Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu

TRẦN CÔNG NGHỊ 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 
VÀ 
CƠ HỌC KẾT CẤU 
(TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN 
KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI) 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009 
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH 
 3
Trang này để trống 
 4
Chương 1 
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 
Tóm tắt 
Phương trình cân bằng: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
0
0
0
Z
yxz
Y
zxy
X
zyx
yzzxz
yzyxy
xzxyx
ττσ
ττσ
ττσ
 (1.1) 
trong đó X, Y, Z – lực khối. 
Phương trình biến dạng: 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=
=
=
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
 (1.2) 
 Điều kiện tương hợp (liên tục): 
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
∂∂
∂=∂
∂+∂
∂
∂∂
∂=∂
∂+∂
∂
∂∂
∂=∂
∂+∂
∂
zxzx
zyyz
yxxy
xzxz
yzzy
xyyx
γεε
γεε
γεε
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 và 
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+∂
∂
∂
∂=∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂−∂
∂
∂
∂=∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−∂
∂=∂∂
∂
zyxzyx
zyxyzx
zyxxzy
xyxzyzz
xyxzyzy
xyxzyzx
γγγε
γγγε
γγγε
2
2
2
2
2
2
 (1.3) 
Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là 
[c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính 
theo công thức: 
[ ] [ ][ ][ ]Tcc σσ =* (1.4) 
 5
với [ ] [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ccc
ccc
ccc
c
σττ
τστ
ττσ
σ;
***
***
***
Ứng suất chính xác định từ phương trình: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−++
=+−+
=++−
0)(
0)(
0)(
mlk
mlk
mlk
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σσττ
τσστ
ττσσ
 (1.5) 
hoặc dưới dạng ma trận: 
}0{=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
m
l
k
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σσττ
τσστ
ττσσ
 (1.6) 
trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương 
trình: 
σ3 - σ2J1 + σJ2 – J3 = 0. (1.7) 
trong đó J1 = σx + σy + σz 
J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8) 
J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9) 
Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của 
tenso ứng suất. 
Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức: 
22
4
1
2,1 )(2 xyyx
yx τσσσσσ +−±+= (1.10) 
Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức: 
yx
xy
ntg σσ
τθ −=
2
2 (1.11) 
Ứng suất cắt lớn nhất: 
2
21
minmax,
σστ −±= (1.12) 
xy
yx
stg τ
σσθ −= 22 (1.13) 
Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình: 
 6
2
2
2
22 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− yxyx σστσσσ (1.14) 
Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν. 
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
+−=
+−=
+−=
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
1
1
1
 và 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
zxzx
yzyz
xyxy
G
G
G
τγ
τγ
τγ
1
1
1
 (1.15) 
trong đó 
)1(2 ν+=
EG (1.16) 
Nếu ký hiệu: zyxe εεε ++= có thể viết: 
( )( )
( )( )
( )( ) ⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
++−+=
++−+=
++−+=
zz
yy
xx
EeE
EeE
EeE
εννν
νσ
εννν
νσ
εννν
νσ
1211
1211
1211
 (1.17) 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
+=
+=
+=
zz
yy
xx
Ge
Ge
Ge
ελσ
ελσ
ελσ
2
2
2
 (1.18) 
trong đó ( )( )νν
νλ
211 −+=
E mang tên gọi hằng số Lamé. 
Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0. 
;;;
2
2
2
2
2
yxyx xyyx ∂∂
Φ∂−=∂
Φ∂=∂
Φ∂= τσσ 
Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c, 
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const. 
Điều kiện biên như sau: 
a) Tại x = 0: 
σx = 0; τxy = 0. 
b) Tại x = L: 
q
Hình 1.1 
 7
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
∫
∫
∫
−
−
−
2
2
1
0
qLybdy
bdy
qLbdy
c
c
x
c
c
x
c
c
xy
σ
σ
τ
c) Tại y = c: 
0; =−= xyy b
q τσ 
d) Tại y = -c: 
σy = 0; τxy = 0. 
Những nhận xét ban đầu: 
- Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn. 
- Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và 
b
q
y −=σ tại y = c và σy = 0 tại y = -c, có 
thể rút ra σy sẽ là hàm lẻ của y. 
- Hàm σx cũng là hàm lẻ của y. 
Hàm Airy nên viết dưới dạng: 
Φ = Axy +Bx2 + Cx2y + Dy3 +Exy3 +Fx2y3 +Gy5 
Có thể thấy rằng: ∇4Φ(x,y) = 24Fy + 120Gy = 0. 
Từ phương trình cuối suy ra F = -5G. 
Ứng suất tính theo công thức sau: 
32
2
2
203066 GyyGxExyDy
xx
+−+=∂
Φ∂=σ 
3
2
2
1022 GyCyB
yy
++=∂
Φ∂=σ 
)3032( 22
2
GxyEyCxA
yxxy
−++−=∂∂
Φ∂−=τ 
Từ công thức tính τxy có thể viết: 
Thỏa mãn điều kiện τxy = 0 tại x = 0: A + 3Ey2 = 0, từ đó A = E = 0. 
