Giáo trình Kỹ thuật số - Chương 2: Hàm Logic

______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 1
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
" CHƯƠNG 2 HÀM LOGIC 
D HÀM LOGIC CƠ BẢN 
D CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC 
Š Dạng tổng chuẩn 
 Š Dạng tích chuẩn 
Š Dạng số 
Š Biến đổi qua lại giữa các dạng chuẩn 
D RÚT GỌN HÀM LOGIC 
Š Phương pháp đại số 
Š Phương pháp dùng bảng Karnaugh 
Š Phương pháp Quine Mc. Cluskey 
___________________________________________________________________________
____________ 
 Năm 1854 Georges Boole, một triết gia đồng thời là nhà toán học người Anh cho xuất 
bản một tác phẩm về lý luận logic, nội dung của tác phẩm đặt ra những mệnh đề mà để trả lời 
người ta chỉ phải dùng một trong hai từ đúng (có, yes) hoặc sai (không, no). 
 Tập hợp các thuật toán dùng cho các mệnh đề này hình thành môn Đại số Boole. Đây là 
môn toán học dùng hệ thống số nhị phân mà ứng dụng của nó trong kỹ thuật chính là các 
mạch logic, nền tảng của kỹ thuật số. 
 Chương này không có tham vọng trình bày lý thuyết Đại số Boole mà chỉ giới hạn trong 
việc giới thiệu các hàm logic cơ bản và các tính chất cần thiết để giúp sinh viên hiểu vận 
hành của một hệ thống logic. 
2.1. HÀM LOGIC CƠ BẢN 
2.1.1. Một số định nghĩa 
 - Trạng thái logic: trạng thái của một thực thể. Xét về mặt logic thì một thực thể chỉ 
tồn tại ở một trong hai trạng thái. Thí dụ, đối với một bóng đèn ta chỉ quan tâm nó đang ở 
trạng thái nào: tắt hay cháy. Vậy tắt / cháy là 2 trạng thái logic của nó. 
 - Biến logic dùng đặc trưng cho các trạng thái logic của các thực thể. Người ta biểu 
diễn biến logic bởi một ký hiệu (chữ hay dấu) và nó chỉ nhận 1 trong 2 giá trị : 0 hoặc 1. 
 Thí dụ trạng thái logic của một công tắc là đóng hoặc mở, mà ta có thể đặc trưng bởi trị 
1 hoặc 0. 
 - Hàm logic diễn tả bởi một nhóm biến logic liên hệ nhau bởi các phép toán logic. 
Cũng như biến logic, hàm logic chỉ nhận 1 trong 2 giá trị: 0 hoặc 1 tùy theo các điều kiện liên 
quan đến các biến. 
 Thí dụ, một mạch gồm một nguồn hiệu thế cấp cho một bóng đèn qua hai công tắc mắc 
nối tiếp, bóng đèn chỉ cháy khi cả 2 công tắc đều đóng. Trạng thái của bóng đèn là một hàm 
theo 2 biến là trạng thái của 2 công tắc. 
 Gọi A và B là tên biến chỉ công tắc, công tắc đóng ứng với trị 1 và hở ứng với trị 0. Y là 
hàm chỉ trạng thái bóng đèn, 1 chỉ đèn cháy và 0 khi đèn tắt. Quan hệ giữa hàm Y và các biến 
A, B được diễn tả nhờ bảng sau: 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 2
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
A B Y=f(A,B) 
0 (hở) 
0 (hở) 
1 (đóng) 
1 (đóng) 
0 (hở) 
1 (đóng) 
0 (hở) 
1 (đóng) 
0 (tắt) 
0 (tắt) 
0 (tắt) 
1 (cháy) 
2.1.2. Biểu diễn biến và hàm logic 
 2.1.2.1. Giản đồ Venn 
 Còn gọi là giản đồ Euler, đặc biệt dùng trong lãnh vực tập hợp. Mỗi biến logic chia 
không gian ra 2 vùng không gian con, một vùng trong đó giá trị biến là đúng (hay=1), và vùng 
còn lại là vùng phụ trong đó giá trị biến là sai (hay=0). 
 Thí dụ: Phần giao nhau của hai tập hợp con A và B (gạch chéo) biểu diễn tập hợp trong 
đó A và B là đúng (A AND B) (H 2.1) 
(H 2.1) 
 2.1.2.2. Bảng sự thật 
 Nếu hàm có n biến, bảng sự thật có n+1 cột và 2n + 1 hàng. Hàng đầu tiên chỉ tên biến 
và hàm, các hàng còn lại trình bày các tổ hợp của n biến trong 2n tổ hợp có thể có. Các cột đầu 
ghi giá trị của biến, cột cuối cùng ghi giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến trên cùng 
hàng (gọi là trị riêng của hàm). 
 Thí dụ: Hàm OR của 2 biến A, B: f(A,B) = (A OR B) có bảng sự thật tương ứng. 
