Giáo trình Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính - Chương 1: Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
5 
CHƯƠNG I 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH 
TUYẾN TÍNH 
Chương này trình bày cách xây dựng mô hình quy hoạch tuyến tính của những 
bài toán dạng đơn giản. Đây là những kiến thức quan trọng để xây dựng mô hình cho 
những bài toán phức tạp hơn trong thực tế sau này. Các khái niệm về ‘’ lồi’’ đuợc 
trình bày để làm cơ sở cho phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính. Một ví 
dụ mở đầu được trình bày một cách trực quan để làm rõ khái niệm về phương án tối 
ưu của quy hoạch tuyến tính. 
Nội dung chi tiết của chương bao gồm : 
I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
 1- Bài toán vốn đầu tư 
 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 
 3- Bài toán vận tải 
II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 
 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 
 2- Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 
 3- Phương án 
III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 
 1- Khái niệm lồi và tính chất 
 2- Đặc điểm của tập các phương án 
 3- Phương pháp hình học 
IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU 
V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 
 1- Ma trận cơ sở - Phương án cơ sở - Suy biến 
 2- Dấu hiệu tối ưu 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
6 
CHƯƠNG I 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN 
TÍNH 
Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu 
các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều 
kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính. 
Đây chỉ là một định nghĩa mơ hồ, bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ 
ràng hơn thông qua các ví dụ . 
Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển 
hình là như sau : 
a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu. 
b- Lập mô hình toán học. 
c- Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đã mô hình hoá bằng ngôn ngữ 
thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính. 
d- Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần. 
 e- Áp dụng giải các bài toán thực tế. 
 1- Bài toán vốn đầu tư 
 Người ta cần có một lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2,..,m do các thức 
ăn j=1,2,...,n cung cấp. Giả sử : 
aij là số lượng chất dinh dưỡng loại i có trong 1 đơn vị thức ăn loại j 
(i=1,2,...,m) và (j=1,2,..., n) 
bi là nhu cầu tối thiểu về loại dinh dưỡng i 
cj là giá mua một đơn vị thức ăn loại j 
Vấn đề đặt ra là phải mua các loại thức ăn như thế nào để tổng chi phí bỏ ra ít 
nhất mà vẫn đáp ứng được yêu cầu về dinh dưỡng. Vấn đề được giải quyết theo mô 
hình sau đây : 
Gọi xj ≥ 0 (j= 1,2,...,n) là số lượng thức ăn thứ j cần mua . 
Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
7 
nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xcz +++== ∑
=
Vì chi phí bỏ ra để mua thức ăn phải là thấp nhất nên yêu cầu cần được thỏa mãn 
là : 
 nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xcz min +++== ∑
=
Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 1 là : ai1x1 (i=1→m) 
Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 2 là : ai2x2 
......................................................... 
Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn n là : ainxn
Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu được từ các loại thức ăn là : 
ai1x1+ai2x2+...+ainxn (i=1→m) 
Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu được phải thỏa yêu cầu bi về dinh dưỡng loại đó 
nên ta có ràng buộc sau : 
ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≥ bi (i=1→m) 
Khi đó theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau đây : 
 nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xcz min +++== ∑
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
≥+++
≥+++
≥+++
n)1,2,...,(j 0x
bxa...xaxa
..........................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
j
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 
 Từ m loại nguyên liệu hiện có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm 
Giả sử : 
aij là lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất 1 sản phẩm loại j 
(i=1,2,...,m) và (j=1,2,..., n) 
bi là số lượng nguyên liệu loại i hiện có 
cj là lợi nhuận thu được từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
8 
Vấn đề đặt ra là phải sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng lợi nhuận 
thu được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện có. 
Gọi xj ≥ 0 là số lượng sản phẩm thứ j sẽ sản xuất (j=1,2,...,n) 
Tổng lợi nhuận thu được từ việc bán các sản phẩm là : 
 nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xcz +++== ∑
=
 Vì yêu cầu lợi nhuận thu được cao nhất nên ta cần có : 
 nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xczmax +++== ∑
=
Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 1 là ai1x1 
Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 2 là ai2x2 
............................................... 
Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n là ainxn 
 Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất là các sản phẩm là 
 ai1x1+ai2x2+...+ainxn
Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất các loại sản phẩm không thể 
vượt quá lượng được cung cấp là bi nên : 
ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≤ bi (i=1,2,...,m) 
Vậy theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình sau đây : 
 nn2211
n
1j
jj xc......xcxc xczmax +++== ∑
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
≤+++
≤+++
≤+++
n)1,2,...,(j 0x
bxa...xaxa
..........................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
j
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
 3- Bài toán vận tải 
 Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ. 
Lượng hàng hoá ở kho i là si (i=1,2,...,m) và nhu cầu hàng hoá của cửa hàng j là dj 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
9 
(j=1,2,...,n). Cước vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ kho i đến của hàng j là cij ≥ 0 
đồng. 
Giả sử rằng tổng hàng hoá có ở các kho và tổng nhu cầu hàng hoá ở các cửa 
hàng là bằng nhau, tức là : 
∑∑
==
=
n
1j
j
m
1i
i ds 
Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước là nhỏ nhất, với điều 
kiện là mỗi cửa hàng đều nhận đủ hàng và mỗi kho đều trao hết hàng. 
Gọi xij ≥ 0 là lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j. Cước 
vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất cả các kho j là : 
∑
=
n
1j
ijijxc 
Cước vận chuyển tất cả hàng hoá đến tất cả kho sẽ là : 
∑∑
= =
=
m
1i
n
1j
ijijxcz 
 Theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau đây : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≥
==
=
∑
∑∑
=
= =
n)1,1,...,(j m)1,2,...,(i 0x
n)1,2,...,(j dx
xcz min
ij
m
1i
jij
m
1i
n
1j
ijij
II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ 
CHÍNH TẮC 
 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 
Tổng quát những bài toán quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, một bài toán quy 
hoạch tuyến tính là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm 
mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức tuyến tính. Dạng 
tổng quát của một bài toán quy hoạch tuyến tính là : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
10 
( )
( )
( )⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈≤
∈≥
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
∈≥
∈≤
∈=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
3j
2j
1j
3i
n
1j
jij
2i
n
1j
jij
1i
n
1j
jij
n
1j
jj
Jj tùy ý x
(III) Jj 0x
Jj 0x
)I(i bxa
(II) )I(i bxa
)I(i bxa
(I) xcz maxmin/
Trong đó : 
 • (I) Hàm mục tiêu 
Là một tổ hợp tuyến tính của các biến số, biểu thị một đại lượng nào đó mà ta 
cần phải quan tâm của bài toán. 
 • (II) Các ràng buộc của bài toán 
Là các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh ra từ điều 
kiện của bài toán. 
 • (III) Các các hạn chế về dấu của các biến số 
Người ta cũng thường trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng ma 
trận như sau : 
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
==
mnm21m
2n2221
1n1211
ij
a ... a a
......................
a ... a a
a ... a a
aA 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
m
2
1
n
2
1
n
2
1
b
...
b
b
b 
c
...
c
c
c 
x
...
x
x
x
Gọi ai (i=1→m) là dòng thứ i của ma trận A, ta có : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
11 
( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈≤
∈≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈≥
∈≤
∈=
=
3j
2j
1j
3ii
2ii
1ii
T
Jj tùy ý x
(III) Jj 0x
Jj 0x
)I(i bxa
(II) )I(i bxa
)I(i bxa
(I) xc)x(zin/max m
Người ta gọi : 
 - A là ma trận hệ số các ràng buộc. 
 - c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c) 
 - b là vectơ giới hạn các ràng buộc. 
 2- Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 
Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà 
trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=≥
==
=
∑
∑
=
=
(III) n)1,2,...,(j 0x
(II) )m1,2,...,(i bxa
(I) xczmin/max 
j
i
n
1j
jij
n
1j
jj
 ( m≤ n ) 
 rang(A)=m 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=
=
(III) 0x
(II) bAx
(I) xc)x(z min/max T
 Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành 
bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây : 
 - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ thì người ta cộng thêm vào vế trái của ràng 
buộc một biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu = . 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
12 
 - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≥ thì người ta trừ vào vế trái của ràng buộc một 
biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu = . 
Các biến phụ chỉ là những đại lượng giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng 
thức thành đẳng thức, nó phải không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên không xuất 
hiện trong hàm mục tiêu. 
 - Nếu biến xj ≤ 0 thì ta đặt xj = -x’j với x’j ≥ 0 rồi thay vào bài toán. 
 - Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt jjj xxx ′′−′= với jj x , x ′′′ đều ≥ 0 rồi thay vào 
bài toán. 
 - Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là 
giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm. 
Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy 
hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng 
buộc chỉ có dấu = , vế phải và các biến số đều không âm. 
 Ví dụ : 
 Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây về dạng chính tắc : 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
≥
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+−+
≥++
−≥++
≤+++−
−++−=
tùy ý x , x
0x
0x , x
20xx2xx
10x3xx2
1xx2x
7xx2xx2x
x2xx2xx2)x(z min
32
4
51
4321
543
432
54321
54321
 Bằng các thay thế : 
)0x,x( xxx
)0x,x( xxx
)0x( xx
33333
22222
444
≥′′′′′−′=
≥′′′′′−′=
≥′′−=
 ta được : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
13 
0x,x, x, x, x, x, x, x, x , x
20x)xx(2)xx(x
10xx3x)xx(2
1xx)xx(2)xx(
7xxx2)xx()xx(2x
x2x)xx(2)xx(x2)x(z min
4332287651
433221
85433
743322
65433221
5433221
≥′′′′′′′
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′−′′−′−′′−′+
=−+′−′′−′
−=−+′′−′+′′−′
=++′−′′−′+′′−′−
−′−′′−′+′′−′−=
 hay : 
0x,x, x, x, x, x, x, x, x, x
20x)xx(2)xx(x
10xx3x)xx(2
1xx)xx(2)xx(
7xxx2)xx()xx(2x
x2x)xx(2)xx(x2)x(z min
4332287651
433221
85433
743322
65433221
5433221
≥′′′′′′′
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′−′′−′−′′−′+
=−+′−′′−′
=+−′′−′−′′−′−
=++′−′′−′+′′−′−
−′−′′−′+′′−′−=
 3- Phương án 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc : 
 (P) 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(z min/max T
• x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án của (P) khi và chỉ khi Ax = 
b. 
• x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án khả thi của (P) khi và chỉ 
khi Ax = b và x ≥ 0 . 
• Một phương án tối ưu của (P) là một phương án khả thi của (P) 
mà giá trị của hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
14 
III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 
 1- Khái niệm lồi và các tính chất 
a- Tổ hợp lồi 
- Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các 
điểm xi nếu : 
 1.... 0,....,,
 x...xx xx
n21n21
m
m
2
2
1
1
m
1i
i
i
=α++α+α≥ααα
α++α+α=α= ∑
=
- Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 người ta thường viết : 
x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1) 
 Nếu 0<λ<1 thì x được gọi là tổ hợp lồi thật sự. 
- Ðoạn thẳng 
Tập hợp tất cả các tổ tổ hợp lồi của 2 điểm bất kỳ A, B∈ Rn được gọi là đoạn 
thẳng nối A và B . Ký hiệu : 
 δAB= {x = λA + (1-λ)B với λ∈[0,1] } 
 Định lý 
 Tổ hợp lồ có tính chất bắc cầu. 
b- Tập hợp lồi 
 Tập con S của Rn được gọi là tập hợp lồi khi S chứa toàn bộ đoạn thẳng nối 
hai điểmbất kỳ của S. 
 λx + (1-λ)y ∈ S ∀x,y∈,λ∈[0,1] 
Tập hợp rỗng và tập hợp chỉ có một phần tử được xem là tập hợp lồi. 
Định lý 
Giao của một số bất kỳ các tập hợp lồi là một tập hợp lồi. 
Định lý 
Nếu S là một tập hợp lồi thì S chứa mọi tổ hợp lồi của một họ điểm bất kỳ 
trong S. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
15 
c- Ðiểm cực biên của một tập hợp lồi 
Ðiểm x trong tập lồi S ⊂ Rn được gọi là điểm cực biên nếu không thể biểu 
diễn được x dưới dạng tổ hợp lồi thật sự của hai điểm phân biệt của S. 
x 
d- Ða diện lồi và tập lồi đa diện 
Đa diện lồi 
Tập hợp S tất cả các tổ hợp của các điểm x1, x2,....,xm cho trước được gọi là đa 
diện lồi sinh ra bởi các điểm đó. 
 Đa diện lồi là một tập hợp lồi. 
 Trong đa diện lồi người ta có thể loại bỏ dần các điểm là tổ hợp của các điểm 
còn lại. Khi đó người ta thu được một hệ các điểm, giả sử là y1, y2,...,yp (p≤m) . Các 
điểm này chính là các điểm cực biên của đa diện lồi, chúng sinh ra đa diện lồi đó. 