Thoả mãn τxy = 0 tại y = ±c có thể thấy: 
0 = -(2Cx - 30Gc2x), hay là C = 15Gc2. 
Giải phương trình xác định σy, thỏa mãn điều kiện biên cho phép xác định B, G: 
 8
333 20210302 GcBGcGcB
b
q +=−+=− 
333 202103020 GcBGcGcB −=+−= 
Từ đó có thể nhận được: 
340
;
4 bc
qG
b
qB −=−= 
Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng 332 bcI = , biểu thức của B và G sẽ có dạng: 
I
qG
I
qcB
60
;
6
3
−=−= 
Hằng C tính theo G sẽ là: C = 15Gc2 = - (qc2)/(4I) 
Từ phương trình xác định σx có thể viết: 
3232
32
6203066 y
I
qyx
I
qDyGyyGxExyDyx −+=+−+=σ 
Thay biểu thức cuối vào điều kiện biên tại x = L có thể thấy: 
232
2
1
32
6 qLybdyy
I
qyx
I
qDy
c
c
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∫
+
−
Từ đó có thể viết: D = 
I
qc
30
2
Trường ứng suất có dạng sau: 
( )
( )
( ) ⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−=
−+−=
−+=
22
323
322
2
32
6
3
25
10
ycx
I
q
yycc
I
q
y
I
qycx
I
q
xy
y
x
τ
σ
σ
Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng: 
( )
( )[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−−−=
−−=
xLyxLx
EJ
Pyx
yxLx
EJ
Pyyxu
222
22
33
6
),(
36
6
),(
υ
υ
v
 9
Y
X
Hình 1.2 
Xác định chuyển vị điểm tại trục y = 0 và xác định trường ứng suất. 
Chuyển vị theo phương thẳng đứng tại y = 0: 
( ) ( )xL
EJ
PxxLx
EJ
Px −−=−−= 3
6
3
6
)0,(
2
32v 
Góc xoay dầm tính theo công thức ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
y
u
xxy
v
2
1θ , mang dạng sau: 
( ) ( ) ( )222222 336
6
336
6
336
62
1 yxLx
EJ
PyxLx
EJ
PyxLx
EJ
P
xy υυυθ −−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−−−−= 
Tại y = 0 góc xoay sẽ là: 
( )236
6
)0,( xLx
EJ
Pxxy −−=θ 
Biến dạng trong dầm tính theo: 
( ) ( )yxL
EJ
P
y
yxL
EJ
P
x
u
yx −−=∂
∂=−=∂
∂= υεε v; 
( ) ( ) 0336
6
336
6
2222 =−−+−−−
=∂
∂+∂
∂=
yxLx
EJ
PyxLx
EJ
P
y
u
xxy
υυ
γ v
Trường ứng suất tính theo cách sau: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−−−=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−−=
0
0)()(
1
)()()(
1
2
2
2
xy
y
x
yxL
EJ
PyxL
EJ
PE
yxL
J
PyxL
EJ
PyxL
EJ
PE
τ
υυ
υσ
υ
υσ
 10
Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σy , τxy 
dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải 
trọng phân bố đều cường độ q(x) = const. 
Ứng suất σx tính tại mặt cắt bất kỳ 
của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức: 
y
J
xM
x
)(=σ (a) 
trong đó M = 221 qx− (b) 
 Hình 1.3 
 Hình 1.3 
Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân, lực khối dầm sẽ không được nhắc tới. Từ phương trình cân 
bằng đầy đủ: 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=+∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂
0
0
By
yxy
Bx
xyx
f
yx
f
yx
στ
τσ
 có thể viết: (c) 
xy
J
q
y
xy −=∂
∂τ
 (d) 
Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được: 
)(
2
'2 xfxy
J
q
xy =−=τ (e) 
Để ý rằng, trường hợp không có ứng suất cắt tại mép trên và mép dưới của dầm, τxy = 0 tại 
y = c và y = -c, hàm f(x) sẽ phải là: 
x
J
qcxf
2
)(
2
= (f) 
Từ đây có thể viết: )(
2
'22 ycx
J
q
xy −−=τ (g) 
Từ phương trình thứ hai của (c ) vớ FBy = 0 có thể viết: 
)(
2
22 yc
J
q
y
y −−=∂
∂σ
Sau tích phân có thể nhận được: 
)()3(
6
22 xFycy
J
q
y +−−=σ (h) 
Điều kiện biên tại y = c: b
q
y −=σ . Momen quán tính qua trục trung hòa mang giá trị J = 12 )2( 3cb . 
Từ đây xác định F(x) = 
J
qc
3
3
− 
q
 11
Hàm σy giờ có thể viết: 
( )323 32
6
yycc
J
q
y −+−=σ 
Ví dụ 4: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển vị trong mặt phẳng 
xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ 
cứng EJ, hệ số Poisson ν. 
