Giáo trình Thuyết tương đối rộng

 3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 
KHOA VẬT LÝ 
GIÁO TRÌNH 
LÊ NAM 
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - 2002. 
 4
MỤC LỤC 
Lời nói đầu 06 
Chương I : Phép tính Tenxơ 09 
§1. Quy tắc chỉ số 09 
§2. Ma trận chuyển tọa độ 09 
§3. Tenxơ phản biến và Tenxơ hiệp biến 10 
§4. Đại số Tenxơ 12 
§5. Tenxơ Metric 13 
§6. Đạo hàm Lie 14 
§7. Đạo hàm Hiệp biến 15 
§8. Đạo hàm Tuyệt đối 17 
§9. Ký hiệu Christoffel và Tenxơ Mêtric 18 
§10. Đường trắc địa 19 
§11. Tenxơ Riemann 21 
§12. Hệ tọa độ Trắc địa 21 
§13. Tenxơ T( Ricci 21 
§14. Phương trình độ lệch Trắc địa 22 
§15. Tenxơ Mật độ 23 
§16. Định thức Mêtric 24 
Chương II : Phương trình Einstein 26 
§1. Các nguyên lý trong thuyết tương đối rộng 26 
§2. Phương trình Palatinh 27 
§3. Hàm tác dụng của phương trình Hấp dẫn 28 
§4. Phương trình Einstein tổng quát 30 
Chương III : Nghiệm Schwarzschild 33 
§1. Nghiệm Schwarzschild 33 
§2. Quỹ đạo kỳ lạ của sao Thủy – Mecury 35 
§3. Sự uốn cong của Tia sáng 39 
§4. Dịch chuyển đỏ hấp dẫn – Gravitational Red Shift 43 
Chương IV: Sóng hấp dẫn 47 
§1. Phương trình Einstein tuyến tính hóa 47 
§2. Sự phân cực của sóng hấp dẫn 50 
§3. Gần đúng chuyển động chậm 56 
§4. Hệ số tỉ lệ – Hệ số ghép nối 58 
Chương V : Lỗ đen 61 
§1. Điểm kỳ dị của nghiệm Schwarzschild 62 
§2. Biểu đồ không – thời gian 62 
§3. Chân trời sự kiện – Event Horizons 65 
 5
§4. Lỗ đen quay 66 
§5. Điểm kỳ dị và mặt chân trời của nghiệm Kerr 67 
§6. Đường trắc địa Null chính 69 
§7. Hiệu ứng Penrose (1969) 71 
Chương VI: Vũ trụ học tương đối tính 72 
§1. Các nguyên lý vũ trụ cơ bản 72 
§2. Không gian có độ cong không đổi 73 
§3. Phương trình Friedmann 75 
§4. Các mô hình vũ trụ khi ( = 0 77 
Phụ lục 1: Thuyết đương đối hẹp 81 
§1. Không thời gian Minkowski 81 
§2. Nón ánh sáng – The Null Cone 81 
§3. Thời gian riêng 82 
§4. Tiên đề của thuyết tương đối hẹp 83 
§5. Vectơ vận tốc bốn chiều 83 
§6. Tenxơ năng động lượng cho chất lỏng lý tưởng 85 
Bài tập 87 
Tài liệu tham khảo 90 
 6
LỜI NÓI ĐẦU 
Ngày nay các nhà khoa học mô tả vũ trụ dựa trên hai lý thuyết cơ sở có tính 
riêng phần, đó là thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử. Hai lý thuyết đó là 
những thành tựu trí tuệ vĩ đại của nửa đầu thế kỷ này. Lý thuyết tương đối rộng mô 
tả lực hấp dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ. Trái lại cơ học lượng tử lại mô tả những 
hiện tượng ở phạm vi cực kỳ nhỏ, cỡ một phần triệu của một centimét. 
Cơ lượng tử nói riêng và vật lý lượng tử nói chung đã được giảng dạy thường 
xuyên cho sinh viên khoa toán và khoa lý ở cấp đại học. Trái lại thuyết tương đối 
rộng lại chưa được quan tâm thích đáng như vậy. 
Tuy nhiên cùng với thời gian, thuyết tương đối rộng sẽ được dạy thường 
xuyên cho sinh viên chưa tốt nghiệp đại học và điều này là không thể tránh khỏi. 
Đây là lý thuyết khó – nhưng giống như những kỷ lục điền kinh năm mươi năm về 
trước những người bình thường hầu như không thể đạt được thì ngày nay các sinh 
viên đại học được luyện tập tốt có thể đạt được. Hoàn toàn giống như vậy đối với lý 
thuyết của Einstein được xác lập cách đây tám mươi lăm năm. Sau một thời gian dài 
thai nghén nó đã tìm con đường của mình vào thế giới vật lý của các trường đại học 
và dù ít dù nhiều nó cũng chiếm được vị trí thường xuyên trong thời khóa biểu dành 
cho sinh viên khoa vật lý và toán ứng dụng chưa tốt nghiệp đại học. 
Ngày nay lý thuyết này được đánh giá là rất có giá trị và có thể tiếp thu được. 
Nó là đối tượng nghiên cứu nghiêm túc của sinh viên khoa vật lý và toán cũng như 
ai có sự quan tâm trên trung bình đối với lý thuyết này, kể cả những người sau này 
không có dự định trở thành nhà nghiên cứu. 
Việc nhiều người học thuyết tương đối rộng có thể được xem như một thành 
công khác trong sự thành công toàn diện của lý thuyết này. 
Tuy vậy việc dạy thuyết tương đối rộng cho sinh viên chưa tốt nghiệp đặt ra 
một số vấn đề đặc biệt như sau. 
