Giáo trình môn Cơ sở kỹ thuật

..o0o.. 
Giáo Trình 
 Môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
11
Chương 1 SAI SỐ 
Approximate numbers 
 1. 1 Sai số tuyệt đối 
Gọi a là giá trị gần đúng của A, ta viết được A = a a 
 a : gọi là sai số tuyệt đối giới hạn 
1.2 Sai số tương đối a = 
a
a 
 , dạng khác: A = a (1 a) 
Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ “chất lượng“ của 1 số xấp xỉ, chất lượng 
ấy được phản ảnh qua sai số tương đối. 
1.3 Cách viết số xấp xỉ 
+ Chữ số có nghĩa: Đó là chữ số 0 đầu tiên tính từ trái sang phải 
Ví dụ: 002,74 2,74 
 00,0207 0,0207 
+ Chữ số đáng tin: Một số a có thể được viết a = ss10 
 65,807 = 6.101 + 5.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 7.10-3 
Vậy 1 = 6 , 0 =5 , -1 = 8 , -2 =0 , -3 = 7 
Nếu a 0,5.10S thì S là chữ số đáng tin. 
Nếu a 0,5.10S thì S là chữ số đáng nghi. 
Ví dụ: a = 65,8274 ; a = 0,0043 Chữ số 6,5,8,2 đáng tin 
 a = 0,0067 Chữ số 6,5,8 đáng tin 
1.4 Sai số quy tròn: 
 Quy tắc quy tròn 
Chữ số bỏ đi đầu tiên 5: Thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng 1 đơn vị 
Chữ số bỏ đi đầu tiên 5: Để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng 
Ví Dụ: 65,8274 65,827 ; 65,827 65,83 
1.5 Sai số của số đã quy tròn: 
Giả sử quy tròn a thành a’ với sai số quy tròn tuyệt đối a’ 
 a'a a’ thì a’ = a + a’ (tức tăng sai số tuyệt đối) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
12
1.6 Ảnh hưởng của sai số quy tròn : 
 Áp dụng nhị thức Newton, ta có: 22378336312 10 
Bây giờ thay 2 bởi các số quy tròn khác nhau: 
2 Vế trái Vế phải 
1,4 0,0001048576 33,8 
1,41 0,00013422659 10,02 
1,414 0,000147912 0,508 
1,41421 0,00014866394 0,00862 
1,414213563 0,00014867678 0,0001472 
1.7 Các quy tắc tính sai số 
Xét hàm số: u = f(x,y) 
Ta ký hiệu x , y, u : chỉ các số gia của x, y, u 
 dx , dy , du : chỉ các vi phân của x , y, u 
 X , Y, U : sai số tuyệt đối của x, y, u 
 Ta luôn có: 
yy
x X
 Ta phải tìm U để có: Uu 
 Sai số của tổng: u = x + y 
 Ta có u = x + y yxu 
 YXYXu  
 + Nếu u = x – y với x, y cùng dấu: 
 U = 
yxu
YXU
 nếu yx là rất bé thì sai số rất lớn. 
 + Nếu u = x.y u du = ydx + xdy = y x + x y 
 YXUYX xyxyu 
Do đó : U = 
yxu
YXU X + Y 
 + Nếu u = 
y
x
, với y 0, U = X + Y 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
13
Công thức tổng quát: u = f(x1 , x2 , x3, ... , xn) 
 Thì: U = iX
i
n
1i x
f


