta có thể đặt fN vượt 
xa hơn các tần số mà ta quan tâm trong phổ. Sau đó, khi hiện tượng trùm phổ làm 
 222 
hỏng phần trên của phổ, có ảnh hưởng ít hoặc không ảnh hưởng đến dữ liệu xử lý. 
Theo quy tắc ngón tay cái, lấy mẫu chồng theo thừa số của hai là đủ cho hầu hết các 
ứng dụng, mặc dù trong mỗi trường hợp nên có một bước phân tích. 
Ngoài ra, cửa sổ cắt phải đủ rộng để phần hỏng của phổ tín hiệu là nhỏ nhất. Bằng 
cách lấy mẫu chồng thích hợp, ta có thể làm giảm hiện tượng trùm phổ và kết quả cắt 
với biên độ bất kỳ. Dĩ nhiên, mọi khoản chi phí cho các tài ngiuyên máy tính cần 
phải được trả đầy đủ. 
12.8. LỌC TUYẾN TÍNH THỰC HIỆN SỐ 
Lọc tuyến tính có thể thực hiện số theo hai cách khác nhau. Đầu tiên, quá trình lọc 
cho trong hình 12-26 có thể được thực hiện bởi tích chập số hàm được lấy mẫu f(t) 
với h(t) để tạo ra g(t). 
HÌNH 12-26 
Hình 12-26 Một hệ thống tuyến tính 
Như một sự lựa chọn, người ta có thể biến đổi f(t) và h(t) trong miền tần số bằng 
một thuật giải biến đổi Fourier được thực hiện bởi phép tích phân số học. Tiếp theo, 
phổ đầu ra G(s) có thể được thực hiện bằng phép nhân và tín hiệu đầu ra được tạo ra 
bằng một phép biến đổi ngược. 
Nếu một hay cả hai tín hiệu đầu ra tích chập tồn tại trong khoảng ngắn, thì 
phương pháp tích chập số sẽ đơn giản hơn về mặt tính toán. Nói cách khác, các thuật 
giải biến đổi Fourier có khả năng làm cho phương pháp thứ hai thực tế hơn. Trong 
phần này, chúng ta sẽ so sánh hai cách tiếp cận liên quan đến trùm phổ và sai số cắt. 
12.8.1. Lọc tích chập 
Như đã đề cập trước đây, lấy mẫu f(t) và h(t) khiến cho phổ của chúng tuần hoàn. 
Nếu cả hai tín hiệu đều được lấy mẫu cùng khoảng t như nhau, thì phổ của chúng sẽ 
tuần hoàn với cùng chu kỳ 1/ t. Tích chập của hai tín hiệu được lấy mẫu nhân với 
hai phổ trong miền tần số để tạo ra G(s) và nó cũng tuần hoàn với chu kỳ t. Khi g(t) 
được nội suy, phổ của nó bị suy giảm xuống thành mô hình thu nhỏ tại gốc, như đã 
đề cập trong phần trước. 
Nếu f(t) hay h(t) bị giới hạn dải dưới s = 1/2 t, thì g(t) cũng sẽ bị giới hạn dải 
tương tự và phép nội suy sẽ tái tạo lại nó một cách chính xác. Tuy nhiên, phép cắt sẽ 
phá huỷ tính giới hạn dải và một vài hiện tượng trùm phổ là không thể tránh khỏi. 
Hiện tượng trùm phổ biểu diễn chính nó trong g(t) theo một khía cạnh dễ hiểu. Vì 
 223 
thế, tích chập số không đưa ra những kết quả mới vượt xa hơn những gì đã có bằng 
cách lấy mẫu, cắt bớt và nội suy. 
12.8.2. Lọc trong miền tần số 
Hình 12-27 minh hoạ hiện tượng xảy ra khi ta tính biến đổi Fourier. Tín hiệu đầu 
vào f(t) được lấy mẫu để tạo thành x(t) có phổ tuần hoàn, liên tục. Khi ta tính biến 
đổi Fourier của x(t), thì thực tế ta đã sắp xếp các điểm có khoảng cách bằng nhau trên 
cùng một chu kỳ cơ bản của phổ tuần hoàn, giống như trong hình đã minh hoạ. 
HÌNH 12-27 
Hình 12-27 Lọc trong miền tần số 
Chúng ta tính N điểm cách đều nhau một khoảng s trên toàn bộ miền tần số từ 
–1/2 t đến 1/2 t. Ta ký hiệu phổ được tính là Y(s) bởi vì thực tế ó không phải là 
X(s), phổ của x(t). 
