Giáo trình môn Giải tích hàm

Bài giảng Giải tích hàm
Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ
Bản ngày 20 tháng 04 năm 2020
1
2
1
2 − 1m 1
fnfm
1
1
2 − 1n
2Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn MTH10403
Giải tích hàm tại Khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ
Chí Minh.
Giải tích hàm là một trong những môn ở đó sinh viên có những hiểu biết đầu tiên, cơ
bản về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là cần thiết cho nhiều chuyên ngành
toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng tiếp thu và sử dụng các lí luận toán
học trừu tượng và chính xác bước đầu được rèn luyện và kiểm tra. Phần đông sinh viên có
thể học môn này từ học kì thứ tư.
Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh
xạ tuyến tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian Hilbert.
Một số chứng minh trong phần bài giảng chỉ chứa các ý chính, và một số mệnh đề không
có chứng minh, đây là những chổ dành cho người học bổ sung chi tiết.
Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan
trọng, nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc.
Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập
hiện nay, email: hqvu@hcmus.edu.vn). Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.
Tài liệu này đang được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Các góp ý vui lòng gởi về cho người
biên tập.
Tài liệu này cùng mã nguồn có ở https://sites.google.com/view/hqvu/teaching.
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see
 otherwise it is licensed
under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see
Mục lục
Giới thiệu 5
1 Không gian mêtríc 7
1.1 Mêtríc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian mêtríc con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Không gian đầy đủ và không gian compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Không gian định chuẩn 15
2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Không gian `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Tóm tắt về độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.2 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 35
3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . 36
3.3 Tính chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Không gian L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Định lý Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Không gian Hilbert 47
4.1 Không gian tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Phép chiếu vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Họ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.1 Không gian Hilbert tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5.2 Không gian Hilbert bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
4 MỤC LỤC
Hướng dẫn học tiếp 68
Gợi ý cho một số bài tập 69
Tài liệu tham khảo 69
Chỉ mục 71
Giới thiệu
Vào các thế kỉ 18, 19, sự phát triển vượt bậc ở châu Âu trong thời đại Khai sáng và Cách
mạng công nghiệp thúc đẩy những khảo cứu học thuật và thực dụng. Trong đó có các khảo
cứu của Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier và nhiều người khác về các hiện tượng vật lí,
như sự truyền sóng và sự truyền nhiệt.
Xét một thanh kim loại mà một đầu chịu tác động của một nguồn nhiệt. Gọi x là vị trí
của một điểm trên thanh và u là nhiệt độ ở vị trí x vào thời điểm t, thì những phân tích vật
lí dẫn tới kết luận u phải thỏa điều kiện có dạng
∂u
∂t
− c ∂
2u
∂x2
= f (x,t).
Đây là một phương trình mà đối tượng là hàm số. Nghiên cứu những phương trình này đưa
đến việc không những các tính chất của hàm, mà các tính chất của các tập hợp hàm dần dần
chiếm vị trí trung tâm. Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay không có thể đưa về
khảo sát tính chất của những ánh xạ trên các tập hợp hàm, hay để xấp xỉ nghiệm cần đưa ra
cách đo độ khác biệt giữa các hàm.
Một điều đáng chú ý là các tập hợp hàm thường có cấu trúc của không gian tuyến tính
vô hạn chiều. Ví dụ trong tập hợp các đa thức hay trong tập hợp các hàm liên tục có những
tập con gồm vô hạn phần tử độc lập tuyến tính.
Vào đầu thế kỉ 20, môn Giải tích hàm định hình và phát triển nhanh chóng, vừa do sự
phát triển nội tại của toán học, vừa do nhu cầu của khoa học và kĩ thuật. Ngày nay Giải tích
hàm đã trở thành một phần cơ bản của toán học mà ai học toán cũng cần biết.
5
6 MỤC LỤC
Chương 1 Không gian mêtríc
Không gian mêtríc là phát triển tương tự của không gian Euclid, là tập hợp trên đó có khoảng
cách.
Ở chương này chúng ta ôn tập một số tính chất của không gian mêtríc có liên quan tới
môn giải tích hàm. Phần lớn những nội dung này đã có trong môn Giải tích 2, người học
nên xem lại giáo trình [15]. Tuy nhiên bây giờ chúng ta nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa và mối
quan hệ giữa các phần kiến thức chứ không nhấn mạnh việc kiểm tra tính đúng đắn logic
hình thức trong chứng minh của mỗi mệnh đề.