Y
X
Hình 1.4 
Momen uốn dầm tính theo công thức: 
M = -P(L – x) 0 < x < L (a) 
Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau: 
)( xLy
J
Py
J
M
x −=−=σ (b) 
σy = 0; 
τxy = 0. 
Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng: 
( ) )(1 xLy
EJ
P
E yxx
−=−= νσσε 
( ) )(1 xLy
EJ
P
E xyy
−−=−= ννσσε 
0)1(2 =+= xyxy E τ
νγ (c) 
Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết: 
)( xLy
EJ
P
x
u
x −==∂
∂ ε 
)( xLy
EJ
P
y y
−−==∂
∂ νεv (d) 
 12
Tiến hành tích phân hai phương trình đạo hàm riêng dạng (d) có thể nhận được: 
)()2(
2
yfxLxy
EJ
Pu +−= 
)()(
2
2 xFxLy
EJ
P +−−= νv 
Hàm f(y) là hàm chỉ của y, hàm F(x) chỉ của x. 
Sau tích phân, tiến hành thay vào hàm biến dạng góc 
y
u
xxy ∂
∂+∂
∂= vγ chúng ta có thể viết: 
y
yfxLx
EJ
P
x
xFy
EJ
P
y
u
xxy ∂
∂+−+∂
∂+=∂
∂+∂
∂= )()2(
2
)(
2
2νγ v 
Thay biểu thức cuối vào (c ) sẽ nhận được phương trình: 
2
2
)()2(
2
)( y
EJ
P
y
yfxLx
EJ
P
x
xF ν−∂
∂=−+∂
∂ (e) 
Phương trình (e) chỉ thỏa mãn khi cả hai vế là const, vídụ cả hai bằng C1. 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−=−∂
∂
=−+∂
∂
1
2
1
2
)(
)2(
2
)(
Cy
EJ
P
y
yf
CxLx
EJ
P
x
xF
ν 
Giải hệ phương trình này có thể viết: 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
+−−=
++−−=
31
3
21
2
6
)(
)3(
6
)(
CyC
EJ
Pyyf
CxCxLx
EJ
PxF
ν (f) 
Hàm u và v giờ đây có dạng: 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
++−−−−=
+−−−=
21
2
2
31
3
)3(
6
)(
6
6
)2(
2
CxCxLx
EJ
PxL
EJ
Py
CyCy
EJ
PxLxy
EJ
Pu
ν
ν
v
 (g) 
Thỏa mãn điều kiện biên sau đây: tại x = y = 0: u = v = θxy = 0, các hằng số phải là C1 
= C2 = C3 = 0. Từ đó có thể viết: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−−−=
−−=
)3(
6
)(
)2(
2
22
3
xLx
EJ
PxLy
y
eEJ
PxLxy
EJ
Pu
2EJ
P
-v
ν
ν
 13
Ví dụ 5: Cho trước thép tròn đường kính φ16mm, chịu lực kéo dọc trục P = 40kN. Lực P gây ứng 
suất cắt τ tại mặt cắt ab, giá trị của τ bằng 60% ứng suất pháp σ tại mặt ab đó. Xác định góc 
nghiêng mặt ab. 
Lời giải: 
 Hình 1.5 
Ứng suất pháp tính tại tiết diện trục thép tròn: 
MPa
d
P 200
4/16.
40000
4/ 220
=== ππσ 
Ứng suất tính tại mặt cắt xiên ab: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
αστ
ασσ
2sin
2
cos
0
2
0
Từ điều kiện đề ra τ = 0,6σ hay là σ0sinαcosα = 0,6 σ0 cos2α có thể viết: 
6,0
cos
sin == αα
α tg 
Từ đó có thể xác định α = 31°. 
Ví dụ 6: Trạng thái ứng suất tại điểm P biểu diễn bằng tensor ứng suất: 
MPaij
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
3507
0107
7714
σ . 
Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt qua điểm, song song với mặt miêu tả bằng 
phương trình 2x - y +3z = 9. 
Lời giải: 
Cosin pháp tuyến mặt 2x - y +3z - 9 = 0 tính như sau: 
 14
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
=
+−+
=
−=
+−+
−=
=
+−+
=
14
3
3)1(2
3
14
1
3)1(2
)1(
14
2
3)1(2
2
222
222
222
m
l
k
 (a) 
Ứng suất pháp tính theo công thức: 
mklmklmlk zxyzxyzyx τττσσσσ 222222 +++++= (b) 
trong đó, từ tensor ứng suất đọc được σx = 14, σy = 10, σz = 35; τxy = 7, τzx = -7, τyz = 0. Kết 
quả ứng suất pháp, tính theo (b) sẽ là σ = 19,21 MPa. 
Ứng suất tiếp tính theo công thức: 
( ) ( ) ( ) 22222 σστττστττστ −++++++++= mlkmlkmlk zyzzxzxyxyzxxyx (c) 
Sau khi thay các giá trị ứng suất và k, l, m vào vế phải phương trình (c), ứng suất tiếp được 
tính như sau: 
τ = 14,95MPa. 