A B f(A,B) = A OR B 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
 2.1.2.3. Bảng Karnaugh 
 Đây là cách biểu diễn khác của bảng sự thật trong đó mỗi hàng của bảng sự thật được 
thay thế bởi một ô mà tọa độ (gồm hàng và cột) xác định bởi tổ hợp đã cho của biến. 
 Bảng Karnaugh của n biến gồm 2n ô. Giá trị của hàm được ghi tại mỗi ô của bảng. Bảng 
Karnaugh rất thuận tiện để đơn giản hàm logic bằng cách nhóm các ô lại với nhau. 
 Thí dụ: Hàm OR ở trên được diễn tả bởi bảng Karnaugh sau đây 
A \ B 0 1 
0 0 1 
1 1 1 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 3
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 2.1.2.4. Giản đồ thời gian 
 Dùng để diễn tả quan hệ giữa các hàm và biến theo thời gian, đồng thời với quan hệ 
logic. 
 Thí dụ: Giản đồ thời gian của hàm OR của 2 biến A và B, tại những thời điểm có một 
(hoặc 2) biến có giá trị 1 thì hàm có trị 1 và hàm chỉ có trị 0 tại những thời điểm mà cả 2 biến 
đều bằng 0. 
(H 2.2) 
2.1.3. Qui ước 
 Khi nghiên cứu một hệ thống logic, cần xác định qui ước logic. Qui ước này không 
được thay đổi trong suốt quá trình nghiên cứu. 
 Người ta dùng 2 mức điện thế thấp và cao để gán cho 2 trạng thái logic 1 và 0. 
 Qui ước logic dương gán điện thế thấp cho logic 0 và điện thế cao cho logic 1 
 Qui ước logic âm thì ngược lại. 
2.1.4. Hàm logic cơ bản (Các phép toán logic) 
 2.1.4.1. Hàm NOT (đảo, bù) : AY = 
 Bảng sự thật 
A AY = 
0 
1 
1 
0 
 2.1.4.2. Hàm AND [tích logic, toán tử (.)] : Y = A.B 
 Bảng sự thật 
A B Y=A.B 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 4
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
1 1 1 
Nhận xét: Tính chất của hàm AND có thể được phát biểu như sau: 
- Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 1 khi tất cả các biến đều bằng 1 
hoặc 
- Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 0 khi có một biến bằng 0. 
 2.1.4.3. Hàm OR [tổng logic, toán tử (+)] : Y = A + B 
 Bảng sự thật 
A B Y=A + B 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
Nhận xét: Tính chất của hàm OR có thể được phát biểu như sau: 
- Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 0 khi tất cả các biến đều bằng 0 
hoặc 
- Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 1 khi có một biến bằng 1. 
 2.1.4.4.Hàm EX-OR (OR loại trừ) BAY ⊕= 
 Bảng sự thật 
A B BAY ⊕= 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
Nhận xét: Một số tính chất của hàm EX - OR: 
 - Hàm EX - OR của 2 biến chỉ có giá trị 1 khi hai biến khác nhau và ngược lại. Tính 
chất này được dùng để so sánh 2 biến. 
 - Hàm EX - OR của 2 biến cho phép thực hiện cộng hai số nhị phân 1 bit mà không 
quan tâm tới số nhớ. 
- Từ kết quả của hàm EX-OR 2 biến ta suy ra bảng sự thật cho hàm 3 biến 
A B C CBAY ⊕⊕= 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 5
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 - Trong trường hợp 3 biến (và suy rộng ra cho nhiều biến), hàm EX - OR có giá trị 1 khi 
số biến bằng 1 là số lẻ. Tính chất này được dùng để nhận dạng một chuỗi dữ liệu có số bit 1 là 
chẵn hay lẻ trong thiết kế mạch phát chẵn lẻ. 
2.1.5. Tính chất của các hàm logic cơ bản: 
 2.1.5.1. Tính chất cơ bản: 
 ♦ Có một phần tử trung tính duy nhất cho mỗi toán tử (+) và (.): 
 A + 0 = A ; 0 là phần tử trung tính của hàm OR 
 A . 1 = A ; 1 là phần tử trung tính của hàm AND 
 ♦ Tính giao hoán: 
 A + B = B + A 
 A . B = B . A 
 ♦ Tính phối hợp: 
 (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C 
 (A . B) . C = A . (B . C) = A . B . C 
 ♦ Tính phân bố: 
 - Phân bố đối với phép nhân: A . (B + C) = A . B + A . C 
 - Phân bố đối với phép cộng: A + (B . C) = (A + B) . (A + C) 
 Phân bố đối với phép cộng là một tính chất đặc biệt của phép toán logic 
 ♦ Không có phép tính lũy thừa và thừa số: 
 A + A + . . . . . + A = A 
 A . A . . . . . . . . A = A 
 ♦ Tính bù: 
0AA.
1AA
AA
=
=+
=
 2.1.5.2. Tính song đối (duality): 
 Tất cả biểu thức logic vẫn đúng khi [thay phép toán (+) bởi phép (.) và 0 bởi 1] hay 
ngược lại. Điều này có thể chứng minh dễ dàng cho tất cả biểu thức ở trên. 