1.1 Mêtríc
Mêtríc 1 nghĩa là khoảng cách. Một không gian mêtríc là một tập hợp có khoảng cách.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ
d : X × X → R
(x,y) 7→ d(x,y)
được gọi là một mêtríc (khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x,y,z ∈ X:
(a) d(x,y) ≥ 0, và d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(b) d(x,y) = d(y,x),
(c) d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(z,y).
x
y z
Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác.
Cặp (X,d) được gọi là một không gian mêtríc hay một không gian có khoảng cách. Mỗi
phần tử của tập X khi đó còn được gọi là một điểm.
Không gian mêtríc (X,d) hay được viết vắn tắt là X khi mêtríc d được ngầm hiểu hoặc
không cần được xác định cụ thể.
1Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa là cách đo, có họ hàng với từ metre (mét)
7
8 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
1.1.3 Ví dụ (không gian Euclid Rn). Với n ∈ Z+, tập hợp Rn = {(x1,x2, . . . ,xn) | x1 ∈ R,x2 ∈
R, . . . ,xn ∈ R} với mêtric Euclid
d((x1,x2, . . . ,xn),(y1,y2, . . . ,yn)) =
√
(x1− y1)2 + (x2− y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
được gọi là không gian Euclid thực n-chiều. Đặc biệt khi n = 1 không gian mêtríc Euclid R
có mêtríc thông thường cho bởi giá trị tuyệt đối của hiệu hai số thực, d(x,y) = |x− y |, chính
là khoảng cách giữa hai số thực.
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (X,d), a ∈ X và số thực r > 0. Các tập
B(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) < r}
B′(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) ≤ r}
S(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) = r}
lần lượt được gọi là quả cầu mở, quả cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r .
1.2.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (X,d). Tập A ⊂ X là một tập mở trong X nếu mỗi
điểm thuộc A có một quả cầu của X tâm tại điểm đó chứa trong A. Bằng kí hiệu:
∀x ∈ A,∃r > 0,B(x,r) ⊂ A.
Nếu X \ A là một tập mở, ta nói A là một tập đóng trong X .
1.2.3 Ví dụ. Mọi quả cầu mở đều là một tập mở, mọi quả cầu đóng cũng như mặt cầu đều
là tập đóng. Ngoài ra, trong không gian mêtríc X , các tập ∅ và X là các tập vừa đóng vừa
mở trong X .
1.2.4 Ghi chú. Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ là đang nói tới không gian mêtríc
nào, vì cùng một tập hợp có thể là tập con của những không gian mêtríc khác nhau và nhận
những mêtríc khác nhau, do đó tính mở, đóng cũng khác. Khi đã hiểu rõ thì có thể nói tắt
không cần nhắc tới không gian mêtríc chứa.
1.2.5 Mệnh đề. Cho một không gian mêtríc (X,d) và (Ai)i∈I là một họ các tập con của X .
Ta có
(a) Nếu Ai là các tập mở thì
⋃
i∈I Ai là một tập mở.
(b) Nếu Ai là các tập đóng thì
⋂
i∈I Ai là một tập đóng.
(c) Nếu Ai là các tập mở và I là tập hữu hạn thì là
⋂
i∈I Ai một tập mở.
(d) Nếu Ai là các tập đóng và I là tập hữu hạn thì
⋃
i∈I Ai là một tập đóng.
Cho không gian mêtríc (X,d) và A là một tập con của X . Điểm x ∈ X được gọi là một
điểm dính của A nếu mọi quả cầu tâm x có chứa ít nhất một phần tử của A, nghĩa là
∀r > 0,B(x,r)∩ A , ∅.
Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A¯ hay cl(A) (closure).
Điểm x ∈ X được gọi là một điểm trong của A nếu tồn tại một quả cầu của X tâm x chứa
trong A, nghĩa là
∃r > 0,B(x,r) ⊂ A.
1.2. ĐÓNG, MỞ, HỘI TỤ, LIÊN TỤC 9
Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu là
◦
A hay int(A)
(interior).
Điểm x ∈ X được gọi là một điểm biên của A nếu mọi quả cầu của X tâm x có chứa ít
nhất một phần tử của A, và có chứa ít nhất một phần tử không thuộc A, nghĩa là
∀r > 0,B(x,r)∩ A , ∅,B(x,r)∩ (X \ A) , ∅.
Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là phần biên của A, ký hiệu là ∂A.
1.2.6 Mệnh đề. Cho là A một tập con của một không gian mêtríc thì
(a) A¯ là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A,
(b) A là một tập đóng nếu và chỉ nếu A = A¯,
(c)
◦
A là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A,
(d) A là một tập mở nếu và chỉ nếu A =
◦
A.
1.2.7 Định nghĩa. Cho (xn)n≥1 là một dãy các phần tử của một không gian mêtríc (X,d).