 Số điểm cực biên của đa diện lồi là hữu hạn. 
 Siêu phẳng - Nửa không gian 
 A=[aij]m.n là ma trận cấp m.n 
 Ai (i=1,2,...,m) là hàng thứ i của A 
Siêu phẳng trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa 
Ai x = bi
Nửa không gian trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa 
Ai x ≥ bi
Siêu phẳng và nửa không gian đều là các tập hợp lồi. 
Tập lồi đa diện 
Giao của một số hữu hạn các nửa không gian trong Rn được gọi là tập lồi đa 
diện. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
16 
]
Tập lồi đa diện là một tập hợp lồi. 
Nếu tập lồi đa diện không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi 
2- Đặc điểm của tập hợp các phương án 
Ðịnh lý 
Tập hợp các phương án của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi đa diện. 
Nếu tập hợp lồi đa diện này không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi, 
số điểm cực biên của nó là hữu hạn. 
Ðịnh lý 
Tập hợp các phương án tối ưu của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi. 
Xét quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=
=
(III) 0x
(II) bAx
(I) xc)x(z min/max T
Giả sử A=[aij]m.n có cấp m.n, m ≤ n, rang(A)=m . 
 Gọi Aj (j=1,2,...,n) cột thứ j của ma trận A, quy hoạch tuyến tính chính tắc trên 
có thể viết : 
⎩⎨
⎧
≥
=+++
+++=
0x
bAx...AxAx
xc...xcxcz(x) maxmin/
n
n
2
2
1
1
nn2211
 Gọi S={x=[x1,x2,...,xn]T ≥ 0 / x1A1+ x2A2+...+ xnAn=b} là tập các phương án 
của bài toán. 
 [ ∈ S là một phương án khác 0. T0n02010 x,...,x,xx =
 Định lý 
 Điều kiện cần và đủ để x0 là phương án cực biên ( điểm cực biên của S) là các 
cột Aj ứng với >0 là độc lập tuyến tính. 0jx
 Hệ quả 
 Số phương án cực biên của một quy hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn. Số 
thành phần > 0 của một phương án cực biên tối đa là bằng m. 
 Khi số thành phần > 0 của một phương án cực biên bằng đúng m thì phương 
án đó được gọi là một phương án cơ sở. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
17 
 Định lý 
 Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính chính tắc không rỗng thì 
quy hoạch tuyến tính đó có ít nhất một phương án cực biên. 
 Bổ đề 
 Nếu 
 x là một phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính. 
 x1, x2 là các phương án của quy hoạch tuyến tính. 
 x là tổ hợp lồi thực sự của x1, x2 
thì x1, x2 cũng là phương án tối ưu của ... 2 và w1 bằng 0 thì giá trị của hàm của hàm mục tiêu 
sẽ giảm xuống. Khi đó các biến ở vế trái của bài toán (II) sẽ bị thay đổi theo nhưng 
phải thoả ≥ 0 . Ta được : 
 1 x 
1x
5x
0x
2
1
2
1
w
01w
0x
2
1
2
5
x
3
3
3
33
2
31
≤⇒
⎩⎨
⎧
≤
≤⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−=
≥=
≥−=
 ( dòng 3 được chọn ) 
 Khi đó người ta chọn x3=1 nên thu được một phương án tốt hơn được xác định 
như sau : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
21 
1w 1 x2x
0wwx
231
312
===
===
 Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là z(x)=-13 
 Bước tiếp theo là biến đổi bài toán (II) thành một bài toán tương đương bằng 
cách từ dòng 3 ( dòng đựợc chọn ) tính x3 theo các biến còn lại và thế giá trị nhận 
được vào các dòng còn lại, ta được : 
0w,w,w,x,x,x
x52w1w
wx22w-2x
wx3w-13z(x) min
321321
212
3211
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++=
++=
+−=
+++=
3213 2wx3w1x
 (III) 
 Đến đây vì không có hệ số nào của hàm mục tiêu là âm nên không thể làm 
giảm giá trị của hàm mục tiêu theo cách như trên nữa. Phương án thu được ở bước sau 
cùng chính là phương án tối ưu của bài toán. 
 Đối với bài toán max, thay cho việc làm tăng biến có hệ số âm trong hàm mục 
tiêu người ta làm tăng biến có hệ số dương cho đến khi các hệ số trong hàm mục tiêu 
hoàn toàn âm. 
V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 
 1- Ma trận cơ sở - Phương án cơ sở - Suy biến 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
 (P) 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(z min/max T
 a- Ma trận cơ sở 
 Người ta gọi cơ sở của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc (P) là mọi ma 
trận B không suy biến (có ma trận nghịch đảo) mxm trích ra từ m cột của ma trận ràng 
buộc A. Các cột còn lại được gọi là ma trận ngoài cơ sở, ký hiệu là N . 
 b- Phương án cơ sở - Phương án cơ sở khả thi 
 B là một cơ sở của bài toán (P). 
Khi đó, bằng cách hoán vị các cột của A người ta có thể luôn luôn đặt A dưới dạng : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
22 
 A = [ B N ] 
 Do đó, người ta cũng phân hoạch x và c như sau : 
 xT = [ xB xN ] 
cT = [ cB cN ] 
 Một phương án x của bài toán (P) thoả : 
 [ ] bNxBx b 
x
x
 N B bAx NB
N
B =+⇔=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⇔=
 Phương án cơ sở 
 Người ta gọi một phương án cơ sở tương ứng với cơ sở B là một phương án 
đặc biệt, nhận được bằng cách cho : 
 xN = 0 
 Khi đó xB được xác định một cách duy nhất bằng cách giải hệ phương trình 
tuyến tính bằng phương pháp Cramer : 
 BxB = b ⇔ xB = B-1b 
 Phương án cơ sở khả thi 
 Một phương án cơ sở là phương án cơ sở khả thi nếu : 
 xB = B-1b ≥ 0 
 Cơ sở tương ứng với một phương án khả thi được gọi là cơ sở khả thi . 
 Ví dụ : xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc : 
1,2,...,6)(j 0 x
28x3xx2x
10xx4x4x3
20xx2x2
xxxxxx)x(z maxmin/
j
4321
6421
541
654321
=≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+−+−
=++
++−+−=
 Ma trận ràng buộc là 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 0 3 1 2 1 
1 0 4- 0 4 3-
 0 1 2 0 0 2 
A
 x x x x xx 6 54321
Có thể chọn ba cột bất kỳ và kiểm chứng xem đó có thể là cơ sở không. 
Một cơ sở được chọn và sắp xếp lại là 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
23 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 1 3 
 4 3- 4- 
 0 2 2 
 x x x 214
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x x x 365
 Các cột x5 x6 x3 tạo thành một ma trận cơ sở . Các biến tương ứng được gọi 
là các biến (trong) cơ sở . 
 Các cột x1 x2 x4 tạo thành một ma trận ngoài cơ sở. Các biến tương ứng được 
gọi là các biến ngoài cơ sở. 
 Một phương án cơ sở khả thi của bài toán là : 
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 28 0 20 10 
 c- Suy biến 
 Một phương án cơ sở khả thi được gọi là suy biến nếu xB = B-1b ≥ 0 có những 
thành phần bằng 0. Sự suy biến là một hiện tượng thường xảy ra trong một số bài toán 
như bài toán vận tải, dòng dữ liệu, đường đi ngắn nhất....... Đây là hiện tượng khá 
phức tạp (có nhiều cách giải quyết sẽ được xét sau). Vì vậy trong những phần tiếp 
theo ta giả sử rằng phương án cơ sở khả thi là không suy biến, tức là xB = B-1b > 0 ( 
dương thực sự ) . 
 2- Dấu hiệu tối ưu 
 Theo trên, khi một bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì tồn 
tại một cơ sở khả thi (tối ưu) B* , tức là phương án cơ sở x* tương ứng với B* là 
phương án tối ưu. 
 Vấn đề bây giờ là xác định một thủ tục để tìm B*. Chúng ta sẽ thấy rằng thủ 
tục đó được suy ra một cách trực tiếp từ việc chứng minh dấu hiệu tối ưu sau đây. 
Ðịnh lý 4 (dấu hiệu tối ưu) 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(zmin/max T
Điều kiện cần và đủ để một phương án cơ sở khả thi x có dạng : 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
x
N
1
B
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
24 
của bài toán là phương án tối ưu là : 
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≤−= − đối với bài toán max 
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≥−= − đối với bài toán min 
Với : 
A = [ B | N ] 
cT= [ cB | cN ] 
 Người ta thường gọi : 
cN là chi phí ngoài cơ sở 
cB là chi phí cơ sở 
T
Nc là chi phí trượt giảm 
NBc 1TB
− là lượng gia giảm chi phí 
 Chứng minh (cho bài toán max) 
Ðiều kiện đủ 
 Giả sử x* là một phương án cơ sở khả thi với ma trận cơ sở B và thoả 
0NBcc 1TB
T
N ≤−= −TNc 
thì cần chứng minh x* là phương án tối ưu, nghĩa là chứng minh rằng với mọi phương 
án bất kỳ của bài toán ta luôn có : 
 z(x) ≤ z(x*) 
Xét một phương án khả thi x bất kỳ , x thoả : 
 ⎩⎨
⎧
≥
=
0x
bAx [ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥≥
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
0x0x
b
x
x
 NB
NB
N
B
 B là ma trận cơ sở của phương án cơ sở khả thi x* 
 B có ma trận nghịch đảo là B-1 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
bNxBx
NB
NB
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
==+
0 x0x
I)B(B bBNxBBxB
NB
-1-1
N
-1
B
-1
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
25 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
.bBNxBx
NB
-1
N
-1
B
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=
0 x0x
NxB-bBx
NB
N
-1-1
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối với phương án x ta được : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN11TB xcNxBbB c +− −− 
 = N
T
NN
1T
B
1T
B xcNxBcbBc +− −−
 = (1) N
1T
B
T
N
1T
B N)xBc-(cbBc
−− +
Vì x* là phương án cơ sở khả thi tương ứng với ma trận cơ sở B nên 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≥= −
0x
0bBx
*
N
1*
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối vơi phương án cơ bản x* ta được : 
 z(x*) = cTx* 
 = [ ] *NTN*BTB*
N
*
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( vì ) (2) bBcxc 1TB
*
B
T
B
−= 0x*N =
Từ (1) và (2) ta có : 
 z(x) ≤ z(x*) vì 0 NBcc 1TBN ≤− −
Vậy x* là phương án tối ưu. 
Ðiều kiện cần 
 Giả sử là phương án tối ưu với ma trận cơ sở B, cần 
chứng minh rằng : 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
*x
*
N
1*
B
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≤−= − . 
 ( Nc là vectơ có n-m thành phần) 
 Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
26 
Giả sử rằng tồn tại một thành phần cs của Nc mà cs > 0. Dựa vào cs người ta 
xây dựng một vectơ x như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
≥=
−==
−
0θIx
NxBxx
x
sN
N
1*
BB
Trong đó θ>0 và Is là một vectơ có (n-m) thành phần bằng 0, trừ thành phần 
thứ s bằng 1 . Vậy 
 (*) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
 Do B-1b ≥ 0 nên người ta có thể chọn θ>0 đủ nhỏ để xB > 0 
Vậy x được chọn như trên sẽ thoả : 
x ≥ 0 (3) 
Ta kiểm chứng x thỏa ràng buộc của bài toán bằng cách tính : 
 Ax = [ ] NB
N
B NxBx 
x
x
 NB +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) ss1*B NNBxB θIθI +− − 
 = ( ) ss11 NNBbB B θIθI +− −− 
 = ss
11 NINBBbBB θIθ +− −−
 = ss NNb θIθI +− 
 = b (4) 
 Từ (3) và (4) cho thấy x là một phương án khả thi của bài toán 
Bây giờ ta chỉ ra mâu thuẩn bằng so sánh giá trị hàm mục tiêu tại x và x* . Ta 
có : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN1*BTB xcNxBxc +− − 
 = N
T
NN
1T
B
*
B
T
B xcNxBcxc +− −
 = )0xc (vì xcNxBcxcxc *N
T
NN
T
NN
1T
B
*
N
T
N
*
B
T
B =+−+ −
 = [ ] ( ) N1TBTN*
N
*
BT
N
T
B xNBccx
x
 c c −−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) s1TBTN*T θI NBccxc −−+ 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
27 
 = s
T
N
*T θIcxc + = θIcxc sTN*T + 
 = z(x*) + θsc > z(x*) ( vì 0c s >θ ) 
Vậy x* không phải là phương án tối ưu nên mâu thuẩn với giả thiết . 
