Giáo trình Toán cao cấp B1

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
------ ------ 
BÀI GIẢNG 
TOÁN CAO CẤP B1 
NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ 
ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN 
QuảngNgãi, tháng 04 - 2014 
2 
GIỚI THIỆU MÔN HỌC 
 Toán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ 
thuật. Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm 
số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một 
biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực. Phương trình vi phân, 
lý thuyết chuỗi. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật. 
 Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 của 
Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đẳng đào 
tạo theo học chế tín chỉ. 
 Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học). 
Chương 1: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến. 
 Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của 
dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật. 
Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến. 
Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp 
của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật. 
Chương 3: Tích phân của hàm số một biến. 
Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích 
phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và 
biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích 
phân suy rộng. 
Chương 4: Hàm số nhiều biến số. 
 Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về 
tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến 
số. Áp dụng trong kỹ thuật. 
Chương 5: Phương trình vi phân. 
 Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bản 
thường gặp. Các ứng dụng thực tế của chúng 
Chương 6: Chuỗi số. 
 Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. 
Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ. 
Chương 7: Chuỗi hàm số. 
Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về 
sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và 
ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. 
Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để 
minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng 
trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập 
3 
luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài 
học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương. 
Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau: 
+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo. 
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình 
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. 
[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. 
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. 
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , 
NXBGD. 
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật 
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. 
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM 
[8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp 
 (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục. 
+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài 
giảng trước khi lên lớp học. 
+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu 
cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp. 
4 
Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 
1.1.1 Dãy số 
 Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ *:f N R từ tập số nguyên dương *N vào tập số 
thực R được gọi là dãy số. Đặt ( ) nf n a thì dãy số được viết dưới dạng 
1 2, ,..., ,...na a a (1) hay  na hay ( )na 
Gọi na là số hạng ( hay phần tử) tổng quát thứ n của dãy số (1). 
Thí dụ 1.1.1 1, 3, 5, ..., 2 1,...n là một dãy số có số hạng tổng quát: 2 1na n . 
 3 21, 2, , ..., ,...
2 1
n
n 
là một dãy số có số hạng tổng quát: 2
1n
na
n
1.1.2 Các dãy số đặc biệt 
1.1.2.1 Dãy số đơn điệu 
Định nghĩa 1.1.2 Dãy na được gọi là: 
- Dãy số tăng (hoặc tăng nghiêm ngặt) nếu 1n na a .(hoặc 
*
1 ) ;n na a N  
- Dãy số giảm ( hoặc giảm nghiêm ngặt) nếu 1n na a .(hoặc 
*
1 ) ;n na a n N  
- Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng 
- Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệu 
Thí dụ 1.1.2 Dãy  *2
1 ; N
1n
a n
n
  
 
 là dãy giảm nghiêm ngặt 
Dãy na với 
1 1 11 1 ... 1
2 4 2n n
a 
là dãy tăng nghiêm ngặt 
Dãy  1 1( 1) 1, 1,1,..., ( 1) ,...n nna là dãy số không đơn điệu 
1.1.2.2 Dãy số bị chặn 
Định nghĩa 1.1.3 Dãy na được gọi là: 
- Dãy số bị chặn trên nếu với *: ;nk R a k n N  
- Dãy số bị chặn dưới nếu với *: ;nk R a k n N  
- Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn 
 ( tức là k R: k 0  sao cho na k với n N * ) 
Thí dụ 1.1.3 Dãy  *2
2 ; N
1n
a n
n
  