1. Nội dung của lý thuyết phải được hạn chế một cách rất hợp lý. Có nghĩa 
nêu đủ những nét cơ bản nhất, kể cả một số tiến bộ gần đây nhất nhưng lại 
không quá khó đối với sinh viên. 
2. Giáo trình dành cho sinh viên đại học phải có tính kiểm tra được. Ngoài 
những bài tập thiên về kỹ thuật tính toán phải có thêm những bài tập đòi hỏi 
phải suy nghĩ để tìm ra lời giải mặc dù bài tập loại này là rất khó. 
3. Có sự liên hệ chặt chẽ với những kiến thức của bộ môn vật lý khác để 
giúp cho sinh viên hiểu sâu hơn những điều đã học, giúp sinh viên vận dụng 
tốt những kiến thức đã học khi ra dạy tại các trường phổ thông 
4. Cung cấp một nền tảng nhất định để giúp sinh viên nghiên cứu sâu hơn 
khi có nguyện vọng 
Dựa trên tinh thần như vậy tác giả xây dựng giáo trình thuyết tương đối rộng 
dành cho sinh viên khoa Vật Lý Đại học Sư phạm. Trong quá trình biên soạn tác giả 
đã tham khảo các giáo trình của các trường đại học sau: 
1. Trường đại học Princeton 
Misner – Thorne – Wheeler: Gravitation. 
Freeman and company – Repinted 1999. 
2.Trường đại học Cradiff. 
Schutz: First course in general relativity 
 7
Cambridge University Press – Reprinted 1999. 
3.Trường đại học Southompton. 
D’inverno: Introducing Einstein’s relativity 
Oxford University Press – Reprinted 1996. 
4.Trường tổng hợp Oxford 
Hughston – Tod: Introduction to general relativity 
Cambridge University Press – Reprinted 2000. 
5.Trường công nghệ Massachusetts. 
Weinberg : Gravitation and Cosmology 
Wiley & Sons Inc – Reprinted 2000. 
Trong quá trình biên soạn tác giả được sự giúp đỡ rất nhiệt tình của các đồng 
nghiệp. Cho phép tác giả được cảm ơn thầy Phạm Văn Đổng, thầy Lý Vĩnh Bê, thầy 
Thái Khắc Định, cô Trần Quốc Hà đã giúp đỡ rất nhiều từ lúc thai nghén cho tới lúc 
giáo trình được in. Tác giả xin cảm ơn giáo sư Nguyễn Ngọc Giao – người thầy kính 
mến của tác giả - đã có nhiều góp ý rất bổ ích về nội dung của giáo trình. 
Tác giả cám ơn sự nhiệt tình của sinh viên Nguyễn Thị Nhị Hà và Nguyễn 
Thị Hằng trong việc đánh máy bản thảo đồng thời gửi lời cám ơn tới anh Tom 
Nguyễn – việt kiều Mỹ – đã giúp đỡ rất nhiều trong việc tìm tài liệu tham khảo. 
Do lần đầu biên soạn nên sai sót là điều khó tránh khỏi. Tác giả biết ơn các 
bạn đọc góp ý để giáo trình ngày một tốt hơn 
Cuối cùng cho phép tác giả viết lại lời của Stephan Hawking – nhà vật lý lý 
thuyết xuất sắc nhất hiện nay: 
Tám mươi năm về trước nếu tin lời Eddington thì chỉ có hai người hiểu được 
thuyết tương đối rộng. Ngày nay hàng vạn sinh viên đại học hiểu được lý thuyết đó 
và hàng triệu người ít nhất đã làm quen với thuyết tương đối rộng. 
Khi một lý thuyết được phát minh thì chỉ còn là vấn đề thời gian để cho lý 
thuyết đó được thấu triệt rồi đơn giản hóa và giảng dạy trong nhà trường ít nhất là 
những nét cơ bản. Và mọi người chúng ta sẽ đủ khả năng có được một kiến thức 
nhất định về những định luật trị vì vũ trụ và điều hành cuộc sống của chúng ta. 
Lê Nam 
NỘI DUNG CỦA GIÁO TRÌNH BAO GỒM 
Chương I : Phép tính tenxơ trong không gian Riemann. 
Mục đích của chương này là cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần 
thiết về công cụ toán học chính của thuyết tương đối rộng. Sinh viên được trang bị 
về các phép tính như : Đạo hàm hiệp biến, đạo hàm lie, đạo hàm tuyệt đối một 
tenxơ trong không gian cong, 4 – chiều 
Chương II : Phương trình Einstein 
Trong chương này sinh viên sẽ được học theo đúng cách mà Einstein đã làm 
cách đây tám mươi lăm năm là xây dựng phương trình từ nguyên lý tác dụng tối 
thiểu. Ta sẽ nhận được phương trình vi phân bậc hai phi tuyến mang tên Einstein. 
Chương III : Nghiệm Schwarzchild. 
Sinh viên sẽ được học cách giải phương trình Einstein để tìm ra nghiệm 
Schwarzchild. Trong quá trình giải mọi tính toán quá phức tạp sẽ được bỏ bớt nhằm 
 8
giúp cho sinh viên tiếp thu dễ dàng hơn. Sau đó sinh viên sẽ được làm quen với ba 
hệ quả quan trọng: 
- Giải thích tận tốc quỹ đạo kỳ lạ của sao thuỷ mà cơ học Newton không giải 
quyết được. 
- Sự truyền của tia sáng trong không – thời gian cong quanh mặt trời. 
- Thời gian dường như trôi chậm tại nơi có trường hấp dẫn lớn hơn. 