1.8 Sai số tính toán và sai số phương pháp 
Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản (phương pháp gần 
đúng) tạo ra sai số phương pháp. 
Sai số tạo ra bởi tất cả các lần quy tròn sai số tính toán. 
1.9 Sự ổn định của quá trình tính 
Ta nói quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán, tức là các sai số quy tròn 
tích lũy lại không tăng vô hạn (ta sẽ gặp lại vấn đề này ở phương pháp sai phân). 
Ví dụ: Tìm sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu. 
 V= 3.
6
1
d . 
 Nếu đường kính d=3,7cm 0,05 và =3,14. Biết d =0,05, =0,0016. 
Giải: Xem và d là đối số của hàm V 
 Ta có: dv  3 
 Với:  = 0005,014,3
0016,0
 d = 0135,07,3
05,0
 v = 0,0005+3.0,0135 = 0,04. 
 Mặt khác: V = 3.
6
1
d = 26,5cm3. 
 Vậy có: v = 26,5.0,04 = 1,06 1,1cm3. 
 V = 26,5 1,1 cm3 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
14
Câu hỏi: 
1. Định nghĩa sai số tuyệt đối, sai số tương đối ? Trong thực tế tính toán, người ta 
sử dụng sai số tuyệt đối hay sai số tương đối ? Vì sao ? 
2. Trình bày các quy tắc tính sai số? 
3. Nêu sự khác nhau giữa sai số tính toán và sai số phương pháp? Hãy nêu ra một 
quá trình tính có số liệu cụ thể minh họa và chỉ ra sai số tính toán và sai số 
phương pháp ? 
4. Đưa ra vài ví dụ tính toán, chỉ ra sự cần thiết phải chú ý đến sai số qui tròn ? 
Bài tập: 
1) Hãy xác định chữ số tin tưởng trong các số sau: 
a) x= 0,3941 với x = 0,25.10
-2 
b) y=0,1132 với y = 0,1.10
-3 
c) z=38,2543 với z = 0,27.10
-2 
2) Hãy xác định sai số tuyệt đối, biết sai số tương đối của các số xấp xỉ sau: 
a) x=13267 nếu x =0,1% 
b) x=0,896 nếu y =10% 
3) Hãy qui tròn các số dưới đây để có được 3 chữ số tin tưởng và xác định sai số 
tuyệt đối và sai số tương đối  của chúng: 
a) x=2,1514 
b) y=0,16152 
c) z=1,1225 
d) v=0,01204 
4) Hãy tính thương u=x1/x2 của hai số xấp xỉ: x1=5,735; x2 = 1,23 và xác định sai 
số tương đối giới hạn u , và sai số tuyệt đối giới hạn u 
5) Hãy xác định sai số tương đối giới hạn a , sai số tuyệt đối giới hạn a và số 
chữ số đáng tin của cạnh a của hình vuông, biết diện tích hình vuông 
s=16,45cm2 với s =0,01 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
15
Đáp số: 
1) a) 2; b) 3; c)4 
2) a) x =0,13.10
2 
b) y =0,9.10
-1 
 3) a) 2,15; x =0,14.10
-2; x =0,65.10
-3 
 b) 0,162; y = 0,48.10
-3; y = 0,3.10
-2 
 c) 1,23; z =0,5.10
-2; z =0,41.10
-2 
 d) 0,0120; v = 0,4.10
-4; v =0,33.10
-2 
 4) u=4,66; u 0,0042; u 0,02 
 5) a = x =4,056cm; a 0003,0 ; a 0,0012; a có ba chữ số đáng tin 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXBGD, 1997 
2. Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp số, Đại học Đà Nẵng 1996. 
3. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, NXB KHKT, Hà Nội 1999. 
4. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, NXB KHKT, Hà Nội 2000. 
5. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, 
Boston 1993. 
6. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 
7. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 
8. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Matlab, 
Cambridge University Press, 2005. 
9. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excel, Orchard 
Publications, 2007. 
Website tham khảo: 
The end 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 17 
Chương 2 NỘI SUY 
 (INTERPOLATION) 
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, ta phải tìm các trị yi tại các điểm xi bên trong 
đoạn [a,b], hoặc khi quan hệ giải tích y = f(x) đã có sẳn nhưng phức tạp, hoặc cần tìm 
đạo hàm, tích phân của hàm số,.Khi đó ta dùng phép nội suy để dễ dàng tính toán 
mà vẫn đảm bảo độ chính xác theo yêu cầu của thực tế. 
2.1 Đa thức nội suy Lagrange 
Cho bảng các giá trị x x1 x2 x3 .... . .. xn 
 y y1 y2 y3 ... ...yn 
 Cần lập đa thức: y = f(x) có bậc m n - 1, nhận các giá trị yi cho trước ứng 
với các xi : 
 yi = f(xi), với i = 1, 2, 3,. ...,n 
 Ký hiệu: (x) = (x - x1)(x - x2)... ... (x - xn) 
 Ta có được đẳng thức: 
)xx).......(xx)(xx)(xx(
)x(y
...
)xx)....(xx)(xx)(xx(
(x) y
)xx)...(xx)(xx)(x-(x
(x) y
)x(f
1nn2n1nn
n
n232122
2
n131211
1
Hay: f(x)= 
)xx).(x(
)x(y
kk
'
k
n
1k 

 Đây là đa thức nội suy Lagrange 
Ví dụ: 
 x 0 1 2 3 
 y 3 4 7 8 
 Tìm đa thức nội suy Lagrange và tìm y khi biết x=1,5. 
 Ta có: (x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) 
 = x(x-1)(x-2)(x-3) 
 f(x) = 
3. .( 1).( 2).( 3)
.( 1).( 2).( 3)
x x x x
x
4. .( 1).( 2).( 3)
( 1).1.( 1).( 2)
x x x x
x
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 18 
7. .( 1).( 2).( 3)
( 2).2.1.( 1)
x x x x
x
8. .( 1).( 2).( 3)
( 3).3.2.1
x x x x
x
=-1/2(x-1)(x-2)(x-3)+2x(x-2)(x-3)-7/2x(x-1)(x-3)+4/3x(x-1)(x-2) 
 Tại x=1,5 thế vào f(x) ta có y=5,67. 
2.2 Nội suy Newton 
Giả sử y0 , y1 , y2 , ... là những giá trị nào đó của hàm y = f(x) tương ứng với 
các giá trị cách đều nhau của các đối số x0 , x1 , x2 ...tức là: 
xK + 1 - xK = xK = const 
Ký hiệu: y1 - y0 = y0 ; y2 - y1 = y1 ; ... ... ; yn - yn - 1 = yn - 1 là sai phân cấp 1. 
 y1 - y0 = 
2y0 ; y2 - y1 = 
2y1 ; ..... là sai phân cấp 2. 
 ny1 - 
ny0 = 
n + 1y0 ; 
ny2 - 
ny1 = 
n + 1 y1 ; ..... là sai phân cấp n + 1. 
Tiến hành các phép thế liên tiếp, ta nhận được: 
 ..., 2y0 = y2 - 2y1 + y0 ; 
3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0 ,. 
 