Ví dụ 7: Trạng thái ứng suất tại điểm P, ghi trong hệ tọa độ Oxyz như sau: 
MPaij
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
522
246
268
σ 
Tính trạng thái ứng suất này trong hệ tọa độ Ox’y’z’, qua hai bước:lần đầu trục Oz xoay góc θ 
= 45°, sau đó hệ trục vừa hình thành xoay quay trục Ox góc φ = 30°. 
Lời giải: 
Sau lần xoay quanh trục Oz, hệ tọa độ mới có mối liên hệ với hệ tọa độ Oxyz theo quan hệ: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z
y
x
z
y
x
100
0cossin
0sincos
"
"
"
θθ
θθ
, với θ = 45° 
Lần xoay hệ trục sau thể hiện bằng quan hệ: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
"
"
"
cossin0
sincos0
001
'
'
'
z
y
x
z
y
x
φφ
φφ , với φ = 30° 
Từ đó: 
 15
[ ]{ }XC
z
y
x
z
y
x
x=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φφφφφ
φφφφφ
θφ
cossincossinsin
sincoscoscossin
0sincos
'
'
'
, 
Công thức tính chuyển ứng suất từ hệ tọa độ Oxyz sang hệ tọa độ O’x’y’z’ có dạng: 
[ ] Txijxij CC ][' σσ = 
Sau khi thay θ = 45°, φ = 30° các thành phần ma trận [Cx] tính như sau: 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
2
3
4
2
4
2
2
1
4
6
4
6
2
2
2
2 0
xC 
Các thành phần ứng suất điểm đang xét trong hệ tọa độ O’x’y’z’ sẽ là: 
MPa
x
4
2
20)2(2
0
2
222
2
2
2
26205
2
2.4
2
2.8
22
'
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛××−×+
+×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×+×−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=σ
MPaxx
xxyx
20,5
4
60
2
1
2
22
4
60
2
1
2
22
4
6
2
2
4
6
2
26
2
10)5(
4
6
2
24
4
6
2
28''
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=τ
MPaxx
xxxz
3
4
20
2
3
2
22
4
20
2
3
2
22
4
2
2
2
4
2
2
26
2
30)5(
4
2
2
24
4
2
2
28''
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=τ
MPa
y
8,4
2
1
4
6)2(2
2
1
4
6)2(2
4
6
4
662
2
15
4
6.4
4
6.8
222
'
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×−×+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×−×+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=σ
 16
MPa
xzy
71,2
4
2
2
1
4
6
2
32
4
2
2
1
2
3
4
62
4
6
4
2
4
6
4
26
2
3
2
1)5(
4
6
2
24
4
6
4
28''
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+×−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=τ
MPa
z
2,8
4
3
4
2)2(2
4
3
4
222
4
2
4
262
2
3
2
35
4
2.4
4
2.8
22
'
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×−×+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−××+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛×−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=σ
Kết quả tính như sau: 
MPaij
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
2,87,23
7,28,42,5
32,54
'σ 
Ví dụ 8: Xác định trục chính và ứng suất chính phần tử chiïu tác động ứng suất sau: σx = 500 
kG/cm2, σy = 300 kG/cm2, τxy = 100 kG/cm2. 
Lời giải: 
Công thức tính ứng suất chính: 
2
2
2,1 22 xy
yxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +±+= 
Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên sẽ nhận được: 
4,5414,141400100
2
300500
2
300500 2
2
1 =+=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++=σ kG/cm2; 
6,2584,141400100
2
300500
2
300500 2
2
1 =−=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+=σ kG/cm2; 
Góc nghiêng trục chính so với trục Ox, Oy tính theo công thức: 
yx
xytg σσ
τθ −−=
2
2 
Trường hợp này tg2θ = -1 và do vậy 2θ =  ...  như vậy biến dạng tấm trong mặt phẳng 0xy sẽ là: 
 98
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂×=
∂
∂×=
∂
∂×=
xy
z
y
z
x
z
yx
xy
y
y
x
x
θθγ
θε
θε
 (c) 
Ký hiệu 
xyyx
yx
xy
y
y
x
x ∂
∂=∂
∂−=∂
∂=∂
∂= θθκθκθκ ;; , phương trình (c) trở thành: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
×=
×=
×=
xyxy
yy
xx
z
z
z
κγ
κε
κε
2
. 
