Giáo trình môn Sức bền vật liệu

GS. TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG 
Ths. THÁI HOÀNG PHONG 
GIÁO TRÌNH 
SỨC BỀN VẬT LIỆU 
TẬP II 
 ĐÀ NẴNG 2005 
LỜI NÓI ĐẦU 
 Ở tập I chúng tôi đã trình bày những bài toán cơ bản của môn học sức bền 
vật liệu. 
 Ngày nay, các ngành công trình, giao thông và cơ khí phải giải quyết nhiều 
bài toán cơ học phức tạp, đòi hỏi các kĩ sư phải biết nhiều kiến thức rộng hơn, 
nhìn nhận và giải quyết những bài toán phức tạp có liên quan đến kiến thức đàn 
hồi, lí thuyết dẻo, lí thuyết từ biến....Các đối tượng nghiên cứu ngoài những thanh 
được đề cập trong phần I của giáo trình này, chúng ta còn gặp những vật thể đàn 
hồi khác như, tấm, vỏ, dầm trên nền đàn hồi, kết cấu thanh thành mỏng, bài toán 
tiếp xúc...Mỗi vấn đề là một chuyên đề, được nghiên cứu trong những quyển sách 
dày hàng trăm trang. Chúng tôi thiết nghỉ với sự mở rộng, môn học sức bền vật 
liệu cũng cần đề cập đến những vần đề trên ở một khối lượng nhất định để trình 
bày những kiến thức cơ bản và tối thiểu nhằm giúp các bạn có thể tìm hiểu các 
vấn đề đó mà trong quá trình học tập công tác có thể gặp phải. 
 Trong quá trình biên soạn chúng tôi nhận được sự giúp đỡ tận tình của 
giảng viên cao cấp Phạm Văn Song của Đại học Đà nẳng. Ông Phạm Văn Song 
đã đóng góp nhiều ý kiến hay để sửa chữa,chỉnh lí vă vi tnh giáo trình này. 
 Các tác giả thành thật cảm ơn. 
 Với một khối lượng không nhỏ, dù có cố gắng vẫn không tránh khỏi những 
thiếu sót về nội dung cũng như hình thức. 
 Chúng tôi rất mong sự đóng góp của độc giả. 
 Xin chân thành cảm ơn. 
 Các tác giả. 
 5
 MỤC LỤC Trang 
 Lời nói đầu 
 Chương 10: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 10 
10.1. Khái niệm về sự mất ổn định của một hệ đàn hồi 10 
10.2. Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm 11 
10.3. Giới hạn áp dụng công thức 13 
10.4. Phương pháp thực hành để tính toán thanh chịu nén 15 
10.5. Khái niệm về hình dáng hợp lí của mặt cắt ngang và vật liệu khi ổn định 17 
10.6. Ổn định của dầm chịu nén 18 
10.7. Ổn định của vành chịu áp suất bên ngoài 20 
 Chương 11: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 24 
11.1. Khái niệm chung 24 
11.2. Xác định nội lực theo phương pháp chính tắc 25 
11.3. Biểu thức của mô men uốn và lực cắt bằng phương pháp gần đúng 29 
11.4. Kiểm tra bền 31 
 Chương 12: Thanh cong phẳng 33 
12.1. Khái niệm chung. 33 
12.2. Ứng suất pháp trong thanh cong phẳng. 33 
 12.2.1. Thanh cong chịu uốn thuần túy. 33 
 12.2.2. Thanh cong chịu uốn đồng thời với kéo (nén đúng tâm). 36 
 Chương 13: Tính chuyển vị của hệ thanh 39 
13.1. Nguyên lí chuyển vị khả dĩ. 39 
13.2. Công thức Mohr để xác định chuyển vị. 40 
13.3. Một số định lí quan trọng. 44 
 13.3.1. Định lí về công tương hổ (còn gọi là định lí Beti). 44 
 13.3.2. Định lí về chuyển vị tương hổ 44 
13.4. Phương pháp nhân biểu đồ VêrêSaghin 46 
Chương 14 : Tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực 53 
14.1. Khái niệm về hệ siêu tĩnh. 53 
14.2. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực. 53 
 14.2.1. Hệ cơ bản. 54 
 14.2.2. Hệ tương đương. 55 
 14.2.3. Hệ phương trình chính tắc. 55 
14.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng. 58 
 14.3.1. Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng. 60 
 14.3.2. Hệ siêu tĩnh đối xứng, chịu tải trọng phản đối xứng. 61 
 14.3.3. Hệ siêu tĩnh đối xứng tải trọng bất kì. 61 
14.4. Tính hệ siêu tĩnh khi chịu tác dụng lực thay đổi. 62 
14.5. Tính dầm liên tục. 70 
 Chương 15: Tính độ bền khi ứng suất thay đổi 78 
15.1. Khái niệm. 78 
15.2. Các đặc trưng chu trình ứng suất. 79 
 6
15.3. Giới hạn mỏi và biểu đồ giới hạn mỏi. 80 
 15.31. Giới hạn mỏi. 80 
 15.3.2. Biểu đồ giới hạn mỏi. 82 
15.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến giới hạn mỏi. 85 
 15.4.1. Anh hưởng của sự tập trung ứng suất. 85 
 15.4.2. Anh hưởng của độ bóng bề mặt và kích thước của chi tiết. 88 
15.5. Hệ số an toàn trong trường hợp chịu ứng suất thay đổi theo thời gian. 90 
15.6. Những biện pháp nâng cao giới hạn mỏi. 97 
 Chương 16: Tải trọng động 98 
16.1. Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. 98 
16.2. Chuyển động quay với vận tốc góc không đổi. 100 
16.3. Dao động của một hệ đàn hồi có một bậc tự do. 102 
