Giáo trình Xử lý ảnh - Chương 10: Biến đổi Fourier

 136 
Ch­¬ng 10 
BIẾN ĐỔI FOURIER 
10.1. GIỚI THIỆU 
Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cho 
phép chúng ta xác định số lượng các tác dụng của các hệ thống số hoá, các điểm lấy 
mẫu, các bộ khuếch đại điện tử, các bộ lọc tích chập, nhiễu và các điểm hiển thị. Những 
người kết hợp kiến thức nguyên lý của các tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực 
tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để tiếp cận hầu hết các bài toán xử lý 
ảnh. Bình thường, những người phát triển sự kết hợp các kỹ năng là các sinh viên khoa 
điện tử và vật lý quang học, và họ thực hiện công việc này trong các khoá học. Tuy 
nhiên, đối với bất kỳ người nào thực sự có ý định sử dụng xử lý ảnh số trong công việc 
của họ, thì thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đáng để đầu tư. 
Về ý nghĩa nào đó, biến đổi Fourier giống như một ngôn ngữ thứ hai để miêu tả các 
chức năng. Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy một 
ngôn ngữ tốt hơn ngôn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đó. Tương tự, các nhà phân 
tích xử lý ảnh có thể di chuyển lui tới giữa miền không gian và miền tần số trong khi 
tiến hành trọn vẹn một vấn đề. 
Đầu tiên khi học một ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh của 
anh ta hay cô ta và nhẩm dịch trước khi nói. Tuy nhiên, sau khi đã trở nên trôi chảy, họ 
có thể nghĩ đến một ngôn ngữ khác. Tương tự, một khi đã quen thuộc với biến đổi 
Fourier, nhà phân tích đều có thể thao tác trong miền không gian hay miền tần số và khả 
năng rất hữu ích. 
Trong phần đầu tiên của chương này, chúng ta sẽ trình bày các tính chất của biến đổi 
Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, chúng ta tổng quát 
hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều. Quy ước trong phần hai của quyển sách này là 
xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm 
không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh. 
Trong nghiên cứu về phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta, chúng ta sẽ giới hạn 
thảo luận của chúng ta chỉ còn một phần của lĩnh vực được phát triển nhất này. Ví dụ, 
chúng ta chỉ sử dụng biến đổi Fourier mà không sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi 
Z, bởi vì chúng không cần thiết cho mục đích của chúng ta. Sự hạn chế này cho phép 
chúng ta phát triển các kỹ thuật mà chúng ta cần để phân tích các hệ thống xử lý ảnh số 
với một lượng phép toán phức tạp tối thiểu. 
Một nguyên nhân khiến chúng ta không cần đến biến đổi Laplace, và các kỹ thuật 
khác từ lĩnh vực phân tích hệ thống tuyến tính, là chúng ta làm việc với dữ liệu được thu 
nhận. Điều này làm nhẹ bớt cho chúng ta gánh nặng của việc thao tác bằng khả năng vật 
lý (tính nhân quả) và quan hệ mật htiết của nó đối với phân tích. 
Tính nhân quả. Các hệ thống tuyến tính thực hiện bằng phần cứng điện tử được đề 
cập đến như là nguyên nhân (causal) bởi vì tín hiệu vào gây ra sự xuất hiện tín hiệu ra. 
Nói chung, điều này có nghĩa là nếu đầu vào là 0 tại tất cả các thời điểm âm thì đầu ra 
cũng phải như thế với t<0. Mặc dù đây là quan sát bằng trực giác, hãy xem xét ràng buộc 
của nó trên đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính: nếu đầu vào là một xung tại t = 0, 
 137 
thì đáp ứng xung phải bằng 0 với mọi t<0. Vì vậy, đối với các hệ thống có thể thực hiện 
được, đáp ứng xung luôn nằm về một phía. Điều này có nghĩa rằng nó có thể không chẵn 
hoặc lẻ, ngoại trừ một vài trường hợp không đáng kể. Điều kiện trên gây rắc rối đáng kể 
cho sự phân tích hệ thống tuyến tính của các hệ thống vật lý có thể thực hiện. 
Chúng ta cũng không thể ràng buộc khi thao tác với dữ liệu ghi nhận được. Thực hiện 
phép nhân chập số có thể thao tác dễ dàng với các hàm chẵn và lẻ, cũng như tại điểm 0 
đối với thời điểm âm. Hơn thế nữa, đối với xử lý ảnh trong miền không gian, gốc toạ độ 
là tuỳ ý và các giá trị x và y âm không có ý nghĩa đặc biệt. Trong các chương sau, độc 
giả sẽ cảm ơn những vấn đề toán học phiền toái mà chúng ta thực hiện với dữ liệu ghi 
nhận và không phải gánh chịu điều kiện nhân quả khi phân tích. 
10.1.1. Biến đổi Fourier liên tục 
Biến đổi Fourier của hàm truyền đạt với một biến f(t) được định nghĩa như biểu thức 
(1) 
  
  dtetfsFtf stj 2)()()( (1) 
trong đó j2 = -1. Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính. Điểm trung 
trong đó là, thực hiện các hàm số phức của n biến số thực trong một hàm phức khác của 
n biến thực khác. Biến đổi Fourier ngược của F(s) được định nghĩa như biểu thức (2). 
  