Vì Y(s) được lấy mẫu nên biến đổi ngược y(t) của nó là một hàm vô hạn, tuần 
hoàn, liên tục (không lấy mẫu). Vì thế, phổ Y(s) không phải là phổ của x(t) hay của 
f(t), hàm nguyên thuỷ cơ bản. Đây là phổ của hàm tuần hoàn liên tục có chu kỳ T. Tất 
cả các điểm mẫu của x(t) đều nằm đúng trên chu kỳ cơ bản của y(t), ngoại trừ hiện 
tượng trùm phổ, chu kỳ cơ bản của y(t) là chính là f(t), hàm đã đượ lấu mẫu để tạo 
thành x(t). 
Bằng cách tính phổ của x(t) theo phương pháp số, chúng ta đã có được Y(s). Đây 
là phổ của hàm y(t) tuần hoàn, liên tục. Bây giờ, trong miền tần số, chúng ta có điều 
tương đương với sự tái tạo phổ, cái mà ta đã thấy trước khi chúng ta lấy mẫu trong 
miền thời gian. 
Nếu chúng ta thực hiện biến đổi ngược theo phương pháp số, chúng ta có thể phục 
hồi x(t) từ Y(s). Nếu sau đó, ta nội suy x(t) thì ta có thể khôi phục được f(t). Thực tế 
là Y(s) tương ứng với một hàm tuần hoàn đem lại kết quả không tồi trong trường hợp 
này. nếu chúng ta thực hiện lọc số bằng cách thay đổi phổ thì vấn đề không còn đơn 
giản nữa. 
Sự chồng chéo của phổ được tái tạo. Giả sử chúng ta thực hiện lọc trong miền 
tần số bằng cách nhân Y(s) với hàm truyền đạt H(s) nào đó. Đây là tích chập y(t) với 
đáp ứng xung h(t). Bởi vì y(t) tuần hoàn nên tích chập có chiều hướng dịch chuyển 
các chu kỳ gần kề nhau thành chu kỳ cơ bản trong vùng lân cận của t = T/2. 
Nếu h(t) hẹp và y(t) hầu như không đổi trong phạm vi t = T/2 thì sự chồng chéo 
của các chu kỳ gần kề nhau sẽ chỉ có ảnh hưởng nhỏ. Tuy nhiên, nếu x(t) tại mỗi đầu 
của cửa sổ cắt không bằng nhau thì y(t) sẽ gián đoạn tại t = T/2. Điều này thể hiện sự 
 224 
gián đoạn tạo ra trong hàm (tuần hoàn) tại mỗi đầu của cửa sổ cắt. Tích chập với đáp 
ứng xung sẽ tạo ra những hiệu ứng tại hai đầu cửa sổ cắt bằng cách phủ lấp lên điểm 
gián đoạn. 
Mặc dù kết quả phủ lấp tại các điểm đầu của cửa sổ cắt không thể tránh khỏi một 
cách hoàn toàn, nhưng có thể giảm nó xuống mức chấp nhận được (a) bằng cách tạo 
cửa sổ cắt có chú ý đến các thành phần quan trọng của tín hiệu, sao cho không có 
phần đang xét nào bị ảnh hưởng, hay (b) bằng cách sắp xếp x(t) để có được biên đọ 
như nhau tại mỗi đầu cửa sổ cắt, sao cho không có chỗ bị gián đoạn hay chỉ bị một 
chút ít trước khi nó trở nên tuần hoàn. Người ta có thể thực hiện điều này bằng cách 
nhân hàm cắt với hàm cửa sổ. Hàm trên có biên độ đơn vị trên toàn bộ phạm vi cửa 
sổ, nhưng giảm dần về 0 ở các đầu mút. 
Kết quả chặn đứng tại các đầu mút của cửa sổ cắt thường gặp trong lọc trong miền 
tần số là miền tần số tương đương với hiện tượng trùm phổ do lấy mẫu trong miền 
thời gian. Khi thực hiện lọc tuyến tính bằng cách tính phổ, ta phải thực hiện phép 
phân tích để định lượng kết quả của phép cắt. 
12.9. TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Hàm Shah (chuỗi xung) là biến đổi Fourier của chính nó [biểu thức (2)]. 
2. Phác hoạ và nén hàm Shah (các thao tác đơn giản) để biến đổi cường độ của 
xung [biểu thức (8)]. 
3. Việc lấy mẫu một hàm liên tục có thể được mô phỏng như phép nhân bằng 
hàm Shah. 
4. Một hàm bị giới hạn dải tại tần số s0 có thể khôi phục lại hoàn toàn từ các giá 
trị mẫu của nó nếu chúng được lấy mẫu ít hơn hoặc bằng 1/2s0. 
5. Dưới lấy mẫu (undersampling) dẫn đến trùm phổ, ở đó năng lượng bên trên 
tần số lấy mẫu (s = 1/2 t) bằng dưới tần số lấy mẫu. 