 16.3.1. Phương trình vi phân của dao động. 103 
 16.3.2. Dao động tự do không có lực cản. 105 
 16.3.3. Dao động tự do khi có lực cản. 106 
 16.3.4. Dao động cưởng bức chịu lực kích thích tuần hoàn. 108 
16.4. Dao động xoắn. 112 
16.5. Phương pháp thu gọn khối lượng. 113 
16.6. Tốc độ tới hạn của trục quay. 118 
16.7. Va chạm đứng của một hệ một bậc tự do. 119 
16.8. Va chạm ngang của một hệ một bậc tự do. 122 
 Chương 17: Ống dày 127 
17.1. Ứng suất và biến dạng. 127 
17.2. Ống dày chịu áp suất bên trong (Pb=0 ; Pa=P). 130 
17.3. Ống dày chịu áp suất bên ngoài (Pb=0 ; Pa=P). 132 
17.4. Bài toán ghép ống. 132 
 17.4.1. Đặt vấn đề. 132 
 17.4.2. Xác định quan hệ giữa áp suất mặt ghép Pc và độ dôi. 134 
Chương 18: Dây mềm 140 
18.1. Khái niệm. 140 
18.2. Phương trình của đường dây võng. 140 
18.3. Lực căng. 141 
18.4. Tính chiều dài của dây. 143 
18.5. Anh hưởng của nhiệt độ và tải trọng thay đổi đối với dây mềm. 144 
 Chương 19: Dầm trên nền đàn hồi 147 
19.1. Khái niệm chung. 147 
19.2. Phương trình vi phân của độ võng dầm. 148 
19.3. Dầm dài vô hạn. 149 
19.4. Dầm dài vô hạn chịu tải trọng phân bố đều. 151 
 19.4.1. Điểm nghiên cứu trong phạm vi tác dụng của tải trọng. 152 
 19.4.2. Điểm nghiên cứu ở ngoài phạm vi tác dụng của tải trọng. 152 
19.5. Dầm dài vô hạn chịu tải trọng tập trung P0 và mô men tập trung M0. 152 
19.6. Dầm dài hữu hạn. 153 
 7
 Chương 20: Tính độ bền kết cấu theo trạng thái giới hạn 159 
20.1. Khái niệm về trạng thái giới hạn. 159 
 20.1.1. Khái niệm chung. 159 
 20.1.2. Phương pháp tính theo trạng thái giới hạn. 161 
20.2. Bài toán kéo nén. 161 
 20.2.1. Ví dụ 1:Bài toán tĩnh định. 161 
 20.2.2. Hệ siêu tĩnh. 159 
20.3. Tính trục tròn chịu xoắn. 165 
20.4. Thanh chịu uốn thuần tuý. 166 
20.5. Thanh chịu uốn ngang phẳng. Khớp dẻo. 169 
 Chương 21: Tấm và vỏ 176 
21.1. Tấm tròn chịu uốn. 176 
21.2. Tấm chữ nhật chịu uốn. 185 
 21.2.1. Xét tương quan giữa chuyển vị, biến dạng và ứng suất. 186 
 21.2.2. Các thành phần nội lực và phương trình cân bằng. 187 
 21.2.3. Các điều kiện biên. 190 
21.3. Vỏ mỏng tròn xoay. 196 
21.4. Lí thuyết tổng quát về vỏ đối xứng. 205 
 21.4.1. Phương trình cân bằng. 205 
 21.4.2. Phương trình tương thích giữa chuyển vị và biến dạng. 207 
 21.4.3. Tương quan giũa ứng lực và biến dạng. 208 
 21.4.4. Đưa hệ phương trình về dạng đối xứng. 209 
 21.4.5. Điều kiện biên. 210 
21.5. Ứng suất uốn trong vỏ trụ chịu áp suất bên trong. 214 
 Chương 22: Kết cấu thanh thành mỏng 224 
22.1. Khái niệm. 224 
22.2. Đặc trưng quạt của mặt cắt ngang của một thanh thành mỏng. 225 
 22.2.1. Toạ độ quạt. 225 
 22.2.2. Toạ độ quạt trong hệ trục vuông góc. 226 
 22.2.3. Đặc trưng quạt và cách xác định chúng. 227 
22.3. Ứng suất tiếp trong thanh thành mỏng khi chịu uốn ngang. 232 
22.4. Bài toán xoắn thanh thành mỏng. 236 
22.5. Độ vênh của mặt cắt ngang khi bị uốn. 240 
22.6. Xoắn kiềm chế thanh thành mỏng có mặt cắt hở. 242 
22.7. Trường hợp chịu lực tổng quát của thanh thành mỏng hở. 247 
 22.7.1. Khái niệm về Bimomen. 247 
 22.7.2. Trường hợp chịu lực tổng quát của thanh thành mỏng. 248 
 Chương 23: Bài toán tiếp xúc 251 
23.1. Bài toán tiếp xúc của Hezt. 251 
 23.1.1. Quan hệ hình học đối với bề mặt của hai vật thể tiếp xúc. 251 
 23.1.2. Kích thước diện tích tiếp xúc, độ dịch gần và giá trị áp suất cực đại. 253 
23.2. Tiếp xúc đường. 259 
23.3. Một số bài toán tiếp xúc thường gặp. 261 
 23.3.1.Tính ổ bi chịu tải trọng tĩnh. 261 
 8
 23.3.2. Tính tiếp xúc giữa hình cầu và tấm phẳng. 266 
 23.3.3. Tính tiếp xúc giữa hai hình trụ . 268 
 Tài liệu tham khảo 272 
 10
 Chương 10 
ỔN ĐỊNH 
10.1. KHÁI NIỆM VỀ SỰ MẤT ỔN ĐỊNH CỦA MỘT HỆ ĐÀN HỒI 
 Những bài toán trước đây chúng ta đã trình bày, mới chỉ để ý đến việc tính toán độ 
bền, độ cứng cho các thanh có các loại biến dạng khác nhau. Trong chương này chúng ta 
sẽ trình bày cách tính ổn định của thanh, bởi vì đây cũng là một nhiệm vụ của môn học 
Sức bền Vật liệu. Trong thực tế một chi tiết máy hoặc một bộ phận công trình có thể đảm 
bảo điều kiện bền, điều kiện cứng nhưng không thỏa mãn điều kiện ổn định, do đó nó 
cũng không thể làm việc được. Để có khái niệm về sự mất ổn định của một hệ đàn hồi ta 
hãy xét một ví dụ sau. 