  dsesFsF stj 21 )()( (2) 
Sự khác biệt giữa biến đổi Fourier trực tiếp và biến đổi Fourier ngược đó là dấu của 
hệ số. 
Định lý biến đổi tích phân Fourier như sau: 
 dsedtetftf stjstj 22)()( 
 (3) 
Điều này có nghĩa là biến đổi Fourier có tính tương hỗ qua lại lẫn nhau: 
   )()()()( 1 tfsFsFtf   (4) 
Các hàm f(t) và F(s) được gọi là cặp biến đổi Fourier. Với hàm f(t) bất kỳ thì biến 
đổi Fourier F(s) là duy nhất và ngược lại. 
Có cách viết khác trong các biểu thức (1), (2), (3) phụ thuộc vào vị trí của hệ số 2 
trong biểu thức. Trong đó quy ước sử dụng phù hợp với hệ thống. Trong quy ước, biến 
tần số được tính trong toàn bộ các chu kỳ (không phải là radian) trên một đơn vị thời 
gian t. 
10.1.1.1. Ví dụ: biến đổi Fourier của hàm Gauss 
Sau đây là một ví dụ minh hoạ, chúng ta đưa ra biến đổi Fourier của hàm Gauss: 
2
)( tetf (5) 
Từ biểu thức 1 ta có thể viết như sau 
 dteesF stjt 2
2
)( 
Hay 
 138 
 dtesF stjt )2(
2
)( (6) 
Chúng ta nhân phía về phải bởi 
 1
22
 ss ee 
Ta được 
 dteesF jsts
22 )()( (7) 
Chúng ta bây giờ thực hiện biến đổi các biến (tính vi phân) 
 dtdujstu (8) 
Và biểu thức (7) trở thành 
 dueesF us
22
)( (9) 
Tích phân trong biểu thức 9: được tính và rút gọn sẽ cho 
2
)( sesF (10) 
Hàm trong biểu thức (5) và trong biểu thức (10) là một cặp biến đổi Fourier. Và biến 
đổi Fourier của Gauss ta cũng gọi là biến đổi Gauss. Tính chất này làm cho hàm truyền 
đạt Gauss khá hữu dụng trong phân tích sau này: 
10.1.2. Các tồn tại trong biến đổi Fourier 
do biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân. chúng ta phải biết địa chỉ các câu hỏi 
còn tồn tại trong tích phân biểu thức (1) và (2) 
10.1.2.1. Các hàm tức thời 
một vài hàm có giá trị 0 khi giá trị đối số âm hay dương đủ lớn trong phép tích phân của 
biểu thức (1) và (2). đối với mục đích của chúng ta Nếu tích phân của giá trị của một 
hàm tồn tại. Ví dụ nếu: 
 dttf )( (11) 
Và hàm này là liên tục hoặc không liên tục trong một miền giới hạn, sau đó biến đổi 
Fourier của hàm tồn tại cho tất cả các giá trị của s. Chúng ta có thể gọi các hàm này là 
các hàm tức thời. Do nó không có nghĩa trong khoảng thời gian lớn: 
Đây là các hàm chúng ta sẽ cần phải thực hiện. Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược 
bỏ để giới hạn khung và độ bền của nó. Việc này đòi hỏi phải có biến đổi. Tuy nhiên 
trong một số trường hợp khác ta có thể không cần dùng các biến đổi 
10.1.2.2. Hàm hằng và tuần hoàn 
biến đổi Fourier không tồn tại cho tất cả các giá trị của s nều f(t)= cosin(2 t) hay Nếu 
f(t) = 1. Tuy nhiên xung (t), được giới thiệu trong chương 9 cho phép chúng ta có thể 
điều khiển các trường hợp thuận lợi. 
Xét biến đổi ngược của một cặp xung: 
 139 
    dsefsfsfsfstf stj  200001 )()()()()( 
  
Bằng cách phân tích tính chất xung, ta có 
)2cos(2
)()()(
0
22
00
00 tfee
dsefsdsefstf
tfjtfj
stjstj

