Giáo trình Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính - Chương 3: Bài toán đối ngẫu

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
70 
CHƯƠNG III 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 Chương này trình bày trình bày khái niệm đối ngẫu, các quy tắc đối ngẫu và 
giải thuật đối ngẫu. Đây là các kiến thức có giá trị trong ứng dụng vì nhờ đó có thể 
giải một quy hoạch tuyến tính từ quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó. 
 Nội dung chi tiết của chương này bao gồm : 
I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU 
 1- Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 
 2- Định nghĩa đối ngẫu trong trường hợp tổng quát 
 3- Các định lý về sự đối ngẫu 
 a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu ) 
 b- Định lý 2 
 c- Định lý 3 
 d- Định lý 4 ( sự đối ngẫu) 
 e- Định lý 5 (tính bổ sung ) 
II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
71 
CHƯƠNG III 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU 
 Đối ngẫu là một khái niệm cơ bản của việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính 
vì lý thuyết đối ngẫu dẫn đến một kết quả có tầm quan trọng về mặt lý thuyết và cả 
mặt thực hành. 
 1- Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 
Xét một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
xcz(x) min T
 Giả sử rằng x* là phương án tối ưu cần tìm của bài toán và x0 là một phương 
án của bài toán thì một cận trên của giá trị mục tiêu tối ưu được xác định vì : 
 cTx* ≤ cTx0
 Tuy chưa tìm được phương án tối ưu x* nhưng nếu biết thêm được một cận 
dưới của giá trị mục tiêu tối ưu thì ta đã giới hạn được phần nào giá trị mục tiêu tối 
ưu. Người ta ước lượng cận dưới này theo cách như sau : 
 Với mỗi vectơ xT = [x1 x2 ... xn] ≥ 0 thuộc Rn chưa thoả ràng buộc của bài 
toán, tức là 
 b – Ax ≠ 0 
người ta nới lỏng bài toán trên thành bài toán nới lỏng : 
 min L(x,y) = cTx + yT(b - Ax) 
 x ≥ 0 
 yT = [ y1 y2 ... ym] tuỳ ý ∈ Rm
 Gọi g(y) là giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán nới lỏng, ta có : 
 g(y) = min { cTx + yT(b - Ax) } (x ≥ 0) 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
72 
 ≤ cTx + yT(b - Ax) 
 Trong trường hợp x là phương án của bài toán ban đầu, tức là : 
 b - Ax = 0 
thì 
 g(y) ≤ cTx 
Vậy g(y) là một cận dưới của giá trị mục tiêu bất kỳ nên cũng là cận dưới của 
giá trị mục tiêu tối ưu. 
Một cách tự nhiên là người ta quan tâm đến bài toán tìm cận dưới lớn nhất, đó 
là : 
 max g(y) 
 y tuỳ ý ∈ Rm
Bài toán này được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán ban đầu. Trong phần 
sau người ta sẽ chứng minh giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán đối ngẫu bằng với giá 
trị mục tiêu tối ưu của bài toán gốc ban đầu. 