n
K
Kn
K
n
Kn yCy
0
0 )1( 
Tương tự ta cũng nhận được: 
 y1 = y0 + y0 , y2 = y0 + 2 y0 + 
2y0 , y3 = y0 + 3 y0 + 3 
2y0 + 
3y0 , 
 yn = y0 + n y0 + 
!2
)1( nn
 2y0 + ... + 
ny0 (2.1) 
Nếu trong (1) ta xem n không những là chỉ là số nguyên dương mà có thể là số 
n = t bất kỳ, ta nhận được công thức nội suy Newton: 
yt = y0 + 00
3
0
2
0 ...!3
)2)(1(
!2
)1(
!1
yy
ttt
y
tt
y
t t 
 (2.2) 
Do bước tăng x = const, ta được xn = x0 + nh, suy ra n = h
xxn 0 
 Đặt x = x0 + t.h, suy ra t = h
xx 0 , thế vào (2.2), ta có được dạng khác của (2.1) 
 yn = y0 + ....y
h!2
)hxx)(xx(
y
h
xx
0
2
2
00
0
0 
 (2.3) 
Vídụ: x 1 2 3 4 
 y 5 7 10 12 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 19 
Tìm hàm nội suy Newton. 
Giải: Ta có: Sai phân cấp 1 0y y1 - y0 =7-5=2 
 Sai phân cấp 2 2 0y = y2 – 2y1 +y0 = 10-2.7+5=1 
 Sai phân cấp 3: 3 0y = y3 - 3y2 +3y1 - y0 = 12-3.10+3.7-5 =-2 
 1x h 
 yn = y0 + 
2 30 0 0 0 0
0 0 02 3
( )( ) ( )( 2 )
2! 3!
x x x x x x h x x x x h
y y y
h h h
 = 5 + 32 3
1 ( 1)( 1 1) ( 1)( 1 2.1)
.2 .1 ( 2)
1 2!1 3!1
x x x x x 
 = - 3 21 5 19 6
3 2 6
x x x 
2.3 Nội suy SPLINE 
 Phương pháp Spline nội suy bằng cách gắn một số đa thức bậc thấp với nhau; ở 
đây chỉ nghiên cứu nội suy Spline bậc 3, vì thường đáp ứng yêu cầu trong nhiều bài 
toán thực tế. 
Hình vẽ bên chỉ ra nội suy 4 điểm bằng cách dùng 3 hàm bậc 3(cubic) f1(x), 
f2(x), f3(x). Tổng quát nếu có (n + 1) điểm, ta cần n hàm Spline bậc 3 dạng: 
 fi(x) = A1i + A2i x + A3i x
2 + A4i x
3 , i = 1,2,3, . . . , n 
Có 4n hệ số Aji có thể xác định theo các điều kiện sau: 
(i) Hàm Cubic phải gặp tất cả các điểm ở bên trong: có được 2n phương trình 
f1(x)
f2(x)
f 3(x) 
x0 x1 x2 x3
y 0
y1
y 2 
y3
x
y
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 20 
fi(xi) = yi , i = 1, . . . n ; fi + 1(xi) = yi , i = 0,1, . . . n - 1 
(ii) Đạo hàm bậc 1 phải liên tục tại các điểm bên trong, dẫn đến được (n – 1) 
 phương trình: 
 f’i(xi) = f’i + 1(xi), i = 1, 2,. . . ,n - 1 
(iii) Đạo hàm bậc 2 cũng phải liên tục tại các điểm bên trong, thêm được (n – 1) 
phương trình nữa: 
f”i(xi) = f
”
i + 1(xi), i = 1,2, . . ., n-1 
(iv) Hai điều kiện cuối cùng dựa vào 2 điểm cuối của đường Spline, ở đây thường 
đặt f”1(x0) = 0 và f”n(xn) = 0. 
Sắp xếp lại hàm fi(x), ta chỉ cần (n-1) phương trình cần thiết để giải, có dạng: 
y = fi(x) = 
 111
3
1
3
1
6
)("
6
)("
6
))(("
6
))(("
 i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
ii xx
xxf
x
y
xx
xxf
x
y
x
xxxf
x
xxxf
 Với xi = xi - xi – 1, với i = 1,2,.,n (dạng sai phân lùi). 
Đạo hàm phương trình này và áp dụng điều kiện liên tục về đạo hàm bậc nhất ta 
được: 
 xif”(xi - 1) + 2( xi + xi + 1).f”(xi) + xi + 1. f”(xi + 1) = 6 
1i
1i
i
i
x
y
x
y 
Với yi = yi – yi-1, với i = 1,2, . . . .n - 1 
Điều này tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ẩn là đạo hàm bậc 2 
tại các điểm bên trong của đường cong nội suy: 