 Giả sử có một thanh dài, mặt cắt ngang hình chữ nhật bị ngàm một đầu (hình 
10.1). Thanh chịu nén đúng tâm bởi lực P. Khi P nhỏ hơn một giới hạn nào đó thì xem 
thanh là thẳng và chịu nén thuần túy. Nếu ta 
xô ngang thanh bằng một lực R rất nhỏ (hình 
10.1a), (lực này chỉ có tác dụng kích thích) thì 
thanh bị lệch khỏi vị trí thẳng đứng. Nhưng 
nếu ta thôi tác dụng lực R thì thanh trở về vị 
trí thẳng đứng ban đầu. Ta nói thanh còn làm 
việc ở trạng thái cân bằng bền hay gọi là ổn 
định. 
 Nếu ta tiếp tục tăng lực P và lặp lại quá 
trình trên thì sẽ đến lúc giá trị P đủ lớn cần 
thiết, dù ta thôi tác dụng lực R, thanh vẫn 
không trở về vị trí cân bằng thẳng đứng ban 
đầu nữa. Ta nói lúc này thanh bắt đầu mất ổn 
định hay gọi là ở trạng thái tới hạn. Lực P ứng 
với thời điểm này gọi là lực tới hạn và ký hiệu là Pth. Dĩ nhiên nếu lực P>Pth thì thanh 
hoàn toàn mất ổn định. Trong thực tế không cần có lực xô ngang R nói trên vì có thể do 
gió, hoặc do tính không đồng nhất của vật liệu nên nó tự tạo thành tác dụng như lực xô 
ngang. Hơn thế nữa lực P không bao giờ có thể tác dụng đúng tâm được. Cần lưu ý thêm 
nếu kết cấu như hình 10.1 thì thanh có khả năng mất ổn định theo phương y chứ khó mất 
ổn định theo phương x. 
 Trong thực tế còn có nhiều ví dụ khác như khi thanh chịu nén, những vỏ chịu áp 
lực cũng có thể xảy ra sự mất ổn định tương tự. Trong chương này chúng ta chỉ xét hiện 
tượng mất ổn định của thanh thẳng chịu nén thôi. 
 Một thanh chịu nén đúng tâm để đảm bảo ổn định thì lực nén P cực đại phải thỏa 
mãn điều kiện sau: 
 Trong đó: Kod là hệ số an toàn về mặt ổn định, thường Kod>n (n-hệ số an toàn khi 
tính toán độ bền). 
 Vì vậy để giải bài toán ổn định ,việc cơ bản là xác định được tải trọng tới hạn Pth. 
10.2. XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 
 (Bài toán Euler). 
 Euler năm 1774 và ông đã xác định lực Pth đối với một thanh có chiều dài l đặt 
trên 2 gối tựa, chịu nén đúng tâm (hình vẽ 10.2). 
od
th
max k
PP ≤
a
)
b
)P
R
P P
x 
y 
 Hình 10.1: 
 Thanh chịu nén không 
đúng tâm 
R 
 11
 Ta giả sử P đạt tới giá trị Pth thì thanh bắt đầu mất ổn định. Thanh sẽ võng theo 
phương y và độ võng này thay đổi theo z (chọn hệ tọa độ như hình vẽ 10.2). 
 Tại mặt cắt cách gốc tọa độ O một đoạn là z, thanh có độ võng y(z) và mô men uốn 
M tại mặt cắt đó (bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh), ta tính được mô men là: 
 ( )zyPM th ×= (a) 
 Ta giả thiết thanh vẫn làm việc trong miền đàn hồi và có thể sử dụng phương trình 
vi phân gần đúng trong khi thiết lập đường đàn hồi trong uốn. 
 Vậy: ( )
x
x
EJ
Mzy −=′′ (b) 
 Thay (a) vào (b), ta được: 
 ( ) ( )
x
th
EJ
zyP
zy
⋅−=′′ 
 Hay ( ) ( ) 0zy
EJ
P
zy
x
th =⋅+′′ 
 Ta đặt 2
x
th
EJ
P α= (c) 
thì phương trình (10-1) có dạng: 
 0)z(y)z("y 2 =α+ (10-2) 
 Nghiệm tổng quát của phương trình (10-2) là: 
zcosCzsinC)z(y 21 ⋅α+⋅α= (10-3) 
 Các giá trị C1 và C2 là các hằng số tích phân và được xác định nhờ điều kiện biên 
của bài toán. Cụ thể là: 
 Khi z = 0 thì y = 0 = C1 sin0 + C2cos0=C1× 0+C2× 1 
 Khi z=l thì y = 0 = C1 sinα⋅l + C2cosα⋅l 
 Từ điều kiện thứ nhất, ta có: C2 = 0 
 Vậy y = C1 sinα.z (10-4) 
 Từ điều kiện thứ 2, ta có: C1 sin α.l = 0 
 Nếu C1 = 0 thì phương trình (8-3) luôn luôn bằng không, điều này trái với thực tế 
vì trừ hai vị trí z = 0 và z = l thì y(z) ≠ 0. 