Trong đó chúng ta đã sử dụng biến đổi ơle, chia cho 2 chúng ta có thể viết 
   )()(
2
1)2cos( 000 fsfstf   (12) 
Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hàm cosin của tần số fo là một cặp xung với s = 
 f0 trong miền tần số. Với biến đổi Fourier cho một hàm sin ta có 
   )()(
2
)2sin( 000 fsfs
jtf   (13) 
Nếu chúng ta cho f0 = 0 chúng ta có thể chỉ ra 
  )(1 s  (14) 
Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hằng số là một xung khởi đầu: 
Chúng ta bây giờ đã có thể sử dụng biểu thức cho biến đổi Fourier của hằng số và các 
hàm tuần hoàn. Chúng ta đã có những hiểu biết tốt về nguyên lý biến đổi Fourier cho các 
hàm tuần hoàn có miền tần số f chúng ta có thể tổng kết với trường hợp là nf, trong đó n 
phải là số nguyên. Xem thêm biểu thức (40) bạn sẽ thấy biến đổi Fourier của hàm tuần 
hoàn tương đương với một chuỗi các xung được đặt tại các điểm cách đều nhau trong 
miền tần số. 
10.1.2.3. Các hàm ngẫu nhiên 
Chúng ta thu gọn các hàm không tuần hoàn có tích phân không xác định và trong một 
lớp gọi là các hàm ngẫu nhiên. Trong các chương sau, chúng ta sẽ sử dụng các chế độ 
đầu ra của một quá trình ngẫu nhiên. 
Trong đa số các trường hợp, chúng ta đòi hỏi chỉ có hàm tự tương quan của hàm ngẫu 
nhiên. Hàm này được cho bởi 
T
TTf
dtftf
T
R  )()(
2
1lim)( (15) 
Và nó có trong các hàm mà chúng ta quan tâm. các hàm tự tương quan là thực và 
chẵn, và biến đổi Fourier của nó là phép mũ của phổ f(t), như chỉ ra sau đây. 
Nếu nó trở lên cần thiết biến đổi một hàm ngẫu nhiên, chúng ta có thể định nghĩa lại 
biến đổi Fourier của biểu thức 1. 
T
T
stj
T
dsetf
T
sF 2)(
2
1lim)( (16) 
Và tương tự cho biến đổi ngược. Chúng ta sau đó có thể làm việc với một lớp của các 
hàm để định nghĩa lại các biến đổi Fourier đã tồn tại. Tuy nhiên trong quyển sách này 
chúng ta vẫn làm việc với các định nghĩa được thiết lập trong biểu thức 1 và 2, do chúng 
 140 
gần như đường bao tín hiệu trong giới hạn độ bền. Các nhà phát triển thực hiện với các 
quy ước 1 và 2 có thể thực hiện lại với các quy ước đề nghị trong biểu thức 16. 
Chúng ta kết luận cuộc thảo luận này với quan điểm, trong mục đích của chúng ta, 
rằng biến đổi Fourier không phải là vấn đề chủ yếu. 
10.1.3. Khai triển chuỗi Fourier 
Giả sử ta có hàm g(t) là hàm tức thời theo thời gian có giá trị không bên ngoài khoảng 
[-T/2, T/2]. Ta cũng có thể coi như là một chu kỳ của hàm tuần hoàn. Chúng ta cũng có 
thể có một hàm liên tục bằng cách dời dạc hoá s trong biểu thức 1 và tính tích phân chỉ 
trong miền thời gian trên 
2/
2/
)(2)()(
T
T
stnj
n dsetgsnGG
 (17) 
Trong đó T là chu kỳ và s = 1/T. Việc khai triển này thể hiện g(t) bằng các hệ số (có 
giá trị phức) vô hạn, mặc dù vậy nhưng trong chủ yếu các hàm mà chúng ta quan tâm chỉ 
hữu hạn với các hệ số khác không. 
Hàm truyền đạt ngược trở thành 
 
0
)(2
0
)(2 1)()(
n
t
T
nj
n
n
stnj eG
T
sesnGtg
 (18) 
Xây dựng lại một hàm g(t) có thời gian trong miền khác không bằng cách thêm vào 
các đường hình sin của các tần số khác nhau độ rộng của các đường hình sin này là các 
hệ số Gn. 
Khai triển chuỗi Fourier của hàm f(t) là 
 
11
0 )2sin()2cos(
2
)(
n
n
n
n tT
nbt
T
na
a
tf (19a) 
Trong đó 
1/
2/
2/
2/
)2sin()(2)2cos()(2
T
Tn
T
Tn
dxx
T
nxf
T
dxx
T
nxf
T
a b vµ (19b) 
Nó đưa ra một hàm tuần hoàn với chu kỳ T bằng hai hình sin vô hạn với hệ số thực. 
10.1.4. Biến đổi Fourier rời rạc 
Nếu chúng ta rời rạc hoá cả thời gian và tần số biến đổi Fourier trong biểu thức (19a) 
sẽ trở thành 
 
2/
2/
)(22/
2/
)(2)()(
N
Ni
i
N
nj
i
N
Ni
tisnj
n egN
TsetigsnGG
 (20a) 
Trong đó T = N t. Biến đổi ngược sẽ có dạng 
 
n
i
N
nj
n
N
n
tisnj
i eGT
sesnGtigg
)(22/ )(2 1)()(
 (20b) 
Trở lại với các hàm mà chúng ta quan tâm, g(i t), hệ số {Gn} khác không khi các giá 
trị n tương đối nhỏ. 
 141 
Nếu {fi}là một chuỗi có độ dài N, tất cả những hàm thu được bằng cách lấy mẫu của 
một hàm liên tục trong khoảng thời gian như nhau, thì biến đổi Fourier rời rạc của nó là 
chuỗi {Fn} cho bởi 
 