 Thí dụ : Α + Β = Β + Α ⇔ Α.Β = Β.Α 
 Α + A Β = Α + Β ⇔ Α(A +Β) = Α.Β 
 A + 1 = 1 ⇔ A.0 = 0 
 2.1.5.3. Định lý De Morgan 
Định lý De Morgan được phát biểu bởi hai biểu thức: 
CBAA.B.C
C.B.ACBA
++=
=++ 
 Định lý De Morgan cho phép biến đổi qua lại giữa hai phép cộng và nhân nhờ vào phép 
đảo. 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 6
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 Định lý De Morgan được chứng minh bằng cách lập bảng sự thật cho tất cả trường hợp 
có thể có của các biến A, B, C với các hàm AND, OR và NOT của chúng. 
 2.1.5.4. Sự phụ thuộc lẫn nhau của các hàm logic cơ bản 
 Định lý De Morgan cho thấy các hàm logic không độc lập với nhau, chúng có thể biến 
đổi qua lại, sự biến đổi này cần có sự tham gia của hàm NOT. Kết quả là ta có thể dùng hàm 
(AND và NOT) hoặc (OR và NOT) để diễn tả tất cả các hàm. 
 Thí dụ: 
 Chỉ dùng hàm AND và NOT để diễn tả hàm sau: .CAB.CA.BY ++= 
 Chỉ cần đảo hàm Y hai lần, ta được kết quả: 
 .CA.B.C.A.B.CAB.CA.BYY =++== 
 Nếu dùng hàm OR và NOT để diễn tả hàm trên làm như sau: 
CACBBA.CAB.CA.BY +++++=++= 
2.2. CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC 
 Một hàm logic được biểu diễn bởi một tổ hợp của những tổng và tích logic. 
 ♦ Nếu biểu thức là tổng của những tích, ta có dạng tổng 
 Thí dụ : ZYXZXYZ)Y,f(X, ++= 
 ♦ Nếu biểu thức là tích của những tổng, ta có dạng tích 
 Thí dụ : )ZZ).(YY).(X(XZ)Y,f(X, +++= 
 Một hàm logic được gọi là hàm chuẩn nếu mỗi số hạng chứa đầy đủ các biến, ở dạng 
nguyên hay dạng đảo của chúng. 
 Thí dụ : ZXYZYXXYZZ)Y,f(X, ++= là một tổng chuẩn. 
 Mỗi số hạng của tổng chuẩn được gọi là minterm. 
 Z)YXZ).(YZ).(XY(XZ)Y,f(X, ++++++= là một tích chuẩn. 
 Mỗi số hạng của tích chuẩn được gọi là maxterm. 
 Phần sau đây cho phép chúng ta viết ra một hàm dưới dạng tổng chuẩn hay tích chuẩn 
khi có bảng sự thật diễn tả hàm đó. 
2.2.1. Dạng tổng chuẩn 
 Để có được hàm logic dưới dạng chuẩn, ta áp dụng các định lý triển khai của Shanon. 
 Dạng tổng chuẩn có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ nhất: 
 Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tổng 
của hai tích như sau: 
 f(A,B,...,Z) = A.f(1,B,...,Z) + A .f(0,B,...,Z) (1) 
 Hệ thức (1) có thể được chứng minh rất dễ dàng bằng cách lần lượt cho A bằng 2 giá 
trị 0 và 1, ta có kết quả là 2 vế của (1) luôn luôn bằng nhau. Thật vậy 
 Cho A=0: f(0,B,...,Z) = 0.f(1,B,...,Z) + 1. f(0,B,...,Z) = f(0,B,...,Z) 
 Cho A=1: f(1,B,...,Z) = 1.f(1,B,...,Z) + 0. f(0,B,...,Z) = f(1,B,...,Z) 
 Với 2 biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A : 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 7
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 f(A,B) = A.f(1,B) + A .f(0,B) 
 Mỗi hàm trong hai hàm vừa tìm được lại có thể triển khai theo biến B 
 f(1,B) = B.f(1,1) + Β.f(1,0) & f(0,B) = B.f(0,1) + B .f(0,0) 
 Vậy: f(A,B) = AB.f(1,1) + A .B.f(0,1) + A B .f(1,0) + A B .f(0,0) 
 f(i,j) là giá trị riêng của f(A,B) khi A=i và B=j trong bảng sự thật của hàm. 
 Với 3 biến, trị riêng của f(A, B, C) là f(i, j, k) khi A=i, B=j và C=k ta được: 
 f(A,B,C) = A.B.C.f(1,1,1) + A.B. C .f (1,1,0) + A. B .C.f(1,0,1) + A. B . C .f(1,0,0) + 
 A .B.C.f(0,1,1) + A .B. C .f(0,1,0) + A . B .C.f(0,0,1) + A . B . C .f(0,0,0) 
 Khi triển khai hàm 2 biến ta được tổng của 22 = 4 số hạng 
 Khi triển khai hàm 3 biến ta được tổng của 23 = 8 số hạng 
 Khi triển khai hàm n biến ta được tổng của 2n số hạng 
 Mỗi số hạng là tích của một tổ hợp biến và một trị riêng của hàm. Hai trường hợp có 
thể xảy ra: 
 - Giá trị riêng = 1, số hạng thu gọn lại chỉ còn các biến: 
 A . B .C.f(0,0,1) = A . B .C nếu f(0,0,1) = 1 
 - Giá trị riêng = 0, tích bằng 0 : 
 A . B . C .f(0,0,0)= 0 nếu f(0,0,0) = 0 
 và số hạng này biến mất trong biểu thức của tổng chuẩn. 