 Vậy (10-4) chỉ thỏa mãn khi sin α⋅l = 0 
 Hay αl = n.π (n=1.2.3...) 
 ⇒
l
nπ=α (d) 
 Thay (d) vào (10-4) ta được phương trình đường đàn hồi khi ổn định là đường hình 
sin. Vì đường đàn hồi này sinh ra do lực dọc thanh chứ không phải do lực vuông góc với 
trục thanh như trong uốn ngang phẳng, nên người ta còn gọi hiện tượng này là uốn dọc. 
 Thay (d) vào (c), ta tìm được lực tới hạn: 
 2
x
22
th l
EJnP π= (10-5) 
 Ta để ý thấy rằng giá trị Jx là nhỏ nhất, tức là Jx= Jmin , nên (10-5) có thể viết: 
Pt
h y 
y(z)z 
l 
z
y
x 
Hình 10.2: Sơ đồ tính 
lực tới hạn 
o
 12
 2
min
22
th l
EJnP π= (10-6) 
 Với những giá trị khác nhau của n ta sẽ có các lực Pth khác nhau, đầu tiên ta gặp 
khi n = 1 và: 2
min
2
th l
EJ
P
π= (10-7) 
 Lực tới hạn này còn gọi là lực Euler (PEuler) 
 Công thức (10-7) cho ta tính được Pth trong 
trường hợp thanh đặt trên hai gối tựa. 
 Với những thanh có liên kết khác ta có thể tính 
toán tương tự để có được giá trị Pth của chúng. 
Nhưng cũng có thể suy từ (10-7) cho các thanh có 
liên kết khác bằng việc để ý đến dạng của các đường 
đàn hồi của chúng. Nhìn lên hình vẽ 10.3, ta sẽ thấy 
thanh đặt trên hai gối tựa dạng đường đàn hồi là 1/2 
bước sóng hình sin (hình 10.3a). Với liên kết ngàm 
một đầu và một đầu tự do (hình 10.3b) thì muốn có 
được 1/2 bước sóng ta phải có chiều dài gấp đôi 
thanh đặt trên hai gối tựa. Đối với thanh ngàm chặt 2 
đầu ta chỉ cần 1/2 chiều dài của thanh kia thì đã có 
được dạng đường đàn hồi là 1/2 bước sóng. Như vậy 
công thức (10-7) có thể suy rộng cho các liên kết 
khác bằng cách thêm một hệ số m vào mẫu số. Hệ số 
m này phụ thuộc vào dạng liên kết: ( )2 x
22
th ml
EJnP π= 
(10- 8) 
 Nếu liên kết khớp 2 đầu, thì m = 1; liên kết là ngàm một đầu, thì m = 2; liên kết là 
ngàm cả 2 đầu, thì m = 0,5 và nếu ngàm một đầu và một đầu đặt trên gối tựa, thì m = 0,7. 
 Khi đã tính được lực Pth ta có thể tính được ứng suất tới hạn xuất hiện trong thanh, 
ta chú ý rằng tại lực P = Pth thanh còn ở vị trí thẳng đứng nên ứng suất tính như khi nén 
đúng tâm: 
F)ml(
EJ
F
P
2
min
2
th
th ⋅
π==σ (10-9) 
 Ta đặt và gọi: minmin iF
J = là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang, thì 
(10-9) sẽ thành: 2
min
2
th
i
ml
E
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
π=σ (10-10) 
 Tiếp tục đặt λ=
mini
ml , thì (10-10) sẽ có dạng: 2
2
th
E
λ
π=σ (10-11) 
 λ là số hạng phụ thuộc vào liên kết của thanh, phụ thuộc vào hình dáng và kích 
thước của thanh (chiều dài l và mặt cắt ngang). Nếu λ lớn thì σth nhỏ, có nghĩa là dễ mất 
ổn định; nếu λ nhỏ thì σth lớn, có nghĩa là thanh khó mất ổn định hơn, nên ta gọi λ là độ 
mãnh. Thanh có độ mãnh lớn không có lợi. 
Hình 10.3:Tính lực tới 
hạn với các dạng thanh 
khác nhau 
Pt
h
l l 
l 
l/
a) b) c)
 13
10.3. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Euler. 
 Euler thiết lập công thức tính Pth với giả thiết thanh làm việc trong miền đàn hồi. 
Vì vậy công thức (10-8) hay (10-11) chỉ dùng được khi σth ≤ σtl (giới hạn tỷ lệ). 
 Tức là: tl2
2E σ≤λ
π 
 Hay 
tl
2E
σ
π≥λ 
 Nếu ký hiệu , thì điều kiện áp dụng công thức Euler là λ > λ0 . 
 Ta chú ý λ0 chỉ phụ thuộc vào vật liệu. 
 Ví dụ: Đối với thép CT3 có E = 2,1⋅105 MN/m2 , σ tl = 210 MN/m2 thì 
100
101,2
101,2 22
0 ≈⋅
⋅×π=λ , đối với gỗ thông thì λ0 = 75; gang thì λ0 = 80. 
 Những thanh có λ > λ0 gọi là những thanh có độ mãnh lớn. Những thanh có λ ≤ λ0 
gọi là những thanh có độ mãnh vừa và bé không thể tính toán ổn định theo công thức của 
Euler được. 