1
0
21 N
i
i
N
nj
in efN
F
 (21) 
Và DFT ngược sẽ là 
 
1
0
21 N
n
n
N
ij
ni eFN
f
 (22) 
Trong đó 0 i, n N-1. 
10.1.4.1. Mối quan hệ với biến đổi liên tục 
Sự tương đồng DFT đúng với biểu thức (1) và (2) và với biểu thức (20a) và biểu thức 
(20b) đó là DFT có lẽ có nhiều tính chất giống nhau như biến đổi tích phân. Đối với các 
loại hàm mà chúng ta thực hiện với việc xử lý ảnh số, sự khác nhau giữa chúng là khá 
nhỏ. Trong thực tế, nếu {fi} có được bằng mẫu chính xác một kiểu hàm liên tục nào đó, 
thì biến đổi Fourier rời rạc đưa ra có thể là trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier liên 
tục. Việc lấy mẫu chính xác như vậy chúng ta có thể gọi là các hàm giới hạn dải thông, 
và việc sử dụng DFT để tính toán biến đổi Fourier được đề cập đến trong chương 12 và 
chương 13. Việc sử dụng DFT để thực hiện lọc tuyến tính được trình bày trong chương 
16. 
Thật là may mắn cho chúng ta, DFT cũng có quan hệ rất gần gũi với biến đổi Fourier 
liên tục. Miễn là chúng ta tuân theo luật lấy mẫu được đặt ra trong chương 12 thì về bản 
chất chúng ta có thể xem chúng là tương đương. Tính mềm dẻo bắt buộc chúng ta phải 
xem xét quá trình thiết kế trong phạm vi rộng. Điều đó có nghĩa, chẳng hạn, là chúng ta 
có thể dùng cách tiếp cận liên tục khi gải quyết một bài toán xử lý ảnh, và sau đó thực 
hiện lời giải bằng cách tiếp cận rời rạc. 
10.1.5. Biến đổi nhanh Fourier (FFT) 
Khi thực sự cần thiết để tính toán biến đổi Fourier của một tín hiệu hay một ảnh đợc 
lấy mẫu, chúng ta thường sử dụng DFT. Số các phép nhân và phép cộng cần có để thực 
hiện biểu thức (21) hay (22) rõ ràng phải tỷ lệ với N2, thậm chí sau đó giá trị yêu cầu số 
mũ phức phải được lưu trữ trong bảng. Điều này khién cho việc tính toán này trở lên rất 
phiền toái. 
Thật may mắn, đã sẵn có một lớp thụât giải làm giảm thiểu số các phép tính chỉ còn ở 
mức Nlog2N. Việc thực hiện với số phép tính giảm nhẹ này gọi là biến đổi nhanh 
Fourier. N phải phân tích thừa số thành tích các số nguyên nhỏ. Hiệu quả cao nhất và 
kết quả thực hiện đơn giản nhất khi N là luỹ thừa của 2 (chẳng hạn N = 2p trong đó p là 
một số nguyên). 
Chú ý trong biểu thức (21) có thể viết dưới dạng tích ma trận 
 1
0
1,10,1
1,00,0
1
0
NNNN
N
N f
f
WW
WW
F
F