 Thí dụ: 
 Cho hàm 3 biến A,B,C xác định bởi bảng sự thật: 
Hàng A B C Z=f(A,B,C) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
 Với hàm Z cho như trên ta có các trị riêng f(i, j, k) xác định bởi: 
 f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(0,1,1) = f(1,0,1) = f(1,1,1) =1 
 f(0,0,0) = f(1,0,0) = f(1,1,0) = 0 
 - Hàm Z có trị riêng f(0,0,1)=1 tương ứng với các giá trị của tổ hợp biến ở hàng (1) là 
A=0, B=0 và C=1 đồng thời, vậy A. B .C là một số hạng trong tổng chuẩn 
 - Tương tự với các tổ hợp biến tương ứng với các hàng (2), (3), (5) và (7) cũng là các số 
hạng của tổng chuẩn, đó là các tổ hợp: A.B. C , A .B.C, A. B .C và A.B.C 
 - Với các hàng còn lại (hàng 0,4,6), trị riêng của f(A,B,C) = 0 nên không xuất hiện trong 
triển khai. 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 8
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 Tóm lại ta có: Z = A. B .C + A.B. C + A .B.C + A. B .C + A.Β.C 
 - Ý nghĩa của định lý Shanon thứ nhất: 
 Nhắc lại tính chất của các hàm AND và OR: b1.b2.... bn = 1 khi b1, b2..., bn đồng thời 
bằng 1 và để a1 + a2 + ... + ap = 1 chỉ cần ít nhất một biến a1, a2, ..., ap bằng 1 
 Trở lại thí dụ trên, biểu thức logic tương ứng với hàng 1 (A=0, B=0, C=1) được 
viết A. B .C =1 vì A = 1 , B = 1, C = 1 đồng thời. 
 Biểu thức logic tương ứng với hàng 2 là A.B. C =1 vì A=0 ( A = 1), B=1, C=0 ( C = 1) 
đồng thời 
 Tương tự, với các hàng 3, 5 và 7 ta có các kết quả: A .B.C , A. B .C và A.Β.C 
 Như vậy, trong thí dụ trên 
 Z = hàng 1 + hàng 2 + hàng 3 + hàng 5 + hàng 7 
 Z = A. B .C + A.B. C + A .B.C + A. B .C + A.Β.C 
 Tóm lại, từ một hàm cho dưới dạng bảng sự thật, ta có thể viết ngay biểu thức của hàm 
dưới dạng tổng chuẩn như sau: 
 - Số số hạng của biểu thức bằng số giá trị 1 của hàm thể hiện trên bảng sự thật 
 - Mỗi số hạng trong tổng chuẩn là tích của tất cả các biến tương ứng với tổ hợp mà 
hàm có trị riêng bằng 1, biến được giữ nguyên khi có giá trị 1 và được đảo nếu giá trị 
của nó = 0. 
2.2.2. Dạng tích chuẩn 
 Đây là dạng của hàm logic có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ hai: 
 Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tích 
của hai tổng như sau: 
 f(A,B,...,Z) = [ A + f(1,B,...,Z)].[A + f(0,B,...,Z)] (2) 
 Cách chứng minh định lý Shanon thứ hai cũng giống như đã chứng minh định lý 
Shanon thứ nhất. 
 Với hai biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A 
 f(A,B) = [ A + f(1,B)].[A + f(0,B)] 
 Mỗi hàm trong hai hàm vừa tìm được lại có thể triển khai theo biến B 
 f(1,B) = [ B + f(1,1)].[B + f(1,0)] & f ... ________________________Nguyễn Trung Lập 
số 1 của nhóm chỉ chứa trong phân nửa bảng trong đó biến A có giá trị 1 (hay 0). Nói cách 
khác nếu các số 1 của nhóm đồng thời nằm trong các ô của biến A và A thì biến A sẽ được 
đơn giản. Hình dưới đây minh họa việc lấy các thừa số trong tích 
 Thí dụ đối với bảng (H 2.9) ta có kết quả như sau: 
 - Hàm Y là hàm 4 biến A,B,C,D 
 - Nhóm 1 chứa 2 số 1 (k=1), như vậy nhóm 1 sẽ 
còn 3 biến, theo hàng, 2 số 1 này ở 2 ô ứng với AB và 
AB, biến A sẽ được đơn giản và theo cột thì 2 ô này ứng 
với tổ hợp C .D . 