Ta nói (xn)n≥1 là dãy hội tụ (trong X) nếu tồn tại x ∈ X sao cho limn→∞ d(xn,x) = 0, nghĩa
là
∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀n ∈ Z+,n ≥ n0 =⇒ d(xn,x) < .
Điều này có nghĩa là phần tử của dãy gần x tùy ý miễn chỉ số đủ lớn. Khi đó, phần tử x, nếu
có, là duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy (xn)n≥1, ký hiệu limn→∞ xn = x. Ta còn viết
xn→ x khi n→∞.
Ta có thể đặc trưng các khái niệm mở, đóng, điểm dính bằng dãy như sau:
1.2.8 Mệnh đề. Cho là một tập con A trong không gian mêtríc X và x ∈ X . Ta có:
(a) x là một điểm dính của A nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (xn)n∈Z+ trong A hội tụ về x.
(b) A là một tập đóng trong X nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A mà hội tụ trong X thì giới
hạn của nó phải nằm trong A.
1.2.9 Định nghĩa. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY )
và x0 ∈ X . Ta nói f là liên tục tại x0 nếu
∀ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ X,dX(x,x0) < δ =⇒ dY ( f (x), f (x0)) < .
Điều này có nghĩa là f (x) gần f (x0) tùy ý miễn x đủ gần x0. Ta nói f liên tục trên X
nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X .
Ta cũng có đặc trưng của sự liên tục thông qua dãy:
1.2.10 Định lý. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY ).
Điều kiện cần và đủ để f liên tục tại x là với mọi dãy (xn) trong X , nếu xn→ x trong X thì
f (xn) → f (x) trong Y .
1.2.11 Định lý. Ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY ) là liên
tục trên X nếu và chỉ nếu ảnh ngược qua f của tập mở trong Y là tập mở trong X . Mệnh đề
vẫn đúng nếu thay tập mở bằng tập đóng.
10 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
1.3 Không gian mêtríc con
Cho không gian mêtríc (X,d) và Y là một tập con của X . Ánh xạ dY ≡ d |Y×Y , tức dY (x,y) =
d(x,y) với mọi x,y ∈ Y , là một mêtríc trên Y mà ta gọi là thu hẹp hay hạn chế của mêtríc của
X xuống Y . Không gian mêtríc (Y,dY ) được gọi là một không gian mêtríc con của không
gian mêtríc X .
1.3.1 Ghi chú. Như đã nhắc ở 1.2.4, chú ý rằng với Y là một không gian con của X và A
là một tập con của Y ta cần phân biệt việc A đóng hay mở trong X với việc A đóng hay mở
trong Y . Tương tự, với một dãy trong Y , ta cần phân biệt việc dãy hội tụ trong X với việc
dãy hội tụ trong Y .
1.3.2 Ví dụ. Trên R với mêtríc Euclid, tập [0,2) tạo thành một không gian mêtríc con. Tập
[0,1) là mở trong không gian [0,2) nhưng không mở trong không gian R. Dãy xn = 2− 1n
trong [0,2) không hội tụ trong [0,2) nhưng hội tụ trong R.
Một quả cầu của Y là thu hẹp của một quả cầu của X:
BY (x,r) = {y ∈ Y | d(y,x) < r} = BX(x,r)∩Y .
Từ đó ta có sự liên hệ giữa tính đóng và mở trong một không gian với tính đóng và mở trong
một không gian con của nó:
1.3.3 Mệnh đề. Cho Y là một không gian con của một không gian mêtríc X và A là một tập
con của Y . Ta có:
(a) A là mở trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập V mở trong X sao cho A = V ∩Y .
(b) A là đóng trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập F đóng trong X sao cho A = F ∩Y .
1.3.4 Mệnh đề. Thu hẹp của một ánh xạ liên tục xuống một không gian mêtríc con là một
ánh xạ liên tục.
1.4 Không gian đầy đủ và không gian compắc
1.4.1 Định nghĩa. Dãy (xn)n≥1 trong X là dãy Cauchy nếu
∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀m,n ∈ Z+,(m,n ≥ n0 =⇒ d(xm,xn) < ).
Điều này nghĩa là phần tử của dãy gần nhau tùy ý miễn chỉ số đủ lớn.
1.4.2 Mệnh đề. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
1.4.3 Định nghĩa. Ta nói không gian mêtríc (X,d) là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ trong X .
1.4.4 Ví dụ. Trong R thì dãy 1n hội tụ về 0 nên là dãy Cauchy. Nhưng nếu xét trong R \ {0}
thì dãy này không hội tụ.