Thay thế w
y
w
x yx ∂
∂−=∂
∂−= θθ ; vào (c) có thể thấy: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
∂∂
∂×−=
∂
∂×−=
∂
∂×−=
yx
wz
y
wz
x
wz
xy
y
x
2
2
2
2
2
2γ
ε
ε
 (d) 
Quan hệ biến dạng – ứng suất thể hiện tại định luật Hooke: 
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
E τ
σ
σ
υ
υ
υ
γ
ε
ε
1200
01
01
1 (e) 
Từ đó có thể tính vec tơ ứng suất trong trạng thái ứng suất phẳng: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x E
γ
ε
ε
υ
υ
υτ
σ
σ
υ
2
1
2
00
01
01
1
 (f) 
Trong nghiên cứu tấm mỏng, thay vì xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta thường dùng 
đại lượng hợp lực (stress resultants) tính bằng giá trị lực trên đơn vị chiều dài, dạng thường gặp sau: 
∫∫∫
−−−
===
2/
2/
2/
2/
2/
2/
;;;
t
t
xyxy
t
t
yy
t
t
xx dzNdzNdzN τσσ 
Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ giữa hợp lực và biến dạng tương tự phương 
trình trong định luật Hooke: 
 99
và 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x Et
N
N
N
γ
ε
ε
υ
υ
υ υ
2
1
2
00
01
01
1
 (g) 
hoặc tính ngược lại: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
N
N
N
Et
)1(200
01
01
1
υ
υ
υ
γ
ε
ε
 (h) 
 Ứng suất và hợp lực trong phần tử tấm diễn tả tại hình 5.2 tiếp theo. 
ÖÙng suaát
Momen vaø löïcσ σ
τ
τ
τ
τ
τ
σ
τ τ
τ
σ
 Hình 5.2 
Momen uốn, momen xoắn và lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày được biết dưới dạng: 
Momen uốn, momen xoắn ∫
− ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
2
t
t
zdz
M
M
M
xy
y
x
xy
y
x
τ
σ
σ
 (i) 
và lực cắt dz
q
q
t
t yz
xz
y
x ∫
− ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 2
2
τ
τ
 (j) 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x Et
M
M
M
κ
κ
κ
υ
υ
υ υ
2
1
2
3
00
01
01
)1(12
 (k) 
Đại lượng 
)1(12 2
3
υ−=
EtD trong công thức cuối có tên gọi độ cứng tấm. 
 100
Trường hợp biểu diễn các hệ số κx, κy, κxy trong quan hệ với w: 
yx
w
yy
w
yx
w
x
x
xy
y
y
x
x ∂∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−=∂
∂=∂
∂−=∂
∂=
2
2
2
2
2
2;;
θκθκθκ quan hệ (k) được hiểu theo 
cách khác như sau: 
( ) ⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂
∂−
∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂
−−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yx
w
x
w
y
w
y
w
x
w
Et
M
M
M
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
)1(12
υ
υ
υ
υ tư đó ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
Et
)1(200
01
01
12
3
υ
υ
υ
κ
κ
κ
Ứng suất của tấm trong trạng thái ứng suất phẳng: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
12/
12/
12/
3
3
3
t
zM
t
zM
t
zM
xy
xy
y
y
x
x
τ
σ
σ
 (l) 
Phân bố ứng suất theo chiều dày tấm có dạng trình bày tại hình 5.3. 
σ
σ
τ
ττ
τ
yz
yx
y
xy
xz x
Hình 5.3 
 101
Điều kiện cân bằng 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=−∂
∂+∂
∂
=−∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂
0
0
0
y
xyy
x
yxx
yx
q
x
M
y
M
q
y
M
x
M
p
y
q
x
q
 (m) 
Thay thế hai công thức cuối từ hệ phương trình đang đề cập vào phương trình đầu, chúng ta 
nhận được phương trình cân bằng bậc cao hơn sau đây: 
02
22
2
2
=+∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
p
y
M
yx
M
x
M yxyx (n) 
Phương trình vi phân uốn tấm 
Thay thế các biểu thức từ (11a) vào vị trí Mx, My, Mxy của phương trình (n) chúng ta nhận 
được phương trình vi phân bậc 4 trình bày điều kiện cân bằng. 
D
p
y
w
yx
w
x
w =∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
4
4
22
4
4
4
2 (o) 
Công thức cuối này còn được viết theo cách sau đây: 
D
pw =∇ 4 
trong đó ( )22224 ∇=∇∇=∇ , còn 22222 yx ∂∂+∂∂=∇ 
Ví dụ 1: Phương trình độ võng tấm chữ nhật, vật liệu đẳng hướng, chỉ hai cạnh đối xứng tựa tự do 
trên gối cứng theo cách giải Navier được giới thiệu tiếp dưới đây. Chiều dầy tấm t, tải trọng phân bố 
đều q(x,y) = const. Tâm toạ độ tại góc dưới bên trái. 