 (23) 
Hay 
 142 
 F = W f (24) 
Trong đó 
 N
nij
in eN
w
 2
,
1 
 (25) 
Do hàm mũ tuần hoàn theo tích của n và i, nên tính đối xứng trong ma trận W là đáng 
quan tâm. Ma trận có thể phân tích thành các ma trận N N chứa các giá trị được lặp lại, 
bao gồm rất nhiều giá trị 0 và giá trị 1. Nếu N = 2p thì W phân thành p ma trận như trên. 
Số lượng tổng cộng các phép tính được yêu cầu để thực hiện p tích ma trận về thực chất 
là ít hơn số các phép tính yêu cầu đối với biểu thức (23). 
Phân tích bằng FFT làm giảm khối lượng công việc tính toán đi một lượng là 
 )(
2
)(
2
2
loglog NN
N
N
N
 (26) 
Giá trị này tăng với N, và với N = 1024, FFT nhanh hơn thực hiện trực tiếp xấp xỉ 
100 lần. 
10.1.6. Biến đổi Fourier của một số hàm thường dùng 
Bảng 10-1 liệt kê các biến đổi Fourier của một số hàm phổ biến: 
BẢNG 10-1 BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG DÙNG 
Hàm f(t) F(s) 
Gauss 
Xung vuông 
Xung tam giác 
Xung 
Nhảy bậc đơn vị 
Cosin 
Sin 
Mũ phức 
(t) 
(t) 
(t) 
u(i) 
cosin(2 ft) 
sin(2 ft) 
1 
(s-f) 
2te 
ftje 2
2se 
s
s
 )sin(
2
2
)(
)(sin
s
s
s
js
 )(
2
1
 )()(
2
1 fsfs 
 )()(
2
1 fsfsj 
 143 
10.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 
10.2.1. Tính đối xứng 
Trong trường hợp tổng quát, một hàm phức của một biến trị thực đơn có biến đổi 
Fourier cũng là một hàm phức của biến thực. Tuy nhiên, có một số lớp các hàm bị hạn 
chế vì tính đối xứng của chúng tạo ra hành vi dưới phép biến đổi Fourier ... c thành 
các toán hạng hàng và cột, và F là một ma trận đơn vị. 
10.4.4. Các tính chất của biến đổi Fourier hai chiều 
Các nguyên lý biến đổi Fourier hai biến được tổng kết trong bảng 10-3. Chú ý việc 
tổng quát hoá từ một chiều lên hai chiều hầu như là trực tiếp. 
Biến đổi Fourier hai chiều có một vài tính chất mà biến đổi Fourier một chiều không 
có. Một là tính chất mà nếu một ảnh hai chiều nhóm số hạng thành một tích các thành 
phần một chiều, điều đó cũng đúng cho phổ hai chiều của ảnh. Một tính chất khác là tính 
chất quay, nó tỏ ra quan trọng trong các máy chụp X quang trục nhờ máy tính (CAT), 
được đề cập trong chương 22. 
Laplace là một toán tử đạo hàm bậc hai theo mọi hướng thường sử dụng trong phát 
hiện biên và tăng cường biên. Chú ý việc sử dụng Laplace trên một hàm sẽ nhân phổ của 
nó với số hạng 22 vu . Đối với nguyên lý tích chập, Laplace tương ứng với một hệ 
thống tuyến tính có hàm truyền đạt tăng theo bình phương tần số. 
10.4.4.1. Tính tách được 
Giả sử rằng 
 yfxfyxf 21, (111) 
BẢNG10-3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER HAI CHIỀU 
 158 
BẢNG 10-3 
Thì 
 dxdyeyfxfvuF vyuxj 221, (112) 
Có thể sắp xếp để được 
 vFuFdyeyfdxexfvuF vyjuxj 21
2
2
2
1,
 (113) 
Vì thế, nếu một ảnh hai chiều phân tích thừa số thành các thành phần một chiều, thì 
phổ của nó cũng như vậy. 
Xem xét biến đổi Gauss elliptic hai chiều như một ví dụ 
22222222 2/2/2/2/ yxyx yxyx eee  (114) 
được phân tích thừa số thành tích của hai hài Gauss một chiều. Nếu độ lệch tiêu chẩn 
của hai thừa số bằng nhau thì ta có 
2222222 2/2/2/  yxyx eee (115) 
đây là hàm Gauss vòng tròn. Hàm này cực kỳ hữu dụng trong phân tích các hệ thống 
quang học vì nó đối xứng vòng tròn và có thể phân tích thừa số thành các thành phần 
một chiều. 
10.4.4.2. Tính đồng dạng 
Nguyên lý đồng dạng có thể tổng quát hoá cho trường hợp các biến đổi hai chiều. 
Chúng ta có thể viết 
  
  dxdyeybxaybxafybxaybxaf vyuxj 222112211 ,, (116) 
Thay biến 
 ybxazybxaw 2211 (117) 
Trong trường hợp đó 
dzBdwAdydzBdwAdx
zBwAyzBwAx
2211
2211
 (118) 
Trong đó 
1221
1
2
1221
2
2
1221
1
1
1221
2
1
baba
aB
baba
aA
baba
bB
baba
bA
 (119) 
 159 
Khi đó biến đổi Fourier trở thành 
 
  
 vBuBvAuAFBABA
BABAdzdwezwf
ybxaybxaf
zvBuBwvAuAj
21211221
1221
2
2211
,
,
,
2121
 
- -
 (120) 
10.4.4.3. Phép quay 
Từ nguyên lý đồng dạng hai chiều, ta có phép quay f(x,y) một góc quay  cũng làm 
quay phổ của f(x,y) một lượng tương tự như vậy. Chúng ta đặt 
  cossinsincos 2211 baba (121) 
Sao cho 
  cossinsincos 2211 BABA (122) 
Và 
   cossin,sincoscossin,sincos vuvuFyxyx  (123) 
10.4.4.4. Phép chiếu 
Giả sử chúng ta giảm một hàm hai chiều f(x, y) thành một hàm một biến bằng phép 
chiếu lên trục x để tạo thành 
 dyyxfxp , (124) 
Thì biến đổi Fourier (một chiều) của p(x) là 
 dxdyeyxfuP uxj 2, (125) 
Nhưng P(u) có thể viết như sau 
 0,, 02 uFdxdyeyxfuP yuxj 
 (126) 
vậy biến đổi của hình chiếu f(x,y) lên trên trục x là F(u,v) được xác định theo trục u. 
Phép chiếu kết hợp với tính chất quay chứng tỏ rằng biến đổi Fourier một chiều của 
f(x,y) được chiếu lên một đường thẳng hợp với trục x một góc  là F(u,v) xác định theo 
một đường thẳng hợp với trục u một góc  (hình 10-9). Tính chất chiếu tạo cơ sở cho 
định danh hệ thống bằng các hàm tán xạ dòng (chương 16) và việc chụp X quang trục 
nhờ máy tính (CAT). 
HÌNH 10-9 
 160 
Hình 10-9 Tính chất chiếu của biến đổi Fourier hai chiều 
10.4.5. Đối xứng vòng và biến đổi Hankel 
Rất nhiều hàm hai chiều quan trọng mang tính chất đối xứng vòng tròn. Điều đó có 
nghĩa là các hàm có thể biểu diễn như là một hàm nhìn nghiêng (profile) có một biến 
đơn 
 rfyxf r , (127) 
Trong đó 
 222 yxr (128) 
Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu ảnh hưỏng do đối xứng vòng tròn gây ra đối với biến 
đổi Fourier hai chiều. Chúng ta có thể viết biến đổi Fourier của f(x,y) như sau 
0
2
0
cos22,
  rdrderfdxdyeyxf qrjr
vyuxj (129) 
Trong đó chúng ta đã chuyển đổi từ tích phân hình vuông sang hình vòng và thay 
biến 
  jj qejvurejyx vµ (130) 
Chúng ta có thể sắp xếp lại biểu thức (129), loại bỏ  vì tích phân được tính trên một 
chu kỳ đầy đủ của hàm cosin, ta được 
  
 
0
2
0
cos2 rdrderfx,yf qrjf
   (131) 
Bây giờ xét tích phân trong dấu ngoặc, và xem lại định nghĩa hàm Bessel bậc 0 của 
phần thứ nhất 
  
2
0
cos
0 2
1 dezJ jz (132) 
Thay biểu thức (132) vào biểu thức (131) ta có 
  
 
0 0
22 rdrqrJrfx,yf f (133) 
Chú ý rằng biến đổi Fourier của một hàm đối xứng vòng là một hàm chỉ có duy nhất 
một biến tần số xuyên tâm q. Nghĩa là 
 qFvuF r , (134) 
Trong đó 
 222 vuq (135) 
10.4.5.1. Biến đổi Hankel 
Đối với các hàm đối xứng vòng, biến đổi trực tiếp là 
0 0
22 rdrqrJrfqF rr (136) 
Và biến đổi ngược là 
 161 
0 0
22 qdqqrJqFrf rr (137) 
Các biểu thức này định nghĩa cho trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier hai chiều 
đó là biến đổi Hankel bậc 0. Đây là biến đổi tích phân tuyến tính một chiều tương tự 
biến đổi Fourier, ngoại trừ hạt nhân là hàm Bessel. Vì vậy, có thể coi các hàm hai chiều 
đối xứng vòng tròn như các hàm một chiều một biến đơn nếu biến đổi Hankel được thay 
thế cho biến đổi Fourier. 
Biến đổi Hankel của một số loại hàm quan thuộc được liệt kê trong bảng 10-4. Bảng 
10-5 minh hoạ các nguyên lý của biến đổi Hankel 
BẢNG 10-4 BIẾN ĐỔI HANKEL CỦA MỘT SỐ HÀM 
BẢNG 10-4 
BẢNG 10-5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI HANKEL 
BẢNG 10-5 
10.4.5.2. Tính toán biến đổi Hankel 
Nguyên lý của phép chiếu cho chúng ta một cách tính biến đổi Hankel đơn giản của 
một hàm, nó rất hữu dụng, ví dụ, trong nghiên cứu các hệ thống quang học, thường có 
các đáp ứng xung và hàm truyền đạt đối xứng vòng. Các biểu thức (124), (125), (126) và 
(134) cho phép chúng ta viết 
 xpuPuFqFr  0, (138) 
Và các biểu thức (124), (127) và (128) chứng tỏ rằng 
 162 
 dyyxfxp r 22 (139) 
Như vậy 
   dyyxfqF r 22 (140) 
Cho ta một quá trình hai bước để tính toán biến đổi Hankel: Đầu tiên là chiếu hàm, và 
sau đó tính biến đổi Fourier (một chiều) của nó. 
10.4.6. Giải thích 
Chúng ta kết thúc sự giới thiệu về biến đổi Fourier hai chiều bằng hình 10-10, hình 
này cho chúng ta hiểu biết đôi chút về vai trò của biên độ và pha. Phần (b) và (c) của 
hình thể hiển các thành phần biên độ và pha, tương ứng của phổ ảnh trong phần (a). 
Một điểm lưu ý là vị trí rất quan trọng với phổ biên độ, vì nó ít xuất hiện trong một 
vài cấu trúc có thể nhận biết hơn so với pha, nên nó đập vào mắt như một sự cần thiết 
yếu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, việc loại trừ các thông tin pha bằng cách đặt pha bằng 0 và 
thực hiện biến đổi ngược ta sẽ được phần (d) của hình-một cái gì đó mang dáng vẻ hơi 
tương đồng với cái ban đầu. Nói cách khác, việc loại bỏ thông tin biên độ (bằng cách đặt 
biên độ bằng một hằng số trước khi thực hiện biến đổi ngược) cho ta phần (e), một chân 
dung có khả năng nhận biết được. 
Trong khi phổ biên độ chỉ rõ có bao nhiêu thành phần điều hoà được thể hiện, thì 
thông tin pha cho chúng ta biết mỗi thành phần điều hoà được đặt ở đâu bên trong ảnh. 
Hình 10-10 minh hoạ việc phá vỡ vị trí sắp xếp có thể tạo ra một kết quả hỏng. Tuy 
nhiên, miễn là các thành phần giữ đúng vị trí, biên độ của chúng có vẻ không ảnh hưởng 
tới toàn bộ ảnh. Vì các nguyên nhân này, các bộ lọc phổ biến nhất chỉ tác động lên biên 
độ, mà ít tác động hoặc không hề tác động đến thông tin pha trong phổ. 
10.5. SỰ TƯƠNG QUAN VÀ PHỔ NĂNG LƯỢNG 
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một loạt các công cụ phân tích hữu dụng cho 
việc nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu trong một hệ thống tuyến tính. 
10.5.1. Tự tương quan 
Nhắc lại tích chập của chính bản thân một hàm 
 dttftftftf  (141) 
Nếu không mang lại một số hạng trong tích, chúng ta sẽ tạo ra một hàm tự tương 
quan 
 dttftftftfR f  (142) 
Hàm tự tương quan luôn chẵn và đạt giá trị cực đại tại t = 0. Nó có tính chất 
2
dttfdR f  (143) 
Mọi hàm có một hàm tự tương quan duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng. 
 163 
10.5.2. Phổ năng lượng 
Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là 
   2* sFsFsFsFsFtftfRsP ff    (144) 
Và được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng hay phổ năng lượng của f(t). Nếu f(t) là 
thực thì hàm tự tương quan của nó là thực và chẵn, và do đó phổ năng lượng của nó 
cũng là thực và chẵn. Ngoài ra, một f(t) bất kỳ có một phổ năng lượng duy nhất, nhưng 
điều ngược lại không đúng trong trường hợp này. 
10.5.3. Tương quan chéo 
Cho hai hàm f(t) và g(t),hàm tương quan chéo của chúng được cho bởi 
 dttgtftgtfR fg  (145) 
Theo một nghĩa nào đó, hàm tương quan chéo cho biết mức độ liên quan giữa hai 
hàm phù hợp cho những lượng sắp xếp sai hàng (dịch chuyển). 
Biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo là hàm mật độ phổ năng lượng chéo hay 
phổ năng lượng chéo. 
 fgfg RsP  (146) 
10.6. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 
Trong chương này, chúng ta đã trình bày một số tính chất biến đổi Fourier mà sẽ hữu 
dụng trong phân tích các hệ thống xử lý ảnh tiếp theo. Để thuận tiện cho tham khảo, 
nghiên cứu tính chất này được tổng kết trong bảng 10-6. 
BẢNG 10-6 TỔNG KẾT NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 
BẢNG 10-6 
10.7. TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính thiết lập sự tương ứng giữa 
một hàm mang giá trị phức (chẳng hạn là hàm thời gian) và một hàm giá trị phức 
của tần số. 
2. Biến đổi Fourier của một hàm Gauss là một hàm Gauss khác. 
3. Biến đổi Fourier bảo toàn tính chẵn, lẻ. 
 164 
4. Biến đổi Fourier của một hàm thực là một hàm Hermite. 
5. Biến đổi Fourier của tổng các hàm bằng tổng biến đổi các hàm riêng biệt (nguyên 
lý cộng). 
6. Việc dịch chuyển gốc một hàm sẽ đưa vào phổ của nó một pha dịch tuyến tính với 
tần số và điều đó làm thay đổi sự phân bố năng lượng giữa các phần thực và phần 
ảo của phổ mà không làm thay đổi tổng năng lượng (nguyên lý dịch). 
7. Tích chập hai hàm tượng ứng với phép nhân biến đổi Fourier của chúng (nguyên 
lý tích chập). 
8. Co hẹp một hàm sẽ mở rộng biến đổi Fourier của nó và ngược lại (nguyên lý đồng 
dạng). 
9. Năng lượng của một hàm (một tín hiệu) giống với năng lượng biến đổi Fourier của 
nó (phổ). 
10. Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính có được xác định như tỷ số phôe đầu 
ra (đã xác định) của nó với phổ đầu vào (đã biết) của nó. 
11. Biến đổi Fourier của một hàm điều hoà là một cặp xung coa khoảng cách bằng 
nhau. 
12. Một tín hiệu vào có thể được phân tích thành tổng vô hạn các tín hiệu điều hoà 
vô cùng nhỏ. 
13. Có thể coi một hệ thống tuyến tính như thao tác riêng biệt trên các thành phần 
điều hoà của tín hiệu đầu vào, chúng được cộng với đầu ra để tạo thành tín hiệu 
đầu ra. 
14. Biến đổi Fourier tổng quát hoá các hàm lên hai hoặc nhiều chiều hơn không mấy 
khó khăn. 
15. Nếu một hàm hai biến có thể tách được thành tích của hai hàm một biến đơn, thì 
biến đổi Fourier của nó cũng có khả năng tách được. 
16. Quay một hàm hai chiều cũng sẽ làm quay biến đổi Fourier của nó đi một lượng 
như vậy. 
17. Chiếu (giảm chiều) một hàm hai chiều lên một đường thẳng hợp với trục x một 
góc  và biến đổi hàm một chiều kết quả sẽ cho ta một hình chiếu của phổ hai 
chiều theo đường thẳng hợp với trục u một góc . 
18. Các hàm hai chiều đối xứng vòng tròn có phổ đối xứng vòng tròn. 
19. Biến đổi Hankel liên kết hình chiếu của một hàm đối xứng vòng tròn với hình 
chiếu của phổ của nó. 
20. Tự tương quan là tích chập của chính nó mà không ảnh hưởng đến các hàm khác. 
21. Tươngquan chéo cũng giống tích chập, ngoại trừ việc không hàm nào bị ảnh 
hưởng. 
22. Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là phổ năng lượng. 
BÀI TẬP 
1. Minh hoạ bằng đồ thị tích chập của một hàm chẵn và một hàm lẻ tạo ra một hàm 
lẻ. 
2. Sử dụng tích phân từng phần để chứng minh các tính chất vi phân trong bảng 10-6. 
3. Giả sử bạn có một camera TV mà bạn nghi ngờ nó có một vấn đề hỏng hóc vừa đủ 
để nhận ra. Bạn có thể nhận thấy, trên những bản in của ảnh số, mỗi dòng khác hơi 
sẫm hơn các dòng ở giữa. Đại diện cho nhà sản xuất nói rằng không có vấn đề gì 
với camera cả. Bạn có thể chứng minh rằng nó có vấn đề bằng cách nào? Bạn có 
một hệ thống có khả năng số hoá một ảnh TV, lấy trung bình các dòng hay cột của 
các điểm ảnh và hiển thị FFT một chiều. Mô tả kinh nghiệm và phác hoạ kết quả 
đạt được. 
 165 
4. Giả sử bạn có hai camera TV trông rất giống nhau, chỉ khác số sản xuất. Một cái là 
kiểu độ phân giải cao đặc biệt dành cho quân sự, và cái kia là kiểu dành cho kinh 
doanh dự định cho ứng dụng trong công việc giữ trẻ. Do lẫn lộn hồ sơ trên tàu nên 
bạn không biết cái nào ra cái nào. Bạn có thể nhận ra camera quân sự bằng cách 
nào? Bạn có một hệ thống có khả năng số hoá một ảnh TV, lấy trung bình các 
dòng hay cột của các điểm ảnh và hiển thị FFT một chiều. Mô tả kinh nghiệm và 
phác hoạ kết quả đạt được. 
5. Giả sử bạn có một camera TV RS-170 (Xem hình 2-10) vừa được đem về để sửa 
chữa. Khách hàng cho rằng nó có vấn đề về nhiễu 60-Hz từ nguồn năng lượng vào 
tín hiệu video. Bạn có thể xác nhận vấn đề là đúng trước khi gửi camera đi sửa 
chữa bằng cách nào? Bạn có một hệ thống có khả năng số hoá một ảnh TV, lấy 
trung bình các dòng hay cột của các điểm ảnh và hiển thị FFT một chiều. Mô tả 
kinh nghiệm và phác hoạ kết quả đạt được. Trong trường hợp này, trạng thái quét 
đan xen có phức tạp hay không? Giải thích tại sao có và tại sao không. 
6. Giả sử bạn có một camera TV RS-170 (Xem hình 2-10) vừa được sửa chữa. Nó có 
một vấn đề về nhiễu 40-Hz từ nguồn năng lượng cung cấp bên trong vào tín hiệu 
video. Bạn có thể xác minh rằng vấn đề đã được giải quyết trước khi lắp camera 
vào lại để sử dụng bằng cách nào? Bạn có một hệ thống có khả năng số hoá một 
ảnh TV, lấy trung bình các dòng hay cột của các điểm ảnh và hiển thị FFT một 
chiều. Mô tả kinh nghiệm và phác hoạ kết quả đạt được. Trong trường hợp này, 
trạng thái quét đan xen có phức tạp hay không? Giải thích tại sao có và tại sao 
không. 
DỰ ÁN 
1. Phát triển một chương trình nhận một dòng quét đơn ngang bên ngoài một ảnh số, 
tính và hiển thị đồ thị biến đổi Fourier một chiều của dòng (phổ biên độ và phổ 
pha). Sử dụng chương trình trên một ảnh số có thanh dọc bị mờ dần để chứng 
minh nguyên lý đồng dạng. 
2. Phát triển một chương trình như trong dự án 1, thêm vào khả năng thay đổi phổ 
biên độ (chẳng hạn đặt một dải tần số bằng 0), tính biến đổi ngược, vẽ dòng và 
lồng nó vào ảnh hiển thị. Sử dụng chương trình để loại bỏ nhiễu tần số cao từ một 
phần của ảnh số. 
3. Phát triển một chương trình mà có thể tính và hiển thị biến đổi Fourier hai chiều 
(phổ biên độ và phổ pha) của một ảnh số. Sử dụng chương trình trên ba ảnh số của 
cùng một cảnh thu được qua một màn kim loại đặt trước camera. Chắc chắn rằng 
màn hình nằm trong vùng có thể nhìn thấy trong ảnh. Quay màn hình 300 giữa các 
lần quét. Nhận biết các thành phần phổ biên độ có trên màn hình. 
4. Phát triển một chương trình như dự án 3, thêm vào khả năng thay đổi phổ biên độ 
(chẳng hạn đặt các tần số trong một vùng hình tròn bằng 0), tính biến đổi ngược, 
và hiển thị ảnh. Sử dụng chương trình để loại bỏ nhiễu tần số cao từ một phần của 
ảnh số. 
5. Sử dụng chương trình như trong dự án 4 để loại bỏ sắc thái một ảnh số.