Tương tự, dãy các số hữu tỉ (1+ 1n )n hội tụ về số vô tỉ e trong R. Như vậy dãy này là dãy
Cauchy nhưng không hội tụ trong Q, do đó Q là không đầy đủ.
1.4.5 Ví dụ. Tập hợp R tất cả các số thực với mêtríc Euclid là đầy đủ. Điều này là hệ quả
của tính tồn tại chặn trên nhỏ nhất, còn gọi là tính liên tục, của tập hợp số thực: mọi tập
con không rỗng bị chặn trên của R đều có chặn trên nhỏ nhất. Ngược lại sự đầy đủ của R
dẫn tới tính tồn tại chặn trên nhỏ nhất (sup).
1.4. KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC 11
Từ tính đầy đủ của R ta suy ra được:
1.4.6 Mệnh đề. Không gian Euclid Rn là đầy đủ.
1.4.7 Ví dụ (không gian Euclid Cn). Về mặt tập hợp thì C = {(a,b) | a ∈ R,b ∈ R} = R2.
Mỗi phần tử (a,b) ∈ C được gọi là một số phức và được viết là a + bi với i được gọi là
đơn vị ảo. Phép cộng trên C được định nghĩa là (a+ bi)+ (c+ di) = (a+ c)+ (b+ d)i, tức là
(a,b)+ (c,d) = (a+ c,b+ d), trùng với phép cộng của không gian Euclid R2. Trên C còn có
một độ lớn, còn được gọi là môđun, cho bởi |a+ bi | =
√
a2 + b2. Khoảng cách giữa hai số
phức x1 = a1 + b1i và x2 = a2 + b2i được cho bởi
|x1− x2 | = |(a1− a2)+ (b1− b2)i | =
√
(a1− a2)2 + (b1− b2)2,
chính bằng khoả ... ghiệm của phương trình
(có thể đọc ở [12]), qua đó có ứng dụng vào trong kĩ thuật, như trong xử lí tín hiệu, chẳng
hạn một loại xấp xỉ Fourier được cài đặt trong dạng tập tin âm thanh mp3 để nén dữ liệu.
4.7 Bài tập
4.7.1. X Tích trong tính được từ chuẩn sinh bởi tích trong đó:
(a) Trên trường thực thì
〈x,y〉 = 1
4
(
‖x+ y‖2− ‖x− y‖2
)
.
(b) Trên trường phức thì
〈x,y〉 = 1
4
(
‖x+ y‖2− ‖x− y‖2
)
+
1
4
(
i ‖x+ iy‖2− i ‖x− iy‖2
)
.
4.7.2. Chứng tỏ trên trường thực thì x ⊥ y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2. Điều này có đúng trên
trường phức?
4.7.3. Cho không gian tích trong H trên trường R.
(a) Chứng tỏ với mọi a,b ∈ H thì
‖a+ b‖ ‖a− b‖ ≤ ‖a‖2 + ‖b‖2 .
(b) Tìm điều kiện cần và đủ để đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức trên.
4.7.4. Trong một không gian tích trong, chứng tỏ nếu xn
n→∞−→ x và yn n→∞−→ y thì 〈xn,yn〉 n→∞−→ 〈x,y〉.
62 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT
4.7.5. Trong một không gian tích trong, giả sử (xn)n∈Z+ và (yn)n∈Z+ là hai dãy trong quả cầu đơn vị
và limn→∞ 〈xn,yn〉 = 1. Chứng tỏ limn→∞ ‖xn − yn‖ = 0.
4.7.6. Trong một không gian tích trong E , cho x ∈ E và A ⊂ E . Chứng tỏ nếu x ⊥ A thì x ⊥ A.
4.7.7. Trong một không gian tích trong E , cho y1,y2 ∈ E . Giả sử ∀x ∈ E, 〈x,y1〉 = 〈x,y2〉. Chứng tỏ
y1 = y2.
4.7.8. Chứng tỏ `p với p , 2 không phải là một không gian tích trong.
4.7.9. Cho H là một không gian tích trong và M ⊂ H. Chứng tỏ M⊥ là một không gian vectơ con
đóng của H.
4.7.10. ChoM là một không gian con đóng của không gian Hilbert H vàM ,H. Chứng tỏM⊥ , {0}.
4.7.11. X Cho H là một không gian tích trong và x ∈ H.
(a) Chứng tỏ rằng x⊥ chính là nhân của phiếm hàm y 7→ T(y) = 〈y,x〉, tức là x⊥ = kerT =
T−1({0}).
(b) Chứng tỏ rằng x⊥ là một không gian vectơ con đóng của H.
(c) Cho M ⊂ H. Chứng tỏ
M⊥ =
⋂
x∈M
x⊥.