Chương IV : Lỗ đen 
Một trong những vật thể kỳ lạ nhất trong tự nhiên chính là lỗ đen. Chương 
này sẽ giới thiệu cho sinh viên về vùng không - thời gian quanh lỗ đen không quay 
và lỗ đen quay. Đó là lỗ đen Schwarzchild và lỗ đen Kerr. 
Chương V : Sóng hấp dẫn. 
Khi ta giải gần đúng phương trình Einstein cho chân không ta sẽ được 
nghiệm mô tả quá trình sóng. Đó là sóng hấp dẫn. Tuy nhiên cho đến ngày hôm nay 
các nhà vật lý thực nghiệm vẫn chưa đo được sóng hấp dẫn. 
Chương VI : Vũ trụ học tương đối tính. 
Chương này giới thiệu phương trình Friedman và từ đây ta tính được ba mô 
hình vũ trụ hiện nay. Đó là mô hình vũ trụ Mở, vũ trụ Phẳng, và vũ trụ Đóng. 
Chương trình trên tương ứng với 45 tiết lên lớp dành cho sinh viên khoa vật 
lý năm thứ tư. 
Chương VII : Phụ lục và bài tập 
 9
CHƯƠNG I 
 PHÉP TÍNH TENXƠ 
§1. QUY TẮC CHỈ SỐ 
 Người ta hay dùng các chữ sau để ký hiệu chỉ số: 
,...m,n,l,k,j,i 
,...,,,, νµγβα 
,...e,d,c,b,a 
 Trong biểu thức nếu chỉ số chỉ lặp lại có 1 lần thì chỉ số gọi là chỉ số tự do. - 
free index 
a ca
bY .X 
Ta thấy b và c là chỉ số tự do vì nó chỉ lặp lại một lần chỉ sốĠ được lặp lại 
hai lần. Điều này có nghĩa ta phải lấy tổng theo chỉ số đó. 
 Ví dụ: 
33221100 c
b
c
b
c
b
c
b
caa
b ..... ΧΥΧΥΧΥΧΥΧΥ +++= 
 với Ġ 
 (chỉ số lấy tổng gọi là chỉ số câm - dummy index.) 
§2. MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ 
 Xét không gian n chiều. Ta có hai hệ tọa độ cũ và mới được ký hiệu như 
sau: 
 Hệ tọa độ cũ : Ġ 
 Hệ tọa độ mới : Ġ 
 Ta có phương trình liên hệ giữa tọa độ mới và cũ: 
 aa xx → : ( ) ( )xxx,...,x,xfx anaa ≡= 21 (1) 
Như đã biết trong phần giải tích định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa 
độ mới phụ thuộc tuyến tính với nhau. 
 Nếu cácĠ độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
b
a
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.....
.....................
.....
.....
 (2) 
 Định thức của ma trận chuyển tọa độ gọi là Jacobi và ký hiệu là: 
0≠∂
∂= b
a
x
xJ a vaø n,...,,b 21= (3) 
 10
 Hoàn toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ mới về cũ: 
 aa xx → : ( )xxx aa = 0≠∂
∂= b
a
x
xJ (4) 
 Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sẽ cho ma trận đơn vị 
( ) cacac
b
b
a
phaàntöû
x
x.
x
x δ==∂
∂
∂
∂
 Trong đó (6) 
 Ký hiệu Kronecker 
§3. TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN 
 1. Để đơn giản ta xét không gian hai chiều phẳng với tọa độĠ và hai véctơ 
cơ sởĠ như hình vẽ. 
 Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả 
vectơĠ 
 1. Chiếu vuông góc véctơ Ġ lên hai trục ta được 
111 e.AcosAA
rr=θ= 
22 e.AcosAA
rr== 2θ 
 Chiếu véctơĠsong song theo từng trục ta được Ġkhi đó: 
2
2
1
1 eAe.AA rr
r += 
 Như vậy nếu biếtĠ và Ġ ta đều xác định được véctơĠ 
21 A,A goïi laø thaønh phaàn hieäp bieán cuûa veùctô A
r
21 A,A goïi laø thaønh phaàn phaûn bieán cuûa veùctô A
r
 Ta viếtĠ hoặc Ġ 
 Về thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biếnĠ nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới 
thành phần hiệp biến của nó. Tương tự cho véctơ phản biến. 
 Nói chungĠ. Tuy nhiên trong không gian phẳng với hệ trục tọa độ vuông 
góc nhau thì thành phần hiệp biến và phản biến bằng nhau. Không gian 
Euclide với hệ tọa độ Descartes. 
 2.Xét không gian n chiều. 
 Điểm P có các tọa độ làĠ 
 Còn Q có tọa độ làĠ 
=δ=δ=δ acacac 1 0 a = c a ≠ c 
2e
r
1e
r
2A 
2A 
1A 1A
A
r
1θ
2θ 
 11
axdr 
P Q 
X
r
p 
 Vectơ Ġ 
 Trong hệ tọa độ cũĠ vectơ trên sẽ có thành phần làĠ. 
 Trong hệ tọa dộ mớiĠ các thành phần tương ứng của véctơ trên sẽ là axd 
 DoĠ nên Ġ (1) 
 Bây giờ ta định nghĩa: 
 Véctơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng 1 là tập hợp những đại lượngĠ 
trong hệ tọa độĠ tại điểm P mà tuân theo quy luật. 
 bb
a
a X.
x
xX ∂
∂= (2) 
Ví dụ 
Cho đường congĠ trong không thời - gian bốn chiều. 