Người ta đưa bài toán đối ngẫu về dạng dể sử dụng bằng cách tính như sau : 
 g(y) = min { cTx+yT(b - Ax) } (x ≥ 0) 
 = min { cTx + yTb - yTAx } (x ≥ 0) 
 = min { yTb + (cT - yTA)x } (x ≥ 0) 
 = yTb + min { (cT - yTA)x } (x ≥ 0) 
Ta thấy : 
 ⎢⎢⎣
⎡
<−
≥−=−
≥ 0Ayc khi đinh xáckhông
 0Ayc khi 0
x)Ay(c min
TT
TT
)0x(
TT
Vậy ta nhận được : 
 g(y) = yTb với cT - yTA ≥ 0 
Suy ra bài tóan đối ngẫu có dạng : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
≤
=
tùy ý Ry
cAy
byg(y) max
m
TT
T
Hay là : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
73 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
≤
=
tùy ý Ry
cyA
ybg(y) max
m
T
T
 2- Định nghĩa đối ngẫu trong trường hợp quy hoạch tổng quát 
 Trong trường hợp quy hoạch tuyến tính tổng quát, những quy tắc sau đây được 
áp dụng để xây dựng bài toán đối ngẫu : 
- Hàm mục tiêu đối ngẫu : 
 . max ↔ min 
- Biến đối ngẫu : 
 . Mỗi ràng buộc ↔ một biến đối ngẫu 
- Chi phí đối ngẫu và giới hạn ràng buộc : 
 . Chi phí đối ngẫu ↔ giới hạn ràng buộc 
- Ma trận ràng buộc đối ngẫu : 
. Ma trận chuyển vị 
- Chiều của ràng buộc và dấu của biến : 
. Ràng buộc trong bài toán max có dấu ≤ thì biến đối ngẫu 
trong bài toán min có dấu ≥ 0 ( trái chiều ) 
. Ràng buộc trong bài toán max có dấu = thì biến đối ngẫu 
trong bài toán min có dấu tùy ý. 
. Ràng buộc trong bài toán max có dấu ≥ thì biến đối ngẫu 
trong bài toán min có dấu ≤ 0 ( trái chiều ) 
. Biến của bài toán max có dấu ≥ 0 thì ràng buộc đối ngẫu 
trong bài toán min có dấu ≥ ( cùng chiều ) 
. Biến của bài toán max có dấu tùy ý thì ràng buộc đối ngẫu 
trong bài toán min có dấu = . 
. Biến của bài toán max có dấu ≤ 0 thì ràng buộc trong bài toán 
đối ngẫu min có dấu ≤ ( cùng chiều ) 
Xét các ràng buộc dạng ma trận của một bài toán quy hoạch tuyến tính tổng 
quát như sau : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
74 
j
m
i
1
n
j
2
1
mn2m1m
n11211
T
i
 A 
b
...
b
...
b
x
...
x
...
x
x
a......aa
..................
......
..................
a......aa
 a
↑
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
≥
≤
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
→
mj
iniji2i1
1j
a
aaaa
a
Ký hiệu : 
 là dòng thứ i (i=1,2,...,m) Tia
 Aj là cột thứ j (j=1,2,...,n) 
 Khi đó, mối liên hệ giữa hai bài toán đối ngẫu có thể được trình bày như sau : 
z(x) = cTx → min w(y) = yTb → max Ràng buộc / Dấu 
i
T
i bxa = yi tự do 
i
T
i bxa ≤ yi ≤ 0 
i
T
i bxa ≥ yi ≥ 0 
Cùng chiều 
xj ≥ 0 yTAj ≤ cj
xj ≤ 0 yTAj ≥ cj
xj tự do yTAj = cj
Trái chiều 
Ví dụ 
a- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu : 
 (P) 
0x,x
6x22x
4x2x
x1030xz(x)max 
21
21
21
21
≥
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
+=
 (D) 
0y,y
10y2y
30y22y
y64yw(y) min
21
21
21
21
≥
⎩⎨
⎧
≥+
≥+
+=
b- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
75 
0x ,tuy y x ,0x,x
5x2x7x
9x5x23x
7x4x3x32x
6x5xx2x
x2xxxw(x) min
4321
431
321
4321
4321
4321
≤≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−+
=+−
≥−+−
≤+−+
++−=
 (D) 
0y tuy y, y,0y,0y
2y2y45y
1yy5y3y-
1y2y32y
1y7y3y2y
y5y9y76yz(y) max
4321
421
4321
321
4321
4321
≥≥≤
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−−
=+++
−≤−−
≤+++
+++=
(P) 
Ðối với cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) chỉ xảy ra một trong ba trường hợp 
sau : 
- Cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu . 
- Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó chúng đều có phương án tối ưu và 
giá trị hàm mục tiêu đối với hai phương án tối ưu là bằng nhau. 
- Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia thì có phương 
án, khi đó bài toán có phương án không có phương án tối ưu. 
 3- Các định lý về sự đối ngẫu 
 a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu ) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
x cz(x)max 
 )P(
T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
 tùy ý y 
 cyA
y b w(y) min
 )D( T
T
 Nếu x là phương án của bài toán (P) 
 y là phương án của bài toán (D) 
 thì )y(w)x(z ≤ 
nghĩa là giá trị hàm mục tiêu của bài toán max không vượt quá giá trị hàm mục tiêu 
của bài toán đối ngẫu min trên các phương án bất kỳ của mỗi bài toán . 
Chứng minh 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
76 
 x là phương án của (P) nên : bxA = 
 ⇒ )y(wybb yxAy TTT === 
 y là phương án của (D) nên : cyA T ≥ 
 ⇒ TT cAy ≥ 
 ⇒ )x(zxcxAy TT =≥ 
 Vậy )y(w)x(z ≤ 
 Định lý này được phát biểu và chứng minh cho hai bài toán đối ngẫu trong 
trường hợp tổng quát . 
 b- Định lý 2 
Xét hai bài toán đối ngẫu : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
xcz(x)max 
 )P(
T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
 tùy ý y 
 cyA
yb w(y) min
 )D( T
T
 x là phương án khả thi của bài toán (P) 
 y là phương án khả thi của bài toán (D) 
Nếu )y(w)x(z = thì x , y lần lượt là phương án tối ưu tương ứng của (P và 
(D). 
 Chúng minh 
- Nếu x không là phương án tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại một phương án 
x sao cho : 
 )x(z)x(z < 
 ⇒ )x(z)y(w < : điều này mâu thuẩn với định lý 1. 
- Nếu y không là phương án tối ưu của bài toán (D) thì tồn tại một phương án 
y sao cho : 
 )y(w)y(w < 
 ⇒ )x(z)y(w < : điều này mâu thuẩn với định lý 1. 
 Vậy x và y lần lượt là phương án tối ưu của (P) và (D). 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
77 
 c- Định lý 3 
Xét hai bài toán đối ngẫu : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
x cz(x)max 
 )P(
T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
 tùy ý y 
 cyA
yb w(y) min
 )D( T
T
Nếu x* là phương án tối ưu của bài toán (P) đối với cơ sở B thì phương án tối 
ưu y* của bài toán (D) được tính bởi công thức : 
 ( ) 1TBT Bc*y −=
 Chứng minh 
 Do x* là phương án tối ưu của (P) với cơ sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu 
 0AB.cc 1TB
T ≤− −
 ⇒ T1TB cA.Bc ≥−
 ⇒ ( ) TT cA*y ≥
 ⇒ y* là một phương án của (D) 
Mặt khác x* được tính bởi công thức : 
 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
==
−
0x
bBx
x
*
N
1*
B*
 và giá trị mục tiêu tối ưu của (P) là : 
 z(x*) = cTx* = *B
T
B xc
 Ta có : 
)x(zxcxcb)(Bc 
b)Bc()Bc(b*yb)y(w
**
B
T
B
*
B
T
B
1-T
B
1T
B
T1T
B
TT*
====
=== −−
 Theo định lý 2 thì y* là phương án tối ưu của (D). 
 Định lý này cho phép tìm phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính 
đối ngẫu từ bài toán gốc. Trong đó : 
- được xác định trong bảng đơn hình tối ưu của (P). TBc
- B-1 gồm m cột tương ứng với m cột của ma trận cơ sở ban đầu lấy từ 
bảng đơn hình tối ưu của bài toán gốc. 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
78 
 d- Định lý 4 ( sự đối ngẫu) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
x cz(x)max 
 )P(
T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
 tùy ý y 
 cyA
yb w(y) min
 )D( T
T
- Nếu (P) và (D) đều có phương án khả thi thì chúng có phương án tối ưu và 
giá trị của hàm mục tiêu tương ứng là bằng nhau. 
 - Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu không giới nội thì bài toán 
còn lại không có phương án khả thi. 
 Chứng minh 
 - Đây là kết quả của định lý 3 . 
 - Giả sử rằng phương án tối ưu của (D) không giới nội, tức là tồn tại một 
phương án khả thi y của (D) sao cho w(y)= bTy nhỏ tuỳ ý. Điều này cũng có nghĩa là : 
với mọi M>0 lớn tuỳ ý luôn tìm được một phương án khả thi y của (D) sao cho : 
 M ybT −≤ 
 Nếu (P) có phương án khả thi là x thì theo định lý 1 ta có : 
 M yb)y(wxc)x(z TT −<=≤= 
 Điều này dẫn đến mâu thuẩn 
 e- Định lý 5 (tính bổ sung ) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 b Ax
x cz(x)max 
 )P(
T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
=
 tùy ý y 
 cyA
yb w(y) min
 )D( T
T
 y , x là phương án khả thi tương ứng của (P) và (D). 
 Điều kiện cần và đủ để y , x cũng là phương án tối ưu là : 
 0)cyA(x TT
T =− 
 Chứng minh 
 - Do x là phương án khả thi của (P) nên : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
79 
 (*) xc-yb)cyA(x 
)xcc x( xc-ybcxyAx 
ybyAx 
 bAx 
b)x(A 
bxA 
TTTT
TTTTTTT
TTT
TTT
TT
=−⇒
==−⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=
 - Theo kết quả (*) : 
 . Nếu y , x là phương án tối ưu của (P) và (D) thì theo định lý 4 
 0)cyA(x 
0ybxc 
ybxc 
TT
TT
TT
=−⇒
=−⇒
=
 . Nếu xcyb0xcyb0)cyA(x TTTTT
T =⇒=−⇒=− 
 Theo định lý 2 thì y , x là phương án tối ưu . 
II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
 (P) và (D) 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
0x
bAx
xcz(x) max T
⎩⎨
⎧ ≥
=
y tuy y
cyA
ybw(y) min
T
T
 Chúng ta sẽ xét xem giải thuật đơn hình cơ bản đã biết trong chương trước 
được áp dụng như thế nào đối với bài toán đối ngẫu. 
 Giả sử rằng B là một cơ sở của bài toán (P) thoả : 
 và 1TBBcy
−= NT cyN ≥
 Nếu B cũng là một cơ sở khả thi của bài toán gốc, tức là 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥===
−
0x
0bbBx
x
N
1
B , thì (theo định lý đối ngẫu) y, x lần lượt là phương án tối 
ưu của bài toán đối ngẫu và bài toán gốc. Nếu không thì không là phương 
án của bài toán gốc vì 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
N
B
x
x
x
bBbx 1B
−== không thể ≥ 0. 
 Để tiện việc trình bày ta xét (m=3 , n=5) : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
80 
 (P) 
0x,x,x,x,x
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
xcxcxcxcxcz(x) max
54321
3535434333232131
2525424323222121
1515414313212111
5544332211
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++
=++++
=++++
++++=
 Các dữ liệu của (P) đuợc trình bày trong bảng sau : 
x1 x2 x3 x4 x5 
c1 c2 c3 c4 c5 
a11 a12 a13 a14 a15 b1
a21 a22 a23 a24 a25 b2
a31 a32 a33 a34 a35 b3
 và bài toán đối ngẫu 
 (D) 
tuy y y,y,y
cyayaya
cyayaya
cyayaya
cyayaya
cyayaya
ybybybw(y) min
321
5335225115
4434224114
3333223113
2332222112
1331221111
332211
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≥++
≥++
≥++
≥++
≥++
++=
 Người ta đưa (D) về dạng chính tắc bằng cách thêm các biến phụ y4 y5, y6, y7, 
y8 ≥ 0. Chúng không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu. 