 )x(f
)x(f
)x(f
.
)xx(200
0)xx(2x0
0x)xx(2x
00x)xx(2
1n
"
2
"
1
"
n1n
433
3322
221





6.



n
n
1n
1n
3
3
2
2
2
2
1
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 21 
Giải hệ đại tuyến nầy ta tìm được f”(xi), với i = 1,2, . . . , n-1 cộng với hai điều 
kiện biên 2 đầu: 
 f”(x0) = f”(xn) = 0, đường cong nội suy sẽ hoàn toàn xác định. 
Ví dụ: x 1 2 2,2 3 4 
 y 5 7 ? 10 12 
 Tìm y=f(x) theo phương pháp nội suy spline bậc 3 và tính y (x = 2,2) = ? 
Giải: 
Ta có 1 2 3 1x x x 
 1 2 32; 3; 2y y y 
''
1
''
2
( )2(1 1)1
. 6
1 2(1 1) ( )
f x
f x
  
 
 
.
2 3
1 1
3 2
1 1
  
 
 
" "
1 2
" "
1 2
4 ( ) ( ) 6
( ) 4 ( ) 6
f x f x
f x f x
"
1
"
2
( ) 2
( ) 2
f x
f x
y = f(x) = y = fi(x) = 
 122
2
2
2
21
2
1
2
3
12
2
3
21
6
)("
6
)("
6
))(("
6
))(("
xx
xxf
x
y
xx
xxf
x
y
x
xxxf
x
xxxf
 2
6
1).2(
1
10
3
6
1.2
1
7
1.6
)2)(2(
1.6
)3(2 33
 xx
xx
3
231
3
320
3
)2(
3
)3( 33 
xxxx
Thay vào ta được, tại x=2,2 y = 7,568 
2.4 Phương pháp bình phương cực tiểu (Least squares method) 
Giả sử có hai đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau, theo một dạng đã 
biết: y = a+b.x, hay y = a+b.x+c.x2, hay y = a.ebx,.... 
Nhưng chưa biết giá trị các tham số a, b, c. Muốn xác định chúng, người ta tìm 
cách có được bằng thí nghiệm, đo đạc,... một số cặp (xi, yi) rồi áp dụng phương pháp 
bình phương cực tiểu. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 22 
 Trường hợp y = a + bx + cx2 
Ta có: yi- a- bxi –cxi
2 = i , với i =1,2,..,n ở đây i sai số tại xi. 
Do đó S = 22 )( iii cxbxay  là tổng các bình phương của các sai số. 
S phụ thuộc a và b, còn xi, yi ta đã biết rồi. 
Mục đích của phương pháp bình phương cực tiểu là xác định a, b và c sao cho 
sai số nhỏ nhất: S Smin. 
Như vậy: 0
a
S


, 0 


b
S và 0 


c
S 
Ta có được hệ phương trình: 
   
   
   
iiiii
iiiii
iii
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yxcxbna
i
2432
32
2
 Giải hệ này tìm được a, b, c. 
Ví dụ: 
 x 0,7 1,5 2,3 3,1 3,8 
 y 2,5 1,2 1,7 2,4 4,3 
 Lập công thức nghiệm y dạng y = a + bx + cx2. 
Giải : 
 Lập bảng 
i x y xo x1 x2 x3 x4 Tk 
0 0.7 2.5 1 0.7 0.49 0.34 0.24 11.60 
1 1.5 1.2 1 1.5 2.25 3.38 5.06 30.09 
2 2.3 1.2 1 2.3 5.29 12.17 27.98 95.43 
3 3.1 2.4 1 3.1 9.61 29.79 92.35 
4 3.8 4.3 1 3.8 14.44 54.87 208.51 
S 5.00 11.40 32.08 100.55 334.15 
43.9515.33455.10008.32
4.3055.10008.324.11
6.1108.324,115
cba
cba
cba
  