(d) Suy ra M⊥ là một không gian vectơ con đóng của H.
(e) Chứng tỏ M⊥ =
(
M
)⊥
.
4.7.12. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ x ⊥ M khi
và chỉ khi ‖x‖ = d(x,M). Kết quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.13. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ M = (M⊥)⊥.
Kết quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.14. Trong không gian Hilbert H cho a , 0. Chứng tỏ
d(x,a⊥) = | 〈x,a〉 |‖a‖ .
Ứng dụng, trong không gian EuclidR3 hãy tìm lại công thức cho khoảng cách từ một điểm p= (x,y,z)
tới một mặt phẳng ax+ by+ cz = 0.
4.7.15. X Với n ∈ Z+ cố định gọi M là tập tất cả các dãy số thực bằng 0 từ phần tử thứ (n+1) trở đi,
tức M = {(x1,x2, . . . ,xn,0,0, . . . ) | x1, . . . ,xn ∈ R}.
(a) Hãy kiểm M là một không gian vectơ con của `2, do đó là một không gian định chuẩn con
của `2. Hãy xác định số chiều của M .
(b) Chứng minh M là một tập con đóng của `2. Hỏi M có là một không gian Hilbert không?
(c) Xét ánh xạ
PM : `2 → M
x = (x1,x2, . . . ,xn, . . . ) 7→ (x1,x2, . . . ,xn,0, . . . ).
Như vậy ánh xạ PM chỉ giữ lại n tọa độ đầu tiên của x, các tọa độ còn lại được gán thành 0.
Hãy kiểm PM là một ánh xạ tuyến tính.
(d) Hãy kiểm rằng với mọi x ∈ `2 thì (x −PM x) ⊥ M . Vậy PM chính là phép chiếu từ `2 xuống
M .
(e) Chứng tỏ ‖PM x‖ ≤ ‖x‖.
(f) Chứng tỏ PM là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
4.7. BÀI TẬP 63
(g) Hãy tìm không gian trực giao của M , tức M⊥.
(h) Hãy tìm ImPM và kerPM , tức tập ảnh và tập nhân của PM .
4.7.16. Chứng minh mệnh đề 4.3.5.
4.7.17. X Cho H là một không gian Hilbert. Cho ∅ , M,N ⊂ H. Điều nào sau đây là đúng?
(a) M⊥ , ∅.
(b) M ⊂ N =⇒ M⊥ ⊂ N⊥.
(c) M ⊂ N =⇒ N⊥ ⊂ M⊥.
(d) M $ N =⇒ N⊥ $ M⊥.
(e) M⊥ = M⊥.
(f) M⊥ = 〈M〉⊥.
4.7.18. Kiểm đây là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và tìm chuẩn:
T : L2((0,1)) → R
f 7→
∫ 1
0
f (x)x dx.
4.7.19. Cho (a1, · · · ,an) là một cơ sở tuyến tính của Rn và α1, · · · ,αn là n số thực dương. Với mọi
x =
∑n
i=1 xiai và y =
∑n
i=1 yiai trong R
n ta đặt
f (x,y) =
n∑
i=1
αi xiyi .
Chứng minh f là một tích vô hướng trên Rn, với tích vô hướng này thì Rn là một không gian Hilbert,
(a1, · · · ,an) là một họ trực giao, và (α−1/21 a1, · · · ,α−1/2n an) là một họ trực chuẩn.
4.7.20. Cho (ei)i=1,...,n là một họ trực chuẩn trong một không gian tích trong H và một họ (ci)i=1,...,n
trong F. Chứng minh


∑n
i=1 ciei


2 =∑ni=1 |ci |2.
4.7.21. Chứng tỏ trong một không gian tích trong thì một họ trực giao bất kì là một họ độc lập tuyến
tính.
4.7.22. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian Hilbert H và (cn)n∈Z+ ∈ `2. Chứng
minh:
(a) Chuỗi
∑∞
n=1 cnen hội tụ trong H.
(b)


∑∞
n=1 cnen


2 =∑∞n=1 |cn |2.
4.7.23. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian Hilbert H. Chứng tỏ với mọi x ∈ H:
(a)
∑∞
n=1 | 〈x,en〉 |2 ≤ ‖x‖2.
(b) limn→∞ 〈x,en〉 = 0.
4.7.24. Giả sử E là một họ trực chuẩn cực đại trong không gian Hilbert H, và x,y ∈ H. Chứng tỏ
nếu ∀e ∈ E , 〈x,e〉 = 〈y,e〉 thì x = y.
4.7.25. Xét không gian Hilbert L2([0,1],R) trên trường thực. Cho f (x) = x và g(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Tính ‖ f ‖L2 và ‖g‖L2 .
(b) Tính 〈 f ,g〉L2 .
(c) Tính Pg f .
(d) Tìm h ∈ L2([0,1],R) sao cho h , 0 và h ⊥ g.
4.7.26. Xét không gian Hilbert H = L2([0,1],R). Gọi M là tập hợp tất cả các hàm hằng trên [0,1].
64 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT
(a) Chứng tỏ M là một không gian vectơ con của H.
(b) Chứng tỏ {1} là một cơ sở trực chuẩn của M .
(c) Vì sao M là không gian vectơ con đóng của H?
(d) Cho hàm f (x) = x. Tìm PM f .
4.7.27. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) hãy tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian vectơ
con sinh bởi các hàm 1, t, t2.
4.7.28. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) cho f (t) = t2. Tìm hình chiếu của f và khoảng cách
từ f tới các không gian vectơ con M với M là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 1.
4.7.29. Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) cho f (t) = t2.
(a) Đặt M = {x ∈ L2([0,1]) | ∫ 10 x(t) dt = 0}. Chứng tỏ M = 〈1〉⊥.
(b) Tìm hình chiếu của f và khoảng cách từ f tới M .
4.7.30. Trong không gian Hilbert L2([0,1],R):
(a) Chứng minh rằng họ E = {1,sin2pix,cos4pix} là trực giao.
(b) Gọi M là không gian tuyến tính sinh bởi họ E trên, hãy tìm hình chiếu PM f với f (x) = x.
4.7.31. Cho M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Cho x ∈ H. Chứng tỏ chiếu
của x xuống M là duy nhất. Cụ thể hãy chứng tỏ nếu y1 và y2 thuộc M thỏa (x − y1) ⊥ M và
(x− y2) ⊥ M thì y1 = y2, theo các bước sau:
(a) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ M .
(b) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ (y1− y2).
(c) Chứng tỏ y1− y2 = 0.
4.7.32. Trong không gian định chuẩn `2 gọi e1 = (1,0, . . . ), e2 = (0,1,0, . . . ). Chứng tỏ tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên `2 sao cho f (e1) = 1 và f (e2) = 0, bằng một trong hai cách sau:
(a) Dùng định lý Hahn–Banach.
(b) Xét phiếm hàm tuyến tính trong không gian tích trong đại diện bởi e1.
4.7.33. * Trong không gian định chuẩn `2 gọi e1 = (1,0, . . . ), e2 = (0,1,0, . . . ), e3 = (0,0,1, . . . ). . .
Chứng tỏ dãy (en)n≥1 hội tụ yếu (xem 3.8.28) nhưng không hội tụ.
4.7.34. X Trên L2([0,2pi],R), với n ∈ Z+, đặt
en(t) = 1√
pi
cos(nt),
fn(t) = 1√
pi
sin(nt).
Hãy kiểm trực tiếp rằng họ
{
1√
2pi
,en, fn | n ∈ Z+
}
là một họ trực chuẩn trong L2([0,2pi],R).
4.7.35. Tìm khai triển Fourier của hàm:
(a) f (x) =

0, 0 ≤ x < pi2 ,
1, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
0, 3pi2 < x ≤ 2pi.
(b) f (x) =

x, 0 ≤ x < pi2 ,
pi− x, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
x−2pi, 3pi2 < x ≤ 2pi.
4.7. BÀI TẬP 65
4.7.36. Cho f ∈ L2([0,2pi]) và a02 +
∑∞
n=1 (an cos(nt)+ bn sin(nt)) là chuỗi Fourier của f . Áp dụng
đẳng thức Parseval, chứng tỏ
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
=
1
pi
∫ 2pi
0
f (x)2 dx.
4.7.37. Áp dụng đẳng thức Parseval cho hàm f (x) = x trên [0,2pi] (xem 4.6.2), chứng tỏ
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
.
4.7.38. Tìm khai triển Fourier của hàm
f (x) =
{
x2, 0 ≤ x ≤ pi,
(x−2pi)2, pi ≤ x ≤ 2pi.
Áp dụng đẳng thức Parseval, chứng tỏ
∞∑
n=1
1
n4
=
pi4
90
.
4.7.39. * Cho H và K là hai không gian Hilbert trên cùng một trường F. Giả sử T : H→ K là một
ánh xạ tuyến tính liên tục. Với y ∈ K , đặt với mỗi x ∈ H:
f (x) = 〈T x,y〉 .
(a) Chứng tỏ f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H.
(b) Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, chứng tỏ tồn tại duy nhất một phần tử của K , đặt là T∗y,
thỏa
∀x ∈ H, f (x) = 〈x,T∗y〉 .
(c) Chứng tỏ T∗ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ K vào H. Toán tử T∗, được xác định bởi tính
chất
〈T x,y〉 = 〈x,T∗y〉 ,∀x ∈ H,∀y ∈ K,
được gọi là toán tử liên hợp của T .
4.7.40. * Đây là một kết quả về tính toán chuẩn của ánh xạ tuyến tính trên Rn. Cho T : Rn → Rn
tuyến tính. Gọi T∗ là toán tử liên hợp của T , được định nghĩa bởi
〈T x,y〉 = 〈x,T∗y〉
với tích vô hướng Euclid.
(a) Chứng tỏ ma trận biểu diễn [T∗] là ma trận liên hợp của ma trận [T].
(b) Chứng tỏ ánh xạ tuyến tính T∗T có n giá trị riêng thực không âm.
(c) Chứng tỏ tồn tại một cơ sở trực chuẩn {ei | 1 ≤ i ≤ n} gồm các vectơ riêng ei ứng với trị riêng
λi của T∗T . Hãy kiểm rằng với chuẩn Euclid ‖·‖2 thì
‖T x‖22 = 〈T∗T x,x〉 =
〈
n∑
i=1
xi(T∗T)(ei),
n∑
i=1
xiei
〉
=
n∑
i=1
λi x2i ≤ max
i
λi ‖x‖22 .
(d) Hãy kiểm rằng ‖T ‖ = √max1≤i≤n λi trong đó λi là các giá trị riêng của T∗T .
66 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT
67
68 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT
Hướng dẫn học tiếp
Bên cạnh những khảo cứu chuyên sâu hơn các đề tài đã xuất hiện trong môn học này, Giải
tích hàm còn nhiều đề tài lớn chưa xuất hiện ở đây như các định lý Baire, định lý Banach-
Steinhaus, trị riêng và phổ của toán tử, không gian đối ngẫu, đại số toán tử. Người đọc có
thể xem qua những tài liệu nâng cao hơn như [2], [3], [5], [8], [10].
Dưới đây là danh sách một số môn học và lĩnh vực sử dụng và phát triển các nội dung
của môn Giải tích hàm:
• Giải tích hàm phi tuyến.
• Giải tích thực: không gian Lp, không gian Sobolev.
• Phương trình đạo hàm riêng: nghiệm suy rộng . . . Các phương trình đạo hàm riêng
được sử dụng rất rộng rãi để mô hình hóa các hiện tượng vật lí và xã hội.
• Giải tích số: lí thuyết xấp xỉ, phương pháp Garlekin, phương pháp phần tử hữu hạn để
giải xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng.
• Tối ưu hóa: qui hoạch phi tuyến.
• Xử lí tín hiệu số trong Tin học.
Gợi ý cho một số bài tập
2.8.15 Không gian định chuẩn là liên thông nên tập vừa đóng vừa mở phải là ∅ hoặc cả không gian.
2.8.24 Dùng tính cộng tính đếm được của độ đo.
2.8.20 Đổi biến u = 1+ enx và viết 1(u−1)u =
1
u−1 − 1u .
2.8.26 Dùng bất đẳng thức Cauchy.
3.8.7 Dùng bất đẳng thức Ho¨lder.
3.8.12 Dùng định lý Ascoli.
3.8.13 Dùng 3.8.3
3.8.14 Tham khảo mục 3.5.
3.8.22 Áp dụng định lý Hahn-Banach cho không gian sinh bởi vectơ y− x và phiếm hàm tuyến tính
f định nghĩa trên đó sao cho f (y− x) , 0.
3.8.23 Áp dụng định lý Hahn-Banach cho không gian sinh bởi vectơ x và phiếm hàm tuyến tính f
định nghĩa trên đó sao cho f (x) = ‖x‖.
3.8.25 Áp dụng định lý Hahn-Banach cho không gian sinh bởi M và x và phiếm hàm tuyến tính f
định nghĩa trên đó sao cho f (M) = {0}, f (x) , 0. Để thấy tính liên tục của f , dùng 3.8.21,
hoặc chứng minh trực tiếp giống phần đầu của chứng minh của định lý Hahn-Banach. Vấn đề
liên tục của f tương đương với việc tồn tại số thực α > 0 sao cho ∀y ∈ M, ‖x− y‖ > α, tức
là đồng nghĩa với d(x,M) = inf{d(x,y) | y ∈ M} > 0, và đồng nghĩa với x không phải là một
điểm dính của M .
