Giáo trình Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán

 1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG 
KÊ TOÁN 
NĂM 2015 
 2 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG 
KÊ TOÁN 
Giảng viên : Võ Tuấn Thanh 
 Bộ môn : Giáo dục tiểu học 
NĂM 2015 
 3 
LỜI NÓI ĐẦU 
Lí thuyết xác suất và thống kê toán hiện là một môn học cơ bản, ngày càng được 
ứng dụng rộng rãi trong khoa học kĩ thuật, giáo dục . Vì vậy tài liệu, giáo trình để 
tham khảo và học tập bộ môn này khá phong phú. Mặc dù vậy đối với học phần “Nhập 
môn lí thuyết xác suất và thống kê toán” của chương trình cao đẳng sư phạm đào tạo 
giáo viên tiểu học chưa có giáo trình chính thống. 
So với yêu cầu chi tiết nội dung mà học phần mô tả, thì hầu hết các tài liệu và 
giáo trình hiện có chưa đáp ứng được vấn đề tự học, tự nghiên cứu của sinh viên ở bậc 
học này. Để giúp sinh viên học tập học phần này theo phương thức đào tạo theo hệ 
thống tín chỉ như hiện nay, chúng tôi biên soạn bài giảng “Nhập môn lí thuyết xác suất 
và thống kê toán” trên cơ sở đề cương chi tiết, tham khảo nhiều tài liệu, nhằm tích cực 
hoá hoạt động, kích thích sự sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề cho người học. 
Bài giảng này tương ứng với thời lượng 30 tiết. Nội dung gồm ba chương: 
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất. 
Chương 2: Biến ngẫu nhiên. 
Chương 3: Thống kê toán. 
 Vì thời lượng chỉ gồm hai tín chỉ, yêu cầu người học chỉ tiếp cận ở mức độ nhập 
môn, hơn nữa nội dung được biên soạn cho sinh viên bậc cao đẳng ngành giáo dục tiểu 
học nên chúng tôi cố gắng diễn đạt các khái niệm và các kết luận dưới dạng ngôn ngữ 
giản dị, thích hợp với đối tượng. Để có thể khai thác sâu hơn về kiến thức môn học 
này, người học có thể tham khảo thêm các tài liệu [1], [2], [3] và [4]. 
 Đây là lần đầu tiên biên soạn bài giảng này với phương thức đào tạo theo hệ 
thống đào tạo tín chỉ, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót, chúng tôi rất mong 
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và sinh viên trong nhà trường. 
 Xin chân thành cảm ơn. 
 TÁC GIẢ 
 4 
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 
A. MỤC TIÊU 
KIẾN THỨC: 
Cung cấp cho người học những kiến thức về: 
- Những khái niệm cơ bản về xác suất. 
- Một số phương pháp định nghĩa xác suất thường sử dụng. 
- Một số tính chất cơ bản của xác suất. 
- Các công thức tính xác suất độc lập, xác suất điều kiện, dãy phép thử 
Bécnuli. 
KĨ NĂNG: 
Hình thành và rèn luyện cho người học kĩ năng: 
- Giải các bài toán về xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất điều kiện 
- Vận dụng để xử lí các bài toán xác suất trong thực tế và nghiên cứu khoa 
học. 
THÁI ĐỘ: 
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của xác suất trong thực tế. 
B. NỘI DUNG 
1.1. Khái niệm về biến cố. 
1.1.1. Phép thử 
 Định nghĩa: Phép thử là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định (có thể 
được lặp lại vô số lần). 
1.1.2. Biến cố 
 Trong đời sống hàng ngày ta thường gặp hai loại sự kiện: sự kiện ngẫu nhiên và 
sự kiện tất yếu. 
 Sự kiện tất yếu là sự kiện mà ta hoàn toàn biết được là nó xảy ra hay không xảy 
ra. 
 Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện mà ta không thể xác định một cách chắc chắn là 
nó xảy ra hay không xảy ra, ta còn gọi là biến cố ngẫu nhiên. Người ta thường kí hiệu 
các biến cố ngẫu nhiên là A, B , ... 
 Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc chắn là nó xảy ra ta còn gọi là biến cố chắc chắn, 
kí hiệu là Ω. Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc là nó không thể xảy ra gọi là biến cố 
không thể hay biến cố rỗng, kí hiệu là  . 
1.1.3. Ví dụ 
 - Gieo một lần con xúc xắc được xem như tiến hành một phép thử. Kết quả của 
phép thử này là mặt trên con xúc xắc có thể là một chấm ( ta kí hiệu là B1), hai chấm 
(B2), hoặc ba chấm (B3), hoặc bốn chấm (B4), hoặc năm chấm (B5), hoặc sáu chấm 
(B6). 
 Các sự kiện B1 xảy ra hay B2 xảy ra ... là các biến cố ngẫu nhiên. 
 5 
 Ta gọi A là sự kiện số chấm ở mặt trên là chẳn hoặc lẻ thì A là biến cố chắc 
chắn. 
 Gọi C là sự kiện mà mặt trên của con xúc xắc có số chấm là 7 thì C là biến cố 
không thể. 
 - Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất, ta gọi A là sự kiện mặt ngửa (mặt số) 
xuất hiện, B là sự kiện mặt sấp (mặt quốc huy) xuất hiện, thì A, B là hai biến cố ngẫu 
nhiên. 
 Biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên gọi chung là biến cố. 
1.1.4. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố 
- Ta thực hiện 1 phép thử. Các kết quả có thể khi phép thử được thực hiện gọi là 
các biến cố sơ cấp (hoặc các biến cố cơ bản). 
 - Tổng hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB sao cho biến cố tổng 
AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. 
 - Tích hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB hoặc AB sao cho biến 
cố tích AB xảy ra khi và chỉ chỉ A xảy ra và B xảy ra 
 - Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu xảy ra biến cố này thì không thể xảy 
ra biến cố kia (A và B xung khắc với nhau thì AB =  ). 
 - Hiệu của biến cố A trừ biến cố B là một biến cố, kí hiệu là A\B sao cho biến 
cố A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. 
 - Biến cố B được gọi là đối lập với biến cố A nếu và chỉ nếu A và B là hai biến 
cố xung khắc và trong phép thử luôn xuất hiện một trong trong hai biến cố này. Biến cố 
đối lập của biến cố A ta kí hiệu là A , ta có A = Ω\A . 
 - Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A B nếu biến cố A xảy ra 
thì biến cố B phải xảy ra. 
Ví dụ: Khi gieo con xúc xắc, gọi 
 D = {số chấm ở mặt trên con xúc xắc là số lẻ}, khi đó ta có 
 B1  D B3  D 
 - Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu A B và B  A. 
Viết A = B 
Nhận xét: 
 a. Ta có thể mở rộng các quan hệ biến cố cho 3, 4 biến hoặc nhiều hơn nữa. 
 b. Khi xét quan hệ giữa các biến cố ta không nên dùng minh hoạ hình học để 
thay thế cho định nghĩa mà phải bám chặt định nghĩa để xét, biểu diễn hình học không 
thể phản ánh chính xác trong mọi trường hợp. 
Ví dụ: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. 
 Gọi A = “anh thứ nhất bắn trúng bia” 
 B = “Anh thứ hai bắn trúng bia” 
 Hai biến cố này không xung khắc với nhau, nhưng khó mô tả hình học cho biến cố 
tích AB (trường hợp hai anh cùng bắn trúng bia). 
 - Hệ n biến cố A1, A2 , ..., An gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu : 
 . Chúng xung khắc với nhau từng đôi một AiAj =  , i ≠ j 
 6 
 . Tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn. 
 A1A2 ... An = Ω . 
Như vậy mỗi lần thí nghiệm phải xảy ra một và chỉ một biến cố thuộc nhóm đầy 
đủ các biến cố. 
Ví dụ: A , A là một nhóm đầy đủ các biến cố. Khi gieo con xúc xắc thì B1, B2, , B6 
là một hệ đầy đủ các biến cố 
 - Quy tắc đối ngẫu De Morgan: . .A B C A B C  ; ABC A B C   . 
 Quy tắc này có thể mở rộng cho n biến cố như sau: 
 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 nA A ... A A .A ...A ; A A ...A A A ... A      
 - Phép lấy tổng và tích có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối : 
 AB = BA ; AB = BA 
 A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC . 
Ví dụ: Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên vào bia. 
 Gọi Ai = {người thứ i bắn trúng bia}, i = 1, 2 . 
 Ta có thể xây dựng các biến cố từ hai biến cố A1, A2 như sau : 
 a. Chỉ có người thứ 1 bắn trúng đích : 1 2A A 
 b. Có một người bắn trúng : 1 2 1 2A A A A 
 c. Có ít nhất một người bắn trúng : 1 2A A 
 d. Cả hai cùng bắn trúng : 1 2A A 
 e. Không ai bắn trúng : 1 2.A A hoặc 1 2A A 
 f. Nhóm đầy đủ các biến cố : 1 1,A A hoặc 1 2.A A , 1 2 1 2 1 2 , , A A A A A A . 
1.2. Định nghĩa xác suất 
1.2.1.Định nghĩa xác suất cổ điển 
 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A là tỷ số của số trường hợp biến cố A thực tế 
có thể xảy ra với tổng số n trường hợp có đồng khả năng xuất hiện hay không xuất 
hiện. Ta ký hiệu xác suất của sự kiện (biến cố) A nào đó là P(A). 
 P(A) = 
 Như vậy P(Ω) = 1 ; P( ) = 0 . 
Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 12 người được phân 7 vé xem bóng đá quốc tế (mỗi người 
nhiều nhất là một vé), trong đó có 2 vé loại I, 2 vé loại II, 3 vé loại III. Việc phân phối 
tiến hành theo kiểu rút thăm. 
 - Xác suất để một học sinh được 1 vé là p = 
7
0,58.
12
 - Xác suất để một học sinh được một vé loại I là p = 
2 1
12 6
 . 
 - Xác suất để một học sinh được một vé loại I hoặc một vé loại II là 
Số trường hợp thuận lợi của A 
 Số trường hợp có thể xảy ra 
 7 
 p = 
2 2 1
12 12 3
 . 
 - Xác suất để một học sinh không được vé nào là 
 p = 1 - 
7 5
12 12
 . 
 Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên từ cổ bài gồm 52 con bài ra từ 8 con bài. Tìm xác suất sao 
cho trong 8 con bài có : 
 a. 3 con At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J. 
 b. 2 con cơ, 1 con Rô, 2 con Pic, 3 con chuồn. 
 c. 5 con màu đỏ, 3 con màu đen. 
 Giải: 
 Phép thử của ta là rút ngẫu nhiên ra 8 con bài, số trường hợp có thể là 
 8
52C = 
52! 45.46.47.48.49.50.51.52
8!(52 8)! 1.2.3.4.5.6.7.8
Gọi A = “trong 8 con bài rút ra có 3 At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J”. 
Tương tự B, C, D là các biến cố tương ứng với các câu b/ ; c/ ; d/. 
a. Số trường hợp thuận lợi cho A theo luật tích là: 
 3 2 1 1 1
4 4 4 4 4C C C C C = 4.6.4.4.4 
 Do đó P(A) = 
4
8
52
4 .6
C
. 
b. Số trường hợp thuận lợi c ho B là 2 1 2 3
13 13 13 13. . .C C C C . 
 Do đó P(B) = 
2 1 2 3
13 13 13 13
8
52
. . .C C C C
C
 . 
c. Số trường hợp thuận lợi cho C là 5 3
26 26.C C . 
Do đó P(C) = 
5 3
26 26
8
52
.C C
C
 . 
1.2.2. Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê 
 Khi ta thực hiện một phép thử nào đó n lần mà biến cố A xuất hiện m lần thì tỉ 
số 
m
n
 gọi là tần suất của biến cố A. 
 Khi n thay đổi, tần suất m/n cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một 
số cố định nào đó, n càng lớn thì tỉ số m/n càng gần số cố định đó. Số cố định ấy gọi là 
xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P(A) 
bởi m/n 
 P(A) 
m
n
 Ví dụ: 
- Buffon đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 4040 lần thấy có 2048 lần 
xuất hiện mặt sấp. 
 8 
m
n
 = 0,5080 
- Pearson đã gieo 12000 lần thấy 6019 lần sấp 
m
n
 = 0,5016 
- Pearson đã gieo 24000 lần thấy 12012 lần sấp 
m
n
 = 0,5005 
Số cố định cần tìm trong trường hợp này là 0,5. Tức là xác suất xuất hiện mặt 
sấp khi gieo đồng tiền cân đối và đồng chất là bằng 0,5. 
Nhận xét: Định nghĩa xác suất dạng thống kê hay định nghĩa định nghĩa xác suất theo 
tần suất chỉ cho ta giá trị xấp xỉ và mức độ chính xác của việc xấp xỉ tùy thuộc vào số 
lần thực hiện phép thử. 
1.2.3. Xác suất hình học 
 Giả sử X là một hình nằm trong hình Ω, lấy ngẫu nhiên một điểm M trên hình Ω 
thì có một trong hai khả năng sau có thể xảy ra: hoặc M nằm trên hình X, hoặc M 
không nằm trên hình X. Ta gọi tỉ số: 
 P(M) = 
là xác suất để khi ấy điểm M rơi vào hình X. 
 Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X ở đây được hiểu như sau: 
- Là độ dài nếu các hình X được tạo bởi những đoạn thẳng, đường cong. 
- Là diện tích theo nghĩa thông thường, nếu X là hình phẳng trong mặt phẳng. 
Trong trường hợp này ta qui ước: diện tích của đường cong trong mặt phẳng 
bằng 0. 
- Là thể tích theo nghĩa thông thường, nếu X là khối đa diện hoặc khối tròn 
xoay trong không gian. Trong trường hợp này ta qui ước: thể tích của mặt 
cong trong không gian bằng 0. 
Ví dụ: 
1) Cho một khu đất hình tròn và một vườn hoa hình tam giác đều nội tiếp trong 
hình tròn đó. Trẻ em đá bổng một quả bóng rơi vào khu đất. Tìm xác suất để quả 
rơi vào trong vườn hoa. 
Giải: Theo định nghĩa ta có xác suất để quả bóng rơi vào vườn hoa là: 
 A 
 giac
2
 tron
2
1
.
2P(M)
1 3
3.
3 32 2 0, 41.
4
tam
hinh
BC AHS
S R
R R
R
“độ đo” hình 
X “độ đo” hình 
Ω 
 R 
 o 
 9 
2) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng từ 1 đến 2 giời chiều. Họ 
thỏa thuận với nhau như sau: Một người đến điểm hẹn mà người kia chưa đến 
thì sẽ chờ không quá 15 phút. Nếu người kia không đến thì người đó ra đi trước 
2 giờ chiều. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. 
Giải: 15 phút = 0,25 giờ. Gọi x và y theo thứ tự là thời điểm người thứ nhất và 
người thứ hai đến điểm hẹn. Vậy điều kiện để hai người gặp nhau là 
1 , 2 1 , 2
0,25 0,25 0,25
x y x y
x y x y x
Tập hợp những điểm M(x,y) với 1 ≤ x, y ≤ 2 nằm trong hình vuông ABCD. Tập 
hợp những điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm trong phần gạch chéo trong 
hình vẽ. 