98,0
8,3
7,4
c
b
a
Ta được y = 0,98x2 – 3,8x + 4,7. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 23 
Câu hỏi: 
1. Ưu nhược điểm của các phương pháp nội suy Lagrange, Newton, Spline ? 
2. Hãy chỉ ra những trường hợp cụ thể và cách chọn phương pháp nội suy nào 
thích hợp nhất ? 
3. Phương pháp bình phương cực tiểu thường được áp dụng khi nào ? Tại sao 
người ta nói phương pháp nầy mang tính chủ quan của người sử dụng tính toán? 
Một cách chính xác có gọi phương pháp nầy là nội suy được không ? 
Bài tập: 
Nội suy Lagrange 
1) Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y=f(x) cho dưới dang bảng sau 
x 0 2 3 5 
y 1 3 2 5 
2) Cho bảng giá trị của hàm số y=f(x) 
 x 321,0 322,8 324,2 325,0 
y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 
 Tính gần đúng f(323,5) b ... phân. 
Cộng thêm các điều kiện ràng buộc cho trước trên biên (u=0,  = s) 
Trong “Phương pháp sai phân”, sử dụng phương trình cân bằng theo cách này 
(để giải người ta chuyển dạng VI PHÂN về dạng SAI PHÂN) 
 Cách thứ 2: “ Nguyên lý biến phân - cực tiểu phiếm hàm “ 
Dùng lý thuyết biến phân để xây dựng phương trình cân bằng cho cả vùng (V), kể 
cả biên (S), gọi: Phương trình tích phân và tìm cực tiểu phiếm hàm ở dạng tích phân này 
d = 0; đây chính là ”Phương pháp cân bằng”. Giải phương trình này sẽ cho ta lời đáp số 
của bài toán. 
Trong kết cấu hàm  gọi thế năng và ở đây sử dụng biến phân về chuyển vị. 
(V)
O 
dx2 
x2 
x 1
(S)
dx1
  1+d 1
  2+d 2
  2 
  1
  12
I 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
109
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: 
Chuyển vị - biến dạng và ứng suất trong phần tử 
Ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử 
Ta có: {u}e = [N]{q}e (8.29) 
 với {q}e chuyển vị nút phần tử. 
Từ liên hệ giữa chuyển vị {u}e và biến dạng {}e ta có: 
 {}e = [ eee }q]{B[}q]{N][[}u]{   (8.30) 
 trong đó: [B]=[ ][N] 
Khi vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: 
 {}e = [D]({}e-{ 
0}e)+{
0}e (8.31) 
Trong đó : {0}e, { o }e là ứng suất và biến dạng ban đầu của phần tử. 
Mang (8.30) vào (8.31) được: {}e = [D][B]{q}e - [D]{ o }e+{
0}e (8.32) 
Hay: {}e = [T]{q }e - [D]{ o }e+{
0}e (8.33) 
Trong đó: [T] = [D][B] gọi là ma trận tính ứng suất phần tử. 
 Từ (8.29), (8.30), (8.32) cho ta biểu diễn chuyển vị, biến dạng và ứng suất 
trong phần tử theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e. 
Thế năng toàn phần của phần tử: 
 dV}.{}{
2
1
)}u({ e
T
e
V
ee
e
  - dV}u{}g{ eT
Ve
 - dS}u.{}P{ e
T
Se
 (8.34) 
Thế (1), (2), (5) vào (6) được: 
dVqBDBqq e
TT
e
V
ee
e
}]).{][[]([}{
2
1
)}({  - 
( dV}u{}g{ e
T
Ve
 + dSuP e
T
Se
}{}{ . + dVBDTeo
Ve
])][.[}{
2
1
 - eTeo
V
qdVB
e
}){..}{
2
1
 
Hay: )}({ ee q = e
T
eee
T
e PqqKq }.{}{}{][}{2
1
 (8.35) 
Trong đó: [K]e = dV]B][D[]B[
eV
T gọi là ma trận phần tử (8.36) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
110
dV}g{]N[}P{ e
V
T
e
e
 + dS}P{}N{ e
T
Se
 + dVDB eoT
Ve
)}].{].[[
2
1
 - dVB eoT
Ve
}.{][
2
1
 
 {P} gọi là vectơ tải phần tử. 
Trong đó: {g} là lực khối, {P}tải trọng bề mặt. 
GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ 
 VECTƠ TẢI TỔNG THỂ 
 Miền V được chia thành ne phần tử (miền con Ve ) bởi R điểm nút. Tại 1 nút có 
S bậc tự do, thì số bậc tự do cả hệ: n = R.S 
 Gọi { q } là vectơ chuyển vị nút tổng thể. Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số 
bậc tự do của mỗi phần tử là: ne = r.S. 
 Ta có liên hệ: {q}e = [L]e . { q } (8.37) 
 (ne.1) (ne.n ) (n.1) 
với [L]e gọi là ma trận định vị. 
Sử dụng (8.37) và (8.35) ta có thế năng toàn phần của hệ: 
 ]}q{]L.[}P{}q{]L[]K.[]L[}q{
2
1
[ Te
T
eee
T
e
T
ne
1e
ne
1e
e  
 (8.38) 
 Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange) ta sẽ có điều 
kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút: 
0
q
.
.
0
q
0
q
0
n
2
1






  hay ở dạng ma trận: 0
}{


q
Và ta có: 
}q{

 = [ ee
T
e
ne
1e
]L[]K.[]L[
].{ q } - .]L[ Te
ne
1e

{P}e = {0} 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
111
Viết lại: [
K ]. }0{}P{}q{ 
 (8.39) 
Trong đó: ][K = ee
T
e
ne
e
LKL ].[].[][
1