 Vì vậy nếu vật liệu làm việc ở ngoài miề ... 3-28) 
 Từ phương trình cân bằng ta có: 
γ++γ+γ+= ncosP2...2cosP2cosP2PQ n210 
 Thay (23-28) vào, ta có : 
 [ ]γ++γ+γ+= ncos2...2cos2cos21PQ 2525250 
 Ta gọi k là tỉ số: 
 γ++γ+γ+= ncos2...2cos2cos21
ik 252525 (23-29) 
 Trong đó i là số viên bi được lắp trong vành.Tương quan giữa P0 và Q được viết 
gọn lại dưới dạng : 
i
QkP0 ⋅= (21-30) 
 Với các phép toán cụ thể ta thấy khi thay đổi i từ 10 đến 20 trị số k hầu như không 
đổi. Ta giả sử lấy i=10, khi đó: 
38,4
60cos230cos21
10k 025025 =++= 
 Với i=20, ta tìm được k=4,37. 
 Nếu kể đến khe hở giữa các vành với bi và kể đến độ biến dạng khi uốn của các 
vành thì hệ k được nâng lên một ít. Thường người ta chọn k=5, vậy: 
i
Q5P0 ⋅= (23-31) 
 Diện tích tiếp xúc giữa bi và các vành: 
 Diện tích đó có dạng hình enlip.Các bán trục được xác định như sau: 
 Với các kích thước đã cho trên hình 23.13, ta có các độ cong chính là: 
0
1211 d
2kk == 
 Đối với vành trong độ cong B21 R1k = và với 
vành ngoài H21 R1k = 
 Độ cong chính k22 của hai vành là như nhau và 
bằng r1k 22 −= . 
 Diện tích tiếp xúc ở đây là một hình enlip. Các bán 
kính chính a, b được xác định bởi công thức (23-17). 
 Trị số áp suất lớn nhất P0 được xác định bởi công 
thức (23-17) và điều kiện bền của bi là : P0≤[P0]. 
 Ví dụ 4: Cho ổ bi số hiệu 217 với các kích thước sau đây: đường kính trong 
d=85mm; đường kính ngoài D=150mm; bề rộng B=28mm; đường kính bi d0=19,84mm; 
số bi i=10; bán kính mặt cắt ngang của lòng máng r=0,515d0= 10,23mm; tải trọng tác 
dụng lên ổ bi Q=34000N. Cho biết [ ] 20 cmN35000P = . 
Hình 23.13: 
 Kích thước ổ 
bi 
R H
R B
r 
dr 
 263
 Tính độ bền của ổ bi. 
 Bài giải : Với các kích thước đã cho, ta suy ra: 
 Độ dày cực tiểu của ổ bi dọc theo lòng máng là: 
( ) mm33,684,195,32
2
1d
2
dD
2
1h 0 =−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= 
 Bán kính của lòng máng thuộc vành ngoài: 
mm67,6833,675h
2
DR H =−=−= 
 Bán kính của lòng máng thuộc vành trong: 
33,4833,65,42h
2
dR B =+=+= mm 
 Tải trọng đặt lên viên bi ở vị trí thấp nhất là: 
N17000
10
340005
i
Q5P0 =⋅=⋅= 
 Bi và các vành cùng làm bằng một vật liệu có mô đun đàn hồi 
27 cmN1012,2E ⋅= và hệ số poatxông µ=0,30. Vậy hằng số đàn hồi có trị số là: 
Ncm10858,0
E
12 27
2
−⋅=µ−=η 
 Trị số các độ cong chính là : 
008,1
984,1
2
d
2kk
0
1211 ==== cm1 
 Với vành ngoài: 
1456,0
867,6
1
R
1k
H
21 −=−=−= cm1 
1456,0
867,6
1
r
1k 22 −=−=−= cm1 
 Với vành trong: 2048,0
883,4
1
R
1k
B
21 === cm1 
9775,0
023,1
1
r
1k 22 −=−=−= cm1 
 Vậy với sự tiếp xúc của bi với vành ngoài ta có : 
∑ =−−⋅= 8929,09775,01456,0008,12k cm1 
 Với những số liệu ở trên và dùng công thức (23-18), ta xác định được các hệ số: 
( ) 626,3594,3683,3
9303,09342,0
9303,09317,0594,3n a =−−
−+= 
4234,0054,03590,04253,0n b =⋅−= 
 6515,00075,03590,06542,0n P =⋅−= 
 Chú ý: Để tiện lợi trong tính toán người ta lập bảng để có n0, nb, nδ, nP thông qua tỉ 
số A/B. 
 264
 Từ đó ta có : cm489,017000
8920,0
10858,0
2
3626,3a 3
7
=⋅⋅⋅⋅=
−
cm0570,01348,04234,0b =⋅= 
2
2
70 cmN2910001700010858,0
8929,0
2
3
14,3
6515,0P =⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅= − 
 Với sự tiếp xúc của bi và vành trong ta có : 
∑ =−+⋅= 243,19775,02048,0008,12k cm1 
 Và tính ra các hệ số sẽ là: 156,4n a = ; 3942,0n b = ; 6104,0n P = 
 Từ đó ta có : 502,017000
243,1
10858,0
2
3156,4a 3
7
=⋅⋅⋅⋅=
−
 cm 
0476,01207,03942,0b =⋅= cm 
23
2
70 cmN3400010858,0
243,1
2
3
14,3
6104,0P =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅= − 
 Đối với vật liệu làm bi và vành [ ] 20 cmN35000P = . 
 Để tính độ bền ta có thể so sánh P0 với [ ]0P . 