3210 ,,,a = 
Vectơ: Ġ là véctơ tiếp tuyến với đường cong tại điểm P. 
VéctơĠ có bốn thành phầnĠ tạo nên tenxơ phản biến hạng 1 
 Ta viết lại : 
( ) aXX,X,X,X
du
dx,
du
dx,
du
dx,
du
dxX ≡=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 3210
3210r
 Chú ý: khi ta nói véctơ phản biến hạng 1 ta thường ký hiệuĠ mà không cần 
dấu vectơ ở trên. 
 Từ đây ta tổng quát hóa: 
 Tenxơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượngĠtrong hệ tọa độ -Ġ 
 Mà tuân theo quy luật biến đổi sau khi chuyển hệ tọa độ từĠ: 
 cdd
b
c
a
ab X.
x
x
x
xX ∂
∂
∂
∂= (3)
 Các đại lượngĠ là thành phần của tenxơ hạng 2 trên nhưng tính trong hệ 
tọa độ -Ġ 
 Hoàn toàn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng 1 (véctơ hiệp 
biến) 
 ba
b
a X.x
xX ∂
∂= (4) 
 Tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai: 
 cdb
d
a
c
ab X.x
x.
x
xX ∂
∂
∂
∂= (5) 
 Ta cũng có định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng 3 
 efdc
f
b
e
d
a
bc
a X.
x
x
x
x
x
xX ∂
∂
∂
∂
∂
∂= (6) 
 12
 Ta thường ký hiệu tenxơ hạngĠ phản biến, hạngĠ hiệp biếnĠ 
Tenxơ hạng không là vô hướng và ta thường ký hiệu bằng chữĠ 
 3. Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý? 
 Xét hai tenxơĠ vàĠtrong hệ tọa độ nào đó (với các nhà vật lý thì đó là hệ 
quy chiếu) thỏa mãn tính chất: 
 abX = abY (7) 
 Nhân cả hai vế của (7) với: 
 abb
d
a
c
ab
b
d
a
c
Y
x
x.
x
xX.
x
x.
x
x
∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂
 Theo định nghĩa (3) ta có 
 cdcd YX = (8) 
 Biểu thức (8) chính là phương trình (7) được xét trong hệ tọa độ mới (hệ 
quy chiếu mới) 
 Từ đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ đúng 
trong hệ tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa độ bất kỳ khác. 
 Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán 
tính hay không quán tính. Như vậy tenxơ là công cụ toán học rất phù hợp để 
xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát). 
§4 . ĐẠI SỐ TENXƠ 
 1. Phép cộng được thực hiện với các tenxơ cùng loại với các chỉ số 
giống nhau: 
 abc
a
bc
a
bc XZY =+ 
 2. Phép nhân tenxơ - phép nhân ngoài - outer product 
 Tenxơ loạiĠ nhân với tenxơ loạũ sẽ cho ta tenxơ loạiĠ 
 abcdcd
a
b XZ.Y = 
 Tenxơ hạng hai nhân với tenxơ hạng 2 cho ta tenxơ hạng 4 . Nếu ta có 
véctơĠ và véctơĠ thì nhân tenxơ giữa hai vectơ trên được ký hiệu như sau: 
ĉ Nếu cả hai đều là vectơ phản biến 
 3. Phép nhân trong - inner product. 
ĉ cho ta tenxơ hạng 2 
 Hoặc ta có: ĉ cho ta tenxơ hạng 1 
 Nhận xét: Hai tenxơ nhân với nhau, nếu tất cả các chỉ số khác nhau thì ta 
có phép nhân ngoài còn nếu ta có các cặp chỉ số giống nhau thì ta có phép 
nhân trong. 
 4. Phép rút gọn tenxơ - contraction. 
 Cho tenxơĠ khi ta cho chỉ số a=c thìĠ thì là tenxơ hiệp biến hạng 2. Vì vậy 
ta ký hiệu: Ġ 
Hoặc ta có: Ġ 
 13
 5. Tenxơ là đối xứng với hai chỉ số trên hoặc dưới nếu ta hoán vị các 
chỉ số đó cho nhau mà tenxơ không đổi: 
baab XX = 
 Nếu không gian của ta là n chiều thì ta có thể biểu diễn tenxơ trên dưới 
dạng ma trận n hàng n cột. Do các phần tử của ma trận là tenxơ đối xứng nên 
ta có 
( )
2
1+nn
 thaønh phaàn ñoäc laäp. 
 Tenxơ là phản đối xứng nếu Ġ 
 Từ đây ta suy ra ĉ 
 Ġ Nghĩa là các thành phần nằm trên đường chéo chính bằng zero. Như vậy 
tenxơ phản đối xứng cóĠ thà ... +−− 1111
4
2
2
& 
 78
 11
4
22
2
=− )ucos(uC & 
Hay 11
2
=− )ucos(uC & 
Tích phân 2 vế theo dt : 
 tdtdt
dt
du)ucos(C ==− ∫∫ 12 
 tuducosCduC
uu
=− ∫∫
00 22
(Chú ý ở đây ta chọn khi u = 0 ( t = 0 
 và u = 0 ( R = 0 theo (3) 
Kết quả ta được :Ġ (4) 
Ta viết lại (3) và (4) : 
ĉ (5) mô tả đường cycloid 
Mô hình này gọi là mô hình vũ trụ đóng Closed Universe – Vũ trụ là hữu 
hạn. 
Vũ trụ nở dần ra từ điểm kỳ dị t = 0 đoạt tới bán kính cực đại Rmax = C 
Khi u =( haŹ rồi sau đó sẽ co dần lại tới điểm kỳ dị tại u =2( hay t =π C. 