D.∇4w = q. (a) 
Lưu ý tính đối xứng bài toán và điều kiện biên cũng đối xứng, lời giải có thể tìm một trong 
hai cách: 
w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n b
ynxX π 
hoặc w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n a
xnxY π (b) 
Chuỗi phân bố tải trọng tương ứng: 
q = ∑∞
=1
sin
n
n b
ynq π hoặc q = ∑∞
=1
sin
n
n a
xnq π (c) 
Chọn phương án 2 khi tiếp tục giải bài toán này. Nhân hai vế của biểu thức cho q với 
(2/a)sin(mπx/a) và tích phân từ x = 0 đến x = a, hệ số qn sẽ được xác định: 
 102
qn = πn
q4 khi n =1,3,5,... 
qn = 0 nếu n =2,4, ... (d) 
Từ đó: 
q = 
a
xn
n
q
n
π
π sin
14
,..3,1
∑∞
=
 (e) 
Thay biểu thức trên vào (b), với n =1,3,5,... sẽ nhận được phương trình vi phân bậc bốn sau: 
YnIV -2
n
a
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
Yn’’ + 
n
a
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
Yn = Dn
q
π
4 (f) 
Lời giải riêng là 45
44
βπ Dn
qb , với 
a
bπβ = (g) 
Nghiệm bài toán có dạng: 
Yn(y)= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
ynC πcosh0 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
ynC πsinh1 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
yn
a
ynC ππ sinh2 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
yn
a
ynC ππ cosh3 
 + 4
4
5 4
qb
n Dπ β (h) 
Điều kiện biên bài toán đòi hỏi thỏa mãn 4 phương trình: 
w(x,0) = ∂∂
2
2y
w(x,0) = w(x,b) = ∂∂
2
2y
w(x,b) = 0. (i) 
Thay biểu thức w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n a
xnxY π vào các phương trình thuộc điều kiện biên trên sẽ 
nhận được: 
Yn(0) = Yn’’(0) = Yn(b) = Yn’’(b) = 0. (j) 
Từ đó: 
( ) ( )
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
b
yn
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
Dn
qayYn β
β
β
β
β
ββ
π cosh
sinh
2
2
sinh
cosh
2
tanh
4
114 5
4
 (k) 
Momen uốn tấm có dạng sau: 
 103
( )
( )
a
xn
n
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
n
qaM
n
x
π
β
β
βυ
β
β
ββυπ
sin
2
cosh
sinh
2
1
4
cosh
cosh
2
tanh
4
11114
,3,1
33
3
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×−+
+⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−×= ∑∞
=
 (l) 
( )
( )
a
xn
n
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
n
qaM
n
y
π
β
β
βυ
β
β
ββυυυπ
sin
2
cosh
sinh
2
1
4
cosh
cosh
2
tanh
4
114
,3,1
33
3
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×−+
+⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−×= ∑∞
=
 (m) 
Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 0,6cm chịu tác động momen uốn 
Mx = 600 N.m/m, phân bố đều dọc cạnh dài, song song với trục Oy, hình 5.4. 
Xác định momen xoắn lớn nhất trong tấm và ứng suất lớn nhất tại tấm. 
Biết rằng E = 2.105 MPa, ν = 0,3. 
 y 
 My 
 O x Hình 5.4 
 Mx 
Lời giải 
Ứng suất do uốn tính theo công thức: 
MPaPa
t
M
W
M x
x
x
x 10010
6 8
2max, ====σ 
Theo hướng Oy momen uốn My = 0 và theo đó σy = 0. 
Ứng suất tiếp lớn nhất: 
MPayx 50
2
max,
max =
−= σστ 
Momen xoắn lớn nhất: 
mNmtQ /300
6
.1 2
maxmax == τ 
 104
Bán kính cung uốn tính từ biểu thức: 
EJ
M=ρ
1 như đã giới thiệu trong phần uốn dầm. 
m
M
EJ
x
6
12.600
10.6.110.2 9311 =×==
−
ρ 
Ví dụ 3: Tấm chữ nhật tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 4mm, chịu tác động momen uốn Mx = 
300 Nm/m và My = 100 Nm/m. 
Xác định ứng suất lớn nhất trong tấm. 
Kiểm tra độ bền theo tiêu chuẩn von Mises, biết rằng σcr = 120MPa. 
Trả lời 
;5,112
6
2max, MPat
M x
x ==σ 
;5,37
6
2max, MPat
M y
y ==σ 
MPayx 5,37
2
max,max,
max =
−= σστ 
Theo tiêu chuẩn bền von Mises: 
( ) ( ) ( ) MPaeq 992
2 2
13
2
32
2
21 =−+−+−= σσσσσσσ 
Giới hạn trên đây nhỏ hơn giá trị ứng suất cho phép σcr = 120MPa 
Ví dụ 4: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 80cm; b = 25cm, chiều dầy tấm t = 0,4cm, tựa trên bốn cạnh, 
chịu tải phân bố đều theo phương pháp tuyến p = 40kPa. 
Xác định độ võng lớn nhất f, ứng suất lớn nhất và momen xoắn lớn nhất. Biết rằng E = 2.105 
MPa, ν = 0,25. 
