Giáo trình Xác suất thống kê (Phần 1)

Chương 1
GIẢI TÍCH TỔHỢP
1.1. Quy tắc nhân
Các tính chất sau của phép đếm sẽ là nền tảng của tất cả công việc của chúng ta.
Tính chất 1 (Quy tắc nhân)
Giả sử có2 công việc được thực hiện. Nếu công việc1 có thể thực hiện một trongm cách khác nhau và
ứng với mỗi cách thực hiện công việc1, công việc2 cón cách thực hiện khác nhau thì cóm.n cách khác
nhau khi thực hiện hai hai công việc.
Proof: Tính chất cơ bản có thể được chứng minh bằng cách liệt kê tất cả các cách thực hiện có thể
của hai công việc như sau:
(1, 1), (1, 2), . . . , (1, n)
(2, 1), (2, 2), . . . , (2, n)
...
(m, 1), (m, 2), . . . , (m,n)
trong đó, chúng ta nói cách thực hiện là (i, j) nếu công việc 1 thực hiện theo cách thứ i trongm cách
có thể và công việc 2 thực hiện cách thứ j trong n cách. Vì thế tập tất cả các cách có thể thực hiện
bằngmn.
Ví dụ 1.1.1 Một cộng đồng nhỏ có 10 phụ nữ, mỗi người có 3 người con. Chọn một người phụ nữ
và một đứa con của họ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
Ta xem việc chọn người phụ nữ như là công việc 1 và việc chọn con của họ là công việc 2. Khi đó
từ tính chất cơ bản ta có 10.3 = 30 cách chọn khác nhau.
Khi chúng ta có nhiều hơn hai công việc được thực hành, tính chất cơ bản có thể được tổng quát
hoá như sau:
Tính chất 2 (Quy tắc nhân tổng quát)
Giả sử cók công việc được thực hiện. Nếu công việc1 có thể thực hiện trongn1 cách khác nhau và ứng
với mỗi cách thực hiện công việc1, công việc2 cón2 cách thực hiện khác nhau; ứng với mỗi cách thực
hiện hai công việc đầu, cón3 cách khác nhau thực hiện công viêc3, v. . . v .. thì cón1.n2.n3. . . . nk cách
khác nhau thực hiệnk công việc đó.
Ví dụ 1.1.2 Một hội nghị học tập ở một trường đại học bao gồm 3 sinh viên năm thứ nhất, 4 sinh
viên năm thứ 2, 5 sinh viên năm thứ 3 và 2 sinh viên năm cuối. Một tiểu ban gồm 4 người ở trong 4
khoá khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tiểu ban khác nhau?
1
2 Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giải
Việc chọn một tiểu ban như là việc thực hiện 4 công việc khác nhau. Công việc i là chọn một
sinh viên năm thứ i( i = 1, 2, 3, 4 ). Vì thế, từ tính chất cơ bản tổng quát, chúng ta có 3.4.2.5 = 120
tiểu ban khác nhau có thể lập.
Ví dụ 1.1.3 Số hiệu của bằng lái xe môtô gồm 7 kí tự, trong đó 3 kí tự đầu là các chữ cái và 4 kí tự
sau là các chữ số. Hỏi có thể có bao nhiêu bằng lái xe môtô khác nhau ?
Giải
Áp dụng tính chất cơ bản tổng quát, chúng ta có số bằng lái khác nhau có thể có là:
26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000
Nếu các chữ cái và chữ số trong số hiệu bằng khác nhau thì có bao nhiêu bằng lái khác nhau?
Ví dụ 1.1.4 Một hàm số xác định trên một tập n phần tử và chỉ nhận hai giá trị 0 và 1. Hỏi có thể
lập được bao nhiêu hàm khác nhau.
Giải
Đặt các phần tử là 1, 2, 3, . . . , n. Vì f(i) bằng 1 hoặc 0 cho mỗi i = 1, 2, . . . , n nên ta có 2n hàm
khác nhau có thể lập.
1.2. Hoán vị
Có bao nhiêu cách khác nhau khi sắp xếp có thứ tự 3 kí tự a, b, c? Bằng cách liệt kê trực tiếp
chúng ta thấy có 6 cách, cụ thể là: abc, acb, bac, bca, cab và cba. Mỗi cách sắp xếp như vậy được gọi
là một hoán vị. Vì thế có 6 hoán vị có thể của một tập 3 phần tử. Kết quả này cũng có thể suy ra từ
tính chất cơ bản, vì phần tử thứ nhất trong hoán vị có thể là một trong 3 kí tự, phần tử thứ 2 trong
hoán vị có thể chọn một trong 2 kí tự còn lại và phần tử thứ 3 được chọn từ một phần tử còn lại. Vì
thế, có 3.2.1 = 6 hoán vị có thể.
Chúng ta định nghĩa khái niệm hoán vị một cách tổng quát như sau:
Định nghĩa 1.2.1 Cho n phần tử khác nhau. Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ
tự n phần tử đã cho.
Gọi Pn là số hoán vị khác nhau có thể lập từ n phần tử đã cho. Ta có
Pn = n(n− 1) . . . 2.1 = n!
Ví dụ 1.2.5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí các cầu thủ(thủ môn, tiền vệ phải, trái,. . . ) khác
nhau trong một đội bóng gồm 9 cầu thủ?
Giải
Có 9! = 362880 cách sắp xếp các cầu thủ.