Điểm này gọi là Big Crunch. vụ co lớn. 
Tại điểm kỳ dị t = 0 ta có R = 0 ( mật độ chất lớn vô hạn. Vũ trụ tuân 
theo mô hình Big Bang : Khởi đầu từ một điểm sau đó bùng nổ, lớn dần lên 
và tới hôm nay vẫn đang nở ra. Vũ trụ có điểm khởi đầu và điểm kết thúc và 
sau đó một chu kỳ mới được lặp lại. 
2
Cπ
t
0 
R 
Cπ
Big 
B
Big Crunch 
 79
b. Khi k = 0 
23
23
2121
21
2
4
9
23
CtRtC
/
R
dt.C
dt
dRRCRR
R
CR
CRR
/
//
/
=⇒=
⇒=
=
=
∫ ∫&
&
&
 ( R = hằng số .t2/3 
Đồ thị là đường cong nằm giữa đường thẳng và đường parabol. Có 
điểm kỳ dị tại t = 0. Vũ trụ nở ra từ điểm kỳ dị và tiếp tục như vậy cho tới vô 
hạn. Do k = 0 nên không gian phẳng. Ta có mô hình vũ trụ phẳng Flat 
Universe 
c. Khi k = - 1 : 
 RCRR +=2& 
ĐặŴ 
Đạo hàm theo t :Ġ 
Thay (9) vào (7) : 
 CucoshCCusinhuC)u(coshC
2
1
2
1
4
11
2
1 222 −+=− & 
 )ucosh()u)(coshu(coshC)(coshu +=+−− 111
4
1
2
2& 
 11
4
1 222 =− u)u(coshC & 
 11
2
1 =− u)u(coshC & 
 ∫∫∫ =−
tuu
dtdt
dt
duCdt.
dt
duucoshC
000 2
1
2
1
(ta chọn u = 0 ( R = 0 
 80
 và R = 0 ứng với t = 0) 
 t)uu(sinhC =−
2
1
 (10) 
Viết lại (8) và (10) : 
)uu(sinhCt
)u(coshCR
−=
−=
2
1
1
2
1
 (11) 
(11) mô tả đường cong có dạng hàm emũ. Vũ trụ có điểm kỳ dị tại t = 0 và sau đó nở 
mãi. Ta có mô hình vũ trụ mở Open Universe 
Kết luận : Ta có 3 mô hình vũ trụ : Mở – Phẳng – Đóng. 
Cả 3 mô hình đều có điểm kỳ dị tại t = 0 ( vũ trụ có điểm khởi đầu (Big 
Bang). Các số liệu đo được hiện nay cho thấy tuổi của vũ trụ 12 – 18 tỷ năm. 
Để biết vũ trụ tuân theo mô hình nào ta cần giải quyết vấn đề vật chất tối 
(dark matter or missing mass). Khi đó ta biết chính xác được giá trị ( của vũ 
trụ. Nếu mật độ vật chất của vũ trụ bằng một giá trị tới hạn nào đó gọi là (cr 
((cr = critical density) thì vũ trụ sẽ tuân theo mô hình phẳng. Các số 
liệu ngày nay cho thấy ( ~ (cr còn vũ trụ tuân theo mô hình nào vẫn là câu 
hỏi chưa có lời giải đáp. 
k = 0 
t 
0 
R 
k = – 1 
k = + 1 
 81
Phụ lục 1: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP 
§1. KHÔNG THỜI GIAN MINKOWSKI 
 Không thời gian Minkowski là không gian phẳng 4 chiều t, x, y, z với các 
metric phẳng. Có hai cách chọn dấu metric. 
 a) (+ - - -) , b) (- + + +) 
Với trường hợp a ta nói Signature –2 
Còn trường hợp b sẽ là Signature +2 
Ta thường ký hiệu : 
 ( ) ( ) ( )zyxtxxxxxa ,,,,,, 3210 == 
Yếu tố độ dài 
 baab
ba
ab dxdxdxdxgds η==2 
trong đó: 
 100 +=η ; 1332211 −=== ηηη 
Ġ nếu Ġ ( ) ( ) ( ) ( )232221202 dxdxdxdxdxdxds baab −−−==η 
 2222 dzdydxdt −−−= 
ở đây ta chọn Signature –2 
§2. NÓN ÁNH SÁNG - THE NULL CONE 
Ta có hệ quy chiếu O . Ta xây dựng các vectơ cơ sở : ( )0,0,0,10 =er ( )0,0,1,01 =er ( )0,1,0,02 =er ( )1,0,0,03 =er 
Các vectơ cơ sở trên thỏa mãn biểu thức sau: 
100 =ee rr ; 1332211 −=== eee rrr 
0=baee rr khi ba ≠ 
Từ đây ta rút ra Ġ 
Một vectơ bất kỳ đều biểu diễn thông qua các vectơ cơ sở : 
 3
3
2
2
1
1
0
0 eAeAeAeAA rrrr
r +++= 
Ta có tích vô hướng của 2 vectơ : 
ab
ba
ab
ba
ba
ba
b
b
a
a gBABAeeBAeBeABA ==== ηrrrrrr 
33221100 BABABABABA +++−=rr 
Từ đây ta có bình phương độ dài của một vectơ. 