(H 2.9) 
 Kết quả ứng với nhóm 1 là: B.C .D 
 - Nhóm 2 chứa 4 số 1 (4=22 , k=2), như vậy nhóm 
2 sẽ còn 2 biến, theo hàng, 4 số 1 này ở 2 ô ứng với tổ 
hợp AB và AB, biến B sẽ được đơn giản và theo cột 
thì 4 ô này ứng với tổ hợp CD và C D , cho phép đơn 
giản biến D . 
 Kết quả ứng với nhóm 2 là: AC. 
 - Nhóm 3 chứa 4 số 1 (4=22 , k=2), như vậy nhóm 
2 sẽ còn 2 biến, theo hàng, 4 số 1 này ở ô ứng với tổ hợp AB, theo cột 4 số 1 này chiếm hết 4 
cột nên 2 biến Cvà D được đơn giản. 
 Kết quả ứng với nhóm 3 là: AB. 
Và hàm Y rút gọn là: Y = BC D +AC + AB 
Dưới đây là một số thí dụ 
 Thí dụ 1 : Rút gọn hàm Y = f(A,B,C) = A.B.C+ A.B.C+A.B. C+A.B.C+A.B.C 
(H 2.10) 
 (H 2.10) cho Y = AB + C 
 Thí dụ 2 : Rút gọn hàm Y = f(A,B,C,D) = Σ(0,2,4,5,8,10,12,13) với A=MSB 
(H 2.11) 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 17
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 (H 2.11) cho Y = B C + B D 
 Thí dụ 3 : Rút gọn hàm S cho bởi bảng sự thật: 
N A B C D S 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10→15 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
x (Không xác định) 
Bảng Karnaugh: (H 2.12) 
 (H 2.12) 
 Kết quả : S = B C + BC 
 2.3.2.6. Rút gọn các hàm nhiều biến bằng cách dùng bảng Karnaugh 4 
biến: 
 Để rút gọn các hàm nhiều biến (5 và 6 biến) người ta có thể dùng bảng Karnaugh 4 
biến. Dưới đây là vài thí dụ: 
 Thí dụ 4 : Rút gọn hàm f(A,B,C,D,E) = ∑ (0,2,8,10,13,15,16,18,24,25,26,29,31) với 
(7,9,14,30) không xác định 
- Trước nhất vẽ 2 bảng Karnaugh cho 4 biến BCDE, một ứng với A và một với A 
- Bảng ứng với A dùng cho các số từ 0 đến 15 
- Bảng ứng với A dùng cho các số từ 16 đến 31 
- Nhóm các số 1 có cùng vị trí ở hai bảng, kết quả sẽ đơn giản biến A 
 - Nhóm các số 1 của từng bảng cho đến hết , kết quả được xác định như cách làm thông 
thường, nhớ A và A trong từng nhóm (H 2.13). 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 18
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
(H 2.13) 
 nhóm (1) cho : EC ; (2) cho : BCE ; (3) cho : EDB 
Vậy f(A,B,C,D,E) = EC + BCE + EDB 
Thí dụ 5 : Rút gọn hàm 
f(A,B,C,D,E,F)=∑(2,3,6,7,8,9,12,13,14,17,24,25,28,29,30,40,41,44,45,46,56,57,59,60,61,63) 
 Tương tự như trên nhưng phải vẽ 4 bảng cho: 
 AB cho các số (0-15) ; AB cho các số (16-31) ; 
 AB cho các số (48-63) và AB cho các số (32-47). 
 (H 2.14) 
Kết quả: (1) cho EC ; (2) FCDA + FCDB ; (3) ECBA ; (4) FEDBA ; (5) ABCF 
Vậy: 
 f(A,B,C,D,E,F) = EC + ECBA + ABCF + FCDA + FCDB + FEDBA 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 19
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
2.3.3. Phương pháp Quine-Mc. Cluskey 
 Phương pháp Quine-Mc. Cluskey cũng dựa trên tính kề của các tổ hợp biến để đơn giản 
số biến trong các số hạng của biểu thức dạng tổng (minterm). Trong quá trình đơn giản này có 
thể xuất hiện các số hạng giống nhau mà ta có thể bỏ bớt được. 
 Phương pháp được thực hiện qua 2 giai đọan: 
 Giai đọan 1: Dựa trên tính kề của các tổ hợp biến để đơn giản số biến trong các số hạng 
của biểu thức dạng tổng (minterm). 
 Giai đọan 2: Kiểm tra và thực hiện việc tối giản . 
 Thí dụ dưới đây minh họa cho việc thực hiện phương pháp để rút gọn một hàm logic. 
 Thí dụ 1: Rút gọn hàm f(A,B,C,D) = Σ(1,2,4,5,6,10,12,13,14) 
 ♣ Giai đọan 1
 - Các minterm được nhóm lại theo số số 1 có trong tổ hợp và ghi lại trong bảng theo thứ 
tự số 1 tăng dần: 
 Trong thí dụ này có 3 nhóm: 
 Nhóm chứa một số 1 gồm các tổ hợp 1, 2, 4 
 Nhóm chứa hai số 1 gồm các tổ hợp 5, 6, 10, 12 
 Nhóm chứa ba số 1 gồm các tổ hợp 13, 14 
 Bảng 1: 
 A B C D 
x 1
x 2
x 4
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
x 5
x 6
x 10
x 12
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
x 13
x 14
1 
1 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
 - Mỗi tổ hợp trong một nhóm sẽ được so sánh với mỗi tổ hợp trong nhóm kế cận. Nếu 
2 tổ hợp chỉ khác nhau một biến, ta có thể dùng biểu thức AB + AB = B để đơn giản được 1 
biến. Biến đã đơn giản được thay bởi dấu -. Đánh dấu x vào các tổ hợp đã xét để tránh sai sót 
 Như vậy, tổ hợp thứ nhất của nhóm thứ nhất 0001 so sánh với tổ hợp thứ nhất của nhóm 
thứ hai 0101 vì chúng chỉ khác nhau ở biến B, vậy chúng có thể đơn giản thành 0-01. Hai số 
hạng 1 và 5 đã được gom lại thành nhóm (1,5) và được ghi vào bảng 2. 
 Tiếp tục so sánh tổ hợp 0001 này với các tổ hợp còn lại của nhóm 2 (0110, 1010, 1100), 
vì chúng khác nhau nhiều hơn 1 bit nên ta không được kết quả nào khác. Như vậy, ta đã so 
sánh xong tổ hợp thứ nhất, đánh dấu x trước tổ hợp này để ghi nhớ. 
 Công việc tiến hành tương tự cho nhóm thứ hai và thứ ba. 
Lưu ý: Nhận xét về việc so sánh các tổ hợp với nhau ta thấy có thể thực hiện nhanh được 
bằng cách làm bài toán trừ 2 số nhị phân tương ứng của 2 tổ hợp, nếu kết quả là một số có trị 
= 2k (1, 2, 4,8 ...) thì 2 tổ hợp đó so sánh được và biến được đơn giản chính là biến có trọng 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 20
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
số =2k (thí dụ 2 tổ hợp 1 và 5 có hiệu số là 4 nên đơn giản được biến B), nếu hiệu số ≠ 2k thì 2 
tổ hợp đó không so sánh được, tức không có biến được đơn giản. 
 Kết quả cho bảng thứ hai 
 - Bảng thứ hai gồm các tổ hợp đã được rút gọn và chỉ còn lại 2 nhóm (giảm một nhóm 
so với bảng 1). 
 Bảng 2 
 A B C D 
 1,5 0 - 0 1 
x 2,6 0 - 1 0 
x 2,10 - 0 1 0 
x 4,5 0 1 0 - 
x 4,6 0 1 - 0 
x 4,12 - 1 0 0 
x 5,13 - 1 0 1 
x 6,14 - 1 1 0 
x 10,14 1 - 1 0 
x 12,13 1 1 0 - 
x 12,14 1 1 - 0 
 Thực hiện công việc tương tự như trên với hai nhóm trong bảng thứ hai này, các số 
hạng sẽ được nhóm lại nếu chúng chỉ khác nhau một biến và có vị trí dấu - trùng nhau. Ta 
được bảng thứ 3. 
 Bảng 3: 
A B C D 
 2,6 ; 10,14 
2,10 ; 6,14 
4,5 ; 12,13 
4,6 ; 12,14 
4,12 ; 5,13 
4,12 ; 6,14 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
- 
0 
- 
0 
0 
- 
0 
- 
0 
 Quan sát bảng thứ 3 ta thấy có các tổ hợp giống nhau, như vậy ta có thể lọai bỏ bớt các 
tổ hợp này và chỉ giữ lại một. 
 Kết quả của hàm rút gọn gồm tổng các số hạng tương ứng với các tổ hợp không gom 
thành nhóm trong các bảng đầu tiên, đó là tổ hợp (1,5) trong bảng 2, trị tương ứng là ACD 
với các tổ hợp còn lại trong bảng cuối cùng, đó là các tổ hợp (2,6 ; 10,14) mà trị tương ứng là 
CD , (4,5 ; 12,13) cho B C và (4,6 ; 12,14) cho BD trong bảng 3. Vậy: 
 f(A,B,C,D) = A CD + CD + BC + BD 
 Đến đây, nếu quan sát các tổ hợp cho các kết quả trên, ta thấy các tổ hợp còn chứa các 
số hạng giống nhau (số 4 và số 12 chẳng hạn), như vậy kết quả trên có thể là chưa tối giản. 
 ♣ Giai đọan 2: 
 Để có thể rút gọn hơn nữa ta lập một bảng như sau: 
 Cột bên trái ghi lại các tổ hợp đã chọn được trong giai đoạn 1, các cột còn lại ghi các trị 
thập phân có trong hàm ban đầu. 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 21
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 Trên cùng hàng của tổ hợp ta đánh dấu * dưới các cột có số tương ứng (ví dụ hàng chứa 
tổ hợp 1,5 có các dấu * ở cột 1 và 5). Tương tự cho các tổ hợp khác. 
 Bảng 4 
 1 2 4 5 6 10 12 13 14 
*↓ *↓ 
 *↓ *↓ *↓ *↓ 
 *↓ * *↓ *↓ 
 * * * * 
1,5 ← 
2,6 ; 10,14 ← 
4,5 ; 12,13 ← 
4,6 ; 12,14 
x x x x x x x x x 
 Xét các cột chỉ chứa một dấu *, đó là các cột 1,2,10 và 13, các tổ hợp ở cùng hàng với 
các dấu * này sẽ được chọn, đó là các tổ hợp (1,5), (2,6 ; 10,14), (4,5 ; 12,13), tương ứng với 
ACD + CD + B C . Đánh dấu X dưới các cột tương ứng với các số có trong các tổ hợp đã 
chọn. Nếu tất cả các cột đều được đánh dấu thì các tổ hợp đã chọn đủ để diễn tả hàm ban đầu. 
 Trong trường hợp của bài toán này, sau khi chọn các tổ hợp nói trên thì tất cả cột đã 
được đánh dấu do đó kết quả cuối cùng là (sau khi loai bỏ tổ hợp BD ): 
 f(A,B,C,D) = A CD + CD + BC 
Thí dụ 2: Rút gọn hàm f(A,B,C,D) = Σ(3,4,6,7,8,11,12,15) 
 ♣ Giai đọan 1
 Bảng 1: 
 A B C D 
x 4
x 8
0 
0 
1 
0 
0 
1 
0 
0 
x 3
x 6
x 12
0 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
x 
x 
7
11
0 
1 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
x 15 1 1 1 1 
 So sánh các tổ hợp của 2 nhóm gần nhau ta được kết quả cho bảng thứ hai 
 - Bảng thứ hai gồm các tổ hợp đã được rút gọn và chỉ còn lại 3 nhóm (giảm một nhóm 
so với bảng 1). 
 Bảng 2 
 A B C D 
 4,6 0 1 - 0 
 4,12 - 1 0 0 
 8,12 1 - 0 0 
x 3,7 0 - 1 1 
x 3,11 - 0 1 1 
 6,7 0 1 1 - 
x 7,15 - 1 1 1 
x 11,15 1 - 1 1 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 22
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 Bảng 3: 
A B C D 
 3,7 ; 11,15
3,11 ; 7,15
- 
- 
- 
- 
1 
1 
1 
1 
 Kết quả của hàm rút gọn gồm tổng các số hạng tương ứng với các tổ hợp không gom 
thành nhóm: (4,6), (4,12), (8,12), (6,7) và (3,7;11,15) 
 f(A,B,C,D) = CD+ABD + BC D + AC D +ABC 
 ♣ Giai đọan 2: 
 Bảng 4 
 3 4 6 7 8 11 12 15 
*↓ *↓ *↓ *↓ 
 * * 
 * * 
 *↓ *↓ 
 * * 
3,7;11,15 ← 
4,6 
4,12 
8,12 ← 
6,7 
x x x x x x 
 Các cột 3, và 8 chỉ chứa một dấu *, các tổ hợp ở cùng hàng với các dấu * này sẽ được 
chọn, đó là các tổ hợp (3,7;11,15) và , (8,12), tương ứng với CD và AC D . 
 Đánh dấu X dưới các cột tương ứng với các số có trong các tổ hợp đã chọn. 
 Đến đây ta thấy còn 2 cột 4 và 6 chưa có dấu X, trong lúc chúng ta còn đến 3 tổ hợp để 
chọn. Dĩ nhiên trong trường hợp này ta chỉ cần chọn tổ hợp (4,6) (ABD ) thay vì chọn (4,12) 
và (6,7) thì đủ dấu X để lấp đầy các cột. 
Tóm lại: f(A,B,C,D) = CD +ABD + AC D 
Thí dụ về bài toán đầy đủ: 
Thí dụ 1: 
Cho hàm logic F(A, B, C) thỏa tính chất: F(A,B,C) = 1 nếu có một và chỉ một biến 
bằng 1 
 a- Lập bảng sự thật cho hàm F. 
 b- Rút gọn hàm F. 
 c- Diễn tả hàm F chỉ dùng hàm AND và NOT 
Giải 
a. Dựa vào điều kiện của bài toán ta có bảng sự thật của hàm F: 
A B C F(A,B,C) 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 23
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
b. Rút gọn hàm F 
Bảng Karnaugh 
CBACBACBAB.C)F(A, ++= 
c. Diễn tả hàm F chỉ dùng hàm AND và NOT 
Dùng địnhlý De Morgan, lấy đảo 2 lần hàm F: 
CBACBACBACBACBACBAB.C)F(A,B.C)F(A, ..=++== 
Thí dụ 2: 
Cho hàm logic F(A, B, C, D) thỏa tính chất: F(A,B,C,D) = 1 khi có ít nhất 3 biến 
bằng 1 
 a- Rút gọn hàm F. 
 b- Diễn tả hàm F chỉ dùng hàm OR và NOT 
Giải 
a- Rút gọn hàm F 
Ta có thể đưa hàm vô bảng Karnaugh mà không cần vẽ bảng sự thật. 