Ví dụ 1.2.6 Một lớp học lý thuyết xác suất gồm 6 nam và 4 nữ. Một kỳ thi được tổ chức, Các sinh
viên được xếp hạng theo kết quả làm bài của họ. Giải sử không có hai sinh viên nào đạt cùng một
điểm.
a) Có thể có bao nhiêu cách xếp hạng khác nhau?
b) Nếu nam được xếp hạng trong nhóm nam và nữ được xếp hạng trong nhóm nữ thì có thể có
bao nhiêu cách xếp hạng khác nhau?
2
1.2.Hoán vị 3
Giải
a) Mỗi cách xếp hạng tương ứng với một cách sắp xếp có thứ tự 10 người, chúng ta có câu trả lời
trong phần này là 10! = 3.628.800.
b) Vì có 6! cách xếp hạng khác nhau trong 6 người nam và 4! cách xếp khác nhau trong 4 người
nữ nên áp dụng tính chất cơ bản, chúng ta có 6!.4! = 17.280 cách sắp xếp khác nhau có thể có.
Ví dụ 1.2.7 Cô Nga định đặt 10 cuốn sách lên một cái giá sách. Trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3
cuốn Hoá học, 2 cuốn Lịch sử và 1 cuốn Ngoại ngữ. Cô Nga muốn sắp xếp những cuốn sách của cô
các cuốn sách của minh sao cho các cuốn cùng một môn thi kề nhau. Có thể có bao nhiêu cách sắp
xếp 10 cuốn sách khác nhau?
Giải
Có 4!.3!.2!.1! cách sắp xếp sao cho các sách Toán ở đầu hàng sau đó đến các sách Hoá rồi đến
sách Sử và cuối cùng là sách Ngoại ngữ. Tương tự, với mỗi thứ tự cácmôn học, chúng ta có 4!.3!.2!.1!
cách sắp xếp khác nhau. Ở đây có 4! cách sắp xếp thứ tự các môn học nên đáp án của câu hỏi là có
4!.4!.3!.2!.1! = 6912.
Bây giờ chúng ta sẽ xác định số các hoán vị của một tập n phần tử khi mà một số phần tử trong
hoán vị trùng với những phần tử khác. Để đi thẳng vào vấn đề chúng ta quan tâm, hãy xem xét ví dụ
sau:
Ví dụ 1.2.8 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các kí tự khác nhau từ các ký tự PEPPER ?
Giải
Trước hết chúng ta chú ý rằng có 6! hoán vị của các ký tự P1E1P2P3E2R khi 3 ký tự Pi và 2 ký
tự Ei được xem là khác nhau. Tuy nhiên chúng ta xem xét một hoán vị bất kì trong những hoán vị
này, chẳng hạn P1P2E1P3E2R. Bây giờ nếu chúng ta hoán vị các ký tự P với nhau và hoán vị các kí
tự E với nhau thì kết quả vẫn sẽ có dạng PPEPER. Đólà 3!.2! hoán vị
P1P2E1P3E2R P1P2E2P3E1R
P1P3E1P2E2R P1P3E2P3E1R
P2P1E1P3E2R P2P1E2P3E1R
P2P3E1P1E2R P2P3E2P1E1R
P3P2E1P1E2R P3P2E2P1E1R
P3P1E1P2E2R P3P1E2P2E1R
có cùng hình thức như PPEPER. Vì vậy, có 6!/(3!.2!) = 60 cách sắp xếp các kí tự khác nhau từ
các ký tự PPEPER.
Các hoán vị trong đó các phần tử được lặp lại như trên được gọi là hoán vị lặp. Chúng ta có định
nghĩa chính xác như sau:
Định nghĩa 1.2.2 Một hoán vị chập lặp là một cách xắp xếp có thứ tự n phần tử không nhất thiết
phân biệt.
Từ ví dụ (1.2.8), chúng ta chỉ ra một cách tổng quát rằng, có
n!
n1!.n2!. . . . nk!
hoán vị lặp khác nhau của n phần tử, trong đó n1 phần tử như nhau, n2 phần tử như nhau,. . . , nk
phần tử như nhau.
3
4 Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Ví dụ 1.2.9 Một vòng thi đấu cờ vua có 10 đấu thủ. Trong đó có 4 người Nga, 3 người Mỹ, 2 người
Anh và 1 người Brazil. Kết quả vòng thi đấu chỉ ghi các quốc tịch của các đấu thủ theo vị trí mà họ
đạt được. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể?
Giải
Có
10!
4!.3!.2!.1!
= 12600
kết quả có thể.
Ví dụ 1.2.10 Có bao nhiêu tín hiệu khác nhau, trong đó mỗi tính hiệu gồm 9 cờ treo trên một hàng,
được tạo ra từ một tập gồm 4 cờ trắng, 3 cờ đỏ và 2 cờ xanh nếu tất cả các cờ cùng màu là giống hệt
nhau?
Giải
Có
9!
4!.3!.2!
= 1260
tín hiệu khác nhau.