 0y,y ,y,y,y -tuy y y,y,y
cyyayaya
cyyayaya
cyyayaya
cyyayaya
cyyayaya
y.0y.0y.0y.0y.0ybybybw(y) min
87654321
58335225115
47434224114
36333223113
25332222112
14331221111
87654332211
≥
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=−++
=−++
=−++
=−++
=−++
+++++++=
Các dữ liệu của (D) được trình bày trong bảng sau : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
81 
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 
b1 b2 b3 0 0 0 0 0 
a11 a21 a31 -1 0 0 0 0 c1
a12 a22 a32 0 -1 0 0 0 c2
a13 a23 a33 0 0 -1 0 0 c3
a14 a24 a34 0 0 0 -1 0 c4
a15 a25 a35 0 0 0 0 -1 c5
Giả sử rằng m cột đầu tiên của A là một cơ sở B của (P) thì hai bảng trên được 
trình bày rút gọn như sau : 
T
Bx 
T
Nx 
T
Bc 
T
Nc 
B N b 
Bảng (P) 
yT y4....y8 
bT 0 
BT -Im 0 cB
NT 0 -In-m cN
Bảng (D) 
 Để đưa bài toán đối ngẫu về dạng chuẩn người ta nhân (bên trái) bảng (D) với 
bảng sau đây : 
( )T1B − 0 
( )T1NB − -In-m
 Khi đó người ta được bảng kết quả có dạng : 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
82 
 m m n-m 
 Ty y4y5y6 y7y8 
 0 bBb 1−= 0 
m Im ( )T1B −− 0 ( )T1TBBc − 
n-m 0 ( ) ( )T1T NBN −−=− In-m ( )T1TBTNN NBccc −−−=− 
 Bảng này cho ta một quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với ma trận đơn vị (cơ 
sở) tương ứng với các cột y1 y2 y3 y7 y8 . 
 Áp dụng giải thuật đơn hình cơ bản vào kết quả này cho ta quy tắc đổi cơ sở 
như sau : 
 Tính : 0bBb 1 ≥= − 
 a- Nếu 0b ≥ thì giải thuật kết thúc, khi đó : 
 là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu . 1TBBcy
−=
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0
b
x
x
x
N
B là phương án tối ưu của bài toán gốc . 
 b- Nếu tồn tại r sao cho 0b , bb rr <∈ thì xảy ra một trong hai trường hợp 
sau : 
 - Nếu trong dòng r của N có thành phần < 0 thì người ta tính : 
0N : j 
N
c
 min
N
c
ij
rj
j
rs
s
<∀
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
 Như vậy : đối với bài toán đối ngẫu thì biến yr đi vào cơ sở và biến ys ra khỏi 
cơ sở, trong khi đó đối với bài toán gốc thì biến xs đi vào cơ sở và biến xr ra khỏi cơ 
sở. 
 - Nếu mọi thành phần trong dòng r của N đều > 0 thì phương án 
tối ưu của bài toán đối ngẫu là không giới nội, điều này (theo định lý đối ngẫu) dẫn 
đến bài toán gốc không có phương án. 
 Ví dụ : Xét bài toán 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
83 
 (D) 
1,2,3,4)(j 0x
2xx3x
1xx2x
xxw(x) min
j
421
321
31
=≥
⎩⎨
⎧
=++
=+−
−=
Bài toán đối ngẫu của (D) là : 
 (P) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
−≤
≤+−
≤+
+=
0y
1y
0y3y2
1yy
y2yz(y) max
2
1
21
21
21
y1, y2 là tùy ý 
Ta có thể chọn bài toán (D) hoặc (P) để giải tìm phương án tối ưu bằng phương pháp 
đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài toán còn lại theo kết quả trên. Trong 
ví dụ này ta chọn bài toán (D) để giải vì có chứa sẵn ma trận đơn vị. 