Với tấm dài, tỷ lệ a/b > 3 có thể coi rằng liên kết tựa hai cạnh ngắn đến độ uốn tấm theo 
chiều kia không lớn. Công thức tính momen uốn và ứng suất mang dạng: 
mmNMMmmNpbM xyx /.50;/.2008 max,
2
max, ==== υ 
Từ đó có thể tính tiếp: 
MPa
t
M x
x 75
6
2
max,
max, ==σ 
Momen xoắn tính theo công thức: 
mmN
MM
Q yx /.75
2
max,max,
max =
−= 
và MPa
t
Q
1,28
6
2
max
max ==τ 
 105
Độ cứng tấm chịu uốn: 
( ) mkNEtD .14,1112 2
3
=−= υ 
Độ võng lớn nhất, tính tại điểm giữa tấm: 
mm
D
pbwf 73,0
384
5 4
max === 
Ổn định tấm hình chữ nhật 
Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, tựa bản lề bốn cạnh, chịu tác động lực nén theo chiều dọc. Xác định ứng 
suất giới hạn nếu a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,8 cm, E = 7,2. 104MPa, ν = 0,30 và ứng suất giới 
hạn cơ cấu cứng [σ] = 240 MPa. 
Lời giải 
Ứng suất giới hạn tính theo công thức: 
tb
Dkcr 2
2πσ = 
trong đó 
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
mb
a
a
mbk 
Điều kiện chuyển tiếp để tấm chuyển sang giai đoạn mất ổn định từ m nửa sóng đến m + 1 
nửa sóng: 
b
amm =+ )1( 
Trường hợp này, a/b = 40/25 = 1,6 > √2. Hệ số k tính bằng k = 4,2. 
Độ cứng tấm: 
( ) mNEtD .47,3112 2
3
=−= υ 
Từ đó có thể tính: 
MPaMPacr 240][88,2 =<= σσ 
Ví dụ 2: Tấm hình vuông cạnh b = 20 cm, tựa trên các cạnh, bị nén cả hai chiều bằng tải T. 
Xác định ứng suất giới hạn nếu t = 0,4 cm, E = 7,0.104 MPa, ν = 0,30. 
Trường hợp chỉ chịu nén một hướng ứng suất giới hạn sẽ giảm như thế nào? 
Lời giải 
Tấm hình vuông mất ổn định trong cả trường hợp m = n = 1. 
Ứng suất giới hạn tính bằng biểu thức: 
tb
Dkycrxcr 2
2
,,
πσσ == 
 106
trong đó 2
2
2
2
2
2
=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
n
a
mb
n
a
mb
k 
Độ cứng tấm: 
( ) mNEtD .410112 2
3
=−= υ 
MPa
tb
Dkycrxcr 6,502
2
,, === πσσ 
Tấm bị cắt 
Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,4 cm, chịu ứng suất cắt τ = const dọc bốn 
cạnh. Xác định ứng suất cắt giới hạn, biết E = 7,2.104MPa, [τ] = 120 MPa. 
Lời giải 
Ứng suất cắt giới hạn tính theo công thức: 
2)9,0(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
t
b
EkScrτ 
Trong đó 9,6435,5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
a
bkS 
MPacr 114=τ 
Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 30 cm, b = 12 cm, t = 0,1 cm, bị viền bằng nẹp cứng 
ba cạnh, hai cạnh dài và một cạnh ngắn, cạnh ngắn còn lại gắn chặt vào cơ cấu khỏe. Tấm chịu lực 
cắt đặt tại nút trên của tấm, xem hình. Biết rằng E = 2.105 MPa, [τ] = 250 MPa. 
Xác định lực cắt giới hạn, biết rằng hệ số an toàn cho ổn định n = 1,5. 
 P 
 Hình 5.5 
Lời giải 
Ứng suất cắt tại các mép tấm: 
 107
cr
cr P
tb
nP 310.17,4
.
==τ , (Pa) 
Công thức tính ứng suất giới hạn, như đã trình bày trên đây, có dạng: 
2)9,0(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
t
b
EkScrτ với 99,5435,5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
a
bkS 
Từ đây có thể viết: 73 10.49,710.17,4 =crP 
Pcr = 1,8.104 = 18 kN. 
Bài tập 
1. Giải bài toán uốn tấm mỏng, hình chữ nhật, kích thước a x b, trình bày tại hình 1, phần tấm 
mỏng, tựa trên các cạnh, chịu tác động áp lực p(x,y) theo phương pháp tuyến. 
Phương án thực hiện: trình bày p(x,y) dạng chuỗi Navier. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∞
=
∞
= b
yn
a
xmCyxp
m n
mn
ππ sinsin),(
1 1
Hằng số Cmn tính từ chuỗi Fourier: 
dxdy
b
yn
a
xmyxp
ab
C
a b
mn ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∫ ∫ ππ sinsin),(4
0 0
2. Trường hợp p(x,y) = p0 = const được áp dụng cho bài tập 1 vừa nêu, chứng minh rằng: 
,...5,3,1,
16
2
0 == nm
mn
pCmn π 
Chuyển vị tấm tính theo công thức: 
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= ∑∑
∞
=
∞
= b
yn
a
xm
anbm
ba
mnmn
pyxw
m n
ππ
π sinsin
116),(
2
22
22
1 1
2
0 
m, n = 1,3,5, . . . 