] gọi là ma trận cứng tổng thể. 
 e
T
e
ne
1e
{P}.]L[}P{ 
 gọi là vectơ tải tổng thể. 
Ghi chú: Việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính [ ]K
 và }P{
, thực chất là sắp xếp các 
phần tử e]K[ , {P}e vào vị trí của nó trong [ ]K
 và }P{
. Tuy nhiên trong thực hành ta 
không dùng cách này. 
Phép chuyển trục tọa độ 
Ở trên đây đã xây dựng [N], [Ke], {P}e trong hệ tọa độ thích hợp của mỗi phần tử, 
gọi là hệ tọa độ địa phương (và do đó các bậc tự do của phần tử cũng lấy theo hệ tọa độ 
này). 
Tuy nhiên trong thực tế, thường gặp các kết cấu mà các phần tử khác nhau thì có 
các hệ tọa độ địa phương khác nhau và do đó các bậc tự do của phần tử cũng khác nhau 
về phương. 
Do vậy cần thiết có hệ tọa độ chung cho toàn hệ. 
Gọi (x, y, z) là hệ tọa độ địa phương tương ứng {q}e, {P}e, [K]e 
 (x’, y’, z’) là hệ tọa độ tổng thể tương ứng {q’}e, {P’}e, [K’]e 
Ta có quan hệ: {q}e=[T]e{q’}e (8.40) 
 {P}e=[T]e.{P’}e (8.41) 
[T]e là ma trận biến đổi tọa độ từ (x’, y’, z’) về ( x, y, z). 
Mặt khác: ∏e=
2
1 {q}Te[K]e {q}e - {P}
T
e{q’}e. Thế (8.40) vào đây ta được: 
 ∏e=
2
1 {q’}Te[T]
T
e[K]e[T]e {q’}e - {P}
T
e[T]e {q’}e (8.42) 
 hay ∏e=
2
1 {q’}Te[K’]e{q’}e - {P’}
T
e[T]e {q’}e 
Trong đó: [K’]e=[T]
T
e[K]e[T]e và {P’}e=[T]e {P}e (8.43) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
112
So sánh (8.41) và (8.43) ta thấy [T]Te [T]e =[E]: Ma trận đơn vị 
Khi Te là ma trận vuông thì Te
T = Te
-1, Te là ma trận trực giao 
Tương tự khi áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dùng cho toàn hệ ta được : 
 






 ''' PqK , trong đó:    
ne
e
eKK
1
'' trong hệ tọa độ ( ),, ''' zyx (8.44) 
  
n
ne
e
e PPP






 '
1
'' (8.45) 
Ở đây số hạng thứ 2: 
n
P



 ' trong (8.45) là véc tơ tải trọng tập trung đặt tại các nút 
tác dụng theo các phương tương ứng của các thành phần trong véc tơ chuyển vị nút kết 
cấu {q’}e, gọi véc tơ tải trọng nút. 
Ghép nối phần tử hay sử dụng ma trận chỉ số để xây dựng 
Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể 
Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử thuộc qe trong đó q (hoặc qe 
trong q ). Người ta lập ma trận chỉ số b (còn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà giá trị 
của mỗi thành phần bij chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ 
i. Ma trận chỉ số b có số hàng bằng số phần tử của hệ, số cột bằng số bậc tự do của một 
phần tử. 
Ví dụ : 
q 1 q 3 q 5 q7 
q 2 q 4 q 6 q 8 
1 2 3 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
113
K1,3
(2) gộp thêm => 5,323,21 K)bb(K  
K2,4
(3) gộp thêm => 8,634,32 K)bb(K  
Mỗi thành phần 
e
ijK của ma trận phần tử [K]e sẽ phải gộp thêm vào phần tử 
n,mK của ma trận tổng thể [
K ] với m = bei, n = bej (nhớ là bei, bej là các giá trị của phần tử 
hàng e, cột i và hàng e cột j) của ma trận [b] 
q 1 
q 2 
q 3 
q 4 
e 
i j 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
114
Ví dụ: Tính toán hệ thanh 
1. Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục 
Đi biểu diễn chuyển vị dọc thanh: 
 U(x) = [N].{q}e 
trong đó: {q}e = 
ej
i
ej
i
u
u
q
q







Chọn hàm chuyển vị có dạng bậc nhất: 
 [N] = [N1 N2] = [(1-
L
x ) 
L
x ], 
với biến dạng và ứng suất chỉ có theo 
phương trục ox: 
 