Ta đưa số 1 vào tất cả các ô chứa 3 trị 1 trở lên 
 Và kết quả của hàm rút gọn là: 
 F(A,B,C,D) = ABC + ABD + ACD + BCD 
 b- Diễn tả hàm F chỉ dùng hàm OR và NOT 
 Dùng định lý De Morgan cho từng số hạng trong tổng 
 Viết lại hàm F: 
 BCDACDABDABCD)C,B,F(A, +++= 
 DCBDCADBACBA +++++++++++= 
BÀI TẬP 
1. Diễn tả mỗi mệnh đề dưới đây bằng một biểu thức logic: 
 a/ Tất cả các biến A,B,C,D đều bằng 1 
 b/ Tất cả các biến A,B,C,D đều bằng 0 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 24
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
 c/ Ít nhất 1 trong các biến X,Y,Z,T bằng 1 
 d/ Ít nhất 1 trong các biến X,Y,Z,T bằng 0 
 e/ Các biến A,B,C,D lần lượt có giá trị 0,1,1,0 
2. Tính đảo của các hàm sau: 
 a/ f1 = (A + B)( A + B ) 
 b/ f2 = (A + B + C )(B + C + D)( A + C + D) 
 c/ f3 = A(C + D) + ( A + C)( B + C + D) 
 d/ f4 = (AB + C)(BC + D) + A BC + C D 
 e/ f5 = A B C + A B C + A(BC + B C ) 
3. Chứng minh bằng đại số các biểu thức sau: 
 a/ BA..BAB.AA.B +=+ 
 b/ B)AC)((A.CAA.B ++=+ 
 c/ C.B.CACB.A.C +=+ 
 d/ )CAB)((AC)C)(BAB)((A ++=+++ 
 e/ )CBC)(A()CC)(B(A ++=++ 
4. Viết dưới dạng tổng chuẩn các hàm xác định bởi: 
 a/ f(A,B,C) = 1 nếu số nhị phân (ABC)2 là số chẵn 
 b/ f(A,B,C) = 1 nếu có ít nhất 2 biến số = 1 
 c/ f(A,B,C) = 1 nếu số nhị phân (ABC)2 >5 
 d/ f(A,B,C) = 1 nếu số biến số 1 là số chẵn 
 e/ f(A,B,C) = 1 nếu có 1 và chỉ 1 biến số =1 
5. Viết dưới dạng tích chuẩn các hàm ở bài tập 4 
6. Viết dưới dạng số các bài tập 4 
7. Viết dưới dạng số các bài tập 5 
8. Rút gọn các hàm dưới đây bằng phương pháp đại số (A = MSB) 
 a/ f1 = ABC + A B C + AB C D 
 b/ f2 = (A+BC) + A ( B + C )(AD+C) 
 c/ f3 = (A+B+C)(A+B+C )( A +B+C)( A +B+ C ) 
 d/ f4(A,B,C,D) = Σ(0,3,4,7,8,9,14,15) 
 e/ f5 = A B + AC + BC 
 f/ f6 = (A+ C )(B+C)(A+B) 
9. Dùng bảng Karnaugh rút gọn các hàm sau: (A = MSB) 
a/ f(A,B,C) = Σ(1,3,4) 
b/ f(A,B,C) = Σ(1,3,7) 
c/ f(A,B,C) = Σ(0,3,4,6,7) 
d/ f(A,B,C) = Σ(1,3,4) . Các tổ hợp biến 6,7 cho hàm không xác định 
e/ f(A,B,C) = A.B.CC.BA.C.B.A.CB.A +++ 
f/ f(A,B,C,D) = Σ(5,7,13,15) 
g/ f(A,B,C,D) = Σ(0,4,8,12) 
h/ f(A,B,C,D) = Σ(0,2,8,10) 
i/ f(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,6,9,11,13,14) 
j/ f(A,B,C,D) = Π(0,1,5,9,10,15) 
k/ f(A,B,C,D) = Π (0,5,9,10) với các tổ hợp biến (2,3,8,15) cho hàm không xác định 
l/ f(A,B,C,D,E) = Σ(2,7,9,11,12,13,15,18,22,24,25,27,28,29,31) 
KỸ THUẬT SỐ 
______________________________________________________Chương 2 
 Hàm Logic II - 25
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập 
m/ f(A,B,C,D.E) = Σ(0,2,8,10,13,15,16,18,24,25,26,29,31) với các tổ hợp biến 
(7,9,14,30) cho hàm không xác định 
n/ f(A,B,C,D,E,F) = 
Σ(2,3,6,7,8,9,12,13,14,17,24,25,28,29,30,40,41,44,45,46,56,57,59,60,61,63) 
o/ f(A,B,C,D,E,F) = 
Σ(9,11,13,15,16,18,20,22,25,27,29,31,32,34,36,38,41,43,45,47,48,50,52,54) 
10. Làm lại các bài tập từ 9f bằng phương pháp Quine-Mc Cluskey. 
KỸ THUẬT SỐ