 Chú ý 
 Qua việc chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta thấy rằng từ một phương án 
cơ sở khả thi chưa tối ưu có thể tìm được các phương án khả thi càng lúc càng tốt 
hơn nhờ lặp lại nhiều lần công thức (*). Vấn đề được đặt là đại lượng θ được chọn 
như thế nào để nhanh chóng nhận được phương án tối ưu. 
 Bổ đề 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(zmax T
với B là một cơ sở khả thi nào đó và x0 là phương án cơ sở tương ứng, tức là 
 và ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
x
0
N
10
B0 bBc)z(x 1TB
0 −=
 Xét NBccc 1TB
T
N
T
N
−−= . 
 Nếu tồn tại một biến ngoài cơ sở xs sao cho sc >0 với sc là thành phần thứ s 
của Nc thì : 
a- Hoặc là người ta có thể làm tăng một cách vô hạn giá trị của xs mà không đi 
ra khỏi tập hợp các phương án khả thi, và trong trường hợp này phương án tối ưu của 
bài toán không giới nội. 
b- Hoặc là người ta có thể xác định một cơ sở khả thi khác là có phương án cơ sở 
khả thi tương ứng với nó là tốt hơn , tức là : 
∧
B
∧
x
 z(x0) < z( ) 
∧
x
 Chứng minh 
 Trong quá trình chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta có phương án mới được 
xác định như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
28 
 Ký hiệu : 
 NBN 1−= 
 sN là cột s của N 
 bBb 1−= 
 Như vậy ta có : ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ=
θ−==
sN
sB
Ix
N bx
x 
 Hai trường hợp có thể xảy ra như sau : 
 a- Trường hợp 0Ns ≤ 
 Trong trường hợp này xs có thể nhận một giá trị θ lớn tuỳ mà vẫn đảm bảo xB 
≥ 0, nghĩa là x luôn luôn thoả ≥ 0 . Khi đó như đã biết giá trị hàm mục tiêu tương ứng 
là 
 z(x) = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
c c +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) sTNs11TB IθcIθNBbBc +− −− 
 = s
T
Ns
1T
B
1T
B IθcIθNBcbBc +− −−
 = ( ) s1TBTN0 IθNBcc)x(z −−+ 
 = s
T
N
0 Iθc)x(z + 
= z(x0) + θcs 
với θcs có thể lớn vô hạn thì giá trị của hàm mục tiêu là không giới nội. 
 b- Trường hợp tồn tại i=1→m sao cho 0Nis > 
 ( 0Nis > là thành phần thứ i của sN ) 
 Trong trường hợp này giá trị của θ>0 mà xs có thể nhận không thể tăng vô hạn 
vì phải đảm bảo xB>0. Giá trị lớn nhất của θ mà x
∧
θ s có thể nhận được xác định 
như sau : 
m)1i( 
N
b
0N ,
N
b
 min
rs
r
is
is
i
→=∀
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ >=θ∧
 Phương án cơ sở khả thi mới có các thành phần như sau : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
−== ∧∧
∧∧
∧
sN
sB
Iθx
N θbx
x 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
29 
và giá trị hàm mục tiêu tương ứng là : 
)x(zcθ)x(z)x(z 0s0 >+= ∧∧ 
 Ghi chú : 
 Trong trường hợp bài toán không suy biến, nếu được xác định một cách duy 
nhất thì phương án mới có đúng m thành phần khác 0. Thật vậy : 
∧
θ
∧
x
 - Biến xs đang bằng 0 trong phương án x0 trở thành dương thật sự vì 
 θˆx s =
 - Biến xr đang dương thật sự bây giờ nhận giá trị : 
 0bbN
N
b
bNθbx rrrs
rs
r
rrsrr =−=−=−= ∧∧ 
 Vậy phương án mới là một phương án cơ sở. Nó tương ứng với cơ sở ở 
được suy ra từ B bằng cách thay thế cột r bằng cột s. 
∧
x
∧
B
 Người ta nói rằng hai cơ sở B và là kề nhau, chung tương ứng với những 
điểm cực biên kề nhau trong tập hợp lồi S các phương án khả thi của bài toán. 
∧
B
CÂU HỎI CHƯƠNG 1 
1- Trình bày các bước nghiên cứu một quy hoạch tuyến tính. 
2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính chính tắc. 
3- Trình bày khái niệm về phương án của một quy hoạch tuyến tính. 
4- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp hình học giải một quy hoạch tuyến tính 
hai biến. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
30 
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 
xuất hai loại sản phẩm : thép tấm và thép cuộn. 
bao nhiêu trong 
- Có 3 người cùng phải đi một quảng đường dài 10km mà chỉ có một chiếc xe đạp 
hời gian người cuối cùng đến đích là ngắn nhất. 
- Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn và cừu với lượng sản xuất mỗi ngày là 
1- Một nhà máy cán thép có thể sản 
Nếu chỉ sản xuất một loại sản phẩm thì nhà máy chỉ có thể sản xuất 200 tấn thép tấm 
hoặc 140 tấn thép cuộn trong một giờ . Lợi nhuận thu được khi bán một tấn thép tấm 
là 25USD, một tấn thép cuộn là 30USD. Nhà máy làm việc 40 giờ trong một tuần và 
thị trường tiêu thụ tối đa là 6000 tấn thép tấm và 4000 tấn thép cuộn . 
 Vấn đề đặt ra là nhà máy cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là 
một tuần để đạt lợi nhuận cao nhất. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho 
vấn đề trên. 
2
một chổ ngồi. Tốc độ đi bộ của người thứ nhất là 4km/h, người thứ hai là 2km/h, 
người thứ ba là 2km/h. Tốc độ đi xe đạp của người thứ nhất là 16km/h, người thứ hai 
là 12km/h, người thứ ba là 12km/h. 
 Vấn đề đặt ra là làm sao để t
Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho vấn đề trên. 
3
480 tấn thịt bò, 400 tấn thịt lợn, 230 tấn thịt cừu. Mỗi loại đều có thể bán được ở dạng 
tươi hoặc nấu chín. Tổng lượng các loại thịt có thể nấu chín để bán là 420 tấn trong 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
31 
Nấu chín trong giờ Nấu chín ngoài giờ 
giờ và 250 tấn ngoài giờ. Lợi nhuận thu được từ việc bán một tấn mỗi loại thịt được 
cho trong bảng sau đây : 
 Tươi 
Bò 8 14 11 
Lợn 4 12 7 
Cừu 4 13 9 
h bày bài toán quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận 
cao nhấ
 Một xưởng mộc làm bàn và ghế. Một công nhân làm xong một cái bàn phải mất 2 
- Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một cái mũ kiểu thứ nhất 
- Trong hai tuần một con gà mái đẻ được 12 trứng hoặc ấp được 4 trứng nở ra gà 
- Giải những bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp hình học : 
Hãy trìn
t. 
4-
giờ, một cái ghế phải mất 30 phút. Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế kèm 
theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1. Giá bán một cái bàn 
là 135USD, một cái ghế là 50USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính để 
xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm 
việc 8 giờ mỗi ngày. 
5
nhiều gấp 2 lần thời gian làm ra một cái kiểu thứ hai. Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ 
hai thì nhà máy làm được 500 cái mỗi ngày. Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều nhất 
là 150 cái mũ kiểu thứ nhất và 200 cái kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một cái mũ kiểu 
thứ nhất là 8USD, một cái mũ thứ hai là 5USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch 
tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất. 
6
con. Sau 8 tuần thì bán tất cả gà con và trứng với giá 0,6USD một gà và 0,1USD một 
trứng. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính bố trí 100 gà mái đẻ trứng hoặc ấp 
trứng sao cho doanh thu là nhiều nhất. 
7
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
32 
 a)- b)- 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤−
≥+
≥+
−=
5x
5x
1xx
4x2x
3xx3
xxz max
2
1
21
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
≤+−
≤−
≤−−
+−=
0x,x
1xx
4x2x
6x2x
xxw min
21
21
21
21
21
 c)- d)- 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−
≥−
+=
tuy ý xx 21,
2x3x2
2x2x
x65xz max
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥−
≤+
−=
0x,x
3xx
6x2x
x-2xw min
21
21
21
21
e)- f)- 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥+
≤+
+=
0x,x
1x43x
2x2x
x23xz max
21
21
21
21
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
≤
≤+
−≥−
−=
0x,x
6x
6x
14xx2
4xx
x43xz max
21
1
2
21
21
21
 g)- 
0x,x
4x2x
9x4x
14x3x
24x32x
12x32x
x3x4z(x) maxmin/
21
21
21
21
21
21
21
≥
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥+
≥+
≤−
≤+
−≥−
+=