3.8.26 Dùng 3.8.23.
3.8.21 Giả sử Λx , 0. Giả sử kerΛ là đóng. Theo bài 3.8.20 thì X = kerΛ+ 〈x〉. Để thấy tính liên tục
của Λ làm tương tự phần đầu của chứng minh của định lý Hahn-Banach. So sánh bài 3.8.25.
4.7.8 Dùng đẳng thức hình bình hành.
4.7.12 Dùng 4.3.5, hoặc dùng ý trong chứng minh của 4.3.1.
4.7.19 Các chuẩn trên Rn đều tương đương.
4.7.18 Phiếm hàm cho bởi tích trong.
4.7.35 (a) 12 +
2
pi
∑∞
k=0(−1)k+1 12k+1 cos(2k +1)x.
69
70 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Đình Áng, Nhập môn Giải tích, NXB Giáo dục, 1997.
[2] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations,
Springer, 2011. Giáo trình cho bậc sau đại học.
[3] John B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990.
[4] Dương Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1 (Toán vi tích phân A1), NXB Thống
kê, Tp. Hồ Chí Minh, 2006.
[5] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2005.
[6] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo và tích phân, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí
Minh, 2006.
[7] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Introductory real analysis, Dover, 1975. Dành cho
bậc đại học. Có bản dịch tiếng Việt.
[8] Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis and applications, John Wiley and
sons, 1978. Tương đối dễ hiểu cho bậc đại học, gần với giáo trình này.
[9] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997. Có phần về không gian
định chuẩn. Kiến thức giải tích bậc đại học.
[10] Peter D. Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience, 2002. Sách tham khảo cho trình
độ sau đại học.
[11] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1986.
[12] Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton Uni-
versity Press, 2002.
[13] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo và xác suất, NXB Đại Học Quốc
Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2015.
[14] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giải tích
hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[15] Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình Giải tích 2, NXB
Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[16] Hoàng Tụy, Hàm thực & Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
[17] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Sci-
ence, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching.
71
Chỉ mục
E∗, 39
L(E,F), 36
ánh xạ co, 12
ánh xạ tuyến tính bị chặn, 36
bao đóng, 8
bất đẳng thức Bessel, 55
bất đẳng thức Ho¨lder, 25
bất đẳng thức Minkowski, 17, 26
bị chặn, 11
bổ đề Zorn, 42
cơ sở tuyến tính, 16
cơ sở vectơ, 16
C, Cn, 16
chiếu, 52
chuẩn, 16
chuẩn Euclid, 17
compắc, 11
dày đặc, 13
dãy Cauchy, 10
dãy hội tụ, 9
đẳng cấu tôpô, 19, 29
đẳng cấu tích trong, 59
đẳng thức Parseval, 58
đầy đủ, 10
điểm, 7
điểm bất động, 13
điểm biên, 9
điểm dính, 8
điểm trong, 8
định lí Hahn–Banach, 40
định lý Ascoli, 27
định lý Bolzano-Weierstrass, 11
định lý hội tụ bị chặn, 25
định lý Stone–Weierstrass, 28
đồng liên tục, 27
đồng phôi, 19, 29
độ đo đếm, 24
độ đo Lebesgue, 24
độc lập tuyến tính, 16
giới hạn, 9
hàm đo được, 24
hầu khắp, 25
hệ trực giao, 55
họ trực chuẩn, 55
họ trực chuẩn cực đại, 57
hội tụ yếu, 46
không gian (mêtríc) con, 10
không gian Banach, 17
không gian có khoảng cách, 7
không gian đầy đủ hóa, 13
không gian định chuẩn, 16
không gian định chuẩn con, 17
không gian đo, 23
không gian đối ngẫu, 39
không gian Euclid phức n-chiều, 11
không gian Euclid thực n-chiều, 8
không gian Hilbert, 51
không gian Hilbert tách được, 57
không gian mêtríc, 7
không gian vectơ, 15
không gian vectơ con, 15
không gian vectơ vô hạn chiều, 16
liên tục, 9
liên tục đều, 12
mêtric Euclid, 8
mêtríc, 7
nhân, 46
nhân của toán tử tích phân, 40
phần biên, 9
phần trong, 9
phép đẳng cấu metric, 38
phép đẳng cấu tôpô, 19
phép đẳng cự, 38
phép đồng phôi, 19
phiếm hàm, 39
tập đóng, 8
tập mở, 8
72
CHỈ MỤC 73
tập trực giao, 53
tích phân, 24
tích phân Lebesgue, 24
tích trong, 47
toán tử compắc, 44
toán tử liên hợp, 65
trù mật, 13
vectơ, 15
vuông góc, 49