Từ phân tích trên, ta phát biểu lại bài toán dưới dạng hình học như sau: Lấy 
ngẫu nhiên một điểm M(x,y) trong hình vuông ABCD. Tìm xác suất để điểm đó 
rơi vào phần gạch chéo trong hình vẽ. 
 10 
Áp dụng công thức xác hình học, ta có xác suất để hai người gặp nhau tại điểm 
hẹn là 
 P(M) = 
21 0,75
1
 0,44. 
3) Tham số m của phương trình 
x2 – (m-1)x + m2 – 1 = 0 
 lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-2; 2]. Tìm xác suất để phương trên có nghiệm thực. 
Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm thực là: 
 ∆ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = -3m2 – 2m + 5 ≥ 0. 
Suy ra 
5
1
3
m . 
Bài toán có thể phát biểu dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm 
M trong đoạn [-2; 2]. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào đoạn [
5
; 1
3
 ]. Vậy xác suất để 
phương trình có nghiệm thực là 
 P(M) = 
5
1
3
2 2
 0,67. 
1.2.4.Các quy tắc tính xác suất 
 Quy tắc I: Xác suất của tổng hai sự kiện (biến cố) xung khắc bằng tổng các xác 
suất của những sự kiện ấy. 
 Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B). 
 Tổng quát: Nếu A1, A2, ..., An là n biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì 
 P(
1
n
i
i
A
) = 
1
( )
n
i
i
P A
 . 
 Hệ quả 1: Nếu các sự kiện xung khắc A1, A2, ..., An lập thành một nhóm sự kiện 
đầy đủ thì tổng các xác suất của chúng bằng 1 
1
( )
n
i
i
P A
 = 1. 
 Hệ quả 2: Tổng xác suất của 2 sự kiện đối lập bằng 1 
 P(A) + P( A ) = 1 . 
 Ví dụ: Trong một cuộc xổ số tiết kiệm, tổng số phiếu là 10.000 ; có 1 giải nhất, 10 
giải nhì, 100 giải ba. Một người có một phiếu tiết kiệm. Tính : 
 - Xác suất để người đó trúng giải nhì. 
 - Xác suất để người đó trúng thưởng 
 - Xác suất để người đó không trúng thưởng. 
 Giải: 
 Goi A1 là biến cố người đó trúng giải nhất, A2 là biến cố người đó trúng giải nhì, 
A3 là biến cố trúng giải ba, và A là biến cố người đó trúng một giải nào đó thì : 
 P(A2) = 
10 1
10.000 1000
“độ đo” hình 
X “độ đo” hình 
Ω 
 11 
 A = A1  A2 A3 
 Vì A1 , A2 , A3 là 3 biến cố xung khắc nên xác suất để người đó trúng thưởng là 
 P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 
1
10.000
 + 
10
10.000
 + 
100 111
10.000 10.000
 Xác suất để người đó không trúng giải thưởng nào là : 
 P( A ) = 1 - P(A) = 1 - 
111
10.000
 = 
9889
10.000
 . 
 Quy tắc II: Xác suất của tổng hai biến cố ngẫu nhiên A, B bất kỳ bằng tổng xác suất 
của 2 biến cố A và B trừ đi xác suất của tích 2 sự kiện ấy 
 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) . 
 Trường hợp tổng của 3 sự kiện A, B, C ta có 
 P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC). 
Chú ý: P(ABC) = 1 - P( A B C  ) =1 - P( . .A B C ) . 
Ví dụ: Hàng năm nhà trường tổ chức tuyển sinh vào Đại học thể dục thể thao. Học sinh 
có thể không đạt về văn hoá với xác suất 50%, về năng khiếu với xác suất 40% . Xác 
suất để một học sinh không đạt về văn hoá hoặc năng khiếu là : 
 P = 0,5 + 0,4 - 0,5.0,4 = 0,7 = 70% . 
1.3. Biến cố ngẫu nhiên độc lập 
 Hai biến cố độc lập: Biến cố B được gọi là độc lập với biến cố A nếu xác suất xảy 
ra  ... iả thiết H0 của (1) bị bác bỏ khi 
2 2
1 2
1 2
X Y
n n
 
 ≥ xα , 
với xα được xác định thỏa điều kiệu ( ) 1
2
x 
 
 Giả thiết H0 của (2) bị bác bỏ khi 
2 2
1 2
1 2
X Y
n n
 
 ≥ xα , 
 với xα được xác định thỏa điều kiệu ( ) 1x  
 Giả thiết H0 của (3) bị bác bỏ khi 
2 2
1 2
1 2
Y X
n n
 
 ≥ xα , với xα được xác định thỏa điều kiệu 
( ) 1x  
 2- Nếu 2
1 , 
2
2 chưa biết: 
 Trong trường hợp này ta phải giả thiết X, Y đều có phân phối chuẩn 
 X ≈ N(a1; 
2
1 ) ; Y ≈ N(a2 ; 
2
2 ) và 
2 2
1 2  
 Ta tính 
 t = 
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
.
2
X Y
X Y
n S n S n n
n n n n
 Tra trong bảng phân phối Studen tìm 
1 2 1 22 2
 ; ( )
2
n n n nt t
 Ta kết luận các bài toán trên như sau: 
 Giả thiết H0 của (1) bị bác bỏ khi 
1 2 2 2
n nt t
 . 