a
a
ba
ab
ba
ab XXXXXXgXXX ==== η2
rrr
VectơĠ được gọi là : 
Timelike _ giống thời gian nếu Ġ 
Spacelike_ giống không gian nếu Ġ 
 82
Null vector_ vectơ null nếu Ġ 
Vectơ null có bình phương độ dài bằng zero nhưng có các thành phần khác 
zero 
Nếu ta chọn Signature(- + + +) thì dấu sẽ ngược lại 
Từ định nghĩa vectơ null ta có : 
03333
22
22
11
11
00
00
2 =+++== XXXXXXXXXXX baab ηηηηη
r
 ( ) ( ) ( ) ( ) 023222120 =−−− XXXX 
Tập hợp tất cả các vectơ null tại điểm P cho trước trong không thời gian 
Minkowski tạo nên nón ánh sáng 
Ý nghĩa vật lý: 
 -Vectơ timelike nối các sự kiện có quan hệ nhân quả với nhau. Ví dụ hạt 
chuyển động với vận tốcĠ thì khoảng cách giữa 2 điểm trên quỹ đạo bao giờ 
cũng thỏa mãn: 
( ) ( ) 022222 〉++−= dzdydxcdtds 
vì tốc độ ánh sáng nhân với thời gian bao giờ cũng lớn hơn quãng đường mà 
hạt đi được trong thời gian đó 
 -Vectơ Spacelike nối các sự kiện độc lập nhau, không có tính nhân quả với 
nhau. 
- Khi hai sự kiện được liên hệ với nhau bởi tín hiệu ánh sáng thì : 
( ) ( ) 022222 =++−= dzdydxcdtds 
 Các sự kiện này nằm trên nón ánh sáng. Ví dụ sự kiện một là trên 
mặt trời xuất hiện vết đen lớn thì tám phút sau người quan sát tại quả đất sẽ 
chụp được ảnh vết đen (sự kiện hai). Hai sự kiện này nằm trên nón ánh sáng 
và chúng được nối với nhau bằng vectơ null. 
§3. THỜI GIAN RIÊNG 
Ta có vật chuyển động.Thời gian được tính theo đồng hồ gắn chặt với vật 
(cùng chuyển động với vật) gọi là thời gian riêng. 
Từ hiệu ứng dãn nở thời gian ta có : 
Ġ với Ġ 
P
t
y 
x 
Vectô null
Vectô timelike
Vectô 
spacelike 
Noùn aùnh saùng vôùi truïc z aån (ñöôïc daáu kín)
 83
dt
c
vd
2
1
2
2
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=τ 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
222
2
22
2
2
2 111
dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
dtdt
c
vdτ 
 ( ){ } 2222222 11 dscdzdydxcdtc =−−−= 
222 dsdc =τ 
Nếu chọn hệ đơn vị trong đóĠ thì 
22 dsd =τ 
 - DoĠ là thông số Affine nên thời gian riêng cũng là thông số Affine. 
 - Nếu người quan sát chuyển động cùng với vật thì khi đó vận tốc của 
vật so với anh ta sẽ bằng zero.Khi đó 
( ) 22222 0 dtdtccdtds ==−= choïn 1=c 
thời gian tính theo đồng hồ của anh ta bây giờ là thời gian riêng. 
Do: Ġ nên Ġ 
Suy ra 100 =g 
§4. TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP 
Ta phát biểu hai tiên đề cơ bản của Einstein theo ngôn ngữ tenxơ như sau: 
1. Không gian và thời gian được biểu diễn bởi không thời gian 4 chiều với: 
- cbabca Γ=Γ 
- CácĠ không có điểm kỳ dị 
 - Đạo hàm hiệp biến tenxơ metric bằng zeroĠ 
 - 0=bcdaR 
2. - Thời gian riêng được xác định từ Ġ 
- Hạt tự do chuyển động dọc theo đường trắc địa timelike. 
- Hạt photon (ánh sáng) chuyển động dọc theo đường trắc địa null. 
§5. VECTƠ VẬN TỐC BỐN CHIỀU 
2
1
2
2
0
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
==
c
v
c
d
cdtu τ ;
i
ii
i v
c
v
v
d
dxu γτ =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
==
2
1
2
2
1
( ) τττττ ddxddzddyddxdcdtuuuuu
a
≡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== ,,,,,, 3210r 
 84
( ) ( ) ( ) ( )23222120 uuuuuuuu baab −−−==ηrr 
 ( ) ( )222222222 vcvvvc zyx −=++−= γγγ 
 2
2
2
22
1
c
c
v
vc =
−
−= 
2cuu =rr Neáu choïn 1=c thì ta coù 
1=uu rr ñoái vôùi Signature (+ - - -) 
Nếu ta chọn Signature (- + + +) thìĠ 
τγ d
dt
c
v
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=
2
1
2
2
1
1
ur : vectô vaän toác 4 chieàu 
 vr : vectô vaän toác 3 chieàu maø ta thöôøng söû duïng trong 
cơ học_vận tốc bình thường_ordinary velocity 
Vectơ động lượng bình thường 3 chiều: 
vmp rr γ= 
Ta định nghĩa vectơ động lượng 4 chiều: 
( )3210 ,,,,,, ΡΡΡΡ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ρ zyx pppcEr 
Xét tích vô hướng sau: ( ) ( ) ( ) ( )23222120 Ρ−Ρ−Ρ−Ρ=ΡΡ=ΡΡ baabηrr 
 2
2
2
222
2
2
p
c
Eppp
c
E
zyx −=−−−= 
Từ công thứcĠ ta có: 
222222 cmpcmp =−+=ΡΡrr 
Nếu chọnĠ thì Ġ 
Nếu ta chọn Signature (- + + +) thì Ġ 
Ta còn cách chứng minh thứ hai dựa vào định nghĩa vectơ động lượng 4 
chiều: 
umr
r =Ρ ; vôùi ur laø vectô vaän toác 4 chieàu 
22 muum ==ΡΡ rrrr do 1=uu rr 
-Xét vật có động lượng 4 chiềuĠ so với hệ quy chiếu đứng yên. Người quan 
sát chuyển động với vận tốc 4 chiềuĠ khác so với vận tốc 4 chiều của vật. 
Xét tích vô hướng sau: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Ρ ττττ d
dz
d
dy
d
dx
d
dtcppp
c
Eu zyx ,,,,,,
rr
 85
 ( )zyxzyx vvvcpppcE γγγγ ,,,,,, ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= 
 ( )zzyyxx vpvpvpE ++−= γγ 
( )vpEu rrrr −=Ρ γ (a) 
Vẫn bài toán trên nhưng ta áp dụng phép biến đổi Lorentz cho năng_động 
lượng từ hệ quy chiếu đứng yên sang hệ quy chiếu của người quan sát có 
vận tốc 4 chiềuĠ với Ġ là vận tốc 3 chiều bình thường. ( ) ( )pvEvpEE x rr−=−=′ γγ (b) 
Do vật chuyển động dọc theo trục Ox nênĠ 
So sánh (a) và (b) ta rút ra: 
Eu ′=Ρ rr laø naêng löôïng cuûa vaät do ngöôøi quan saùt chuyeån ñoäng vôùi 
vaän toác ur ño được. 
-Ta có cách chứng minh thứ hai: 
Xét vật trong hệ quy chiếu của người quan sát. Như vậy người quan sát và hệ 
quy chiếu đứng yên so với nhau.Vì vậy vận tốc 4 chiều của người quan sát 
lúc này là: ( )0,0,0,0 cu b =r vì 1=γ 
Còn động lượng 4 chiều của hạt so với người quan sát sẽ là: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′′=Ρ zyxb pppc
E ,,,0
r
( ) Ecppp
c
Eu zyxbb ′=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′′=Ρ 0,0,0,,,,00 r
r
Euu bb ′=Ρ=Ρ 00 r
rrr
Ta hoàn toàn có thể áp dụng công thức trên cho hệ trong tọa độ bất kỳ vì nó 
thực chất là phương trình tenxơ bậc không. 
Nếu ta chọn Signature (-+ + +) thì: 
observerbb EEuu −≡′−=Ρ=Ρ 00 r
rrr
bE0 : Naêng löôïng cuûa haït do ngöôøi quan saùt chuyeån ñoäng ño. 
Khi ta chọn Ġ thì công thức không đổi. 
§6.TENXƠ NĂNG_ĐỘNG LƯỢNG CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG 
 Xét trường gồm các hạt bụi rời rạc không tương tác nhau. 
 Với trường như trên sẽ được xác định bởi hai đại lượng 
 -Vận tốc 4 chiều của dòng các hạt: 
τd
dxu
a
a = 
 Ġ : thời gian riêng dọc theo đường thế giới (quỹ đạo) của hạt bụi. 
-Mật độ riêng được đo bởi người quan sát cùng chuyển động với dòng hạt 
bụi: ( )x00 ρρ = 
 86
Từ đây ta xây dựng tenxơ hạng hai đơn giản nhất như sau: 
baab uuT 0ρ= 
Bây giờ ta xét chất lỏng lý tưởng được mô tả bởi ba đại lượng sau: 
 -Vận tốc 4 chiều: Ġ 
 -Trường mật độ riêng: Ġ 
 -Trường áp suất vô hướng: Ġ 
Trong trường hợp giới hạn khiĠ thì chất lỏng lý tưởng sẽ trở thành trường 
của các hạt bụi rời rạc. 
Xét chất lỏng trong hệ quy chiếu chuyển động cùng với chất lỏng. Do tính 
đẳng hướng của chất lỏng tĩnh (chất lỏng đứng yên trong hệ quy chiếu 
chuyển động cùng với mình) nên áp suất theo ba phương là như nhau.Khi đó 
ta xây dựng tenxơ năng_sức căng cho dòng chất lỏng lý tưởng: 
abT
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
p
p
p
000
000
000
0000ρ
Do chất lỏng đứng yên nên vận tốc 4 chiều Ġ 
Từ đây ta tổng quát hóa: 
( ) abbaab pguupT −+= 0ρ 
Ta kiểm tra lại: 
( ) 000000000 ρρρ =−+=−+= pppguupT 
do 100 =uu ; 10000 ==ηg 
( ) pppguupT =−−=−+= )1(1111011 ρ 
do 011 =uu ; 11111 −==ηg 
Tương tự: Ġ 
Nếu ta chọn Signature (- + + +) thì tenxơĠ có dạng: 
( ) abbaab pguupT ++= 0ρ ( ) 0000000 pguupT ++= ρ 
 00 ρρ =−+= pp 
do lúc nàyĠ 
Chú ý thuật ngữ: Tenxơ năng_ động lượng = Tenxơ năng_sức căng 
 The stress_ energy tensor 
 87
BÀI TẬP 
1/ Hãy chứng tỏ rằng đạo hàm hiệp biến tenxơ metric hiệp biến bằng 
zero. Cho biết ký hiệu Chris toffel loại 2 có dạng như công thức 9 –
chương 1. 
2/ Giống như bài 1 nhưng lần này là tenxơ metric phân biến 
3/ Chứng minh đồng nhất thức Ricci. 
4/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai cặp chỉ số . 
5/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai chỉ số cuối. 
6/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai chỉ số đầu. 