 Thực ra như ta đã nói ở trên, điểm nguy hiểm nhất là tại trong lòng vật thể ở độ sâu 
z=0,8b. Trị số ứng suất tiếp cực đại tại đó là 0max P325,0=τ , khi tỉ số 5,0a
b = . Với các trị 
số khác của tỉ số 
a
b , τmax có trị số xấp xỉ 0,325P0. Khi 1,0
a
b = thì 0max P310,0=τ và 
khi 0
a
b = thì 0max P300,0=τ . Ta phải so sánh trị số này với [ ]τ 
 Song vì chúng chỉ khác nhau bởi một hằng số nên ta có thể định ra [ ]0P từ [ ]τ và 
điều kiện bền của vật thể là: [ ]00 PP ≤ 
 Để tiện lợi hơn người ta đưa ra cách tính độ bền như sau : 
 Ta nhận thấy các bán kính RB và RH có thể được biểu diễn qua đường kính d0 của 
bi. Thực vậy, có thể viết RB=αd0 và RH=βd0; α và β là các hệ số không thay đổi đối với 
một họ ổ bi có một tỉ lệ kích thước nhất định. 
 Vì rằng áp suất giữa bi và vành trong lớn hơn áp suất giữa bi và vành ngoài, do đó 
ta chỉ căn cứ vành trong để tính độ bền. 
 Tổng độ cong có trị số là : 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β−α+=−+⋅=∑ 114d1r1R1d22k 0B0 
 Hằng số đàn hồi là: 
Ncm10858,0
E
12 27
2
−⋅=µ−=η 
 Tải trọng đặt lên bi là: 
i
Q5P0 ⋅= 
 265
 Thay các đại lượng đó vào công thức (23-24), ta xác định được biểu thức P0 như 
sau : 
 3 2
0
0 id
QcP ⋅= (23-32) 
 Hệ số C được tính với biểu thức: 
 3
272
P 5858,0
10114
2
31nC ⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β−α+⋅π⋅= (23-33) 
 Ví dụ với trường hợp ta đang xét : 
770005
858,0
10
515,0
1
46,2
14
2
3
14,3
6104,0C 3
272
=⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅= 
 Công thức (23-32) được viết lại dưới dạng: 
 3 2
0
0 id
Q77000P ⋅= (23-34) 
 Đối với một họ ổ bi, C là một hằng số và công thức (23-34) trở thành công thức 
chung cho họ ổ bi đó . 
 Nếu giả sử rằng áp suất cho phép [ ] 20 cmN339000P = , ta sẽ đi đến biểu thức tính 
lực Q lớn nhất có thể đạt được như sau: 
 20
2
0
3
di85di
77000
339000Q ⋅=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= N (23-35) 
 Nếu giả sử sử dụng [ ] 20 cmN347000P = , ta sẽ được: 
 20
2
0
3
di92di
77000
347000Q ⋅≈⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= N (23-36) 
 Các công thức (23-35) và (23-36) là những công thức đã sử dụng trong sổ tay công 
nghệ chế tạo máy. 
 23.3.2. Tính tiếp xúc giữa hình cầu và tấm phẳng. 
 Ví dụ 5:Phôi của tấm tròn chịu nén bởi lực Q=7500N lên ba điểm tựa có hình 
dạng mặt cầu bán kính R=15mm (xem hình 23.14). Cả ba gối tựa cầu đều được đặt trên 
một đường tròn nào đó đồng tâm với phôi và cách nhau theo một góc 1800. Do đó Q được 
phân bố đều trên các gối tựa. 
 Tính kích thước của diện tích tiếp xúc và áp lực lớn 
nhất giữa các gối tựa và tấm tròn. Xác định độ chuyển 
dịch của phôi do biến dạng của các gối tựa dưới tác dụng 
của các lực nén gây nên. Vật liệu của phôi cũng như các 
gối tựa là bằng thép. 
 Hỏi nếu tấm phôi là gang thì các kết quả sẽ thay đổi 
thế nào ? 
 Bài giải: Tải trọng lên mỗi gối tựa là: 
N2500Q
3
1P == 
Hình 23.14: 
Phôi tấm tròn chịu 
lực 
P 
 266
 Với thép ta có 27 cmN1012,2E ⋅= và 28,0=µ . Vậy hằng số đàn hồi của vật liệu 
khi tiếp xúc là: Ncm10878,0
E
12 27
2
−⋅=µ−=η 
 Ở đây sự tiếp xúc có thể xem như giữa hình cầu và mặt phẳng. Ta có :R=R1 và 
R2=∞. Bán kính diện tích tiếp xúc là : 
mm063,0cm103,6RP9086,0a 33 =⋅=⋅η⋅= − 
 Áp suất lớn nhất ở tâm: 23 220 cmN000.300R
1P5784,0P =⋅η⋅= 
 Chuyển dịch của phôi là độ dịch gần của hai vật tiếp xúc: 
( ) cm026,0cm106,2
R
1P8255,0 33 2 =⋅=η⋅=δ − 
 Đối với thép hợp kim crôm áp suất P0 trên đây là cho phép. Nếu phôi là gang ta có: 
27 cmN102,1E ⋅= và µ=0,25. Hằng số đàn hồi có trị số là: 
Ncm1022,1
102,1
25,01
101,2
28,0i 27
7
2
7
2
−⋅=⋅
−+⋅
−=η 
 Ta tìm thấy: a=7⋅10-3cm=0,07mm; P0≈230000N/cm2; δ=3,3⋅103cm=0,033mm 
 Ví dụ 6: Ổ bi chặn có các vành phẳng không có rãnh (hình 23.15). Hãy xác định: 
 1-Lực cho phép Q tác dụng lên chiều trục. 
 2-Kích thước diện tích tiếp xúc giữa bi và vành. 
 3-Độ dịch gần giữa hai vành do biến dạng đàn 
hồi gây nên. 
 Cho biết số bi i=20 viên, đường kính của các 
viên bi là d0=1cm. Vật liệu của vành và của bi là thép 
hợp kim crôm. Áp suất cho phép lớn nhất là [ ] 20 cmN350000P = . 