1.3. Tổ hợp
Chúng ta thường quan tâm đến việc xác định số các nhóm khác nhau gồm k phần từ được xây
dựng từ một tổng thể gồm n phần tử. Ví dụ, có bao nhiêu nhóm gồm 3 chữ cái được chọn từ 5 chữ
cáiA,B,C,D vàE? Để trả lời câu hỏi này ta lý giải như sau: Vì có năm cách chọn phần tử đầu tiên,
4 cách chọn phần tử tiếp theo và 3 cách chọn phần tử cuối cùng. Vì thế có 5.4.3 cách chọn nhóm
gồm 3 phần tử khi thứ tự trong mỗi nhóm được chọn có liên quan. Tuy nhiên, vì mỗi nhóm gồm
3 phần tử, chẳng hạn nhóm gồm ba chữ cái A,B,C sẽ được đếm 6 lần(nghĩa là tất cả các hoán vị
ABC,ACB,BAC,CAB và CBA sẽ được đếm khi thứ tự lựa chọn là quan trọng). Từ đó suy ra
rằng số các nhóm phân biệt gồm 3 chữ cái có thể tạo ra được là
5.4.3
3!
= 10
Mỗi nhóm con gồm 3 phần tử như trên được gọi là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử và số các
nhóm con gồm 3 phần tử được gọi là số các tổ hợp chập 3 của 5. Ta có định nghĩa tổng quát như sau
Định nghĩa 1.3.3 Cho một tập n phần tử. Một tổ hợp chập k của n phần tử(0 6 k 6 n) là một tập
con gồm k phần tử được lấy ra từ tập n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu Ckn , được xác định bỡi
Ckn =
n(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!
Cần nhấn mạnh rằng trong một tập con gồm k phần tử thì không phân biệt thứ tự của các phần
tử được chọn.
Ví dụ 1.3.11 Một hội nghị gồm 3 người được thành lập từ một nhóm 20 người. Hỏi có thể thành
lập được bao nhiêu hội nghị khác nhau ?
Giải
Có C320 =
20.19.18
3.2.1
= 1140 hội nghị khác nhau có thể thành lập.
4
1.3. Tổ hợp 5
Ví dụ 1.3.12 Từ một nhóm gồm 5 nữ và 7 nam, hỏi có thể thành lập được bao nhiêu hội nghị khác
nhau gồm 2 nữ và 3 nam? Trong trương hợp có hai người nam hận thù nhau và không chịu tham gia
cùng một hội nghị thì có thể thành lập được bao nhiêu hội nghị ?
Giải
Vì có thể thành lập được C25 nhóm gồm 2 phụ nữ và C
3
7 nhóm gồm 3 nam nên từ tính chất cơ
bản ta suy ra có thể lập được C25 .C
3
7 = 350 hội nghị gồm 2 nữ và 3 nam.
Mặt khác, nếu có hai người đàn ông từ chối tham gia cùng một hội nghị thì khi đó có C02C
2
5 cách
chọn nhóm 3 người đàn ông không có hai người hận thù nhau và có C12 .C
2
5 cách chọn nhóm 3 người
mỗi nhóm chứa chỉ một trong hai người đàn ông hận thù nhau. Như vậy có C02 .C
3
5 + c
1
2.C
2
5 = 30
cách chọn nhóm ba người đàn ông không có mặt cả hai người hận thù nhau trong một nhóm. Vì có
C25 cách chọn 2 người nữ nên trong trường hợp này có 30.C
2
5 = 300 cách thành lập hội nghị.
5
6 Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
6
Chương 2
PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
2.1. PHÉP THỬVÀ SỰ KIỆN
2.1.1. Phép thử và sự kiện
Định nghĩa 2.1.4 Phép thử là một thí nghiệm có thể lặp lại trong các điều kiện bên ngoài giống hệt
nhau và kết quả là một phân tử không đoán trước được của một tập hợp các định.
Vậy dữ kiện của một phép thử gồm có: - Việc mô tả bộ máy thí nghiệm và việc chỉ dẫn các điều
kiện tiến hành.
- Việc xác định tập hợp các kết quả của thí nghiệm.
Ta xét các ví du sau:
Ví dụ 2.1.13 Ta gieo một đồng tiền đồng chất xuống mặt phẳng và quan sát mặt nào xuất hiện đó là
một phép thử. Phép thử có hai kết quả là đồng tiền xuất hiện mặt sấp( S) hoặc mặt ngữa( N).
Ví dụ 2.1.14 Gieo một con xúc xắc cân xứng và đồng chất trên một mặt phẳng và quan sát mặt nào
xuất hiện là một phép thử. Các kết quả của phép thử là sự xuất hiện một trong 6 mặt của con xúc xắc
mà ta có thể ký hiệu bằng các số trên mặt: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ví dụ 2.1.15 Trong một hộp kín có m bi đỏ, n bi xanh hoàn toàn giống nhau về kích thước, trọng
lượng. Lấy ngẫu nhiên một bi và quan sát xem bi có màu gì là một phép thử. Phép thử có hai kết quả:
bi lấy ra màu xanh và bi lấy ra màu đỏ.
2.1.2. Sự kiện liên kết với phép thử
Sự kiện (hay còn gọi biến cố) là một khái niệm thường gặp trong lý thuyết xác suất. Ta không có
một định nghĩa chặt chẽ khái niệm này. Sự kiện được hiểu như là một sự việc, một hiện tượng nào
đó của cuộc sống tự nhiên và xã hội.
Định nghĩa 2.1.5 Một sự kiện lên kết với một phép thử là sự kiện có thể xảy ra hay không xảy ra
tùy thuộc vào kết quả của phép thử đó.
Sự kiện thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A,B,C, . . . .
Một sự kiện xảy ra khi và chỉ khi có một kết quả cụ thể trong số những kết quả của phép thử thì
được gọi là sự kiện cơ bản hay còn gọi là sự kiện sơ cấp. Tập hợp tất cả các sự kiện sơ cấp gọi là
không gian sơ cấp, ký hiệu Ω.