6. Sự cắt bớt sẽ phá huỷ tính giới hạn dải và không thể tránh được hiện tượng 
trùm phổ trong xử lý số. 
7. Các ảnh hưởng trùm phổ có thể giảm đến mức chấp nhận được bằng cách lấy 
mẫu chồng, hay bằng cách lọc thông thấp trước khi lấy mẫu. 
8. Lọc trong miền tần số có thể tạo ra một kết quả chặn đứng tại các đầu mút 
cửa sổ cắt (tại các biên ảnh chẳng hạn). 
BÀI TẬP 
1. Chứng minh biểu thức (2). 
2. Giá trị các điểm mẫu sẽ là bao nhiêu trên phổ của của cạnh trong hình 12-18 
nếu chúng được tính tại si = (i + 1/2)/T theo biểu thức (43)? 
3. Phác thảo lại hình 12-18 nếu f(x) = sign(x-a) trong đó a = T/8. 
4. Một tín hiệu tuần hoàn với tần số f0 = 3 Hz. Bạn muốn tính phổ để xác định 
tần số điều hoà của nó là bao nhiêu. Bạn biết rằng nó đã được lọc thông thấp 
để loại bỏ tất cả các thành phần tần số cao hơn 48 Hz. Số mẫu tối thiểu là bao 
nhiêu, lấy trên chu kỳ thời gian là bao nhiêu để bạn có thể số hoá tín hiệu này 
với việc lấy mẫu tới hạn? 
5. Một tín hiệu cosin tần số f0 = 0.22 Hz trong đường bao Gauss biên độ 4 và độ 
lệch tiêu chuẩn  = 10 giây, tập trung tại t = 0. Đối với mục đích cắt bớt, giả 
sử rằng tín hiệu là 0 khi biên độ hạ xuống dưới 0.1% giá trị cực đại của nó. 
Cần bao nhiêu mẫu trên chu kỳ để bạn có thể số hoá tín hiệu này (a) bằng lấy 
mẫu tới hạn? và (b) lấy mẫu chồng tín hiệu bằng một thừa số của hai? (c) 
 225 
Nếu bạn sử dụng bộ số hoá luôn luôn cố định ở 256 mẫu, bạn sẽ gặp phải 
hịên tượng trùm phổ không? 
6. Một tín hiệu sin tần số f0 = 430 Hz trong đường bao Gauss có độ lệch tiêu 
chuẩn  = 10 giây, tập trung tại t = 0. Đối với mục đích cắt bớt, giả sử rằng 
tín hiệu là 0 khi biên độ hạ xuống dưới 0.1% giá trị cực đại của nó. Cần bao 
nhiêu mẫu trên chu kỳ để bạn có thể số hoá tín hiệu này, lấy mẫu chồng tín 
hiệu bằng một thừa số của hai? Bằng lấy mẫu tới hạn? 
7. Một tín hiệu sin tần số f0 = 250 Hz trong đường bao có dạng 4sech( t), 
trong đó = 10 ms, tập trung tại t = 0. Đối với mục đích cắt bớt, giả sử rằng 
tín hiệu là 0 khi biên độ hạ xuống dưới 0.1% giá trị cực đại của nó. Cần bao 
nhiêu mẫu trên chu kỳ để bạn có thể số hoá tín hiệu này, lấy mẫu chồng tín 
hiệu bằng một thừa số của hai? Bằng lấy mẫu tới hạn? 
8. Tín hiệu III(x/) trong đường bao Gauss biên độ 2 và độ lệch tiêu chuẩn , 
tập trung tại t = 0. Ở đây,  = 100 ms và  = 500 ms. Phác hoạ tín hiệu và 
phổ của nó. 
9. Tín hiệu III(x/) trong đường bao Gauss biên độ 5 và độ lệch tiêu chuẩn , 
tập trung tại t = 0. Ở đây,  = 3 ms và  = 2 ms. Phác hoạ tín hiệu và phổ của 
nó. 
10. Một phim âm bản 35 m là 24 mm 36 mm. Nó chứa các thanh đen và trắng 
nằm liên tiếp nhau, đặt cách nhau D mm theo chiều 36 mm. Bạn có một bộ số 
hoá 640 480 điểm ảnh. (a) Khoảng cách điểm ảnh nhỏ nhất là bao nhiêu để 
có thể số hoá toàn bộ ảnh âm bản? (b) Nếu các thanh là hình sin và D = 0.15 
mm, bạn có thể số hoá mà không vấp phải vấn đề trùm phổ không? (c) Nếu D 
= 0.3 mm, bạn có thể số hoá bằng cách lấy mẫu chồng hai lần, ba lần hay 
không? (d) Nếu D = 1mm và các thanh không là hình sin, bạn có thể tính phổ 
của chúng thành 8 hàm điều hoà (chẳng hạn, sm = 8 tần số các thanh) được 
không? 