 
}{}{
}{}{
x
x 
Ký hiệu: 
 
dx
d
][ , 
 [D] = [E] => x = E.x 
với E - modun đàn hồi Young của vật liệu 
D- là ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: [] = [D].{} 
Ta có: [B] = [ ].[N] = ]11[
L
1
L
1
L
1
L
x
)
L
x
1(.
dx
d
 [K]e = 
 11
11
.
L
EF
dx.F].11[
L
1
.E.
1
1
L
1
dV].B].[D.[]B[
Ve
L
0
T 
Trong trường hợp chỉ có lực phân bố dọc trục p(x) = q, vectơ tải được tính: 



 1
1
2
a.q
1
1
2
L.q
dx.q.
L
x
)
L
x
1(
dx).x(p.
L
x
)
L
x
1(
dx)}.x(p.{]N[}{P
L
0
L
o
L
0
T
e 
Ma trận tổng thể (có được khi cộng hai phần tử thanh): 
y
x 
EF
L = a
L = a
q 
q3
q2
q1
1
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
115
1sym
1)11(
11
a
EF
]K[ = 
1sym
12
11
a
EF
Vectơ tải trọng nút: 






0
0
R
P
n
, 
Vectơ tải tổng thể: 












2
qa
qa
R
2
qa
0
0
R
1
11
1
2
qa
P 
Ta có hệ phương trình: 






 PqK được tính cụ thể như sau: 






2
qa
qa
)R
2
qa
(
q
q
q
1sym
12
011
a
EF
3
2
1
Điều kiện biên chuyển vị: 0q1 
Giải hệ này ta được: 
EF
qa
2
4
q
EF
qa
.
2
3
q
2
3
2
2
Xác định nội lực: 
dx/dux  
constE xx   , 
FEM
Chính xác 
3qa2/2EF 
4qa2/2EF 
2qa
3qa/2 
Chính xác 
FEM
N
u
qa/2 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
116
 lực dọc: 
 Nc = F.x = E.F.x 
N1 = EF. 2
qa3
EF
qa
2
3
0
.
a
1
a
1
EF
dx
du 2
1
 


N2 =EF. 2
qa
EF
qa
2
4
EF2
qa3
.
a
1
a
1
EF
dx
du
2
2
2



2. Phần tử thanh trong dàn phẳng 
Trong dàn phẳng xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh dàn là một phần tử 
chiụ biến dạng dọc trục: 
 q1 = q
’
2i-1lij + q
’
2i-1mij 
 q2 = q
’
2j-1lij + q
’
2j-1mij 
Trong đó: lij, mij là cosine chỉ phương của trục phần tử (trục x) đối với hệ trục tổng 
thể x’o’y’. 
Ta có: {q}e  Te21
T
e21 q,qu,u  
 {q
’}e  TjjiiTjjii qqqqvuvu 2'12'2'12''''' ,,,,,,  
nên: {q}e =[T]e.{q
’}e trong đó ma trận chuyển trục, 
y'
o x'
x
y
e
q'2i-1 = ui'
vi' i=ri'i
u1 =q1
vi'i=q'2j
u2 =q2
uj'j=q'2j-1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
117
 [T]e= 
ijij
ijij
ml00
00ml
Vậy ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể: 
[K’]e =[T]
T
e .[K]e.[T] = 
ij
ij
ij
ij
m0
l0
0m
0l
11
11
L
EF
ijij
ijij
ml00
00ml
Cuối cùng: 
 [K’]e = 
L
EF
2
ij
ijij
2
ij
2
ijijij
2
ij
ijij
2
ijijij
2
ij
msym
mll
mmlm
mllmll
Chú ý: 
 lij = cos(x,x
’ ) =
L
xx 'i
'
j 
 mij = cos(x,y
’ ) =
L
yy 'i
'
j 
Với: L = 2i'j'2i'j' )yy()xx( 
Theo hình vẽ: 
 lij = cos ( ), mij=sin( ) 
Nên [T]e = 
sincos00
00sincos
Nội lực thanh dàn: ex }q]{B[  , xx E  , N = x.F = EF.[B].{q}e 
Nên Ne= EF e
'
e }q{]T][B[ = e
''
e }q]{S[ với: ]S[
'
e =EF[B][Te]; 
 ]S[ 'e = EF. 
L
1
L
1
. 
ijij
ijij
ml00
00ml
=  ijijijij mlmlL
EF
e 
o x'
y'
x
y
x'i x'j 
y'i
y'j
i
j 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
118
 ]S[ 'e =   sincossincosL
EF
KHUNG PHẲNG 
Ta có vectơ chuyển vị nút phần tử: 
   Te4321
T
e2211
e qqqqvvq  
Với góc xoay: 
dx
dv
  