Sự kiện tất yếu là sự kiện luôn xảy ra khi thực hiện phép thử.
Sự kiện bất khả là sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử.
Sự kiện ngâu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử.
7
8 Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Ví dụ 2.1.16 Ta gieo một đồng tiền đồng chất xuống mặt phẳng và quan sát mặt nào xuất hiện. Gọi
N là sự kiện xuất hiện mặt ngữa, S là sự kiện xuất hiện mặt sấp. Ta có S,N là các sự kiện sơ cấp và
không gian sơ cấp là Ω = {S,N}.
Gọi A là sự kiện không xuất hiện mặt nào cả thì A là sự kiện bất khả. Gọi B là sự kiện xuất hiện
mặt nào đó của đồng tiền, B là sự kiện tất yếu.
Ví dụ 2.1.17 Gieo một con xúc xắc cân xứng và đồng chất trên một mặt phẳng và quan sát mặt nào
xuất hiện. GọiMi là sự kiện xuất hiện mặt i chấm ( i = 1, . . . , 6 ),Mi là các sự kiện sơ cấp. Không
gian sơ cấp Ω = {M1; M2; M3; M4; M5; M6}.
GọiA là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn. Khi đóA xảy ra khi và chỉ khiM2 hoặcM4
hoặcM6 xảy ra. Ta đồng nhất sự kiện A với tập hợp {M2; M4; M6}. Ta viết
A = {M2; M4; M6} ⊂ Ω
các sự kiện sơ cấpM2; M4; M6 gọi là các sự kiện thuận lợi cho sự kiện A và A xảy ra khi và chỉ
khi một trong các sự kiện sơ cấp thuộc nó xảy ra.
Tương tự, nếu gọi B là sự kiện con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số lẽ, C là sự kiện con
xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4,D là sự kiện tất yếu, E là sự kiện bất khả. Ta có:
B = {M1; M3; M5} C = {M5; M6} D = Ω E = ∅
Như vậy với cách ký hiệu trên ta thấy:
- Mỗi sự kiện tương ứng với một tập hợp con của không gian sơ cấp và ngược lại, một tập con của
Ω xác định duy nhất một sự kiện nào đó. Như vậy, mỗi sự kiện được xem như một tập con của không
gian sơ cấp.
- Nếu sự kiện A ⊂ Ω thì các sự kiện sơ cấp thuộc A gọi là các sự kiện thuận lợi cho sự kiện A .
2.1.3. Các phép toán và quan hệ của các sự kiện
• Tổng: Tổng của hai sự kiện A và B, ký hiệu A+B (hoặc A ∪B), là một sự kiện xảy ra khi ít
nhất một trong hai sự kiện A,B xảy ra.
• Tích: Tích của hai sự kiện A và B, ký hiệu A.B (hoặc A ∩ B), là một sự kiện xảy ra khi cả A
và B đồng thời xảy ra.
• Hiệu: Hiệu của hai sự kiện A và B, ký hiệu A−B (hay A \B), là sự kiện xảy ra khi A xảy ra
và B không xảy ra, tức là A−B = A.B.
• Đối lập: Đối lập của A, ký hiệu A, là sự kiện không xảy ra sự kiện A. Ta suy ra A = A và
A+ A = Ω: sự kiện tất yếu, A.A = ∅: sự kiện bất khả, Ω = ∅.
• Xung khắc: Hai sự kiện A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra, tức A.B = ∅.
• Kéo theo: Sự kiện A gọi là kéo theo sự kiện B, ký hiệu A ⇒ B, nếu sự kiện A xảy ra thì sự
kiện B xảy ra, tức là A ⊂ B.
• Tương đương: Hai sự kiện A và B gọi là tương đương, ký hiệu A = B, nếu sự kiện A xảy ra
thì sự kiện B xảy ra và ngược lại, tức là A ⊂ B và B ⊂ A.
Khi ta xem mỗi sự kiện như là một tập con của không gian sơ cấp Ω thì các phép toán trên các
sự kiện tương ứng với các phép toán về tập hợp mà chúng ta đã quen biết và có thể minh họa chúng
bằng các biểu đồ Ven.
8
2.1. PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN 9
Ví dụ 2.1.18 Gieo hai đồng tiền cân đối và đồng chất lên mặt phẳng. Gọi:
A = Sự kiện xuất hiện mặt sấp (S) trên đồng tiền thứ 1.
B = Sự kiện xuất hiện mặt ngữa (N ) trên đồng tiền thứ 2.
C = Sự kiện xuất hiện mặt ngữa (N ) trên đồng tiền thứ 1.
D = Sự kiện xuất hiện ít nhất một mặt sấp (S).
E = Sự kiện xuất hiện nhiều nhất một mặt sấp (S).
a) Xác định không gian sơ cấp và biểu diễn các sự kiện trên theo ngôn ngữ tập hợp.
b) Hãy diễn tả các sự kiện sau bằng ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ tập hợp:
A ∪B,A ∪ C,BC,BD,CE,A,B,D,E,AB ∪ C.
c) Gọi F là sự kiện không xuất hiện mặt ngữa. F tương đương với sự kiện nào.
Giải
a) Ta ký hiệu XY nghĩa là: X là mặt xuất hiện của đồng tiền thứ nhất, Y là mặt xuất hiện của
đồng tiền thứ 2. X,Y nhân hai giá trị là sấp (S) và ngữa (N ). Khi đó ta có không gian sơ cấp ... àn phần, ta có
P (A) = P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2) =
1
2
30
50
+
1
2
25
40
=
49
80
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để sản phẩn tốt lấy ở lô II là
P (A2/A) =
P (A2)P (A/A2)
P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2)
=
1
2
25
40
49
80
=
25
49
2.3.5. Dãy phép thử độc lập và công thức Bernoulli
Dãy phép thử độc lập - Dãy phép thử Bernoulli Xét một phép thử ε. Thực hiện phép thử n lần và
gọi εi là phép thử thực hiện lần thứ i.
Định nghĩa 2.3.11 Các phép thử ε1, ε2, . . . , εn được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra của các sự
kiện liên kết với phép thử εi nào đó không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác.
Như vậy, nếuAi là sự kiện liên kết với phép thử εi(i = 1, n) thì các sự kiệnA1, A2, . . . , An là độc
lập toàn bộ.
Định nghĩa 2.3.12 Cho dãy n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử, ta xét sự kiện A và A. Giả sử
xác suất để sự kiện A xảy ra trong mỗi phép thử là không đổi và bằng p(0 < p < 1) và xác suất để
xảy ra biến cố A = 1− p. Khi đó n phép thử độc lập trên được gọi là n phép thử Bernoulli. Ký hiệu
B(n; p).
Định lý 2.3.7 (Định lý Bernoulli) Thực hiện n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử sự kiện A xảy
ra với xác suất không đổi P (A) = p(0 < p < 1). Khi đó, xác suất để sự kiệnA xảy ra đúng k lần trong
n phép thử đó là
Pn(k) = C
k
np
k(1− p)n−k (k = 0, n)
Hệ quả 2.3.2 Với những giả thiết như trong định lý Bernoulli, xác suất để trong n phép thử sự kiện A
xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần là
Pn(k1 6 k 6 k2) =
k2∑
i=k1
Cknp
k(1− p)n−k
19
20 Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Số lần có khả năng xảy ra nhiều nhất
Định nghĩa 2.3.13 Cho n phép thử Bernoulli. Trong mỗi phép thử, xác xuất để sự kiện A xảy ra
P (A) = p và P (A = 1− p. Sốm gọi là số lần xảy ra sự kiện A nhiều nhất nếu
Pn(m) > Pn(k),∀k = 0, n
hay Pn(m) = max{Pn(0), Pn(1), . . . , Pn(n)}
Định lý 2.3.8 Cho n phép thử Bernoulli. Trong mỗi phép thử, xác xuất để sự kiệnA xảy ra P (A) = p
và P (A = 1− p = q. Gọim là số lần sự kiện A xảy ra nhiều nhất, ta có
np− q 6 m 6 np+ q
Ví dụ 2.3.37 Có 10 sinh viên thi môn xác suất. Khả năng thi đạt của các sinh viên đều như nhau và
bằng 70%.
a) Tìm xác suất để có 8 sinh viên thi đạt?
b) Tìm xác suất để có ít nhât 1 sinh viên thi trượt?
c) Tìm xác suất để có ít nhất 8 sinh viên thi không đạt?
d) Tìm số sinh viên có khả năng thi đạt nhiều nhất trong 10 sinh viên?
Giải
Bài toán tương ứng với một dãy phép thử Bernoulli với n = 8, p = 0, 7. Áp dụng các định lý trên
để giải bài toán.
20
Chương 3
BIẾN NGẪUNHIÊN
3.1. BIẾN NGẪUNHIÊN
3.1.1. Biến ngẫu nhiên
Khái niệm
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng có giá trị thực biến đổi phụ thuộc vào kết quả của phép thử
ngẫu nhiên. Ký hiệu biến ngẫu nhiên làX,Y, Z, . . .. Ta có định nghĩa chính xác của biến ngẫu nhiên
như sau:
Định nghĩa 3.1.14 Biến ngẫu nhiên là một ánh xạ từ tậpΩ các kết quả của một phép thử vào tập các
số thựcR.
Biến ngẫu nhiên có miền giá trị hữu hạn hoặc đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Biến ngẫu nhiên có miền giá trị là một khoảng(hoặc đoạn) gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3.1.15 (Biến ngẫu nhiên độc lập) Cho X,Y là hai biến ngẫu nhiên liên kết với một
phép thử. X,Y gọi là độc lập nhau nếu ∀x1, x2, y1, y2 ∈ R :
P ((x1 6 X < x2).(y1 6 Y < y2)) = P (x1 6 X < x2).P (y1 6 Y < y2)
Ví dụ 3.1.38 Gieo một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện của con xúc xắc thì X là một biến
ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ 3.1.39 Xét phép thử là việc đo thời gian sống(tính bằng giờ) của một con transitor. Gọi Y là
thời gian sống của một con transitor thì Y là một biến ngẫu nhiên có miền giá trị là [0; +∞).
Y là biến ngẫu nhiên liên tục.
3.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa
ChoX là biến ngẫu nhiên liên kết với phép thử T có không gian sơ cấp là Ω. Hàm số ký hiệu và
xác định như sau
F (x) = P (X < x) Với (X < x) = {ωinΩ : X(ω) < x}
21
22 Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN
gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênX .
Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của điểm x. Từ các tính
chất của xác suất ta suy ra các tính chất sau của hàm phân phối xác suất.
Tính chất 3
Giả sử F (x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênX , ta có:
• ∀x ∈ R : 0 6 F (x) 6 1.
• lim
x→+∞
F (x) = 1; lim
x→−∞
F (x) = 0.
• ∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 ⇒ F (x1) 6 F (x2).
• F (x) liên tục bên trái tại mọi điểm, tức là lim
x→x−0
F (x) = F (x0).
Hệ quả 3.1.3 • ∀α, β ∈ R : P (α 6 X < β) = F (β)− F (α)
• NếuX là biến ngẫu nhiên liên tục thìF (x) liên tục tạimọi điểm trênR vàP (X = α) = 0, ∀α ∈
R
Bảng phân phối xác suất và hàmmật độ
Bảng phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên rời rạc, nó gồm 2 hàng: hàng thứ nhất liệt kê các giá trị có thể x1, x2, . . . , xn của
biến ngẫu nhiên rời rạc X và hàng thứ 2 liệt kê các xác suất tương ứng p1, p2, . . . , pn của các giá trị
có thể đó.
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
Nếu các giá trị của biến ngẫu nhiênX gồmhữuhạn sốx1, x2, . . . , xn thì các sự kiệnX = x1, X =
x2, . . . , X = xn lập thành một hệ đầy đủ các sự kiện. Do đó, ta có
• ∑ni=1 pi = 1
• F (x) =∑xi<x pi,∀x ∈ R.
Ví dụ 3.1.40 Gieo một con xúc xắc đồng chất. GọiX là số chấm xuất hiện trên mặt của con xúc xắc
thìX là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
X 1 2 3 4 5 6
P 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Khi đó P (2, 5) = p1 + p2 = 16 +
1
6
= 1
3
.
Hàmmật độ
Định nghĩa 3.1.16 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất là F (x). Hàm số
f(x) gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu f(x) > 0,∀x ∈ R, khả tích trênR và
F (x) =
x∫
−∞
f(t)dt.
Tính chất 4
•
+∞∫
−∞
f(t)dt = 1
22
3.1. BIẾN NGẪU NHIÊN 23
• nếuF (x) khả vi tại x0 thìF ′(x0) = f(x0). NếuF (x) khả vi trong khoảng(a, b) thì trong khoảng
(a, b) ta có F ′(x) = f(x).
• ∀α, β ∈ R, α < β : P (α 6 X < β) =
β∫
α
f(x)dx.
Ở đây cần nhấn mạnh rằng: hàm phân phối xác suất F (x) được xác định dựa vào bảng phân
phối xác suất nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc và được xác định thông qua hàm mật độ nếu X là
biến ngẫu nhiên liên tục.
Ví dụ 3.1.41 Cho biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất
X 0 1 2
P 1
4
1
2
1
4
Tìm hàm phân phối xác suất F (x) củaX và vẽ độ thị của nó.
Giải
Nếu x 6 0 thì F (x) = 0
Nếu 0 < x 6 1 thì F (x) = p0 = 14
Nếu 1 < x 6 2 thì F (x) = p0 + p1 = 14 +
1
2
= 3
4
Nếu x > 2 thì F (x) = p0 + p1 + p2 = 14 +
1
2
+ 1
4
= 1
Vậy hàm phân phối xác suất củaX là
F (x) =

0 nếu x 6 0
1
4
nếu 0 < x 6 1
3
4
nếu 1 < x 6 2
1 nếu x > 2
Ví dụ 3.1.42 Biến ngẫu nhiênX có hàm phân phối xác suất như sau
F (x) =

0 nếu x 6 −1
3
4
x+ 3
4
nếu − 1 < x 6 1
3
1 nếu x > 1
3
Tìm xác suất đểX nhận giá trị trong khoảng [0, 1
3
)
Giải
Theo tính chất của hàm phân phối xác suất, ta có
P (0 6 X < 1
3
) = F (
1
3
)− F (0) = 3
4
1
3
+
3
4
− 3
4
=
1
4
Ví dụ 3.1.43 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tụcX có dạng
F (x) =

0 nếu x 6 0
ax2 nếu 0 < x 6 1
1 nếu x > 1
a) Tìm hệ số a?
b) Tìm hàm mật độ xác suất f(x)?
c) Tìm xác suất đểX ∈ (0, 25; 0, 75)?
23
24 Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN
Giải
a) Vì hàm phân phối F (x) liên tục tại x = 1 tức là lim
x→1+0
F (x) = F (1)⇒ a = 1.
b) Theo định nghĩa của hàm mật độ xác suất, ta có
f(x) = F ′(x) =

0 nếu x 6 0
2x nếu 0 < x 6 1
0 nếu x > 1
c) P (0, 25 6 X < 0, 75) = F (0, 75)− F (0, 25) = (0, 75)2 − (0, 25)2 = 0, 5
24
3.2. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 25
3.2. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪUNHIÊN
3.2.1. Kỳ vọng toán
Định nghĩa 3.2.17 Giả sửX là một biến ngẫu nhiên. Ta gọi kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiênX là
một số, ký hiệu E(X), và được xác định như sau:
• NếuX là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
hoặc
X x1 x2 . . . xn . . .
P p1 p2 . . . pn . . .
với pi = P (X = xi)(i = 1, n)
thì
E(X) =
n∑
i=1
xipi hoặc E(X) =
∞∑
i=1
xipi
• NếuX là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì
E(X) =
∫ +∞
−∞
x.f(x)dx
(với điều kiện tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ tuyệt đối)
Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng củaE(X) đặc trương cho giá trị trung bình của biến ngẫu nhiênX .
Ví dụ 3.2.44 Giả sửX là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:
X −1 0 1 2
P 0, 1 0, 2 0, 2 0, 5
Ta có E(X) = −1.0, 1 + 0.0, 2 + 1.0, 2 + 2.0, 5 = 1, 1
Ví dụ 3.2.45 ChoX là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
f(x) =
{
ax2 với 0 6 x 6 1
0 với x /∈ (0; 1)
Tìm hàm mật độ và tính E(X).
Giải
Theo tính chất của hàm mật độ, ta có
+∞∫
−∞
f(x)dx = 1⇒ a = 3
Vậy hàm mật độ
f(x) =
{
3x2 với 0 6 x 6 1
0 với x /∈ (0; 1)
Từ đó, ta có:
E(X) =
+∞∫
−∞
xf(x)dx =
0∫
−∞
xf(x)dx+
∫
0
1xf(x)dx+
+∞∫
1
xf(x)dx
25
26 Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN
=
1∫
0
x.3x2dx =
3
4
Ví dụ 3.2.46 Theo thống kê được biết tỉ lệ chết của một người ở tuổi trên 30 là 1
1000
. Một công ty
bảo hiểm bán bảo hiểm nhân mạng cho người ở độ tuổi trên 30 với số tiền là 100000 đồng. Công
ty muốn lãi trung bình khi bán một bảo hiểm là như thế là 70000. Hỏi số tiền mà công ty bảo hiểm
phải trả nếu người mua bảo hiểm đó chết là bao nhiêu?
Giải
Gọi a là số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả nếu người mua bảo hiểm chết trong năm đó. GọiX
là số tiền lãi khi bánmột bảo hiểm thìX là biến ngẫu nhiên có thể nhận hai giá trị 100000−a, 100000
và có bảng phân phối là
X 100000− a 100000
P 1
1000
999
1000
Ta có E(X) = (100000− a) 1
1000
+ 100000. 999
1000
= 100000− a
1000
Để tiền lãi trung bình là 70000 khi bán một bảo hiểm thì
E(X) = 100000− a
1000
= 70000⇒ a = 30.000.000
Tính chất 5
• E(c) = 0(c = const)
• E(cX) = cE(X)
• E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )
• NếuX,Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thìE(XY ) = E(X)E(Y )
3.2.2. Phương sai:
Để đomức độ phân tán của biến ngẫu nhiênX quanh gia trị kỳ vọngE(X), người ta đưa ra khái
niệm phương sai như sau.
Định nghĩa 3.2.18 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a. Nếu biến ngẫu nhiên
(X − a)2 có kỳ vọng thì giá trị kỳ vọng E[(X − a)2] được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiênX .
Ký hiệuD(X).
Ta có: D(X) = E[(X − a)2]
Từ định nghĩa, ta suy ra công thức tính phương sai như sau:
a) NếuX là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
hoặc
X x1 x2 . . . xn . . .
P p1 p2 . . . pn . . .
D(X) =
n∑
i=1
(xi − a)2.pi hoặcD(X) =
∞∑
i=1
(xi − a)2.pi
b) NếuX là biến ngẫu nhiên liên tục thì
D(X) =
+∞∫
−∞
(x− a)2f(x)dx
26
3.3.MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC QUAN TRỌNG 27
Tính chất 6
Từ định nghĩa của phương sai, ta suy ra được các tính chất sau:
• D(X) = E(X2)− E2(X)
• D(c) = 0(c = const)
• D(cX) = c2D(X)
• NếuX,Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thìD(X ± Y ) = D(X)±D(Y )
Ví dụ 3.2.47 ChoX là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
X −1 0 1 2
P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
Tính E(X), D(X)
Giải
Ta có
E(X) = −1.0, 1 + 0.0, 2 + 1.0, 3 + 2.0, 4 = 1
D(X) = (−1− 1)2.0, 1 + (0− 1)2.0, 2 + (1− 1).0, 3 + (2− 1)2.0, 4 = 1
Ta cũng có thể tính đượcD(X) từ công thứcD(X) = E(X2)− E2(X) trong đó
E(X2) = (−1)2.0, 1 + 02.0, 2 + 12.0, 3 + 22.0, 4 = 2
Vậy E(X) = 1 vàD(X) = 1.
3.2.3. Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 3.2.19 Giả sử biến ngẫu nhiên có phương saiD(X). Khí đó, biến δ(X) =
√
D(X) gọi
là độ lệch chuẩn củaX .
Độ lệch chuẩn là một biến đặc trưng cho tính ổn định của biến ngẫu nhiên X . Trong lĩnh vực
đầu tư, độ lệch chuẩn đặc trưng cho mức độ rủi ro.
3.3. MỘT SỐ BIẾN NGẪUNHIÊN LIÊN TỤC QUAN TRỌNG
3.3.1. Biến chuẩnN(a, δ)
Định nghĩa 3.3.20 Biến ngẫu nhiên liên tụcX gọi là chuẩnN(a, δ) nếu hàmmật độ của nó có dạng
f(x) =
1
δ
√
2π
e−
(x−a)2
2δ2 ,∀x ∈ R; a, δ : tham số ; δ > 0
Tính chất 7 (Các tham số đặc trưng)
ChoX là chuẩn N(a, δ), ta có
E(X) = Med(X) = Mod(X) = a; D(X) = δ2; δ(X) = δ
27
28 Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN
Cách xác định xác suất của một sự kiện liên kết với biến chuẩn
Định nghĩa 3.3.21 (Hàm Laplace) Hàm laplace là hàm số
Φ(x) =
1√
2π
∫ x
0
e−
t2
2 dt
Định lý 3.3.9 Nếu F (x) là hàm phân phối xác suất của biến chuẩnN(a, δ) thì
F (x) = Φ(
x− a
δ
)
Định lý 3.3.10 NếuX là biến chuẩnN(a, δ),∀α, β ∈ R, α < β thì
P (α 6 X < β) = Φ(β − a
δ
)− Φ(α− a
δ
)
Hệ quả 3.3.4 NếuX là biến chuẩnN(a, δ), ∀α ∈ R, α > 0 thì
P (| X − a |< α) = 2Φ(α
δ
)
Các định lý về biến chuẩn
Định lý 3.3.11 Nếu X là biến chuẩn N(a, δ) thì biến ngẫu nhiên cX,X ± c(với c = const) là biến
chuẩn với thamN(ca, | c | δ), N(a± c, δ).
Định lý 3.3.12 Nếu Xi là các biến chuẩn N(ai, δi), i = 1, n và các Xi, i = 1, n độc lập toàn bộ thì
biến ngẫu nhiênX =
∑n
i=1Xi là biến chuẩnN(a, δ) với
a = a1 + a2 + . . .+ an; δ
2 = δ21 + δ
2
2 + . . .+ δ
2
n
.
Hệ quả 3.3.5 NếuXi là các biến chuẩnN(a, δ),∀i = 1, n và cácXi, i = 1, n độc lập toàn bộ thì biến
ngẫu nhiênX = 1
n
∑n
i=1Xi là biến chuẩnN(a,
δ√
n
)
Định lý 3.3.13 (Đinh lý Lindebeg- Levi) NếuXi, i = 1, n làn biến ngẫu nhiên độc lập toàn bộ, cùng
phân phối với kỳ vọngE(Xi) = a, phương saiD(Xi) = δ2, i = 1, n thì biến ngẫu nhiênX =
∑n
i=1Xi
và biếnX = 1
n
∑n
i=1Xi xấp xỉ biến chuẩnN(na,
√
nδ) vàN(a, δ√
n
).
Tức là với n khá lớn, ta có
P (X < x) ≈ 1√
nδ
√
2π
∫ x
−∞
e−
(t−na)2
2nδ2 dt
P (X < x) ≈
√
n
δ
√
2π
∫ x
−∞
e−
(t−a)2n
2δ2 dt
Hệ quả 3.3.6 (Định lý Moivre - Laplace) Nếu Xi, i = 1, n là n biến ngẫu nhiên đơn giản A(a) độc
lập toàn bộ có kỳ vọng E(Xi) = a,D(Xi) = a(1− a), i = 1, n thì biến ngẫu nhiênX =
∑n
i=1Xi là
biến nhị thức B(n, a) xấp xỉ biến chuẩnN(na,
√
na(1− a))
Tức là với n khá lớn, ta có
P (B(n, a) < x) ≈ 1√
na(1− a).2π
∫ x
−∞
e−
(t−na)2
2na(1−a)dt
hay
P (α 6 B(n, a) < β) ≈ Φ( α− na
na(1− a))− Φ(
β − na
na(1− a))
với Φ(x) là hàm Laplace.
28
3.3.MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC QUAN TRỌNG 29
3.3.2. Biến khi bình phương χ2n
Định nghĩa 3.3.22 ChoX1, X2, . . . , Xn là n biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) độc lập với nhau. Khi
đó biến ngẫu nhiênX =
n∑
i=1
X2i được gọi là biến khi bình phương với n bậc tự do. Ký hiệuKn hoặc
χ2n.
Định lý 3.3.14 Hàm mật độ f(x) của phân phối khi bình phương χ2n với n bậc tự do là
f(x) =
0 với x 6 01
2
n
2 Γ(n
2
)
e−
x2
2 x
n
2
−1 với x > 0
Tính chất 8 (Các tham số đặc trưng)
ChoX là biến khi bình phươngχ2n vớin bậc tự do, ta có
E(X) = n; D(X) = 2n
Các định lý về biến χ2n
Định lý 3.3.15 NếuX,Y là các biến χ2n, χ
2
m thìX + Y là biến χ
2
n+m.
Định lý 3.3.16 NếuX là các biến χ2n thì biến ngẫu nhiên Z =
χ2n−n√
2n
xấp xỉ biến chuẩnN(0, 1) khi n
khá lớn (n > 30).
3.3.3. Biến Student Tn
Định nghĩa 3.3.23 ChoX là biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1), Y là biến χ2n với n bậc tự do vàX,Y
độc lập. Khi đó, biến ngẫu nhiên X√
Y
n
được gọi là biến Student với n bậc tự do. Ký hiệu Tn = X√Y
n
.
Định lý 3.3.17 Hàm mật độ f(x) của phân phối Student Tn với n bậc tự do là
f(x) =
Γ(n+1
2
)
Γ(n
2
)
√
πn
(1 +
x2
n
)−
n+1
2
Tính chất 9 (Các tham số đặc trưng)
ChoX là biến StudentTn vớin bậc tự do, ta có
E(Tn) = 0; D(Tn) =
n
n− 2
Định lý 3.3.18 Biến Student Tn sẽ xấp xỉ biến chuẩnN(0, 1) khi n khá lớn (n > 30)
29
30 Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN
30