 Bài giải: Theo công thức (23-21) với µ=0,30, ta có: 
 3
2
21
2
0 R
1
R
1PE3880,0P ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅= (1) 
 Trong trường hợp đang xét ta có: 
01 d
2
R
1 = và 0
R
1
2
= 
 Áp lực tác dụng lên một viên bi được tính với biểu thức : 
i8,0
PP = (2) 
 Hệ số 0,8 thể hiện sự phân bố không đều của tải trọng lên mỗi viên bi. Kết hợp 
giữa (1) và (2), ta tìm thấy: 
2
2
0
3
0
E
diP
42,3Q
⋅⋅= 
 Thay trị số vào ta có: 
Hình 23.15:Ổ bi 
chặn
d 0
 267
( ) N65301012,2
12035000042,3Q 27
3
=⋅
⋅⋅= 
 Tải trọng tác dụng lên mỗi viên bi là: 
N408
208,0
6530
i8,0
PP =⋅== 
 Bán kính của diện tích tiếp xúc là: 
cm024,0
2
1
1012,2
408109,1
2
d
E
P109,1ba 3 73
0 ≈⋅⋅⋅=⋅⋅== 
 Độ dịch gần giữa bi và vành là : 
cm0011,02
1012,2
408231,1
d
2
E
P231,1 73
0
2
≈⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=δ 
 Độ dịch gần giữa hai vành là: 2δ=0,0022cm. 
 23.3.3. Tính tiếp xúc giữa hai hình trụ. 
 Ví dụ 7: Ổ bi con lăn của bánh xe tàu điện có kích thước 120×260×86mm. Tính 
chiều rộng của diện tích tiếp xúc giữa con lăn và vành (xem hình 23.16). 
 Các kích thước của ổ bi như sau: d0=36mm; L=58mm; D=154mm; số lượng con 
lăn i=13; tải trọng tác dụng lên ổ bi là Q=45000N. 
 Bài giải: Con lăn chịu tải trọng lớn nhất ở dưới cùng. Tải trọng tác dụng lên con 
lăn đó được tính với biểu thức: 
N15900
13
450006,4
i
Q6,4P =⋅=⋅= 
 Chiều dài làm việc của con lăn: cm508582Ll =−=−= λ 
 Trong đó λ là chiều rộng của khe rãnh ở hai đầu con lăn (hình 23.16). Vậy cường 
độ tải trọng đường là: 
cmN3180
5
15900
l
Pq === 
 Chiều rộng của diện tích tiếp xúc giữa vành trong 
và con lăn là : 3
21
21
RR
RR
E
q522,1b +⋅⋅= 
 cm0225,0
7,78,1
7,78,1
1012,2
3181522 3 7 =+
⋅⋅⋅⋅= 
 Chiều rộng của dải tiếp xúc là 2b=0,45mm. Trị số 
này là rất bé so với bán kính của con lăn và vành 
(R1=18mm; R2=77mm). 
 Áp suất lớn nhất trên diện tích tiếp xúc là: 
27
21
21
0 cmN899007,78,1
7,78,11012,23184180,0
RR
RR
qE4180,0P =⋅
+⋅⋅⋅=+⋅= 
 Thường đối với thép ổ bi, áp suất cho phép là [ ] 20 cmN250000P = . Vậy ta thấy 
áp suất trên là còn rất bé so với áp suất cho phép. 
Hình 23.16:Ổ bi 
con lăn của bánh 
xe tàu điện
L 
λ d 0 
D 
 268
 Ví dụ 8: Xác định áp suất lớn nhất giữa hai bánh răng trụ răng răng thẳng khi 
chúng tiếp xúc nhau ở vị trí điểm ăn khớp (hình 23.17).Khảo sát các trường hợp sau đây: 
 1- Bánh chủ động và bánh bị động cùng làm bằng một vật liệu. 
 2- Bánh chủ động bằng thép và bánh bị động bằng gang. 
 Bài giải: Ở đây ta chỉ xét ở một thời điểm nhất 
định. Tại thời điểm đó xem tải trọng là tĩnh định. Ta 
cũng thừa nhận rằng, vật liệu là đồng nhất và đẳng 
hướng, Không kể đến độ khác biệt của lớp tôi bề mặt. 
 Một cách gần đúng ta sử dụng công thức (23-39) 
để tính áp suất lớn nhất trong vùng tiếp xúc, nghĩa là 
xem sự tiếp xúc là dài vô hạn. Thừa nhận hệ số 
Poatxông của thép và của gang là như nhau (µ=0,28). 
Do đó hằng số đàn hồi η của vật liệu là : 
( )
021
212
E
184,1
EE
EE12 =+⋅µ−=µ 
 E0 được gọi là mô đun đàn hồi thu gọn: 
(
21
21
0 EE
EE2E += ) 
 Với thép ta có 271 cmN102E ⋅= và với gang ta có 272 cmN105,1E ⋅= . Vậy 
27
0 cmN107,1E ⋅= . 
 Khi các bánh răng cùng làm bằng một vật liệu thì ta có E=E0. 
 Gọi ρ1 và ρ2 là bán kính cong của dạng răng tại điểm ăn khớp. Khi đó tổng độ 
cong của các bánh răng là: 
021
111k ρ=ρ+ρ=∑ 
 ρ0 được gọi là bán kính cong thu gọn, ta có: 
0
0
0
0
0
Eq
416,0
qE
84,1
1P ρ
⋅⋅=ρ⋅= 
 Từ hình vẽ 23.30, ta dễ dàng tìm thấy: 
α=ρ sin
2
d1
1 và α=ρ sin2
d2
2 
 Trong đo: d1 và d2 là đường kính của đường tròn ăn 
khớp của các bánh răng; α là góc ăn khớp (hình 23.18). 
 Cường độ tải trọng phân bố là: 
αcosl
P
l
Pq n == 
 Trong đó : l-chiều dài của răng. 