7/ Chứng minh đẳng thức Bianchi 
8/ Hãy chứng minh: Nếu ta chọn hàm Lagrange có dạng 
 ĉ thì phương trình đường trắc địa có dạng: 
 0.2
2
=Γ+
du
dx
du
dx
du
xd cba
bc
a
9 Hãy chứng minh nếu ta chọn L =Ġthì dạng phương trình trắc địa không 
thay đổi. 
10. Xét họ đường trắc địa theo thông số Affine ( và được đánh số là n 
),( nxx aa λ= 
 Hãy chứng minh với hai véctơ đơn vịĠ và Ġta 
 un NU ∇=∇ 
11. Hãy chứng minh rằngĠ 
12. Từ định nghĩaĠ 
 Hãy chứng minh :Ġ 
13. Cho tọa độ mới ĉ 
 Hãy chứng minh Ġ 
14. Từ kết qủa của bài 13 hãy chứng minh tiếp 
 chh cababbaab
New
ab ,,, ξηξξ +−−= 
15. Cho biếtĠ 
 vàĠ 
 Hãy chứng minh: Ġ 
 88
16. Hãy chứng minh rằng trong hệ SI sự tiến động của trục chính của qũy 
đạo sao Thủy có dạng: 
 ( ) 222
23
1
242
Tce
a
−=
ππε 
17. Cho ( )τaa xx = ; τddxu
a
a = 
 Hãy chỉ ra rằngĠ 
18. Một hạt khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng và chịu tác động 
của trường xuyên tâm với : 
 r
mU µ−= 
 Hãy chứng minh: 
- Mômen động lượng hạt là hằng số 
- Phương trình Binet được suy ra từ phương trình 2 Newton trong tọa 
độ cực. 
19. Hàm Lagrange của hạt tự do có dạng Ġ 
- Hãy viết hàm trên dưới dạng tenxơ 
- Hãy chứng minh rằng phương trình chuyển động của hạt trùng với 
phương trình đường trắc địa. 
20. Hãy chứng minh rằng hàm Lagrange của hạt m trong cơ học tương đối 
 tính có dạng 
2
1
2
2
2 1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
c
VmcL 
21. Xét không gian 3 chiều với 
 - Tọa độ cũ x1 = x ; x2 = y; x3 = z 
 - Tọa độ mới ĉ; Ġ;ĉ 
a. Tìm phương trình liên hệĠ 
b. Tìm tenxơ metric hiệp biến và phản biến 
c. Viết hàm Lagrange của hạt tự do trong hệ tọa độ mới. 
d. Viết phương trình đường trắc địa r, (, (. 
22. Nếu hai sự kiện được nối với nhau bỡi véctơ Spacelike thì: 
a. Tồn tại hệ quy chiếu quán tính, trong đó hai sự kiện trên sẽ đồng 
thời xảy ra. 
b. Không tồn tại hệ quy chiếu quán tính, trong đó hai sự kiện trên xảy 
ra tại cùng một điểm. 
23. Nếu hai sự kiện được nối với nhau bỡi véctơ timelike thì: 
 89
a. Tồn tại hệ quy chiếu quán tính, trong đó hai sự kiện trên sẽ xảy ra tại 
cùng một điểm. 
b. Không tồn tại hệ quy chiếu quán tính, trong đó chúng xảy ra đồng 
thời (giải trên giản đồ không thời gian t, x) 
24. Neáu ta ñaët: R
RH
•
= ; H0=H(t0); πρ 8
3 20H
c = 
 thì ta chứng minh được: 
 10 +=⇒> kcρρ 
 khi : okc =⇒= ρρ0 
 10 −=⇒< kcρρ 
25. Nếu cho rằng vũ trụ như một bong bóng hình cầu đang nở đều thì công 
thức tính vận tốc thoát của cơ học Newton ta tìm đượcĠ(gợi ý: ta có 
định luật Hubble V=HR ) 
26. Từ phương trình IJ 
 hãy dần về phương trình sau: 
 kR
CR −=•
2
 ; 
3
3
8 RC ρπ= 
27. Hãy tính Rab cho: 
a. Metric Schwarzchild 
b. Metric Robertson - Walker 
 90
Tài liệu tham khảo 
1. Chandrasekhar. S (1998), The Mathematical Theory of Black holes, Oxford 
University press – reprinted. 
2. D’inverno (1998), Introducting Einstein’s Relativity, Oxford University press 
– reprinted. 
3. Hugshton LP and Tod . K (1999), Introduction to General Relativity, 
Cambridge University press – reprinted. 
4. Lawden D.P (1982), Introduction to Tensor Caculus, Relativity and 
Cosmology, Wiley – New York – reprinted. 
5. Landau and Lifshits (1967), The Classical Theory of Fields, Scientific Press 
– Moscow. 
6. Lim Yung Kuo (edi) (1995), Problems and Solutions on Solid State Physics 
and Relativity, World Scientific – reprinted. 
7. Misner C – Thorne K Wheeler J (1999), Gravitation, Freeman – San 
Francisco- reprinted. 
8. Schutz B.F (1999), First Course in General Relativity, Cambridge University 
press – reprinted. 
9. Stephani (2001), General Relativity, Cambridge University Press – 
reprinted. 
10. Wasserman .R.H (1992), Tensors and Manifolds with Applications to 
Mechanics and Relativity, Oxford University press – reprinted. 
11. Weinberg (1975), Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons Inc. 
 91
Giáo trình THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG của Khoa Vật lý trường Đại học 
Sư phạm TP.HCM đăng ký trong kế hoạch năm 2002. Ban Ấn Bản Phát hành 
Nội bộ ĐHSP sao chụp 300 cuốn, khổ 20 x 30, xong ngày 29 tháng 11 năm 
2002. 
 92