 
 là dãy số giảm nghiêm ngặt và bị chặn (bị 
chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0). 
5 
1.1.3 Dãy con 
 Định nghĩa 1.1.4 Từ dãy số  1 2, , ..., ,...(1)n na a a a ta trích ra một dãy 
  1 2, , ..., ;...n n n nk ka a a a Với các chỉ số 1 2, ,..., ,...kn n n là dãy số tự nhiên tăng 
nghiêm ngặt. Khi đó, dãy số nka được gọi là dãy con trích ra từ dãy số na . 
Thí dụ 1.1.4 Cho dãy số  nna 1 .thế thì dãy  21 1,1,...,1,...knka là dãy 
con của dãy  nna 1 
 Nhận xét: ;kn n n  
 1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin học: 
- Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần: Trong tin học thường yêu cầu nhập vào 
một dãy số và sắp xếp dãy số ấy theo thứ thự tăng dần hoặc giảm dần, chẳng hạn bài 
toán tuyển sinh sau khi có dãy các tổng điểm, để xác định điểm chuẩn và danh sách 
trúng tuyển cần sắp xếp tổng điểm theo thứ tự giảm dần. 
- Các dãy số được cho bởi công thức truy hồi (Chẳng hạn dãy số biểu thị bài toán 
tháp Hà Nội, Dãy số Fibonaci, ) 
1.1.5 Giới hạn của dãy số 
1.1.5.1 Định nghĩa 1.1.5 Ta nói rằng dãy số thực na có giới hạn l R khi 
n và viết lim nn a l hay na l khi n nếu 0 bé tuỳ ý cho trước, 
tồn tại số nguyên dương ( )N  sao cho * : ( ) nn N n N a l  
Dãy số thực có giới hạn còn gọi là dãy hội tụ, dãy số không có giới hạn gọi là dãy 
phân kỳ 
Thí dụ 1.1.5 Chứng minh 1lim 2 2
n n 
Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 12na n
Với 0 bé tuỳ ý cho trước, ta cần chứng minh tồn tại số nguyên dương ( )N  
sao cho * 1 1: ( ) 2 2nn N n N a l n n
   
 . Muốn vậy ta xét na l  
1 1n
n


  . Do đó chọn 1( )N 

 (Với  x là phần nguyên của số thực x) 
1.1.5.2 Các dấu hiệu hội tụ 
Định lý 1.1.1 Nếu 3 dãy số thực   , ,n n na b c thỏa mãn 
*
0; :n n nb a c n N n n  và lim limn nn nb c l thì na cũng hội tụ và lim nn a l . 
6 
Thí dụ 1.1.6 Chứng minh dãy số 
2 2 2
1 1 1...
1 2n n n n
  
 
 
 hội tụ 
Giải: Đặt 
2 2 2 2 2
1 1 1... ; ;
1 2 1
n n n
n na b c
n n n n n n n
;n n nb a c n  và lim lim 1n n nn nb c a hội tụ 
Định lý 1.1.2 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ 
- Dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ 
- Dãy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ 
Thí dụ 1.1.7 Chứng minh sự hội tụ của dãy số na với 
2
1 1 11 1 ... 1
2 2 2n n
a 
Giải: Ta có 1 11
11 1 ;
2
n
n n nn
n
a a a n a
a
  
 là dãy số tăng (1) 
Mặt khác áp dụng , : 0, 0x y R x y ln(xy)=lnx+lny và ln(1 )x x ta được 
*
2 2
1 1 1 1 1 1 1ln ln 1 ln 1 ... ln 1 ... 1 1 ;
2 22 2 2 2 2n n n n
a n N  
 ln ln ;n n na e a e n a  bị chặn trên (2) 
Từ (1) và (2) suy ra na đã cho hội tụ 
1.1.5.3 Các phép toán 
Định lý 1.1.3 Nếu na và nb hội tụ thì  , . , nn n n n
n
a
a b a b
b
 
 
 
cũng hội tụ và 
 lim( ) lim limn n n nn n na b a b 
 lim( . ) lim .limn n n nn n na b a b 
lim
lim
lim
nn n
n
n nn
aa
b b
 , với lim 0nn b 
1.1.5.4 Một số tính chất đơn giản của giới hạn dãy số 
a. Tính duy nhất 
Định lý 1.1.4 Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất 
Chứng minh: Bằng phương pháp phán chứng 
b. Tính bị chặn 
Định lý 1.1.5 Mọi dãy số thực hội tụ đều bị chặn 
c. Sự liên hệ giữa sự hội tụ của dãy con và dãy số ban đầu 
Định lý 1.1.6 Nếu dãy số na hội tụ và có giới hạn L thì mọi dãy con của nó đều 
hội tụ và có giới hạn L 
7 
1.1.5.5 Một số giới hạn đáng nhớ 
a. Định lý 1.1.7 
1. . 0 1lim
1nn
khi a
a
khi a 
2. lim 1 0n
n
a khi a
3. lim 1n
n
n
b. Số e 
Ta chứng minh được dãy số na với số hạng tổng quát 
 11
n
na n
tăng và bị chặn trên nên hội tụ 
Định nghĩa 1.1.6 1lim 1
n
n
e
n 
Số e là một số vô tỉ, có giá tri e = 2,718 281 828 459 045... Số e đóng vai trò quan 
trọng trong kỹ thuật. Lôgarit cơ số e gọi là lôgarit Neper hay lôgarit tự nhiên; 
Lôgarit Neper của x ký hiệu là lnx. 
1.2 Hàm số 
1.2.1 Định nghĩa 
Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X R 
 Hàm số một biến xác định trên tập X ( X R ) là một ánh xạ f từ tập X vào 
tập R. Người ta thường viết gọn hàm số: 
:
 ( )
f X R
x y f x
bởi đẳng thức ( )y f x . Trong đó x được gọi là biến số độc lập (hay đối số); 
( )y f x được gọi là biến số phụ thuộc (hay là hàm). Tập X được gọi là tập xác 
định của hàm số f x 
Tập ( ) ; ( )Y f X y R x X y f x được gọi là tập giá trị của hàm số. 
Nếu 0x x X thì )( 00 xfy gọi là giá trị của hàm số tại 0x . 
1.2.2 Các phương pháp cho hàm số 
1.2.2.1 Phương pháp giải tích 
 Cho hàm số bởi một đẳng thức mà vế thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, vế thứ 
hai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. Tập xác định của hàm số là tập 
các giá trị của đối số x để biểu thức có nghĩa 
8 
Thí dụ 1.2.1 Hàm số 24y x có tập xác định là tập những giá trị của x sao cho 
24 0 2 2x x 
 2) 
cos x
2
5 3 <x
2 2
s inx x
2
x
y x
neáu
neáu 
neáu
 có tập xác định là R 
1.2.2.2 Phương pháp bảng 
Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết, 
nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi 
tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho 
theo bảng Phương pháp này thường được dùng trong vật lý, kỹ thuật 
Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị các hàm số 2 1, , lg , , s inx, t anx,...y x x x
x
1.2.2.3 Phương pháp đồ thị 
 Tập 2( , ) , ( )G x y R x X y f x được gọi là đồ thị hàm số y = f(x) xác 
định trên X và nó được biểu diễn bởi một đường trong mặt phẳng Oxy. Đồ thị của 
hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm 
số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị 
của nó. Chẳng hạn đồ thị biểu diễn điện áp của lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim 
hay đồ thị biểu biễn về chứng khoán, 
Nhược điểm của phương pháp cho hàm số bằng đồ thị là thiếu chính xác. 
1.2.3 Các phép toán trên hàm số 
1.2.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số 
Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng là tập D và G. 
Khi đó f + g, f – g, f.g, f
g
 ( ( ) 0 g x ) là hàm số xác định trên X D G  và 
. .
; 0
f g x f x g x
f g x f x g x
f xf x g x
g g x
Thí dụ 1.2.3 Hàm số y = cosx + sinx là tổng của hàm số f(x) = cosx và hàm số 
g(x) = sinx. 
1.2.3.2 Hàm số hợp 
Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X, nhận giá trị trên tập Y và 
hàm z = g(x) xác định trên tập Y. Khi đó z cũng là hàm của x xác định trên tập X 
9 
 ( )z g f x . 
z được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: g f 
 Vậy  0( ) ( ) ( )z x g f x g f x . 
Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số xxf 2)( và ( )g x x . Khi đó: 
 ( ) 2 2x xg f x g f x g 
 ( ) 2 xf g x f g x f x 
1.2.3.3 Hàm số ngược 
Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: :f X Y 
 ( )x y f x 
Nếu tồn tại hàm số :Y X 
 ( )y x y sao cho ( )f x y 
thì hàm số được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu: 1f . 
Ta có: 1 1( ) ( )y f y f f x x . 
Chú ý Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số ( )y f x là 1( )y f x 
thay cho hàm 1 ( )x f y . Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường 
phân giác thứ nhất. 
Thí dụ 1.2.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược là 
3
xy 
1.3 Các hàm số đặc biệt 
1.3.1 Hàm số đơn điệu 
Định nghĩa 1.3.1 Hàm số ( )y f x được gọi là: 
 - Đơn điệu tăng (hoặc giảm) trong khoảng ,a b nếu 1 2 1 2, ( , ) :x x a b x x 
thì 1 2( ) ( )f x f x ( hoặc 1 2( ) ( )f x f x ). 
- Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trong khoảng ,a b nếu 
1 2 1 2, ( , ) :x x a b x x thì 1 2( ) ( )f x f x (hoặc 1 2( ) ( )f x f x ). 
Thí dụ 1.3.1 
- Hàm số 2y x là hàm giảm nghiêm ngặt trong các khoảng , 0 và tăng 
nghiêm ngặt trong khoảng 0, 
- Hàm số 3y x là hàm tăng nghiêm ngặt trong khoảng , 
10
1.3.2 Hàm số bị chặn 
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số ( )f x được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập 
D X (X là miền xác định), nếu tồn tại M R sao cho ta có: ( )f x M (hoặc 
( )f x M ) với x D . 
 Hàm số ( )y f x được gọi là bị chặn trong tập D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa 
bị chặn dưới trong tập D. Nghĩa là tồn tại : 0M R M sao cho ( ) ;f x M x D  . 
Thí dụ 1.3.2 Hàm số s inxy là các hàm số bị chặn trong R vì sin 1;x x R  . 
1.3.3 Hàm số chẵn lẻ 
1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số ( )y f x xác định trên tập đối xứng D. 
 Hàm số ( )y f x được gọi là hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) trên tập D nếu 
Dx  luôn có: Dx và ( ) ( )f x f x ( ) ( )f x f x (hoặc ( ) ( )f x f x ). 
Thí dụ 1.3.3 Hàm số 2y x là hàm số chẵn trên R. vì x R x R và 
( ) ( )f x f x . 
Hàm số 3y x là hàm số lẻ trên R vì x R x R và 3( ) ( )f x x f x . 
1.3.3.2 Tính chất 
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. 
- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 
1.3.4 Hàm số tuần hoàn 
1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số ( )y f x xác định trên tập D. 
 Hàm số ( )y f x được gọi là hàm số tuần hoàn trên [ ,D x D  
: 0L R L x L D sao cho ( ) ( )f x L f x ] 
1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuần hoàn 
Định nghĩa 1.3.5 Giả sử ( )y f x là hàm số tuần hoàn trên tập D. Nếu tồn tại số 
dương T nhỏ nhất sao cho: ( ) ( ); ;f x kT f x x D k Z   thì T được gọi là chu 
kỳ của hàm tuần hoàn ( )y f x . 
Thí dụ 1.3.4 Hàm số tany x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T . 
1.3.5 Một số hàm số thường dùng trong kỹ thuật và công nghệ thông tin 
 Trong thực tiễn kỹ thuật hay kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như 
hàm số chuyển động của một chất điểm, qui luật giảm nhiệt của một thanh kim loại 
đốt nóng được đặt trong môi trường có nhiệt độ ổn định thấp hơn hay hàm sản xuất, 
hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm tính lãi kép 
Trong tin học các ngôn ngữ lập trình có các hàm có sẵn như các hàm số học, các 
hàm lôgic, các hàm thống kê. Chẳng hạn như các hàm Max, Min, DIV, Mod, IIF, 
Cound, 
11
1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản 
1.4.1 Định nghĩa 
Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản 
+ y = C ( C là hằng số). 
+ Hàm số luỹ thừa ,y x R . 
+ Hàm số mũ ; (0 1)xy a a 
+ Hàm số lôgarit log ; (0 1)ay x a 
+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y ... 
xa x a x M q
x
 với 
0
0 1xq
x
 Mà chuỗi 
1
n
n
q
 hội tụ với q <1 nên 
chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
 hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn 0xx . 
Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa 
1
n
n
n
a x
 phân kỳ tại x = x1 thì nó phân kỳ với mọi x thoả 
mãn bất đẳng thức 1x x . 
Như vậy có 3 khả năng: 
113 
- Chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
 chỉ hội tụ duy nhất tại x = 0. Chẳng hạn 
1
n n
n
n x
 
- Chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
 hội tụ với x R . Chẳng hạn 
1 !
n
n
x
n
 
- Chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
 phân kỳ tại 1 0x và hội tụ tại 0 0x : Theo định lý Abel và hệ 
quả của nó thì mọi điểm của khoảng 0 0( , )x x đều là điểm hội tụ và mọi điểm của 
các khoảng 1 1, , ,x x đều là điểm phân kỳ. Do đó tồn tại số r>0 sao cho 
1
n
n
n
a x
 hội tụ với | |x r và phân kỳ với | |x r 
7.3.2 Bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 
7.3.2.1 Bán kính hội tụ 
- Định nghĩa 7.3.2 Số r>0 sao cho 
1
n
n
n
a x
 hội tụ với | |x r và phân kỳ với | |x r 
được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 
1
n
n
n
a x
 
Khoảng (-r, r) được gọi là khoảng hội tụ. Nếu chuỗi phân kỳ với 0x thì qui uớc r 
= 0; nếu chuỗi hội tụ với x R ta qui ước r 
Chú ý: Tại hai đầu mút của khoảng hội tụ (tức là điểm x = - r và x = + r) thì 
1
n
n
n
a x
 
có thể hội tụ hoặc phân kỳ 
- Cách tìm bán kính hội tụ 
Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 
1
n
n
n
a x
 ta dựa vào định lý sau: 
Định lý 7.3.2 Cho chuỗi hàm luỹ thừa 
1
n
n
n
a x
 . 
Nếu tồn tại 1lim n
n
n
a l
a
 (hoặc lim n nn a l ) thì bán kính hội tụ của 
1
n
n
n
a x
 được xác 
định như sau: 
1 0
0
0
khi l
l
r khi l
khi l
7.3.2.2 Cách tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 
1
n
n
n
a x
 
- Bước 1: Tìm bán kính hội tụ r 
+ Nếu r = 0 thì kết luận miền hội tụ là 0 
114 
+ Nếu r = thì kết luận miền hội tụ là R 
+ Ngược lại 0 r thì suy ra khoảng hội tụ (- R, R) và chuyển sang bước 2 
- Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi 
1
n
n
n
a x
 tại x = - R và x = R 
- Bước 3: Kết luận về miền hội tụ của 
1
n
n
n
a x
 dựa vào két quả bước 1 và 2 
Thí dụ 7.3.1 Tìm miền hội tụ của chuỗi: a) 
0
1
3
n
n
n
x
n
 b)
1
0
( 1) ( 2)
2
n
n
n
n
x
n
  
Giải: a) Chuỗi hàm số đã cho là chuỗi hàm lũy thừa có dạng 
1
n
n
n
a x
 
 Với 1 1
1 1
3 ( 1)3n nn n
a a
n n 
 1 1
3 1 1lim lim lim
3 1 3( 1)3 n
n
n
nn nn
a n n
a nn 
 Chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ là R = 3 và khoảng hội tụ là 3,3 
 - Khi x = -3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số 
1
1( 1)n
n n
  hội tụ theo dấu hiệu 
Lebnitz 
- Khi x = 3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số 
1
1
n n
 phân kỳ 
Vậy chuỗi hàm đã cho có miền hội tụ là: 3 3x 
b) Chuỗi hàm lũy thừa có dạng 0
1
( )nn
n
a x x
  . Đặt 2X x ta được 
1
0
( 1)
2
n
n
n
n
X
n
  có dạng 
1
n
n
n
a x
 với 
1( 1) 1 1lim lim 2
22 2
n
n nn nn n
a a r
n n
Suy ra chuỗi hội tụ với 2 2 2 2 2 4 0X x x 
Tại x = -4 chuỗi hàm trở thành chuỗi điều hoà nên phân kỳ 
Tại x = 0 chuỗi hàm trở thành chuỗi số 1
1
1( 1) .n
n n
  hội tụ theo tiêu chuẩn 
LeibNiz 
Vậy miền hội tụ của chuổi là (-4,0] 
7.3.3 Tính chất của chuỗi hàm luỹ thừa 
7.3.3.1 Tính chất 1: (Tính liên tục của tổng của chuỗi) 
115 
Định lý 7.3.3 Nếu chuỗi 
1
n
n
n
a x
 có tổng là S(x) thì S(x) liên tục trên trên miền hội tụ 
của nó. 
7.3.3.2 Tính chất 2: (Lấy tích phân của một chuỗi luỹ thừa ) 
Định lý 7.3.3 Với mọi đoạn [ , ]a b nằm trong miền hội tụ của chuỗi 
1
n
n
n
a x
 có tổng 
là S(x) thì 
1 1
( ) ( ). ( ).n n
n n
b b b
a a a
S x dx u x dx u x dx
   . 
7.3.3.3 Tính chất 3: (Lấy đạo hàm của một chuỗi luỹ thừa) 
Định lý 7.3.4 Trên khoảng hội tụ của chuỗi 
1
n
n
n
a x
 có tổng là S(x) thì 
/
/ /
1 1
( ) ( )n nn n
n n
S x a x a x
  . 
7.3.4 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 
7.3.4.1 Định lý 7.3.5 Nếu hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của x0 và 
lim ( )nn R x 
( 1)
1
0
( )lim ( ) 0
( 1)!
n
n
n
f x x
n
 
, với  nằm giữa x0 và x thì trong lân cận x0 
ta có: 0 0 0
/ / / ( )
2
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
1! 2! !
n
nf x f x f xf x f x x x x x x x
n
 0
( )
0 0
1
( )
( ) (1)
!
n
n
n
f x
f x x x
n
  
Khi đó ta gọi chuỗi hàm ở vế phải của (1) là chuỗi Taylor của hàm f(x) trong lân 
cận x0 và ta nói hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor. 
Nếu x0 = 0 thì chuỗi Taylor trở thành chuỗi sau và được gọi là chuỗi Maclaurin 
( ) / / / ( )
2
1
(0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ... (2)
! 1! 2! !
n n
n n
n
f f f ff x f x f x x x
n n
  
7.3.4.2 Điều kiện đủ để khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin 
Định lý 7.3.6 Nếu hàm số f(x) trên đoạn [-H,H] có đạo hàm mọi cấp và chúng bị 
chặn bởi cùng một số:  ( ) ( ) ; ,nf x M x H H  với n 
Thì trên đoạn đó có khai triển: 
( ) / / / ( )
2
1
(0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ...
! 1! 2! !
n n
n n
n
f f f ff x f x f x x x
n n
  
7.3.4.3 Khai triển thành chuỗi Maclaurin một số hàm số sơ cấp: 
a) ( ) xf x e 
Ta có  ( ) ( )( ) ( ) ; , )n x n Hf x e f x e x H H  với H>0 nên f(x)= ex 
116 
 Khai trển được thành chuỗi Maclaurin. Áp dụng công thức (2) ta được: 
( ) / / / ( )
2
1
(0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ...
! 1! 2! !
n n
n n
n
f f f ff x f x f x x x
n n
  
2
1
1 1 1 11 1 ... ...
! 1! 2! !
x n n
n
e x x x x
n n
  
b) ( ) s inxf x 
Ta có ( )
0 2
( ) sin( . ) (0)
2 ( 1) 2 1
n n
k
khi n k
f x x n f
khi n k
( ) / / / ( )
2
1
(0) (0) (0) (0)sin ( ) 0 (0) ... ...
! 1! 2! !
n n
n n
n
f f f fx f x f x f x x x
n n
  
3 5 2 1 2 1
0
... ( 1) . ... ( 1) .
3! 5! (2 1)! (2 1)!
k k
k k
k
x x x xx
k k
  với x R 
c) ( ) osxf x c 
Tương tự ta có : 
2 4 2 2
0
cos 1 ... ( 1) . ... ( 1) .
2! 4! (2 )! (2 )!
k k
k k
k
x x x xx
k k
  với x R 
7.3.4.4 Một số ứng dụng khai triển hàm số thành chuỗi 
- Tính giá trị gần đúng hàm số tại một điểm 
Thí dụ Tính gần đúng số e với độ chính xác đến 0,00001 
- Tính gần đúng tích phân xác định 
Thí dụ Tính gần đúng tích phân sau với độ chính xác cho trước 
1
0
sinxdx
x 
7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier 
 Trong cơ học thường gặp các bài toán phân tích một dao động thành các dao 
động điều hoà hoặc hợp các dao động điều hoà. Xét về mặt toán học, điều đó có 
nghĩa là khai triển một hàm số (có chu kỳ) thành một chuỗi hàm dạng sau đây 
7.4.1 Định nghĩa 
- Định nghĩa 7.4.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng 
 
1
0 )sin.cos.(
2 n
nn nxbnxa
a (1) 
trong đó 0 , ,n na a b R 
- Định lý 7.4.1 Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều trên đoạn [- ; ] về hàm f(x) thì 
các hệ số an, bn được tính bởi công thức: 
1 ( ) cos . ; 1, 2,3,...
(2)
1 ( ) sin . ; 1, 2,3,...
n
n
a f x nx dx n
b f x nx dx n
117 
- Định nghĩa 7.4.2 Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , khả tích trên đoạn [- ; 
 ], chuỗi lượng giác 
1
0 )sin.cos.(
2 n
nn nxbnxa
a trong đó các hệ số an, bn được tính 
theo công thức (2) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) 
7.4.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Fourier: 
Định lý 7.4.2 (Định lý Đirichle) 
Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn 
[- ; ] thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ từng điểm trên đoạn đó và tổng S(x) của 
chuỗi được xác định như sau: 
1. ( ) ( )S x f x tại những điểm ( )f x liên tục; 
2. 1( ) 0 ( 0)
2
S x f x f x khi x là điểm gián đoạn loại I và ,x 
3. S( ) = S(- ) = [f( -0) + f( +0)]/2. 
Chú ý: Khai triển Fourier là công cụ của Phương trình vật lý toán và giải tích điều 
hoà. Nó còn là cơ sở để giải các bài toán về phân bố nhiệt,... 
Thí dụ 7.4.2 Khai triển Fourier của hàm f x x trên đoạn [- ; ] và tuần 
hoàn với chu kỳ 2 
Ta có: 0
1 1( ) ( ) 2a f x dx x dx
 ; 
 1 1 1( ) cosnx cosnx cosnx cosnx 0 na f x dx x dx dx x dx
 1 1 2sin nx 0 sin nx 1 .
n
nb x dx x dx n
 (Tích phân từng phần) 
Theo định lý Đirichle ta được: 
 0
1 1
1
( ) cos .s innx 2 s innx
2
n
n n
n n
af x a nx b
n
   
 Sự khai triển này đúng với x R trừ các điểmgián đoạn của hàm f(x) là 
2x k 
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 7 
Chương 7 sinh viên cần nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và 
các dấu hiệu về sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, 
cách khai triển và ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. Khi tìm miền 
hội tụ của chuỗi hàm cần vận dụng các kết quả về xét sự hội tụ của chuỗi số, nên 
cần ôn tập nắm vững kiến thức về chuỗi số để nghiên cứu về chuỗi hàm số. 
Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 
118 
1) Định nghĩa chuỗi hàm số, chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều. Cho thí dụ. 
2) Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Cho thí 
dụ minh hoạ. 
3) Định nghĩa bán kính của chuỗi hàm lũy thừa dạng 
1
n
n
n
a x
 và trình bày cách 
tìm bán kính và miền hội tụ của nó. Cho thí dụ. 
4) Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin của 1 hàm số. Nêu ứng dụng của 
chuỗi Maclaurin. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 
Bài 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau: 
1) 
1
1
x
n n
 2) 1
1
11 n x
n n
  3) 
1
2 sin
3
n
n
n
x 
 
4) 
1
1
! nn n x
 5) 
2
1
1
1
n
n
n
x
n
 6) 
1 !
n
n
x
n
 
Bài 2. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa sau: 
1) 1
1 3
2n n
n
n
x 
 2) 
1
2 1 !
!
n
n
n x
n
 3) 
1
( 2)n
nnn
x 
 4) 
1 2
1 !
1 nn
n
n
x
  
Bài 3. Khai triển thành chuỗi Maclaurin các hàm số sau 
1) 2( ) sinf x x 2) ( ) ; 0 1xf x a a 3) ( ) ln (1 )f x x 
Bài 4. Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau 
 1) 2( )f x x trên đoạn [-1,1] 2) 
2
( )
2
xf x x trên đoạn [0,2] 
Bài 5. Tính gần đúng các số sau với sai số không quá 10-4 
 1) e 2) 0os61c 3) 2
1
4
0
xe dx 
119 
MỤC LỤC 
GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................... 1 
Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................... 4 
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................................. 4 
1.2 Hàm số ................................................................................................................... 7 
1.3 Các hàm số đặc biệt ................................................................................................ 9 
1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................................................................... 11 
1.5. Giới hạn hàm số.................................................................................................... 12 
1.6 Sự liên tục của hàm số. ......................................................................................... 19 
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN .................................... 26 
2.1 Đạo hàm ............................................................................................................... 26 
2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số ................................................................................. 31 
2.3 Các định lý về hàm số khả vi ................................................................................ 33 
2.4 Ứng dụng của đạo hàm ......................................................................................... 39 
Chương 3. TÍCH PHÂN............................................................................................... 48 
3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định ............................................................. 48 
3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân................................................................. 49 
3.3 Tích phân các hàm số thường gặp ......................................................................... 51 
3.4 Tích phân xác định ............................................................................................... 56 
3.5 Tích phân suy rộng ............................................................................................... 61 
3.6 Ứng dụng của tích phân ........................................................................................ 64 
Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ...................................................................... 71 
4.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 71 
4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến .................................................... 72 
4.3 Đạo hàm riêng ...................................................................................................... 73 
4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần ............................................................................. 76 
4.5 Cực trị của hàm số hai biến ................................................................................... 78 
Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN..................................................................... 86 
5.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 86 
5.2 Phương trình vi phân cấp 1 ................................................................................... 87 
5.3 Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................................... 93 
Chương 6. CHUỖI SỐ ............................................................................................... 101 
6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ ...................................... 101 
6.2 Chuỗi số dương .................................................................................................. 103 
6.3 Chuỗi số đan dấu ................................................................................................ 106 
6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối .................................................. 107 
Chương 7. CHUỖI HÀM ......................................................................................... 109 
7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số............................................ 109 
7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số ......................................... 110 
7.3 Chuỗi luỹ thừa .................................................................................................... 112 
7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier ..................................................................... 116 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 120 
120 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình 
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. 
[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. 
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. 
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , 
NXBGD. 
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật 
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. 
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM 
[8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp 
 (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.