 Giải bài toán (D) bằng phương pháp đơn hình cải tiến ta được : 
0B
c 
0B
i 1x 2x 3x 4x 0b 
-1 3 1 -2 1 0 1 
0 4 1 3 0 1 2 
Tc 1 0 -1 0 w(x0) 
T
0c 2 -2 0 0 -1 
1B
c 
1B
i 1x 2x 3x 4x 1b 
-1 3 
3
5 0 1 
3
2 
3
7 
0 2 
3
1 1 0 
3
1 
3
2 
Tc 1 0 -1 0 w(x1) 
T
1c 3
8 0 0 
3
2 
3
7− 
 Giải thuật dừng vì thoả dấu hiệu tối ưu của bài toán min. 
 Phương án tối ưu của bài toán (D) là : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
====
3
7
)x(w)x(w
0x 
3
7
x 
3
2
x 0x
1
4321
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
84 
Suy ra phương án tối ưu của (P) là : 
[ ] [ ]
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=== −
3
7
3
2
1
 21yb)y(z
3
2
1
3
1
0
3
2
1
 01Bcyyy
T
1T
B21
T
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
85 
CÂU HỎI CHƯƠNG 3 
1- Bạn hiểu như thế nào về khái niệm đối ngẫu ? 
2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của một quy hoach tuyến tính chính tắc có dạng như 
thế nào ? 
3- Bạn hãy nêu ra các quy tắc đối ngẫu. Cho ví dụ . 
4- Giá trị hàm mục tiêu của hai quy hoạch tuyến tính đối ngẫu thì như thế nào ? . 
Chứng minh 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
86 
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 
1- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
 max z = 7x1 + 5x2 
 2x1 + 3x2 ≤ 19 
 (P) 2x1 + x2 ≤ 13 
 3x2 ≤ 15 
 3x1 ≤ 18 
 x1 , x2 ≥ 0 
a- Tìm bài toán đối ngẫu (D) từ bài toán (P) 
b- Tìm phương án tối ưu cho bài toán (P) 
c- Từ bảng đơn hình tối ưu của (P). Hãy tìm phương án tối ưu cho bài toán (D) 
2- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
min w= x1 + x2 
 x1 - 2x3 + x4 = 2 
(D) x2 - x3 + 2x4 = 1 
 x3 - x4 + x5 = 5 
xi ≥ 0, ∀i = 1→5 
a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán (D) 
 b- Tìm phương án tối ưu của bài toán (D) 
c- Từ bảng đơn hình tối ưu của bài toán (D). Hãy tìm phương án tối ưu cho bài 
toán đối ngẫu ở câu a. 
3- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
 min w = -2x1 - x4
 x1 + x2 + 5x3 = 20 
 (D) x2 + 2x4 ≥ 5 
 x1 + x2 - x3 ≥ 8 
 xi tùy ý (i=1→ 4) 
Tìm bài toán đối ngẫu (P) của bài toán (D). Từ bài toán (P) hãy chỉ ra rằng (P) 
không tồn tại phương án tối ưu do đó (D) cũng tồn tại phương án tối ưu. 
4- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính 
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
87 
 (D) 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
→=≥
≤++
≤−−
≤++
+++=
4)1(j 0x
3xx4x4
3x2x5
1xx3x
xxx42xz max
j
432
42
421
4321
 1- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. 
 2- Giải bài toán đã cho rồi suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu. 
5- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính 
 (D) 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤
−≤−+
≤−+−
≤++
++=
 0x ý, tuúx 31 x,
2x4x2x
4x2xx2
2xx2x
x18x5027xz max
2
321
321
321
321
 a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. 
 b- Giải bài toán đối ngẫu rồi suy ra kết quả của bài toán đã cho.