3. Sử dụng kết quả bài tập 2 tìm độ võng điểm giữa tấm với a/b = 1,6. 
4. Sử dụng kết quả bài tập 2 giải bài toán tấm mỏng làm từ thép, kích thước 200mm x 400mm, 
chiều dày tấm t = 6mm, E = 210 GPa, ν = 0,3. Áp lực p0 = 100 kPa. 
Xác định wmax cho các trường hợp sau: 
• Các cạnh tựa tự do 
• Các cạnh ngàm 
• Hai cạnh ngắn tựa trên gối, hai cạnh dài ngàm 
• Hai cạnh ngắn tựa, hai cạnh còn lại tự do 
 108
5. Xác định ứng suất lớn nhất độ võng lớn nhất đo tại giữa tấm hình chữ nhật, cạnh dài a, cạnh 
ngắn b, chịu tác động phân bố lực p theo phương pháp tuyến, dựa vào công thức sau đây: 
3
4
2max
2
1max Et
pbKw
t
bpK =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=σ ; Hệ số Poisson υ = 0,3 
Bảng 1 
Trường hợp 1: Bốn cạnh tựa trên gối 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 4.0 5.0 ∞ 
K1 0.2874 0.3762 0.4530 0.5172 0.5688 0.6102 0.7134 0.7410 0.7476 0.7500 
K2 0.0440 0.0616 0.0770 0.0906 0.1017 0.1110 0.1335 0.1400 0.1417 0.1421 
Trường hợp 2: Bốn cạnh ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.3078 0.3834 0.4356 0.4680 0.4872 0.4974 0.5000 
K2 0.0138 0.0188 0.2260 0.0251 0.0267 0.0277 0.0284 
Trường hợp 3: Hai cạnh đối diện, cạnh a, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.4182 0.5208 0.5988 0.6540 0.6912 0.7146 0.7500 
K2 0.0210 0.0349 0.0502 0.0658 0.0800 0.0922 0.1422 
Trường hợp 4: Hai cạnh đối diện, cạnh b, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.4182 0.4626 0.4860 0.4968 0.4971 0.4973 0.5000 
K2 0.0210 0.0243 0.0262 0.0273 0.0280 0.0283 0.0285 
Đặc trưng hình học và áp lực p của các tấm như sau: 
1) a = 2m; b = 1m; t = 5mm; p = 5MPa. 
2) a = 2m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 
3) a = 4m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 
4) a = 6m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 
5) a = 9m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 
6. Chứng minh những biểu thức sau đây, dùng cho tấm hình tròn. 
Chuyển vị hướng li tâm: 
dr
dwzur −= (a) 
Biến dạng: 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−==
−==
dr
dw
r
z
r
u
dr
wdz
dr
du
r
r
θε
ε 2
2
 (b) 
 109
Ứng suất: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
z
r
dr
wd
dr
dw
r
zE
dr
dw
rdr
wdzE
σ
ννσ
ν
νσ
θ (c) 
Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố trên đơn vị chiều dài, công thức cuối có thể viết 
thành: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
3
3
12
12
t
zM
t
zM r
r
θ
θσ
σ
 (d) 
với 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
2
2
2
2
1
dr
wd
dr
dw
r
DM
dr
dw
rdr
wdDM r
ν
ν
θ
 với ( )2
3
112 ν−=
EtD (e) 
Công thức trình bày tại (d) dùng cho tấm dày t có dạng: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
±=
±=
3minmax,
3minmax,
6)(
6)(
t
M
t
M r
x
θ
θσ
σ
Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) được viết thành: 
D
rp
dr
dw
rdr
wd
dr
d
rdr
drw )(11)( 2
2
2
2
4 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=∇ 
7. Xác định chiều dày t tấm thép hình chữ nhật nhằm tránh mất ổn định tấm trong trường hợp chịu 
lực nén P=30kN phân bố đều dọc cạnh ngắn tấm. Tấm tựa tự do bốn cạnh. Biết rằng cạnh tấm a = 
35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28. 
8. Tấm thép hình vuông cạnh b = 25cm, tựa bốn mép trên gối, chịu lực nén cường độ q cả hai 
chiều, hình 5.6. Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) của tấm, biết rằng chiều dày tấm t = 
0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3. 
Trường hợp lực nén cường độ như trên chỉ tác động theo một hướng, kết quả tính sẽ như thế 
nào? 
τ
τ
τ
τ
 110
Hình 5.6 Hình 5.7 
9. Tấm làm từ hợp kim nhôm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư do trên bốn cạnh, 
chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7. Xác định tải giới hạn, biết rằng E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa. 
10. Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động 
lực cắt τ, và lực nén T = 2τ, hình 5.8. Xác định τcr để tấm không bị mất ổn định. 
τ
τ
τ
τ
Hình 5.8 
Biết rằng E = 7,2.104MPa, ν = 0,3.