 Giả thiết H0 của (2) bị bác bỏ khi 
 48 
1 2 2n n
t t . 
 Giả thiết H0 của (3) bị bác bỏ khi 
1 2 2n n
t t . 
Ví dụ 1: Để so sánh trọng lượng con so và con rạ lúc mới đẻ người ta lấy số liệu từ các 
nhà hộ sinh nào đó, thống kê và sắp xếp số liệu, Ta có bảng sau : 
Khoảng trọng 
Lượng (gam) 
Điểm 
đại diện 
xi 
Số trẻ 
Con so 
(mi) 
Số trẻ 
Con rạ 
(m'i) 
mixi 
m'ixi 
1700 – 1900 
1900 - 2100 
2100 - 2300 
2300 - 2500 
2500 - 2700 
2700 - 2900 
2900 - 3100 
3100 - 3300 
3300 - 3500 
3500 - 3700 
3700 - 3900 
3900 - 4100 
4100 - 4300 
4300 – 4500 
1800 
2000 
2200 
2400 
2600 
2800 
3000 
3200 
3400 
3600 
3800 
4000 
4200 
4400 
3 
5 
7 
5 
13 
21 
20 
11 
6 
3 
0 
1 
1 
0 
2 
4 
7 
13 
22 
18 
15 
10 
7 
3 
2 
1 
5400 
10000 
15400 
12000 
33800 
58800 
60000 
35200 
20400 
10800 
0 
4000 
1800 
0 
4400 
9600 
18200 
36400 
66000 
57600 
51000 
36000 
26600 
12000 
8400 
4400 
∑ n1= 95 n2 = 105 265800 332400 
 Giả sử độ lệch bình phương trung bình đối với con so 2
1 =190000, đối với con rạ là 
2
2 = 200704. Có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình của con so và con rạ bằng 
nhau. Hãy kiểm định giả thiết ở mức ý nghiã α = 0,05. 
Giải: Ở đây n1 = 95 , n2 = 105 
 Từ hai cột cuối ta có : 
265800
2797,8947 2798
95
X gam 
332400
3165,7142 3166
105
Y gam 
 Ta kiểm định giả thiết 
 H0 : a1 = a2 , K : a1 < a2 ở mức 0,05 
 Φ(xα) = 1 - α = 1 - 0,05 = 0,95 tra bảng N(0; 1) ta được xα = 1,65. 
 49 
2 2
1 2
1 2
3166 2798
5,88
19000 200704
95 105
Y X
n n
 
 > xα 
Như vậy giả thiết H0 bị bác bỏ, chấp nhận K, tức là trọng lượng trung bình của con so 
nhỏ hơn con rạ . 
Ví dụ 2: Người ta thí nghiệm hai phương pháp chăn nuôi gà khác nhau, sau thời gian 
một tháng kết quả tăng trọng lượng như sau 
 Phương pháp I : n1 = 100 con , 
21,1 , 0,04XX kg S 
 Phương pháp II: n2 = 150 con , 
21,2 , 0,098YY kg S 
 Với mức ý nghĩa α = 0,05 ta có thể kết luận phương pháp II hiệu quả hơn 
phương pháp I được không ? Giả thiết mức tăng trọng lượng của gà tuân theo luật 
chuẩn và 2 2
1 2  . 
Giải: Ta kiểm định giả thiết 
 H0 : a1 = a2 , K : a1 < a2 
 Ta có 
1,1 1,2
2,914
100 0,04 150 0,09 100 150
100 150 2 100 150
t
 α = 0,05 tra bảng phân phối Studen ta có t100+150-2(0,05) = t248(0,05) = 1,645 
 Ta thấy t < - t248(0,05). 
 Ta bác bỏ giả thiết a1 = a2, chấp nhận a2 > a1, tức là phương pháp II hiệu quả 
hơn phương pháp I 
Chú ý: Trong trường hợp σ1, σ2 chưa biết, thiết về tính chuẩn của hai mẫu và σ1 ≠σ2 
không được nêu ra. Song nếu n1, n2 đủ lớn(n1 ≥ 30, n2 ≥ 30) thì mặc dù các giả thiết 
trên không được thỏa mãn ta cũng có thể xấp xỉ 2
1 bởi 
*2
XS , 
2
2 bởi 
*2
YS trong các công 
thức của trường hợp 2
1 , 
2
2 đã biết và kết luận các bài toán như trường hợp này. 
Ví dụ 3: Trong ví dụ 2 nếu không có giả thiết "mức tăng trọng lượng của gà tuân theo 
luật chuẩn và 2 2
1 2  " ta có thể làm như sau : 
 Φ(xα) = 1 - α = 1 - 0,05 = 0,95 tra bảng N(0; 1) ta được xα = 1,65. 
*2 *2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1,2 1,1
3,147
0,04 0,09
99 1491 1
Y X Y X
S S S S
n n n n
 > xα . 
Như vậy, ta bác bỏ giả thiết "Hiệu quả của hai phương pháp là như nhau", chấp 
nhận K, tức là phương pháp II hiệu quả hơn phương pháp I. 
Ví dụ 4: Để khảo sát tình hình đọc báo của sinh viên người ta tiến hành điều tra ở 3 
trường đại học : 
 50 
 * Trường A: Điều tra 50 người thấy trung bình mỗi sinh viên bỏ ra 10 giờ một tháng 
để đọc báo, độ lệch bình phương mẫu là 10. 
 * Trường B: Điều tra 40 sinh viên, thấy trung bình là 12 giờ, phương sai mẫu là 5,6 
 * Trường C: Điều tra 30 người, thấy trung bình là 11,5 giờ, phương sai mẫu là 5,4. 
 Với xác suất 95%, hãy kiểm tra xem sinh viên các trường trên giành thời gian 
đọc báo có như nhau không ? (Bài tập) 
3.4.5. So sánh hai xác suất (hay hai tỉ lệ) 
 Bài toán: Xét hai dãy phép thử Bernoulli. Dãy I gồm n phép thử , X là số lần 
xuất hiện biến cố A trong dãy I; p1 = P(A) là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi 
phép thử trong dãy I. Dãy II gồm m phép thử, Y là số lần xuất hiện A trong dãy II; 
p2 = P(A) là xác suất để A xuất hiện trong mỗi phép thử trong dãy II. Hãy so sánh hai 
xác suất p1 và p2 ở mức α . 
 Để trả lời câu hỏi, ta đưa về kiểm định giả thiết : 
 H0 : p1 = p2 với K : p1 ≠ p2 ở mức α . 
 Tiêu chuẩn kiểm định giả thiết này là : 
 Giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức α nếu : 
1 1
1
X Y
n m
Z x
X Y X Y
n m n m n m
 Nếu Z x thì chấp nhận giả thiết H0, trong đó xα tra trong bảng phân phối 
chuẩn N(0,1) sao cho 
1
( ) 1x 
 . 
Tiêu chuẩn một phía: 
- Nếu 
X Y
n m
 thì ta đưa về bài toán kiểm định giả thiết : 
 H0 : p1 = p2 với K : p1 < p2 ở mức α 
Giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức α nếu 
1 1
1
Y X
n mZ x
X Y X Y
n m n m n m
, 
 nếu Z x thì chấp nhận giả thiết H0, trong đó xα tra trong bảng phân phối chuẩn 
N(0,1) sao cho 
 ( ) 1x  . 
- Nếu 
X Y
n m
 thì ta đưa về bài toán kiểm định giả thiết : 
 H0 : p1 = p2 với K : p1 > p2 ở mức α 
Giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức α nếu 
 51 
1 1
1
X Y
n mZ x
X Y X Y
n m n m n m
, 
nếu Z x thì chấp nhận giả thiết H0, trong đó xα tra trong bảng phân phối chuẩn 
N(0,1) sao cho 
 ( ) 1x  . 
Ví dụ: Có hai loại thuốc A và B cùng điều trị một bệnh nào đó. Qua theo dõi ta thấy có 
160 người dùng thuốc A có 120 khỏi bệnh, có 56 người dùng thuốc B thấy có 40 khỏi 
bệnh. Hỏi tác dụng của hai laọi thuốc trên trong việc chữa bệnh có như nhau không ? 
Lấy mức kiểm định α = 0,05. 
Giải: Ta có n = 160 , X = 120 ; m = 56 , Y = 40 
X 120 40
 > 
n 160 56
Y
m
 Gọi p1 là tỉ lệ người khỏi bệnh khi dùng thuốc A, p2 là tỉ lệ người khỏi bệnh khi 
dung thuốc B. Ta kiểm định giả thiết 
 H0 : p1 = p2 , K : p1 > p2 ở mức α = 0,05 
Ta có 
120 40
160 56 0,529
1 1 120 40 120 40
1
160 56 160 56 160 56
Z
 ( ) 1 0,95x  , tra bảng ta được xα = 1,65 > Z 
Ta chấp nhận H0, tức là tác dụng chữa khỏi bệnh của 2 loại thuốc là như nhau. 
3.5. Các yếu tố thống kê trong môn toán ở tiểu học 
 Thống kê là một trong năm mạch kiến thức của môn toán ở Tiểu học. Nó bao 
gồm các nội dung: 
- Dãy số liệu thống kê, 
- Bảng số liệu thống kê, 
- Biểu đồ, 
- Số trung bình của dãy số liệu, 
- Giải toán về thống kê. 
3.5.1. Dãy số liệu thống kê 
- Các khái niệm cơ bản của dãy số liệu : Thứ tự của các số liệu trong dãy. 
Cách đọc và phân tích phân tích các số liệu trong dãy, 
- Biết xử lí số liệu của dãy ở mức độ đơn giản, 
- Thực hành lập dãy số liệu từ một quan sát cụ thể. 
3.5.2. Bảng số liệu thống kê 
 52 
- Cấu tạo của số liệu thống kê: gồm các hàng và các cột, 
- Biết cách các số liệu trong bảng, 
- Biết cách xử lí các số liệu trong bảng, 
- Thực hành lập bảng số liệu từ một quan sát cụ thể. 
3.5.3. Biểu đồ 
- Cấu tạo của ba loại biểu đồ: biểu đồ trang, biểu đồ cột và biểu đồ hình 
quạt. 
- Biết đọc số liệu trong mỗi loại biểu đồ. 
- Thực hành lập biểu đồ từ một quan sát cụ thể. 
3.5.4. Giá trị trung bình 
- Khái niệm về số trung bình cộng. 
- Qui tắc tìm số trung bình cộng của hai hay nhiều số cho trước. 
- Thực hành tìm số trung bình cộng của các số liệu quan sát. 
3.5.5. Giải toán về thống kê số liệu 
- Thực hành đọc và phân tích các số liệu thống kê ; 
- Thực hành và xử lí các số liệu thống kê ; 
- Thực hành lập dãy các số liệu, bảng số liệu và biểu đồ từ một quan sát cụ 
thể ; 
- Thực hành tìm các giá trị trung bình các số liệu từ một quan sát cụ thể. 
- Thực hành giải toán về tỉ lệ phần trăm. 
Chúng ta có thể tham khảo những ví dụ để làm sáng tỏ cho từng nội dung này 
trong sách Toán 3 : bài 1, bài 4; Toán 4 : bài 1, bài 2, bài 3. 
 53 
 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 
1. Cho mẫu quan sát của đại lượng ngẫu nhiên X là: 
a. 
X -5 1 3 
ni 2 5 3 
b. 
X 1 4 8 
ni 5 3 2 
 Tìm hàm phân phối mẫu, tính trung bình mẫu và phương sai mẫu tương 
ứng các dữ liệu a, b. 
2. Cho mẫu quan sát của cặp biến ngẫu nhiên (X, Y) như sau: 
a. 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Y 2 3 7 8 9 10 15 15 18 21 
b. 
X 2 3 4 5 6 7 8 9 
Y 3 7 8 9 13 15 16 17 
c. 
 X 
 Y 
2 
3 
4 
2 9 1 
1 2 8 
3 3 7 
 d. 
 X 
 Y 
2 
3 
4 
1 8 2 
2 3 7 
3 1 9 
 Viết hàm phân phối mẫu của X. Tính trung mẫu, phương sai mẫu 2 2( ), ( )n nS X S Y , 
hệ số tương quan quan mẫu r. 
3. Ta giả thiết rằng biến nhiên X, bằng sản lượng tính ra tạ/ha của loại lúa đã cho 
trong một miền xác định, có qui luật chuẩn và gọi a là kì vọng của X, σ2 là 
phương sai của X. Hãy ước lượng a và σ2 và các khoảng ước lượng của a với độ 
tin cậy 90%. Biết rằng các kết quả thu được trên 10 mảnh đất là: 
 54 
Mảnh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Sản lượng 51 48 46 57 44 52 54 60 46 47 
4. Độ cao trung bình của trẻ em có phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a, σ2). Hãy 
ước lượng a và σ2 và tìm khoảng ước lượng của a với độ tin cậy là 0,95. Biết 
rằng ta đo ngẫu nhiên 10 em với kết quả sau: 
STT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Chiều 
cao X 
1,5 1,55 1,49 1,51 1,5 1,52 1,45 1,6 1,5 1,46 
5. Đại lượng ngẫu nhiêu X tuân theo luật chuẩn với tham số DX = σ2, kích thước 
mẫu n, độ tin cậy 1-α và trung bình mẫu X như sau: 
a. σ = 2 ; n = 25 ; 1-α = 0,95 ; X = 6 
b. σ = 3 ; n = 36 ; 1-α = 0,999 ; X = 35 
c. σ = 0,3 ; n = 36 ; 1-α = 0,99 ; X = 5 
d. σ = 0,4 ; n = 81 ; 1-α = 0,95 ; X = 10 
Tìm khoảng ước lượng của kì vọng a với độ tin cậy cho tương ứng ở các câu a, 
b, c, d. 
6. Bắn 1000 viên đạn độc lập độc lập vào một mục tiêu thấy có 700 viên trúng 
đích. Hãy tìm khoảng ước lượng của xác suất bắn trúng đích của mỗi viên đạn 
với độ tin cậy la 0,95. 
7. gieo ngẫu nhiên 1000 hạt đậu tương có 900 hạt nảy mầm. Tìm khoảng ước 
lượng của xác suất nảy mầm p với độ tin cậy 0,99.. 
8. Để ước lượng số tờ bạc giả loại 50.000đồng đang lưu hành, Ngân hàng nhà 
nước tung thêm 1000 tờ bạc giả loại 50.000đồng có đánh dấu. Sau đó thu hồi 
400 tờ bạc giả loại 50.000đồng thấy có 80 tờ có đánh dấu. Hãy ước lượng số bạc 
giả loại 50.000đồng không đánh dấu đang lưu hành với độ tin cậy 95%. 
9. Công ty sản xuất bếp ga A đã bán ra trên địa bàn B 5000 bếp ga. Người ta kiểm 
tra 2500 hộ trên địa bàn B thấy có 1600 hộ có bếp ga trong đó có 320 hộ có bếp 
ga nhản hiệu A. Hãy ước lượng số hộ có bếp ga ở địa bàn B với độ tin cậy 95% . 
10. Người ta cân ngẫu nhiên 10 trẻ em 2 tuổi. Kết quả như sau: 
Trọng lượng (kg) 12,3 12,5 12,8 13,0 13,5 
Tần số 1 2 3 4 5 
 Giả sử trọng lượng X của trẻ em tuân theo luật chuẩn N(a, σ2). Hãy kiểm 
định giả thiết 
 H0: a = 12 với K : a ≠ 12 ở mức α = 5%. 
 55 
11. Cho mẫu quan sát của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng tổng quát 
N(a, σ2) với giả thiết n = 100, X = 27,56 và σ = 5,2. Hãy kiểm định giả thiết 
H0: a = 26 với K : a ≠ 26 ở mức α = 5%. 
12. Người ta muốn so sánh trọng lượng óc ở các nhóm người trên và dưới 50 tuổi ta 
xét các kết quả ghi trong bảng sau: 
 (Các trọng lượng được nhóm thành các lớp cách nhau 50g, mỗi lớp được xác 
 định bởi trung điểm của nó). 
Tuổi 
Trọng lượng 
1175 1225 1275 1325 1375 1425 1475 
Trên 50 tuổi 6 15 27 25 28 18 8 
Dưới 50 tuổi 15 36 42 50 54 44 24 
 Ta có thể cho là trọng lượng trung bình của óc người trên 50 tuổi và dưới 
50 tuổi như nhau không ? Cho mức kiểm định α = 0,05. 
13. Đợt kiểm tra sức khỏe của trẻ em ở các nhà trẻ, người ta khám ngẫu nhiên 100 
cháu thấy có 20 cháu có triệu chứng còi xương do suy dinh dưỡng. Gọi p là xác 
suất để một trẻ em là còi xương do thiếu dinh dưỡng ở vùng đang khảo sát. Hãy 
kiểm định giả thiết 
H0: p = 0,15 với K : p ≠ 0,15 ở mức α = 5%. 
14. Tỷ lệ phế phẩm trong một lô sản phẩm là 0,02. Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 
480 sản phẩm từ một lô hàng thấy có 12 phế phẩm. 
 Hỏi tỉ lệ phế phẩm công bố trên có đúng không ? Cho mức kiểm định α = 
0,05. 
15. Điều trị bệnh nhân bằng loại thuốc A tỷ lệ khỏi bệnh là 0,8. Áp dụng phương 
pháp điều trị mới bằng cách dùng thuốc B trên 800 bệnh nhân thấy có 660 người 
khỏi bệnh. Hỏi hiệu quả tác dụng của thuốc B có giống thuốc A không ? Cho 
mức kiểm định α = 5%. 
16. Áp dụng hai phương pháp gieo hạt. Theo phương pháp A gieo 180 hạt có 150 
hạt nảy mầm. Theo phương pháp B gieo 256 hạt có 160 hạt nảy mầm. Hãy so 
sánh hiệu quả của hai phương pháp ở mức α = 0,05. 
 56 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Trần Diên Hiển – Vũ Viết Yên (2009), Nhập môn lý thuyến xác suất và 
thống kê toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 
 [2] Trần Diên Hiển – Phạm Văn Kiều (2003), Toán cao cấp 2, Nhà xuất bản đại 
học sư phạm, Hà Nội. 
 [3] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà 
Nội, Hà Nội. 
 [4] Phạm Văn Kiều - Lê Thiên Hương (1998), Xác suất thống kê, Nhà xuất bản 
Giáo dục, Hà Nội. 
 [5] Phạm Văn Kiều (2005), xác suất thống kê, Nhà xuất bản đại học sư phạm, 
 Hà Nội. 
 [6] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả (2004), Toán 3, NXB Giáo dục, Hà Nội. 
 [7] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả (2004), Toán 4, NXB Giáo dục, Hà Nội. 
 [8] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả (2004), Toán 5, NXB Giáo dục, Hà Nội. 
 57 
MỤC LỤC 
 Trang 
Lời nói đầu . 3 
Chương 1.Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  4 
1.1. Khái niệm về biến cố. .. 4 
1.2. Định nghĩa xác suất ................................................................................. 6 
1.3. Biến cố ngẫu nhiên độc lập .11 
1.4.Xác suất có điều kiện 12 
1.5. Công thức Bernoulli .14 
Bài tập chương 1 ..16 
Chương 2. Biến ngẫu nhiên  21 
2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên ...21 
2.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc  .. 21 
2.3. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên  23 
2.4. Biến ngẫu nhiên nhị thức  25 
2.5. Biến ngẫu nhiên liên tục.25 
2.6. Phân phối tiệm cận chuẩn ........................................................................ 27 
2.7. Kì vọng và phương sai  27 
Bài tập chương 2 ............................................................................................ 29 
Chương 3. Thống kê toán học ..32 
3.1.Mẫu quan sát (mẫu ngẫu nhiên)  32 
3.2.Các đặc trưng mẫu 33 
3.3.Ước lượng tham số ..............................................................................36 
3.4. Kiểm định giải thiết thống kê  42 
3.5. Các yếu tố thống kê trong môn toán ở tiểu học ....................................... 51 
Bài tập chương 3 ............................................................................................. 53 
Tài liệu tham khảo .....................................................................................56 
Phục lục ....................................................................................................57