DỰ ÁN 
1. Phòng tiếp thị của công ty bạn đang đề xuất việc thiết kế một sản phẩm xử lý 
ảnh mới nhằm làm giảm kích thước ảnh số bằng cách loại bỏ một số hàng và 
cột. Bạn biết rằng các ảnh sẽ bị mất chất lượng đáng kể do lỗi trùm phổ. Nười 
quản lý cấp cao hơn của bạn (người cho rằng trùm phổ nghĩa là đăng nhập 
dưới một cái tên người dùng giả mạo) thích nghe các dự án đề xuất sản phẩm 
mới. Có hội nghị xem xét một sản phẩm mới trong một vài ngày. Bạn có một 
cơ hội để bác bỏ thiết kế tồi này trước khi nó khiến cho cong ty của bạn phá 
sản. Hầu hết tài sản cá nhân của bạn đều bị giữ lại trong kho của công ty và 
những dự kiến lương hưu. Bạn là người duy nhất trong công ty, người có thể 
nhìn thấy mối nguy hại. Bạn phải hành động nhanh chóng và có sức thuyết 
phục. 
Số hoá một ảnh có chứa một mô hình tần số cao. Giải thích hiện tượng trùm 
phổ bằng cách lấy mẫu lại xuống còn một nửa kích thước của nó mà không 
lấy trung bình tại chỗ để tránh trùm phổ. Phác hoạ MTF của hệ thống số hoá 
ảnh. Trên cùng một tỷ lệ, đánh dấu tần số lấy mẫu trước và sau khi lấy mẫu 
lại. Ngoài ra, đánh dấu tần số của mô hình trước và sau khi lấy mẫu lại. Viết 
một bài tường thuật ngắn giảng giải lý thuyết đằng sau hiện tượng được giải 
thích, liên hệ với các kết quả quan sát hiện tượng trùm phổ và thảo luận về 
việc hiệu chỉnh vấn đề sau khi nó đã xảy ra và làm thế nào để tránh nó. 
 226 
2. Định vị một hệ thống số hoá ảnh (máy quét phim, camera CCD,) trong đó, 
các điểm quét nhỏ hơn khoảng cách điểm ảnh một cách đáng kể. Chọn một 
đối tượng (hay ảnh của một đối tượng) có chứa một mô hình tần soôs cao rõ 
rệt. Đầu tiên, tính khoảng cách điểm ảnh (của đối tượng) mà tại đó hiện 
tượng trùm phổ của mô hình bắt đầu xảy ra. Sau đó số hoá một ảnh tại các 
giá trị 0.5, 1.0 và 2.0 lầm khoảng cách điểm ảnh. Viết một bài tường thuật 
ngắn mô tả các kết quả của bạn. Dùng các kết quả đó để hỗ trợ cho việc quyết 
định khoảng cách điểm ảnh nào sẽ được sử dụng. 
3. Trình bày các ví dụ về trùm phổ (tương tự như trong hình 12-12) bằng cách 
lấy mẫu lại các ảnh số thành kích thước nhỏ hơn bằng cách loại bỏ bớt các 
hàng và cột mà không lấy trung bình tại chỗ. Tạo một tấm bưu thiếp đẹp và 
gửi nó cho những người bạn. Viết một bài tường thuật súc tích giải thích 
những yêu cầu để có được một ví dụ điển hình về hiện tượng trùm phổ của 
ảnh số. 
4. Định vị một hệ thống số hoá ảnh (máy quét phim, camera CCD,) trong đó, 
các điểm quét nhỏ hơn khoảng cách điểm ảnh một cách đáng kể. Sử dụng 
thiết bị để trình bày ví dụ về trùm phổ. Làm một tấm thiệp Giáng sinh và gởi 
cho tác giả. Viết một bài tường thuật súc tích giải thích những yêu cầu để có 
được một ví dụ điển hình về hiện tượng trùm phổ của ảnh số. 
5. sử dụng một chương trình toán học hay viết một chương trình để thực hiện 
lọc thông thấp một chiều trong miền tần số. Dùng chương trình để giải thích 
cho sự chặn đứng một hàm tại các đầu mút của cửa sổ cắt. Viết một bài ngắn 
gọn mô tả những minh hoạ của bạn về các hiện tượng. 
6. Chọn một ảnh số chứa đựng những khác biệt về mức xám giữa các biên trái 
và phải của nó và/hoặc giữa các biên trên và dưới của nó. Sử dụng một hệ 
thống xử lý ảnh để thực hiện lọc thông thấp trong miền tần số. Tạo ba ví dụ 
sử dụng lọc thông thấp nhiều lần. Viết một bài ngắn gọn minh chứng cho kết 
quả của việc chặn đứng các chu kỳ gần kề nhau.