 Pn-lực theo phương pháp tuyến với bề mặt răng. 
 P- lực vòng. 
 Vậy áp lực cực đại trên diện tích tiếp xúc là: 
l
P
d
1
d
1
2sin
E
832,0P
21
0
0 ⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅= α 
Hình 23.17:Hai bánh 
răng răng thẳng ăn 
khớp với nhau
A 
B α 
α 
K 
O1 
O2 
d 2
/
2 
d 1
/
2 
II 
I 
Hình 23.18:Góc ăn 
khớp
P
Pn
K α 
 269
 Ví dụ 9: Tính áp lực lớn nhất và kích thước của diện tích giữa bánh xe và đường 
ray của toa xe chở hàng có bốn cụm bánh (hình 23.19). Trọng lượng của toa tàu Q=60t ; 
bán kính của đầu đường ray r=300mm. Đường kính 
của bánh xe D=900mm 
 Bài giải: Ở đây ta có thể xem như sự tiếp 
xúc của hai mặt trụ có trục vuông góc với nhau.Vậy 
diện tích tiếp xúc là một đường enlip với các bán 
trục chính là a và b. 
 Tải trọng của bánh xe truyền xuống đường 
ray là: 
 N75000
24
QP =×= 
 Các độ cong chính của bánh xe là : 
 0222,0
D
2k11 == cm1 ; 0k 22 = 
 Các độ cong chính của đường ray là : 
 0333,0
30
1
r
1k 21 === cm1 ; 0k 22 = 
 Các mặt cong chính k11 và k22 vuông góc với nhau, do đó 12cos −=ω . Vậy ta tính 
được các hệ số : 
 ( ) 150,1141,1168,1
1894,02207,0
1894,02000,0141,1n a =−−
−+= 
 ( ) 8777,08660,08837,03387,08837,0n b =−−= 
 ( ) 9909,0098909919,03387,09919,0n P =−−= 
 Tổng các độ cong của các bề mặt tiếp xúc: 
∑ =+= 0555,0r1D2k cm1 
 Lấy E=2⋅107N/cm2 và µ=0,30, ta có: 
Ncm1091,0
E
12 27
2
−⋅=µ−=η 
 Khi đó các kích thước của diện tích tiếp xúc sẽ là: 
cm65,0569,0150,175000
0555,0
1091,0
2
3150,1a 3
7
=⋅=⋅⋅⋅⋅=
−
 cm5,0569,08777,075000
0555,0
1091,0
2
38777,0b 3
7
=⋅=⋅⋅⋅⋅=
−
 Áp suất lớn nhất trong vùng diện tích tiếp xúc là: 
23
2
70 cmN110000750001091,0
0555,0
2
319909,0P ≈⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅π⋅= − 
 Để kiểm tra lại ta có thể sử dụng công thức (23-27) để tính : 
2
0 cmN11000050,065,0
75000
2
3P ≈⋅⋅π⋅= 
Hình 23.19: Bánh xe 
và đường ray tiếp 
xúc với nhau 
φ9
00
mm
r=
30
0m
m 
 270
 Hai cách tính này cho ta một kết quả. 
 CÂU HỎI TỰ HỌC. 
 23.1. Quan hệ hình học đối với hai bề mặt của vật thể tiếp xúc ? 
 23.2. Chứng minh diện tích hai vật thể tiếp xúc có thể coi là một enlip . 
 23.3. Bài toán hai hình trụ tròn tiếp xúc ? 
 23.4. Các biểu thức các đại lượng a, b trong bài toán tiếp xúc ? 
 23.5. Các biểu thưc áp lực lớn nhất P0 và độ dịch gần δ ? 
 23.6. Bài toán tiếp xúc của hình trụ với mặt phẳng ? 
 23.7. Bài toán hai hình trụ tiếp xúc có hai trục vuông góc với nhau ? 
 23.8. Bài toán hai hình trụ tiếp xúc có hai trục song song với nhau ? 
 23.9. Khi tính các ổ bi cần chú ý những yếu tố nào cho từng loại ? 
- - -	 - - - 
 272
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1.Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Y Tô 
 Sức bền vật liệu (tập 1, 2) 
 Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà nội,1964. 
2. Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vuợng 
 Sức bền vật liệu (tập 1, 2, 3). Nhà xuất bản Giáo dục, 1997. 
3. Lê Ngọc Hồng 
 Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 2000. 
4. Phan kì Phùng, Đặng Việt Cương 
 Lí thuyết dẻo và từ biến. Nhà xuất bản Giáo dục, 1997. 
5.L.M KacHarop (Người dịch: Lê Minh Khanh và Ngô Thành Phong) 
 Cơ sở lí thuyết dẻo 
 Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệpHà nội, 1987. 
6. Vũ Đình Cự 
 Vật lí chất rắn 
 Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1997. 
7. Nguyễn Văn Vượng. 
 Lí thuyết đàn hồi ứng dụng. Nhà xuất bản Giáo dục,1999. 
8. Nguyễn Xuân Lựu 
 Lí thuyết đàn hồi. Nhà xuất bản giao thông vận tải, 2002. 
9. Lê Công Trung 
 Đàn hồi ứng dụng. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1999. 
10.X.P.Timosenko, X.Voinopski-Krige. Các Người dịch: Phạm Hồng Giang, Vũ Thành 
Hải, Nghuyễn Khải, Đoàn Hữu Quang 
 Tấm và vỏ. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1971. 
11.N.I. BeĐukhop (Người dịch: Phan Ngọc Châu) 
 Cơ sở lí thuyết đàn hồi 
 Lí thuyết từ biến 
 Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà nội, 1978. 
12. Đào Huy Bích 
 Lí thuyết quá trình đàn dẻo. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nộ, 1999. 
 ------ 
 273
.