Quan hệ giữa chuyển vị dọc trục u và độ võng v là: 
o Z
y 
x
y
x
v1 ≡q1 
1 
1≡ q2 L,EJ
2 
2≡q4
v2 ≡q3 
y
B
A 
y
X
u=-y.dv/dx 
v
A 
B'
dv/dx 
dv/dx y
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
119
 U = -y.
dx
dv
Trong đó y là khoảng cách từ điểm xét tới trục trung hòa. 
Khi đó biến dạng dọc trục: 
2
2
x dx
vd
.y
dx
du
  , với: v = [N].{q}e 
Với: [N] là ma trận hàm dạng 
 [N] = [N1 N2 N3 N4] 
Với: N1(x) = 1-3 3
3
2
2
L
x
2
L
x
 , N2(x) = x.(1-2 2
2
L
x
L
x
 ) 
 N3(x) = 3. 3
3
2
2
L
x
2
L
x
 , N4(x) = x.( )
L
x
L
x
2
2
Viết lại: ee2
2
x }q]{B[}q{dx
Nd
.y  , trong đó: [B] = -y ]N[
dx
d
2
2
Hay: [B] = -y 
)
L
x6
L
2
)(
L
x12
L
6
)(
L
x
6
L
4
)(
L
x
12
L
6
(
232232
Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn: xx .E   , biểu diễn dạng ma trận: 
{} = [D].{ } , ở đây: [D] = [E] 
Ma trận phần tử của dầm chịu uốn: [K]e = dX.dF]B[]B[EdV]B][D[]B[
Ve LF
TT 
Tính cụ thể được: 
[K]e = 
2
22
3
4
612
264
612612
Lsym
L
LLL
LL
L
EJ Z 
với Jz = 
F
2dFy : Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục z. 
Vectơ tải {P}e tính theo công thức: 
{P}e= i
T
Mi
L
na
1i
nM
1i
i
T
Qi
T M.)]x(
dx
dN
[Q.)]x(N[dx)x(q]N[  
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
120
Với q(x): tải trọng phân bố; Qi : Lực tập trung (có hoành độ xQi), Mi : Mômen tập 
trung có hoành độ xMi, nQ, nM số lực tập trung và số mômen tập trung. 
{P}e = 






L
2
2
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
4
3
2
1
12
qL
2
qL
12
qL
2
qL
qdx
L
x
L
x
L
x2
L
x3
L
x
L
x2
x
L
x
2
L
x3
1
P
P
P
P
{P}e=



2
3
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
T
4
3
2
1
L
a
L
a
L
a2
L
a3
L
a
L
a2
a
L
a2
L
a3
1
.QQ.)]a(N[
P
P
P
P
Mômen uốn: 
M = EJ. e2
2
2
2
}q]{N[
dx
d
EJ
dx
vd
e
'' }q]{N[EJM 
Với: 
 
  ]NNNN[N
]N[
dx
d
N
4
''
3
''
2
''
1
'',,
2
2
,,
Gọi {M}e=



)2(
)1(
nuttaiM
nuttaiM
 là mômen uốn tại đầu nút phần tử {M}e=



2
1
M
M
o
x
Y
P3 
P4 
P1 
P2 
Q
Có lực tập trung Q 
 đặt ở toạ độ xQ = a 
a
L
L 
P1
P2
i
Y
P4
P3
xj
Lực phân bố
q
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
121
 
  eee
ee
qSM
q
LxN
xN
EM
}{][
}.{
)(
)0(
J.
''
''
Vậy: [S]e=EJ 
22
22
3"
"
L4L6L2L6
L2L6L4L6
L
EJ
)]L(N[
)]0(N[
Câu hỏi: 
1. Trong trường hợp nào hàm dạng đồng nhất với hàm nội suy ? 
2. Nêu đặc tính của hàm dạng? 
3. Trong phương pháp PTHH bước quan trọng nhất là thiết lập phương trình phần tử 
(hay còn gọi tính ma trận phần tử), vì sao? 
4. Tại sao trong thực hành lập trình tính toán, người ta không sử dụng ma trận định vị để 
thiết lập ma trận tổng thể? 
Bài tập 
Bài 1: 
Hãy trình bày phương pháp Phần tử hữu hạn Galerkin tổng quát và áp dụng cho bài 
toán một chiều (one dimension 1D) nào đó, do em tự chọn, có số phần tử ne = 3 ÷ 7, tự 
cho các phương trình ma trận phần tử (element matrix equations) [K]e.{X}={c}e . Hãy 
thiết lập hệ phương trình ma trận cho toàn hệ:  [K]e.{X} =  {c}e 
Bài 2: 
Giải phương trình )(
2
2
xf
dx
Td
 với chiều dài thanh l = 10cm với điều kiện biên 
T(0,t) = 50, T(10,t) = 100 và hàm phân bố nhiệt độ f(x) = 20, theo phương pháp phần tử 
hữu hạn Galerkin. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 
122
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp số, Đại học Đà Nẵng 1996. 
2. Nguyễn Thế Hùng, Phương pháp phần tử hữu hạn trong chất lỏng, NXB Xây 
Dựng, Hà Nội 2004. 
3. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 
4. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 
5. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Matlab, 
Cambridge University Press, 2005. 
6. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excel, Orchard 
Publications, 2007. 
Website tham khảo: 
The end 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -